圆锥曲线常用的二级结论

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高中数学圆锥曲线最常用二级结论总结

圆锥曲线的常用二级结论一、椭圆的常用二级结论1.（1）与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++.（2）与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b λ+=,()2222,0x y b aλλ+=>.2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:(1)122PF PF a +=;(2)1a c PF a c -≤≤+;(3)2212b PF PF a ≤⋅≤;（4）焦半径公式10||PF a ex =+,20||PF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).3.椭圆的方程为22221x y a b +=（a ＞b ＞0）,左、右焦点分别为12,F F ,()00,P x y 是椭圆上任意一点,则有:(1)()()22222222000022,b a y a x x b y a b =-=-;(2)参数方程()00cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数;4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)焦点三角形的面积：122||=tan2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处时,θ最大,此时12PF F S ∆也最大;(4).21cos 2e -≥θ(5)点M 是21F PF ∆内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM =||||.5.有关22b a-的经典结论（椭圆中的垂径定理）(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-(3).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，F 1,F 2点是椭圆上两焦点，则有四边形AF 1BF 2至少为平行四边6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则（1）以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-；（2）过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.10.若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=，则()sin sin sin c e a αβαβ+==+.11.P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.13.已知A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a ---<<.14.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 2215.从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.16.若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设(1).过1F 的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c αα==-+；②2cos ab AB a c α=-２２２２(2).若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设过F ２的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c αα==２２＋－；②22cos ab AB a c α=-２２２结论：椭圆过焦点弦长公式：()()222cos 2sin ab x a c AB ab y a c αα⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪-⎩２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上17.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2112amnb+=18、过圆锥曲线的焦点F 作直线交圆锥曲线于A 、B 两点，若λ=BFAF ，则有下列结论：1、椭圆、双曲线（直线与双曲线两个交点在一支上）、抛物线（离心率e=1）（焦比公式）①焦点在x 轴上时：11cos +-=λλθe ，1112+-+=λλk e ；②焦点在y 轴上时：11sin +-=λλθe ，11112+-+=λλk e 。

数学圆锥曲线二级结论大全

数学圆锥曲线二级结论大全
《数学圆锥曲线二级结论大全》
一、圆锥曲线关于它的一级结论：
1、圆锥曲线的象限是双对称的，在其主象限内都有自己明显的特征。

2、圆锥曲线的终点处离原点越远，它的凹凸性越明显，终点越近，它的凹凸性越不明显。

3、圆锥曲线的宽度随着它距离原点的距离而增大，离原点越远，它的宽度越宽。

4、圆锥曲线的长度随着它距离原点的距离而减小，离原点越近，它的长度越短。

二、圆锥曲线的二级结论：
1、圆锥曲线的起点与终点位于原点的对称轴上，其宽度和长度的变化规律也同样遵循这一原则。

2、圆锥曲线的宽度和长度是由它的凹凸性来决定的，凹凸性越明显，宽度和长度越小，反之亦然。

3、圆锥曲线的宽度和长度还受长短轴的影响，长短轴越大，圆锥曲线的宽度和长度也就越大。

4、圆锥曲线的起点处和终点处的宽度和长度总是比较接近的，而在它们之间的距离就会随着它们离原点的距离变化而变化。

圆锥曲线常用的二级结论

圆锥曲线常用的二级结论圆锥曲线是数学中重要的曲线之一，包括抛物线、椭圆和双曲线。

在研究和应用圆锥曲线时，有一些常用的二级结论可以帮助我们更好地理解和解决问题。

本文将介绍圆锥曲线常用的二级结论，并探讨其在实际应用中的重要性。

一、抛物线的焦点和准线性质抛物线是一种特殊的圆锥曲线，其具有独特的性质。

在研究抛物线时，我们常常会用到其焦点和准线的概念。

1. 抛物线的焦点性质焦点是抛物线的重要几何特征之一。

对于给定的抛物线，焦点是位于其顶点上方（或下方）的一点，具有以下性质：- 所有从焦点出发、与抛物线相切的直线，都会经过抛物线的顶点。

- 抛物线上的任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

这些性质使得焦点成为抛物线在几何和物理问题中的重要参考点，例如抛物线天线的设计、摄像机镜头等。

2. 抛物线的准线性质准线是与抛物线相对应的另一个重要几何特征。

准线是由抛物线的顶点所确定的一条直线，具有以下性质：- 准线与抛物线的对称轴垂直，并通过焦点。

- 抛物线上的所有点到准线的距离都相等。

因此，准线可以帮助我们确定抛物线的形状和位置，以及直观地理解抛物线的特性。

在实际应用中，准线常用于设计和建造拱桥、抛物线状轨道等。

二、椭圆的离心率和焦点性质椭圆是另一种常见的圆锥曲线，其具有一些独特的性质。

在研究和应用椭圆时，我们常常会用到离心率和焦点的概念。

1. 椭圆的离心率离心率是衡量椭圆形状的重要参数之一，通常用字母e表示。

离心率定义为焦点到椭圆中心的距离与椭圆长轴长度的比值，即e=c/a。

离心率的大小决定了椭圆形状的扁平程度，当离心率接近0时，椭圆接近于圆形；当离心率接近1时，椭圆趋向于长条形。

离心率可以帮助我们判断椭圆形状的特征，并在天文学、航天技术等领域中发挥重要作用。

2. 椭圆的焦点性质椭圆有两个焦点，每个焦点位于椭圆的长轴两侧，具有以下性质：- 椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

