1梅涅劳斯定理及应用

梅涅劳斯定理及应用

定理：设Z Y X ,,分别是ABC ∆的边AB CA BC ,,或其延长线的点，则Z Y X ,,三点共线的充要条件是：

1=∙∙ZB

AZ YA CY XC BX

例1：在O B C ∆中，A 为BC 的中点，D 为OB 上的点，且21=OD BD ,E CD OA 相交于点与，则OA OE _____=

例2：如图，过ABC ∆的三个顶点C B A ,,作它的外接圆的切线，分别和BA CA BC ,,的延长线交于R Q P ,,；求证：R Q P ,,三点共线

例3：（1985年第三届美国数学邀请赛）如图，G 是ABC ∆内一点，直线CG BG AG ,,将ABC ∆分为6个小三角形，已知BDG BFG AFG ∆∆∆,,的面积分别为40,30,35，求A B C ∆的

面积

例4： (1983年全国高中数学联赛）在四边形ABCD 中，ABC BCD ABD ∆∆∆,,的面积之比是1:4:3，点M,N 分别在AC,CD 上，满足AM:AC=CN:CD ，并且B,M,N 三点共线，求证M 与N 分别是AC 和CD 的中点

练习：1（2009年中国科技大学）已知ABC ∆的面积为1,;F E D ,,分别在边AB CA BC ,,上，FB AF EA CE DC BD 2,2,2===;CF BE AD ,,两两交于R Q P ,,，求PQR ∆的面积

2 四边形ABCD (不是正方形）的内切圆分别切DA CD BC AB ,,,于H G F E ,,,，求证：GF DB HE ,,三线共点

3 (1982年第23届IMO 试题）已知CE AC ,是正六边形ABCDEF 的两条对角线，点N M ,分别在线段CE AC ,上，且使

k CE

CN AC AM ==,如果N M B ,,三点共线，试求k 的值

4（2016年湖南省高中数学夏令营）：ABC ∆的内切圆分别与BC 、CA 、 AB 相切于点D 、E 、F,直线AD 与EF 相交于点H ，若直线BC EF 与相交于点G ，求证：GE

FG HE FH =