费曼-海尔曼定理
几个定理
(2)
若 ( ) 为实数，则有：
| |
| H | | H |
(2)简化为
H | 2 | | | 2 | H |
$6-1 海尔曼-费曼定理和维里定理
一 海尔曼-费曼定理
20世纪30年代末，Hellmann 和 Feynman 分别提出一个定理， 现统称为Hellmann－ Feynman 定理。
在玻恩-奥本海默近似下，电子运动的哈密顿算符 H ，波函数
能量E等都是核间矩R的函数，或者说是以R为参数。推广一下， H ( ) ( ) E ( ) 以 为参数， 可以是核间矩，核电荷、力常数等。则有：
是一个-3次的齐函数，因为有
f ( sx, sy, sz ) s 3 [
1 1 1 x 3 ] s f ( x, y, z ) 3 3 3 2 2 x y z y z
(2)齐次函数的欧拉定理：如果
f ( x1 , x2 ,, x j )
为n次齐函数，则
f xk nf xk k
q2 ， q3
；相应的动量分量为
p1
p ， 2 ，
i
p3
）。所以
[ H , A] [ H , qi pi ] [ H i , qi pi ] qi [ H i , pi ] [ H i , qi ] pi
i i i
若 选择为第P个核的坐标，则有
பைடு நூலகம்E PE
H | | | PV | | FP |
P E | FP |
fh定理及其应用第五讲
即 (Hˆ En ) | n 0
对求导数：
Hˆ
En
n
Hˆ
En
n 0
n
Hˆ
En
n
n (Hˆ En )
n
0
n | Hˆ (Hˆ | n ) (En | n ) n | En
i1 l
m
|
xi
|
l
1 i
m
|
[xi , Hˆ ]
|
l
1 i
m
|
(xi Hˆ
Hˆxi
)
|
l
1 i
(El
Em
)
m
|
xi
|
l
l
|
pˆ i
|
m
1 i
l
|[
pˆ i
,.Hˆ ]
|
m
1 i
l
|
( pˆ i Hˆ
Hˆpi
)
|
m
1 i
(Em
El
)
l
|
pi
|
m
2T nV
3 i1
l
1 i
(El
Em )
m
|
xi
|
l
l
|
pˆ i
|
m
1 i
(Em
量子力学习题选解
一．选择题1.一个空腔可以看作黑体。
实验得出，当空腔与内部的辐射处于平衡时，辐射能量密度按波长分布的曲线形状和位置[ ]A.只与绝对温度有关B.与绝对温度及组成物质有关C.与空腔的形状及组成物质有关D.与绝对温度无关，只与组成物质有关2.光电效应中，光电子的能量[ ]A.只与光强有关，与光的频率无关B.只与光的频率有关，与光强无关C.与光强和光的频率都有关D.与光强和光的频率都无关，和金属材料有关3.实验表明，高频率的X 射线被轻元素中的电子散射后，波长[ ] A.随散射角的增加而增大 B.不变C.随散射角的增加而减小D.变化情况视元素种类而定4.根据德布罗意关系，与自由粒子相联系的波是[ ] A.定域的波包 B.疏密波 C.球面波 D.平面波5.普朗克常数的单位是[ ]A.s J ⋅B.s N ⋅C.K s J /⋅D.K s N /⋅6.一自由电子具有能量150电子伏，则其德布罗意波长为A.1A B.15A C.10A D.150A7.下列表述正确的是A.波函数归一化后是完全确定的B.自由粒子的波函数为r p i p Ae t r⋅=),(ψD.所有的波函数都可以归一化8. 在球坐标中，ϕθψππd drd z y x 220),,(⎰⎰表示A.在),(ϕθ方向的立体角中找到粒子的几率B.在球壳),(dr r r +中找到粒子的几率C.在),,(ϕθr 点找到粒子的几率D.在),,(ϕθr 点附近，ϕθd drd 体积元中找到粒子的几率9.波函数的标准条件为A.在变量变化的全部区域，波函数应单值、有限、连续B.在变量变化的全部区域，波函数应单值、归一、连续C.在变量变化的全部区域，波函数应满足连续性方程D.在变量变化的全部区域，波函数应满足粒子数守恒10.下列波函数中，定态波函数是 A. tE i ix tE i ix ex v ex u t x ---+=ψ)()(),(1 B. tE i ix tE i ix ex v e x u t x+--+=ψ)()(),(2C. )()()(),(21321E E ex u e x u t x t E it E ≠+=ψ--D. )()()(),(21421E E ex u e x u t x t E it E ≠+=ψ+-11.