- 椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之差等于椭圆的焦距。

圆锥曲线二级结论大全及证明过程

圆锥曲线二级结论大全及证明过程
一般圆锥曲线（也称为双曲线）的定义为：在空间中，任一点到光源的距离（可以取
为两个焦点）的和等于它到曲线的距离。

因此，讨论一般圆锥曲线的两个焦点的性质则成
为讨论圆锥曲线二级结论的基础。

1. 一般圆锥曲线的两个焦点处都有曲线切线：
证明：设$F_1,F_2$分别为曲线$C$的两个焦点。

令$P$为曲线$C$上一点，$a$为$P$到$F_1F_2$的距离，则$P$到$F_1$的距离记为$b$，$P$到$F_2$的距离记为$c$。

又由距离公式，记$P$到曲线$C$的距离为$d$，有$b + c = a + d$
将直线$F_1F_2$上点$Q$作曲线上$P$的切线，由距离公式可得：$PQ = d$
由于$F_1,F_2$都是$C$的焦点，有$F_1P + F_2P = a$，令$PQ = b$
可得$F_1Q + F_2Q = a - b$
证明：设圆锥曲线$C$的两个焦点为$F_1,F_2$，当$F_1$和$F_2$越靠近时，曲线
$C$的形状越扁平。

当$F_1$和$F_2$在靠近时，$a$接近于0，则$F_1P + F_2P接近于0$，即$F_1P 接近
于- F_2P$，由弦距定义可知，$F_1P$ 和$F_2P$ 分别成正负对称，由此可知当$F_1$ 和$F_2$ 相越靠近时，直线$F_1F_2$ 和曲线$C$ 的斜率越加小，曲线$C$ 的形状越扁平。

综上所述，证明一般圆锥曲线的两焦点越近，曲线形状越扁平。

圆锥曲线二级结论及证明

圆锥曲线二级结论及证明
圆锥曲线的二级结论是指在圆锥曲线中，一些经过推导和证明的特殊性质和定理。

这些结论通常用于简化解题过程和提高解题效率。

以下是一些圆锥曲线的二级结论及证明：
焦点弦长公式：对于过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲线交于两点A和B，有AB=2ex1ex2*sin(θ)，其中e为离心率，x1和x2为A、B两点对应的横坐标，θ为直线AB的倾斜角。

证明：设直线AB的方程为x=my+n，联立直线和圆锥曲线方程，得到二次方程。

利用韦达定理得到x1+x2和x1*x2的值，再利用弦长公式得到AB的长度。

切线与法线的关系：对于圆锥曲线上的点P(x0,y0)，其切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中k为切线的斜率。

同时，该点的法线方程可以表示为y-y0=-1/k(x-x0)。

证明：设点P处的切线斜率为k，则切线方程可以表示为
y-y0=k(x-x0)。

求出该点处的导数即为切线的斜率。

利用点斜式方程得到切线方程，然后利用法线和切线的垂直关系得到法线方程。

离心率与曲线的形状关系：对于椭圆，离心率e越小，曲线越扁；对于双曲线，离心率e越大，曲线越扁。

证明：利用椭圆的焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率
e与半轴长之间的关系。

对于双曲线，同样利用焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率e与半轴长之间的关系。

以上是一些圆锥曲线的二级结论及证明，这些结论可以应用于具体的解题过程中，提高解题效率。

关于圆锥曲线的二级结论

关于圆锥曲线的二级结论一、概述圆锥曲线是平面解析几何中的重要概念，由于其广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域，因此对其性质和特征的研究具有重要意义。

本文将介绍圆锥曲线的二级结论，包括焦点定理、切线方程和法线方程等内容。

二、焦点定理1.定义焦点定理是描述圆锥曲线与其两个焦点之间距离关系的定理。

对于一个圆锥曲线，它与其两个焦点之间的距离之和等于常数2a，即：PF1 + PF2 = 2a其中PF1和PF2分别表示曲线上任意一点到两个焦点的距离。

2.证明为了证明焦点定理，我们可以使用以下方法：（1）假设一个圆锥曲线C是由一个固定点F1和一个固定直线L（称为直母线）生成的。

将另一个焦点F2定义为C上任意一点P到直母线L垂直平分线与L交点。

（2）根据定义得到PF1 + PF2 = 2a。

（3）利用勾股定理可以得到：PF1^2 = d^2 + (a - x)^2PF2^2 = d^2 + (a + x)^2其中d表示点P到直母线L的距离，x表示点P到直母线L垂直平分线的距离。

