最新高考数学中比较大小的策略
高考数学比大小压轴总结
高考数学比大小压轴总结
高考数学中，比大小问题一直是考点之一，也是了解和掌握考点的必要内容。
下面总结了一些相关参考内容，供参考：
1. 大小比较法则
（1）两个数相等，它们的大小关系也相等；
（2）两个正数比较大小时，绝对值越大的数越大；
（3）两个负数比较大小时，绝对值越小的数越大；
（4）正数与负数比较大小时，正数大于负数，绝对值越大的负数越小。
2. 倍数比较法则
（1）如果两个数相等，则它们的任何倍数之间比较大小关系也相等；
（2）如果两个数不相等，则它们的任何倍数之间比较大小关系与这两个数相等时的情况是相反的。
3. 分数大小比较法则
（1）同分母分数比较大小时，分子比较大小；
（2）异分母分数比较大小时，通分后分子比较大小。
4. 平均数大小比较法则
（1）若“小于平均数的数的个数”等于“大于平均数的数的个数”，则平均数等于中位数；
（2）若“小于平均数的数的个数”大于“大于平均数的数的个数”，则平均数小于中位数；
（3）若“小于平均数的数的个数”小于“大于平均数的数的个数”，则平均数大于中位数。
5. 三角形大小比较法则
（1）同底边三角形，高长的三角形面积大；
（2）等底边三角形中，底角小的三角形面积大；
（3）两个角大小相等的三角形，长边小的三角形面积大。
总之，掌握比大小问题的方法和技巧，积累相关的常识和知识点，在考试中更易应对各类比大小题目，顺利达成高考考试目标。
实数比较大小常用的基本方法与策略
og５ ５＝
y＝l
２５
聚焦新课程
１
１
１,
１
z＝e－ ２ ＞４－ ２ ＝ ,所以 y＜z＜x,故选 D．
２
２
１
解法 ２ x＝l
nπ＞l
ne＝１,
og５２＝
＜
y＝l
l
og２５
１
１,
１ １ １
z＝e－ ２ ＝ , ＜ ＜１,所以 y＜z＜x,选 D
２
e２ e
画函数 y＝l
og４x,
og５x 的图象,再取x＝
l
n３
解 法 １ a －b＝l
－
＝
＝
２
３
６
l
n８－l
n９ ,则
＜０ a＜b,同理可得c＜a,故c＜a＜b．
６
l
n３
解法 ２ b ＝２
＝l
og８９＞１,且 a＞０,
b＞０,所
a ３
l
n２
l
n２
以b＞a;又a ＝５
＝l
og２５３２＞１,且c＞０,
a＞０,所
c ２
l
n５
以 a＞c,综上,
b＞a＞c．
合理构造函 数,再 运 用 函 数 的 奇 偶 性、对 称 性 等 性 质
abc
２０１４ ２０１４
．
１
令 f(
x)＝l
n x －x,则 f
′(
x)＝ －１＝
x
１－x 当
． ０＜x＜１ 时,
′(
x)＞０,即 f(
x)在(
０,
１)上单
f
x
调递增 ．因为 １＞ １ ＞ １ ＞ １ ＞０,所 以 a＞
2022 年高考“比较大小”题目归类及解
２０２２年高考 比较大小 题目归类及解法耿㊀永(贵州省遵义市第十八中学㊀５６３０９９)摘㊀要:近几年ꎬ高考数学试卷中比较大小是热门题型ꎬ同时也是重点㊁难点ꎬ涉及到的知识主要有:作差法㊁作商法㊁找中间值法㊁切线放缩㊁不等式放缩㊁三角不等式㊁函数同构㊁泰勒展开式等.为了帮助学生更好地掌握 比较大小 题目的相关知识点ꎬ文章对２０２２年高考比较大小题目进行归纳整理ꎬ帮助学生准确理解㊁认识这类问题的常用解题方法.关键词:比较大小的方法ꎻ同构ꎻ放缩中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０１－００８５－０３收稿日期:２０２２－１０－０５作者简介:耿永(１９８４.９－)ꎬ男ꎬ贵州省遵义人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究ꎮ㊀㊀２０２２年全国甲卷理科第１２题㊁２０２２年全国甲卷文科第１２题涉及到的解法有作商法㊁三角不等式法㊁找中间值法㊁构造函数法及高等数学中的泰勒展开式放缩等ꎬ现就这两题给出部分解法ꎮ例１㊀(２０２２全国甲卷理科第１２题)已知ａ＝３１３２ꎬｂ＝ｃｏｓ１４ꎬｃ＝４ｓｉｎ１４ꎬ则ａꎬｂꎬｃ的大小关系为(㊀㊀).Ａ.ｃ>ｂ>ａ㊀Ｂ.ｂ>ａ>ｃ㊀Ｃ.ａ>ｂ>ｃ㊀Ｄ.ａ>ｃ>ｂ知识铺垫㊀㊀记ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘ－ｘꎬｘɪ(０ꎬπ２)ꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝ｃｏｓｘ－１<０在ｘɪ(０ꎬπ２)恒成立.所以ｆ(ｘ)在ｘɪ(０ꎬπ２)上单调递减.又ｆ(０)＝０ꎬ所以ｆ(ｘ)<０在ｘɪ(０ꎬπ２)恒成立.即ｓｉｎｘ<ｘꎬｘɪ(０ꎬπ２).记ｇ(ｘ)＝ｘ－ｔａｎｘꎬｘɪ(０ꎬπ２)ꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝１－１ｃｏｓ２ｘ＝ｃｏｓ２ｘ－１ｃｏｓ２ｘ<０在ｘɪ(０ꎬπ２)恒成立.所以ｇ(ｘ)在ｘɪ(０ꎬπ２)上单调递减ꎬｇ(０)＝０.所以ｇ(ｘ)<０在ｘɪ(０ꎬπ２)恒成立.即ｘ<ｔａｎｘꎬｘɪ(０ꎬπ２).综上ꎬ当ｘɪ(０ꎬπ２)时ꎬｓｉｎｘ<ｘ<ｔａｎｘ.由ｓｉｎｘ<ｘꎬｘɪ(０ꎬπ２)ꎬ可构造函数Ｆ(ｘ)＝－ｃｏｓｘ－１２ｘ２＋１ꎬｘɪ(０ꎬπ２)ꎬ则Ｆᶄ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘ－ｘ<０.所以Ｆ(ｘ)在ｘɪ(０ꎬπ２)上单调递减.又Ｆ(０)＝０ꎬ所以Ｆ(ｘ)<０在ｘɪ(０ꎬπ２)上恒成立.５８即ｃｏｓｘ>－１２ｘ２＋１在ｘɪ(０ꎬπ２)上恒成立.解法１㊀ｃｂ＝４ｓｉｎ１４ｃｏｓ１４＝４ｔａｎ１４>４ˑ１４＝１ꎬ因为ｂ>０ꎬｃ>０ꎬ所以ｃ>ｂ.由上述证明知:ｃｏｓｘ>－１２ｘ２＋１在ｘɪ(０ꎬπ２)上恒成立.令ｘ＝１４得ｃｏｓ１４>－１２ˑ１４æèçöø÷２＋１＝３１３２.所以ｂ>ａ.综上ꎬｃ>ｂ>ａ.故选Ａ解法２㊀由泰勒展开式:ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ０)＋ｆᶄｘ０()１!(ｘ－ｘ０)＋ｆᵡ(ｘ)２!(ｘ－ｘ０)２＋ｆ(ｎ)(ｘ０)ｎ!(ｘ－ｘ０)ｎ＋Ｒｎ.对于函数ｆ(ｘ)＝ｃｏｓｘ在ｘ０＝０处有ｃｏｓｘ＝１－１２!ｘ２＋１４!ｘ４－ (－１)ｋｘ２ｋ(２ｋ)!＋０(ｘ２ｋ).所以ｃｏｓｘ>－１２ｘ２＋１在ｘɪ(０ꎬπ２)上恒成立.令ｘ＝１４得ｃｏｓ１４>－１２ˑ１４æèçöø÷２＋１＝３１３２.所以ｂ>ａ.例２㊀(２０２２年全国甲卷文科第１２题)已知９ｍ＝１０ꎬａ＝１０ｍ－１１ꎬｂ＝８ｍ－９ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ａ>０>ｂ㊀Ｂ.ａ>ｂ>０㊀Ｃ.ｂ>ａ>０㊀Ｄ.ｂ>０>ａ解法１㊀由选项知:可找中间值法ꎬ取中间值０.若ａ>０ꎬ则１０ｍ－１１>０.即１０ｍ>１１ꎬｍ>ｌｇ１１.由９ｍ＝１０ꎬ得ｍ＝ｌｏｇ９１０.所以ｌｏｇ９１０>ｌｇ１１.即ｌｇ１０ｌｇ９>ｌｇ１１.即ｌｇ１０>ｌｇ９ ｌｇ１１.ｌｇ９ ｌｇ１１<ｌｇ９＋ｌｇ１１２æèçöø÷２＝ｌｇ９９２æèçöø÷２<１＝ｌｇ１０.