函数的应用举例(一)
函数的应用举例
解析】 【解析】住房率是每天房价的函数关系，每天
的收入是=房价 × 住房率 × 间数（100），我 们也可以列出相应的表格：ห้องสมุดไป่ตู้
每间房定价 住房率 收入 100元 65% 6500 90元 75% 6750 80元 85% 6800 60元 95% 5700
从表格中很清楚地看到，每天的房价定在80元 时，每天的收入最高。
解：设每床每夜提高租金 元(x = 2n, n ∈ N,0 ≤ n ≤ 10) 可获租金 y 元，依题意可得， y x y = (10 + x ) × (100 − × 10) 1125 2
= (1 0 + x ) × (1 0 0 − 5 x )
x
-10 0 20
5
= −5 x 2 + 50 x + 1000 2 = − 5( x − 5) + 1125
当 x = 4或 6 时， ymax
= 1120 （元）
为了投资少，则x应取6。
答：为了投资少而获租金多，每床每夜应提高租 金6元。
练习3 练习3
⑴一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营 实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：
每间房定价 住房率 100元 65% 90元 75% 80元 85% 60元 95%
练习1 练习1
A、B两地相距150km，某汽车以每小 两地相距150km， 150km 50km的速度从A地到B km的速度从 时50km的速度从A地到B地，在B地停 小时之后，又以每小时60km的速 60km 留2小时之后，又以每小时60km的速 度返回A 写出该车离开A 度返回A地。写出该车离开A地的距离 s(km)关于时间 关于时间t 小时）的函数关系。 s(km)关于时间t（小时）的函数关系。
单值函数和多值函数的举例
单值函数和多值函数的举例单值函数和多值函数是数学中的重要概念，它们描述了函数的值与函数自变量之间的关系。
下面我会先给出单值函数和多值函数的定义，然后分别举例介绍它们的特点和应用。
1. 单值函数的定义与特点：单值函数指的是，对于函数的每一个自变量值，函数的结果只有一个确定的函数值与之对应。
换句话说，即使自变量的取值可能有多个，但函数的取值只有一个。
单值函数是我们最为常见的函数类型，它的定义域中的每一个自变量值都唯一对应一个函数值。
举例 1：一次函数 y = 2x + 3这是一个单值函数的例子，对于任何给定的 x 值，都可以唯一确定 y 的值。
例如，当 x = 1 时，y = 2(1) + 3 = 5；当 x = 2 时，y = 2(2) + 3 = 7。
通过这个例子，我们可以看到给定一个 x 值，函数 y 的值是唯一确定的。
应用 1：物体的位置随时间的变化假设一个物体在 t 秒钟后的位置为 d(t)，那么 d(t) 就是一个关于时间的单值函数。
在给定一个特定的时间点 t，物体在该时刻的位置只有一个确定的值。
这个函数可以用来描述物体的运动轨迹或位置的变化趋势。
2. 多值函数的定义与特点：多值函数指的是，函数的结果与自变量之间存在多个对应关系。
换句话说，对于函数的某些自变量值，它们的函数值有可能有多个。
多值函数在复数域中特别常见，因为复数域中存在多个平方根等。
举例 2：平方根函数平方根函数f(x) = √x 就是一个多值函数的例子。
对于任何给定的自变量 x，它的平方根函数值有两个解：一个正数解和一个负数解。
例如，当 x = 4 时，f(4) = ± 2，即正负两个值。
因此，平方根函数是一个多值函数。
应用 2：复数域中的多值函数在复数域内，像指数函数、对数函数、三角函数等很多函数都是多值函数。
例如，幂函数 f(z) = z^a（其中 a 为实数）就是一个多值函数，因为给定一个复数 z，它的幂函数值有无数个解，这是由于复数域的特点所导致。
导数与函数的微积分应用举例
导数与函数的微积分应用举例微积分是高等数学中的重要分支，它研究的是函数的变化与求解问题的方法。
其中导数作为微积分的基础概念之一，是描述函数变化率的重要工具。
在日常生活和各个领域中，导数与函数的微积分应用广泛，下面将通过几个实际例子来说明。
例一：速度与加速度考虑一个物体在直线上运动的情况。
当我们观察物体的位置关于时间的变化时，可以得到一个函数，即位置函数。
导数则描述了该位置函数的斜率，也就是速度。
具体来说，如果我们观察物体的位置函数为 s(t)，那么导数 s'(t) 即描述了物体在不同时间点的瞬时速度。
进一步，我们可以对速度进行求导，得到速度函数的导数，即加速度。
加速度描述了速度的变化率，表示物体在单位时间内速度的变化量。
如果速度函数为 v(t)，那么加速度函数 a(t) 即为 v'(t)。
通过速度和加速度的研究，我们可以更好地理解物体的运动规律，进而应用于交通工程、运动竞技等领域。
例二：曲线的切线与极值对于一个曲线上的点 P(x, y)，如果我们希望了解该点处曲线的形状和变化趋势，可以利用导数来求解曲线的切线。
切线可以通过求解导数的值来确定，具体而言，导数即为曲线在该点的斜率。
通过计算切线的斜率，我们可以确定切线方程，并进一步了解曲线在该点附近的性质。
另外，导数还可以帮助我们寻找函数的极值点。
对于一个函数f(x)，如果它在某个点 x0 处的导数为零，那么该点可能是函数的极值点。
通过求解导数为零的方程，我们可以得到函数的极值点，并通过判定二阶导数的正负来确定其是极大值还是极小值。
