4.2 离散无记忆信源R(D)的计算-- 4.5 保真度准则下的信源编码定理解析
第4章 离散无记忆信源无失真编码 4.2
唯一可译码 非 奇 异 码 奇异码 码 非唯一可译码 非奇异码 定长非奇异码 唯一可译码 变长非续长码 （部分）变长续长码
4
定长非奇异码
非续长码
2、码树
w4
1
w3 w2
0
1
w1
0
w4
1
w3
0
1
w4 111 w 011 3
w2
0
三阶节点 二阶节点 一阶节点
1
1
1
1 1
w2 01
1 w 0 1
4.2 码的唯一可译性
信 源
U
信源 W 编码
无损确定信道 （等效）WLeabharlann 信源 U ˆ 信 译码 宿
f
f 1
• f 为一一对应的变换，只是无失真编码的必要条件， 并不充分； •要保证将码元序列无失真地恢复成信源符号序列， 还要求编出的码自身具有独特的结构。 •有实用价值的码应该具有唯一可译性，即能从码字 序列（也是码元序列）唯一地恢复成信源符号序列。 • 举例：下雨天留客天留我不留
6
唯一可译码存在性定理：对于任一 r 进制唯一可译 码（UDC），各码字的码长为{l1, l2, … , lq}，必须 q 满足Kraft 不等式： li 反过来，若上式成立，就一定能构造一个 r 进制唯 一可译码（UDC）。
r i 1
1
• Kraft 不等式是唯一可译码存在的充要条件； • 如果码是唯一可译码，则必定满足该不等式； • 如果满足Kraft 不等式，则这种码长的唯一可译码 一定存在； • 但不表示所有满足不等式的码一定是唯一可译码。 7
w1
0
0
1
0
W1={00, 01, 10, 11}
《信号处理原理》 第4章 信息失真率
d(0,2)=d(1,2)=0.5
则得失真矩阵
d
0 1
1 0
0.5 0.5
4.1 平均失真和信息率失真函数
说明：失真函数d (xi, yj) 的数值是依据实际应 用情况，用 yj代替xi, 所导致的失真大小是人为决 定的。比如上例中，用y=2代替x=0和x=1所导致 的失真程度相同，用0.5表示；而用y=0代替x=1 所导致的失真程度要大，用1表示。失真函数d (xi, yj) 的函数形式可以根据需要任意选取，例如平方 代价函数、绝对代价函数、均匀代价函数等。
信源编码器的目的是使编码后所需的信 息传输率R尽量小，然而R越小，引起的平 均失真就越大。给出一个失真的限制值D，
在满足平均失真 D D的条件下，选择一种
编码方法使信息率R尽可能小。信息率R就 是所需输出的有关信源X的信息量。
16
4.1 平均失真和信息率失真函数
将此问题对应到信道，即为接收端Y需要 获得的有关X的信息量，也就是互信息 I(X;Y)。这样，选择信源编码方法的问题就 变成了选择假想信道的问题，符号转移概 率p(yj/xi)就对应信道转移概率。
输入符号集 X:{a1, a2, …, an}中有n种不同的符 号xi (i =1, 2, …, n) ；输出符号集Y:{b1, b2, …, bm}中有m种不同的符号yj (j =1, 2, …, m)；对于 图所示的系统，对应于每一对(xi, yj)(i = 1, 2, …,n；j=1, 2, …, m)，定义一个非负实值函数
平均失真D是对给定信源分布p(ai)经过某一种 转移概率分布为p(bj|ai)的有失真信源编码器后产 生失真的总体量度。
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4.1 平均失真和信息率失真函数
信息论与编码第5章限失真信源编码
第一节 失真测度
• 以上所举的三个例子说明了具体失真度的定义. 一般情况下根据实际信源的失真, 可以定义不同 的失真和误差的度量.
• 另外还可按照其他标准, 如引起的损失、风险、 主观感受上的差别大小等来定义失真度d(ui,vj).
• 从实用意义上说, 研究符号实际信源主观要求的、 合理的失真函数是很重要的.
第一节 失真测度
设信源变量为U={u1,…,ur}, 接收端变量为 V={v1,…,vs}, 对于每一对(u,v), 指定一个非负 函数
d(ui,vj)≥0 称为单个符号的失真度(或称失真函数). 失真函数用来表征信源发出符号ui, 而接收端再现 成符号vj所引起的误差或失真. d越小表示失真越小, 等于0表示没有失真.
➢ 应该指出, 研究R(D)时, 条件概率p(v|u)并没有 实际信道的含义. 只是为了求互信息的最小值而引 用的、假想的可变试验信道. ➢ 实际上这些信道反映的仅是不同的有失真信源编 码或信源压缩. 所以改变试验信道求平均互信息最 小值, 实质上是选择编码方式使信息传输率为最小.
率失真理论与信息传输理论的对偶关系
– 接收端获得的平均信息量可用平均互信息量I(U;V)表示;
– 这就变成了在满足保真度准则的条件下 D D 找平均互信息量I(U;V)的最小值.