所以ａ>０成立.若ｂ<０ꎬ则８ｍ－９<０.即８ｍ<９.即ｍ<ｌｏｇ８９.由９ｍ＝１０ꎬ得ｍ＝ｌｏｇ９１０.所以ｌｏｇ９１０<ｌｏｇ８９.即ｌｇ１０ｌｇ９<ｌｇ９ｌｇ８.即ｌｇ８ ｌｇ１０<(ｌｇ９)２.又ｌｇ８ ｌｇ１０<ｌｇ８＋ｌｇ１０２æèçöø÷２<ｌｇ８１２æèçöø÷２＝(ｌｇ９)２ꎬ所以ｂ<０成立.综上ꎬａ>０>ｂ.故选Ａ.解法２㊀由ａ＝１０ｍ－１１＝１０ｍ－１０－１ꎬｂ＝８ｍ－９＝８ｍ－８－１ꎬ可构造函数ｆ(ｘ)＝ｘｍ－ｘ－１ꎬ此时ａ＝ｆ(１０)ꎬｂ＝ｆ(８).而ｆ(９)＝９ｍ－９－１＝９ｍ－１０＝０ꎬ由９ｍ＝１０ꎬ得ｍ＝ｌｏｇ９１０ɪ(１ꎬ３２).又ｆᶄ(ｘ)＝ｍｘｍ－１－１ꎬ由ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ得ｍｘｍ－１＝１.即ｘ＝ｍ１１－ｍɪ(０ꎬ１).记ｘ０＝ｍ１１－ｍɪ(０ꎬ１)ꎬ如图１所示ꎬａ＝ｆ(１０)>０ꎬｂ＝ｆ(８)<０.图１综上ꎬａ>０>ｂ.故选Ａ.通过对２０２２年高考比较大小题目的解法可知:要想在短时间内准确解答此类题型ꎬ必须熟练掌握相应方法ꎬ同时对一些常用的放缩ꎬ如:ｅｘȡｘ＋１(当且仅当ｘ＝０时等号成立)ꎻｌｎｘɤｘ－１(当且仅当ｘ＝１时等号成立)ꎬ并在具体题目中归类整理ꎬ熟记一些二级结论及其变形公式ꎬ对解答此类题目都有很大帮助.６８练习１㊀已知ａ＝４＋２５ｌｎ２ꎬｂ＝２＋２１.２ꎬｃ＝２２.１ꎬ则ａꎬｂꎬｃ的大小关系为(㊀㊀).Ａ.ａ<ｂ<ｃ㊀Ｂ.ｂ<ａ<ｃ㊀Ｃ.ａ<ｃ<ｂ㊀Ｄ.ｃ<ｂ<ａ练习２㊀已知ａ＝ｌｎ４９６４ꎬｂ＝３－４ｅ２－３ꎬｃ＝４ｌｎ３－３３－１ꎬ则ａꎬｂꎬｃ的大小关系为(㊀㊀)..Ａ.ａ<ｂ<ｃ㊀Ｂ.ｃ<ａ<ｂ㊀Ｃ.ｃ<ｂ<ａ㊀Ｄ.ｂ<ｃ<ａ练习３㊀已知ａ＝８１０ꎬｂ＝９９ꎬｃ＝１０８ꎬ则ａꎬｂꎬｃ的大小关系为(㊀㊀).Ａ.ｂ>ｃ.ａ㊀Ｂ.ｂ>ａ>ｃ㊀Ｃ.ａ>ｃ>ｂ㊀Ｄ.ａ>ｂ>ｃ练习４㊀已知１１ｘ＝１２ꎬ１２ｙ＝１３ꎬꎬｌｏｇ１２１１ｚ＝１３１２ꎬ则ｘꎬｙꎬｚ的大小关系为.参考文献:[１]盛龙.高中数学不等式解题方法探析[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(２５):４３－４４.[２]沈丽莉.高中数学学考常见不等式基本思路[Ｊ].教育界ꎬ２０２１(３５):１０－１１.[３]李光星.基于高中数学基本不等式解题技巧分析[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(１９):１６－１７.[４]林秋林. 实数中的比较大小 解法探究[Ｊ].数理天地(高中版)ꎬ２０２０(１１):１０－１１＋１３.[５]徐珊威.高中数学最值问题的解题研究[Ｄ].昆明:云南师范大学ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]解三角形的最值问题马扬博㊀王桢宇(北京市第一七一中学㊀１０００１３)摘㊀要:本文通过研究一道解三角形习题ꎬ梳理了三角形面积最值问题的不同求解视角ꎬ低起点高站位ꎬ所用知识均源于课本ꎬ以学生视角探索解题思路.关键词:解三角形ꎻ面积公式ꎻ平面向量中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０１－００８７－０３收稿日期:２０２２－１０－０５作者简介:马扬博ꎬ男ꎬ高中在读ꎬ从事中学数学解题研究.王桢宇ꎬ男ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.１试题呈现例１㊀如图１ꎬ已知ａꎬｂꎬｃ分别为әＡＢＣ三个内角ＡꎬＢꎬＣ的对边ꎬＤ是ＢＣ的中点ꎬ且ＡＤ＝３ꎬＡ＝π３ꎬ求ＳәＡＢＣ的最大值.图１７８。
高考数学中的“比较大小”赏析
高考数学中的“比较大小”赏析高考数学中的“比较大小”问题是一类常见的命题形式，常常将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混合在一起进行排序。
解决这类问题可以从代数和几何两方面进行探究，即利用函数的性质及图像解答。
本文将通过典型的例题来说明此类问题的方法与技巧。
方法一：特殊值或特殊函数比较大小。
例如，对于题目“若a>b，则ln((a-b))>3aa^3>b^3>a>b”，可以通过代入特殊值或比较特殊函数值来解决。
方法二：不等式的性质比较大小。
例如，对于题目“若a>b>c<d<e，则abcbabab<cdcddcdc”，可以通过不等式的性质进行比较。
方法三：函数的单调性对称性比较大小。
例如，对于题目“已知奇函数f(x)在R上是增函数，若a=-f(log2)，则a<b<c或c<b<a”，可以通过函数的单调性和对称性进行比较。
在解决这类问题时，需要注意排除格式错误和明显有问题的段落，同时可以适当地改写每段话，使其更加清晰明了。
第一段话已经没有明显的问题，但是可以将其改写为更流畅的语言：已知函数f(x)为定义在实数集上的奇函数，且满足f(1+x)=f(1-x)。
当x∈[0,1]时，f(x)=ln(x^2+1)。
设a=f(log1/54)，b=f(2019/32)，c=f(3)，则a、b、c的大小关系是什么？第二段话存在格式错误，可以改写为：已知定义在实数集上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，且函数f(x)在(-∞,0)上是减函数。
设a=f(2cos(π/3))，b=f(log(1/4.1))，c=f(20.8)，则a、b、c的大小关系是什么？第三段话同样存在格式错误，可以改写为：已知函数f(x)=x-x^2+1，g(x)=log(1-x+1/2)的零点分别为a、b、c。
则a、b、c的大小关系是什么？1.格式错误已删除，无明显有问题的段落需要删除。
重难点专题07 比较大小六大方法汇总(解析版) 备战2024年高考数学重难点突破
结构不相同的比较大小题目，可以寻找“中间桥梁”，通常是与0,1比较
通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到它们之间的大小关系.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：y=a x，当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：y=log a x，当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减；
（1）作差法：作差与0作比较；
（2）作商法：作商与1作比较（注意正负）；
结构相同的比较大小题目，可以构造函数，利用函数的单调性比较大小
通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.在本题中，通过构
造函数f(x)=
e x―x―1，利用导数证明得到x>0时，
e
x>x+1，进而放缩得到a=
e
0.2
>1+0.2=1.2=ln
e
1.2.