例三：应用于物理学微积分的应用不仅局限于数学领域，还广泛应用于物理学中。
以牛顿第二定律为例，它描述了物体受力后的加速度与力的关系。
如果我们已知物体所受的力函数 F(t)，可以根据牛顿第二定律得到物体的加速度函数 a(t)。
进一步，通过对加速度函数进行积分，可以得到速度函数和位移函数，从而描述物体在时间 t 上的速度和位移。
高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用(一)
3.4函数的应用(一)知识解读•必须会知识点1 常见的几种函数模型1.（2022·安徽亳州高一期中）商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个定价5元,该商店现推出两种优惠方案:①买一个茶壶赠送一个茶杯;②按购买总价的92%付款。
某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个)。
当购买茶杯x个时,付款为y 元,试分别建立两种优惠方案中的y与x之间的函数解析式,并指出如果该顾客需购买茶杯40个,应选择哪种优惠方案。
解析：由优惠方案①,得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,x∈N*)。
由优惠方案②,得函数解析式为y2=(20×4+5x)×92%=4.6x+73.6(x≥4,x∈N*)。
当该顾客需购买茶杯40个时,采用优惠方案①应付款y1=5×40+60=260(元),采用优惠方案②应付款y2=4.6×40+73.6=257.6(元)。
由于y2<y1,故应选择优惠方案②。
知识点2 用函数模型解决实际问题的方法与步骤2.（2021·山东菏泽23校高一期末联考）为节约能源,倡导绿色环保,某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用,管理这些电动观光车的费用是每日120元。
根据经验,若每辆电动观光车的日租金不超过5元,则电动观光车可以全部租出;若超过5元,则每超过1元,租不出的电动观光车就增加2辆。
为了便于结算,每辆电动观光车的日租金x(元)(x只取整数),并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租电动观光车的日净收入(即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得)。
(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域;答案：(1)当x≤5时,y=60x-120,令60x-120>0,解得x>2,因为x∈N*,所以3≤x≤5。
当x>5时,y=[60-2(x-5)]x-120=-2x2+70x-120,令-2x2+70x-120>0,有x2-35x+60<0,上述不等式的整数解为2≤x ≤33(x ∈N *),所以5<x ≤33(x ∈N *)。
3.4 函数的应用(一)
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： 实际问题中四种函数模型：一次函数模型，二次函数模型，幂函数模型， 分段函数模型. 2.方法归纳：配方法、判别式法、换元法. 3.常见误区：函数的实际应用问题易忽视函数的定义域.
所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.
三、分段函数模型的应用
例 3 经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内(以 30 天计)，顾客人 数 f(t)(千人)与时间 t(天)的函数关系近似满足 f(t)＝4＋1t (t∈N*)，人均消费 g(t)(元)与时间 t(天)的函数关系近似满足 g(t)＝110300－t，t，1≤7<t≤t≤7，30t，∈tN∈*，N*. (1)求该商场的日收益w(t)(千元)与时间t(天)(1≤t≤30，t∈N*)的函数解 析式；
60t，0≤t≤2.5，
所求函数的解析式为 x＝150，2.5<t≤3.5， －50t＋325，3.5<t≤6.5.
(2)求当t＝5小时时汽车离A地的距离.
解 当t＝5时，x＝－50×5＋325＝75， 即当t＝5小时时汽车离A地75千米.
3 课堂练习
PART THREE
1.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进 价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q＝100－5x，则 当该店每天获利最大时，每束花应定价为
二、二次函数与幂函数模型的应用
例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低 于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平 均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； 解 根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简， 得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N).
