弯曲梁的剪应力计算及强度计算

梁的弯曲强度符合要求
例6.5 悬臂工字钢梁AB，长l=1.2m，在自由端 有一集中荷载F，工字钢的型号为18号，已知 钢的许用应力[σ]=170Mpa，略去梁的自重， (1)试计算集中荷载F的最大许可值。 (2)若集中荷载为45 kN，确定工字钢的型号。
解：1.梁的弯矩图如图示，最大弯矩在靠近固定 端处，其绝对值为：
Iz 154mm Sz
ma x(IF zQ )d(154 1 2 .0 6 2 3)6 (1.53 0 1 03)2.6 216 0(N/m2)
Sz 2.6 2MP 1a0M 0 Pa
腹板上的最小剪应力为
min F IQ ZS b1 Z 2.2 1160 N/m 22.2 1MPa
（3）腹板所担负剪力的计算
弯曲时木材的容许应力 1.114 0kPa
试校核梁的强度。
2、 图示截面梁，横截面上剪力FQ=300kN， 试计算：（a）图中截面上的最大剪应力 和A点的剪应力；（b）图中腹板上的最大剪应 力，以及腹板与翼缘交界处的剪应力。
1、 弯曲正应力强度条件
弯曲正应力强度条件为：
maxW Mz max
要求梁内的最大弯曲正应力σmax不超过材料在 单向受力时的许用应力[σ]
利用上述强度条件，可以对梁进行三方面的计算： 正应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。
2、 弯曲剪应力强度条件
最大弯曲剪应力作用点处于纯剪切状态， 相应的强度条件为：
maxFQISzzbmaxmax
要求梁内的最大弯曲剪应力τmax不超过 材料在纯剪切时的许用剪应力[τ]
在一般细长的非薄壁截面梁中，最大弯曲正 应力远大于最大弯曲剪应力。
但是，对于薄壁截面梁与弯矩较小而剪力却较 大的梁，后者如短而粗的梁、集中荷载作用在支座 附近的梁等，则不仅应考虑弯曲正应力强度条件， 而且弯曲剪应力强度条件也可能起控制作用。
例6.4 图所示外伸梁，用铸铁制成，横截面为T字 形，并承受均布荷载q作用。试校该梁的强度。已 知荷载集度q=25N/mm，截面形心离底边与顶边的 距离分别为y1=95mm和y2=95mm，惯性矩Iz =8.84×10-6m4，许用拉应力[σt]=35MPa， 许用压应力[σc]=140Mpa。
解：（1）危险截面与危险点判断。
梁的弯矩如图示，在横截面D与B上，分别 作用有最大正弯矩与最大负弯矩，因此，该二 截面均为危险截面。
截面D与B的弯曲正应力分布分别如图示。 截面D的a点与截面B的d点处均受压；而截面 D的b点与截面B的c点处均受拉。
由于|MD|>|MB|，|ya|>|yd|,| 因此 |σa|>|σd|
即梁内的最在弯曲压应力σc,max发生在截面D 的a点处。至于最大弯曲拉应力σt,max, 究竟发生 在b点处，还是c点处，则须经计算后才能确定。
结论如下：
在承受相同荷载和截面面积相同时，工字梁所产生的最大拉应力最小。反 过来说，如果使三种截面所产生的最大拉应力相同时，工字梁所承受的荷载最 大。因此，工字形截面最为合理，矩形截面次之，圆形截面最差。
例题
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
Fபைடு நூலகம்
h
Mmax
FL 4
F＝20kN
A 3ｍ
B
C 3ｍ
解：该梁C截面的弯矩最大，
F＝20kN
Mmax=10×3=30kN.m ⑴矩形截面:
A 3ｍ
B
C 3ｍ
Wz
1 bh3 12
1h
bh2
6
32.67104mm3
2
m axM W m zax32 3 .6 07 11 00 3591.8M Pa
⑵圆形截面
A d 2 bh
按强度条件计算所需抗弯截面系数为：
W Z M m a5 x1 4 1 M 7 6 N 00P m 3 .1 a m 8 15 m 03 m 3c 13 m 8
查附录可知，22b号工字钢的 抗弯截面模量为325cm3 ， 所以可选用22b号工字钢。
例6.6 例8.5中的18号工字钢悬臂梁，按正应力 的强度计算，在自由端可承受的集中荷载
A 1(2.2 1160 )1 (
5 .6 81 0 3)2(1 3
5 .6 81 0 3)
(2.2 62.2 1)160389 13 0 0 (N/m )
F Q 1A 1 b 12.3 5 13(0 N )2.3 5 kN
可见，腹板所担岁的剪力占 整个截面剪力FQ的96.6%。
习题
1 、一矩形截面梁，梁上作用均布荷载， 已知：l=4m，b=14cm，h=21cm，q=2kN/m，
4 .最大剪应力
max1.5VA1.5
h h0
工字形截面梁
d z
t b
横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而 翼缘仅承担了(3--5) ％,且翼缘上的切应力情 况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计 的需要仅分析腹板上的切应力。
(二)、工字形(T字型)截面梁的剪应力
V S
Z
Izd
4
d 133.5m m
Wz
d4
64 d
d3
32
23.36103mm3
2
m axM W m zax23 3 .3 06 11 00 36128.4M Pa
