工程图学与CAD基础教程第6章 几何体的构型及其投影
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6.2 基本几何体概述
几Baidu Nhomakorabea体的三面投影
三面投影之间的投影规律为: 正面投影与水平投影——长对正; 正面投影与侧面投影——高平齐;
水平投影与侧面投影——宽相等。
常见的基本几何体 平面基本体 曲面基本体
6.3 平面几何体的投影及其截切
绘制平面几何体的三面投影,就是把围成它的平 面、棱线和顶点绘制出来,可见的投影用粗实线,不 可见的投影用虚线。
立体的差集
立体的并集
立体的交集
6.1.3 扫描法 1.平移扫描法 平移扫描的运动轨迹通常是一条直线。 如果扫描用的是一个平面图形,则该平面图 形就是待构造实体的一个剖面,再指定平移的方 向和距离就能生成三维实体,故平移扫描只能构 造具有相同剖面形状的实体。
2.旋转扫描法 当一个平面图形绕着与其共面的轴旋转一 角度时,即扫描出一个实体。旋转扫描只能构 造具有轴对称的实体。
4. 棱柱的截切
关键是正确地画出截交线的投影。
(1)求截交线的两种方法: ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
(2)求截交线的步骤: ★ 空间及投影分析 ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影: 分别求出截平面与棱面的交线,或截平 面间的交线,连接成多边形,并判别可见性。 确定截交线 的投影特性 确定截交 线的形状
3. 棱锥的截切 例:求作带切口的正三棱锥 的投影。 分析: 水平面P与棱线SA、SB分别 相交于点Ⅵ、Ⅴ,与棱面 SAC、SAB、SBC相交;正 垂面Q与棱线SA、SB分别相 交于点Ⅰ、Ⅱ,与棱面SAC、 SAB、SBC相交;两截平面 的交线Ⅲ Ⅳ为正垂线。
【例6-4】已知正三棱锥表面上点M的正面投影m′, 点N的水平投影n,分别求其另外两个投影。 分析:因为m′可见,所 以点M位于棱面SAB上, 而棱面SAB为一般位置 平面,因而必须利用辅 助直线求解。
解法1:过平面上的两 点作辅助直线,即连 接s′、m′并延长交 a′b′于1′,并求出s1。 m在s1上,由m′可求 得m,再根据投影规 律求得m″。
第6章 几何体的构型及其投影
6.1 几何体的构型方法 6.1.1 边界表示法
边界表示法是一种以物体 的边界表面为基础,定义和描 述几何形体的方法。 它用点、边、面、环以及 它们之间相互的邻接关系定义 三维实体,形体表面、边界线、 交线等都显式给出。
6.1.2 构造实体几何法 其基本思想是:先 定义一些常用体素,然 后用集合运算并、交、 差把体素修改成复杂形 状的形体。 常用的造型体素有长 方体、圆柱体、球体、 圆锥、圆环、楔、棱锥 体等。实体的构造是体 素间进行交、并、差集 合运算的过程。
解法2:过平面上的一点作面 上一已知直线的平行线,即 过m′作2′3′∥a′b′, 2 3∥a b(2″3″∥a″b″),同理 可求得m和m″。 点N位于棱面SAC上,利 用积聚性,求n″,再由n和n″ 可求得n′。 判断可见性:棱面SAB的水 平投影和侧面投影均可见, 故点m和m″也可见。棱面 SAC的正面投影不可见,故 点(n′)也不可见。
6.3.2 棱锥的投影及其截切 1. 正三棱锥的三面投影 分析: 底面ABC——水平面 棱面SAC ——侧垂面 棱面SAB、SBC ——一般位置面
作图: 1.画出底面ABC的三面投影。
2.画出棱线SA、SB、SC的三面投影。
2. 棱锥的表面取点 正三棱锥的表面有特殊位置平面,也有一般位 置平面。属于特殊位置平面的点的投影,可利用该 平面投影的积聚性作图;属于一般位置平面的点的 投影采用辅助线法作图,即先在平面内取辅助直线, 再在辅助直线上取点。 棱锥表面上取辅助线的方法有两种: (1)过平面上的两点作直线,则此直线在平面 上,而直线上的点必在平面上。 (2)过平面上的一点作面上一已知直线的平行 线,则此平行线在平面上,其上的点必在平面上。
4. 棱柱的截切
例:求正六棱柱被侧垂面P截切后的投影。
分析:截平面P与正六棱 柱的各个棱线均相交, 交线为六边形,其六个 顶点A、B、C、D、E、 F为截平面P与正六棱柱 的六条棱线的交点。
作图:1.用作图线画出正六棱柱截切前完整的正面投影。 2.标出截交线的侧面投影和水平投影。 3. 求出各点的正面投影。 4.连线并判断可见性。 5.整理轮廓线。
例:求正六棱柱被正垂面P和侧平面Q截切后的投 影。 分析:截平面P只与五条 棱线相交,所得交点投 影可以用棱线法求出。 截平面P、Q均与两 棱面相交,因此点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的投影须用 棱面法求出。
作图过程: 1. 用作图线画出正六棱 柱截切前完整的侧面投 影。 2. 在正面投影中标出截交 线上各点的投影。 3. 求出各点的水平投影。 再求出各点的侧面投影。 4. 截交线的三面投影均 可见,用粗实线将各点 的同面投影依次连接起 来。 5. 画出P和Q的交线的三 面投影。 6. 整理轮廓。
例:已知正六棱柱表面上点M、点N和点K的正面投 影m′、n′ 和k′,点P的水平投影p,分别求出其另外 两个投影,并判断可见性。
3. 截切的基本概念
用平面与几何体相交, 截去体的一部分——截切。 用以截切立体的平面——截平面。
截平面与立体表面的交线 ——截交线。
截交线的性质:
1. 截交线是截平面与几何体表面 (求截交线 的共有线。截交线上的点是截 的方法) 平面与几何体表面的共有点。 2.是封闭的平面图形。 3.截交线的形状取决于被截几何体的形状及 截平面与几何体的相对位置。 截交线的投影的形状取决于截平面与投影 面的相对位置。
6.3.1 棱柱的投影及其截切
1. 正六棱柱的三面投影 分析: 顶面、底面——水平面 前、后棱面——正平面 其余棱面——铅垂面
作图:1.画出正面投影和侧面投影的对称线,水平投影的对称中心线。 2.画出正六棱柱的水平投影——正六边形。 3. 按照投影规律和高度画出其正面投影和侧面投影 。
2. 棱柱的表面取点 平面几何体表面取点就是已知几何体表面上点的 一个投影,求出它的其余两个投影。 正六棱柱的各表面都是特殊位置平面,其表面 取点可利用平面积聚性原理作图求解。