考研数学试题解析
考研数学三真题解析
x2
【答案】(1) y(x) = xe 2 . (2)
【解析】(1)
y(
x)
=
e−
−
xdx
C
+
1 2x
x2
e2
e−xdx
=
x2
e2
(C
+
x ).
x2
因为 y(1) = e ,故 C = 0 ,所以 y(x) = xe 2 .
(2)由旋转体体积公式,
V = π
2
C. 与 , 2 都有关.
D. 与 , 2 都无关.
【答案】A
【解析】X − Y ~ N (0, 2 2 ,所以 P{ X − Y 1} = (1− 0 ) = ( −1− 0) = 2( 1 ) −1;
2
2
2
选A
二、填空题:9~14 小题,每小题 4 分,共 24 分.
当x = 0:
������+′(0)
=
lim
������→0+
������(������)
− ������
������(0)
=
lim
������→0+
������2������ − ������
1
=
lim
������→0+
������ 2������������������������ ������
的规范形为( )
A. y12 + y22 + y32
B. y12 + y22 − y32 C. y12 − y22 − y32
D. − y12 − y22 − y32
2020年考研数学一真题及答案解析
(4)【答案】(A).
【解析】若 anrn 发散,则 r R ,否则,若 r R ,由阿贝尔定理知, anrn
n 1
n 1
绝对收敛,矛盾. 故应选(A).
(5)若矩阵 A 经过初等列变换化成 B ,则
()
(A)存在矩阵 P ,使得 PA B.
(B)存在矩阵 P ,使得 BP A.
(C)存在矩阵 P ,使得 PB A.
x a2 a1
y b2 b1
z c2 c1
与直线 L2
:
x a3 a2
y b3 b2
z c3 c2
相交于一
ai
点,法向量 αi
bi
,
i
1, 2,3 .则
ci
()
(A) α1 可由 α2 , α3 线性表示.
(B) α2 可由 α1, α3 线性表示.
(C) α3 可由 α1, α2 线性表示. (6)【答案】(C).
f x
,
f y
, 1
0,0
fx0, 0, fy 0, 0 , 1 ,故
n x, y, f x, y fx0, 0 x fy 0, 0 y f x, y x2 y2 ,
3
n x, y, f x, y
x2 y2
则 lim
lim
0. 故应选(A).
x, y0,0
x2 y2
x, y0,0
x2 y2
(4) 设 R 为幂级数 an xn 的收敛半径, r 是实数,则 n 1
()
(A) anrn 发散时, r R . n 1
(B) anrn 发散时, r R . n 1
(C) r R 时, anrn 发散. n 1
2020年考研数学一答案解析
0 0⎰⎰0 0→ →→2020 全国硕士研究生入学统一考试数学一试题详解一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答.题.纸.指定位置上. (1) 当 x → 0+时,下列无穷小量中最高阶是()(A )⎰ x (e t 2-1)dt(B ) ⎰xln (1+ t 2)dt(C )sin xsin t 2 dt【答案】(D )1-cos x (D )sin t 2 dt【解析】由于选项都是变限积分,所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。
(A )(⎰ x (e t 2 -1)dt )' = e x 2-1 ~ x 2(B )(⎰ x ln (1+ t 2)dt )'= ln (1+ x 2) x(C )(⎰sin xsin t 2 dt )'= sin (sin 2 x ) x 2(D )(⎰1-cos xsin t 2dt )'= sin x 1 x 32经比较,选(D )(2) 设函数f ( x ) 在区间(-1,1) 内有定义,且lim f ( x ) = 0, 则( )x(A ) 当limx →0(B ) 当limx →0f ( x )f ( x )= 0 时, f ( x ) 在 x = 0 处可导。
= 0 时, f ( x ) 在 x = 0 处可导。
f ( x )(C ) 当 f ( x ) 在 x = 0 处可导时, lim x 0(D ) 当 f ( x ) 在 x = 0 处可导时, lim x 0 f ( x ) = 0 。
= 0【答案】(C )【解析】当 f ( x ) 在 x = 0 处可导,且lim f ( x ) = 0 ,则有 f (0) = 0 ,limf (x )= 0( f ( x )x →0x →0xx x 2 x sin(1- cos x )2x2n ⋅ ( x , y , f ( x , y ))x 2 + y 2f ( x , y ) - f (0, 0) - f x '(0, 0)(x - 0) - f y '(0, 0)( y - 0)( x - 0)2+ ( y - 0)2n(A )当∑ ar 发散时, r ≥ R (B )∑ a r发散时, r ≤ R 【解析】因为 R 为幂级数∑a x 的收敛半径,所以为幂级数∑ a x 的收敛半径,为 x 的高阶无穷小量),所以limf ( x ) = 0 ,选(C )。
2020考研数学(一)答案解析
π
1
2
π
E ( XY ) E ( X sin X )2π
x sin x
dx
02x sin xdx
π
π
2
2
π
2
π
π
02xd cos x
x cos x|0202cos xdx
π
π
2
sin x|
π
2
.
02
π
π
9
故 cov( X , Y )2π0π2.
三、解答题
(15)(本题满分10分)
f ( x) 0.
x
x
综上,
f ( x )d x
f ( x ) af ( x)
lim
f
( x ) af ( x )
f (0) af (0)
am n.
0
0
x
2f
12.f(x,y)0xyext2dt,则
.
x y
(1,1)
(12)【答案】4e.
【解析】因为
2f
2f
,又
f
ex xy2xxex3y2,
x y
y x
x , y0,0x2y2
x , y0,0
x2y2
(4) 设R为幂级数anxn的收敛半径,r是实数,则
(
)
n1
(A)anrn发散时,
r
R.
n 1
(B)anrn发散时,
r
R.
n 1
(C)
r
R时,anrn发散.
n 1
(D)
r
R时,anrn发散.
n 1
(4)【答案】(A).
【解析】若anrn发散,则
2021考研数学三真题(解析)
1
2
5
0
0
1
0
2 6 1
0
1
0
0
0
3
2
1
1 0 0
(F , P) ,则 P
2
1
0
;
3 2 1
1 0 1 1 0 0
0
F E
0 1
0 0
1 0 0 1 0
3 0
0
0
0 1
0 1
0 0
1 0 0 1 0
0 1 1 3 1
Λ E
,
Q
1 0 0
0 1 0
1 3 ,选 C . 1
(8) 设 A , B 为随机变量,且 0 P(B) 1,下列命题中不成立的是
(A) 若 P( A B) P( A) ,则 P(A B) P(A) .