（4）将PF1和PF2代入焦点定理公式中，得到：d^2 + (a - x)^2 + d^2 + (a + x)^2 = 4a^2化简可得：x^2 = a^2 - d^2这个结论表明，圆锥曲线上任意一点到其两个焦点的距离之和等于常数，与其到直母线的距离平方成比例。

三、切线方程和法线方程1.定义对于一个圆锥曲线C上任意一点P，我们可以定义它的切线为通过该点且与C相切的直线。

同样地，我们可以定义它的法线为通过该点且垂直于切线的直线。

对于一个二次曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），其在某个点处的切线和法线可以用以下方式求出：（1）切线方程：设该曲线的方程为F(x,y) = 0，在点P(x0,y0)处求出F(x,y)在x=x0处的偏导数F’(x0,y0)，则该曲线在点P处的切线方程为：y - y0 = F’(x0,y0)(x - x0)（2）法线方程：设该曲线的方程为F(x,y) = 0，在点P(x0,y0)处求出F(x,y)在x=x0处的偏导数F’(x0,y0)，则该曲线在点P处的法线方程为：y - y0 = -1/F’(x0,y0)(x - x0)2.举例以椭圆为例，设其方程为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1则在点P(x0,y0)处，有：F(x,y) = (x^2/a^2) + (y^2/b^2) - 1F’(x,y) = 2x/a^2 + 2y/b^2因此，该椭圆在点P(x0,y0)处的切线方程为：y - y0 = (-x/a^2)/(y/b^2)(x - x0)化简可得：(y - y0)/(b^2/a^2)(x - x0) = -(x - x0)/a^2同样地，它的法线方程可以由切线方程变形得到：(y - y0)/(b^2/a^2)(x - x0) = a^2/(y - y0)四、总结本文介绍了圆锥曲线的二级结论，包括焦点定理、切线方程和法线方程等内容。

圆锥曲线中的几个常用二级结论

结论 2 椭圆、双曲线共焦点
已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1， e2 分别是椭圆和双曲线的离心率，则sien2122θ＋coes2222θ＝1．
2 (1)已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为 F1，F2，记它们其中的一个交点为 P，
且∠F1PF2＝23π，则该椭圆离心率 e1 与双曲线离心率 e2 必定满足的关系式为( C )
点，F1，F2 分别为左、右焦点，若∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1
＝β，则
S△PF1F2＝ b2θ，离心率 tan2
e＝|sinαs－inθsinβ|x22＋by22＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2 分别为左、右焦点，若 P→F1·P→F2＝0，tan∠PF1F2＝12，则椭圆的离心率为___3_5__．
【解析】因为 tan∠PF1F2＝12，P→F1·P→F2＝0，所以 sin∠PF1F2＝sinα＝ 15，sin∠PF2F1
＝sinβ＝
25，sin∠F1PF2＝sinθ＝1，所以
e＝sinαs＋inθsinβ＝
1
1 ＋
2
＝
35．
55
3 (2)已知 F1，F2 是双曲线x42－y2＝1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且P→F1· P→F2＝0，则△PF1F2 的面积为__1___．
2 (2)已知 F1，F2 为椭圆 C1：ax221＋by221＝1(a1＞b1＞0)与双曲线 C2：ax222－by222＝1(a2＞
0，b2＞0)的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝π3，e1，e2 分别为 C1，
C2 的离心率，则 e1e2 的最小值为
( A)

