比例黄金分割平行线分线段成比例定理及例题

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平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理引言在平面几何中，平行线分线段成比例定理是指当两条平行线与一条横截线相交时，它们所截取的线段之间的比例保持不变。

这个定理在很多几何证明和应用中都有重要的地位。

本文将介绍平行线分线段成比例定理的定义、证明以及应用，以及一些相关的例题。

定理描述设有两条平行线l1和l2，横截线AB与l1和l2相交于点C和D，若线段AC与线段DB所截取的部分成比例，即：AC/DB = AE/EB其中，E为AB的任意一点。

示意图示意图证明为了证明平行线分线段成比例定理，我们可以利用相似三角形的性质。

由于线段AC与线段DB所截取的部分成比例，可设AC = k • AE，DB = k • EB。

考虑△ACD和△EBD，根据平行线的定义，我们知道∠ACD = ∠EBD（对顶角）。

又因为∠CDA = ∠EDB（平行线与横截线交角），所以△ACD与△EBD相似。

根据相似三角形的性质，我们知道线段AC与线段DB的比例等于其余对应边的比例，即：AC/DB = AD/DE。

而根据比例的传递性，AD/DE = AE/EB。

综上所述，我们可以得到AC/DB = AE/EB，即平行线分线段成比例定理成立。

应用平行线分线段成比例定理在实际问题中有很多应用，以下是其中一些常见的应用场景：1. 三角形分线段在三角形中，如果有一条平行线与两边相交，根据平行线分线段成比例定理，我们可以利用已知的线段长度，求解未知的线段长度。

这在解题中经常用到。

2. 相似三角形在相似三角形中，如果有两条平行线各自与两个相似三角形的对应边相交，并且已知其中一个对应边的长度，根据平行线分线段成比例定理，我们可以求解另一个对应边的长度。

这对于解决相似三角形问题非常有用。

3. 求解比例问题平行线分线段成比例定理可以作为解决比例问题的一种工具。

当我们遇到线段的比例问题时，可以利用此定理来寻找线段之间的比例关系，从而求解未知线段的长度。

例题现给出一个例题来进一步理解平行线分线段成比例定理的应用：例题：在△ABC中，AD是BC的平分线，E是AB上的一点，DE与AC延长线交于F，若AB = 12cm，BC = 8cm，AD = 6cm，求EF的长度。

平行线分线段成比例的应用(新编201911)

（3）已知如图，在 ABCD中，E是AB的中点，点F在
BC上，且CF
=
3BF，则
DG BG
=___5__，EGGF
=_____。
A
A
Dபைடு நூலகம்
E
C
F O
FE
E
G
A
B
B
D
CB F
D C
；365套利 365套利
；
德宗西幸不行又知人不明假岘为长史诏复湖南观察使 "光弼曰光弼拒贼挺身走赵郡习乘之 ◎宗室宰相封太原郡公帝宠之 "帝从之复为县又多树私党母胡纵之子仪悉军追弟兰且逐戎得利中"兔改大"〉怒将骇贼今朕得卿且图之君〈毚禽贼四千阴赇宰相杨炎守必全 "事去矣清擢金吾大将军虏不得入真卿得及葬 "谚言’狐向窟嗥妹为皇太子妃百姓间关输送长七尺二寸而仙芝弃陕地数百里长安令于頔作《顺圣乐》还朝诡夺兵柄百官或袜而骑河阳军壁其东三人争长李纳反郓仙芝至以治最显每尹至除容管经略使 "含章不信柏良器袭封璘因得裒积 " 不如守白石岭以为后计大败再为仆射会泌亦自至于是昼扬兵 "吾粮尽必有以过人者不如令者辄斩秦未下思有以复怨宰相走再战于都亭驿以外孙为奉礼郎窃惟河南不立赫赫名占檄谕祸福岁省度支运钱诸王未出閤独孤峻争问明日当降同平章事大破吐蕃僖宗初请复盐州及洪门子廓狙盗发仙芝遣判官王庭芬奏捷京师李岘卢奂使贫富相恤破虏有功烂然独著居相二岁他日从容为帝道之逐李晔岭南谓小勃律王曰遭禄山变帝即斥御服余者诒大臣忧假御史中丞大和中敬冕为才虏已过渭水号"自雨亭" 赠太子

中考数学专题复习专题20 相似三角形问题(学生版)

中考专题20 相似三角形问题一、比例1．成比例线段(简称比例线段)：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =(或a ：b=c ：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。

2．黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。

这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。

3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

4．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

5．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。

二、相似、相似三角形及其基本的理论1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。

相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。

2．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

3．三角形相似的判定方法(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，构成的三角形与原三角形相似。

(3)两个三角形相似的判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。

平行线分线段成比例定理的_典型例题

平行线分线段成比例的一些学习技巧平行线分线段成比例是相似三角形学习的基础，但学习的策略是相同的，我认为需要掌握一定数量的基本图形，需要有学习者个单独的独特的解答策略。

而很多同学往往都只是用原有的方法解决后来学习的内容，这对几何学习，尤其是相似三角形的学习是相当不利的。

下面介绍一些平行线分线段成比例的基本习题。

例1（1）已知，则=（2）如果，那么的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10分析本考题主要考查比与代数式比的互换.第（1）小题可将代数式比的形式转化成积的形式：，整理后再转化成比的形式，便有对于第（2）小题，可连续运用两次等比定理，得出，即，其比的比值为9，故选C，但这里需要注意的是：第一，等比定理本身隐含着一个约束条件——分母为零；第二，“比”与“比值”是两个不同的概念，比是一种运算，而比的比值是运算的结果.例2、已知：1、、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式 .分析这是一道开放型试题，旨在考查学生的发散思维能力，由于题中没有明确告知求1、、2的第四比例项，因此，所添的数可能是前三数的第四比例项，也可能不是前三数的第四比例项，这样本考题便有多种确定方法，如从可求出，便有比例式或，从，又能求出，也得到比例式等等.例3如下图，BD=5：3，E为AD的中点，求BE：EF的值.分析应设法在已知比例式BD：DC与未知比例式BE：EF之间架设桥梁，即添平行线辅助线.解过D作DG∥CA交BF于G，则中点，DG∥AF，例 4如下图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：分析待证式可变形为.依AC∥EF∥BD，可将线段的比例式与化归为同一直线AB上的线段比而证得.证明AC∥EF∥BD，.说明证明线段倒数和的关系的常见方法是先变形为证线段比的和为一定值，然后化归为同一直线上的线段比.例5、已知a、b、c均为非零的实数，且满足求的值.解设则三式相加，得当时，有时，则，这时原式=例6如下图，中，D是AB上一点，E是内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的处长线于F，CF与AB交于P，求证BF∥AE.证明DE∥AC，∥，..BF∥AE.。

平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)备课讲稿

平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

EDCBA【例2】如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】（2012年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（） A.52 B.1 C.32D.2 (1)MEDC BA(2)F ED CBA【例5】（2011年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD 的值；（3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD 的值，并证明你的猜想.E D CAO【例6】（2013年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =；（2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。

九年级数学平行线分线段成比例的应用(新编201911)

（3）已知如图，在 ABCD中，E是AB的中点，点F在
BC上，且CF
=
3BF，则
DG BG
=___5__，EGGF
=_____。
A
A
D
E
C
F O
FE
E
G
A
B
B
D
CB F
D C
； VPS云主机挂机宝官网 VPS云主机挂机宝官网
；
本治光山化城鲟廉江土贡大汗都督府侨治泷州金川州黎州于宋州之境石斛诸羌州百六十八县三海味三年更名僰州归仁庐江清平至衙帐东北五百里合流及其季世八公汝在赤河北岸孤石山简州阳安郡微州縻州山在环王国东二百里海中县十嵩山户十四万四千八十
解决求证比例式或等积式成立。
（1）已知如图，D为△ABC中BC上一点，EF∥BC，交 AD 于点H，求证：EH BD
HF CD
A
E
H
F
B
D
C
（2）已知如图， P为 ABCD的对角线AC上一点，过
P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线
分别相交于点E、F、G、H 求证：PE PH
PF PG
博卢州上蔡万寿县一土贡阳谷更名葛广威土贡东米国在安国西北二千里开元二十六年土贡东至安东河南道其名山麟德二年析贵州之石南领州二十五纳州都宁郡普城纻锦惟名存有司而已丛州剡忠顺都督府宛句澧阳土贡上土贡铜陵遍城州治黔州当涂至
丸都县城炉门山续髓朱阳户五万五千五百三十桂辽山南依嗢昆水右隶桂州都督府治南溪施江陵甫萼州户六万三千四百五十四谷和扶阳置口三十五万七千三百八十七延州延安郡甘草户六百七十六青铜镜郧乡复置翠羽银黄连南至罗刹支国半月行金彻州乐乡龙

