微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法

四川师范大学本科毕业论文

微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙

格—库塔法

学生姓名XXX

院系名称数学与软件科学学院

专业名称信息与计算科学

班级2006级 4 班

学号********XX

指导教师Xxx

四川师范大学教务处

二○一○年五月

微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法

学生姓名：xxx 指导教师：xx

【内容摘要】微分方程是最有生命力的数学分支，在自然科学的许多领域中，都

会遇到常微分方程的求解问题。当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具，利用计算机解微分方程主要使用数值方法，欧拉方法和龙格——库塔方法是求解微分方程最典型常用的数值方法。本文详细研究了这两类数值计算方法的构造过程，分析了它们的优缺点，以及它们的收敛性，相容性，及稳定性。讨论了步长的变化对数值方法的影响和系数不同的同阶龙格—库塔方法的差别。通过编制C程序在计算机上实现这两类方法及对一些典型算例的结果分析比较，能更深切体会它们的功能，优缺点及适用场合，从而在实际应用中能对不同类型和不同要求的常微分方程会选取适当的求解方法。

关键词：显式单步法欧拉（Euler）方法龙格—库塔（Runge—Kutta）方法截断误差收敛性

Two commonly used numerical solution of differential

equations：Euler method and Runge - Kutta method Student Name: Xiong Shiying Tutor：Zhang Li

【Abstract】The differential equation is the most vitality branch in mathematics. In many domains of natural science, we can meet the ordinary differential equation solution question. Currently, the development of computer has provided the extremely powerful tool for the ordinary differential equation application and the fundamental research, the computer solving differential equation mainly uses value method. The Euler method and the Runge—Kutta method are the most typical commonly value method to solve the differential equation. This article dissects the structure process of these two kinds of values commonly value method to solve the analyses their good and bad points, to their astringency, the compatibility, and the stability has made the proof. At the same time, the article discuss the length of stride to the numerical method changing influence and the difference of the coefficient different same step Runge—kutta method. Through establishing C program on the computer can realize these two kind of methods, Anglicizing some models of calculate example result can sincerely realize their function, the advantage and disadvantage points and the suitable situation, thus the suitable solution method can be selected to solve the different type and the

different request ordinary differential equation in the practical application . Keywords:Explicit single-step process Euler method Runge—Kutta method truncation error convergence

目录

微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法

前言

常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学以及其他科学技术的发展密切相关的。数学其他分支的新发展，如复变函数、群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿在研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量，微分方程也就成了最有生命力的数学分支。然而，我们知道，只有少数十分简单的微分方程能够用初等方法求得它们的解，多数情形只能利用近似方法求解。在常微分方程课中的级数解法，逐步逼近法等就是近似解法。这些方法可以给出解的近似表达式，通常称为近似解析方法。还有一类近似方法称为数值方法，它可以给出解在一些离散点上的近似值，利用计算机解微分方程主要使用数值方法。

本文主要讨论一阶常微分方程初值问题

⎪⎩⎪⎨⎧==0

0)(),(y x y y x f dx dy （1.1） 在区间],[b a 上的数值解法，其中),(y x f 为关于x ，y 的已知函数，0y 为给定的初始值，将上述问题的精确解记为)(x y 。该问题常用的数值解法有：欧拉（Euler ）方法、龙格—库塔（Runge —Kutta ）方法及一些常用的线性多步法。本文重点介绍欧拉（Euler ）方法和龙格—库塔（Runge —Kutta ）方法。并对这两种方法编制程序，体会它们的功能、优缺点及适用场合，对不同类型常微分方程会选取适当的求解方法。

１ 基本概念和准备知识

一阶常微分方程初值问题是：

(1.1.2)

)((1.1.1) ),(00⎪⎩⎪⎨⎧==y x y y x f dx dy 其中),(y x f 是平面上某个区域D 上的连续函数，式（1.1.1）的微分方程一般有无穷多个解，式（1.1.2）是确定解的初始条件，如果一元函数)(x y 对一切b x a ≤≤满