由数形结合可知sin x >3πx 在0,π
6
恒成立，所以sin π9>1
3，
所以c <a <b ，故选：A
当x∈(0,2)时，x2<2x；当x∈
由x=π∈(0,2)，故(π)2 <
所以b<a<c，
故选：A
8．（2023·河南开封·校考模拟预测）若。
高中数学比大小问题常见处理策略
高中数学比大小问题常见处理策略
在高中数学中，比较大小是一个常见的问题。
下面是一些常见的处理策略：
1. 利用绝对值进行比较：当比较两个数的大小时，可以首先计算它们的差的绝对值，然后比较绝对值的大小。
例如，要比较两个数a和b的大小，可以计算|a-b|的值，然后根据|a-b|的大
小来判断a和b的大小关系。
2. 利用整理成相同形式进行比较：当比较两个表达式的大小时，可以将它们整理成相同的形式，然后逐个部分进行比较。
例如，要比较两个分式a/b和c/d的大小，可以将它们转化为相同的
分母，然后比较分子的大小。
3. 利用函数的性质进行比较：在一些函数比较的问题中，可以利用函数的性质来进行比较。
例如，对于指数函数y=a^x和对数函数y=log_a(x)，可以利用其性质来进行比较。
当x1>x2时，a^(x1)>a^(x2)；当x1<x2时，log_a(x1)<log_a(x2)。
4. 利用曲线的图像进行比较：在一些函数比较的问题中，可以利用函数的图像来进行比较。
通过观察函数的图像，可以判断函数在不同的区间上的大小关系。
5. 利用数学推理进行比较：在一些复杂的比较问题中，可以利用数学推理进行比较。
例如，要比较两个数的大小，可以通过推导出它们之间的关系，并应用已知的数学性质进行比较。
以上是高中数学中常见的处理策略，当然在实际解题过程中，还可以结合具体的问题和已知条件进行灵活处理。
高考数学函数比较大小方法介绍与解题方法
函数1.比较大小【高考真题】1．（2022·新高考全国I 卷）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b <<【答案】C【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小. 【详解】方法一：构造法设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11x xx g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当021x <<-时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减， 当211x -<<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增， 又(0)0h =，所以当021x <<-时，()0h x <，所以当021x <<-时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增， 所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C. 方法二：比较法 解： 0.10.1a e = ， 0.110.1b =- ， ln(10.1)c =-- ， ① ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+- ，令 ()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈ 则 1()1011x f x x x-'=-=<-- ， 故 ()f x 在 (0,0.1] 上单调递减，可得 (0.1)(0)0f f <= ，即 ln ln 0a b -< ，所以 a b < ； ① 0.10.1ln(10.1)a c e -=+- ， 令 ()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则 ()()()1111'11x xxx x e g x xe e x x+--=+-=-- ， 令 ()(1)(1)1x k x x x e =+-- ，所以 2()(12)0x k x x x e '=--> ，所以 ()k x 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 ()(0)0k x k >> ，即 ()0g x '> ，所以 ()g x 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 (0.1)(0)0g g >= ，即 0a c -> ，所以 .a c > 故 .c a b <<2．（2021·新高考全国II 卷）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论. 【详解】55881log 2log 5log 22log 32a b =<==<=，即a c b <<. 故选：C.3．（2022·全国甲卷文数）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =--> ，则1()1m f x mx -'=-， 令()0f x '=，解得110m x m -= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b > ，又因为9log 10(9)9100f =-= ，所以0a b >> .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．4．（2022·全国甲卷理数）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．a c b >>【答案】A 【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >;构造函数()()21cos 1,0,2f x x x x ∞=+-∈+,利用导数可得b a >,即可得解.【详解】[方法一]：构造函数 因为当π0,,tan 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭故14tan 14c b =>，故1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞， ()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以131cos 0432->， 所以b a >，所以c b a >>，故选A[方法二]：不等式放缩 因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x得：2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a > 1114sin cos 17sin 444ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且14sin ,cos 1717ϕϕ==当114sin cos 1744+=时，142πϕ+=，及124πϕ=-此时14sin cos 417ϕ==，11cos sin 417ϕ== 故11cos 417=411sin 4sin 4417<=<，故b c < 所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法三]：泰勒展开设0.25x =，则2310.251322a ==-，2410.250.25cos 1424!b =≈-+， 241sin10.250.2544sin1143!5!4c ==≈-+，计算得c b a >>，故选A. [方法四]：构造函数 因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A ．[方法五]：【最优解】不等式放缩 因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x得2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >，所以c b a >>． 故选：A ．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法； 方法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭放缩，即可得出大小关系，属于最优解．5．（2021·全国乙卷理数）设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =．则（ ） A ．a b c << B ．b<c<a C ．b a c << D ．c<a<b【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a ,b 的大小作出判定，对于a 与c ，b 与c 的大小关系，将0.01换成x ,分别构造函数()()2ln 1141f x x x =+-++,()()ln 12141g x x x =+-++，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f (0)=0,g (0)=0即可得出a 与c ，b 与c 的大小关系. 【详解】[方法一]：2ln1.01a =2ln1.01=()2ln 10.01=+()2ln 120.010.01=+⨯+ln1.02b >=，所以b a <；下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 1141f x x x =+-++，则()00f =，()()()214122114114x x f x x x x x +--=-+'=+++， 由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x +-+>，即()141x x +>+，0fx ，所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=，即2ln1.01 1.041>-，即a c >； 令()()ln 12141g x x x =+-++，则()00g =，()()()21412221214114x x g x x x x x +--=-=++++'， 由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时，()214120x x +-+<，所以()0g x '<，即函数()g x 在[0，+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=，即ln1.02 1.041<-，即b <c ； 综上，b<c<a ， 故选：B. [方法二]：令()21ln 1(1)2x f x x x ⎛⎫+=--> ⎪⎝⎭()()221-01x f x x =+'-<，即函数()f x 在（1，+∞)上单调递减()()10.0410,ff b c +<=∴<令()232ln 1(13)4x g x x x ⎛⎫+=-+<< ⎪⎝⎭()()()21303x x g x x --+'=>，即函数()g x 在（1，3)上单调递增()()10.0410,gg a c +=∴综上，b<c<a ， 故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.6．（2020·全国I 卷理数）若242log 42log a ba b +=+，则（ ）A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <【答案】B【分析】设2()2log x f x x =+，利用作差法结合()f x 的单调性即可得到答案.【详解】设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b ba b b +=+=+所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b bb b +-+21log 102==-<， 所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.7．（2020·全国II 卷文/理数）若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．ln(1)0y x -+> B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A【分析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t tf t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t tf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.8．（2020·全国III 卷文数）设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b<c<a D ．c<a<b【答案】A【分析】分别将a ,b 改写为331log 23a =，351log 33b =，再利用单调性比较即可.【详解】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==，所以a c b <<. 故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.9．（2020·全国III 卷理数）已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <c B ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.10．（2019·全国I 卷文理数）已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a【答案】B【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 11．（2019·全国II 卷理数）若a >b ，则（ ） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3x y =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．【基础知识】1．