数学-圆锥曲线常考的93个二级结论

圆锥曲线常考的93 个二级结论一、椭圆1.是椭圆上的任意一点，是椭圆的一个焦点，则的取值范围是.2.是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，则的取值范围是.3.是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，则的取值范围是.4.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，，则..5.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，则为短轴端点时最大.6.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右顶点，则为短轴端点时最大.7.已知椭圆，若点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭P 12222=+by a x 1F 1PF [,]a c a c -+P 12222=+by a x 1F 2F 12PF PF ⋅22[,]b a P 12222=+by a x 1F 2F 12PF PF ⋅u u u r u u u r2222[,]b c a c --P ()012222>>=+b a by a x 21,F F θ=∠21PF F 122tan2F PF S b θ∆=1222F PF C a c ∆=+P ()012222>>=+b a by a x 21,F F P 12F PF ∠P ()012222>>=+b a by a x 12,A A P 12A PA ∠12222=+by a x ()0>>b a B A ,M圆上异于的一点.若的斜率分别为，则.8.若是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则. 9.若是椭圆不垂直于对称轴的切线，为切点，则.10.过圆上任意点作椭圆（）的两条切线，则两条切线垂直.11.过椭圆（）上任意不同两点作椭圆的切线，如果切线垂直且相交于，则动点的轨迹为圆. 12.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离.13.以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆内切.14.设为椭圆的左、右顶点，则在边（或）上的旁切圆，必与所在的直线切于（或）.15.椭圆的两个顶点为,，与轴平行的直线交椭圆于时与交点的轨迹方程是.16.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.,A B MB MA ,21,k k 2122b k k a⋅=-AB 22221x y a b +=M AB 22OM ABb k k a⋅=-l 22221x y a b +=M 22l OM b k k a ⋅=-2222x y a b +=+P 22221x y a b+=0a b >>22221x y a b+=0a b >>,A B P P 2222x y a b +=+1PF 12,A A 12F PF ∆2PF 1PF 12A A 2A 1A 22221x y a b +=()0>>b a 1(,0)A a -2(,0)A a y 12,P P 11A P 22A P 22221x y a b-=00(,)P x y 22221x y a b +=P 00221x x y ya b+=17.若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是. 18.若点在椭圆（）内，过点作椭圆的弦（不过椭圆中心），分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线. 19.若在椭圆内，则被所平分的中点弦的方程是. 20.若在椭圆内，则过的弦中点的轨迹方程是. 21.若是椭圆上对中心张直角的弦，则. 22.过椭圆焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值.23.过椭圆焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值.24.过椭圆焦点互相垂直的直线与椭圆相交构成四边形面积的取值范围是00(,)P x y 22221x y a b+=P 12,P P 12PP 00221x x y ya b+=()00,M x y 22221x y a b+=0a b >>M AB ,A B P 00221x x y ya b+=00(,)P x y 22221x y a b +=P 2200002222x x y y x y a b a b+=+00(,)P x y 22221x y a b +=P 22002222x x y yx y a b a b+=+PQ 22221x y a b+=()0>>b a 22221111||||OP OQ a b+=+22ab2222a b ab +.25.过椭圆焦点互相垂直的直线被椭圆截得弦长之和的取值范围是.26.设为椭圆上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.27.若是过椭圆（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则. 28. 若是椭圆（）的左右顶点，点是直线（）上的一个动点（不在椭圆上），直线及分别与椭圆相交于，则直线必与轴相交于定点.29.过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与轴相交于，若，，则为定值，且.30.过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.2422228[,2](+)a b b a b 2222282(+)[,]+ab a b a b a()000,y x P ()012222>>=+b a by a x 21P P 21P P 21P P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-022*******,y b a b a x b a b a M AB 22221x y a b+=0a b >>F AB x N 2AB NF e=,A B 22221x y a b+=0a b >>P x t =,0t a t ≠≠P PA PB ,M N MNx 2,0a Q t ⎛⎫⎪⎝⎭22221x y a b+=0a b >>F ,M N y P PM MF λ= PN NF λ= λμ+222a bλμ+=-22221x y a b+=0a b >>F ,M N P PM MF λ= PN NF μ=λμ+0λμ+=31.若是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.32.若是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.33.若是椭圆（）上任意两点，点关于轴对称点为，若直线与轴分别相交于点，则为定值，且.34.若是椭圆（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交椭圆于另一点，则直线恒过轴上的定点，且定点为.35.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线必过相应的焦点，且垂直切点弦.36.为椭圆的焦点弦，则过的切线的交点必在相应的准线上.注：本文以焦点在轴上的椭圆为例，焦点在轴时上述结论未必完全一致，请慎用.MN 22221x y a b+=0a b >>P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b+=0a b >>P ,MP NP x ,E F A OE EA λ= OF FA μ=λμ+1λμ+=-,M P 2222:1x y C a b+=0a b >>M x N ,PM PN x ()(),0,,0A m B n mn 2mn a =,A B 2222:1x y C a b +=0a b >>x (),0P m x PB C E AE x 2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭M ,A B AB F MF AB AB ,A B M x y二、双曲线1.为双曲线左上一点，若是左焦点，则的取值范围是，若是右焦点，则的取值范围是.2.是双曲线上的任意一点，、是双曲线的左右焦点，则的取值范围是.3.是双曲线上的任意一点，、是双曲线的左右焦点，则的取值范围是.4.为双曲线上一点，其中是双曲线的左右焦点，，则.5.已知双曲线，若点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点.若的斜率分别为，则.6.是双曲线的不平行于对称轴的弦，为的中点，则.7.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交.P )0,0(12222>>=-b a b y a x F PF [,)c a -+∞F PF [,)c a ++∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 1F 2F 12PF PF ⋅2[,)b +∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 1F 2F 12PF PF ⋅2[,)b -+∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 21,F F θ=∠21PF F 122tan2FP F b S θ∆=)0,0(12222>>=-b a b y a x B A ,M B A ,MB MA ,21,k k 2122b k k a⋅=AB 22221x y a b -=M AB 22OM AB b k k a⋅=8.以焦半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.9.设为双曲线上一点，则的内切圆必切于与在同侧的顶点.10.双曲线的两个顶点为,，与轴平行的直线交双曲线于时与交点的轨迹方程是.11.