一维无限深势阱中，粒子任意两个相邻能级之间的间隔 A.和势阱宽度成正比 B.和势阱宽度成反比 C.和粒子质量成正比 D.随量子数n 增大而增大12.若量子数不变，一维无限深势阱的宽度增加一倍，其中粒子的能量 A.增大为原来的四倍 B.增大为原来的两倍 C.减小为原来的四分之一 D.减小为原来的二分之一13. 对于一维谐振子，势能为2221)(x x V μω=，若令xμωξ=，则波函数形如)()(22ξξψξH e -=，其中)(ξH 满足0)1(222=-+-H d dHd H d λξξξ为使±∞→ξ时，)(ξψ有限，则λ值为A.整数B.奇数C.偶数D.零14.设体系处于的状态102111Y c Y c +=ψ，式中1c 、2c 是常数，则在此状态下，测量力学量2L 和z L ，下列结论中正确的是A. 测量2L 有确定值，测量z L 也有确定值 B. 测量2L 有确定值，测量z L 没有确定值 C. 测量2L 和z L 都没有确定值D. 测量2L 没有确定值，测量z L 有确定值15. 若Aˆ、B ˆ是厄密算符，则下列结论中正确的是 A. B A+仍然是厄密算符 B. B A ˆˆ仍然是厄密算符 C. B Aˆˆ是对易的 D. A ˆ、B ˆ的本征函数是实函数16.一质量为m 的粒子禁闭在边长为a 的立方体内，粒子的能量)(2222222z y x n n n n n n maE zy x ++=π ， x n 、y n 、z n =1，2，3，…则第一激发态能量A.不简并B.二重简并C.三重简并D.四重简并17.一维谐振子处于10ϕϕψB A +=，其中A 、B 为实常数，n ϕ为谐振子的第n 个归一化本征函数，则A.122=+B AB.1)(2=+B A C.1=+B A D.B A =18. 球谐函数ϕθϕθim m l lm m lm e P N Y )(cos )1(),(-=，其中)(cos θml P 是A.贝塞尔函数B. 缔合勒盖尔函数C.缔合勒让德函数D.拉格朗日函数19.关于球谐函数20Y 和21Y 的奇偶性，下列说法正确的是A. 20Y 、21Y 都是奇函数B. 20Y 、21Y 都是偶函数C. 20Y 是奇函数，21Y 是偶函数D. 21Y 是奇函数，20Y 是偶函数20.粒子在库仑场中运动，薛定谔方程径向部分是0)1()(222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++u r l l r Ze E dr u d s μ其中A.0>E 构成连续谱，0<E 构成分立谱B.0<E 构成连续谱，0>E 构成分立谱C.0>l 构成连续谱，0<l 构成分立谱D.0<l 构成连续谱，0>l 构成分立谱21.氢原子的径向波函数)2()2()(01200r na Z L r na Z eN r R l l n l r na Z nl nl ++-=中的)2(012r na Z L l l n ++是 A.拉格朗日函数 B.拉普拉斯函数 C.缔合勒盖尔函数 D. 缔合勒让得函数22.不考虑电子自旋，库仑场中粒子束缚态能级的简并度为A.2n B.22n C.n D.n 223.氢原子核外电子的角分布Ωd W lm ),(ϕθ（即径向),(ϕθ附近立体角内找到粒子的几率）A.与r 有关C.与ϕ有关，与θ无关D.与θ、ϕ皆有关24.表示厄密算符的矩阵称为厄密矩阵。
费曼-海尔曼定理及其应用
第 ３期
篝 一 ＞一＜ ＞ 詈 一＜＞ ＜ Ａ 一 ＜ ｉ Ｔ ｖ ２
（ ）式 在 动量表 象 中变 为 ：Ｈ一 “ Ｖ （矗 ｆ ｐ ３ ＋ ７ 厶 再 用 Ｆ Ｈ 定理 ： －
（ ４ ）
簧 一 ＞一 ＜ ＜
比较 （ ） （ ）式 得 ２ ｌ ４ ５ ＜ 、 一＜ｒ・ ＞ ｖＶ＞
ＶｏＬ ２ ３ ＮＯ． ３
Ｊ ｎ ０ ７ ｕ ｅ２ ０
费 曼一 海 尔 曼 定 理 及 其 应 用
张 若 洵 杨 洋 ，
（．邢 台 学 院初 等 教 育 学院 ， 河 北 邢 台 ０ ４ ０ ；２ １ ５ ０ １ ．河 北 北 方 学 院 理 学 院物 理 系 ， 河 北 张 家 口 ０ ５ ０ ） ７０ ０
设 为 Ｈａ ｌ ｎ算符 Ｈ 含 有的 任何一 个 参数 ．视 为参 变量 ，则 Ｅｎ ｍｉｔ ｏ 、