(B) 若 P( A B) P( A) ,则 P(A B) P(A) .
(C) P(A B) P(A B) ,则 P( A B) P( A) .
1 2
,故选 D
.
(3) 设函数 f (x) ax b ln x(a 0) 有两个零点,则 b 的取值范围 ( ). a
(A) (e, ) .
(B) (0, e) .
(C) (0, 1) . e
(D) (1 , ) . e
【答案】 A .
【解析】令 f (x) ax b ln x 0 , f (x) a b ,令 f (x) 0 有驻点 x b ,
1 0 0 1 0 1
(C)
2
1
0
,
0
1
3
3 2 1 0 0 1
【答案】 C .
【解析】
1 0 0 1 2 3
2024年考研数学一真题及解析
2024年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题解析一、选择题:1~10小题,每小题5分,共50分。
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
(1)已知函数cos 0()xtf x edt =⎰,2sin 0()xt g x e dt =⎰,则()(A )()f x 是奇函数,()g x 是偶函数(B )()f x 是偶函数,()g x 是奇函数(C )()f x 与()g x 均为奇函数(D )()f x 与()g x 均为周期函数【答案】C ,【解析】由于cos te 是偶函数,所以()f x 是奇函数;又2(sin )cos ()x xg x e'=是偶函数,所以是()g x 奇函数.(2)设(,,),(,,)P P x y z Q Q x y z ==均为连续函数,∑为曲面0,0)Z x y = 的上侧,则Pdydz Qdzdx ∑+=⎰⎰()(A )()x yP Q dxdy z z ∑+⎰⎰(B )()x yP Q dxdy z z ∑-+⎰⎰(C )()xyP Q dxdy zz∑-⎰⎰(D )()xyP Q dxdy zz∑--⎰⎰【答案】A ,【解析】由,z x z y z x z y z ∂∂==-=-∂∂,1cos cos dS dxdy dS dxdy γγ=→=cos cos cos cos cos cos Pdydz Qdzdx P dS Q dS Pdxdy Q dxdy αβαβγγ∑∑∑+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(()()z z x yP dxdy Q dxdy P Q dxdy x y z z∑∑∂∂=-+-=+∂∂⎰⎰⎰⎰.(3)设幂级数nn nxa ∑∞=0的和函数为)2ln(x +,则∑∞=02n nna()(A )61-(B )31-(C )61(D )31【答案】(A )【解析】法1,∑∞=--+=++=+=+11)21()1(2ln )211ln(2ln )211(2ln )2ln(n nn n x x x x所以⎪⎩⎪⎨⎧>-==-0,21)1(0,2ln 21n n n a n n ,当n n n a n 22221,0⋅-=>,所以61411)21(21)2213112112202-=--=-=⋅-⋅==∑∑∑∑∞=+∞=∞=∞=n n n n n n n n n n na na (,故选(A);法2:n n n xx x x )2()1(21)21(2121])2[ln(0∑∞=-=+=+='+C n x C n x x n n n n n n +-=++-=+∑∑∞=-+∞=1110)21()1(1)21()1()2ln(,2ln )02ln()0(=+==C S ,⎪⎩⎪⎨⎧>-==-0,21)1(0,2ln 21n n n a n n ,所以)221(112202∑∑∑∞=∞=∞=⋅-==n n n n n n n n na na 61411)21(213112-=--=-=∑∞=+n n (4)设函数()f x 在区间上(1,1)-有定义,且0lim ()0x f x →=,则()(A )当0()limx f x m x→=时,(0)f m '=(B )当(0)f m '=时,0()limx f x m x→=(C )当0lim ()x f x m →'=时,(0)f m '=(D )当(0)f m '=时,0lim ()x f x m→'=【答案】B ,【解析】因为(0)f m '=所以()f x 在0x =处连续,从而0lim ()(0)0x f x f →==,所以0()()(0)limlim 0x x f x f x f m x x →→-==-,故选B .(5)在空间直角坐标系O xyz -中,三张平面:(1,2,3)i i i i i a x b y c z d i π++==的位置关系如图所示,记(),,i i i i a b c α=,(),,,i i i i i a b c d β=若112233,r m r n αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()(A )1,2m n ==(B )2m n ==(C )2,3m n ==(D )3m n ==【答案】B ,【解析】由题意知111222333x d x d x d ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多解,故1122333r r αβαβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由存在两平面的法向量不共线即线性无关,故1232r ααα⎛⎫ ⎪≥ ⎪ ⎪⎝⎭,则1122332r r αβαβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2m n ==,故选B.(6)设向量1231111,,1111ab a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,若123,,ααα线性相关,且其中任意两个向量均线性无关,则()(A )1,1a b =≠(B )1,1a b ==-(C )2,2a b ≠=(D )2,2a b =-=【答案】D ,【解析】由于123,,ααα线性相关,故1111011a a a =得1a =或2-,当1a =时,13,αα相关,故2a =-,又由112111111201111aa b b -=-=----得2b =故选D .(7)设A 是秩为2的3阶矩阵,α是满足0A α=的非零向量,若对满足0Tβα=的3维向量β均有A ββ=,则()(A )3A 的迹为2(B )3A 的迹为5(C )2A 的迹为8(D )2A 的迹为9【答案】A ,【解析】由0A α=且0α≠,故10λ=,由于A 是秩为2的3阶矩阵,对于0Ax =仅有一个解向量,所以,1λ是一重,0Tβα=可得到所有的β有两个无关的向量构成,A ββ=,故21λ=为两重,故3A 的特征值为0,1,1,故3()2tr A =.