若在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是. 12.若在双曲线外，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是. 13.若在双曲线内，则被所平分的中点弦的方程是. 14.若在双曲线内，则过的弦中点的轨迹方程是. 15.设为双曲线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.PF P 12F PF ∆P )0,0(12222>>=-b a b y a x 1(,0)A a -2(,0)A a y 12,P P 11A P 22A P 22221x y a b+=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 00221x x y ya b-=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a by a x P 12,P P 12PP 00221x x y ya b-=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 2200002222x x y y x y a b a b-=-00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 22002222x x y yx y a b a b-=-()000,y x P ()012222>>=-b a by a x 21P P 21P P 21P P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+022*******,y b a b a x b a b a M16.为双曲线上一点，若是一个焦点，以为直径的圆与圆的位置关系是外切或内切.17.过双曲线焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值. 18.过双曲线焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值.19.过双曲线（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.20.若是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.21.若是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.22.若是双曲线（）上任意两点，点关于轴对称点为，若直线与轴分别相交于点，则为定值，且.23.若是双曲线（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交双曲线一点，则直线恒过轴上的定P )0,0(12222>>=-b a by a x F PF 222a y x =+22ab 2222a b ab +22221x y a b-=0,0a b >>F ,M N P PM MF λ= PN NF μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b-=0,0a b >>P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b-=0,0a b >>P ,MP NP x ,E F A OE EA λ=OF FA μ=λμ+1λμ+=-,M P 2222:1x y C a b -=0,0a b >>M x N,PM PN x ()(),0,,0A m B n mn 2mn a =,A B 2222:1x y C a b-=0,0a b >>x (),0P m x PB C E AE x点，且定点为.24.从双曲线（）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：.25.双曲线上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交双曲线于，则必与该双曲线相切，且.26.若是过双曲线（）的焦点的一条弦（非通径，且为单支弦），弦的中垂线交轴于，则2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭22221x y a b-=0,0a b >>222x y a +=P M P F Q MQ MF PQ ⊥AB 22221x y a b-=0,0a b >>F AB x M 2AB MF e=三、抛物线1.以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．2.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切.3.以抛物线焦半径为直径的圆与轴相切.4.过抛物线焦点弦的抛物线上端点向y 轴作垂线，垂足为M ，则以OM 为直径的圆与焦半径相切.5.若线段为抛物线的一条焦点弦，则. 6.设抛物线方程为，过焦点的弦的倾斜角为，则焦点弦. 7.若是抛物线的焦点弦，且，，则，. 8.抛物线方程为，过的直线与之交于、两点，则.反之也成立.9.抛物线上一点处的切线方程为.10.过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在抛物线的准线上. 11.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点. 12.切线交点与弦中点连线平行于对称轴.y AB 2:2(0)C y px p =>112AF BF p+=)0(22>=p px y AB α222sin 2sin AOB p p AB S αα∆==，AB 22(0)y px p =>11(,)A x y 22(,)B x y 2124p xx =212y y p =-22(0)y px p =>(2,0)p A B OA OB ⊥22y px =00(,)x y 00()y y p x x =+13.过抛物线焦点且互相垂直的直线被抛物线截得弦长倒数之和是定值. 14.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线相交构成四边形面积的取值范围是，15.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线截得弦长之和的取值范围是.16.过直线（）上但在抛物线（）外（即抛物线准线所在区域）一点向抛物线引两条切线，切点分别为，则直线必过定点，且有. 17.过抛物线（）的对称轴上任意一点（）作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦所在的直线必过点.18.若是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.19.过抛物线（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.20.是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是抛物线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.12p2[8,)p +∞[8,)p +∞x m =0m ≠22y px =0p >M ,A B AB (),0N m -2AB MN p k k m=22y px =0p >(),0M m -0m >,A B AB (),0N m MN 22y px =0p >P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ= λμ+0λμ+=22y px =0p >F ,M N P PM MF λ= PN NF μ= λμ+0λμ+=MN 22y px =0p >P ,MP NP x ,E F A OE EA λ= OF FA μ= λμ+112λμ+=21.若是抛物线（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交抛物线一点，则直线恒过轴上的定点，且定点为.22.抛物线的准线上任一点处的切点弦过其焦点，且.23.抛物线上任一点处的切线交准线于，与焦点的连线交抛物线于，则必与该抛物线相切，且.24.若是过抛物线（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则. 25.设为抛物线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.26.若是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若，过作，则动点的轨迹方程为（）.27.若是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若，则.28.过抛物线（）上任一点作两条弦，则（）的充要条件是直线过定点. 29.在抛物线（）的对称轴上存在一个定点，使得过该点的任,A B 2:2C y px =0p >x (),0P m x PB E AE x (),0Q m -M PQ F MF PQ ⊥P M P F Q MQ MF PQ ⊥AB 22y px =0p >F AB x M 2AB MF=()00,N x y px y 22=AB AB AB ()002,x p y +-,A B 22y px =0p >O OA OB ⊥O OM AB ⊥M 2220x y px +-=0x ≠,A B 22y px =0p >O OA OB ⊥()2min 4AOB S p ∆=22y px =0p >()00,M x y ,MA MB MA MB k k λ=0λ≠AB 002,p N x y λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭22y px =0p >(),0M p意弦恒有. 30.抛物线（）上两点、连线斜率若存在即为. 31.抛物线（）上一点处切线的斜率若存在即为. 注：本文以为例，其他情况上述结论未必完全一致，请慎用.AB 222111p MA MB +=22y px =0p >A B 2A Bp k y y =+22y px =0p >A A p k y =22y px =。