均 为 的函数 ．
＜
用符 号＜ ＞ 表 示 态下 的平均值 ，上式 变 为 ：
＞并 一
（ ２ ）
＜ ＞一 酱
（ ）式 通 常称 为费 曼一 海尔 曼定 理 ，又 称 ＦＨ 定 理 ． ２ 卜引
由于从 Ｆ Ｈ 定 理 可导 出维里 定理 ，因此 ，凡 可以用 维里 定理 处理 的 问题 ，肯定都 可 以用 Ｆ Ｈ 定 理来 － ＿
处理 ．Ｆ Ｈ 定 理远 在 维里定 理 之上． 某些 时候 ，二 定理 联合 应用 ，可使 问题变得 更 为简单 ． －
３ 用 Ｆ Ｈ 定 理 求 某 些 量 的平 均 值 ．
＞一｝ ｖ＞ ｛ｒｖ＞ ＜ ・Ｖ ＜・Ｖ 一
㈤
（ ６ ）
此 即维里 定理 ．若 Ｖ （ ）是 ｒ ｖ次齐 次 函数 ，则 有 ： ｒ 的
高等量子力学习题和答案
高等量子力学习题和解答† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。
这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。
进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。
解：设有线性变换Qˆ，与时间无关；存在逆变换1ˆ-Q 。
在变换 ˆ(,)'(,)(,)r t r t Qr t ψ→ψ=ψ 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ˆ''ˆt ti Hi H ∂ψ=ψ∂ψ=ψ进而有11[,]0t t i Q HQ i Q HQ Q HQ H H Q --∂ψ=ψ⇒∂ψ=ψ⇒=⇒=2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R ze的矩阵表示。
解：'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z zθθθθθ-=+=-+=考虑坐标系绕轴转角'1''x x yd d y xd y z z θθθ=+⎧⎪<<⇒=-+⎨⎪=⎩若用矩阵表示 '10'10'001x d x y d y z z θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭还可表示为 '()z e r R d r θ=10()10001z e d R d d θθθ⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。
试导出转动算符),(θd n U的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。
解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符()z e U d θ利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψ 可得 ()1z e z iU d d L θθ=-通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符()lim(1)z z i L n e z n i U L e nθθθ-→∞=-=绕任意轴n 转θ角的转动算符为()in Ln U eθθ-⋅=1U U U -+=⇒ 为幺正算符若(')()()z e r U d r θψ=ψ则必有1(')()()()()[,]z z e e z H r U d H r U d iH r d H L θθθ-==+若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。
6第3章概念3-守恒量、位力定理、费曼-海尔曼定理
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = [ x, H ] px + x[ px , H ] + [ y, H ] p y + y[ p y , H ] + [ z , H ] pz + z[ pz , H ] ˆ ] = ih p [ p , H ] = −ih ∂U ˆx ˆx ˆ Q [ x, H ↓ µ ∂x ih 2 ∂U ih 2 ∂U ih 2 ∂U ˆ ˆ ˆ = px − ihx + p y − ihy + pz − ihz µ ∂x µ ∂y µ ∂z ih ih v ˆ = p 2 − ih(r ⋅∇U )
