人教版高中数学必修3,算法案例

人教版高中数学同步练习

§1.3算法案例

课时目标通过三种算法案例：辗转相除法与更相减损术，秦九韶算法，进位制，进一步体会算法的思想，提高算法设计水平，体会中国古代数学对世界的贡献．

1．辗转相除法

(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．

(2)辗转相除法的算法步骤

第一步，给定两个正整数m，n.

第二步，计算m除以n所得的余数r.

第三步，m＝n，n＝r.

第四步，若r＝0，则m、n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．

2．更相减损术

第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．

第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．

3．秦九韶算法

把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：

(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，

求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

v2＝v1x＋a n－2，

v3＝v2x＋a n－3，

…

v n＝v n－1x＋a0

这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．

4．进位制

进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.

把十进制转化为k进制数时，通常用除k取余法．

一、选择题

1．下列说法中正确的个数为()

(1)辗转相除法也叫欧几里得算法；

(2)辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；

(3)求最大公约数的方法，除辗转相除法之外，没有其他方法；

(4)编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．

A．1 B．2 C．3 D．4

答案 C

解析(1)、(2)、(4)正确，(3)错误．

2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是()

A．2 B．3 C．4 D．5

答案 C

解析由于294和84都是偶数，

所以用2约简：

294÷2＝147，

84÷2＝42，

又由于147不是偶数，

所以147－42＝105，

105－42＝63，

63－42＝21，

42－21＝21，

故需做4次减法，故选C.

3．1 037和425的最大公约数是()

A．51 B．17 C．9 D．3

答案 B

解析∵1 037＝425×2＋187，

425＝187×2＋51，

187＝51×3＋34，

51＝34×1＋17，

34＝17×2，

即1 037和425的最大公约数是17.

4．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为()

A．10 B．9 C．12 D．8

答案 C

解析f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7

∴加法6次，乘法6次，

∴6＋6＝12(次)，故选C.

5．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为() A．27 B．11 C．109 D．36

答案 D

解析将函数式化成如下形式．

f(x)＝(((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1

由内向外依次计算：

v0＝1，

v1＝1×3＋0＝3，

v2＝3×3＋2＝11，

v3＝11×3＋3＝36，

v4＝36×3＋1＝109，

v5＝109×3＋1＝328.

6．下列有可能是4进制数的是()

A．5 123 B．6 542 C．3 103 D．4 312

答案 C

解析4进制数每位上的数字一定小于4，故选C.

二、填空题

7．辗转相除法程序中有一空请填上．

答案 a MOD b

解析MOD用来表示a除以b的余数．

8．更相减损术程序中有两空请填上．

答案a＝b b＝r

9．已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，将它们按由小到大的顺序排列为________．答案33(4)<12(16)<25(7)

解析将三个数都化为十进制数．

12(16)＝1×16＋2＝18，

25(7)＝2×7＋5＝19，

33(4)＝3×4＋3＝15，

∴33(4)<12(16)<25(7)．

三、解答题

10．用两种方法求210与98的最大公约数．

解用辗转相除法：

210＝98×2＋14，

98＝14×7.

∴210与98的最大公约数为14.

用更相减损术：

∵210与98都是偶数，用2约简得

105和49，

105－49＝56,56－49＝7，

49－7＝42,42－7＝35，

35－7＝28,28－7＝21，

21－7＝14,14－7＝7.

∴210与98的最大公约数为2×7＝14.

11．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．

解将f(x)改写为

f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64

由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值

v0＝1，

v1＝1×2－12＝－10，

v2＝－10×2＋60＝40，

v3＝40×2－160＝－80，

v4＝－80×2＋240＝80，

v5＝80×2－192＝－32，

v6＝－32×2＋64＝0.

∴f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.

能力提升

12．把111化为五进制数．

解

∴111化为五进制数为421(5)．

13．把10 231(5)化为四进制数．

解先化成十进制数．

10 231(5)＝1×54＋0×53＋2×52＋3×51＋1

＝625＋50＋15＋1

＝691

再化为四进制数

∴10 231(5)＝22 303(4).