,寻
– 因为BD是所有满足保真度准则的试验信道集合, 即可以 在D失真许可的试验信道集合BD中寻找某一个信道 p(vj|ui), 使I(U;V)取最小值.
本章所讨论的内容是量化、数模转换、频带 压缩和数据压缩的理论基础.
前言
本章主要介绍信息率失真理论的基本内容, 侧 重讨论离散无记忆信源.
首先给出信源的失真度和信息率失真函数的定 义与性质, 然后讨论离散信源的信息率失真函数计 算. 在这个基础上论述保真度准则下的信源编码定 理.
4.2 离散无记忆信源R(D)的计算解析
Dmax min p( xi )d ij
Y X
因为离散信源：
均方失真的连续信源的R(D)
R( D)
1 Dmax ln( ) 2 D
可直接当结论来应用
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例：设某连续信源X服从高斯分布，均值μ=0， 方差σ2，失真函数为均方失真即d(x,y)=(y-x)2
求它的信息率失真函数R(D)和Dmax。
例：已知离散无记忆信源
x2 X x1 0 1 ，求 P( X ) p 1 p ，其中p 2 ，失真矩阵为D 0 , 输出Y 0,1 Dmax，率失真函数R( D)。
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3
4.2 离散无记忆信源R(D)的计算
y
min[ x 2 p( x)dx 2 y xp( x)dx y 2 p( x)dx]
y
D
min[ 2 0 y 2 ]
y
2
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上题的扩展：若连续信源服从（μ，σ2）的高 斯分布，则再求上题。
解：先求Dmax：
服从(0, 2 )的高斯分布的概率密度 函数为： p ( x) 1 e 2
2、
（1）信道容量C一旦求出来，则与信源分布无关（只是 证明存在这样的满足信道容量的信源分布），只和信道 转移概率分布p(yj/xi)有关。即信道容量和信源特性无 关，反映信道特性。 （2）信息率失真函数R(D)一旦求出来，则与信道转移 概率分布无关（只是证明存在达到最小信息率的试验信 道），只和信源概率分布p(xi)有关。即信息率失真函数 和信道特性无关，反映信源特性。
信息论与编码研学笔记
信息论与编码研学笔记一、信息论与编码研学的详细过程1.阅读了教材或参考资料上的哪些内容？第一章绪论：§1.1 信息的一般概念信息存在于自然界，也存在于人类社会，其本质是运动和变化。
可以说哪里有事物的运动和变化，哪里就会产生信息。
信息必须依附于一定的物质形式存在，这种运载信息的物质，称为信息载体。
人类交换信息的形式丰富多彩，使用的信息载体非常广泛。
概括起来，有语言、文字和电磁波。
§1.2 信息的分类在众多的分类原则和方法中，最重要的就是按照信息性质的分类。
按照性质的不同可以把信息划分成语法信息、语义信息和语用信息三个基本类型。
其中最基本也是最抽象的类型是语法信息。
也是迄今为止在理论上研究得最多的类型。
§1.3 信息论的起源、发展及研究内容在人类历史的长河中，信息传输和传播手段经历了五次重大变革：语言的产生；文字的产生；印刷术的发明；电报、电话的发明；计算机与通信技术相结合，促进了网络通信的发展。
第2章：信源熵§2.1 单符号离散信源单符号离散信源的数学模型、自信息和信源熵、信源熵的基本性质和定理、加权熵的概念和基本性质、平均互信息、各种熵之间的关系§2.2 多符号离散信源序列信息的熵、离散平稳信源的数学模型、平稳信源的熵和极限熵、马尔可夫信源、信源冗余度§2.3 连续信源连续信源的熵、几种特殊连续信源的熵、连续信源熵的性质及最大连续熵定理、熵功率§2.4 离散信源无失真编码定理定长编码定理、变长编码定理第3章：信道容量§3.1 信道容量的数学模型和分类§3.2 单符号离散信源信道容量的定义、几种特殊离散信道的容量、离散信道容量的一般计算方法§3.3 多符号离散信源多符号离散信道的数学模型、离散无记忆信道的N次扩展信道和独立并联信道的信道容量§3.4 多用户信道多址接入信道、广播信道、相关信源的多用户信道§3.5 信道编码定理第4章：信息率失真函数§4.1 信息率失真函数失真函数和平均失真度、率失真函数定义、率失真函数性质§4.2 离散信源的信息率失真函数离散信源信息率失真函数的参量表达式、二元信源的率失真函数连续信息的率失真函数、连续信源失真函数的参量表达式、高斯信源的率失真函数、信息价值§4.4 保真度准则下的信源编码定理第5章：信源编码§5.1 离散信源编码香农编码、费诺编码、赫夫曼编码、游程编码、冗余位编码§5.2 连续信源编码最佳标量量化、矢量量化§5.3 相关信源编码预测编码、差值编码§5.4 变差值编码子带编码、小波变换第6章：信道编码§6.1 信道编码的概念信道编码的作用和分类、编码信道、检错和纠错原理、检错和纠错方式和能力§6.2 线形分组码线性分组码的描述、线性分组码的译码、码例与码的重构§6.3 循环码循环码的多项式描述、循环码的生成矩阵、系统循环码、多项式运算电路、循环码的编码电路、循环码的伴随多项式与检测、BCH 码与RS 码 §6.4 卷积码卷积码的矩阵描述、卷积码的多项式描述、卷积码的状态转移图与格描述、维特比（Viterbi ）译码算法第7章：密码体制的安全性测度§7.1 密码基本知识§7.2 古典密码体制§7.3 现代密码体制§7.4 密码体制的安全性测度2.证明了教材或参考资料上哪些没有证明的定理？1）最大离散熵定理:离散无记忆信源输出M 个不同的信息符号,当且仅当各个符号出现概率相等时（即pi=1/M ）,熵最大。