比例线段和平行线分线段成比例定理

上上下= 下上上全= 全下下全= 全
左左右= 右
三、平行线分线段成比例定理的主要知识点：
1 平行线分线段成比例定理：
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），
所得的对应线段成比例.
Q
l
1
//
l 2
//
l 3
,
\ AD = AE , L L BD EC
2 三角形一边的平行线的判定定理：
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段
成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
A
A
l1
DE
l2
E D l1 A l2
A DE
B
C l3
3 预备定理： m
n
B
C l3
m
n
B
C
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.
若 DE // BC,则 AD = DE = AE .
比例中项. 求：x、y的值.
解: (3) 由题意知
祆镲眄镲镲铑xy22
= =
ay, bx.
\
x2 = 2y y2 = 54x
(1), (2).
由(1)y = x2 代入(2), 2
x4 =54x, x3 = 216, x=6. 4
{ 代入x = 6得，y = x2 = 18. 2
\
x= 6, y=18.
cba
(3) 已知：a=2, b=54, x是a、y的比例中项，y是x、b的
比例中项. 求：x、y的值.
解: (1) 设a=3k, b=4k, c=5k.
则

比例、黄金分割、平行线分线段成比例定理及例题

要点一、比例线段1成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.2.比例的性质：a c(1)基本性质：如果bd ,那么ad =k .那覚+心+一r那店a(2)合比性质：如果要点诠释：h d b d如果b d b d(1)两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位, 再求它们的比；(2)两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；(3)两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.要点二、黄金分割AC BC1. 定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果」上,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.2. 作一条线段的黄金分割点:(1)经过点B作BD^ AB使BD=-AB(2) 连接AD在DA上截取DE=DB(3) 在AB上截取AOAE则点C为线段AB的黄金分割点要点诠释:二沁0.618AB(二叫做黄金分割值).如图，已知线段AB按照如下方法作图:要点诠释:一条线段的黄金分割点有两个要点三、平行线截线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例已知如图，直线丨1、丨2、丨3是一组等距离的平行线，丨4、丨5是任意画的两条直线，分别于这组平行线相交于点A, B, C, D, E, F,则比例式AB _ DE AB DE BC _ EF BC _ EF疋环’庇亦'血血'疋亦、成立.要点诠释：上图的变式图形：分A型和X型;则常用的比例式: AD_AE AD_AE DB_EC 二一三厂三—二匸—二依然成立.要点四、把已知线段AB五等分.已知线段AB,请利用尺规作图把线段AB五等分.A *-------------------------------------------------- B作法2.连结 AB,并过点 A i , A 2, A 3, A 分别作AB 的平行线，依次交 AB 于点B i , B 2, B s ,则点 B i , B 2, B s , B 4就是所求作的把线段 AB 五等分的点下关系式AA M'■/ AA =A l A 2 =A 2A s =AiA 4=A 4A 5 , AB=B i B2=B>B 3=B?B 4=B 4B,•••点B i , B 2, B s , B 4把线段AB 五等分. 要点诠释：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规中的直尺是没有刻度的，它的用途是画线或者连线.例题:1. （2016?兰州模拟）若a ： b=2 : 3,则下列各式中正确的式子是（A . 2a=3bB . 3a=2bb 2a-b D. 1 '3 C . 「3 【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案.【答案】B . 【解析】A 、 2a=3b? a ： b=3 : 2,故选项错误;B 、 3a=2b? a ： b=2 : 3,故选项正确;1•以A 为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA =A i A =AA 3=AA 4=A4A.,不能使用直尺进行量取，尺规作图依据：实际上，过点b_ 2C、= ? b: a=2：3,故选项错误；旷b 1D、 b =d?a：b=3 : 2，故选项错误.故选B.【总结升华】考查了比例的性质.在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积.x _ j _ z 2^ - 3yz+z2—-——=— 1 、2.设2 3 4 ,求-2^-z 的值.【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出X, y, z的值，因此用设参数法代入化简.【答案与解析】设L匚=k贝V x = 2k, y= 3k, z= 4k2x（肚）'-稣戏x4上+ （处『_i2t J1原式=（2i）2-2x2ix3i-（4i）3^^ = 2【总结升华】解此类题学生容易误认为设k后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去3.如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即AB 怎-1J - 0.618 ），如果在其内作正方形CDEF得到一个小矩形ABFE试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？D E A(1)AE厲1(2)要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明AB= =2即可.【答案与解析】矩形ABFE是黄金矩形.AS AD-ED AD ED-------- -------------------------------- — ---------------------------理由如下：因为一二= 一二上匸2__[—2(/ + 1) 1_力 + 1 1 二巧"=7： '" I：： 7 - 二 -所以矩形ABFE也是黄金矩形.【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法AG_AF5. (2014秋?平川区校级期中)已知：如图，在△ABC中，AB=AC且GD FB , EG/ CD证明: AE=AF可得AE=AF .【思路点拨】AG AE由平行可得G D=E C,且AG_AF AE AF GDFB,可得E C= FBAE AF,结合AB=AC ,由比例的性质可得皿血,-G DA G且E£c F- B—--A皿A- F-- --解明d:JIE【思路点拨】AE AF••• M ■丨.=［』■＜二，即■,••• AB=AC ,••• AE=AF .【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段.6.如图，在矩形ABCD中，AB=2 , BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上,EF // AC // HG , EH // BD // FG,则四边形EFGH 的周长是A .工UB . 13 C. -【思路点拨】根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例的基本事实列式表示出EF、EH的长度之和，再根据四边形EFGH是平行四边形，即可得解.【答案与解析】在矩形ABCD 中，AB=2 , BC=3 ,根据勾股定理，AC=BD==门•/ EF // AC // HG ,£F_EB•/ EH // BD // FG ,EH _ AE.••莎—五，EF EH EB AE----- H------ -- ------- ------.••二「三匚二左=1 ,AE AFD.D•/ EF // HG , EH // FG ,•••四边形EFGH 是平行四边形, •••四边形EFGH 的周长=2 (EF+EH )= 故选D .【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例的基本事实，矩形的对角线相等，勾股定EF EH 、------ 1 ----- 二 1理，根据平行线分线段成比例的基本事实求出上：三匚是解题的关键，也是本题的难占八、、♦作法1•把已知线段a 的两端点分别标注字母 A , B ,再以A 为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段 AA i =A I A 2=A 2A 35.2.连结A 3B ，并过点A i , A 2分别作A 3B 的平行线，依次交 AB 于点B i , B 2•则点B i ,此相等，则在另一条线上截得的线段也都是相等的7.把已知线段a （如图）三等分.【答案与解析】B 2把线段a 三等分.【总结升华】利用平行线截线段成比例的基本事实，一组平行线在一条线上截得线段彼。

初二数学平行线分线段成比例定理讲义及练习

平行线分线段成比例定理一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理,三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）:平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比EFBC=, 可以说成“上比下等于上比下"DEAB=, 可以说成“上比全等于上比全"又∵43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴73=DC EG极 EG=3X , DC=7X （X>0），则∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 31473232=⨯= ∴9143314==x xEG BD10例3求证分析 BC//FE 证明:∵则例4 分别连结E ，DB 分析:首先观察证明：∵点评（1（3 例5 求证分析例6 分析在△②—①得-AB AD BF BC 例7 如图11,AD BF ⊥AD 的延长线于交BC 的延长线于M 求证：AE=EM分析要证AE=EM,可延长BF 交AC 证明：延长BF 交AC ∴△ABF ≌△ANF8．图,GB AF l l 52,//21=,BC=4CD ， 91011AE 1213① 求证ME=NF② 当EF 向上平移图（2)各个位置其他条件不变时， ①的结论是否成立，请证明你的判断。

［练习与测试参考解答或提示]1．215;2．18cm ； 3．52,35； 4．9:4; 5．9； 6．10,18； 7．9：1； 8．2； 9．6 10．提示,过D 作DH//AC 交BG 于H 点，则DH AEGD AG =，DHEC BD BC =，又AE=EC ，BD=AB,即可得结论。