⑶ 工字形截面。 选用50C号工字钢,其截面面积为139000mm2。
W z 2080103m m3
m axM W m zax20 38 00 11 00 3614.4M Pa
剪应力分布规律；剪应力的计算.强度计算 横截面上剪应力的计算、强度计算。
问题的引出
荷载靠近支座，剪力如何？
短梁上剪力如何？
前面我们学习了，梁弯曲时横截面 正应力分布规律及计算，在工程中，一 般正应力是梁破坏的主要因素。但是， 当梁的跨度很小或在支座附近有很大的 集中力作用，这时梁的最大弯矩比较小， 而剪力却很大，如果梁截面窄且高，这 时剪应力可达到相当大的数值，剪应力
6-4.2梁的剪应 力及强度计算
湖北省工业建筑学校建筑工程建筑力学多媒体课件
任课 教师
课 题
洪单平
授课 班级
12建筑工程
梁的弯曲应力（剪应力） 强度计算
授课 时间
2013/3 课型
学 时
2
面授
教学 方法
教学 目的
讲练结合
掌握梁弯曲时横截面剪应力分布规律；掌握剪应力的计 算.掌握强度计算
教学 重点
教学 难点
Iz1 Iz a2A 就不能忽略了。
一、梁的弯曲剪应力
(一)、矩形截面梁的弯曲剪应力
1.横截面上剪应力分布规律的假设
（1）横截面上各点处的剪应力方向与剪
力的方向一致(此处剪应力没规定正负
号）；
（2）横截面上至中性轴等距离各点的剪
应力相等，既沿截面宽度均匀分布。
V
2 .横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)
F=26.2KN。已知钢材的抗剪许用应力 [τ]=100Mpa。试按剪应力校核梁的强度， 绘出沿着工字钢腹板高度的剪应力分布图，
并计算腹板所担负的剪力FQ1。
解：（1）按剪应力的强度校核。
截面上的剪力FQ =26.2kN。 由附录查得18号工字钢截面的几个主要尺寸
Iz=1660×104mm4, 腹板上的最大剪应力
V S
Z
I zb
3V (1
2bh
4y2 h2
)
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处横截面的宽度
S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以下(或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩
3 .剪应力分布规律 剪应力沿截面高度按二次抛物 线规律分布 。上下边缘处 剪应力为零，中性轴上剪应力 最大。
S Z ( 2 m 0 1 m m 2 3 m 0 m 5 ) 8 .m 4 1 0 4 m 0 3 m
近似均匀分布
例 一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用 截面面积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面, 试求以三种截面的最大拉应力。设矩形截面高为 140mm,宽为100mm,面积为14000mm2。
Mmax=Fl=1.2F N·m 由附录中查得，18号工字钢的抗弯截面模量为
Wz=185×103mm3
公式(8.16)得：1.2F≤(185×10-6)(170×106)
F的最大许可值为：
[F]ma1x 85 17 02.6 2103N=26.2kN 1.2
(2)最大弯矩值 Mmax=Fl=1.2×45×103=54×103N·m
解： 1.最大弯曲剪应力。
最大弯曲剪应力发生 在中性轴上。中性轴 一侧的部分截面对中 性轴的静矩为：
Sz ycA
S z,m a (2 xm 0 1 m m 2 4 0 m m 5 )2 m 2m 0 9 m .0 2 14 m 5 03 m 2
最大弯曲剪应力：
(2).腹板、翼缘交接处的弯曲剪应力
WZ
bh 2 6
l2
l2
Fs m ax
F 2
F
max
3 2
Fs A
3 2
2 bh
3 F 4 bh
L 5 h
max 10 max
FL
b
max
Mmax WZ
4 1 bh
2
6
3 FL
max max
2 bh 2 3F
2L h
4 bh
3 FL 2 bh 2
细长等值梁
二、 梁的强度条件
为了保证梁的安全工作，梁最大应力不能超出一 定的限度，也即，梁必须要同时满足正应力强度 条件和剪应力强度条件。
（2）强度校核。
aM ID zya(5.5 8 6 .1 86 0 N 4 16m m 0 )9 (4m m 5 m0 )m 5.8 9 MPa
b
M D yb Iz
28.3MPa
c
M B yc Iz
33.6MPa
c,max a5.9 8MP ac
t,ma xc3.3 6MP at
腹板上的剪应力沿腹板高度按抛物 线规律变化(翼板上的剪应力很小 )
最大剪应力发生在中性轴上，工字形截面翼缘上承担了绝大部分弯矩，腹板 上承担绝大部分剪力。
最大剪应力实用计算公式
(三 )、圆截面梁的最大剪应力
max
4 3
V A
最大剪应力发生在中性轴上
腹板 面积 近似均匀分布
例 梁截面如图所示，横截面上剪力V=15KN。 试计算该截面的最大弯曲剪应力，以及腹板与 翼缘交接处的弯曲剪应力。截面的惯性矩 Iz=8.84×10-6m4。