圆锥曲线的二级结论(完整版)

( ) F1F=2 2c c=2 a2 − b2
关于 x 轴、 y 轴、原点对称
离心率
e= c = a
1−
b2 a2
(0
<
e
< 1) e
越小，椭圆越圆；e
越大，椭圆越扁
( ) 结论
1.（1）、与椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1共焦点的椭圆的方程可设为
a
x2 2+
λ
+
y2 = b2 + λ
1, b2 + λ > 0
.
x2 （2）、与椭圆 a2
+
y2 b2
= 1有相同的离心率的椭圆可设为
x a
2 2
+
y2 b2
= λ , bx22
+
y2= a2
λ,(λ > 0).
结论 2.椭圆的两焦点分别为 F1, F2 , P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立: （1）、第一定义： PF1 + PF2 = 2a ；（2）、焦半径的最大值与最小值： a − c ≤ PF1 ≤ a + c ；
一．有关椭圆的经典结论
焦点的位置
圆锥曲线的二级结论
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程范围
顶点
轴长焦点焦距对称性
x2 + y2= a2 b2
1(a > b > 0)
y2 + x2= a2 b2
1(a > b > 0)
−a ≤ x ≤ a 且 −b ≤ y ≤ b
−b ≤ x ≤ b 且 −a ≤ y ≤ a

圆锥曲线常用的二级结论

圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。

2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。

3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。

4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。

5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。

6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。

7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。

8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。

9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。

10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。

圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。

圆锥曲线最常见二级结论

圆锥曲线最常见二级结论
圆锥曲线是数学中的重要内容，也是平面解析几何的核心。

以下是圆锥曲线的一些常见二级结论：
1.离心率和焦点与直径的关系：对于椭圆和双曲线，离心率是一个描述曲线扁平程度的参数。

对于椭圆，离心率e的取值范围是0到1之间；而对于双曲线，离心率大于1。

离心率和焦点与直径之间存在紧密的关系。

2.切线与法线的性质：曲线上的每一点都可以有一条切线和一条法线。

切线与曲线的斜率之积等于-1，即两者是互相垂直的。

切线的斜率等于曲线在该点的导数，法线的斜率等于切线的负倒数。

3.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和：过椭圆准线上任意一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点。

4.圆锥曲线的相关二级结论：例如过圆上任意一点作圆的两条切线，两条切线垂直；过椭圆上任意一点作斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值等。

此外，还有很多其他结论和应用，可以根据具体的数学分支和需求进行深入研究和学习。

这些结论有助于更好地理解和应用圆锥曲线的性质和定理，提高解题能力和数学素养。

1。

圆锥曲线中的应记的二级结论

(11)SABO
p2
2sin
,
yA
M
O •F
x
B
几何特征：（1）AN BN； (2)PF QF; (3)NF AB; (4) AN是PAF的平分线， BN同理；（5）AN是抛物线的切线， BN同理；（6）A,O,Q三点共线， B,O, P三点共线；
直线和圆锥曲线的位置关系中，应该求出坐标的点：
于准线于N , 直线AB的倾斜角为，A(x1, y1), B(x2, y2 ),
代数特征：
（7）x1x2, y1 y2及OA OB均为定值；
(8)
|
AB
|
x1
x2
p
2p
sin 2
;
(9) | AF | p ,| BF | p ;
1 cos
1 cos
(10) 1 1 2 ; | AF | | BF | p
1.两直线的交点； 2.曲线C与坐标轴的交点； 3.直线与圆锥曲线的特殊的交点
b2
BF1 a c cos
=
a2
2ab2 c2 cos2
（长减、短加；为直线AB与焦点所在对称轴的夹角）
抛物线C:x2 2 py
焦半径 : AF p ，
1 cos
BF = p
1+ cos
焦点弦 :
AB
2p
1 cos2
2p
= sin2
四.和圆中三个垂直关系对应椭圆中的类似性质：（1）椭圆的“垂径” 定理:
B2 4AC A2
（1 k 2 ) =
A
（2）同理:椭x 圆m方y 程n
AB
(1 m2 ) A
三.焦半径和焦点弦:
简证 : AF1F2中, 设AF1 m