函数的实际应用及举例
函数的实际应用及举例函数是编程中非常重要的概念，它是为了实现特定功能而组织在一起的一段代码。
函数可以将代码模块化，提高代码的可读性和可维护性。
在实际应用中，函数有着广泛的用途，包括数学计算、数据处理、图像处理、网络通信等。
本文将以几个典型应用领域为例，介绍函数的实际应用。
1.数学计算数学计算是函数应用的一个重要领域。
函数可以用于实现复杂的数学运算、求解方程、计算数列等。
例如，计算圆的面积和周长的函数可以定义如下：pythondef calculate_circle(radius):area = 3.14 * radius * radiusperimeter = 2 * 3.14 * radiusreturn area, perimeter这个函数接受圆的半径作为参数，并返回圆的面积和周长。
2.数据处理函数在数据处理中也有着广泛的应用。
函数可以用于数据的读取、转换、清洗、分析等操作。
例如，以下是一个用于计算列表中数字平均值的函数：pythondef calculate_average(numbers):total = sum(numbers)average = total / len(numbers)return average这个函数接受一个数字列表作为参数，并返回平均值。
3.图像处理图像处理是另一个常见的应用领域。
函数可以用于图像的读取、处理、分析、转换等操作。
例如，以下是一个用于将图像转换为灰度图的函数：pythondef convert_to_grayscale(image):gray_image = cv2.cvtColor(image, cv2.COLOR_BGR2GRAY)return gray_image这个函数接受一个彩色图像作为参数，并返回一个灰度图像。
4.网络通信函数在网络通信中也有着重要的应用。
函数可以用于发送和接收网络数据、处理网络请求、解析网络协议等操作。
例如，以下是一个用于发送HTTP请求并获取响应的函数：pythonimport requestsdef send_http_request(url, method='GET', data=None, headers=None): response = requests.request(method, url, data=data,headers=headers)return response.text这个函数接受一个URL作为参数，并返回HTTP响应的内容。
函数的实际应用举例
用28米的栅栏在 一块一面靠墙的 空地里围一片长 方形菜地，使面 积最大
26米的栅栏
7 6
9 8
9
13
13
不靠墙
一边靠墙
两边靠墙
作业： 课本P57页第2题：二次函数最优化方案 • 一个方法：数学模型方法 • 一种数学思想：经济实用 • 一种意识： 数学“源于生活、寓于生活、用于生活”
养蟹场要新建一个长方形蟹塘，为 防止蟹逃走，四周需要用网围起来。 网的长度是80米，怎样围，蟹塘的 面积最大？
80÷4 = 20 （米）
20×20=400（平方米）
例题
例题：王老师计划围一块 矩形养鸡场，他已备足了 可以围10米长的竹篱笆， 问矩形的长和宽各是多少 时，场地的面积最大？最 大面积是多少？
例题
例题：王老师计划一面靠 墙围一块矩形养鸡场，他 已备足了可以围10米长的 竹篱笆，问矩形的长和宽 各是多少时，场地的面积 最大？最大面积是多少？
解：设矩形长x米(0<x<10),宽y米
• X+2y=10 y=0.5(10-x)
面积s=xy=xy=0.5 (10-x) =- 0.5 x²+ 5x
=- 0.5（ x² -10x+25）+12.5
这节课你有何收获，能与大家 分享、交流你的感受吗？
学以致用
•围成面积最大的长方形 •1，一面靠墙时，让长等于宽 的2倍. •2，不靠墙时，让长等于宽
3.4 函数的应用(一)-(新教材人教版必修第一册)(34张PPT)
确定的函数模型解决实际问题．(重 升数学运算素养.
点、难点)
自主预习 探新知
常见的几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
分段函数模型
f1x，x∈D1 f(x)＝f…2x…，x∈D2
数学（人教版）
必修第一册
第三章 函数概念与性质
3.4 函数的应用(一)
学习目标
核心素养
1.了解函数模型(如一次函数、二次
函数、分段函数等在社会生活中普 1. 通过建立函数模型解决实际问
遍使用的函数模型)的广泛应用. 题，培养数学建模素养.
2.能够利用给定的函数模型或建立 2. 借助实际问题中的最值问题，提
(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200， 所以当x<60时，w随x的增大而增大． 又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润 为1 125元．
二次函数模型的解析式为gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它 占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判 别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际 问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.