作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a <b .(a ，b ∈R )比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数的大小的一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方式的形式或一些易判断符号的因式积的形式．2．作商法作商比较法乘方比较法依据 a >0，b >0，且ab >1⇒a >b ；a >0，b >0，且ab <1⇒a <ba 2>b 2且a >0，b >0⇒a >b应用范围 同号两数比较大小或指数式之间比较大小 要比较的两数(式)中有根号步骤①作商②变形③判断商值与1的大小①乘方②用作差比较法或作商比较法④下结论3．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1图象性质定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)4．指数函数及其性质(1)概念：函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数5．对数函数的图象与性质y ＝log a xa >10<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性 质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0； 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数【题型方法】 一、作法法1．若0,10a b <-<<，则下列不等关系正确的是（ ） A ．2ab ab a >> B ．2ab ab a >> C ．2ab a ab >> D ．2a ab ab >>【答案】A【分析】利用作差法比较即可得到答案.【详解】因为0,10a b <-<<，所以0ab >，10b ->，10b -<，10+>b所以()210ab ab ab b -=->，即2ab ab >，()()()221110ab a a b a b b -=-=+->，所以2ab ab a >>. 故选：A2．（多选）已知a b >，则下列不等式正确的是（ ） A ．22a b > B ．11a b> C ．22ac bc ≥ D ．22a b c c > 【答案】CD【分析】由作差法可逐项判断.【详解】对A ，()()22a b a b a b -=+-，无法确定a b +的正负，故A 项错误；对B ，11b aa b ab--=，无法确定ab 的正负，故B 项错误；对C ，()2220ac bc a b c -=-≥，所以C 项正确；对D ，2220a b a bc c c--=>，所以D 项正确. 故选：CD3．（多选）已知实数a 、b 、c 满足23121a b c ==>，则下列说法正确的有（ ） A ．20a b -> B ．20b c -> C ．211a b c+=D ．322a bc+≥+ 【答案】BCD【分析】令23121a b c k ===>，则2log a k =，3log b k =，12log c k =，利用作差法可判断AB 选项；利用换底公式可判断C 选项；利用换底公式结合基本不等式可判断D 选项.【详解】令23121a b c k ===>，则2log a k =，3log b k =，12log c k =且0a >，0b >，0c >． 对于A ，()2323lg 3lg 2lg lg lg 2log 2log log log 0lg 2lg 3lg 2lg 3k k k a b k k k k --=-=-=-=<⋅，所以A 错误：对于B ，()312323lg lg 23lg 3lg lg 2log 2log log log 0lg 3lg 23lg 3lg 23k k kb c k k k k --=-=-=-=>⋅， 即20b c ->，所以B 正确；对于C ，2112log 2log 3log 12k k k a b c +=+==，所以C 正确：对于D ：()()2223232312log log log 12log 12log 32log 32log k ka b c k++==+=⨯+⨯ 23233log 32log 232log 32log 2322=++>+⨯=+，所以D 正确．故选：BCD.二、作商法1．设()121p a a -=++，21q a a =-+，则（ ）．A ．p q >B ．p q <C ．p q ≥D ．p q ≤【答案】D【分析】首先配方判断p 、q 均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】()1222110132411p a a a a a -==>⎛⎫++⎪⎭+⎝=+++， 22131024q a a a ⎛⎫=-+=-+> ⎪⎝⎭，则()()()222121111a a a a a a a q a p --+-++++=+= ()()222222111a a a a =+-=++≥.故p q ≤，当且仅当0a =时，取等号， 故选：D【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 2．若实数m ，n ，p 满足354m e =，235n e =，218p e =，则（ ） A ．p m n << B ．p n m << C ．m p n <<D ．n p m <<【答案】A【分析】根据作商法比较大小，即可得出结果.【详解】因为实数m ，n ，p 满足354m e =，255n e =，218p e =， 所以315152344155m e e n e -==⋅<，①m n <；又313552421189m e e p e ==⋅>，①m p >； ①p m n <<． 故选：A ．【点睛】本题主要考查作商法比较大小，属于基础题型. 3．已知41291log ,log ,0.90.8204p m n ===，则正数,,m n p 的大小关系为（ ） A ．p m n >> B ．m n p >> C ．m p n >> D ．p n m >>【答案】A【分析】根据对数式与指数式之间的互化，以及作商法比较大小，即可比较,m n 的大小，由对数函数的单调性以及中间值法即可比较三者的大小. 【详解】由49log 20m =，得992010422m ==<，由121log 4n =，得1412,n =91111199942020202020201155555420444442561123432431212m n ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======> ⎪⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，即2m n >>；由0.90.8p =，得0.90.9log 0.8log 0.812p =>=，于是p m n >>， 所以正数,,m n p 的大小关系为p m n >>. 故选:A.三、单调性法1．下列比较大小中正确的是（ ）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．3377( 2.1)( 2.2)--<- D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】利用函数的单调性进行判断即可.【详解】解：对于A 选项，因为0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，所以0.50.523()()32<，故A 错误，对于B 选项，因为1y x -=在(,0)-∞上单调递减，所以1123()()35--->-，故B 错误，对于C 选项，37y x =为奇函数，且在[0,)+∞上单调递增，所以37y x =在(,0)-∞上单调递增， 因为333777115( 2.2)511--⎭==⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，又()337752.111⎛⎫-<- ⎪⎝⎭， 所以3377( 2.1)( 2.2)--<-，故C 正确，对于D 选项，43y x =在[0,)+∞上是递增函数，又443311()()22-=，所以443311()()23>，所以443311()()23->，故D 错误.故选：C.2．已知函数()e e x x f x -=-，则0.60.60.4(0.4),(0.6),(0.4)a f b f c f ===的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c<a<bD ．a c b <<【答案】D【分析】利用幂函数的性质比较0.60.20.60.216=、0.40.20.40.16=、0.40.4大小，再由()f x 单调性比较a 、b 、c 大小. 【详解】由0.630.20.20.6(0.6)0.216==，0.420.20.20.4(0.4)0.16==，即0.20.20.160.216<， 所以0.40.60.40.6<，又0.60.40.40.4<，所以0.60.40.60.40.40.6<<，而()e e x x f x -=-递增， 故0.60.40.6(0.4)(0.4)(0.6)a f c f b f =<=<= 故选：D3．已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin (sin )a αα=，sin (cos )b αα=，cos (sin )c αα=，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b<c<aD ．c<a<b【答案】D【分析】利用指数函数以及幂函数的单调性，即可得到结论．【详解】因为(0,)4πα∈，0sin cos 1αα∴<<<；(sin )x y α∴=单调递减；sin y x α=单调递增；sin cos (sin )(sin )αααα∴>,sin sin (sin )(cos )αααα<；a c ∴>，ab <,即c<a<b , 故选：D4．设 1.2111y =， 1.428y =，0.63130y =，则（ ）A ．231y y y >>B ．312y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】D【分析】通过观察三个数的特征可知，很难化成同底形式，所以可通过构造幂函数0.6y x =，利用其单调性即可比较得出结果.【详解】由题意可知，()0.61.220.611111121y ===，()()1.40.61.43 4.270.628222128y =====，因为0.6y x =在()0,∞+上是增函数，130128121>>，所以321y y y >>.故选：D.5．已知235log log log 0x y z ==<，则2x、y 、5z 的大小排序为（ ）A ．235x y z<< B ．325y x z<< C ．523z x y<< D ．532z y x<< 【答案】A【分析】首先设235log log log x y z k ===，利用指对互化，表示2x，3y ，5z ，再利用对数函数的单调性判断大小.【详解】x y z ，， 为正实数，且235log log log 0===<x y z k ，111235235k k k x y z ---∴===，，，可得：1112352131,51k k kx y z ---=>=>=>，．即10k -> ， 因为函数1k f x x -=（） 单调递增，①235x y z<<. 故选：A.6．已知e 是自然对数的底数，451e a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，15b =，5ln 6c =-，则（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．c a b << D ．b a c <<【答案】A【分析】根据指数函数的单调性即可比较,a b ，根据56ln ln 65c =-=，151ln e 5b ==结合对数函数的性质即可比较,bc ，即可得解.【详解】解：4511e 51e a b ⎛⎫= ⎭>>=⎪⎝， 56lnln 65c =-=， 151ln e 5b ==，因为56e 2.488325⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以156e 5>，所以156ln e ln5>，即b c >， 所以c b a <<. 故选：A.四、中间量法1．已知lg9a =，0.12b =，1ln 3c =，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】C【分析】通过中间值，将三个数与0和1进行比较即可判断大小关系. 【详解】因为0lg1lg9lg101=<<=，所以()0,1a ∈， 因为0.10122>=，()1,b ∈+∞， 因为1ln ln103<=，(),0c ∈-∞，综上所述得b a c >>． 故选：C2．若sin 4a =，5log 3b =，lg 6c =，0.01e d =，则（ ）． A ．a b c d <<< B ．a c b d <<< C ．b c d a <<< D ．a d b c <<<【答案】A【分析】利用介值法分别与0,1比较大小，然后再利用作差法比较,b c 的大小. 【详解】由题意，0.01sin 40,e 1a d =<=>，50log 31,0lg 61b c <=<<=<，只需比较,b c 的大小，而 ()()5lg31lg 2lg 2lg3lg3lg3lg5lg 6log 3lg 6lg 6lg5lg5lg5--+-⋅-=-==()lg 21lg 60,lg5b c ⋅-+=<∴<，综上a b c d <<<.故选：A【点睛】指对数比较大小时，一般采用介值法，通过分别和0,1比较大小判断，当遇到同一范围内的数时，可以通过作差或者作商的办法比较两数大小关系.3．若正实数a ，b ，c 满足0.1e a =0.51log 5b =，2314c =，则（ ）A ．a a c b >B ．log log c b a a <C ．log log a b b c >D ．11a c c b --<【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的计算，利用中间量法进行估算，即可得解. 【详解】①0.10ee 1a =>=．