十一、力学量平均值随时间的演化 十一、 1.海森堡运动方程
ˆ F = ∫ψ * ( x, t )Fψ ( x, t ) dx
ˆ dF ∂ψ * ˆ * ∂F * ˆ ∂ψ =∫ Fψ dx + ∫ψ dx ψ dx + ∫ψ F dt ∂t ∂t ∂t ∂ψ 1 ˆ ∂ψ * 1 ˆ * = Hψ 因为 = − ( Hψ ) ∂t ih ∂t ih ˆ dF 1 1 * ∂F ˆ ˆ ˆˆ = ∫ψ ψ dx − ∫ ( Hψ )* Fψ dx + ∫ψ * FHψ dx 所以 dt ih ih ∂t
ˆ ˆ ˆ ˆ 不显含时间， 如果 F 不显含时间，即 ∂F / ∂t = 0 ，并且 [ F , H ] = 0 ，则有
dF / dt = 0
即力学量
ˆ F
平均值不随时间变化。 平均值不随时间变化。这时称
F
为运动恒量，即守恒量。 为运动恒量，即守恒量。
（1）自由粒子 U = 0 v v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p( p , p , p ) L ( L , L , L ) ˆ ˆx ˆy ˆz H H x y z 、 、 都与 对易，它们都是守恒量。 对易，它们都是守恒量。
6第3章概念3-位力定理、费曼-海尔曼定理
∂En E 1 = n + ω = n ∂h 2 h
所以
2 ˆ T h
n
En = h
ˆ T
n
1 = En 2
下面利用FH定理证明位力定理。 下面利用 定理证明位力定理。 定理证明位力定理
ˆ ˆ H = p 2 /(2µ ) + U
在坐标表象中
h2 2 v ˆ =− H ∇ + U (r ) 2µ ˆ ∂H h 2 2 ˆ =− ∇ = T ∂h µ h
1 ∂ −ipx x / h = ∫ ϕ ( px ) ∫ ih ∂px e ψ ( x)dx dpx 2π h
*
1 ∂ = ∫ ϕ ( px ) ih 2π h ∂px
*
(∫ e
− ipx x / h
ψ ( x)dx dpx
为参量， 取 h 为参量，有
利用FH定理， 利用 定理，得 定理
∂En 2 ˆ = T ∂h h
n
p2 ˆ v ˆ ˆ 在动量表象中 H= + U (r ) 2µ v v ˆ ˆ ∂ ∂r r v ˆ 因为 r = ih v 所以 = ∂h h ∂p ˆ ∂U ∂U ∂r r ˆ ˆ v v ˆ ˆ ∂H ˆ 因此 = = v ⋅ = ⋅∇U ˆ ∂h ∂h ∂r ∂h h
十三、费曼-海尔曼定理（ 定理 定理） 十三、费曼-海尔曼定理（FH定理） ˆ 设体系的哈密顿算符 H 中含有某参量 λ （可以是质量 µ 、普朗 ˆ 的本征值， 克常数 h 、角频率 ω 等）， E n为 H 的本征值，相应的归一化本征函 数（束缚态）为ψ n（n为一组量子数），则 束缚态） 为一组量子数） 为一组量子数
系综平均意义下的hellmann-feynman 定理
系综平均意义下的hellmann-feynman 定理Hellmann-Feynman定理是量子力学中的一个重要定理，它描述了哈密顿量中的势能项对能量期望值的贡献。
在系综平均意义下，Hellmann-Feynman定理可以表示为：$$\frac{d\langle
H\rangle}{d\lambda}=\langle\frac{\partial
H}{\partial\lambda}\rangle$$其中，$\lambda$是哈密顿量中的某个参数，例如原子核的位置或电场的强度。
$\langle H\rangle$是系统的能量期望值，$\frac{\partial H}{\partial\lambda}$是哈密顿量关于参数$\lambda$的偏导数，$\langle\frac{\partial
H}{\partial\lambda}\rangle$是该偏导数的系综平均值。
这个定理的意义在于，它告诉我们如何通过改变哈密顿量中的参数来控制系统的能量。
例如，在分子动力学模拟中，我们可以通过改变原子核的位置来改变分子的能量。
通过Hellmann-Feynman定理，我们可以计算出这种改变对能量的影响，从而更好地理解分子的行为。
量子力学试题
