热力学与统计物理——第09章系综理论习题解ok1

第九章 系综理论

习题9.1证明在正则分布中熵可表为ln s s s

S k ρρ=-∑其中1s

E s e

Z

βρ-=

是系统

处在s 态的概率。 证：熵的统计表达式是

ln (ln )Z S k Z β

β

∂=-∂

(1)

多粒子配分函数

11

1,s

s

s

E E E s s

s

e

Z e

Z e

Z

βββρρ---=

=⇒=

=

∑

∑

∑

(2)

()ln k

k

k

E E k k

k

k

E k

E e E

e

Z Z

e

ββββ

-----∂=

=

∂∑∑∑ (3)

由(2)知

s

E s e

Z βρ-=

(4)

1

ln ln ln ln s s s s E Z E Z βρρβ

⇒-=+⇒-=

+⎡⎤⎣⎦

(5)

(4)X(5)代至(3)得

ln 1

1

1

ln ln ln ln s s s

s

s

s

Z Z Z ρρρ

ρβ

β

β

β

∂=

+=

+

⎡⎤⎣⎦∂∑

∑;

于是

ln ln ln s s

s Z S k Z k βρρβ⎛⎫

∂=-=- ⎪∂⎝⎭

∑

证明2：准备工作

11ln ln

1(ln )

11ln ln ()ln ln ln ln ln (ln )

s

s

s

s

s

s

s

s

s

E E s s s

s

E s s

E E s s

s

E E s

s

E E s

s

S k k e

e

Z

Z

k e

E Z Z k e

E k e

Z

Z

Z Z k

e

k

e

Z

Z Z

k e

k

e

Z Z

Z k

k Z Z Z

k k Z Z k Z βββββββββρρββββ

ββ

βββ

β

β

β

---------=-=-=---=+∂

=-+∂∂=-+∂∂=-+∂∂=-+∂∂=-∂∑∑

∑

∑

∑

∑∑∑

∑

习题9.2试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵

证： ()222

1

1

2s

N

E i x

i y

i z

s

i Z e

E p p p m

β-===

++∑

∑

符号 ix

iy iz i

dp dp

dp dp =

∏ i i i

i

d q d x d y d z =

∏

(

)

()2

222

2

2

21

1

2222333/2

(

)

2331!!2!!N

N

ix

iy

iz

ix iy iz m

i i x

y

z

N p p p p p p m

N

N

N

N N N p p p m

x y z N

N

V

Z e

dpdq e

dp

N h N h

V

V

m e dp dp dp Z N h

N h

β

β

β

πβ==+∞

-

+

+

-

++-∞

+∞-+

+

-∞∑∑=

=

⎡⎤

⎛⎫=

⇒=

⎢⎥

⎪

⎝⎭

⎣

⎦

⎰

⎰

⎰

3/23/2

3ln 23ln ln !2

N N N N Z V m U NkT N h πβββββ⎡⎤⎛⎫∂∂∂

=-=-==

⎢⎥

⎪∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦

3/23ln 1

211ln ln !N N N

N Z

V m p V NkT V V N h V

πβββββ⎡⎤⎛⎫∂∂

∂

====

⎢⎥

⎪∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