①1a >，①0.50.50.51log 10log 1log 0.55b =<=<=， ①0.51b <<，①2314c =，①18c =，①00.41c b a <<<<<，①a a c b <，log log c b a a >，log 0log a b b c <<，①A ，B ，C 项错误； ①10a ->，10c -<，①1101a c c b --<<<，D 项正确． 故选：D ．五、导数法1．已知1162411e sin ,e ,e sin 224a b c ππ---===，则（ ）A ．b c a >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】A【分析】由所给数据可构造函数()e sin()e sin x x f x x x =-=-，利用导数判断函数单调性可比较,a c ，再由不等式性质可比较,a b ，利用作商法比较,b c 大小.【详解】设()e sin()e sin x x f x x x =-=-，则()πe sin e cos 2e sin 4x x xf x x x x ⎛⎫=--=-+ ⎝'⎪⎭，当3ππ44x -≤≤时，()0f x '≤，所以函数在π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，1π24->-，1π()()24f f ∴-<-，即a c <， 1162110ee ,0sin 22--<<<<，116211e sin e 22--∴<，即a b <，11163π261212π4e e e 16422eb c -⨯--⎛⎫⎛⎫==>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，b c ∴>，综上，b c a >>. 故选：A2．设0.33e a -=，0.6e b =， 1.6c =，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．b<c<a【答案】B【分析】先利用导数证明出e 1x x >+，令0.3x =，可以判断出 1.6c =最小；利用作商法比较出b a <，即可得到答案.【详解】设()e 1xf x x =--.因为()e 1xf x '=-，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减， 当0x >时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递增， 所以当x ∈R ，且0x ≠时，()()00f x f >=，即e 1x x >+． 所以()0.33e30.31 2.1a --+>=⨯=，0.6e 0.61 1.6b =>+=，所以 1.6c =最小，又因为0.60.90.3e e e13e 33b a -==<<，所以b a <．综上可知，c b a <<． 故选：B3．已知e ππe e ,π,2a b c ===，则这三个数的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A【分析】构造函数()()ln ,0xf x x x=>，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较,a b ，在同一坐标系中作出()2xy =与y x =的图象，结合图象与幂函数的性质可比较,b c ，即可求解【详解】令()()ln ,0xf x x x =>，则()()21ln ,0x f x x x -'=>， 由0fx，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0xf x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减； 因为πe >， 所以()()πe f f <，即ln πln eπe<， 所以eln ππlne <，所以e πln πln e <， 又ln y x =递增， 所以e ππe <，即b a <；()()ee ππ2=2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在同一坐标系中作出()2xy =与y x =的图象，如图：由图象可知在()2,4中恒有()2xx >，又2π4<<，所以()ππ2>，又e y x =在()0,∞+上单调递增，且()ππ2>所以()()eπe πeπ2=2⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<， 故选：A六、特殊值法1．若()2021202120222022,x y x yx y R --->-∈，则（ ）A ．33x y >B ．ln ln x y >C ．11x y< D ．221111x y <++ 【答案】A【分析】构造函数()20212022x xf x -=-，分析函数()f x 的单调性，可得出x y >，再利用函数的单调性以及特殊值法可判断各选项的正误.【详解】构造函数()20212022x x f x -=-，因为函数12021x y =为R 上的增函数，函数22022xy -=为R 上的减函数，故函数()20212022x xf x -=-为R 上的增函数，因为2021202120222022x y x y --->-，则2021202220212022x x y y --->-， 即()()f x f y >，则x y >.对于A 选项，函数()3g x x =为R 上的增函数，故33x y >，A 对；对于B 选项，若0y x <<，则ln x 、ln y 均无意义，B 错； 对于C 选项，取1x =，1y =-，则11x y>，C 错； 对于D 选项，取1x =，1y =-，则221111x y =++，D 错. 故选：A.2．若a b >，则下列选项中正确的是（ ） A ．()ln 0a b -> B ．33a b < C ．330a b -> D ．a b >【答案】C【分析】对于ABD ，举反例即可排除；对于C ，利用幂函数的单调性即可判断. 【详解】因为a b >，对于A ，令0,1a b ==-，则()ln ln10a b -==，故A 错误；对于B ，令0,1a b ==-，则0111,33333b a -====，即33a b >，故B 错误； 对于C ，因为幂函数3y x =在R 上单调递增，故33a b >，即330a b ->，故C 正确； 对于D ，令0,1a b ==-，则01a b =<=，故D 错误. 故选：C.3．若0a b >>，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．35a b < B ．11log log b a a b ++< C a b >D ．tan tan a b >【答案】C【分析】取特殊值可判断ABD ，利用幂函数12y x x ==的单调性可判断C 【详解】选项A ，令4,2a b ==，则381525a b =>=，故A 错误；选项B ，令2,1a b ==，则1213log log 21log log 10b a a b ++==>==，故B 错误；选项C ，由于幂函数12y x x ==在(0,)+∞单调递增，0a b >>，故a b >恒成立，故C 正确； 选项D ，令,4a b ππ==，则tan 0tan 1a b =<=，故D 错误故选：C【高考必刷】1．设,R a b ∈且0ab ≠，若a b <，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b < B ．22ab a b < C ．2211ab a b< D ．b aa b< 【答案】C【分析】根据不等式的性质结合作差法比较大小逐项判断即可.【详解】解：对于A ，若a b <且0ab ≠，则2,1a b =-=，得22a b >，故A 错误；对于B ，若a b <，则0b a ->，所以()22ab a b ab b a -=-，又0ab ≠，则()ab b a -的正负不能确定，即2ab 与2a b 的大小不确定，故B 错误；对于C ，若a b <且0ab ≠，，则0a b -<，所以2222110a bab a b a b --=<，即2211ab a b <，故C 正确； 对于D ，若a b <且0ab ≠，则0b a ->，所以ab 与b a +正负不能确定，则()()22b a b a b a b a a b ab ab-+--==的符号不能确定，故b a与ab 的大小不确定，故D 错误.故选：C.2．若0c b a >>>，则（ ） A ．b c c b a b a b > B ．2ln ln ln b a c <+ C ．cc a b ab->- D ．log log a b c c >【答案】A【分析】利用不等式的基本性质，并对选项化简，转化，判断对错即可.【详解】解：选项A 中，由于1b cb c b c c b c b a b a a b a b b ---⎛⎫==> ⎪⎝⎭，所以b c c b a b a b >成立；故A 正确；选项B 中，22ln ln b b =，ln ln ln a c ac +=，2b 与ac 大小不能确定，故B 错误； 选项C 中，由于()10c c c a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫---=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误； 选项D 中，令1c =，则log log 0a b c c ==，故D 错误. 故选：A.【点睛】本题考查不等式的基本性质，考查转化能力，属于基础题. 3．已知421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．a b c >>D ．b<c<a【答案】B【分析】由已知，根据题意给出的式子，先进行化简，得到222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后根据幂函数23y x =的单调性，即可做出判断.【详解】由已知，421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,+∞上单调递增，而15<14<13，所以222333111543<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B.4．设0.60.4a =，0.80.6b =，0.40.8c =，则（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b a c >>【答案】B【分析】先由指数运算得出555c a b >>，再由幂函数的单调性得出大小关系.【详解】因为5354520.40.064,0.1296,0.640.60.8a b c ======，所以555c a b >>，又函数5y x =在()0,∞+上单调递增，所以c b a >>. 故选：B5．三个数33342233,,224a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭之间的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b<c<a【答案】C【分析】首先将,,a b c 化简，构造函数32(),(0)f x x x =>，利用函数的单调性比较大小.【详解】332432624a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3322322,44b c ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设32(),(0)f x x x =>，此函数在定义域内是单调递增的， ①22326444<<①22326()()()444f f f << ①c b a <<. 故选：C.6．下列比较大小正确的是（ ） A 12433332π--->> B ．12433332π--->> C ．12433332π--->> D ．21433323π--->>【答案】C【分析】根据指数幂的运算法则及幂函数的性质判断即可. 【详解】解：因为()2242333πππ---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，()213333--=又23y x -=在()0,∞+上单调递减，23π>>，所以()22233323π---<<，所以12433332π--->>. 故选：C7．对于任意的,a b ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ）A ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．20232023log log a b >C ．11a b <D ．20232023a b >【答案】D【分析】根据指数函数、对数函数、反比例函数和幂函数的定义域和单调性依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，1122ab⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 错误；对于B ，当0b a <<时，原式无意义，B 错误； 对于C ，当0a b >>时，11a b>，C 错误； 对于D ，2023y x =在R 上单调递增，20232023a b ∴>，D 正确.故选：D.8．已知 5.10.9m =，0.8log 5.1n =， 5.10.8p =，则m 、n 、p 的大小关系为（ ） A ．p ＜n ＜m B ．n ＜p ＜m C ．m ＜n ＜p D ．n ＜m ＜p【答案】B【分析】根据幂函数 5.1y x =，对数函数0.8log y x =的单调性判定即可. 【详解】由于幂函数 5.1y x =在[0,)+∞单调递增， 故 5.1 5.10.90.8m p =>=，又1 5.15.000.8p >==， 5.1 5.1110.9m =>=， ①0＜p ＜m ＜1，由对数函数0.8log y x =在(0,)+∞单调递减， 故0.80.8log 5.1log 10n =<=，①n ＜p ＜m ． 故选：B9．若实数a ，b 满足01a b <<<，则下列式子正确的是（ ） A ．b b a b --< B ．a a a b < C ．a a a b --< D ．b b b a <【答案】B【分析】根据不等式的性质以及幂函数的单调性分别进行判断即可. 