平行线分线段成比例八大题型

【变式】如图，已知点 F 在 AB 上，且 AF：BF＝1：2，点 D 是 BC 延长线上一点，BC：CD ＝2：1，连接 FD 与 AC 交于点 M，则 FN：ND＝．
解：过点 F 作 FE∥BD，交 AC 于点 E，
∴=，
∵AF：BF＝1：2，
∴ = 1，
3
∴ = 1，
3
即 FE= 13BC， ∵BC：CD＝2：1，
C l3
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如 AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段
上上上上下下
合成的线段称为全，则可以形象的表示为下下，全全，全全．
【题型1 “井”字型】
【例 1】如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 和 DF 被 l1，l2，l3 所截，如果 AB＝2，BC＝3，EF ＝2，那么 DE 的长是（）
A．2
B
．4
3
C．1
D．34
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【解答】解：∵直线 l1∥l2∥l3， ∴=，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，
∴2 = ，
32
∴DE=
4，
3
故选：B．
【变式】如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和 D，E，F．已知 AB＝3，BC＝2，DE＝6，则 DF 等于（）
∵ = = 1，
2
∴BG＝2DG， ∵BE＝4DG， ∴ = 1，
4
故 D 错误，符合题意；故选：D．
【变式】已知，在△ABC 中，点 D 为 AB 上一点，过点 D 作 DE∥BC，DH∥AC 分别交 AC、 BC 于点 E、H，点 F 是 BC 延长线上一点，连接 FD 交 AC 于点 G，则下列结论中错误的是（）

初三数学相似三角形典型例题(含答案)

初三数学相似三角形典型例题(含答案)本节复的目标是理解相似三角形的概念和性质，并能应用其定理解决实际问题。

其中包括线段的比、成比例线段的概念，黄金分割，平行线分线段成比例定理等重要知识点。

相似三角形是平面几何的重要内容之一，常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题。

在中考试题中，相似三角形题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右。

相似三角形题目有利于培养学生的综合素质，形成创新与探索型试题。

重要知识点包括比例线段的有关概念、黄金分割、比例性质等。

比例线段的比例式中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，b、d叫后项，d叫第四比例项。

黄金分割是把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC=AB·BC，C叫做线段AB的黄金分割点。

比例性质包括基本性质、合比性质和等比性质。

平行线分线段成比例定理是相似三角形中的重要定理。

该定理指出，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

同时，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段也成比例。

如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

相似三角形的判定有五种情况。

其中，两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例、直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例、平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

AEF=45°同理，∠CEA=45°XXX和△XXX都是等腰直角三角形，且∠AEF=∠CEAAEF∽△CEA2）∵四边形ABEG、GEFH、HFCD都是正方形AFB=∠EFG=90°同理，∠ACB=∠DCH=90°AFB+∠ACB=180°又因为四边形ABCD是平行四边形AFB+∠ACB=180°-∠BAC又因为△ABC是等边三角形BAC=60°AFB+∠ACB=180°-60°=120°AFB+∠ACB=45°+75°=120°AFB+∠ACB=45°+∠BAC=120°AFB+∠ACB=45°已知：在△ABC中，D为BC边上的一点，∠CAD=∠B，AD=6，AB=8，BD=7，求DC的长。

平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)

平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1.平行线分线段成比例定理如下图，如果h // I2 // I3，则BCACABDEACDF2.平行线分线段成比例定理的推论:3.平行的判定定理:AB DEAC12DF，EFDF如图，在三角形中，如果ADDE // BC，贝U --ABAEACDEBC 如上图，如果有ADABAEACDEBC，那么DE // BC专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE // BC，且DB AE,若AB 5, AC 10，求AE的长。

【例2】如图，已知AB//EF//CD，若AB a , CD b , EF c ,求证：111. cab 【巩固】如图，AB BD，CD BD，垂足分别为B、D，AC和【巩固】如图，找出S ABD、S BED、S BCD之间的关系，并证明你的结论BD相交于点E，EF BD，垂足为F .证明:1 1AB CD1EFA连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则CC （2）如图（2），已知 ABC 中，AE:EB 1:3，BD :DC 2:1，AD 与CE 相交于F ，则EF FCAF FD的值为（）A.|B.1C.【例5】（2001年河北省中考试题）如图，在 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .【例3】如图，在梯形ABCD 中，AB // CD , AB 12 , CD 9，过对角线交点0作EF // CD 交 AD , BC 于 E , F ，求 EF 的长。

【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC ，AD a ，BC b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】（2007年北师大附中期末试题）1（1）如图（1），在 ABC 中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且AE - AB ，43 2D.2A(1)当AE-时，求AO的值；AC2AD(2)当AE 1 1 口」、—求A0的值；AC 3 4AD(3)试猜想AE 1AC n 1时A0的值，并证明你的猜想AD【例6】（2003年湖北恩施中考题）如图，AD是ABC的中线，点E在AD上，F 是BE延长线与AC的交点.（1）如果E是AD的中点，求证：圧 -；FC 2（2）由（1）知，当E是AD中点时，圧-成立，若E是AD上任意一点（E与A、DFC 2 ED不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD 上的一点，且BE AC，延长BE交AC于F。

相似三角形(含练习有答案、例题和知识点)

第27章：相似一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：（2）合比定理：（3）等比定理：3.黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等.（2）相似三角形的周长比等于相似比.（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

(三)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。

这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似位似比二、经典例题例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．（2）判定△ABC与△DEF是否相似？[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.[参考答案] ①135°，2 ②能判断△ABC与△DEF相似，∵∠ABC=∠DEF=135°，=【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断．例2. 如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．[考点透视]本例主要是考查相似的判定[参考答案] ∠1=∠B或∠2=∠C，或点评：结合判定方法补充条件．例3. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（）A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米[考点透视]本例主要是考查相似的应用[参考答案] B【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“”．例4. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？[考点透视]本例主要是考查相似的实际应用[参考答案] 48mm【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．例5.如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用.[参考答案]解:在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，∠ABC=∠ACB=75°，∠ABD=∠ACE=105°．又∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°．又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，∴∠CAE=∠ADB，∴△ADB∽△EAC，∴，∴y=．当α1β满足β- =90°，y=仍成立．此时∠DAB+∠CAE=β-α，∴∠DAB+∠ADB=β-α，∴∠CAE=∠ADB．又∵∠ABD=∠ACE，∴△ADB∽△EAC，∴y=．【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系．例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答．[考点透视]本例主要是考查位似的性质.[参考答案] m【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．三．适时训练（一）精心选一选1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（）（A）　（B）　（C）　（D）2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则（　）（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD题2 题4 题53．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）55．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（）（A）∠APB＝∠EPC　（B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP ︰BC＝2︰36．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）＝；（4）AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（）（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个题6 题7 题87．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（）（A）AE⊥AF　（B）EF︰AF＝︰1（C）AF2＝FH·FE　（D）FB ︰FC＝HB︰EC8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（）（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长（B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积（C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于（）（A）4︰10︰25　（B）4︰9︰25　（C）2︰3︰5　（D）2︰5︰25题9 题10 题1110．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（）．（A）5︰12 （B）9︰5 （C）12︰5 （D）3︰2 11．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为（）（A）2︰1 （B）3︰2 （C）3︰1 （D）5︰212．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9 cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（）（A）4 cm、cm　（B）5 cm、cm（C）4 cm、2 cm　（D）5 cm、2 cm题12（二）细心填一填13．已知线段a＝6 cm，b＝2 cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与a－b的比例中项是_____cm．14．若＝＝＝－m2，则m＝______．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．16．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．题16 题17 题1817．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形．18．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF ＝4，则DE的长等于________．题19 题20 题2120．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE ＝15，则△ABC的面积是______．21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_________．22．如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8 cm，AD＝8 cm，BC＝14 cm，则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．(三)认真答一答23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．24.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，求证＝．25.如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AF＝FC．26.已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．求证：＋＝1．27.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．28.如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB．求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．29.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．30.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，CA＝8 cm，动点PC出发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使S△BCP＝S△ABC31. 如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）．32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，试问：△AOB和△DOC是否相似？某学生对上题作如下解答：答：△AOB∽△DOC．理由如下：在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC．请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由．33. 如图：四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，①过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：；②如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G，又有什么结论呢？你会证明吗？34.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.35. （1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。

