比例黄金分割平行线分线段成比例定理及例题

要点一、比例线段

1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

2．比例的性质：

（1）基本性质：如果，那么.

（2）合比性质：如果如果

要点诠释：

（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；

（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；

（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．

要点二、黄金分割

1.定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.

要点诠释：

≈0.618AB(叫做黄金分割值).

2.作一条线段的黄金分割点：

如图，已知线段AB，按照如下方法作图：

（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.

（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.

（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.

要点诠释：

一条线段的黄金分割点有两个.

要点三、平行线截线段成比例

基本事实：

两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例

已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式

成立.

要点诠释：

上图的变式图形：分A型和X型；

A型X型

则常用的比例式：依然成立.

要点四、把已知线段AB五等分.

已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分.

作法

1．以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.

2．连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就

是所求作的把线段AB五等分的点.

依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式

∵AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，

∴AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,

∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分.

要点诠释：

在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线.

例题：

1. （2016•兰州模拟）若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）

A．2a=3b B．3a=2b C．D．

【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．

【答案】B．

【解析】

A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；

B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；

C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；

D、=⇒a：b=3：2，故选项错误．

故选B．

【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．

2. 设，求的值．

【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x，y，z的值，因此用设参数法代入化简．

【答案与解析】

设＝k

则x＝2k，y＝3k，z＝4k

原式＝＝＝

【总结升华】解此类题学生容易误认为设k后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去

3. 如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？

【思路点拨】

（1）矩形的宽与长之比值为，则这种矩形叫做黄金矩形．

（2）要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明＝即可．

【答案与解析】

矩形ABFE是黄金矩形．

理由如下：因为＝

＝

所以矩形ABFE也是黄金矩形．

【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.

5. （2014秋•平川区校级期中）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，且，EG∥CD．证明：AE=AF．

【思路点拨】

由平行可得=，且，可得=，结合AB=AC，由比例的性质可得=，可得AE=AF．

【解析】

证明：∵EG∥CD，

∴=，且，

∴=，

∴=，即=，

∵AB=AC，

∴AE=AF．

【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段．

6．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（）.

A．B．13 C．D．

【思路点拨】根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例的基本事实列式表示出EF、EH的长度之和，再根据四边形EFGH是平行四边形，即可得解．

【答案与解析】

在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，

根据勾股定理，AC=BD=

=

=，

∵EF∥AC∥HG，

∴，

∵EH∥BD∥FG，

∴，

∴=1，

∴EF+EH=AC=，

∵EF∥HG，EH∥FG，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH的周长=2（EF+EH）=．

故选D．

【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例的基本事实，矩形的对角线相等，勾股定

理，根据平行线分线段成比例的基本事实求出是解题的关键，也是本题的难点．

7．把已知线段a(如图)三等分.

【答案与解析】

作法

1．把已知线段a的两端点分别标注字母A，B，再以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A35.

2．连结A3B，并过点A1，A2分别作A3B的平行线，依次交AB于点B1，B2.则点B1，B2把线段a三等分.

【总结升华】利用平行线截线段成比例的基本事实，一组平行线在一条线上截得线段彼此相等，则在另一条线上截得的线段也都是相等的.