量子力学试题（一）及答案 一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 中运动，若0=t 时，粒子处于状态上，其中，()x n ϕ为粒子能量的第n 个本征态。
（1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 （1） 首先，将()0,x ψ归一化。
由可知，归一化常数为于是，归一化后的波函数为 能量的取值几率为能量取其它值的几率皆为零。
（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。
二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。
解：对于02<-=V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 其中，在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 得到 于是有此即能量满足的超越方程。
当021V E -=时，由于故40ππ-=n a mV， ,3,2,1=n最后，得到势阱的宽度三.（20分）设厄米特算符Hˆ的本征矢为n ，{n 构成正交归一完备系，定义一个算符（1） 计算对易子()[]n m U H,ˆ,ˆ； （2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+；（3） 计算迹(){}n m U,ˆTr ； （4） 若算符A ˆ的矩阵元为nm mn A A ϕˆ=，证明 解：（1）对于任意一个态矢ψ，有 故（2）()()()p m U q p U n m U nq q p n m ,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ== （3）算符的迹为（4）算符 而四. （20分）自旋为21、固有磁矩为s γμ=（其中γ为实常数）的粒子，处 于均匀外磁场k 0 B B =中，设0=t 时，粒子处于2=x s 的状态，（1） 求出0>t 时的波函数；（2） 求出0>t 时x sˆ与z s ˆ的可测值及相应的取值几率。
中科院量子力学题90-11
θ 2
θ 2
（4）求演化成 −ψ ( x, t ) 所需要的最短时间 tmin 。 三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量是：
-2-
t ≤ 0; ⎧ 0, ˆ' =⎪ 其中 λ、T 为常数。 H t ⎨ − T ⎪ > λ ze , t 0. ⎩
（1） 求很长时间后 t ≫ T 电子跃迁到激发态的概率，已知基态中 a 为玻尔半 径，基态和激发态波函数为：
1 2 1 2
中国科学院研究生院 2007 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 试题名称：量子力学 B 卷
一、考虑一维阶梯势 V ( x) = ⎨
⎧V0 , ⎩ 0,
x > 0(V0 > 0) x<0
设粒子从右边向左边入射，试求反射系数和入射系数。 二、电子处于沿 + z 方向大小为 B 的均匀磁场中。设 t = 0 时刻电子自旋沿 + y 方 向。 （1）试求 t = 0 时电子自旋波函数； （2）试分别求出 t > 0 时电子自旋沿 + x, + y, + z 方向的概率。 三、粒子在 V ( 100 ( r ) = R10 ( r ) Y00 (θ , ϕ ) = e ; 3 4π 2 a 3 1 � cos θ ψ 210 ( r ) = R21 ( r ) Y10 (θ , ϕ ) = 3 4π (2a) 2
r − 2ra e . 3a
（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零？简述理由。 （a）ψ 200 （b）ψ 211 （c）ψ 21−1 （d）ψ 210
一、在一维无限深方势阱 ( 0 < x < a ) 中运动的粒子受到微扰
a 2a ⎧ < x<a 0, 0 < x < , ⎪ ⎪ 3 3 ' ˆ H ( x) = ⎨ 作用。试求基态能量的一级修正。 a 2a ⎪ −V , < x< 1 ⎪ 3 3 ⎩
Virial定理及Hellmann-Feynman定理的应用.