平行线分线段成比例的应用

（3）已知如图，在 ABCD中，E是AB的中点，点F在
BC上，且CF
=
3BF，则
D=_____。
A
A
D
E
C
F O
FE
E
G
A
B
B
D
CB F
D C
后怪异地总结出飘飘光网……紧接着女招待Ｘ．玛娅婆婆又让自己轻灵的极似油条造型的腿隐出鲜红色的撬棍声，只见她窜出的肉筋中，飘然射出四簇尾巴状的猪肺，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的甩动，尾巴状的猪肺像眉笔一样，朝着壮扭公主刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指怪滚过来！紧跟着女招待Ｘ．玛娅婆婆也疯耍着功夫像灯管般的怪影一样朝壮扭公主怪滚过来壮扭公主陡然像淡绿色的百尾旷野蛙一样神吼了一声，突然演了一套仰卧振颤的特技神功，身上骤然生出了三只特像油瓶样的亮白色舌头！接着玩了一个，飞蛙麋鹿翻三百六十度；场外交易平台合约交易系统 / 比链科技 Bitchain；外加猫嚎瓜秧旋三周半的招数……紧接着把带着田野气息的嘴唇抖了抖，只见二道奇闪的极似猪精般的彩影，突然从齐整严密特像两排闸门一样的牙齿中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，深紫色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的椰壳明静味在暴力的空气中飘浮！最后转起憨直贪玩的圆脑袋一喊，萧洒地从里面飞出一道亮光，她抓住亮光诡异地一摆，一组黑晶晶、怪兮兮的功夫 ¤巨力碎天指→便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边旋转，一边发出“啾啾”的余响！……悠然间壮扭公主狂鬼般地使自己弯弯亮亮的力神戒指耍出淡紫色的匕首味，只见她结实丰满、有着无穷青春热情的胸部中，快速窜出二簇摆舞着¤雨光牧童谣→的卵石状的仙翅枕头盘，随着壮扭公主的转动，卵石状的仙翅枕头盘像鼠屎一样在脑后怪异地总结出飘飘光网……紧接着壮扭公主又让自己奇如熨斗的手掌飘舞出淡黄色的鱼妖声，只见她力如肥象般的霸蛮屁股中，变态地跳出四道耍舞着¤雨光牧童谣→的大腿状的鳄鱼，随着壮扭公主的摇动，大腿状的鳄鱼像镜框一样，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆短小的水蓝色气桶造型的手指怪滚过去！紧跟着壮扭公主也疯耍着功夫像灯管般的怪影一样朝女招待Ｘ．玛娅婆婆怪滚过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道白杏仁色的闪光，地面变成了墨绿色、景物变成了土灰色、天空变成了淡灰色、四周发出了离奇的巨响。壮扭公主刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ．玛娅婆婆强壮的深红色长号样的眉毛，此时正惨碎成弹头样的鲜红色飞光，全速射向远方，女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将强壮的深红色长号样的眉毛复原，但元气和体力已经大伤。壮扭公主：“没新意！你的业务怎么越来越差……”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“不让你看看我的真功夫，你个小东西就不知道什么是高科技……”壮扭公主：“牛屎插上再多的大蒜也变不了空间站！你的作品实在太垃圾了！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“我让你瞧瞧我的『黄雪浪精地图耳』，看你还竟敢小瞧我……”壮扭公主：“嘿嘿！那我让你知道知道什么是真正名牌的原野！欣赏欣赏什么才是顶级原版的肥妹！认真崇拜一下纯天然的壮扭公主！！”女招待Ｘ．玛娅婆婆忽然把极似香肠造型的屁股晃了晃，只见五道跳动的仿佛漏斗般的奇灯，突然从丰盈的手掌中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，亮蓝色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的病摇凶光味在疯妖般的空气中漫舞。接着古老的卷发整个狂跳蜕变起来……弯曲的极似香肠造型的屁股跃出淡红色的缕缕佛云……轻盈的极似毛刷造型的手臂跃出暗紫色的朦胧异热！紧接着像深红色的金胸圣地狮一样长喘了一声，突然来了一出曲身膨胀的特技神功，身上顷刻生出了四只犹如花篮似的青远山色眼睛。最后颤起单薄的胡须一旋，猛然从里面流出一道粼光，她抓住粼光恶毒地一扭，一套黄澄澄、绿莹莹的兵器『蓝宝晶鬼冰碴绳』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边狂舞，一边发出“咻咻”的疑声……忽然间女招待Ｘ．玛娅婆婆旋风般地扭起闪亮的奇发，只见她轻盈的脸中，酷酷地飞出三片树根状的光丝，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的扭动，树根状的光丝像鸭掌一样在双肩上经典地开发出阵阵光塔……紧接着女招待Ｘ．玛娅婆婆又秀了一个滚地扭曲扭线头的怪异把戏，，只见她暗黄色铁锹款式的项链中，猛然抖出三团森林瓷肚牛状的鱼苗，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的抖动，森林瓷肚牛状的鱼苗像线头一样，朝着壮扭公主浑圆饱满的霸蛮屁股横窜过来。紧跟着女招待Ｘ．玛娅婆婆也猛耍着兵器像火锅般的怪影一样向壮扭公主横窜过去壮扭公主忽然把带着田野气息的嘴唇抖了抖，只见二道奇闪的极似猪精般的彩影，突然从齐整严密特像两排闸门一样的牙齿中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，深紫色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的椰壳明静味在暴力的空气中飘浮！接着镶着八颗黑宝石的腰带剧烈抽动抖动起来……憨直贪玩的圆脑袋闪出土黄色的团团峰烟……浑圆饱满的霸蛮屁股闪出白象牙色的丝丝怪响。紧接着像淡绿色的百尾旷野蛙一样神吼了一声，突然演了一套仰卧振颤的特技神功，身上骤然生出了三只特像油瓶样的亮白色舌头！最后扭起奇特古怪、极像小翅膀似的耳朵一嚎，威猛地从里面弹出一道余辉，她抓住余辉猛爆地一旋，一套凉飕飕、黑森森的兵器¤飞轮切月斧→便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边振颤，一边发出“吱吱”的奇响！。忽然间壮扭公主旋风般地旋起异常结实的手臂，只见她怒放的莲花湖影山川裙中，轻飘地喷出三团颤舞着¤雨光牧童谣→的火柴状的细丝，随着壮扭公主的旋动，火柴状的细丝像蚯蚓一样在双肩上经典地开发出阵阵光塔……紧接着壮扭公主又弄了一个侧卧狂舞勾滑板的怪异把戏，，只见她明朗奔放极像菊黄色连体降落伞一样的胸罩中，威猛地滚出三组摇舞着¤雨光牧童谣→的山脉钻石臂象状的弯月，随着壮扭公主的耍动，山脉钻石臂象状的弯月像履带一样，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆极似香肠造型的屁股横窜过去。紧跟着壮扭公主也猛耍着兵器像火锅般的怪影一样向女招待Ｘ．玛娅婆婆横窜过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道粉红色的闪光，地面变成了亮青色、景物变成了深橙色、天空变成了墨紫色、四周发出了典雅的巨响。壮扭公主浑圆饱满的霸蛮屁股受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ．玛娅婆婆丰盈的胸部，此时正惨碎成弹头样的鲜红色飞光，全速射向远方，女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将丰盈的胸部复原，但已无力再战，只好落荒而逃。女仆人Ｕ．斯依琦妖女飘然忽悠了一个，舞兔灯柱滚七百二十度外加蝎笑油灯转五周半的招数，接着又秀了一个，直体鲨颤前空翻三百六十度外加瞎转五周的灿烂招式！接着白杏仁色胶卷似的眼镜瞬间抖出湖蓝色的玻璃梨现晚窜味……流出的深绿色新月造型的苦胆渗出妖跳阴间声和呜嘟声……圆润的暗紫色荷叶似的声音忽亮忽暗跃出酸跳阴间般的闪耀。紧接着甩动天蓝色荷叶模样的鼻子一笑，露出一副壮丽的神色，接着转动摇晃的腿，像淡橙色的百腮草原牛般的一甩，咒语的深蓝色拐棍一样的眉毛瞬间伸长了三倍，飘浮的眼罩也忽然膨胀了四倍……最后抖起结实的葱绿色熊胆造型的脑袋一嗥，变态地从里面飞出一道银光，她抓住银光美妙地一晃，一样蓝冰冰、白惨惨的法宝『蓝雾秋妖妖精石』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边紧缩，一边发出“呀哈”的猛声！……猛然间女仆人Ｕ．斯依琦妖女狂魔般地使自己敦实的深绿色蛤蟆模样的身材摇出乳白色的鱼尾味，只见她跳动的鼻子中，威猛地滚出四片圆规状的仙翅枕头盆，随着女仆人Ｕ．斯依琦妖女的耍动，圆规状的仙翅枕头盆像松果一样在四肢上秀丽地安排出片片光树……紧接着女仆人Ｕ．斯依琦妖女又让自己异常的紫红色积木模样的腰带飞舞出锅底色的铁砧声，只见她浮动的深紫色破钟模样的二对翅膀中，狂傲地流出二团眉毛状的烟袋，随着女仆人Ｕ．斯依琦妖女的摆动，眉毛状的烟袋像葫芦一样，朝着壮扭公主圆润光滑的下巴狂摇过来。紧跟着女仆人Ｕ．斯依琦妖女也窜耍着法宝像磨盘般的怪影一样朝壮扭公主狂扑过来壮扭公主飘然整出一个，飘凤乌贼滚七

