第一章 流体运动学

F ( x, y , z ) = 0
则光滑流体面必须满足的微分方程：
DF ∂F = + v ⋅∇ = F 0 Dt ∂t
(
)
§1-4 流体微团的运动分析
研究对象：

流体微团：由大量流体质点组成的微元流体。
平行六面体

四面体
球体
流体线：同一时刻由确定的一组连续排列的流 体质点所组成的线；若流体线处处可微，称连 续流体线。
= Aα iα × Bβ iβ= eαβγ Aα Bβ iγ A× B ∂vβ ∂vβ ∂ ∇ × v= = eαβγ iα × vβ iβ= iα × iβ iγ ∂xα ∂xα ∂xα ∂vβ 1 ωγ = eαβγ 2 ∂xα ∂v j 1 ∂v j 1 ∂vβ ∂vα 1 = − eαβγ ωγ = eαβγ eijk δ α iδ β j − δ α j δ β i ) = ( ∂x 2 ∂xi 2 ∂xi 2 ∂xβ α = Bk ik ⋅ iα aαβ iβ= aαβ Bα iβ= eαβγ ωγ Bα iβ= ω × B B⋅a = aαβ
一、运动的几何分析 原点处流体质点的速度： = vl v1 cos θ + v2 sin θ = vn v2 cos θ − v1 sin θ 又因为：
∂ ∂ ∂ = cos θ + sin θ ∂l ∂x1 ∂x2
所以：∂vl
∂v2 ∂v1 ∂v1 ∂v2 2 = cos θ + sin θ cos θ + + sin θ ∂l ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2
0
1 ∂v2 ∂v1 ( ) ωθ dτ = − 2 ∂x1 ∂x2
同理有：
1 ∂v1 ∂v3 ( ) ω2 = − 2 ∂x3 ∂x1 1 ∂v3 ∂v2 ( ) ω1 = − 2 ∂x2 ∂x3
任意坐标平面内：
1 ω= ∇ × v 则流体微元的旋转角速度(矢量)： 2
1 ∂vβ ∂vα aαβ = ( )= ωγ = − − aαβ 2 ∂xα ∂xβ
§1-1 流体运动的两种研究方法
一、拉格朗日法 流体质点的运动轨迹：
xα = xα ( b1 , b2 , b3 , t )
b1 , b2 , b3 确定时可表示某个流体质点的运动轨迹： dr ∂r 对某一质点： v = 对所有质点： v = dt ∂t ∂v a= 同理： ∂t
任意坐标平面内：
1 ∂vβ ∂vα )= ε βα ε αβ = ( + 2 ∂xα ∂xβ
当α=β时，εαβ退化为线变 ∂v3 ∂v1 ∂v2 ε 33 = ε 22 = 形速率，因此可以把角变 ε11 = ∂x1 ∂x2 ∂x3 形、线变形速率统一起来