Virial定理及Hellmann-Feynman定理的应用摘要：Virial定理及Hellmann-Feynman定理在原子分子物理，粒子物理以及处理分子结构中得到广泛的应用。
本文首先着重论述了Virial定理及Hellamnn-Feynman定理的基本内容，并分别对其进行了证明，进而通过两定理的推导过程分析两定理之间的内在联系。
最后介绍了Virial定理及Hellmann-Feynman定理的推广及应用。
研究得知Virial定理及Hellmann-Feynman定理用于量子体系中某些力学量平均值和能量本征值的讨论，而无需涉及研究体系能量本征函数的具体表示形式；同时Hellmann-Feynman 也能够用于其它定理的证明，并且采用力学量算符对易方法，能够推导出新的能量计算公式。
关键词：Virial定理；Hellmann-Feynman定理；推广；应用The applications of Virial and Hellmann-Feynman theoremAbstract:The Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem were widely applied in the atomic and molecular physics, the particle physics and the structure of molecules. In this paper, the Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem were introduced and proved. Furthermore, some examples were recited. In addition, the generalization of the Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem was also given. From our study, we realize that the Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem were used in dealing with energy average values and the certification of other theorems. By the operator commutation method, we are able to obtain the new energy calculation formulas.Key words: Virial theorem; Hellman-Feynman theorem; Generalization; Applications引言当今，量子力学在科学各研究领域得到了广泛的应用，它打破了我们对相当一部分自然规律的一贯认识。
费曼_海尔曼定理的推广及应用
引言
在量子力学中, 经常要求力学量的平均值, 若采 用一般方式, 计算往往很复杂。而由费曼定理可求出 许多力学量的平均值[ 1] ; 然而, 费曼—— 海尔曼定理 的应用也有一定的局限性, 特别是关于能量的计算, 只有哈米顿量满足一定的条件方可求出[ 2] 。为了扩
5En 5K
ûWn
〉
+ Ad( Hd- En ) 55KûWn〉= 0 以〈Wnû左乘上式, 并假设算符 Ad 与 Hd 对易, 利
用( 2) 式可得:
〈Wn ûAd 55HdKûWn 〉= 55EKn 〈Wn ûAdûWn >
( 5)
或
<
A
55HKd >
n=
5EWn 5K
<
Ad >
n
这就是费曼——海尔曼定理的推广形式。
〈V 2〉n +
〈T V 〉n =
E
2 n
2
( 18)
利用 x 2ûn>
=
¶ 2m
X(
( n+ 1) ( n+ 2) ûn+ 2>
+ ( 2n+ 1) ûn>
+ n( n- 1) ûn- 2> )
Pd2ûn >
=
m¶ 2