【详解】对A ，1b baa -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1bbb b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为01a b <<<，所以111a b >>. 因为幂函数b y x =在()0,∞+上为增函数，所以b b a b -->，A 错；对B ，因为幂函数a y x =在()0,∞+上为增函数，所以a a a b <成立，B 对；对C ，因为1a aaa -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1aa b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，且幂函数a y x =在()0,∞+上为增函数，所以a a a b -->，C 错； 对D ，因为幂函数b y x =在()0,∞+上为增函数，所以b b b a >，D 错； 故选：B.10．设,a b R ∈，若a b >，则下列不等式不恒成立的是（ ） A ．11a b +>+ B ．22a b > C ．33a b > D ．sin 4sin 4a b >【答案】D【分析】根据不等式的性质可判断A;根据指数函数2,R x y x =∈的单调性判断B;根据幂函数3,R y x x =∈的单调性判断C ，可举特例说明D 中不等式不恒成立，即可得答案.【详解】对于A,由于a b >，根据不等式性质可知11a b +>+恒成立； 对于B,由于函数2,R x y x =∈是单调增函数，故若a b >，则22a b >恒成立；对于C ，由于函数3,R y x x =∈是单调增函数，故若a b >，则33a b >恒成立； 对于D ，不妨取ππ,=2a b = ，则sin 4sin 40a b ==，即a b >时，sin 4sin 4a b >不恒成立， 故选：D11．设0.83a =，0.8b π=，e13c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c<a<b B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】A【分析】利用幂函数、指数函数单调性并借助“媒介数”即可判断作答.【详解】因幂函数0.8y x =在(0,)+∞上单调递增，又31π>>，则有0.80.80.8311π>>=，指数函数1()3x y =在R 上单调递减，而e 0>，于是得e 011()()133<=，从而有e 0.80.81()133π<<<，所以c<a<b . 故选：A12．已知定义在R 上的幂函数()mf x x =（m 为实数）过点(2,8)A ，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()c f m =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c<a<b D ．c b a <<【答案】A【分析】首先求出3()f x x =，得到函数的单调性，再利用对数函数的图象性质得到20.5log 5log 3m >>，即得解. 【详解】由题得3382,22,3,()m m m f x x =∴=∴=∴=. 函数3()f x x =是R 上的增函数.因为0.50.5log 3log 10<=，220log 5log 83m <<==， 所以20.5log 5log 3m >>，所以20.5()(log 5)(log 3)f m f f >>， 所以a b c <<. 故选：A【点睛】方法点睛：比较对数式的大小，一般先利用对数函数的图象和性质比较每个式子和零的大小分成正负两个集合，再利用对数函数的图象和性质比较同类数的大小. 13．已知幂函数()()2242(1)mm f x m x m R -+=-∈，在()0,∞+上单调递增.设5log 4a =，15log 3b =，0.20.5c -=，则()f a ，f b ，()f c 的大小关系是（ ）A ．()()()f b f a c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【答案】A【分析】根据幂函数的概念以及幂函数的单调性求出m ，在根据指数函数与对数函数的单调性得到b a c -<<，根据幂函数的单调性得到()()()f b f a f c -<<，再结合偶函数可得答案. 【详解】根据幂函数的定义可得2(1)1m -=，解得0m =或2m =， 当0m =时，2()f x x =，此时满足()f x 在()0,∞+上单调递增， 当2m =时，2()f x x -=，此时()f x 在()0,∞+上单调递减，不合题意. 所以2()f x x =.因为5log 4(0,1)a =∈，0.200.50.51c -=>=，155log 3log 3(0,1)b -=-=∈，且a b >-，所以b a c -<<，因为()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()()()f b f a f c -<<， 又因为2()f x x =为偶函数，所以()()f b f b -=， 所以()()()f b f a c <<. 故选：A【点睛】关键点点睛：掌握幂函数的概念和性质、指数函数与对数函数的单调性是解题关键. 14．设a ，R b ∈，且a b >，则（ ） A ．33a b > B ．22a b > C ．||||a b > D ．1>a b【答案】A【分析】对于选项A,B,C,利用函数的单调性分析得解，对于选项D 可以利用作差法判断. 【详解】由于函数3()f x x =在R 上为增函数，由a b >得33a b >，故选A . 由于函数2yx 在定义域内不单调，所以a b >不能得到22a b >，故选项B 错误；由于函数||y x =在定义域内不单调，所以a b >不能得到||||a b >，故选项C 错误； 1a a b b b--=符号不确定，所以选项D 错误. 故选：A。
一道比较大小问题的五种解法
一道比较大小问题的五种解法题目（2022年新高考全国1卷第7题）设a=0.1e0.1 ,b=19,c=−ln0.9 ,则（）A.a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. a<c<b从这道题看，命题者匠心独具，将指数、对数有机地联系在一起，编制出一道比较大小的选择题，全面考查了学生的数学素养和思维能力，是最近几年高考的热点，同时由于这道试题综合性强、复杂程度大，在高考选拔中有很好的区分度.本文将从不同视角入手分析进而给出五种不同解法，供大家参考.解法一：先比较a与b,构造函数f(x)=(1−x)e x−1 ,当x>0,则f′(x)=−xe x<0,故f(x)在[0,+∞)上单调递减，从而有f(0)>f(0.1),即0.9e0.1−1<0 .故a<b.同理，当x< 0时，则f′(x)=−xe x>0,故f(x)在(−∞,0]上单调递增，从而有f(ln0.9)<f(0),即(1−ln0.9)e ln0.9−1<0,化简得−ln0.9<19.故c<b .最后比较a与c的大小，构造定义在[0,0.1]上的函数g(x)=xe x+ln(1−x),则g′(x)=(1−x2)e x−11−x,令ℎ(x)=(1−x2)e x−1,则ℎ′(x)=(1−2x−x2)e x>0,故ℎ(x)=(1−x2)e x−1在[0,0.1]上单调递增，因此，ℎ(x)>ℎ(0)=0,从而当x∈[0,0.1],g′(x)=(1−x2)e x−11−x>0.故函数g(x)=xe x+ ln(1−x)在在[0,0.1]上单调递增，于是g(0.1)>g(0),即0.1e0.1+ln0.9>0 ,故a>c .综上，选择C.点评对于含有指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数的单调性及中间值来比较大小，但对这道比较复杂的题，则需要结合题目特征，构造几个合适的函数，通过导函数来研究其单调性，最终比较出大小.解法二令a=xe x,b=x1−x,c=−ln(1−x),由lna−lnb=x+lnx−[lnx−ln(1−x)]=x+ln(1−x), 令y=x+ln(1−x),当x∈[0,0.1],y′=1−11−x<0,所以y<0,即a<b. 比较a与c的大小，利用做差法，以下与解法一方法类似.点评本解法利用了取对数运算后再构造函数，利用函数单调性，最后比较出大小，此种方法有种高屋建瓴的感觉.解法三由三个不等式e x>x+1,e x<11−x (x<1),lnx<12(x−1x)(x>1).在前两个式子中令x=0.1,得0.1+1<e0.1<11−0.1 ,化简得0.11<0.1e0.1<19.故0.11<a<b.在上面第三个式子中令x=109 ,得ln109<12(109−910) ,化简得−ln0.9<19180<0.11 ,故c<a<b .点评此种方法充分利用了几个不等式进行放缩，再进行赋值运算，最后比较大小.这几个不等式可以利用导数判断其单调性来证明，有兴趣者可以自行证明.其中c与b的大小比较，可以利用lnx<x−1 , 这个不等式. 同时，我们在平时训练中可以适当记住一些重要不等式，就能使我们从较高的角度把握全局，从而快捷准确的找到解决问题的路径，这样可以提高我们的解题速度.解法四由ab=0.9e0.1=e0.1+ln0.9<e0.1+(0.9−1)=1,又a>0,b>0,所以a<b.由ac =0.1e0.1−ln0.9=0.1e0.1×10−9ln10−ln9>0.1e0.1√10×9>0.1×(0.1+1)√90>1,又a>0,c>0,所以a>c.于是c<a<b.点评本解法先利用作商法，然后利用不等式进行放缩进行运算，最后得出答案.此解法中第一部分比较中应用不等式lnx<x−1,在第二部分中应用到a−blna−lnb>√ab和e x>x+ 1.解法五从泰勒展开式e x=1+x+x22!+⋯+x nn!+⋯ln(1−x)=−x−x22−x33−⋯−x nn−⋯因为a=0.1e0.1≈0.1×(1+0.1+0.122!)=0.1105,b=19≈0.1111,c=−ln(1−0.1)≈−(−0.1−0.122−0.133)=0.1053,因此c<a<b.点评本解法利用了高等数学中泰勒展开式求出它们的近似值，从而比较出其大小.学有余力的同学可以适当了解一些简单的高数知识，到时候可以秒杀一些压轴的客观小题，从而为取得高分添砖加瓦,但不能过分强求，本末倒置，反而得不偿失.在数学学习中，时时刻刻离不开解题，在解题时我们要充分挖掘题设中的条件、结构、数据之间的联系，多角度分析问题，把每道题研究透，总结出其所含的一些数学思想方法.同时把这些思想方法运用到解决其他题目上去，起到举一反三，不断提升自身的数学素养.。
比较大小的方法高中数学
比较大小的方法高中数学比较大小的方法是高中数学中一个重要的概念，因为它影响着人们在日常生活中所做的决定。
因此，学习关于比较大小的方法在高中数学中非常重要。
高中数学的比较大小的方法包括了四大块内容：数值之间的比较、大小相等的判断、等价表达式的比较以及运算结果之间的比较。
首先，当我们需要比较两个数之间的大小时，我们可以根据其大小来比较。
在进行比较时，要以较大的数字为准。
其次，在比较大小相等的时候，我们可以使用数轴、比率或比值来进行比较。
最后，等价表达式的比较，我们需要先用代数变换将表达式转换为化简的表达式，然后进行比较，这样才能更容易地比较它们之间的大小。
另外，运算结果之间的比较也是同样的方式，先要将它们求出答案，然后比较答案之间的大小。
通过学习比较大小的方法，学生可以更加清晰地掌握高中数学中相关知识，从而更好地应用到实际生活中。
例如，在有的商品的价格比较时，可以根据各个商品的数值，通过比较大小的方法来判断出最具性价比的商品。
此外，在化整数问题时，也可以结合运算结果之间的比较来求解问题。
比较大小的方法不仅仅是高中数学中的一种方法，它还可以在其他学科中用于解决问题。
比如，用比较大小的方法来解决物理学上热力学问题，可以用比较大小的方法来确定系统的熵变化以及最终的温度变化。
总之，比较大小的方法是高中数学中的重要概念，并且可以帮助学生更好地理解其他学科的相关内容，从而有助于全面提升学生的学习能力。
综上所述，比较大小的方法是高中数学的重要概念，学生需要花费时间掌握其中的知识，以帮助他们更好地应用高中数学的知识到实际生活中。
此外，比较大小的方法也可以用于解决其他学科中的问题，从而有助于提升学生的学习能力。
突破比较大小问题的12个常见策略课件高三数学一轮复习
1 4
，故选C．
4
2
1
例3．(2016年3卷理科)已知 a 23 , b 45 , c 253 ,则 ( )
A．b a c B．a b c C．b c a D．c a b
4
2
2
1
2
2
解析:因为 a 23 43 45 b , c 253 53 43 a ,故选A.
则 则
f (x)
f (x)
ex (x 1) x2
在(1, )
，当 x (0,1) 时，f 上单调递增，所以
(x) 0 ，则
e2022
e2023
a
f (x)在(0,1)
e2024 ，所以
2022 2023 2024
e2022 eb e2023 2022 b 2023
上单调递减，当
ea eb ec ，又
lg 3 lg 8 2 lg 5
2
lg 24 lg 25
2
1
b log8 5
8b 5
55 84
85b 84 5b 4
b 4
c log13 8 13c 8
134 85
134 135c 5c 4
5
c
4
5
abc
a b
a2 b2 1 2
2ab 1 2
log2 a log2 b 2
1 0, e2
e2
1
.当 0 x e2
上单调递增,在
e
1 2
时,
,
f
1
(x) 0 ;当 x e2
上单调递减,结合 f
时, f (x) 0 ,
(1) 0 ,易画出
f
(x)
幂、指、对数的大小比较-高考数学总复习
由 a－2＝ln a2＝ln a－ln 2，可得 a－ln a＝2－ln 2，即 f(a)＝f(2)，同理可得 f(b)＝f(3)， f(c)＝f(4). 因为函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且a≠2，b≠3，c≠4，则 a，b，c∈(0，1)，由f(2)＜f(3)＜f(4)，可得f(a)＜f(b)＜f(c)，故c＜b＜a. 【答案】A
A．c＜a＜b C．a＜c＜b
B．c＜b＜a D．a＜b＜c
(A )
1
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1
1
1
【解析】因为 a＝55＝2510＜259＝b，c＝4.55＜55＝a，所以 c＜a＜b.
