线性代数的MATLAB求解

三个部门的投入产出表如下（表3-2）：单位(亿元) 投入/产出 农业 制造业 服务业 农业 0.15 0.30 0.20 制造业 0.10 0.05 0.30 服务业 0.20 0.30 0
如第一行第二列的数字0.10表示生产1个单位产值的制造业产品需要投入0.10个单位 产值的农产品，由表3-1中20亿元农产品投入制造业可以产出200亿元制造业总产值， 20/200=0.1。该表中的数字称为投入系数或消耗系数。
3.2.2 矩阵的秩与迹
矩阵中行（列）向量组的最大线性无关的向量的个数称为矩阵的秩，rank(A) 矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和，trace(A)
3.2.3 线性方程组的解
对于线性方程组Ax=b,当b=0时为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组 1、齐次线性方程组的求解 齐次线性方程组Ax=0的解得判定定理： （1）当rank(A)=n时，方程有唯一解，且x=0; （2）当rank(A)<n时，方程有无穷多组解，即存在非零解，基础解系的个数为nrank(A),求基础解系的语句为null(A,’r’)
需要解决的问题： 1、如果今年对农业制造业和服务业的外部需求分别为50亿元、150亿元、100亿元， 问这个三个部门的总产出分别是多少？ 2、如果三个部门的外部需求分别增加1个单位，问他们的总产出应分别增加多少？ 3、投入产出分析称为可行的，如果对于任意给定的、非负的外部需求，都能得到 非负的总产品。为了可行，投入系数应该满足什么条件？ 模型建立：设有n个部门，记一定时期内第i个部门的总产出为xi,其中对第j个部门的 投入是xij,外部需求为di,则：
3.3.3 二次型及其标准型
n元二次齐次函数：
2 2 f ( x1 , x2 ,..., xn ) = a11 x12 + a22 x2 + ... + ann xn + ∑ aij xi x j i< j
为二次型，且f=x’Ax，其中
a11 a A = 21 M am1
称：
问题描述：国民经济各部门之间存在相互依存的关系，每个部门在运转中将其他部 门的半成品（称为投入）经过加工变为自己的产品（产出），如果根据各部门间的 投入产出关系，确定各部门的产出水平以满足社会需求。
设国民经济由农业、制造业、服务业三个部门构成，关系如下表（3-1）：单位(亿元) 投入/产出 农业 制造业 服务业 初始投入 总投入 农业 15 30 20 35 100 制造业 20 10 60 110 200 服务业 30 45 0 75 150 外部需求 35 115 7 总产出 100 200 150
主要内容
一. 矩阵及其运算 二. 矩阵的初等变换与线性方程组 三. 矩阵的对角化
一. 矩阵及其运算
3.1.1矩阵的算术运算
MATLAB中矩阵的基本运算有+,-,*,/（右除）,\（左除）,^（乘方） 1、矩阵的线性运算 两个矩阵A,B,A+B和A-B的运算规则是：若两个矩阵的维数相同，则可以执行加减 运算，相应的元素相加减，如果尾数不相同则出错。 2、矩阵的乘法 设两个矩阵A,B分别为m*n和n*p的矩阵，则C=A*B为m*p的矩阵 3、矩阵的除法（ mldivide \和mrdivide / ） 如果两个矩阵A,B是非奇异的，则A\B和A/B运算都可以实现。 A\B等价于inv(A)*B,A/B等价于A*inv(B) 对含有标量的运算，两种除法运算的结果相同3/4和4/3都是0.75 4、矩阵的乘方^
例题1：
例题2：
2、非齐次线性方程组的求解 非齐次线性方程组Ax=b的解得判定定理： （1）当m=n,且rank(A)=rank(A|b)=n时，方程组Ax=b有唯一解，x=inv(A)*b （2）当rank(A)=rank(A|b)<n时，方程组有无穷多解，此时可用null(A,’r’)求出对应方 程的基础解系，再用pinv(A)*b求出一个特解，则可以获得最后的通解； （3）当rank(A)不等于rank(A|b)时，方程组无解。 例题1：
记投入系数矩阵 A = (aij ) n×n 产出向量 (3)式可写为： 或
x = ( x1 ,..., xn )T
x = Ax + d
( I − A) x = d
（4） （5）
当投入系数A和外部需求d给定后，求线性方程组(5)即可得到各部门的总产出x。 问题(1)的解答： 编写MATLAB程序：a=[0.15 0.1 0.2;0.3 0.05 0.3;0.2 0.3 0]; d=[50 150 100]’; b=eye(3)-a;x=b\d
a12 a22 M am 2
L a1n x1 x L a2 n , x = 2 M M L amn xn