圆锥曲线常用的二级结论6069-修订编选

圆锥曲线常用的二级结论6069-修订编选
圆锥曲线是数学中引入的一种曲线形式，它具有几何学美学以及功能特点，即可以用于描绘封闭曲线，又可用来描述非封闭曲线。

一般来说，圆锥曲线可以用极坐标和直角坐标系中的方程进行研究，常用的结论也有二级结论，如下：
1、轴线相等双曲线本地主轴线的倾斜角的余弦的平方和，等于圆锥面（斜截面）的一半的投影距离的和，即：
cos2α + cos2β = X2 + Y2
3、近似双曲线环带角和第三轴相等时，环带角的余弦，加上投影距离的平方，乘以一个常数，ch等于近似双曲线椭圆面乘以另一个常数，Cv，即：
cosδ + X2 × ch = Ab × Cv
5、双曲线的斜线与双曲线的曲线轴有关，即：
y2 = 4a2(cosα - sinα)
6、双曲线轴向，焦点点及渐近线方向的余弦的和，等于面的半长轴的平方，即：
7、双曲（抛物线）开口程度的余弦，等于半长轴的平方乘以一个常数，ch，即：
总结以上，圆锥曲线二级结论具有以上特点，可以帮助人们研究曲线的几何、功能特点，以此来提高曲线的研究价值。

数学圆锥曲线二级结论

数学圆锥曲线二级结论
数学圆锥曲线的二级结论主要包括以下几个内容：
1. 曲线相关定理：包括焦点、准线、直角等定理。

例如，椭圆的焦点定理指出，椭圆上任意一点到焦点的距离之和是一个定值。

2. 极坐标方程：用极坐标方程表示圆锥曲线。

例如，椭圆的极坐标方程为$r = \frac{p}{1-e\cdot\cos\theta}$，其中$r$为极径，$p$为半焦距，$e$为离心率。

3. 集中思路：圆锥曲线的性质与方程的意义。

例如，双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$为横轴
半径，$b$为纵轴半径。

根据这个方程可以得到双曲线的离心
率$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$，并且根据离心率可以确定双
曲线的形状。

4. 曲线的性质：包括切线、法线、渐近线、对称性等。

例如，椭圆的切线与法线切点形成的角度为直角；双曲线的两支曲线的渐近线方程为$y=\frac{\pm b}{a}x$。

5. 常见问题：周长、面积、焦距、离心率等计算问题。

例如，椭圆的面积为$S=\pi a b$，焦距为$f=\sqrt{a^2-b^2}$。

总的来说，数学圆锥曲线二级结论是指对圆锥曲线的进一步研究，包括基本定理的推导、曲线的性质和相关问题的解答等。

这些二级结论可以帮助我们更深入地理解和运用圆锥曲线。

圆锥曲线常用的二级结论

圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论包括：
1. 离心率与焦距之间的关系：离心率e是焦点到准线的距离与焦距的比值，对于椭圆和双曲线来说，离心率e小于1；对于抛物线来说，离心率e等于1。

2. 曲线方程：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1，抛物线的标准方程为y² = 4ax。

3. 曲线的对称性：椭圆关于x轴、y轴对称；双曲线关于x轴、y轴对称以及关于原点对称；抛物线关于y轴对称。

4. 焦距和半长轴、半短轴之间的关系：椭圆的焦距为2ae，半长轴为a，半短轴为b，有关系式c² = a² - b²；双曲线的焦距为
2ae，半长轴为a，半短轴为b，有关系式c² = a² + b²；抛物线的焦距为2a，其中a为焦点到准线的距离。

5. 抛物线的焦点和准线：抛物线的焦点位于焦点到准线的中垂线上，焦点和准线的距离相等。

6. 椭圆的准线和双曲线的渐近线：椭圆的准线是它的对称轴，双曲线的渐近线是两条对称轴，与椭圆和双曲线的切线垂直。

以上是一些圆锥曲线常用的二级结论，这些结论对于研究和解题有很大的帮助。

圆锥曲线二级结论大全常用

圆锥曲线二级结论大全常用圆锥曲线是数学中的一个重要分支，包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