信息论基础与编码课件第四章 信息率失真函数
同样，可得Pij时的平均互信息为 I''(X;Y)0.37b9i/t符号
从此例我们可以看到，若固定P(x)不变时，平均互信息量随信
道的转移概率的变化而变化。这是因为信道受到干扰的作用 不同，传递的信息量也不同。可以证明这样一个结论：P(x)一 定时，平均互信息量I(X;Y)是关于信道的转移概率的下凸函数， 即存在一极小值。
m × n个 p i j 的值，代入平均失真的公式中，可解出随S参数值变
化的D值，即
D (S ) p ip j id ij p ip ij ie S d ijd ij （4-16）
ij
ij
25
离散信源的R(D)函数及其计算(续)
信源的信息率失真函数R(D)为
R (S ) i
j
pi p j i e Sdij
源输出符号序列 X (X 1 ,X 2 , ,X L ) ，其中L长符号序列样
值 Y(Y 1,Y 2, ,Y L) ，经信源编码后，输出符号序
列 x i (x i1 ,x i2 , ,x iL )
，其中L长符号序列样
值 y i (y i1 ,y i2 , ,y iL )，则失真函数定义为：
1L
dL(xi,yj)Ll1d(xil,yjl)
其中d(xil，yjl)是信源输出L长符号样值 x i 中的第l个符号xil时，
编码输出L长符号样值 中的y i 第l个符号yjl的失真函数。
7
平均失真
定义平均失真度为失真函数的数学期望，即 d ( xi , yj ) 在 X 和 Y的 联合概率空间 P(XY ) 中的统计平均值
nm
D E [d (x i,y j)] p (x i)p (y j|x i)d (x i,y j) （4-4） i 1j 1
信息论：第5章 无失真信源编码定理
(4)非奇异码 若一组码中所有码字都不相同(即所有信源符 号映射到不同的码符号序列)，则称为非奇异码。
si s j Wi W j
则称码C为非奇异码。
si , s j S Wi ,W j C
20
（5）奇异码
若一组码中有相同的码字，则为奇异码。
si s j Wi W j
30
即时码（异前缀码）一定是唯一可译码。因为，如果没 有一个码字是其他码字的前缀，则在译码过程中，当收到一 个完整码字的码符号序列时，无需考虑下一个符号，就能直 接把它译成对应的码字或信源符号。
31
32
33
5.2
等长码
一般说来，若要实现无失真的编码，这不但要求 信源符号与码字是一一对应的，而且要求码符号序 列的反变换也是唯一的。也就是说，所编的码必须 是唯一可译码。否则，所编的码不具有唯一可译码 性，就会引起译码带来的错误与失真。
11
超过信宿的灵敏度和分辨力所传送的信息是毫无 意义的，也是完全没有必要的。 比如话声信源，界别过多的划分，人耳就很难分 辨。图像信源亦是如此，人们看电影，当图片超过每 秒25张以上时，人眼就能将离散的照片在人脑内反映 成连续画面。
此时，就应该引入限定失真条件下的信源编码问题 。
12
5.1
编码器
32272781179同样可以求得信源序列长度增加到3和4时进行变长编码所得的编码效率和信息传输率分别为如果对这一信源采用等长二元码编码要求编码效率达到96允许译码错误概率105则可以算出自信息方差为98580需要的信源序列长度为可以看出使用等长编码时为了使编码效率较高96需要对非常长的信源序列进行编码且总存在译码差错
此式表明，只有当 l长的 S s1 , , sq ，有 q 个符号，那么它的N次扩展信 码符号序列数大于或等于N次 源 S N 1 , , N 共有 q N 个符号。 q 扩展信源的符号数时，才可
普通高等教育 电子信息工程专业教学大纲合集 1041812信息论与编码课程教学大纲
《信息论与编码》教学大纲课程编码：1041812课程性质：专业课程适用专业：电子信息工程学分：2学分学时：36学时开设学期：第5学期一、教学目的本课程的教学目的是使学生掌握信息处理的理论基础和各种编码原理、手段与方法。
培养学生能够适应数字通信、信息处理、信息安全、计算机信息管理等编码工作的要求。
使学生掌握信息理论的基本概念和信息分析方法及主要结论，为今后从事信息领域的科研及工程工作的进一步研究打下坚实的理论基础。
二、教学重点与难点1．重点：信息以及失真的测度、信道及信道容量、无失真信源编码方法以及有噪信道编码方法。
2．难点： 典型序列以及由此推导出的香农三大编码定理及其逆定理。
三、教学方法建议讲授法：教师讲授信息论与编码的基本知识和研究现状。
讨论法：师生共同讨论信息论与编码中研究的问题。