(1)把 A，B 两城月供电总费用 y(万元)表示成 x(km)的函数，并求定义 域；
(2)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用最小．
[解] (1)由题意设甲城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2. 设乙城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2， ∴甲、乙两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2. ∵λ＝0.25， ∴y＝5x2＋52(100－x)2(10≤x≤90)．
EXCEL常用函数简单运用举例及七个综合应用实例
EXCEL常用函数简单运用举例及七个综合应用实例Excel是一种广泛使用的电子表格软件，它提供了丰富的函数用于数据处理和分析。
本文将为您介绍一些常用的Excel函数，并提供七个综合应用实例，帮助您更好地了解和运用这些函数。
一、常用的Excel函数举例：1.SUM函数：用于求和。
例如，SUM(A1:A10)将计算A1到A10单元格中的数值总和。
2.AVERAGE函数：用于求平均值。
例如，AVERAGE(A1:A10)将计算A1到A10单元格中数值的平均值。
3.MAX函数：用于求最大值。
例如，MAX(A1:A10)将返回A1到A10单元格中的最大值。
4.MIN函数：用于求最小值。
例如，MIN(A1:A10)将返回A1到A10单元格中的最小值。
5.COUNT函数：用于计数。
例如，COUNT(A1:A10)将返回A1到A10单元格中非空值的个数。
6.IF函数：用于条件判断。
例如，IF(A1>10,"大于10","小于等于10")将根据A1单元格的值返回不同的结果。
7.VLOOKUP函数：用于垂直查找。
例如，VLOOKUP(A1,B1:C10,2,FALSE)将在B1到C10范围内查找A1的值，并返回与之关联的第2列的值。
8.CONCATENATE函数：用于合并文本。
例如，CONCATENATE(A1,"",B1)将合并A1和B1单元格的内容，并在它们之间添加一个空格。
9.LEFT函数：用于提取左侧字符。
例如，LEFT(A1,3)将返回A1单元格中前三个字符。
10.RIGHT函数：用于提取右侧字符。
例如，RIGHT(A1,3)将返回A1单元格中最后三个字符。
二、综合应用实例：1.数据筛选和汇总：使用FILTER函数和SUM函数将符合条件的数据筛选出来，并求和。
2.数据排序：使用SORT函数将数据按照指定的条件进行排序。
3.数据透视表：使用PIVOTTABLE功能创建数据透视表，用于对大量数据进行汇总和分析。
函数的应用举例
（2）生长5年后砍伐并生重栽，木材量 Q=2a（1+18%）5
三、课堂小结
1、了解了什么叫数学模型方法？什么叫数学模型 2、了解数学模型方法解决问题的基本步骤。 3、学会建立有关增长率的数学模型。 4、研究不同背景下，如物理、化学、经济、人口、 环保等增长率的应用题问题。
四、作业
1、 课本P88练习3，4 2、 研究性作业：（任选一题） （1）编一题利用“增长率的数学模型”解的应用 题。 （2）总结一篇小论文，增长率的数学模型在社会 各领域内的应用。
二 、 化学问题
例如：已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质
量为1的镭经过x年后的剩留原来为y，则x，y之间的函
数为
（）
x
A、y 0.9571600
B、y0.957106x0 C、y(0.957)6x
x
D、y10.042100
100
三、人口问题
例如：世界人口已超过64亿，若按千分之一的年增长率 计算，则两年增长的人口就相当于一个（ ）
A、新加坡（270万） B、香港（560万）
C、瑞士（700万） D、上海（1200万）
四、经济问题：
例如：1982年我国人均收入为255美元，要求到2019年 的人民生活达到小康水平，即人均收入为817美元，则 年均增长率是多少？若不低于此增长率递增，则到 2022年人均收入至少达到多少美元？根据十六大报告 精神，若2020年人均收入比2000年翻两番，则从2019 年起平均年增长率又为多少？
深入研究：
五、环保问题： 例如：对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为 18%，以后的年生长率为10%。树木成材后，既可出售 树木，重栽新苗，也可让其继续生长。问哪一种方案 可获得较大的木材量？（注：只需考虑10年的情形）
一次函数在生活中的具体应用
一次函数在生活中的具体应用
一次函数是指函数关系中只包含一个未知数，且其次数为1的函数。
在生活中，一次函数有许多具体的应用。
以下将介绍一些常见的应用场景。
1. 财务管理：一次函数可以用来描述日常开销和收入之间的关系。
一个人每天的支出可以用y = ax + b来表示，其中x表示时间（天数），y表示支出金额（元）。
通过分析不同的数据，可以确定每天的支出情况，从而合理安排财务预算。
2. 医药剂量计算：一次函数可以用来计算医药剂量。
某种药物的剂量与体重之间的关系可以表示为y = ax + b，其中x表示体重（千克），y表示药物的剂量（毫克）。
通过确定体重，可以计算出所需的药物剂量。
4. 气象预测：一次函数可以用来预测天气变化。
某地的气温随时间的变化可以表示为y = at + b，其中x表示时间（小时），y表示气温（摄氏度）。
通过分析历史数据和天气变化规律，可以预测未来的气温变化趋势。