(8)设随机变量,X Y 相互独立,且()()~0,2,~2,2X N Y N -,若}{}{2P X Y a P X Y +<>=,则a =()(A)2-(B)2-+(C)2-(D)2-+【答案】B ,【解析】()2~ 2,10;~ (2,4)X Y N Y X N +---,所以{2}P X Y a +<=Φ={0}P Y X -<=02()2+Φ,022+=,2a =-+(9)设随机变量X 的概率密度为2(1)01()0,x x f x -<<⎧=⎨⎩,其他,在(01)X x x =<<的条件下,随机变量Y 服从区间(,1)x 上的均匀分布,则Cov(,)X Y =()(A )136-(B )172-(C )172(D )136【答案】D ,【解析】当01x <<时,|1el 1,(|)1se 0,Y X x y f y x x ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩,则2,1,01(,)0,x y x f x y else <<<<⎧=⎨⎩10,1(,)24yx y EXY xyf x y dxdy d y xydx -∞<<+∞-∞<<+∞===⎰⎰⎰⎰112(1)3EX x x dx =-=⎰,,2(,)3x y EY y f x y dxdy -∞<<+∞-∞<<+∞==⎰⎰所以1(,)36Cov X Y EXY EXEY =-=,故选D (10)设随机变量,X Y 相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,令Z X Y =-,则下列随机变量中与Z 同分布的是()(A )X Y +(B )2X Y+(C )2X (D )X【答案】(D )【解析】令{}{}zY X P z Z P z F Y X Z z ≤-=≤=-=)(,则0)(0=<z F z z 时,当当0≥z 时,dxdy e e dxdy y x f z F y x zy x zy x z λλλλ--≤-≤-⎰⎰⎰⎰==),()(zy x zy ye dy e e dy λλλλλ---+∞+-==⎰⎰120所以⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(z ez z F zz λ,显然Y X Z -=与X 同步,故选(D )二、填空题:11~16小题,每小题5分,共30分,请将答案写在答题纸指定位置上。
2022年考研数学一真题解析
2022年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题解析一、选择题:1~10小题,每小题5分,共50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.(1)已知()f x 满足1()lim1ln x f x x→=,则()(A )(1)0f =.(B )1lim ()0x f x →=.(C )(1)1f '=.(D )1lim ()1x f x →'=.【答案】(B ).【解析】11()lim ()lim ln 0ln x x f x f x x x →→⎡⎤=⋅=⎢⎥⎣⎦,(B )正确,但()f x 连续性未知,故(1)f 未知,其他三项均错.(2)已知()yz xyf x=,且()f u 可导,2(ln ln )z zxy y y x x y∂∂+=-∂∂,则()(A )1(1),(1)02f f '==.(B )1(1)0,(1)2f f '==.(C )1(1),(1)12f f '==.(D )(1)0,(1)1f f '==.【答案】(B ).【解析】21z z y y y y y xy x yf xyf y xf xyf x y x x x x x x ∂∂⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''+=+-++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦212ln ln ()ln ,22y y y yy xyf y f f u u u x x x x x ⎛⎫⎛⎫==⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111(1)0,(1)ln 222u f f u =⎛⎫'∴==+=⎪⎝⎭,选(B ).(3)设有数列{}n x ,其中n x 满足ππ22n x -,则()(A )若lim cos(sin )n n x →∞存在,则lim n n x →∞存在.(B )若lim sin(cos )n n x →∞存在,则n n x ∞→lim 存在.(C )若)cos(sin lim n n x ∞→存在,则n n x sin lim ∞→存在,但n n x ∞→lim 不一定存在.(D )若)sin(cos lim n n x ∞→存在,则n n x cos lim ∞→存在,但n n x ∞→lim 不一定存在.【答案】(D ).【解析】取π(1)2nn x =-,则(A )、(B )、(C )均错,且(D )的“lim n n x →∞不一定存在”是正确的;(D )的“lim cos n n x →∞存在”的原因:当ππ22n x - 时,0cos 1n x ,而sin x 在[0,1]上单调,故lim cos n n x →∞存在.(4)已知110d 2(1cos )x I x x =+⎰,120ln(1)d 1cos x I x x +=+⎰,1302d 1sin xI x x=+⎰,则()(A )321I I I <<.(B )312I I I <<.(C )231I I I <<.(D )123I I I <<.【答案】(A ).【解析】令()ln(1)2x f x x =-+,111()212(1)x f x x x -'=-=++,当01x <<时,()0f x '<,所以()f x 在[0,1]上单调递减,当01x <<时()(0)0f x f <=,所以ln(1)2x x <+,ln(1)2(1cos )1cos x x x x +<++,12I I <;又01x 时,ln(1)2111cos 1cos 11sin sin 22x x x x xx x xx +<=++++ ,故23I I <,选(A ).(5)下列4个条件中,3阶矩阵A 可以相似对角化的一个充分但不必要条件为()(A )A 有3个不相等的特征值.(B )A 有3个线性无关的特征向量.(C )A 有3个两两线性无关的特征向量.(D )A 的属于不同特征值的特征向量相互正交.【答案】(A ).【解析】选项(A ):A 有3个互不相同特征值,则A 可对角化,但是A 可相似对角化,A 的特征值可能有重根,正确;选项(B ):A 有3个线性无关的特征向量是A 可对角化的充要条件;选项(C ):3个特征向量两两线性无关,不能保证整体线性无关,故不能推出A 可对角化;选项(D ):实对称矩阵不同特征值的特征向量正交,可对角化的矩阵不一定是实对称矩阵.(6)设A ,B 均为n 阶矩阵,若方程组=0Ax 与x =0B 同解,则()(A )方程组⎛⎫=⎪⎝⎭0A O y E B 只有零解.(B )方程组⎛⎫=⎪⎝⎭0EA y OAB 只有零解.(C )方程组⎛⎫=⎪⎝⎭0A B y O B 与⎛⎫=⎪⎝⎭0BA y OA 同解.(D )方程组⎛⎫=⎪⎝⎭0ABB y OA 与⎛⎫= ⎪⎝⎭0BA A y O B 同解.【答案】(C).【解析】由,A B 为n 阶实矩阵,0=Ax 与0Bx =同解,则⎛⎫==⎪⎝⎭()()A r A r B r B ,即,A B 行向量组等价.由⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 行行A B A O B A B O O B O B OA O A ,则0⎛⎫=⎪⎝⎭A B y O B 与0⎛⎫= ⎪⎝⎭A O y O B 同解,0⎛⎫=⎪⎝⎭BA y O A 与0⎛⎫= ⎪⎝⎭B O y O A 同解,令12⎛⎫= ⎪⎝⎭y y y ,12,y y 均为n 维向量,则12000⎧⎛⎫=⇔⎨⎪⎝=⎭⎩=By Ay A O y O B ,12000⎧⎛⎫=⇔⎨ ⎪⎝=⎭⎩=Ay By B O y O A .由1100==,By Ay 同解,2200==,By Ay 通解,故0⎛⎫=⎪⎝⎭A B y O B 与0⎛⎫=⎪⎝⎭BA y O A 同解.故选(C).(7)设向量组123241111111λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,,αααα,若向量组123,,ααα与412,,ααα等价,则λ可取()(A )01{,}.(B )2λλλ∈≠-R {|,}.(C )12λλλλ∈≠-≠-{|,,}R .(D )1λλλ∈≠-{|,}R .【答案】(C).【解析】记123ααα=(,,)A ,142ααα=(,,)B ,由222211λλλ==+--||()(),||()A B ,当21λλ≠-≠±,时,00≠≠,||||B A ,即3==()()r A r B ,则123,,ααα与412,,ααα均为3R 的基,故等价;当1λ=-时,33=<(),()r A r B ,故123,,ααα与412,,ααα不等价;当2λ=-时,33<=(),()r A r B ,故123,,ααα与412,,ααα不等价;当1λ=时,1===()()(,)r A r B r A B ,故123ααα,,,124ααα,,等价;故选(C).