流体微元的旋转角速度
2
ω3 =
π
∫
π 2
φ = φ r, t 研究含有时间t的向量场：

二、欧拉法
( )
∂v ( b1 , b2 , b3 , t ) = a ( b1 , b2 , b3 , t ) 拉格朗日方法中： ∂t 欧拉方法中：已知速度场 v r , t ， ∆t 时刻后： ∂v ∂v = ∆t v r , t + ∆t + ∆ r + 0 ( ∆t 2 ) v r + v∆t , t + ∂t ∂r v r + v∆t , t + ∆t − v r , t dv ∂v a = lim = + ( v ⋅∇ ) v 因此：= dt ∆t →0 ∆t ∂t
二、变形率张量和涡量张量 前面得到了变形率张量和涡量张量：
1 ∂vβ ∂vα )= ε βα ε αβ = ( + 2 ∂xα ∂xβ aαβ 1 ∂vβ ∂vα ( )= = − − aαβ 2 ∂xα ∂xβ
在任意坐标平面中：
1 ∂vβ ∂vα = + ∂xα 2 ∂xα ∂xβ 因此： ∇v = ε + a ∂vβ 1 ∂vβ ∂vα + − 2 ∂x α ∂xβ = ε + aαβ αβ
流管的侧面与外界无质量交换：
= qm ∫∫ = n1 ρ1 v1dA
A1ห้องสมุดไป่ตู้
∫∫
A2
n2 ρ 2 v2 dA
若所取流管截面A1和A2与流 管内所有流线垂直： ∫∫A ρ1v1dA = ∫∫A ρ2v2 dA
1 2
若A1和A2上ρ和v分布均匀： ρ1v1 A1 = ρ 2 v2 A2 对于不可压缩流体则：
dx dy dz 流线方程：v × d r = 0 直角坐标系中： = = vx v y vz
流线的四个性质： 1、一般不相交(除驻点、奇点、流线相切)； 2、每一点都有流线→形成流谱； 3、流线的形状与位置在定常流动中不随时间变化； 4、定常流动时流线与迹线重合。 三、串线：相继通过某点的流体质点依次串联而成。 四、流体线：同一时刻确定的一组连续排列的流体 质点组成的线；若流体线处处可微，称连续流体线。 五、流管：过不与流线重合的任意封闭曲线上的每 一点的流线组成的管状曲面。
εαβ为变形率张量(二阶对称张量)； aαβ为涡量张量(二阶反对称张量)。
一些张量分析基础知识
张量(tensor)：向量的推广，定义为由若干坐标系改 变时满足一定坐标变换的有序数组成的集合。 提出张量的原因： (1)自然法则与坐标无关，引入坐标掩盖了物理本 质，造成表达不统一。 (2)坐标系的引入造成表达式冗长。 若干约定： (1)Einstein求和约定：凡在同一项内，重复一次且 近重复一次的指标，表示对该指标在其取值范围 内求和，称哑标。如：
2
∂v2 ∂v1 ∂vn ∂v2 ∂v1 2 2 = cos θ + sin θ cos θ − − sin θ ∂l ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1
流体线的线变形速率(单位时间流体线的相对伸长 )
∂vl dl dt − vl dt vl + ∂l ε ll = dtdl ∂vl = ∂l
xα = xα (b1 , b2 , b3 , t )
bα是λ的连续函数，故xα是λ和t的连续函数，仍是连 续流体线。流体线上的质点排列取决于参数λ而非 t ，因此排列顺序不变。
光滑流体面：同一时刻由确定的一组连续排列的流 体质点所组成的面称作流体面，若处处光滑，称为 光滑流体面。 设光滑流体面界面参数方程为：
v1 A1 = v2 A2
流管的三个性质： 1、流管不能相交； 2、流线的形状与位置在定常流动中不随时间变化， 在非定常流动中可能随时间变化； 3、流管不能内部中断。
§1-3 连续流体线的保持性
保持性：连续可微的流体线在运动过程中始终为连 续可微的流体线，其上流体质点的排列顺序不随时 间变化，即： bα f= xα = α ( λ ) 或xα f1 ( λ ) , f 2 ( λ ) , f3 ( λ ) , t 证明：t0时刻连续流体线的参数方程： bα = fα (λ ) t时刻流体线上各点位置(用拉格朗日方法表示)：
特殊情况(l与坐标轴方 向相同)：
∂v1 ε11 = ∂x1 ∂v2 ε 22 = ∂x2 ∂v3 ε 33 = ∂x3
流体线的角变形速率(单位时间流体线的旋转角速度 )
dθ 1 AA′ = = ω θ dt dt dl ∂vn vn + dl dt − vn dt 1 ∂l = dt dl ∂v2 ∂v1 ∂vn ∂v2 ∂v1 2 2 = =cos θ + sin θ cos θ − − sin θ ∂l ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1
特殊 ω = ∂v2 ω = − ∂v1 ω = 1 ( ∂v2 − ∂v1 ) + 1 ( ∂v2 − ∂v1 ) π 2 π 4 0 2 ∂x1 ∂x2 2 ∂x2 ∂x1 ∂x2 情况 ： ∂x1