5. 市场需求分析：一次函数可以描述市场需求与价格之间的关系。
某商品的需求量随价格的变化可以表示为y = ax + b，其中x表示价格（元），y表示需求量（单位）。
通过分析不同价格下的需求量，可以确定最适宜的价格水平。
一次函数在生活中有着广泛的应用。
通过对数据的收集和分析，可以使用一次函数模型来描述和预测各种关系，提高决策的科学性和准确性。
一次函数的应用举例-
一次函数的应用举例一次函数是最简单，最基本的函数之一，它有着极为广泛的应用．现以近几年的一些中考题为例说明一次函数的应用．一、用于解决现实生活中的问题例1 “五一黄金周”的某一天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到距离180千米的某著名旅游景点游玩．该小汽车离家的距离s （千米）与时间t （时）的关系可用图中的曲线来表示．根据图象提供的有关信息，解答下列问题：（1）小明全家在旅游景点游玩了多少小时？ （2）求出返程途中，s （千米）与时间t （时）的函数关系式并回答小明全家到家是什么时间？（3）若出发时汽车油箱中存油15升，该汽车的油箱总量为35升，汽车每行驶1千米耗油 升．请你就“何时加油和加油量”给小明全家提出一个合理化的建议（加油所用时间忽略不计）．分析：（1）可直接从图象上看出来；（2）设函数关系式为=s b kt +，再用代点入式法求解即可； （3）是个开放性问题，答案不唯一，只要所提建议合理即可． 解：（1）由图象可看出，小明全家在旅游景点游玩了4小时．（2）设=s b kt +，代入点（14，180）和（15，120），得1418015120k d k d +=⎧⎨+=⎩解得60-=k ，1020=b ，故=s 102060+-t ． 令=s 0，得17=t ，即小明全家到家是当天下午5时．（3）合理化建议:①9时30分前必须加一次油；②若8时30分前加满油箱，则当天在油用完前的适当时间必须第二次加油；③全程可多次加油，但加油总量不得少于25升．点评：这是一道贴近生活实际的函数图象的“审读—理解—应用”问题，将行程问题91与一次函数的图象有机结合起来，构思巧妙，设计新颖．由于本题的信息由图象结出，故应仔细审视图象并在此基础上建立数学模型，进而运用相关的数学基础知识和数学基本思想进行解决．二、用于解决“方案设计型”问题例2 东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元．该商场为促销制定了两种优惠方法．甲：买一支毛笔赠送一本书法练习本；乙：按购买金额打九折付款．某校欲为校书法小组购买这种毛笔10支，书法练习本x （x ≥10）本．（1）写出每种优惠方法实际付款金额y 甲（元）、y 乙（元）与x （本）之间的函数关系式．（2）若商场允许可任选一种优惠方法购买，也可同时用两种优惠方法购买，请你就购买这种毛笔10支和书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案．分析：读懂题意是解决本题的基础，在此基础上建立数学模型——一次函数模型是解决本题的关键．解：（1）由题意，得y 甲=2005+x ，y 乙=2255.4+x ．（2）当x =60时，y甲=500，y 乙=495，故任选一种优惠方法购买时，乙方法省钱．当同时选用两种方法购买时，设用甲方法购买m 支毛笔，获赠m 本练习本；用乙方法购买（10-m ）支毛笔，（60-m ）本练习本，则付款金额4952%90)]60(5)10(25[25+-=⨯-+-+=m m m m y ． 由题意知m ≤10，故当=10时，y 有最小值，y最小495475495102<=+⨯-=，故用甲方法购买10支毛笔，用乙方法购买50本练习本最省钱．点评：这是一道实际应用题，首先要进行数学抽象，把它转化为一次函数问题，然后利用一次函数的性质及自变量的取值范围来解决．一次函数b kx y +=本没有最大值或最小值，但当自变量x 的取值受某种条件制约（如本例中m 只能取不超过10的整数）时，一次函数就有最大值或最小值了．三、用于解决“决策型”问题例3 某果品公司急需将一批不易存放的水果从A 市运到B 市销售，现有三家运输公司可供选择，它们提供的信息见下表．解答下列问题：（1）若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的2倍，求A 、B 两市的距离（精确到个位）；（2）若A 、B 两市的距离为s 千米，且这批水果在包装与装卸及运输过程中的损耗为300元/小时，则要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？分析：（1）包装与装卸及运输费用与A 、B 的距离有关．设距离为x 千米，分别写出三家公司的费用，利用所给等量关系列方程可求出x ．（2）由题意知总费用是距离s 的函数，故应分别求出选各公司所需总费用与s 的函数关系式，然后通过比较来判断应选哪家公司．解：（1）设A 、B 两市的距离为x 千米，则各公司包装与装卸及运输的费用分别为： 甲公司（6x +1500）元，乙公司（8x +1000）元，丙公司（10x +700）元， 由题意，得（8x +1000）+（10x +700）=2（6x +1500）， 故x ≈217，即A 、B 两市的距离约为217千米． （2）设选择各公司所需总费用分别为y 甲、y 乙、y 丙， 由表格信息可知各公司包装与装卸及运输所需时间分别为： 甲公司（60s +4）小时，乙公司（50s+2）小时，丙公司（100s +3）小时， 故y 甲=6s +1500+（60s+4）×300=11s +2700，y 乙=8s +1000+（50s+2）×300=14s +1600， y 丙=10s +700+（100s+3）×300=13s +1600． 