y1 y 2 = y′Λy M O k n yn
k1 2 2 f = k1 y12 + k2 y2 + ... + kn yn = ( y1 , y2 ,..., yn )
问题(2)的解答：由方程（5）可得到：
x = ( I − A) −1 d
（6）
表明总产出x对外部需求是线性的，所以当d增加1个单位时（△d），x的增量是
∆x = ( I − A) −1 ∆d 若农业的外部需求增加1个单位，即△d=(1,0,0)T， △x为(I-A)-1
的第1列。制造业和服务业同样处理。则可以直接使用求逆命令得到dx=inv(b),求得 到的数字称为部门关联系数。 问题(3)的解答： 要使对任意的需求d≥0，（6）式总能得到总产出x≥0,显然只需要(I-A)-1≥0，由：
( I − A)( I + A + A2 + ... + Ak ) = I − Ak +1
且A≥0，所以只要：
Ak → 0, k → ∞
就有：
−1
( I − A) = ∑ Ak ≥ 0
k =0
∞
由矩阵范数的性质可知 Ak → 0, k → ∞ 与 A 故只要
k
→ 0 等价，且 Ak ≤ A k
A 1 < 1 即：
xi = ∑ xij + d i
j =1
n
（1）
表3-1的每一行都满足(1)式，投入系数记为aij，即为第j个部门的单位产出所需要的 第i个部门的投入：
xij = aij x j
（2）
由(1)和(2)式得到
xi = ∑ aij xi + d i , i = 1,2,..., n
j =1
n
（3） 需求向量 d = (d1 ,..., d n )T
∑a
i =1
n
ij
< 1, j = 1,2,..., n
（7）
投入产出就是可行的。 由（2）式可知(7)式等价于：
∑x
i =1
n
ij
< x j , j = 1,2,..., n
（8）
只要初始投入非负，（8）式自然成立。
二. 矩阵的初等变换与线性方程组
3.2.1 行最简形
将矩阵初等变换成行最简形的函数为rref(A)
k2
为二次型的标准型。二次型的标准化实质上是对应的实对称矩阵的对角化。
例题1：求一个正交变换x=py,将如下二次型化成标准型:
2 2 f = x12 + 2 x2 + x3 − 2 x1 x3
解：首先写出对应的实对称阵A=[1 0 -1;0 2 0;-1 0 1]
需要对p补充一个列向量 [0.7071;0;0.7071]使之成 为正交矩阵。或者利用 [v,d]=eig(A)得到v。
例题2：
例题3：
三. 矩阵的对角化
3.3.1 求矩阵的特征值和特征向量
计算矩阵A的特征值和特征向量的命令eig有三种调用格式： （1）E=eig(A) 求矩阵A的全部特征值，构成向量E （2）[V,D]=eig(A)求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，求出A的特征向量构成V的 列向量。先对A做相似变换后再求A的特征值和特征向量。 （3）[V,D]=eig(A,’nobalance’) 相对第二种格式，直接求矩阵A的特征值和特征向量。 例题1：
线性代数问题的MATLAB求解 第三章 线性代数问题的 求解
10
10
5
5
0
0
-5
-5
-10 30 20 10 0 5 0 15 10 25 20
-10 30 20 10 5 0 0 15 10 25 20
25
20
2
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1
15
0
10
-1
5
-2 2 1 0 -1 -1 -2 -2 1 0 2
5
10
15
20
25
5、点运算 两个矩阵进行点运算是指他们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同 6、矩阵的转置’
3.1.2方阵的行列式
方阵A的行列式对应的求值函数为det(A)
3.1.3矩阵的逆矩阵
对于一个可逆的方阵A，求解函数为inv(A) 对于普通矩阵A，求伪逆的函数为pinv(A)
3.1.4应用实例-投入产出模型
注：A=compan(p)返回相应的第一行为-p(2:n)/p(1)的伴随矩阵，p是多项式系数向量， compan(p)的特征值是多项式p的根。例如： 例题2：
特征值
3.3.2 实对称阵的对角化
对于某方阵A，如果存在一个可逆阵P,使得P-1AP=B,称B为A的相似变换矩阵。相似变 换后A的秩，迹，行列式和特征值都不发生变化。 当A为实对称矩阵时，总存在一个正交矩阵P，使得P-1AP=B，其中B是由A的特征值 置于主对角线上构成的方阵。 MATLAB中求解正交矩阵的函数为Q=orth(A) 例题1：设A=[0 1 1;1 0 1;1 1 0],求一个正交矩阵P使P-1AP为对角阵。