流体微元的角变形速率
1 = ε12 ω0 − ωπ 2 ) ( 2 1 ∂v2 ∂v1 ( )= ε 21 = + 2 ∂x1 ∂x2
bα = bα ( x1 , x2 , x3 , t ) 方程组有单值解。 说明： φ = φ ( b1 , b2 , b3 , t ) 以拉格朗日变数表示的物理量。
= φ ( b1 ( x1 , x2 , x3 , t ) , b2 ( x1 , x2 , x3 , t ) , b3 ( x1 , x2 , x3 , t ) , t ) = φ ( x1 , x2 , x3 , t ) 成为以欧拉变数表示的物理量。
ai xi = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3
σ ii = σ jj = σ 11 + σ 22 + σ 33
(2)自由标：凡在同一项内不重复出现的指标为自 由标。如： 1 ⇒ a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a ji xi = b j j为自由标 j = (3)克罗内克 (Kronecker-δ)符号：
1 当i = j 定义： δ ij = 2 当i ≠ j 1 0 0 δ11 δ12 δ13 = δ = δ = I 0 1 0 δ δ 由定义： 22 11 ij 21 0 0 1 δ 31 δ 32 δ 33
Aijδ ij = Aii = Ajj = A11 + A22 + A33
(4)张量的缩并：
(5)置换符号：
eαβγ
δα 1 δα 2 δα 3 =iα ⋅ iβ × iγ = δ β 1 δ β 2 δ β 1 δγ 1 δγ 2 δγ 3
(
)
eαβγ
δα i δα j δα k 特殊情况： δ α iδ β j − δ α j δ β i ⋅ eijk = δ β i δ β j δ β k eαβγ ⋅ eij= γ δ γ i δ γ j δ γ k eαβγ ⋅ eiβγ = 2δα i eαβγ ⋅ eαβγ = 2 × 3 = 6
§1-2 迹线与流线
一、迹线：流体质点运动形成的轨迹。 拉格朗日法中质点运动方程就是迹线参数方程：
xα = xα ( b1 , b2 , b3 , t )
对于给定的 b1 , b2 , b3 消去t可得迹线方程。 欧拉法：由速度场来建立迹线方程： 迹线的微元长度向量：d r = v ( x1 , x2 , x3 , t ) dt 二、流线：其上任一点的切线方向为速度方向。
A1 δ ij Ai =δ1 j A1 + δ 2 j A2 + δ 3 j A3 = A2 A 3 j =1 j =2 j =3
δαβ Tβ k T= δαβ δ β k δα = δ ijδ jk δ kl δ il = k αk δ ijδ ij =δ ii =δ jj =δ11 + δ 22 + δ 33 = 3
2、欧拉变量→拉格朗日变量：
dr 拉格朗日法求质点导数 ) = v ( x1 , x2 , x3 , t ) (欧拉变数表示 ) ( dt dxα = vα ( x1 , x2 , x3 , t ) 即： dt 积分上式得： xα = xα ( c1 , c2 , c3 , t )
其中 c1 , c2 , c3 为积分常数；与 t = t0 ( 定解条件 )时刻有关。 如此便把欧拉变数转化为拉格朗日变数。
质点导数：流体质点的物理量对于时间的变化率 称为该物理量的质点导数。
( )
(
) ( ) (
) ( )
三、两种方法的互相转换 1、拉格朗日变量→欧拉变量： 置换关系式： xα = xα ( b1 , b2 , b3 , t )
∂xα ∂xα ∂bk 1 α = β = ⋅ = 其函数行列式：δαβ = ∂xβ ∂bk ∂xβ 0 α ≠ β ∂xα ∂xα ∂bk ⋅ I) ∴ det 因此：(= 非奇异 ≠ 0或∞ ∂bk ∂xβ ∂bk