因s >0，故y 乙>y 丙恒成立，故只需比较y 甲与y 丙的大小． 因y 甲－y丙= -2s +1100=0时，s =550，故：①当s <550千米时，y 甲>y 丙，又y 乙>y 丙，故此时可选丙公司较好； ②当s =550千米时，y 甲=y 丙，又y 乙>y 丙，故此时可选甲公司或丙公司； ③当s >550千米时，y 乙>y 丙>y 甲，故此时选甲公司较好．点评：这又是一道利用一次函数解决实际问题的应用题．其中根据题意和表格信息建立一次函数模型是解题关键．从以上几题可看出，一次函数是解决实际问题的重要数学模型之一，善于读懂图象、表格并从图象的形状、位置、发展变化趋势等信息中获取相关的数据、性质、规律，再将其转化为数学问题加以解决是解决此类问题的关键．。
函数的应用(一)
某公司生产某种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需增
加投入 100 元，已知总收益满足函数 R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400， 80 000，x>400.
(1)将利润表示为月产量的函数ห้องสมุดไป่ตู้f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成 本＋利润)
解 (1)当 0≤x≤500 时，产品全部售出，∴y＝500x－12x2－(5 000＋25x)，即 y＝ －12x2＋475x－5 000．
当 x＞500 时，产品只能售出 500 台，∴y＝500×500－12×5002－(5 000＋25x)， 即 y＝－25x＋120 000．
(2)当 0≤x≤500 时，y＝－12(x－475)2＋107 812.5， 当 x＞500 时，y＝120 000－25x＜120 000－25×500＝107 500＜107 812.5． 故当年产量为 475 台时取得最大利润，且最大利润为 107 812.5 元． (3)若工厂有利润，则应有 y＞0，∴475x－12x2＞5 000，整理得 x2－950x＋10 000 ＜0，解得 10＜x＜940． ∵市场需求量为每年 500 部，∴10＜x≤500，故当年产量超过 10 部后，工厂有 盈利．
探究二 二次函数模型应用举例
[知能解读] 利用二次函数求最值时，根据实际问题建立二次函数解析式后， 可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而 解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．
牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量 不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y(只)和实际蓄 养量x(只)与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)．
函数的应用举例 (经济生活类)
假设国家收购某种农产品的价格是120 例 2 假设国家收购某种农产品的价格是 元征8元 元/担，其中征税标准为每 担 其中征税标准为每100元征 元（叫做 元征 税率为8个百分点 个百分点， ），计划可收购 税率为 个百分点，即8%），计划可收购 ），计划可收购m 万担。为了减轻农民负担，决定税率降低x个 万担。为了减轻农民负担，决定税率降低 个 百分点，预计收购量可增加2x个百分点 个百分点。 百分点，预计收购量可增加 个百分点。 （1）写出税收 （万元）与x的函数关系式； 的函数关系式； ）写出税收y（万元） 的函数关系式 2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划 的范围。 的78%，试确定 的范围。 ，试确定x的范围
3m 2 ( x + 42 x − 400 )( 0 < x ≤ 8 ) 答：税收y= − 125
,
x的范围是（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，2]。
例3 某工厂今年1月、2月、3月生产某产 品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估 计以后每月的产量，以这三个月的产量为依 据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月 份x的关系，模拟函数可选用二次函数或 x y = a ⋅ b + c (a,b,c为常数)，已知四月份 该产品的产量为1.37万件，请问：用以上 哪个函数作模拟函数较好？说明理由。