点击对应数字即可跳转到对应题目
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9 10 11
配套精练
2
4．已知 a＝23，b＝log32，c＝cos 3，则 a，b，c 的大小关系为
配套精练
配套精练
一、 单项选择题
1．(2023·安阳三模)已知 a＝212，b＝45－12，c＝log76，则 a，b，c 的大小关系为
A．c＜a＜b C．a＜b＜c
B．c＜b＜a D．b＜a＜c
(B )
【解析】a＝212，b＝45－12＝5412，因为 1＝540＜5412＜212，所以 a＞b＞1.因为 c＝log76＜ log77＝1，所以 c＜b＜a.
当 x≥e 时，f′(x)≤0，故 f(x)在[e，＋∞)上单调递减，则 f(e)＞f(4)＞f(5)，所以 a＞b＞
c.
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高考数学中比较大小的策略
高考数学中比较大小的策略一、整数的比较1.不同符号的整数比较：正整数大于负整数，两个正整数比较大小看数值大小。
2.同符号的整数比较：同为正整数时，位数多的整数大；同为负整数时，位数少的整数大。
二、小数的比较2.小数位数相同的比较：从高位到低位逐一比较，第一个不同的位数决定大小。
例如，0.74和0.75比较，第一个不同的位数是百分位，0.75大于0.743.小数的大小关系转化：将小数转换为整数来比较。
可以通过移位，例如，0.25可以转换为25，0.3可以转换为300。
三、分数的比较1.分子相同：分母较小的分数较大。
例如，2/5小于3/52.分母相同：分子较大的分数较大。
例如，4/5大于4/73.同时比较分子和分母：可以求出两个分数的公共分母，然后比较分子的大小。
例如，比较2/3和3/4，可以求出12作为公共分母，得到8/12和9/12，后者大于前者。
四、根式的比较1.同为完全平方数和非完全平方数的比较：非完全平方数大于完全平方数。
2.同为完全平方数的比较：根号下的数值越大，根式越大。
例如，根号2小于根号3五、指数的比较1.同基数的指数比较：指数较大，幂值较大。
例如，2^3大于2^22.不同基数的指数比较：可以通过换底公式将不同基数的指数都换算为相同基数的指数，然后再比较幂值大小。
六、对数的比较1. 同底数的对数比较：对数较大，数值较大。
例如，log2^3大于log2^22.不同底数的对数比较：可以通过换底公式将不同底数的对数都换算为相同底数的对数，然后再比较数值大小。
七、三角函数的比较1. 在0到π/2区间内，正弦值较大的角度对应的三角函数值也较大。
例如，sin60°大于sin30°。
2. 在0到π/2区间内，余弦值较小的角度对应的三角函数值也较大。
例如，c os60°大于cos30°。
总结：比较大小的策略主要是根据不同的数形式和数学性质来确定。
其中，整数的比较相对简单，小数的比较主要是看小数的位数和位数是否相同，分数的比较可以归结为比较分子和分母，根式、指数、对数和三角函数的比较需要一些数学理论和知识。
数学高考比大小题技巧
数学高考比大小题技巧数学高考中的比大小题是考察学生对数值和大小关系的掌握程度的重要题型。
掌握了一些技巧，能够在短时间内快速准确地解决这类题目，对于提高数学成绩起到很大的帮助作用。
首先，要注意数字的大小关系。
比较两个数的大小时，可以先观察它们的个位数、十位数等位数上的数字，如果有明显的差异，就可以直接判断大小。
例如，比较23和45，由于4大于2，所以45大于23。
此外，当两个数的十位数相同时，再观察个位数，依此类推。
其次，要注意整数和小数的比较。
一般来说，整数大于小数。
但是，对于小数来说，要注意小数点后的位数，位数多的小数通常比位数少的小数大。
如果两个小数的位数相同，可以逐位进行比较，直到找到大小关系。
另外，要注意正负数的比较。
对于两个正数来说，大的数肯定比小的数大。
对于两个负数来说，绝对值大的数反而比绝对值小的数小。
而对于正负数的比较，一般采用绝对值来比较，然后根据正负号来决定大小。
此外，还可以利用数轴来辅助比较。
将待比较的数在数轴上标出，然后通过观察它们的位置关系来判断大小。
比如，将-5和3在数轴上标出，可以看出-5在3的左边，所以-5小于3。
最后，要善于利用数学知识进行推理。
有时候，通过运用基本的数学公式或性质，可以推导出待比较数的大小关系。
例如，比较两个分数大小时，可以将它们的分子和分母进行运算，然后比较结果。
总之，数学高考中的比大小题虽然简单，但是在短时间内准确解答需要一些技巧。
通过掌握数字的大小关系、整数和小数的比较、正负数的比较、数轴的运用以及利用数学知识进行推理等技巧，就能够在考试中迅速解答这类题目，提高数学成绩。
高中数学数的比较大小技巧
高中数学数的比较大小技巧
1.将两个数化为相同的分数形式，比较分子的大小。
例如，比较7/8和5/6大小，可以将它们化为56/64和50/64，然后比较分子56和50的大小。
2. 比较两个数的十进制表示形式。
例如，比较0.45和0.39大小，可以直接比较它们的小数部分，即0.45和0.39，发现0.45大于0.39。
3. 利用倍数关系比较大小。
例如，比较1/3和1/5大小，可以分别乘以15和9，得到5/15和3/15，然后比较分子5和3的大小。
4. 利用分数的通分比较大小。
例如，比较2/3和5/8大小，可以将它们通分得到16/24和15/24，然后比较分子16和15的大小。
5. 利用数轴上的位置比较大小。
例如，比较-2和-5的大小，可以将它们在数轴上表示出来，发现-2在-5的右侧，因此-2比-5大。
6. 利用数的正负性比较大小。
例如，比较-7和5的大小，可以发现5是正数，而-7是负数，因此5比-7大。
7. 利用数的绝对值比较大小。
例如，比较-9和-3的大小，可以将它们的绝对值分别取出来，变成9和3，然后比较9和3的大小。
- 1 -。
全国高考数学复习微专题：指对数比较大小
全国高考数学复习微专题：指对数比较大小在填空选择题中，我们经常会遇到一类比较大小的问题，其中包含三个指数和对数，需要进行排序。
若两两进行比较，则需要花费较多的时间。
因此，本文介绍处理此类问题的方法和技巧。
一、技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？我们可以使用“同区间正，异区间负”的八字真言来判断对数的符号。
具体而言，需要关注底数和真数，将区间分为(0,1)和(1,+∞)两部分。
如果底数和真数均在(0,1)或者均在(1,+∞)中，则对数的值为正数。
如果底数和真数一个在(0,1)中，一个在(1,+∞)中，则对数的值为负数。
例如，log3 0.50，log2 3>0等。
2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系。
一旦作图，大小关系就会变得明显。
3、比较大小的两个理念：1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可以通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系。
因此，需要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况。
例如，比较3、4、5时，可以进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同。
从而只需比较底数的大小即可。
2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中，通常可以优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较。
有时可以简化比较的步骤。
例如，对于log2 3，我们可以知道1=log2 2<log2 3<log2 4=2，从而可以估计log2 3是一个1点几的数，便于比较。
4、常用的指对数变换公式：1）m（1）a=anm2）loga M+loga N=loga MNloga M-XXX(M/N)3）loga N=nloga N(a>0,a≠1,N>0)4）换底公式：XXX a1n XXX二、典型例题：例1：设a=log3 π，b=log2 3，c=log3 2.请按照大小顺序排列a、b、c。
解：首先，我们需要将这三个对数转化为同底数的形式。
高中数学比较大小的方法总结
高中数学比较大小的方法总结数学课上，尤其是在高中阶段，比较大小的问题经常会碰到。
这些问题看似简单，但其实能让不少同学绞尽脑汁。
今天咱们就来聊聊几个实用的比较大小方法，力求让大家轻松掌握这些技巧，绝对让你在数学考试中游刃有余。
1. 基本比较方法1.1 数字直接比较这可是最直接、最简单的方法了。
就像你在超市里买水果一样，苹果和橙子哪个大，一眼就能看出来。
对于普通的数字，只需要看它们的大小，哪个大哪个小，毫无悬念。
举个例子，如果要比较 ( 5 ) 和 ( 7 ) 的大小，那就简单了，( 5 < 7 )。
这种方法适用于数字比较，比如整数、分数、或者小数，搞定！1.2 分数比较比较分数稍微复杂点儿，但也不是难事。
最直接的方法是找个通分器，把两个分数的分母统一，再比大小。
这就像你们家有两种大小的披萨，通通切成八块，看看哪一块大就明白了。
比如，比较 ( frac{3}{4} ) 和 ( frac{2}{3} )，可以把它们通分到相同的分母。
最简单的办法是找它们的最小公倍数：4 和 3 的最小公倍数是 12。
所以，把 ( frac{3}{4} ) 转换为( frac{9}{12} )，( frac{2}{3} ) 转换为 ( frac{8}{12} )。
显然，( frac{9}{12} > frac{8}{12} )，所以 ( frac{3}{4} > frac{2}{3} )。
2. 函数比较方法2.1 常见函数比较对于一些函数，比如线性函数、二次函数等，我们可以通过函数的图像来比较大小。
想象一下，如果你在山顶和山脚下，看到山的高低，直接就能知道哪个高哪个低。
比如，比较 ( f(x) = 2x + 3 ) 和 ( g(x) = x^2 ) 的大小，我们可以画出它们的图像。
你会发现，二次函数 ( g(x) = x^2 ) 在 ( x ) 较大的时候，比线性函数 ( f(x) = 2x + 3 ) 要高得多。
高中数学比较大小小技巧,记住就好跨过2021跨年的仪式感高中数学高考数学
高中数学比较大小小技巧，记住就好跨过2021跨年的仪式感高中数学高考数学1、数学比较大小的小技巧：（1）比较分数的大小：可以比较分子大小，把分数约分成相同的分母，然后比较分子大小。
（2）比较两个式子大小：可以把两个根式约分到相同底数，然后用相同底数比较指数的大小。
（3）比较圆心角大小：比较圆心角的大小可以先把它们反正切成相同的角度，然后比较大的角的大小。
（4）比较椭圆面积大小：可以把椭圆归纳为另外一个函数，再以另外一个函数（抛物线方程）来估计椭圆面积，然后再比较大小。
2、高考数学中易出错的点：（1）函数的求值：高考数学常会考到函数的求值，解决这类题目需要掌握函数基本性质、定义域等。
（2）几何平面图形的构建：几何是数学考试中的重点，图形的构建、属性的原理是需要重点掌握的点。
（3）代数方程的求解：代数方程的求解，特别是多元一次方程的解需要借助消元结合声明应用它们的知识，有效率的求解是最重要的。
（4）推理分析题的解答：推理分析的题目综合利用考生的数学知识和推理能力，它要求考生较高的分析思路和综合运用数学知识。
3、2021跨年仪式感调动数学学习：（1）春节是中国最重要的节日，2021跨年仪式将会带给我们浓浓的仪式感。
但我们也要注意期间不要忘记继续努力学习数学知识，加强数学储备，希望在今年的高考中取得优异成绩。