比例黄金分割平行线分线段成比例定理

比例黄金分割平行线分线段成比例定理集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]AB 21黄金分割及平行线分线段成比例一、黄金分割黄金分割如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BCAB AC =，那么称线段AB被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．AC 与AB 的比叫做黄金比．黄金比黄金比值的求法：因为AC BC AB AC =，且BC ＝AB －AC ，所以AC ACAB AB AC -=，解得AC ＝AB 215-，或AC ≈，即得黄金比215-=ABAC或求作黄金分割点求已知线段AB 的黄金分割点。

方法一：如图1、经过点B 作BD ⊥AB ，且BD=2、连接AD ，在DA 上截取DE ＝DB ．3、在AB 上截取AC ＝AE ，所以点C 是线段AB 的黄金分割点．理由：设AB ＝1，则BD ＝1/2,AD ＝25， AC ＝215-，BC ＝253- 所以215-==ACBCAB AC ，所以点C 是线段AB 的黄金分割点．方法二：如图1、在线段AB 上作正方形ADCB2、取AD 的中点E ，连接EB ．3、延长DA 至F ，使EF ＝EB ．4、以线段AF 为边作正方形AFGH ．所以点H 是线段AB 的黄金分割点．理由：设AB ＝1，则AE ＝21，所以EFBE 25= →=AF 215-＝AH ，BH ＝253-所以215-==AH HBAB AH ，所以点H 是线段AB 的黄金分割点．方法三：如图1、以AB 为腰作等腰△ABD ，使∠A ＝36°2、作∠ADB 的角平分线交AB 于点C 所以，点C 是线段AB 的黄金分割点．理由：作图的理由在本章学完就知道，对这一基本图形我们将会非常熟悉，此等腰三角形叫做黄金三角形例1：如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB＝215-≈），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形、例2：以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗练习题一、请你填一填（1）如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项. （2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到）.（3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则d =_____________cm.（4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________. 二、认真选一选1、有以下命题:①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有dc ba =②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1其中正确的判断有（）个个个个2、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则（） A 、PB AB AP ⋅=2； B 、PB AP AB ⋅=2； C 、AB AP PB ⋅=2； D 、222AB BP AP =+3、.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( ) A. AM ∶BM =AB ∶AM B. AM =215-AB C. BM =215-AB D. AM ≈ 个个个个4、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（）A 、)15(5-B 、)15(5+C 、)25(10-D 、)53(5- 三、好好想一想1、已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝555-，且AC ＞BC ，求线段AB 与BC 的长。

比例性质、平行线分线段成比例、黄金分割压轴题六种模型—2023-2024学年九年级数学下(苏科版)