练习： 我国工农业总产值从 我国工农业总产值从1980年到 年到2000年的 年 年的20年 练习：1.我国工农业总产值从 年到 年的 间 实 现 翻 两 番 的 目 标 ， 设 平 均 每 年 的 增 长 率 为 x， 则 ， （ A ） A（1+x）19=4 B (1+x)20=2 C (1+x)20=3 D (1+x)20=4 （ ） 2.由于电子技术的飞速发展 ， 计算机的成本不断降低 。 由于电子技术的飞速发展， 由于电子技术的飞速发展 计算机的成本不断降低。 1 若每隔5年计算机的价格降低 现在价格为8100元的 若每隔 年计算机的价格降低 ，现在价格为 元的 计算机经过15年的价格可降为 （ 计算机经过 年的价格可降为 3 C ） A 300元 B 900元 C 2400元 D 3600元 元 元 元 元 3.某企业生产总值的月平均增长率为 ，则年平均增长率 某企业生产总值的月平均增长率为P， 某企业生产总值的月平均增长率为 为（ D ） C (1+P)12 D (1+P)12-1 A P B P12 4.某商品零售价 某商品零售价2002年比 年比2001年上涨 年上涨25%， 欲控制 某商品零售价 年比 年上涨 ， 2003年比 年比2001年上年涨 年上年涨10%，则2003年应比 年应比2002年 年比 年上年涨 ， 年应比 年 降价（B ） 降价（ A 15% B 12% C 10% D 5%
函数的应用举例
函数的应用举例1. 函数在数学方面的应用举例在数学中，函数是一种对输入值进行操作并产生输出值的关系。
函数在数学中有着广泛的应用，下面我们举几个例子来说明函数在数学方面的应用。
1.1 三角函数三角函数是指在数学上由角的弧度或度数表示的函数。
常见的三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)。
这些函数在解决三角形相关问题、波动现象以及物理学等领域中都有着重要的应用。
1.2 指数函数指数函数是以指数为自变量的函数，形式如 f(x) = a^x。
指数函数在数学中的应用广泛，比如在复利计算、人口增长、放射性衰变以及自然科学中的模型建立等方面都扮演着重要的角色。
1.3 对数函数对数函数是指以某一个正实数为底数的对数函数，常见的有以10为底的常用对数函数(log)和以自然常数e 为底的自然对数函数(ln)。
对数函数在解决指数方程、复杂计算简化以及数据压缩等方面都有着重要的应用。
2. 函数在计算机科学方面的应用举例在计算机科学中，函数是一段完成特定任务的可重复使用的代码块。
下面我们举几个例子来说明函数在计算机科学方面的应用。
2.1 排序算法中的函数排序算法是计算机科学中常用的一类算法，而其中的排序函数则起到了核心作用。
比如冒泡排序算法中的排序函数可以对一组数据按照特定的顺序进行排序，提高数据的处理效率。
2.2 图像处理中的函数图像处理是计算机科学中一个重要的应用领域，而图像处理中的函数则被广泛应用。
比如灰度化函数、平滑滤波函数、边缘检测函数等，这些函数可以对图像进行处理和分析，提取图像的特征和增强图像的质量。
2.3 网络编程中的函数网络编程是计算机科学中的一个重要方向，而网络编程中的函数则用于实现不同的网络功能。
比如 socket 函数被广泛用于建立网络连接，send 和 recv 函数用于网络数据的发送和接收，这些函数可以帮助程序员实现各种网络通信功能。
3. 函数在实际问题解决中的应用举例函数不仅在数学和计算机科学中有应用，它也在解决现实生活中的实际问题中起到了重要作用。
函数的应用(一)人教版高中必修第一册
25
课前预习
课堂互动
素养达成
解 (1)由已知可得：P＝t－＋t2＋0， 1000<，t<2255≤，t≤t∈3N0，＋，t∈N＋ (2)日销售量Q与时间t的一个函数式为Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N＋)， (3)由题意 y＝－ （（ t－t－ 701）0） 2－29＋009，002，5≤0<tt≤<2350，，t∈t∈NN＋＋，.
15
课前预习
课堂互动
素养达成
题型二 幂函数与二次函数模型 【例2】 (1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品
利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广 告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今 年药品利润为________万元.
11
课前预习
课堂互动
素养达成
解 (1)由图象可设 y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点 B(30，35)，C(30，
15)分别代入 y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得 k1＝16，k2＝12. ∴y1＝16x＋30(x≥0)，y2＝12x(x≥0).
(2)令 y1＝y2，即16x＋30＝12x，则 x＝90. 当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当0≤x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜； 当x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜.
6
课前预习
课堂互动
素养达成
拓展深化 [微判断] 1.当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.( √) 2.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算
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有一堵长为30米的墙，现有50米的篱笆，如果利 引 用这堵墙为一边，将篱笆围成一个长方形的鸡舍,
例 请写出鸡舍的面积S与其宽x的关系式．
30米
S=x (50-2x)= - 2x2+50x
y
x
S
定义域:{x|10≤x<25}
当长为25米,宽为12.5米时
50-2x
面积最大.