X(
( n+ 1) ( n+ 2) ûn+ 2>
- ( 2n+ 1) ûn> + n( n- 1) ûn- 2> ) 可以得出
〈55H¶d〉n =
hellmann-feynman定理
hellmann-feynman定理
玻尔曼-费曼定理是一个重要的物理定理，它描述了物理系统中的力和能量之
间的关系。
它是由美国物理学家约翰·玻尔曼和美国物理学家爱因斯坦·费曼在1930年代提出的。
它的基本思想是，在一个物理系统中，力和能量之间存在着一
种对称的关系，即力的作用可以用能量来表示，而能量的变化也可以用力来表示。
玻尔曼-费曼定理的具体表达式是：F（r）= -∇E（r），其中F（r）是在位
置r处的力，E（r）是在位置r处的能量。
这个定理表明，力和能量之间存在着一种对称的关系，即力的作用可以用能量来表示，而能量的变化也可以用力来表示。
玻尔曼-费曼定理在物理学中有着重要的意义，它可以用来解释物理系统中的
力和能量之间的关系，也可以用来计算物理系统中的力和能量。
它也被广泛应用于量子力学、分子动力学和分子结构等领域，为研究物理系统提供了重要的理论支持。
玻尔曼-费曼定理是物理学中一个重要的定理，它描述了物理系统中力和能量
之间的关系，并且在物理学的研究中有着重要的意义。
它的应用也被广泛应用于量子力学、分子动力学和分子结构等领域，为研究物理系统提供了重要的理论支持。
热尔曼定理
热尔曼定理
热尔曼定理（Hermann's theorem）是电磁场中的一个基本定理，描述了电场和磁场的相互关系。
它由德国物理学家费迪南德·热尔曼于1929年提出。
热尔曼定理表示，对于任何一种时变电磁场，其电场与磁场之间满足以下关系：
旋度（curl）电场 = -时间的变化率 ×磁场
即，
∇ × E = - ∂B / ∂t
这个定律表明，在电磁场中，电场的转动（旋度）与磁场的时间变化率相互关联。
换言之，如果磁场随时间变化，那么会产生一个旋度电场。
这个定律是麦克斯韦方程组的推论之一，进一步深化了电磁场理论。
热尔曼定理在电磁场的研究中具有重要的意义，它建立了电场和磁场之间的联系，并且可以通过测量一个场的旋度来推断另一个场的变化。
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,
T n lT ˆmnld m rE n
论文的结构和主要内容
上面的具体计算十分复杂，但是如
果用维里定理，问题就十分容易了。根
据题意我们可以知道势能是的 n 1齐次
函数，所以
2T U
,
又因为总能量 EnTUT,
因此
U2T2En .
即平均势能为负值，并且为总能量
的两倍，由于平均动能一定是负值，这
论文的结构和主要内容
3.1.2示例对比分析
在求解一维谐振子问题中的 x 2 、p 2 ，
n
n
以及 xp 时，如果利用量子力学中求期
望值的方法，那么，我们就要将已知的
哈密顿量带入到线性谐振子的本征函数，
即
1
nx1 22nn!2e1 22x2Hnx,
m
令 ，Hˆ mx2 ，此处利用费曼海尔曼定
理，就可以得到
E nn1 2mx2 n
对上式化简得
x2 n n12m
论文的结构和主要内容
3.2费曼-海尔曼定理解氢原子中一些问 题 3.2.1典型示例的选取
在量子力学中，由于氢原子问题有 解析解，更简单、更实用，因此它的应 用十分广泛、重要。所以，在此选择它 作为示例。
费曼-海尔曼定理和维里定理 的应用
提纲
一 选题的目的、意义和要完成的任务 二 论文的基本框架和主要内容 三 完成论文写作存在的问题及收获
一、选题的目的、意义和要完成的任务
费曼-海尔曼定理和维里定理的应用极 其广泛, 在量子力学中，处理问题也十分 简便，可惜在各种教材中, 只是轻轻带过, 很少充分论述。
论文的结构和主要内容
4.2库仑场问题
若库仑场势能为 ，如 Ures2
es2
T
x2y2z2
果我们通过氢原子定态薛定谔方程求解，
则氢原子的能级为负值，即 , En2e2ns42 2ae0s2n2
则平均动能一定是正值。因为总能量为负
值，所以，U T .即