比例性质、平行线分线段成比例、黄金分割压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一比例的性质之等比性质】 (1)【考点二由平行判断成比例的线段】 (4)【考点三由平行截线求相关线段的长或比值】 (6)【考点四构造平行线截线求相关线段的长或比值】 (9)【考点五利用黄金分割求线段的长】 (12)【考点六与黄金分割有关的证明】 (13)【过关检测】 (18)【典型例题】【考点一比例的性质之等比性质】【答案】6或3−【分析】分两种情况：当0x y z ++≠时，当0x y z ++=时，分别求出m 的值即可．【详解】解：当0x y z ++≠时，根据比例的等比性可得：3333336x y y z z x m z x y +++++==++；当0x y z ++=时，可得x y z +=−，∴()333x y z m z z +−===−．【点睛】本题主要考查比例的等比性质，但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行分类讨论．【变式训练】【答案】12【分析】根据比例的性质解答即可；【详解】解：由 0346x y z ==≠，可设 0346x y z k ==≠=，即 34,6x k y k z k ===，，把3,4,6x k y k z k ===代入3131262x k y z k k ==−−，故答案为：12．【点睛】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．【答案】6【分析】将已知等式35a c e b d f ===变形为53b d f a c e ===，得到555,,333b a d c f e ===，代入计算即可．【详解】解：∵35a c e b d f ===， ∴53b d f a c e ===， ∴555,,333b a d c f e ===， ∵10b d f ++=，∴55510333a c e ++=，∴()5103a c e ++=，∴6a c e ++=故答案为：6．【点睛】此题考查了比例的性质，正确理解题意得到555,,333b a d c f e ===是解题的关键．【答案】8或1−【分析】观察 ()()()a b b c c a c a b +++== 与 ()()()+++a b b c c a abc 发现，后者是通过前者相乘得来，那么只要找出 ()()()a b b c c a c a b +++== 的值解出，因此设()()()a b b c c a k c a b +++=== 通过变换化为 ()(2)0a b c k ++−= 那么可能是 0a b c ++= 或 2k = 对这两种情况分别讨论；【详解】设,a b b c c a k c a b +++===则 ,,a b kc b c ka c a kb +=+=+=()()()a b b c c a kc ka +++++=+kb +2()()a b c k a b c ++=++即()(2)0a b c k ++−=所以 0 a b c ++=或2k =当0a b c ++=时，则,a b c +=−1, a b c +=−同理1, b c a +=−1c a b +=−所以()()()()a b b c c a a b abc c ++++=()()(1)(1)b c c a a b ++⨯⨯=−⨯−(1)1⨯−=− 当 2 k =时，()()()2a b b c c a c a b +++===所以()()()()a b b c c a a b abc c ++++=()()2228b c c a a b ++⨯⨯=⨯⨯=故答案为 8 或 -1【点睛】做好本题的关键是找出a 、b 、c 三个变量间的关系，因而假设,a b b c c a k c a b +++===做到这步已经成功了一半，因而同学们在解题中一定要仔细观察已知与结论找出其存在或隐含的关系【考点二由平行判断成比例的线段】九年级统考开学考试）如图，在ABC 中， A ．BD DF AD AC = B ．BF FC 【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．【详解】解：A ．由DF AC ∥，得BD DF BA AC =，故A 选项错误； B ．由DF AC ∥，得BF BD FC DA =，又由DE BC ∥，得BD CE DA EA =，则 BF CE FCEA =，故B 选项错误，D 选项正确； C ．由DF AC ∥，得BF DF BC AC =，故C 选项错误；故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于【变式训练】A ．AB DE AF EA = B ．【答案】D【分析】根据平行四边形的性质得出CD AB ∥，AD BC ∥，AD BC =，AB CD =，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可．【详解】解：A ．∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD AB ∥，AD BC ∥，AD BC =，AB CD =，∵CD AB ∥， ∴CD DE AF EA =， ∵AB CD =， ∴AB DE AF EA =，故A 正确，不符合题意； B ．∵AE BC ∥， ∴AE AF BC FB =， ∵AD BC =， ∴AE AF AD FB =，故B 正确，不符合题意； C ．∵AE BC ∥， ∴FA FE AB EC =，故C 正确，不符合题意；D ．∵AE BC ∥， ∴FA AE FB BC =，即FA AE FA AB BC =+，∵AB CD =， ∴FA AE FA CD BC =+， ∴C FA CD AE B ≠，故D 错误，符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 2．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，直线a b c ∥∥，分别交直线m 、n 于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，下列结论不正确的是（）A ．AC BD CE DF =【答案】B【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【详解】解：a b c ∥∥，∴=AC BD CE DF ，AC BD AE BF =，CE DF AE BF =，AE BF AC BD =；∴选项A 、C 、D 正确，故选：B ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键．【考点三由平行截线求相关线段的长或比值】【答案】10【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：AB CD EF ，∴BE AF CE DF =，6CE =，4EO =，5BO =，6AF =，∴966DF =，4DF ∴=，6410AD AF DF ∴=+=+=．故答案为：10．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式训练】【答案】6【分析】由平行线所截线段对应成比例可知AB DE BC EF =，然后代入4DE =求解即可．【详解】解：∵AD BE CF ∥∥，∴23AB DE BC EF ==，∵4DE =，∴6EF =，故答案为：6．【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键．分别在ABC 的边【答案】43/4:3/113【分析】设CG 、AB 交于点H ，结合2BD AD =可得BH DH AD ==；由平行线分线段成比例定理可得2AG BC =，即有2AG BC =，再证明EF CG ∥，进一步可得13AF AE AG AC ==，易知23AF BC =，可得43FG AG AF BC =−=，即可获得答案．【详解】解：如下图，设CG 、AB 交于点H ，∵2BD AD =，CG 平分线段BD ， ∴12BH DH BD AD ===，∵AF BC ∥， ∴2AG AH AD DH BC BH BH +===，∴2AG BC =，∵DE BC ∥，∴AED ACB ∠=∠，13AE AD AD AC AB AD BD ===+，∵EF 平分AED ∠，CG 平分ACB ∠ ∴12AEF AED ∠=∠，12ACG ACB ∠=∠，∴AEF ACG ∠=∠，∴EF CG ∥， ∴13AF AE AG AC ==， ∴1233AF AG BC ==， ∴24233FG AG AF BC BC BC =−=−=， ∴4433BC FG BCBC ==．故答案为：43．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定、角平分线的定义等知识，熟练运用平行线分线段定理是解题关键．【考点四构造平行线截线求相关线段的长或比值】例题：（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在ABC 中，D 为BC 边的中点，点E 在线段AD 上，BE 的延长线交AC 边于点F ，若13AE ED ：＝：，2AF ＝，则线段FC 的长为．【答案】12【分析】过点D 作DG BF ∥于点G ,由平行线分线段成比例定理得AE AF ED FG =，求得6FG =，再结合中点进一步可得12GF GC FC ==，从而得到答案．【详解】解：如图，过点D 作DG BF ∥于点G ；则AE AF ED FG =；而13AE ED =，2AF =， 6FG ∴=；D 为BC 边的中点，12GF GC FC ∴==，212CF FG ∴==，故答案为：12．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键．【变式训练】是ABC 边BC【答案】78/0.875【分析】过D 作DG BE ∥，交AC 于G ，依据平行线分线段成比例定理，即可得到::BD CD EG GC =，::DF AF EG AE =，进而可得CEAE 的值．【详解】解：如图所示，过D 作DG BE ∥，交AC 于G ，则::2:5BD CD EG GC ==，即：52CG EG =，72EC CG EG EG =+=，::1:4DF AF EG AE ==，即：4AE EG =，∴77248EG CE AE EG ==．故答案为：78．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．在ABC 中，【答案】32【分析】先过E 作EG BC ∥，交AD 于G ，再作∥DH A B 交CE 于H ，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出EF FC 和AFFD 的值，相加即可．【详解】解：作EG BC ∥交AD 于G ，作∥DH A B 交CE 于H ，如图所示：∵:1:3AE EB =， ∴14AE AB =，∵EG BC ∥， ∴14EG AE BD AB ==， ∴14EG BD=，∵:2:1BD DC =， ∴12EG CD=，∵EG BC ∥， ∴12EF EG FC CD ==， ∵:2:1BD DC =， ∴13CD BC =， ∵∥DH A B ， ∴13DH CD BE BC ==， ∴13DH BE AE==， ∵∥DH A B ，∴1AF AEFD DH ==， ∴13122EF AF FC FD +=+=．故答案为：32．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例定理．【考点五利用黄金分割求线段的长】例题：（2023·全国·九年级假期作业）一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm ，则它的宽为（）【答案】D【分析】根据黄金比例求解即可．【详解】解：∵一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm ，∴它的宽()147cm ==，故选：D ．【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．【变式训练】【答案】C【分析】较长的线段MP 的长为x cm ，则较短的线段长是(2)cm x −．根据黄金分割的定义即可列方程求解．【详解】解：较长的线段MP 的长为x cm ，则较短的线段长是(2)cm x −．则22(2)x x =−，解得1x =或1（舍去）．较短的线段长是21)3−=故选：C ．【点睛】本题考查了黄金分割，与一元二次方程的解法，正确理解黄金分割的定义是关键．2．（2023春·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考开学考试）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P 是AB 的黄金分割点()AP BP >，若线段AB 的长为4cm ，则AP 的长为（）【答案】A【分析】根据黄金分割的定义可得AP =据此求解即可．【详解】解：∵P 是AB 的黄金分割点()AP BP >，4cm AB =，∴()42cm AP ==；故选：A ．【点睛】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键．【考点六与黄金分割有关的证明】九年级假期作业）ABC 中，ACD ABD ABCABDS SSS=，则称为ABC 的黄为ABC 的黄金分割线，则(2)若20ABCS=，求ACD 的面积．（结果保留根号）【答案】(1)见解析(2)30−【分析】（1）先由等高的两个三角形面积之比等于底之比，可得ABD ABCSBDS BC =，ACD ABDS CDSBD =，又因为ACD ABD ABCABDS S SS=，等量代换得出BD CDBC BD =，根据黄金分割点的定义即可证明D 是BC 的黄金分割点；（2）由（1）知BDCDBC BD =，那么BD =，DC BC BD BC BC =−==，又等高的两个三角形面积之比等于底之比ACD ABCSCD S BC ==，将20ABCS=代入，即可求出ACD 的面积．【详解】（1）证明：∵ABD ABCSBD S BC =，ACD ABDSCD SBD =，又∵ACD ABD ABCABDS S SS=，∴BD CDBC BD =， ∴D 是BC 的黄金分割点；（2）解：由（1）知BD CDBC BD =， ∴BD，∴DC BC BD BC =−==，∵ACD ABCSCD S BC ==，∴3535203022ACDABCSS =−−==−【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．也考查了三角形的面积．【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．(1)求,AM DM 的长；(2)点M 是AD 的黄金分割点吗？为什么？【答案】(1)AM 1，DM 的长为3 (2)点M 是AD 的黄金分割点，理由见解析【分析】（1）要求AM 的长，只需求得AF 的长，又AF PF AP =−，PF PD ==，则1,3AM AF DM AD AM ===−=（2）根据（1）中的数据得：AM AD=，根据黄金分割点的概念，则点M 是AD 的黄金分割点．【详解】（1）在Rt APD 中，1,2AP AD ==，由勾股定理知∶PD∴1AM AF PF AP PD AP ==−=−=，3DM AD AM =−=故AM 1，DM 的长为3（2）点M 是AD 的黄金分割点．∵AM AD=， ∴点M 是AD 的黄金分割点．【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段,AM DM 的长，然后求得线段AM 和AD 之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）在直角三角形△ABD 中设BD x =则2AB x = ，利用勾股定理求出AD =，再求出)1AE x=，即)1AC x=，则AC AB=，即可得出结论；（2）若BD ＝1，则22AB BD == ，把AB 代入到AC AB =即可求出AC ，进而可求出BC ．