(8)设随机变量(0,3)X U ,随机变量Y 服从参数为2的泊松分布,且X 与Y 协方差为1-,则(21)D X Y -+=()(A )1.(B )5.(C )9.(D )12.【答案】(C ).【解析】(21)4()()4(,)D X Y D X D Y Cov X Y -+=+-由(0,3)X U ,2(30)3()124D X -==;(2)Y P ,()2D Y =所以(21)4()()4(,)9D X Y D X D Y Cov X Y -+=+-=,选(C ).(9)设随机变量1234,,,X X X X 独立同分布,且1X 的4阶矩存在.设1(),1,2,3,4kk E X k μ==,则由切比雪夫不等式,对于任意的0ε>,有2211n i i P X n με=⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∑ ()(A )2422n μμε-.(B2.(C )2212n μμε-.(D2.【答案】(A ).【解析】记211n i i X Y n ==∑,显然可得2()E Y μ=;则22211()n i i D Y P X n μεε=⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∑ ;又22422211142211111()()[()()]()n i i D Y D X D X E X E X n nn n μμ=⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭∑所以22422211n i i P X n n μμμεε=⎧⎫--⎨⎬⎩⎭∑ ,选(A ).(10)设随机变量(0,1)X N ,在X x =条件下随机变量(,1)Y N x ,则X 与Y 的相关系数为()(A )14.(B )12.(C)3.(D)2.【答案】(D ).【解析】由题意22(),xf x x -=-∞<<+∞且2()2(),,y x Y X f y x y --=-∞<<+∞所以22()21(,)()()e ,,2x y x X Y X f x y f x f y x x y +--==-∞<<+∞π又22()22()(,)d d d d xy x E XY xyf x y x y xx yy---+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰222d 1xxx -+∞-∞==⎰又因为222222()2211()(,)d ed eed 22y x xyyx xy Y f y f x y x x x+---+∞+∞+∞---∞-∞-∞===ππ⎰⎰⎰222()4241eed ,2yy yx x y ----+∞-∞==-∞<<+∞π⎰故(0,2),()2Y N D Y = ;所以2XY ρ--==,选(D ).二、填空题:11~16小题,每小题5分,共30分.(11)函数22(,)2f x y x y =+在点(0,1)的最大方向导数为_______.【答案】4.【解析】(,)f x y 在某一点处的最大方向导数是其梯度的模,(0,1)(0,1)20f xx∂==∂,(0,1)(0,1)44f yy∂==∂4=.(12)2e 1x =⎰_______.【答案】4.【解析】2e 1x⎰2e1ln 2d t t t t⋅e 14ln d t t =⎰e14(ln )4t t t =-=(13)当0,0x y 时,22e x yx k y ++ 恒成立,则k 的取值范围是_______.【答案】)24e ,-⎡+∞⎣.【解析】原不等式即22()(0,0)e ,,x y k y y x x -++ 令22()(,))(0,0,e ,x y x y f x y y x -+=+ 当0,0x y >>时,直接求驻点,22()22()(2)e 0(2)e 0x y x y x y f x x y f y x y -+-+''=--==--=,,解得1x y ==,且2(1,1)2e f -=.当0x =时,2e (0()),yf y yg y -==,2()2e e 0,0y y g y y y y --'=-==或2,且2(0)0,(2)4e g g -==.当0y =时,同理解得2(0,0)0,(2,0)4e f f -==.比较可得,(,)f x y 的最大值为2(0,2)(2,0)4e f f -==.于是24e k - .(14)已知级数1!e nnxn n n-=∞∑的收敛域为(),a +∞,则a =_______.【答案】1-.【解析】令e xt -=,11!!e nx nn n n n n n t n n ∞-∞===∑∑,1(1)!11(1)!(1)e1lim lim lim 1n n nn n n nn n n n n n n n +→∞→∞→∞++===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭,于是1!n nnn t n =∞∑的收敛区间为e e t -<<,那么e e e x--<<,解得1x >-,于是1a =-.(15)已知矩阵A 和-E A 可逆,其中E 为单位矩阵,若矩阵B 满足1---=(())E E A B A ,则-=_____B A .【答案】-E .【解析】由1---=(())E E A B A ⇒1----=()()E A E A E B A⇒2-=-AB A A ⇒-=-B E A ⇒-=-B A E .(16)设,,A B C 随机事件,且A 与B 互不相容,A 与C 互不相容,B 与C 相互独立.若1()()()3P A P B P C ===,则()P B C A B C =【答案】58.【解析】因为B 与C 相互独立,有)()()(C P B P BC P ==111339= .又因A 与B 互不相容,A 与C 互不相容,有()()()0P AB P AC P ABC ===.[()()]()(|)()()P B C A B C P B C P B C A B C P A B C P A B C ==()()()()()()()()()()P B P C P BC P A P B P C P AB P BC P AC P ABC +-=++---+1115339111180003339+-==++---+.三、解答题:17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)设函数()y x是微分方程2y y '=+的满足()13y =的解,求曲线()y y x =的渐近线.【答案】斜渐近线2y x =.【解析】(e2ed xxy x C -⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰2e x C =+.将()13y =代入可得e C =,即()12e0y x x =+>.由函数解析式可知,曲线没有垂直渐近线;又由于()(12e lim lim x x y x x →+∞→+∞+==+∞,曲线没有水平渐近线;又()1limlim 2e 2x x y x k xx x→+∞→+∞=+==,()()1lim lim 20e 2x x b y x kx x x →+∞→+∞=-==⎡⎤⎣⎦+-,故曲线有斜渐近线2y x =.(18)(本题满分12分)已知平面区域{}(,)22D x y y x y =- ,计算222()d d Dx y I x y x y -=+⎰⎰.【答案】2(π1)-.【解析】将积分区域D 分为两部分12D D D =+,其中:1{(,)2,20,02}D x y y x x y =+- ,222{(,)4,0,0}D x y x y x y =+ ,故1222122222()()d d d d =+D D x y x y I x y x y I I x y x y --=+++⎰⎰⎰⎰记.