引 将如申：何如确果定O在它1现的01有长2.条和5 件宽2下呢5 想？得x到一个面积最大的鸡舍，
欢迎指导！ 谢谢！
小
结
推理演算
实际问题的解 还原说明 数学模型的解
例3，在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P,从 B点出发沿折线BCDA向A点运动,设P点移动的路程 为x, 三角形ABP的面积为y。
（1）求函数的解析式。
（2）求函数的最大值。
D
C
A
B
例4某人开汽车沿一条直路以 60 km/h 的速度从A地到 150 km远处的B地, 在B地停留1 h后,再以 50 km/h的
d d0
0 t0 tB
d d0
0 t0 tC
0 t0 tD
小结
求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用
示意图表示为：
实际问题
抽象概括
数学模型
推
答
理 演
实际问题的解
还原说明
算
数学模型的解
➢解应用问题的一般步骤：设、列、解、答.
(1) 使实际问题数学化 (2)用数学思想、方法解决数学问题 (3)就是将数学结论转译成实际问题的结论。 (4)就是对实际问题的结论作出回答
矩形面积
实际应用问题
函数关系式
解决数学问题
解函数应用问题的基本步骤:
函
第一步：引入变量，抽象数量关系；
数
第二步：尝试建立函数关系式；
法
第三步：解决这个已转化成的函数问题；
第四步：将所得结论转绎成具体问题的解答.
例1.用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为 半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x， 求此框架的面积y与x的函数式，并写出它的定 义域。
x
150,
t [0,2.5), t [2.5,3.5),
150 50(t 3.5), t [3.5,6.5].
x (km)
150 100
50
O1
2.5 3.5
6.5 t (h)
例4 某人开汽车沿一条直路以 60 km/h 的速度从A地
到 150 km远处的B地, 在B地停留1 h后,再以 50
km/h的速度返回A地. 把汽车与A地的距离 x (km)表
示为时间 t (h) (从A地出发时开始)的函数,并画出函数
的图象;再把车速 v km/h表示为时间 t (h) 的函数,并
画出函数的图象.
v
=60km/h 150km
A
B
x km
v = 50km/h
车速v(km / h)与时间t(h)的函数关系式:
60, t [0,2.5),
v
0,
t [2.5,3.5),
Байду номын сангаас
50, t [3.5,6.5].
v (km/h)
60 40 20
O1 -20 -40 -50
2.5 3.5
6.5 t (h)
课堂练习
1.书p88-课堂练习1、2
2.长为20m的铁丝网围成一个长方形场地，最大 面积为____,若一边靠墙，能围成的最大面积为___.
论这个函数的定义域．
x
x aa-2x
V x(a 2x)2
a-2x
a-2x
定义域为{x | 0 x a }. 2
某学生从家去学校的路上，先跑步前进，跑累了后行 走，走完余下的路程。如果用纵轴表示离家的距离， 横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此 人走法的是（ ）
d
d
d0
d0
0 t0 tA
2x
例2.如图，有一块半径为R的半圆形钢板 ,计划剪裁 成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB为⊙ O直径， 上底CD的端点在圆周上。写出这个梯形周长y和腰
长x间的函数式，并求出它的定义域。
D
引申:求这个梯形 周长的最大值?
x
AE
O
C B
函数应用题的解题步骤可以用下面 的框图表示:
实际应用问题 抽象概括 数学模型
x,截面的面积为S，求面积S以 x为自变量的函数式，
并写出它的定义域．
S x d2 x2
A
D
x Od
B
C
d2 x2
定义域为{x | 0 x d}.
练习二 如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其 四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个 无盖的盒子，写出体积V以x为自变量 的函数式，并讨
3、如图所示，在
y
△ABC中，∠B=90，
AB=BC，C点坐标为
B
（6，0），一条垂直于
x轴的直线以每秒1厘米
的速度从y轴出发向右
运动。设它在t时刻内扫
过△ABC内的面积为
A
t
6 Cx
S(t)，求S(t)的表达式。
练习一 将一个底面圆的直径为 d的圆柱截成横截
面为长方形的棱柱，若这个长方形截面的一条边长为
速度返回A地. 把汽车与A地的距离 x (km)表示为时间 t
(h) (从A地出发时开始)的函数,并画出函数的图象;再把车
速 v km/h表示为时间 t (h) 的函数,并画出函数的图象.
v
=60km/h 150km
A
B
x km
v = 50km/h
距离x(km)与时间t(h)之间函数关系式是:
60t,