（2）利用这段“清闲”的时间，多多领略一下精彩的数学观察，在审视里找出更多的灵感；做一些有趣的数学游戏，发现更多的美妙之处。
（3）看一些精彩的数学视频，多多理解数学背后的精妙思路，重温和学习常用的技巧；仔细查阅数学书籍，思考数学问题，不断拓展思路，提高数学思维能力。
（4）利用一些实际的案例来进行数学的学习，比如几何平面图形的应用，建模和推理的训练，能使数学更贴近实际生活，也让我们能够更好的应用数学技巧。
综上所述，当我们在开展2021跨年的仪式感的同时，要牢牢记住高中数学和高考数学中易出错的点，努力提高数学技巧水平，更好地跨越2021高考数学。
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高考数学中比较大小的策略云南省会泽县茚旺高级中学 杨顺武在每年的高考数学卷中,“比较大小”是一类热点问题.考生们经常找不到解答问题的方法，乱猜导致丢分.为帮助考生避免无谓失分，本文对这类问题的解题策略进行深入探讨，以提高考生的成绩：策略一：直接法就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论。
运用此种方法解题需要扎实的数学基础。
例1.若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为（ ） A ．123S S S << B ．213S S S << C ．231S S S << D ．321S S S << 解：本题考查微积分基本定理22321111733S x dx x ===⎰ 222111ln ln 21S dx x x ===<⎰，2223117(1)3x xS e dx e e e e e ===-=->⎰。
所以213S S S <<，选B.策略二：估算法就是把复杂问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，或把有关数值扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法。
例2.已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则A.x y z <<B.z x y <<C.z y x <<D.y z x <<解：1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，e e z 121==-，1121<<e ， 所以x z y <<，选D.策略三 数形结合法就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将比较大小与某些图形结合起来，利用直观几何性质，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。
例3.已知二次函数),0(0)(2>=++=a c bx ax x f 满足关系)2()2(x f x f -=+，试比较)5.0(f 与)(πf 的大小。
思路分析 由已知条件)2()2(x f x f -=+可知，在与2=x 左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线2=x 对称，又由已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致图像简捷地解出此题。
解：（如图1）由)2()2(x f x f -=+，知)(x f 是以直线2=x 为对称轴，开口向上的抛物线它与2=x 距离越近的点，函数值越小。
)()5.0(25.02ππf f >∴->-思维障碍 有些同学对比较)5.0(f 与)(πf 的大小，只想到求出它们的值。
而此题函数)(x f 的表达式不确定无法代值，所以无法比较。
出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已知条件的含义，因而思维受到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个已知条件都要仔细推敲，找出它的真正含义，这样才能顺利解题。
提高思维的变通性。
策略四 单调性比较法例 4.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则 A.(3)(2)(1)f f f <-< B. (1)(2)(3)f f f <-<C.(2)(1)(3)f f f -<< D .(3)(1)(2)f f f <<-解:由2121()(()())0x x f x f x -->等价，于2121()()0f x f x x x ->-则()f x 在1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠上单调递增, 又()f x 是偶函数,故()f x 在1212,(0,]()x x x x ∈+∞≠单调递减.且满足*n N ∈时, (2)(2)f f -=, 03>21>>,得(3)(2)(1)f f f <-<,故选A.策略5 特殊值法就是运用满足题设条件的某些特殊数值对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。
用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。
例5. 若0<x<1,则x 、x 2、x 3的大小关系为（ ）。
A 、x <x 2<x 3B 、x <x 3<x 2C 、x 2<x 3< xD 、x 3<x 2<x分析：本题若用减法或除法比较，相对而言麻烦。
象这种选择题用特殊值处理最省劲。
解：∵0<x<1∴不妨取x=0.1得x 2=0.01。
x 3=0.001，显然x 3<x 2<x∴选D策略六 最值法凡是遇到含有绝对值的比较大小，如()()12||f x f x e-≤，通常采用最值法来处理。
例6.已知1=x 是函数()()2x f x ax e =-的一个极值点．(a ∈R )（1）求a 的值；（2）任意1x ，[]20,2x ∈时，证明：()()12||f x f x e -≤分析：利用极值点处的导数为零可求a ，处理()()12||f x f x e -≤可转化为求[]20)(，在x f 上的最大值与最小值，解：（1）'()(2)e xf x ax a =+-，由已知得0)1('=f ，解得1=a ．当1a =时，()(2)e x f x x =-，在1x =处取得极小值．所以1a =.（2）由（1）知，()(2)e x f x x =-，'()(1)e x f x x =-.当[]1,0∈x 时，0)1()('≤-=x e x x f ，)(x f 在区间[]0,1单调递减； 当(]1,2x ∈时，'()(1)0xf x x e =->，)(x f 在区间(]1,2单调递增. 所以在区间[]0,2上，()f x 的最小值为(1)e f =-.又(0)2f =-，(2)0f =，所以在区间[]0,2上，()f x 的最大值为(2)0f =. 对于[]12,0,2x x ∈，有12max min ()()()()f x f x f x f x -≤-．所以12()()0(e)e f x f x -≤--=.策略七 构造法构造出函数，通过对函数性质的研究，来达到解决问题的目的．例7. 已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当()()0,0x f x xf x '>+>（其中()f x '是()f x 的导函数），设1122log 4log 4,,a f b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1lg 5c ⎛⎫= ⎪⎝⎭115f g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是 A.c a b >> B.c b a >>C.a b c >>D.a c b >> 解：令函数()()F x xf x =，则函数()()F x xf x =为偶函数.当0x >时，'()()'()0F x f x xf x =+>，此时函数递增，则122(log 4)(log 4)(2)(2)a F F F F ==-=-=,b F =,1(lg )(lg5)(lg5)5c F F F ==-=，因为0lg 512<<<<，所以a b c >>，选C. [提升训练]1．（估算法）三个数51)52(-, 51)56(-, 52)56(-的大小顺序是（ B ）。
A ．51)56(-<52)56(-<51)52(- B 。
52)56(-<51)56(-<51)52(- C ．51)56(-<51)52(-<52)56(- D 。
51)52(-<51)56(-<52)56(- 点评：幂函数、指数函数的大小比较。
2.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,( ).A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<解:因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-,所以(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(-=-f f ,)0()80(f f =,)3()11(f f =,又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =,得0)0()80(==f f ,)1()1()25(f f f -=-=-,而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以0)0()1(=>f f ,所以0)1(<-f ,即(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.3.设2lg ,(lg ),a e b e c ===A ．a b c >> B.a c b >> C.c a b >> D.c b a >>解：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=21lge, 作商比较知c>b,选B 。
4.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠，有2121()(()())0x x f x f x -->.则当*n N ∈时,有A ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+ B. (1)()(1)f n f n f n -<-<+C. (C)(1)()(1)f n f n f n +<-<-D. (1)(1)()f n f n f n +<-<-121221212121,(,0]()()(()())0()()()(,0]()()(0](1)()(1)(1)()(1)x x x x x x f x f x x x f x f x f x f x f x f n f n f n f n f n f n ∈-∞≠⇒-->⇔>>⇔-∞⇒+∞∴+<<-⇒+<-<-解析：时，在为增函数为偶函数在，为减函数而n+1>n>n-1>0,5.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是 A.a ＞c ＞b B.a ＞b ＞c C.c ＞a ＞b D.b ＞c ＞a 解：25y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。