其中:()()()2ππ22sin cos ππ12222=d cos sin d cos sin d πsin cos I r r θθθθθθθθθθ-⋅-=-⋅=-⎰⎰⎰,()()()πππ22222220=d cos sin d 2cos sin d 21sin 2d π2I r r θθθθθθθθ⋅-=-=-=-⎰⎰⎰⎰---故:()π2π2π1I =-+=-.(19)(本题满分12分)L 是曲面∑:22241x y z ++=,0,0,0x y z 的边界,曲面方向朝上,已知曲线L 的方向和曲面的方向符合右手法则,求()()22cos d 2d 2sin d LI yzz x xz y xyz x z z=-+++⎰ 【答案】0.【解析】由斯托克斯公式可得:()222d d d d d d 2d d d d cos 22sin y zz x x yI xz y z z x yx y z yz zxz xyz x z∑∑∂∂∂==-+∂∂∂-+⎰⎰⎰⎰令1∑:2241,0,0x y x y + ,指向z 轴负向,2∑:2241,0,0x z x z + ,指向y 轴负向,3∑:221,0,0y z y z + ,指向x 轴负向,则()()1231222d d d d 2d d d d I xz y z z x y xz y z z x y ∑+∑+∑+∑∑=-+--+⎰⎰⎰⎰ ()()23222d d d d 2d d d d xz y z z x y xz y z z x y ∑∑--+--+⎰⎰⎰⎰(22)d d d 0000z z x y z Ω=----=⎰⎰⎰.(20)(本题满分12分)设()f x 在()-∞+∞,有二阶连续导数,证明:0()f x '' 的充要条件为对不同实数,a b ()1(d 2b a a b f f x x b a+-⎰ .【证明】()21()()()((22222a b a b a b a b f x f f x f x ξ++++'''=+-+-,ξ介于x 与2a b+之间,()21()d (()(()d 22222bbaa a ba b a b a b f x x f f x f x xξ++++⎡⎤'''=+-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()21()(d 222b a a b a b f b a f x xξ++⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰必要性:若()0f x '' ,则()0f ξ'' ,有()d (()2baf x x a b f b a +-⎰ .充分性:若存在0x 使得0()0f x ''<,因为()f x 有二阶连续导数,故存在0δ>使得()f x ''在[]00,x x δδ-+内恒小于零,记00,a x b x δδ=-=+,此时()21()d ()()()d 222bb aa ab a b f x x f b a f x xξ++⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()2a bf b a +<-,矛盾!故()0f x '' .综上,充分性必要性均得证.(21)(本题满分12分)已知二次型3312311(,,)iji j f x x x ij x x===⋅∑∑.(1)写出123(,,)f x x x 对应的矩阵;(2)求正交变换x =Qy ,将123(,,)f x x x 化为标准形;(3)求123(,,)0f x x x =的解.【答案】(1)123246369⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;(2)令正交矩阵0⎛⎝Q =,利用正交变换x =Qy ,化为标准形2314f y =;(3)12231605c c --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ,(12,c c 为任意常数)【解析】(1)3312311(,,)iji j f x x x ij x x===⋅∑∑22211213212233132323246369x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++222123121323494612x x x x x x x x x =+++++112323123(,,)246369x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.(2)123246369----=------E A λλλλ2(14)0=-=λλ得1230,14===λλλ;1230000000r⎛⎫ ⎪-−−→ ⎪ ⎪⎝⎭E A ,解得12231,001αα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;153********r-⎛⎫ ⎪-−−→- ⎪ ⎪⎝⎭E A ,解得3123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;将12,αα进行施密特正交化可得211221123(,)11,6(,)505αβββαβββ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;将123(,,)ββα单位化,可得123,,,0γγγ⎛⎛⎪=== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令正交矩阵0⎛⎝Q =,利用正交变换x =Qy ,将123(,,)f x x x 化为标准形2314f y =;(3)令21233(,,)140f x x x y ==,则112230y k y k y =⎧⎪=⎨⎪=⎩,12kk⎛⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝x=Qy=1212231605k k c c⎛⎛---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-=+-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(12,c c为任意常数)(22)(本题满分12分)设12,,,nX X X来自均值为θ的指数分布总体的简单随机样本,设12,,,mY Y Y来自均值为2θ的指数分布总体的简单随机样本,且两样本相互独立,其中()0θθ>为未知数,利用样本1212,,,,,,,n mX X X Y Y Y,求θ的最大似然估计量θ∧,并求()Dθ∧.【答案】(1)1122ˆ2()2()θ==++==++∑∑n mi ji jX YnX mYm n m n;(2)2m nθ+.【解析】(1)由题意知12,,,nX X X的总体X服从1Eθ⎛⎫⎪⎝⎭,12,,,mY Y Y的总体Y服从12θ⎛⎫⎪⎝⎭E,从而X的概率密度为1e,0,()0,其他.θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩xXxf x,Y的概率密度为21e,0,()20,其他.θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩yYyf y构造最大似然函数为()1111211e e(2)θθθθθ==--∑∑=⋅mnjijiyxn mL,()1111ln ln ln(2)2θθθθθ===----∑∑n mi ji jL n x m y()2211d ln 110d 2θθθθθθ===-+-+=∑∑n mi j i j L n m x y 1122ˆ2()2()θ==++==++∑∑nmi ji j X Y nX mYm n m n (2)221ˆ()(2)2()4()nX mY D D D nX mY m n m n θ⎡⎤+==+⎢++⎣⎦;2222222221144()()44()4()n D X m D Y n m m n m n n m m nθθθ⎡⎤⎡⎤=+=⋅+⋅=⎢⎥⎣⎦+++⎣⎦。
2023 年考研数学一真题及答案解析