探究法：师生共同探究信息论与编码中前沿问题。
四、教学内容第一章信息理论基础（4学时）教学要求：了解信息论研究对象、目的、发展简史与现状；了解通信系统的模型以及通信系统各部分的主要组成以及作用。
1．信息论的形成和发展2．通信系统的模型3．信息论研究的内容第二章离散信源及其测度（8学时）教学要求：了解信源的相关性和剩余度的概念，消息、信息、信号的概念，信息，信号，消息，数据的关系及其联系。
掌握信源的数学模型、离散无记忆信源、离散平稳信源和马尔可夫信源基本理论。
1．信源的数学模型及分类2．信息熵及其基本性质3．离散平稳信源4．马尔可夫信源5．信息剩余度第三章离散信道及其信道容量（8学时）教学要求：了解一般信道容量的计算方法。
掌握信道的数学模型，离散无记忆信道以及一些特殊信道容量的计算方法。
1．信道数学模型及分类2．平均互信息及特点3．信道容量及一般计算方法4．离散无记忆扩展信道及其容量第四章无失真信源编码（8学时）教学要求：了解其它一些无失真信源编码方法；理解渐近等分割性及ε典型序列，算术编码方法及具体实现方案；掌握编码的定义、码的分类、定长编码定理、变长编码定理、最佳编码方法、香农编码方法、费诺编码方法、哈夫曼编码方法。
第5讲离散无记忆信源
尤为重要的是：
一类重要的符号序列有记忆离散信源----马尔可夫 信源： 某一个符号出现的概率只与前面一个或有限个 符号有关，而不依赖更前面的那些符号。
2.2 离散无记忆扩展信源
1. 单个符号的离散信源----每次只发出一个符号代表一 个消息，且消息数量有限。
a1 X P p ( a1 ) a2 p ( a2 ) p ( ar ) ar
则称此信源为离散平稳信源。 注：平稳信源既是指在发出符号不变的前提下，发出符号 概率不依时间而改变，今后不特别说明时，我们提到的信 源都是平稳信源。
2、平稳信源等价条件
p ( xk ) p ( xt ) p( x x ) p( x x ) k k 1 t t 1 (1) p ( xk xk N ) p ( xt xt N )
符号集
X {a1 , a2 ,
r
, ar },
i
p ai 0
p(a ) 1
i 1
2. 发出符号序列离散信源－－每次发出一组 含两个以上的符号序列来代表一个消息
信源X输出用N维随机序列（随机矢量）
X X 1 X2 Xl X N 来描述信源输出的消息，
用联合概率分布来表示信源特性。在上述随机矢量 中，若每个随机变量 X i (i 1, 2,
中每个符号才能使得X i 有r N 个，因此相当如后式中的i1 ,
, iN 都从
注2、
H(XN)=NH(X):每个消息所能提供的平均信息量为每个信源
符号平均信息量的N倍。
X a1 例1、设信源空间 1 P 4 信源的熵？
解：X 2的概率空间为
a2 1 2
第三章 信源编码-离散无记忆源等长编码
第三章 信源编码——离散信源无失真编码本章分析问题：在信宿要求无失真接收时，或所有信源信息无损的条件下，离散信源输出的表示——即信源编码问题。
内容：信源分类，信息速率的计算，编码定理，有效编码方法等。
一、信源及其分类 1． 离散信源和连续信源离散信源表示：…Ｕ－２Ｕ－１Ｕ０Ｕ１Ｕ２…其中ＵＬ随机变量，取值范围：Ａ＝｛ａ１，ａ２，…ａｋ｝ ２．无记忆源和有记忆源无记忆源：各ＵＬ彼此统计独立简单信源：各ＵＬ彼此统计独立且服从同一概率分布 Ｐ（ＵＬ＝ａｋ）＝Ｐｋ，ｋ＝１，２，…，Ｋ∑=Kk 1Ｐｋ＝１有记忆源：各ＵＬ取值相关。
ＵＬ＝（Ｕ１，Ｕ２，…，ＵＬ）∈ＵＬ，其概率分布由Ｌ维随机矢量表示，Ｐ（ＵＬ＝ａ）＝Ｐ（Ｕ１＝ａｋ１，…，ＵＬ＝ａｋＬ） ３．平稳信源：概率分布与起始下标无关Ｐ（Ｕ１＝ａｋ１，…，ＵＬ＝ａｋＬ）＝Ｐ（Ｕｔ＋１＝ａｋ１，…，ＵＬ＝ａｋＬ）４．各态历经源：信源输出的随机序列具有各态历经性。
５．有限记忆源：用条件概率Ｐ（ＵＬ，ＵＬ－１，ＵＬ－２，ＵＬ－ｍ）表述。
ｍ为记忆阶数。
６．马尔可夫源：有限记忆源可用有限状态马尔可夫链描述，当ｍ＝１时为简单马尔可夫链。
７．时间离散的连续源：各随机变量ＵＬ取值连续。
８．随机波形源：时间和取值上均连续的信源；由随机过程ｕ（ｔ）描述，时间或频率上有限的随机过程可展开成分量取值连续的随机矢量表示，即时间上离散，取值连续的信源。
９．混合信源二、离散无记忆源的等长编码离散无记忆源：ＤＭＳＬ长信源输出序列：ＵＬ＝（Ｕ１，Ｕ２，…，ＵＬ），Ｕｌ取值｛ａ１，ａ２，…ａｋ｝，共ＫＬ种不同序列。
对每个输出序列用Ｄ元码进行等长编码，码长为Ｎ，则可选码共有ＤＮ个。
１．单义可译码或唯一可译码：条件：ＤＮ≥ＫＬ＝Ｍ，即Ｎ≥ＬｌｏｇＫ／ｌｏｇＤＮ／Ｌ：每个信源符号所需的平均码元数；Ｎ／Ｌ→３．３２２；２．信息无损编码要求：设每个信源符号的信息量为Ｈ（Ｕ），则Ｌ长信源序列的最大熵值为ＬＨ（Ｕ），编码时由于Ｄ个码元独立等概时携带信息量最大，使码长最短。
通信原理第六章-保真度准则下的信源编码
（6-6）
假如信源符号代表信源输出信号的幅度值，那么，这一种就是以方差表示的失真度。它 意味着幅度差值大的要比幅度差值小的所引起的失真更为严重， 严重程度用平方来表示。 这 种失真就是平方误差失真。 当 r 3 时， U 0,1,2 ， V 0,1,2 ，则失真矩阵为