在研究圆锥曲线时，有一些常用的二级结论可以帮助我们更好地理解和应用这些曲线。

下面是一些常用的二级结论：1. 椭圆的焦点定理，对于椭圆，任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，其中a是椭圆的半长轴。

2. 双曲线的焦点定理，对于双曲线，任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于常数2a，其中a是双曲线的半长轴。

3. 抛物线的焦点和准线定理，对于抛物线，焦点到准线的距离等于焦距的一半。

4. 椭圆的离心率，椭圆的离心率定义为焦点到准线的距离与长轴长度的比值，通常用字母e表示。

离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形；离心率越接近于1，椭圆越扁平。

5. 双曲线的离心率，双曲线的离心率定义为焦点到准线的距离与焦点到顶点的距离之比，通常用字母e表示。

离心率大于1的双曲线是开口向外的，离心率小于1的双曲线是开口向内的。

6. 抛物线的离心率，抛物线的离心率定义为焦点到准线的距离与焦点到焦点之间的距离的比值，通常用字母e表示。

抛物线的离心率恒为1，表示抛物线是所有圆锥曲线中离心率固定的一种。

7. 椭圆的参数方程，椭圆可以用参数方程表示，其中x=acos(t)和y=bsin(t)，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

8. 双曲线的参数方程，双曲线可以用参数方程表示，其中x=acosh(t)和y=bsinh(t)，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。

9. 抛物线的参数方程，抛物线可以用参数方程表示，其中x=t和y=t^2。

10. 椭圆的焦点和直径关系，椭圆的焦点和直径之间有一个重要的关系，即直径的中点恰好是焦点连线的中垂线的交点。

这些是圆锥曲线中常用的二级结论，它们可以帮助我们更好地理解和应用椭圆、双曲线和抛物线。

当然，圆锥曲线还有许多其他的性质和结论，这里只列举了一部分常用的二级结论。

高中数学-圆锥曲线常用的二级结论

高中数学-圆锥曲线常用的二级结论高中数学圆锥曲线常用的二级结论在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，而其中有一些常用的二级结论，能够帮助我们更高效地解决相关问题。

首先，我们来谈谈椭圆中的常用二级结论。

对于椭圆\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），有这样一个结论：过椭圆焦点的弦长公式。

假设弦所在直线的倾斜角为\（＼theta\），且过焦点\（F\），则弦长\（AB ＝＼frac{2ab^2}｛a^2c^2\cos^2\theta}＼）。

这个结论在求解与椭圆弦长相关的问题时非常有用。

再看双曲线，对于双曲线\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2}＝ 1\），也有一个类似的过焦点弦长公式。

若弦所在直线的倾斜角为\（＼theta\），且过焦点\（F\），则弦长\（AB ＝＼frac{2ab^2}｛｜a^2 c^2\cos^2\theta|｝＼）。

接着说抛物线，以抛物线\（y^2 ＝ 2px\）（＼（p ＞ 0\））为例。

有这样一个结论：抛物线上一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

假设点\（P(x_0, y_0)＼）在抛物线上，那么点\（P\）到焦点的距离就是\（x_0 ＋＼frac{p}｛2}＼）。

还有一个与抛物线相关的重要结论：若直线与抛物线相交于两点\（A(x_1, y_1)＼），＼（B(x_2, y_2)＼），且直线的方程为\（y ＝ kx＋ b\），联立抛物线方程可得\（k^2x^2 ＋（2kb 2p)x ＋ b^2 ＝ 0\），则\（x_1 ＋ x_2 ＝＼frac{2p 2kb}｛k^2}＼），＼（x_1x_2 ＝＼frac{b^2}｛k^2}＼）。

接下来，我们深入探讨一下椭圆中与焦点三角形有关的结论。

焦点三角形是指以椭圆的两个焦点\（F_1\），＼（F_2\）以及椭圆上一点\（P\）所构成的三角形。

圆锥曲线常用的二级结论

圆锥曲线常用的二级结论
一、椭圆
1. 椭圆的一般式：
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
(x² / a²) + (y² / b²) = 1
其中 a 和 b 分别表示椭圆的长半轴和短半轴。

3. 椭圆的离心率：
其中 e 表示椭圆的离心率。

4. 椭圆的焦点坐标：
如果椭圆的焦距为 2c，则椭圆的焦点坐标为(±c,0)。

5. 椭圆的几何意义：
椭圆是一个平面曲线，其形状类似于拉伸的圆形。

在数学中，椭圆被广泛应用于计算、图形学和物理学。

二、双曲线
2. 双曲线的标准式：
双曲线有两条渐近线，它们在双曲线两侧无限接近双曲线，但永远不会穿过它。

三、抛物线
其中 a、b 和 c 分别表示抛物线的系数，抛物线面向的方向可以通过 a 的正负性来
判断。

如果抛物线面向的方向垂直于 x 轴，其焦点坐标为 (0, 1 / (4a))。