2023年全国硕士研究生招生考试数学一试题一、选择题:1~10小题,每小题5分,共50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是最符合题目要求的.1.曲线1ln 1y x e x的斜渐近线为A.y x e B.1y x eC.y xD.1y x e2.若微分方程0y ay by 的解在 , 上有界,则A.0,0a b B.0,0a b C.0,0a b D.0,0a b 3.设函数 y f x 是由2,sin x t t y t t确定,则A. f x 连续, 0f 不存在.B. 0f 存在, f x 在0x 处不连续.C. f x 连续, 0f 不存在.D. 0f 存在, f x 在0x 处不连续.4.已知(1,2,...)n n a b n ,若级数1nn a与1nn b均收敛,则“1nn a绝对收敛”是“1nn b绝对收敛”的A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件5.已知n 阶矩阵,,A B C .满足 ABC O ,E 是n 阶单位矩阵,记矩阵OA BC E ,AB C O E ,E AB ABO 的秩分别为123,,r r r ,则A.123r r r B.132r r r C.312r r r D.213r r r 6.下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是A.11022003aB.1112003a aC.11020002aD.11022002a7.已知向量121212212,1,5,03191.若 既可由12, 线性表示,也可由12, 线性表示,则A.33,4k kR B.35,10k k R C.11,2k kR D.15,8k kR 8.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则E X EXA.1e B.12C.2eD.19.设12,,,n X X X 为来自总体 21,N的简单随机样本,12,,,mY Y Y为来自总体22,2N 的简单随机样本,且两样本相互独立.记1111,,n m i i i i X X Y Y n m221111n i i S X X n ,22111mi i S Y Y m ,则A. 2122~,S F n m S B. 2122~1,1S F n m S C. 21222~,S F n m S D. 21222~1,1S F n m S 10.设12,X X 为来自总体 2,N的简单随机样本,其中(0) 是未知参数.若12ˆa X X为 的无偏估计.则aA.2B.2二、填空题:11~16小题,每小题5分,共30分.11.当0x 时,函数 2ln 1f x ax bx x 与 2cos x g x e x 是等价无穷小,则ab.12.曲面222ln 1z x y x y 在点 0,0,0处的切平面方程为.13.设f x 是周期为2的周期函数,且 1,0,1f x x x ,若01cos 2n n a f x a n x,则21n n a.14.设连续函数 f x 满足: 2f x f x x ,20f x dx ,则 31f x dx.15.已知向量12311010111,,,10111111αααβ,112233k k k γααα,若,(1,2,3)T T i i i γαβα,则222123k k k.16.设随机变量,X Y 相互独立,且1~1,3X B,1~2,2Y B,则 2P X Y .三、解答题:17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.设曲线 0y y x x 经过点 1,2,该曲线上任一点 ,P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距.(1)求 y y x .(2)求函数 1x f x y t dt在(0,) 的最大值.18.(本题满分12分)求函数 23,f x y y x y x 的极值.19.(本题满分12分)设空间有界区域 由柱面221x y 和平面0z 和1x z 所围成, 为 的边界曲面的外侧,计算曲面积分2cos 3sin I xzdydz xz ydzdx yz xdxdy.20.(本题满分12分)已知 f x 在 ,a a 上具有二阶连续导数.证明:(1)若 00f ,则存在 ,a a ,使得 21f f a f a a.(2)若f x 在,a a 内取得极值,则存在,a a ,使得212f f a f a a.21.(本题满分12分)已知二次型2221231231213,,2222f x x x x x x x x x x ,22212312323,,2g y y y y y y y y .(1)求可逆变换x y P ,将二次型 123,,f x x x 化成 123,,g y y y .(2)是否存在正交变换x y Q ,将二次型 123,,f x x x 化成 123,,g y y y .设二维随机变量 ,X Y 的概率密度为 22222,1,0,x y x y f x y,其他.(1)求,X Y 的协方差.(2),X Y 是否相互独立?(3)求22+Z X Y ,求Z 的概率密度.23考研数一真题答案速查一、选择题1.考点:渐近线答案:B.1y x e2.考点:常系数线性微分方程答案:C.0,0a b 3.考点:参数方程求导,分段函数求导答案:C. f x 连续,但 0f 不存在.4.考点:数项级数敛散性的判定答案:A.充分必要条件5.考点:矩阵的秩答案:B.132r r r 6.考点:相似对角化答案:D.11022002a 7.考点:向量的线性表示答案:D.15,8k kR 8.考点:常见分布答案:C.2e9.考点:三大抽样分布答案:D.21222~1,1S F n m S 10.考点:估计量的评选标准(无偏性)答案:A.2二、填空题11.考点:等价无穷小答案:212.考点:空间曲面的切平面答案:20x y z 13.考点:傅里叶级数答案:014.考点:定积分的换元法答案:1215.考点:向量内积与线性方程组答案:11916.考点:常见分布答案:13三、解答题17.考点:切线方程、一阶线性微分方程、函数求最值答案:(1)ln 2y x x x ;(2) f x 的最大值为241544f e e.18.考点:多元函数求极值答案: ,f x y 在210,327处取极大值2104,327729f.19.考点:第二类曲面积分(高斯公式)答案:5420.考点:泰勒中值定理的证明答案:(1)在0x 处泰勒展开,用介值定理推论处理余项.(2)在极值点处泰勒展开,用介值定理推论处理余项.21.考点:二次型的配方法、合同与相似答案:(1)111010001P ,x y P (2)不存在正交变换,因为两个二次型的系数矩阵不相似.22.考点:协方差、独立性、随机变量函数的分布答案:(1)0.(2)不独立.(3) 2,01,0,Z z z f z其他.。
2020考研数学一真题解析
a1
b1
c1
a2
b2
c2
所以 x0 a1k a2 a2l a3; y0 b1k b2 b2l b3; z0 c1k c2 c2l c3 ,
从而有3 k1 (1 l)2 ,选(C)。
1
(7)设 A, B,C 为三个随机事件,且 P A P B P C , P AB 0,
4
P AC P BC 1 ,则 A, B,C 中恰有一个事件发生的概率为( )
12
3
(A)
4
2
(B)
3
1
(C)
2
5
(D)
12
第3页
【答案】(D)
【解析】设 A, B,C 中恰有一个事件发生的概率为 p ,则
Born to win
p P( ABC) P(ABC) P( ABC) , ABC AB, P( AB) 0 P( ABC) 0 ,
n 1
(5)若矩阵 A 经初等变换化成 B ,则( ) (A)存在矩阵 P ,使得 PA B (B)存在矩阵 P ,使得 BP A (C)存在矩阵 P ,使得 PB A (D)方程组 Ax 0 与 Bx 0 同解
【答案】(B)
Born to win
【解析】由题意可知,对于矩阵 A 进行列变换得到矩阵 B ,则存在初等矩阵 Q1, Q2 ,, Qt ,
n 1
(C)当 r R 时, a2nr2n 发散
n 1
(D)当 r R 时, a2nr2n 收敛
n 1
【答案】(A)
【解析】因为 R 为幂级数 an xn 的收敛半径,所以