0 1 4 D 1 0 1 4 1 0
U ,N U ,N
（6-10）
也可写成
D N P i P j | i d i , j
i 1 j 1 r
N
r
N
s
N
N
（6-11）
l
P i P j | i
i 1 j 1
s
N
d ui , v j
l 1
l
由此所得的信源平均失真度（单个符号的平均失真度）
（6-19）
应该强调指出，条件概率 P V U 反映的是不同的有失真信源编码或信源压缩方法。 计算使平均互信息最小的 P V U ，实质上是选择一种编码方式使信息传输率为最小。
RD 是在信源给定情况下，接收端为满足失真要求所必须获得的最少平均信息量。因
6.2 失真度和平均失真度 6.2.1 失真度
由于本章只涉及信源编码问题。我们把信道编码、信道、信道译码这三部分看成是一个 没有任何干扰的广义信道。这样收信者收到消息后所产生的失真（或误差）只是由信源编码 带来的。 若对信源输出的信号进行有损压缩， 则信源解码后的信号与信源编码器的输入信号 间将存在误差。从直观感觉可知，若允许失真越大，信源压缩比越大，信息传输率越低。所 以信息传输率与信源编码所引起的失真（或误差）是有关的。 现在我们要研究在给定允许失真地条件下， 是否可以设计一种信源编码使信息传输率最 低。为此，必须首先讨论失真度。 设离散无记忆信源 U ,U u1, u2 ,...,ur ，其概率分布为 Pu Pu1 , Pu2 ,...,Pur 。信源 符号通过信道传输到某接收端，接收端的接收变量 V v1, v2 ,...,vs 。对应每一对 u, v ，我们
4.2 离散无记忆信源R(D)的计算_万方通信
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例：求d(x,y)=(y-x)2的Dmax和信息率失真 函数R(D)。 min[ p( x)d ( x, y)dx] 解：连续信源的Dmax， D
max y
y
而 （x ）p( x)dx ，即 x p( x)dx
2 2 2
2
D
Dmax min[ 2 2 2 y y 2 ]
y
2
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结论：
若失真函数为均方失真，即d(x,y)=(x-y)2时,连续 1 D 信源的信息率失真函数 R( D) ln( max ) ，且
第4章 信息率失真函数
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4.1 基本概念
4.2 离散无记忆信源R(D)的计算 4.3 连续无记忆信源R(D)的计算 4.4 信道容量和信息率失真函数的比较
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2
4.2 离散无记忆信源R(D)的计算
参量表达式法求R(D)及P(Y/X)，具体推导略， 见p111页。
X x1 x2 0 1 ，其中 p ，失真矩阵为 D , 输出Y 0,1 P( X ) p 1 p 2 0
Dj 解：（1） Dmax min j 0 min p 1 p j 0 min(1 p ) , p
依据：平均互信息I是信源概率分布p(xi)的严格上 凸函数。
（2）信息率失真函数：求选择某一试验信道（转 移概率分布）的情况下，依据保真度准则，求平均 互信息的极小值。
第4章 离散无记忆信源无失真编码
第4章离散无记忆信源无失真编码主要内容1、基本概念2、码的唯一可译性3、定长编码定理和定长编码方法4、变长编码定理5 变长编码方法6 几种实用的无失真信源编码1、基本概念信源发出的消息序列通常不能直接送给信道传输，需要经过信源编码和信道编码。
信道编码的目的是降低差错率，提高传送的可靠性。
信源编码的目的是为了降低冗余度，提高通信的有效性。
编码是一种映射，是将输入符号映射成码字。
无失真编码，映射一一对应，可逆。
编码器模型：码长：码字所含码元的个数定长编码：所有码字均有相同的码长，对应的码叫做定长码(FLC ，Fixed Length code)；否则为变长编码。
编码器12{,,,}q u u u 12{,,,}r x x x WU12{,,,}q w w w X信源平均码长：码中所有码字码长的统计平均，即码元/符号编码效率：编码后的实际信息率与编码后的最大信息率之比冗余度：l l l2、码的唯一可译性（1）基本概念奇异码：一组码中含相同码字。
非奇异码：所有的码字都不相同。
唯一可译性：码字组成的任意有限长码字序列都能恢复成唯一的信源序列。
续长码：有些码字是在另一些码字后面添加码元得来的。
及时码：码字的最后一个码元出现时，译码器能立即判断一个码字已经结束，可以立即译码。
非续长码：任一码字都不是其它码字的延长。
唯一可译码定长非奇异码非续长码非奇异码5种不同的码35124121142183184()00001000100001001101001110011111110111111i P u W W W W W U u u u u（2）码树和Kraft不等式从树根开始，生长r个树枝，在节点处再各自生长r个树枝。
