二次函数与最值问题

即要使CF＋BF最小．由点A、B关于直线l对称可知，
AC与l的交点F即可使得CF＋BF最小，在Rt△AOC中
可得AC的长，在Rt△BOC中可得BC的长，即可得到
△FBC的周长，将x＝ 5 代入直线AC的表达式，可得
点F的坐标．
2
典例精讲
针对演练
(3)解：存在．要使△FBC的周长最小，即BC＋BF＋ CF最小． 在Rt△OBC中，OB＝1，OC＝2. 由勾股定理得BC＝ 12 22 5 为定值， ∴只需BF＋CF最小． ∵点B与点A关于直线l对称， ∴AC与对称轴l的交点即为 所求的点F. 连接BC、BF，
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针对演练
如解图②所示，设直线AC的表达式为y＝ex＋f，将点
A(4，0)，C(0，－2)分别代入，得
4e+f=0 ，解得
e= 1
2
.
f=-2
f=-2
∴直线AC的表达式为y＝ 1 x－2，
将x＝
5
2
代入直线y＝x－2得y＝
1 5 －2＝－
3
.
2
∴点F的坐标为(
5
，－
3 )．
2
2
4
2
4
典例精讲
＋d，
d=-2
c= 3
则
，解得 2 .
2c+d=1
d=-2
典例精讲
针对演练
∴直线CH的表达式为y＝ 3 x－2.
2
令y＝0，则x＝ 4 ，即M( 4 ，0)，
3
3
∴AM＝4－ 4 ＝ 8 .
33
此时，S△ACH＝S△AHM＋S△ACM＝
18 23
×1＋
18 23
×2
＝4.
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针对演练
(1)解：∵点C在y轴负半轴上，且OC＝2，
∴点C(0，－2)．
将A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)代入y＝ax2＋bx＋c，
可得：
16a+4b+c=0
a= 1
a+b+c=0 ，解得 b= 5 2 ，
2
c=-2
c=-2
∴抛物线表达式为y＝ 1 x2＋ 5 x－2.
2
三角形三边关系得到GD－GB＜BD，当三点共线时， 有GD－GB＝BD，从而得到当点G在y轴上，且在DB 的延长线上时满足条件，求点G的坐标有两种方法： ①过点D作DR⊥y轴于R，构造Rt△GDR，再由∠BGO 的正切值列方程求解；②求出BD所在直线的表达式， 令x＝0，计算y即可．
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针对演练
针对演练
5
∴
9
2
s

1 s
，解得s＝－
3 4
，
8 即当点G的坐标为(0，－
3
)时，GD－GB的值最大．
4
典例精讲
针对演练
(5)在线段AC上方的抛物线上存在一点H，使得△ACH 的面积取得最大值，求出H点的坐标，并求出此时 △ACH的面积．
【思维教练】因为在△ACH中，AC边长固定，所以只 需要点H满足到AC的距离最大即可，平移直线AC使之 与抛物线只有一个交点，则交点即为H点，此时求 △ACH的面积，点A、C、H的坐标已知，可通过点A 作平行于x轴的线段，也可通过点H作平行于y轴的线段 将△ACH分成两部分来求解．
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针对演练
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
【思维教练】点C在y轴负半轴，且OC＝2，易得点C坐
标，将A、B、C三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，组成
关于a、b、c的方程组求解即可得抛物线的表达式，由 A、B两点坐标可知D点横坐标，代入表达式可得D点坐 标，或将抛物线转化为顶点式，或者直接套用顶点坐 标公式求解．
来自百度文库k=
98
28 ，
9
d= 28 ∴直线B′D的表达式为y＝
9
x＋
9
，
令x＝0得y＝ 9 ，
28 28
28
∴点E的坐标为(0，
9
)．
28
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针对演练
(3)设点F在直线l上，是否存在点F，使得△FCB的周 长最小，若存在，求点F的坐标及△BCF的周长最小值， 若不存在，说明理由；
【思维教练】因为BC长为定值，要使△BCF周长最小，
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针对演练
(5)解：如解图④，连接AH，CH， ∵在△ACH中，边AC长固定，设AC边上的高为h， ∴当h最大时，S△ACH最大．
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针对演练
当平移直线AC至与二次函数图象有且只有一个交点
时，此时交点离AC的距离最大，即为所求点H.
由设(A3C)得平直移线后A表C达的式表为达：式y为＝y＝1 x12－x2－＋2m. ，
2
则
1 2
x－2＋m＝－
1 2
x2＋
5 2
x－2，
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针对演练
∴x2－4x＋2m＝0，∴b2－4ac＝16－8m＝0，解得m＝
2.
∴x2－4x＋2m＝x2－4x＋4＝0，解得x＝2.
当x＝2时，y＝－ 1 ×22＋ 5 ×2－2＝1.
2
2
∴H(2，1)，
此时，设CH交x轴于点M，设直线CH的表达式为y＝cx
(4)解：存在．如解图③，当点G不在DB的延长线上，
GD－GB<BD，当点G在DB的延长线上，GD－GB＝
BD.
∴GD－GB≤BD，即当点G在DB的延长线上时GD－GB
最大，最大值为BD.
设点G的坐标为(0，s)，
过点D作DR⊥y轴于点R，
则DR＝
5 2
，
∵tan∠DGR＝
DR GR

BO OG
，
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(2)解：存在．如解图①，取点B关于y轴的对称点B′， 则点B′的坐标为(－1，0)．连接B′D，直线B′D与y轴的 交点E即为所求的点．
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针对演练
设直线B′D的表达式为y＝kx＋d.
将点B′(－1，0)和点D( 5 ， 9 )代入
28
得
-k+d=0 5 k+d=
9
，
2
解得
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针对演练
第二部分 题型研究
二、解答重难点题型突破 题型七 第24题二次函数与
几何图形综合题
拓展类型 二次函数与线段、周长、 面积最值
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例5 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(4，0)、 B(1，0)，点C为y轴上一点， 且OC＝2.连接AC，抛物线 的顶点为D，对称轴为直线l.
2
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针对演练
由A(4，0)、B(1，0)得点D的横坐标为 5
2
代入抛物线表达式得y＝
9 8
.
，将x＝ 5
2
则顶点D的坐标为( 5 ，9 )．
28
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针对演练
(2)设点E是y轴上一点，是否存在点E，使得ED＋EB最 小，若存在，求点E的坐标，若不存在，说明理由；
【思维教练】要使ED＋EB最小，根据对称的性质， 只需找点B关于y轴的对称点B′，连接B′D，B′D与y轴 的交点即为点E，求点E的坐标有两种方法：①求直线 B′D的表达式，再求其与y轴交点即可；②根据OE∥l 可利用相似三角形的性质直接求得OE的长度即可知E 点坐标．
针对演练
在Rt△AOC中，AO＝4，OC＝2，根据勾股定理得AC ＝ 42 22 2 5 ， ∴△BCF周长的最小值为BC＋AC＝ 5 ＋2 5 ＝ 3 5 .
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针对演练
(4)在y轴上是否存在点G，使得GD－GB最大，若存在， 求点G的坐标，若不存在，说明理由；
【思维教练】G、B、D三点不共线时构成三角形，由