n1
第2页
R 为幂级数 a2n x2n 的收敛半径,
n 1
当 a2nr2n 发散时,由阿贝尔定理得 r R ,选(A)。
考研数学试题解析
考研数学试题解析考研数学试题解析一、问题求解(本大题共5小题,每小题3分,共45分)下列每题给出5个选项中,只有一个是符合要求的,请在答题卡上将所选择的字母涂黑。
1、某家庭在一年支出中,子女教育支出与生活资料支出的比为3:8,文化娱乐支出与子女教育支出比为1:2。
已知文化娱乐支出占家庭总支出的10.5%,则生活资料支出占家庭总支出的()(A)40% (B)42% (C)48% (D)56% (E)64%【解析】:D。
文化:子女:生活=3:6:16,所以。
2、有一批同规格的正方形瓷砖,用他们铺满整个正方形区域时剩余180块,将此正方形区域的边长增加一块瓷砖的长度时,还需要增加21块瓷砖才能铺满,该批瓷砖共有()(A)9981块(B)10000块(C)10180块(D)10201块(E)10222块【解析】:C。
设原边长为a,则。
3、上午9时一辆货车从甲地出发前往乙地,同时一辆客车从乙地出发前往甲地,中午12时两车相遇,货、客车的速度分别是90千米/小时、100千米/小时。
则当客车到达甲地时,货车距乙地的距离是()(A)30千米(B)43千米(C)45千米(D)50千米(E)57千米【解析】:E。
设甲乙相距S,则S=(100+90)×3=570,客车到甲地时时间570÷100=5.7小时,货车距乙地570 - 90×5.7=57。
4、在分别标记了数字1、2、3、4、5、6的6张卡片中随机取3张,其中数字之和等于10的概率()(A)0.05 (B)0.1 (C)0.15 (D)0.2 (E)0.25【解析】:C。
1,3,6;1,4,5;2,3,5。
5、某商场将每台进价为2000元的冰箱以2400元销售时,每天销售8台,调研表明这种冰箱的售价每降低50元,每天就能多销售4台。
若要每天销售利润最大,则冰箱的定价应为()(A)2200 (B)2250 (C)2300 (D)2350 (E)2400【解析】:B。
2020年考研数学一真题详细答案解析
一、选择题(1)【答案】D【解析】(方法一)利用结论:若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续,且当x-o时,f位)~g(x)'则J勹(t)dt �r g(t)dt.(A)『(/-l)dt� 『t 2dt =气3(B)『ln(l +万)dt �rt 令dt=气5(C) f"工s int 2dt �厂r t 2dt�f c 2d t =丘。
3(D)J :-co sx /忒臣了d t -I -c os rt i d t �I :''l令d t=岊(占)寺x故应选CD).(方法二)设J(x)和<p (x)在x =O某邻域内连续,且当x-0时,f(x)和<p (x)分别是x 的m阶和n阶无穷小,则『(,-)J(t)dt 是x -0时的n(m+ 1)阶无穷小.。
CA)r C / -1) d t , m = 2 , n = 1 , 则n(m+ 1) = 3. 。
ln(l + #)dt,m =立,n= 1, 则n(m+l)=立。
2 2.CC)厂sint 2dt, m =2, n =1 , 则n(m+ 1)=3.。
1一cos,·3叫产t,m=一,n= 2, 则n(m+l)=5.。
2故应选(D).(2)【答案】C【解析】(方法一)直接法若f(x)在x=O处可导,则f(x)在x=O处连续,且f(O)=lim f(x) = 0.工-o故应选(C).f(x) -f(O) = limf(x)j'(O) = Jim;-0Xr•OXf(x)f(x) lim=lim ——•X =j'(0)• 0 = 0工-o,/了.,·-oX�(方法二)排除法取f (x)= {X, X # 0,则l im f位)=o ,且1,X= 0J-0 x 3f(x ) x 3lim·f(x)=lim _。
J了工-o�= O ,lim 一=lim —=22 工-oXr--0 X但f(x)在x=O处不可导,因为f(x)在X = 0处不连续,则排除选项(A),CB).若取f(x)= x , 则lim f(x)= 0, 且f(x)在x =O处可导,但J-0• 5 •叫排除CD )'故应选CC).(3)【答案】A2 ,·-·OX.r-0 X.r -•O X【解析】利用函数z = .I 一位,y)在(x 。
2020考研数学三真题及解析
2020全国硕士研究生入学统一考试数学三试题详解一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)设()()limx af x f a b x a →-=-,则sin ()sin lim x a f x ax a→-=- ( )(A )sin b a (B )cos b a (C )sin ()b f a (D )cos ()b f a 【答案】(B ) 【解析】由()lim,x a f x ab x a →-=-得(),()f a a f a b '==,则(2)函数11ln 1()(1)(2)x x e xf x e x -+=--的第二类间断点的个数为 ()(A )1 (B )2 (C )3 (D )4 【答案】(C )【解析】由题设,函数的可能间断点有1,0,1,2x =-,由此11121111ln 1lim ()limlim ln 1(1)(2)3(1)x x x x x e x ef x x e x e ---→-→-→-+==-+=-∞---; 111000ln 1ln(1)1lim ()lim lim (1)(2)22x x x x x e x e x f x e x x e--→→→++==-=---; 1111111111111ln 1ln 2lim ()lim lim 0;(1)(2)1ln 1ln 2lim lim ;(1)(2)1x x x x x x x x x x x e x f x e e x e e x e e x e ---++--→→→--→→+===---+==-∞---;112222ln 1ln 31lim ()limlim (1)(2)(1)2x x x x x e x e f x e x e x -→→→+===∞---- 故函数的第二类间断点(无穷间断点)有3个,故选项(C )正确。
2022考研真题解析数学一(完整版)
2022年全国硕士研究生招生考试数学一一、选择题:1~10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1.设1()lim1ln x f x x→=,则( ).A. (1)0f =B. 1lim ()0x f x →= C. (1)1f '= D.1lim ()1x f x →'=【答案】B. 【解析】由于1()lim1ln x f x x→=,所以1lim ()0x f x →=.故选B.2. 设()f u 可导,()y z xyf x=,若(ln ln )z zxy xy y x x y∂∂+=-∂∂,则( ) A.1(1),(1)02f f '== B.1(1)0,(1)2f f '== C.(1)1,(1)0f f '==D.1(1)0,(1)2f f '==【答案】D 【解析】2z y y y y f xf x x x x '∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦,1z y y x f yf y x x x '∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 则2ln .z z y y xy xyf xy x y x x ∂∂⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭因此2ln y y f x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1()ln 2f u u =. 故1(1)0,(1).2f f '== 3. 设22n x ππ-≤≤,则( )A .若()lim cos sin n n x →∞存在,则lim n n x →∞存在.B .