节点：树枝与树枝的交点。
l阶节点：经过l根树枝到达的节点。
整树：节点长出的树枝数等于r定理：对于任一r进制非续长码，各码字的码长必须满足Kraft不等式：反过来，若上式成立，就一定能构造一个r 进制非续长码。
信源编码的基本方法
X
m
k
S : Si ,i
1,2,...L
编码输出
YNmJ
C
X
m
J
其中 YNmJ Y1mY2m...YNmJ Ykm C : Ci ,i 1,2,..., D
C : Ci ,i 1,2,...D 为输出的码元集。
接收端的译码输出
X 'Jm C1 YnJm
XJ
YnJ
4.6 率失真理论
一.实际系统中的权衡问题
实际系统中通常需要考虑性能与经济性之间的权衡问题；
可采用以某些不可察觉或可察觉但不影响应用的信号失真代 价，来换取所需的传输速率、存储空间、运算复杂度和系统实 现成本的降低；
电话系统采样8kHz采样，8比特量化；
数字音响系统采样44kHz采样，16或24比特量化；
R
nJ J
log2
D
其中 nJ 为不等长编码的平均码长。
定义4.5.3 信源的熵 H S 与编码速率R 的比值定义为编码效率
C
H S
R
要保证编码没有信息丢失，要求
R H S C 1
3. 霍夫曼(Huffman)编码 霍夫曼编码是一种异字头不等长编码，其基本思想是： 对出现概率大的符号或符号组用位数较少的码字表示； 对出现概率小的符号或符号组用位数较多的码字表示。 由此可提高编码效率。 霍夫曼编码： 定理4.5.17 霍夫曼编码一种最佳的不等长编码。 霍夫曼编码的应用条件： 信源的分布(统计)特性已知。
P
Si
ni
n
2
其中 n
LP
i 1
Si
ni
编码过程的排序过程不同会影响码长的方差。
码字长度的均匀性和方差 示例：信源的符号空间为
4.2 离散无记忆信源R(D)的计算-- 4.5 保真度准则下的信源编码定理解析
1 1 1 s e
5
（2）解下列方程，求p(yj)
p( y
j 1
2
j
)e
sdij
1
i
，其中， 1 i 2 1 e sd1 2 p ( y1 ) 1 sd 2 2 e p( y 2 ) 1 2
p ( x ) ( x ) Sesd ( x , y )
d ( x, y ) dx 0 dy
若d ( x, y ) ( x y ) 2 代入得 p ( x ) ( x ) Sesd ( x , y ) 2( x y ) dx 0 即 p ( x ) ( x ) Sesd ( x , y ) 2 xdx p ( x ) ( x ) Sesd ( x , y ) 2 ydx 化简得 p ( x ) ( x )e sd ( x , y ) xdx y p ( x ) ( x )e sd ( x , y ) dx p ( x ) ( x )e sd ( x , y ) xdx y（式二）
D p ( xi ) p ( y j / xi )d ij
i 1 j 1 2 2
2
2
p ( xi ) p ( y j )i e ij d ij
sd i 1 j 1
将各具体数值代入上式 得 1 e 1 D / S ln 1 D /
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(1)求使R(D)达到最小的试验信道的转移概率密度函数为
离散信源的R(D)
sd ij
p ( y / x ) ( x ) p ( y )e 1 其中 ( x) sd ( x , y ) p ( y ) e dy
信息论与编码课后习题答案
1、 在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到 形式、含义和效用 三个方面的因素。
2、 1948年，美国数学家 香农 发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。
3、 按照信息的性质，可以把信息分成 语法信息、语义信息和语用信息 。
4、 按照信息的地位，可以把信息分成 客观信息和主观信息 。
5、 人们研究信息论的目的是为了 高效、可靠、安全 地交换和利用各种各样的信息。
6、 信息的 可度量性 是建立信息论的基础。
7、 统计度量 是信息度量最常用的方法。
8、 熵 是香农信息论最基本最重要的概念。
9、 事物的不确定度是用时间统计发生 概率的对数 来描述的。
10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用 随机矢量 描述。
11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为 其发生概率对数的负值 。
12、自信息量的单位一般有 比特、奈特和哈特 。
13、必然事件的自信息是 0 。
14、不可能事件的自信息量是 ∞ 。
15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于 两个自信息量之和 。