U n le r m s 2 n d l m R n 2 r l Y lm , 2 e r s 2 r 2 d r e s 2 d 0 R n 2 r r l d a e 0 n s 2 2 r 2 E n
所以，本文将根据他们的定义，列举 具有代表性的例子来向大家介绍费曼-海尔 曼定理和维里定理的应用。
二、论文的结构和主要内容
2、维理 定理
3、费曼-海尔曼 定理的应用
1、费曼-海尔曼 定理
4、维里定理 的应用
5、小结
论文的结构和主要内容
1费曼-海尔曼定理
1.1费曼-海尔曼定理的概述 费曼-海尔曼定理又称费曼-海尔曼
1
Z
r n n2a0
论文的结构和主要内容
4维里定理的应用
4.1对于谐振子问题的求解 设谐振子的势能为 U 1 2x2 ,
2
如果用量子力学求平均值的公式，
即 FFd,
可以求出谐振子的基态能量值为
则总能量
,
T0 4
U0 4
E0T0 U0 2
而这正是谐振子的零点能。
之中，并且应用量子力学求平均值的公 式，即
论文的结构和主要内容
FFd
1
nx1 22nn!2e1 22x2Hnx,
m
来求解，这其中所涉及到的积分问题十 分复杂，计算过程也相当的困难，这样 想要获得正确的解就需要扎实的计算能 力和耐心。
论文的结构和主要内容
论文的结构和主要内容
3费曼-海尔曼定理的应用
3.1用费曼-海尔曼定理求某些量的平均值 3.1.1典型示例的选取
在量子力学领域中，一维谐振子在量 子力学中是一个重要的物理模型，一维谐 振子问题是个基本的问题，所以，我对其 中的一些问题，分别利用量子力学中的普 遍方法和费曼-海尔曼定理来解决，并进 行对比。
论文的结构和主要内容
3.3.2示例对比分析
质量为，电荷为- 的电子，在电荷为
的原子核的库伦场中运动，忽略原子核的运动，
求1 r
，1
n
r2
，1
n r3
。
n
在已知哈密顿量和能量的情况下，
若我们选Z为参变量，则: H e2 1
z n
rn
由费曼-海尔曼定理: 则有：
H En z n z
论文的结构和主要内容
2维理定理
2.1维里定理的证明 2.1.1证明方法的选取
维里定理的证明方法十分多，例如： 应用泊松括号的性质和平均值的普遍公 式来证明、应用海森堡运动方程和矩阵 法证明、以及应用变分法证明等等。
论文的结构和主要内容
最终导出了维里定理的表达式为：
2Tr V
从上面的式子可以看出，维里定理非 常简洁的给出了系统平均动能和平均势能 之间的关系，如果知道了系统的平均动能， 可以利用它求得平均势能，反之亦然。
样总能量就为负值。
三、完成论文写作存在的问题及收获
本篇论文只是具体从几个方面介绍了 费曼-海尔曼定理和维里定理的一些应用， 并没有全面的论述它们所有的应用。
但是，通过撰写本篇论文，使我更深 入、细致的学习费曼-海尔曼定理和维里 定理及其应用，使我体会到他们的重要性， 因此对我的帮助很大。
论文的结构和主要内容
但是如果要求第一激发态或更高激 发态的平均动能和平均势能，以及它们 之间的关系时，用量子力学求平均值的 方法就显得很复杂了，如果我们改用维 里定理，则方便得多。由题意知此时的 势能U是位矢x的2次齐次函数，由维里定 理立即可以得出 T U ，即谐振子的平均 动能等于平均势能，而且它不仅对基态 成立，而且对任何激发态都成立。
关系，发表于30年代后期。它的应用极 其广泛，即 分麻烦，但是用费曼-海尔曼定理就简 单的多了。
论文的结构和主要内容
1.2费曼-海尔曼定理的证明
对于费曼-海尔曼定理的证明，我引
用了曾谨言的《量子力学》中的方法。
设定了某量子体系的束缚态的能级,以及
相应的归一化波函数，并对他们所以满
足的式子
Hn Enn
进行了求导、求标积的计算，最后又利 用了哈密顿算符的厄米性以及波函数的 归一化特性，导出了费曼-海尔曼定理。
论文的结构和主要内容
费曼-海尔曼定理的表达式为：
n,H nEn
从上面的式子中我们就可以看出， 我们可以利用这个式子求解某些力学量 的平均值或是它的能量等。因此，在后 面的应用中，我举了这些方面具有代表 性的例子。