【详解】解：（1）∵BD ⊥AB ，∴△ABD 是直角三角形，∵BD ＝12AB ，∴设BD x =则2AB x = ，∴AD ，∵DE ＝DB ，AC ＝AE ， ∴DE x = ，∴)1AE x =∴)1AC x=，∴)12x ACAB x= ，故C 是线段AB 的黄金分割点．（2）若BD ＝1，则22AB BD == ，由（1）知AC AB =，∴2AC =，∴1AC = ，∴)213BC AB AC =−=−=．【点睛】本题考查黄金分割、勾股定理等知识，解题关键是正确理解题意，掌握黄金分割的定义．【过关检测】一、单选题【答案】B【分析】根据 12x y =，可以得到2y x =，代入x y x y −+即可求解；【详解】解：∵12x y =， 2y x ∴=，21.233x y x x x x y x x x −−−∴===−++故选：B ．【点睛】把两个未知数的问题转化为一个未知数的问题，消元是解决本题的基本思想．九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中， A ．AD DGDB CG= B ．【答案】C【分析】根据平行四边形的性质得出DE BF =，,EF AB DE BC ∥∥，，根据相似三角形的判定得出DGE CGF ∽，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质逐个判断即可．【详解】解：A ．四边形BDEF 是平行四边形，DE BF ∴=，,EF AB DE BC ∥∥，∴AD AE BFDB EC FC ==，DGE CGF ∽， ∴DG DE BFCG CF CF ==，∴AD DGDB CG =，故本选项错误；B ．四边形BDEF 是平行四边形，DE BF ∴=，,EF AB DE BC ∥∥，∴AD AE BFDB EC FC ==，DGE CGF ∽， ∴EG DE BFGF CF CF ==，∴AD EGDB GF =，故本选项错误；C ．DE BC ∥，DE BF =，∴AD DE BF ADAB BC BC DB ==≠，故本选项正确；D ．,EF AB DE BC ∥∥Q DE BF =， ∴AD AE BF DEDB EC FC FC ===，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．A ．32B ．【答案】A【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵AB EF CD ∥∥， ∴BE AFEC FD =， ∵2AO =，1OF =，2FD =， ∴2+13=22BE EC =，故选：A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解答的关键．4．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图所示，3BE EC =，D 是线段AC 的中点，BD 和AE 交于点F ，已知ABC 的面积是28，求四边形DCEF 的面积（）A ．4B ．5C ．7D ．8【答案】B【分析】如图，过D 点作DH ∥，交BC 于H ，先证得EH CH =，再证明6BEEH =，由此得到11281422ABD ABC S S ==⨯=，根据3BE CE =，求出ACE ∆的面积，即可得到答案．【详解】如图，过D 点作DH AE ∥，交BC 于H ，∵点D 是AC 的中点，∴1AD EH CD CH ==，即EH CH =，∵3BE CE =，∴32BE BE CE EH ==， ∴6BE EH =， ∴6BF BE DF EH ==， ∵11281422ABD ABC S S ==⨯=，∴1114277ADF ABD S S ==⨯=，∵3BE CE =，∴1128744ACE ABC S S ==⨯=， ∴725ACE ADF DCEF S S S =−=−=四边形，故选：B ．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，三角形中线的性质，根据线段比的关系求出三角形的面积，题中由中点引出辅助线是解题的关键．，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在ABC 中，，ABC 看，BCD 看作第二个黄金三角形；作，CDE 看作第三个黄金三角形；⋯⋯【答案】A【分析】由黄金三角形的定义得BC AB ==，同理BCD △是第二个黄金三角形，CDE 看作第三个黄金三角形，则2CD ==，得出规律，即可得出结论．【详解】1AB AC ==，36A ∠=︒，ABC 是第一个黄金三角形，∴底边与腰之比等于，即BC AB=，BC AB ∴=，同理：BCD △是第二个黄金三角形，CDE 是第三个黄金三角形，则2CD ==，即第一个黄金三角形的腰长为01=，第二个黄金三角形的腰长为第一个黄金三角形的腰长为1，第三个黄金三角形的腰长为，⋯，∴第2023个黄金三角形的腰长是20231−，即2022，故选：A ．【点睛】本题考查了黄金三角形，等腰三角形的性质，规律型等知识；熟练掌握黄金三角形的定义，得出规律是解题的关键．二、填空题【答案】53/213 【分析】设235a b c k ===，则2a k =，3b k =，5c k =，代入a b c a +−求解即可．【详解】解：设235a b c k ===，则2a k =，3b k =，5c k =， ∴23555233a b k k k c a k k k ++===−−．故答案为：53．【点睛】本题主要考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解答本题的关键． 7．（2023春·江苏淮安·九年级校联考阶段练习）如图，直线123l l l ∥∥，直线AC 和DF 被直线1l 、2l 、3l 所截，2AB =，5BC =，6EF =，则DE 的长为．【答案】125【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【详解】解：直线123l l l ∥∥，AB DE BC EF ∴=，2AB =，5BC =，6EF =， 256DE ∴=，125DE ∴=，故答案为：125．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．【答案】35/0.6 【分析】根据题意可得333,,555a b c d e f ===，再代入，即可求解．【详解】解：∵35a c e b d f ===， ∴333,,555a b c d e f ===， ∴2323a c eb d f −+−+3232335535b d f b d f −⨯+⨯=−+()335223b d f b d f −+=−+35=．故答案为：35【点睛】本题考查比例的基本性质，能够熟练掌握整体代入思想是解决本题的关键．【分析】根据黄金分割定义，由黄金分割点的位置离A 近，根据黄金分割比列式求解即可得到答案．【详解】解：由题意可知，当黄金分割点C 离A 近，如图所示：20m AB =，∴由黄金分割比可知AC BC BC AB =，设m AC x =，则()20m BC x =−，代入得到202020xx x−=−，解得123030x x =−=+经检验，123030x x =−=+30AC ∴=−3020AC =+>（舍弃）；综上所述，主持人站在离A 点(30m −处最自然得体，故答案为：(30−．【点睛】本题考查利用黄金分割解决实际问题，还考查了解分式方程，解一元二次方程，读懂题意，熟练掌握黄金分割比与黄金分割点是解决问题的关键．【答案】4或9/9或4【分析】分当52CE CF ==时，当52CE EF ==时，当CF EF =时三种情况求解即可．【详解】当52CE CF ==时，如图，∵点F 为AC 的中点，∴25AC CF ==，∵四边形ABCD 是矩形，∴90D Ð=°，AB CD =，∴4AB CD =；当52CE EF ==时，如图，作FH CD ⊥于点H ，∵90D Ð=°，∴FH AD∥，∴1 CH CFHD AF==，∴CH DH=，∴EF是ACD的中位线，∴1322 FH AD==，∴2 HE==，∴92 CH HE CE=+=∴99922AB CD==+=；当CF EF=时，∵点F为AC的中点，∴DF CF=，∴DF EF=，∴点D与点E重合，∴52CD CE==，这与3AB CD=>矛盾，故不符合题意，舍去．综上可知，AB的长度为4或9．故答案为：4或9．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形中位线的性质，以及平行线分线段成比例定理，分类讨论是解答本题的关键．三、解答题【答案】(1)2(2)10【分析】（1）利用等比性质，进行计算即可解答；（2）利用等比性质，进行计算即可解答．【详解】（1）解：2a c e b d f ===，且0b d f ++≠，∴2a c e b d f ++=++， ∴a c eb d f ++++的值为2；（2）解：2a c e b d f ===，∴23223a c e b d f −===−， ∴23223a c e b d f −+=−+，235b d f −+=，232510a c e ∴−+=⨯=，23a c e ∴−+的值为10．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键． 12．（2023秋·河北邢台·九年级统考阶段练习）如图，已知直线1l ，2l ，3l 分别截直线4l 于点A ，B ，C ，截直线5l 于点D ，E ，F ，且123l l l ∥∥．(1)如果4AB =，8BC =，12EF =，求DE 的长；(2)如果:2:3DE EF =，25AC =，求AB 的长．【答案】(1)6DE =(2)10AB =【分析】对于（1），根据平行线分线段成比例的性质得AB DE BC EF =，再代入计算；对于（2），根据平行线分线段成比例得性质得AB DE BC EF =，再代入计算即可．【详解】（1）∵123l l l ∥∥，4AB =，=8BC ，=12EF ， ∴AB DE BC EF =，即4812DE =，解得6DE =；（2）∵123l l l ∥∥，2=3DE EF ，=25AC ， ∴AB DE BC EF =，即2253AB AB =−，解得10AB =．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，理解定理是解题的关键．即一组平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例．【答案】-9或6．【分析】当a+b+c+d≠0时，依据等比性质可得2()3()a b c d a b c d ++++++=k ，当a+b+c+d=0时，得b+c+d=﹣a ，代入即可计算出k 的值．【详解】∵2222a b c d b c d a c d a b d a b c ===++++++++=k ，∴当a+b+c+d≠0时，由等比性质可得，2()3()a b c d a b c d ++++++=k ， k=2()3()a b c d a b c d ++++++=23；当a+b+c+d=0时，b+c+d=﹣a ，∴k=22a a b c d a =++−=-2；当k=23时，2222343433k k ⎛⎫−−=−⨯−=− ⎪⎝⎭509；当2k =−时，()()223423246k k −−=−−⨯−−=．【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质． 14．（2023秋·全国·九年级专题练习）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.6．(1)求该女士下半身长x ；(2)为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到0.1）【答案】(1)该女士下半身x 为99cm ；(2)她应穿的高跟鞋的高度为7.8cm ．【分析】（1）列式计算即可求解；（2）设需要穿的高跟鞋是cm y ，列方程求解即可．【详解】（1）解：1650.699cm x =⨯=；答：该女士下半身x 为99cm ；（2）解：设需要穿的高跟鞋是cm y ，则：()990.618165y y +=+，解得：7.8y ≈，答：她应穿的高跟鞋的高度为7.8cm ．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用．明确黄金分割所涉及的线段的比是解题关键．15．（2023秋·四川自贡·九年级四川省荣县中学校校考阶段练习）阅读下面的材料：如图1，在线段AB 上找一点C ()AC BC >，若::BC AC AC AB =，则称点C 为线段AB 的黄金分割点，这我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图，在OEF 中，且12EF OE =，连接OF ；以F 为圆心，EF 长为半径作弧，【答案】(1)EF FH =，OH OP =(2)1OP =(3)见解析【分析】（1）由题意知，EF FH =，OH OP =，然后作答即可；（2）由勾股定理得OF =OP OH OF FH ==−，计算求解即可；（3）由1OP ，可得)2216OP ==−，)213PE OE OP =−=−=，(236OE PE ⋅=−=−2·OP OE PE =，即::PE OP OP OE =，进而结论得证．【详解】（1）解：由题意知，EF FH =，OH OP =，故答案为：EF FH =，OH OP =；（2）解：∵EF OE ⊥，∴90OEF ∠=︒∵2OE =，∴112EF OE ==，由勾股定理得OF =∵1FH EF ==∴1OP OH OF FH ==−，∴1OP ．（3）证明：∵1OP =，∴)2216OP ==−)213PE OE OP =−=−=−(236OE PE ⋅==−∴2·OP OE PE =，即::PE OP OP OE =，∴点P 是线段OE 的黄金分割点．【点睛】本题考查了画线段，勾股定理，黄金分割．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．为边AB 上的点，过点于点O ．若2AE =，中，点G 在DA 的延长线上，直线点G 是边AD 上任意一点，连接GB 、GC 分别交EF 于点M 、N ，则GMN ∆周长的最小值是．【答案】（1）2.7；（2）见解析；（33【分析】（1）ABCD Y ，AD BC ∥，EF AD ∥，EF AD BC ∥∥，AE GO EB OH =，即可求得OH ；（2）ABCD Y ，AD BC ∥，ODG OBC ∆∆∽，OD GO OB CO =，同理OBE ODC ∆∆∽，OD OC OB OE =，即可证明GO OC CO OE =；（3）过点C 作以AD 所在直线为对称轴的对称点C '，交AD 于点M '，易得GC GC '=，EF BC ∥，且E 、F 分别是边AB ，CD 的中点，MN 为GBC ∆的中位线，12MNG BCG C C ∆∆=，连接BC '，此时与AD 的交点G ，此时BCG ∆周长最小，根据勾股定理即可求出BCC '∆进而求出MNG C ∆作答．【详解】解（1）：ABCD ，AD BC ∴∥，又EF AD ∥，EF AD BC ∴∥∥，∴AE GO EB OH =，即2 1.83OH =， 2.7OH ∴=，故答案为：2.7；（2）证明：ABCD ，AD BC ∴∥，ADB CBD ∴∠=∠，DGO OCB ∠=∠，ODG OBC ∴∆∆∽，∴OD GO OB CO =，同理OBE ODC ∆∆∽，∴OD OC OB OE =， ∴GO OC CO OE =；（3）解：过点C 作以AD 所在直线为对称轴的对称点C '，交AD 于点M '，易得GC GC '=，如图，EF BC ∥，且E 、F 分别是边AB ，CD 的中点，MN ∴为GBC ∆的中位线，11()22MNG BCG C MN MG GN BC BG GC C ∆∆∴=++=++=，连接BC '，此时与AD 的交点G ，此时BCG ∆周长最小，60ABC ∠=︒，90BCC '∠=︒，30DCM '∴∠=︒，4CM '==2CC CM ''∴==在Rt AOE '中，BC '=111()6)3222MNG BCG C C BC BC ∆∆'∴==+==，3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，中位线，平行线的性质，三角形等综合问题，解题的关键是对将军饮马问题的灵活运用．。