16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量 趋于变小 。
17、离散平稳无记忆信源X 的N 次扩展信源的熵等于离散信源X 的熵的 N 倍 。
18、离散平稳有记忆信源的极限熵，。
19、对于n 元m 阶马尔可夫信源，其状态空间共有 n m 个不同的状态。
20、一维连续随即变量X 在[a ，b]区间内均匀分布时，其信源熵为 log 2（b-a ） 。
21、平均功率为P 的高斯分布的连续信源，其信源熵，H c （X ）=。
22、对于限峰值功率的N 维连续信源，当概率密度 均匀分布 时连续信源熵具有最大值。
23、对于限平均功率的一维连续信源，当概率密度 高斯分布 时，信源熵有最大值。
24、对于均值为0，平均功率受限的连续信源，信源的冗余度决定于平均功率的限定值P 和信源的熵功率 之比 。
离散无记忆信源的无损编码
结论：一个典型列的概率 2-LH（U）
结论：总典型列数量 2LH（U）
结论
无差错编码
DN≥2LH(U)
差错编码
差错概率Pe→0 编码速率R ≥ H(U) 可达
2LH(U)
差错概率Pe→1 编码速率R<H(U) 不可达
随着消息序列长度L增加，平均表示一位十进制数 的二进制数N/L减少，编码效率提高。 但消息序列L增加会导致 （1）编码复杂性增大 （2）译码延时越长
3.1.2 Shannon编码定理和典型列解 释
对等长编码长度的要求（与L，H(U),D有关）
信源编译码方框图
定理的严格证明留到3.1.3节给出，先给出
序列自信息的方差
平均每个信源输出符号的自信息
渐近等分性质(AEP)结论
（3.1.19）
典型列集合
平均每个信源输出符号的自信息
当L->∞时，
L→∞时，典型列出现概率为1， 非典型列出现概率为0
典型列：高概率集
非典型列：低概率集
注意： (1)个别非典型列出现的概率不一定比典型列 概率小 (2)非典型列总概率小，但总数不一定少
第三章 离散无记忆信源(DMS)的无损编 码
离散无记忆信源
离散:信源输出在时间、取值上均为离散 无记忆：信源前后输出消息是独立、不相
关的
（离散无记忆）信源
信源模型的构成：在有限字符集上取值的
独立随机变量序列 计算信源输出的信息量（熵）：易计算 有效描述信源的输出
信源无损压缩编码
证明的思路。 信源编码、译码方框图
错误概率
N:编码长度 数
L:消息长度
D:编码字符
信源编码速率
第七章 保真度准则下的信源编码
失真矩阵为：
0 1 4 D 1 0 1
4 1 0
第一节 失真度和平均失真度
2、平均失真度
D E[d(ui,vj )]
若已知试验信道的传递概率，则平均失真度为：
rs
D P(u,v)d (u,v)
P(ui )P(v j / ui )d (ui , v j )
那么在允许一定程度失真的条件下，能够把信源信息压 缩到什么程度，也就是，允许一定程度失真的条件下，如何 能快速的传输信息，这就是本章所要讨论的问题。
本章所讨论的内容是量化、数模转换、频带压缩和数据 压缩的理论基础。
第一节 失真度和平均失真度
1、失真度
信源
信源 编码
信道 信道 编码
信道 译码
信源 译码
在汉明失真条件下，
R(
D)
H
()
0
H
(D)
0 D D
例： 0.4 D 0.2
R(D) H (0.4) H (0.2) 0.249
第三节 二元信源和离散对称信源的R(D)函数
对于离散对称信源，在汉明失真条件下：
R(D)
log
r
D
log(r
1)
H
(
D)
0
0 D 1 1 r
D 1 1 r
P(v / u) Q(v)
失真度函数变为：
D P(u)Q(v)d(u,v)
U ,V
第二节 信息率失真函数及其性质
所以， Dmax 就是在R(D)=0的情况下，求 D 的最小值
Dmax
min
Q(v)
P(u)Q(v)d (u, v)
U ,V
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1 (1 p ) , 当p 2 时 1 p , 当p 时 2
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(2) 求R(D)
2
1，2，记i ( xi ), pi p( xi ) （2）解下列方程，求
sd ij i
p e
i 1 i
1, 其中 1 j 2
(1)求使R(D)达到最小的试验信道的转移概率密度函数为
离散信源的R(D)
sd ij
p ( y / x ) ( x ) p ( y )e 1 其中 ( x) sd ( x , y ) p ( y ) e dy
sd ( x , y )
p ( y j / xi ) i p ( y j )e
将其展开为矩阵得 e sd 11 p11 p22 sd 21 e 1 解方程组得： 2
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e s e sd 12 p11 （ 1 p）2 sd 22 e 1 1 p (1 e s ) 1 (1 pes )
e sd1 1 展开成矩阵得： sd2 1 e
p (1 p )e s p ( y1 ) s 1 e 解方程组得： s ( 1 p ) pe p( y 2 ) 1 e s
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（3）求转移概率分布矩阵P(Y/X)
P115例：已知离散无记忆信源
x2 X x1 0 1 D , P( X ) p 1 p ，其中p 2 ，失真矩阵为 0 输出Y 0,1 ，求 (1) Dmax (2)率失真函数R( D)和对应的转移概率矩阵 P(Y / X )。
2
2
d ( x, y)dxdy
R( D) R( S ) SD ( S ) p ( x) ln ( x)dx
(3)求率失真函数R(D)
易证：S是R(D)的斜率,即 S
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p( xi ) p( y j )i e ij d ij
sd
2
R( D) S D p( xi ) ln i
D p ( xi ) p ( y j / xi )d ij
i 1 j 1 2 2
2
2
p ( xi ) p ( y j )i e ij d ij
sd i 1 j 1
将各具体数值代入上式 得 1 e 1 D / S ln 1 D /
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p( y j / xi ) i p( y j )e 展开成矩阵得：
sd ij
1 p( y1 )e sd11 P(Y / X ) sd 21 2 p( y1 )e
1 p( y2 )e sd sd 2 p( y2 )e
12 22
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7
(4)由D求S，把S表示成D的函数式。
第4章 信息率失真函数
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1
4.1 基本概念
4.2 离散无记忆信源R(D)的计算 4.3 连续无记忆信源R(D)的计算 4.4 信道容量和信息率失真函数的比较 4.5 保真度准则下的信源编码定理
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2
4.2 离散无记忆信源R(D)的计算
参量表达式法求R(D)及P(Y/X)，具体推导略， 见p111页。
1 1 1 s e
5
（2）解下列方程，求p(yj)
p( y
j 1
2
j
)e
sdij
1
i
，其中， 1 i 2 1 e sd1 2 p ( y1 ) 1 sd 2 2 e p( y 2 ) 1 2
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3
4.2 离散无记忆信源R(D)的计算
X x1 x2 0 1 D , 输出Y 0,1 P( X ) p 1 p，其中p 2 ，失真矩阵为 0
解:(1) Dmax min D j
j
0 min p 1 p j 0 min(1 p ) , p
可直接当结论来应用
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4.1 基本概念
4.2 离散无记忆信源R(D)的计算 4.3 连续无记忆信源R(D)的计算 4.4 信道容量和信息率失真函数的比较
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4.3 连续无记忆信源的R(D)的计算
连续信源的率失真函数的参量表达式 给定信源失真度D，要求D D 时的R(D),步骤如下：
其中： p( y j )e
j 1 2 sdБайду номын сангаасij
1
i
(2)求平均失真度
D(S ) p( x) p( y / x)d ( x, y)dxdy ( x) p( x) p( y)e
sd ( x , y )
D p( xi ) p( y j / xi )d ij
i 1 j 1 2
P119-120,对于n元等概信 源，p( xi ) 1 , 其中 i 1, n ，当失真函数为对称失 n 真时， 0, i j时 即 d ij ，i j
此时下式成立：
Dmax 1 (1 ) n
D / D D R( D) ln(n) ln (1 ) ln(1 ) (n 1) D
i 1
D
e s
s
（5）计算R(D)
R( D) S D p( xi ) ln i
i 1
2
将S , p( xi )，i 代入得 R( D) H ( p) H ( ) D
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R(D)随D的变化曲线
H(p)
Dmax=αp
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10
结论：