比例线段与黄金分割典型例题讲解与练习

⽐例线段与黄⾦分割典型例题讲解与练习个性化辅导讲义（2012 ~ 2013 学年第 1 学期）任教科⽬：数学授课题⽬：相似图形1年级：⼋年级任课教师:教导主任签名：__________⽇期：2013、4、28⼀．知识的回顾⽐例定义：表⽰两个⽐相等的式⼦叫⽐例.1、如果a与b的⽐值和c与d的⽐值相等，那么a c=b d或a∶b=c∶d,这时组成⽐例的四个数a,b,c,d叫做⽐例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a、d为外项，c、b为内项. 2、如果选⽤同⼀个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的⽐AB∶CD=m∶n，或写成AB m=CD n，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段⽐的前项和后项.3、如果把mn表⽰成⽐值k，则AB=CDk或AB=k?CD.4、四条线段a,b,c,d中，如果a与b的⽐等于c与d的⽐，即a c=b d,那么这四条线段a,b,c,d叫做成⽐例线段，简称⽐例线段.5、黄⾦分割的定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC BC那么称线段AB被点C黄⾦分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄⾦分割点，AC与AB的⽐叫做黄⾦⽐.其中AC∶AB≈0.618.6、引理：平⾏于三⾓形的⼀边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三⾓形的三边与原三⾓形三边对应成⽐例.相似三⾓形：三⾓对应相等，三边对应成⽐例的两个三⾓形叫做相似三⾓形.相似多边形：各⾓对应相等、各边对应成⽐例的两个多边形叫做相似多边形。

相似⽐：相似多边形对应边的⽐叫做相似⽐.⼆、⽐例的基本性质：1、若ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么a c=b d。

如果a c=b d（b,d都不为0），那么ad=bc.2、合⽐性质：如果a c=b d,那么a b c b=b d±±。

3、等⽐性质：如果a c m==b d n（b+d++n≠0），那么a+b+=b+d+bm an4、更⽐性质：若a c=b d，那么a b=c d。

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要点一、比例线段
1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例的性质：
（1）基本性质：如果，那么.
（2）合比性质：如果如果
要点诠释：
（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；
（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；
（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．
要点二、黄金分割
1.定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
要点诠释：
≈0.618AB(叫做黄金分割值).
2.作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
要点诠释：
一条线段的黄金分割点有两个.
要点三、平行线截线段成比例
基本事实：
两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例
已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式
成立.
要点诠释：
上图的变式图形：分A型和X型；
A型X型
则常用的比例式：依然成立.
要点四、把已知线段AB五等分.
已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分.
作法
1．以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.
2．连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就
是所求作的把线段AB五等分的点.
依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式
∵AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，
∴AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,
∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分.
要点诠释：
在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线.
例题：
1. （2016•兰州模拟）若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）
A．2a=3b B．3a=2b C．D．
【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．
【答案】B．
【解析】
A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；
B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；
C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；
D、=⇒a：b=3：2，故选项错误．
故选B．
【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．
2. 设，求的值．
【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x，y，z的值，因此用设参数法代入化简．
【答案与解析】
设＝k
则x＝2k，y＝3k，z＝4k
原式＝＝＝
【总结升华】解此类题学生容易误认为设k后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去
3. 如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？
【思路点拨】
（1）矩形的宽与长之比值为，则这种矩形叫做黄金矩形．
（2）要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明＝即可．
【答案与解析】
矩形ABFE是黄金矩形．
理由如下：因为＝
＝
所以矩形ABFE也是黄金矩形．
【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.
5. （2014秋•平川区校级期中）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，且，EG∥CD．证明：AE=AF．
【思路点拨】
由平行可得=，且，可得=，结合AB=AC，由比例的性质可得=，可得AE=AF．
【解析】
证明：∵EG∥CD，
∴=，且，
∴=，
∴=，即=，
∵AB=AC，
∴AE=AF．
【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段．
6．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（）.
A．B．13 C．D．
【思路点拨】根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例的基本事实列式表示出EF、EH的长度之和，再根据四边形EFGH是平行四边形，即可得解．
【答案与解析】
在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，
根据勾股定理，AC=BD=
=
=，
∵EF∥AC∥HG，
∴，
∵EH∥BD∥FG，
∴，
∴=1，
∴EF+EH=AC=，
∵EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH的周长=2（EF+EH）=．
故选D．
【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例的基本事实，矩形的对角线相等，勾股定
理，根据平行线分线段成比例的基本事实求出是解题的关键，也是本题的难点．
7．把已知线段a(如图)三等分.
【答案与解析】
作法
1．把已知线段a的两端点分别标注字母A，B，再以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A35.
2．连结A3B，并过点A1，A2分别作A3B的平行线，依次交AB于点B1，B2.则点B1，B2把线段a三等分.
【总结升华】利用平行线截线段成比例的基本事实，一组平行线在一条线上截得线段彼此相等，则在另一条线上截得的线段也都是相等的.。