若()limsin cos n n x →∞存在,则lim n n x →∞存在.C .若()lim cos sin n n x →∞存在且limsin n n x →∞存在,则lim n n x →∞不一定存在.D .若()limsin cos n n x →∞存在且limcos n n x →∞存在,则lim n n x →∞不一定存在.【答案】D.【解析】对选项A ,B,若11n n x n ⎧=⎨-⎩,为奇数,,为偶数, limcos(sin )n n x →∞,limsin(cos )n n x →∞均存在,但lim n n x →∞不存在,故排除A ,B,.对于选项C ,由于函数sin y x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调增加且连续,故limsin n n x →∞存在时,lim n n x →∞一定存在,选项C 错误,故选D.4. 1102(1cos )x I dx x =+⎰, 120ln(1)1cos x I dx x +=+⎰, 13021sin xI dx x =+⎰,则A. 123.I I I <<B. 312.I I I <<C. 213.I I I <<D. 213.I I I <<【答案】A.【解析】由于01x <<,ln(1)21x xx x,x<<+<+ 所以 ln(1)222(1cos )1cos 1cos 1cos 1sin x x x x xx x x x x+<<<<+++++,123I I I <<5. 下列是33A ⨯可对角化的充分而非必要条件是( ) A. A 有3个不同特征值 B. A 有3个无关的特征向量 C. A 有3个两两无关的特征向量 D. A 不同特征值对应的特征向量正交 【答案】A【解析】A 有3个不同的特征值,则A 有3个线性无关的特征向量,此时A 可对角化,由于矩阵可对角化的充要条件是线性无关特征向量个数等于矩阵阶数,因此选项A.符合题意 6. 设矩阵,A B 均为n 阶方阵,若0Ax =与0Bx =同解,则( ).A. 0A O x E B ⎛⎫= ⎪⎝⎭仅有零解 B. 0AB B x O A ⎛⎫= ⎪⎝⎭仅有零解 C. 0A B x O B ⎛⎫= ⎪⎝⎭与0B A x O A ⎛⎫= ⎪⎝⎭同解 D. 0AB B x OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭与0BA A x OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭同解【答案】C 【解析】设12⎛⎫=⎪⎝⎭x y x ,这里(1,2)i i =x 是n 维列向量.若⎛⎫= ⎪⎝⎭0A B y O B 与⎛⎫= ⎪⎝⎭0B A y O A 同解即12⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x A B x O B 与12⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x BA x O A 同解.由于=0Ax 与=0Bx 同解,若=0Ax (1,2)i i =x ,则i =0Bx (1,2)i =,反之亦然.因此12⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x AB x O B 等价于12⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0x BA x O A ,所以C.选项符合题意.7. 设123421111,,1,11λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα,若123,,ααα与124,,ααα等价,则λ∈( ).A.{|}λλ∈B.{|,1}λλλ∈≠-C.{|,1,2}λλλλ∈≠-≠-D.{|,2}λλλ∈≠- 【答案】C【解析】由于3212311|,,|1132(1)(2)11λλλλλλλ==-+=-+ααα, 4222124211|,,|121(1)(1)11λλλλλλλλ==-+=-+ααα.当1λ=时,1234111⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭αααα,此时123,,ααα与124,,ααα等价.当2λ=-时,1231242(,,)(,,)3r r =<=αααααα ,123,,ααα与124,,ααα不等价.当1λ=-时,1231243(,,)(,,)1r r =>=αααααα ,123,,ααα与124,,ααα不等价.因此当2λ=-或1λ=-时,123,,ααα与124,,ααα不等价等价,所以λ的取值范围为{|,1,2}λλλλ∈≠-≠-.8. 设(0,3),(2),Cov(,)1X U Y P X Y =-,求(21)D X Y -+=( ).A. 10B. 9C. 1D. 0 【解析】由(0,3),(2)XU YP 知,3(),()24D X D Y ==,故(21)(2)4()()4Cov(,)D X Y D X Y D X D Y X Y -+=-=+-342494=⋅++=.9. 设12,n X X X ⋯独立同分布,(),ki k E X μ=用切比雪夫不等式估计111?n i i P x n με=⎧⎫-≥≤⎨⎬⎩⎭∑ A. 2224-εμμnB. 2224-εμμn C. 2212-εμμnD. 2212-εμμn 【答案】C. 【解析】易知11ni i X X n ==∑,1()()i E X E X μ==,22111111()()()n nn i i i i i i D X D X D X D X n nn ===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑,22221()()[()]i i i D X E X E X μμ=-=-,故2221212()()n D X n nμμμμ-=-=,由切比雪夫不等式得22112211()n i i D X P X n n μμμεεε=⎧⎫--≥≤=⎨⎬⎩⎭∑. 故选 C. 10. 设(0,1)XN ,在X x =的条件下,(,1)Y N x ,则X 与Y 的相关系数为( ).A. 1B.12C.3 D.2【答案】D【解析】由(0,1)XN 得,()0E X =,()1D X=,22(),x X f x x -=-∞<<+∞,又在X x =的条件下,(,1)YN x,则2()2|(|),y x Y X f y x y --=-∞<<+∞,所以22()2|1(,)()(|)e ,,2xy x X Y X f x y f x f y x x y π+--=⋅=-∞<<+∞-∞<<+∞.从而22222()224411()(,)d e d ee d 22y x y x y y x Yf y f x y x x x ππ⎛⎫+---+∞+∞+∞---⎪⎝⎭-∞-∞-∞====⎰⎰⎰,即(0,2)YN ,则()0E Y =,()2D Y =,故XY ρ===其中22()21()(,)d d e d d 2x y x E XY xyf x y x y xy x y π+-+∞+∞+∞+∞--∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰22()22d d x y x x y -+∞+∞---∞-∞=⎰⎰222d x x x +∞--∞=⎰2()1E X ==,所以XY ρ== D.. 二、填空题:11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上. 11.22(,)2f x y x y =+在(0,1)处最大的方向导数为__________. 【答案】4. 【解析】由已知可得2fx x∂=∂,4f y y ∂=∂,故(0,1)(0,4)=grad ,综上max4f l ∂==∂.12.2e 1x =⎰. 【答案】4.【解析】2222e e e e11112ln 2)x x x x ⎤==-⎥⎦⎰⎰⎰222e e e21112)2e x x x ⎫⎤=-=-⎪⎥⎦⎭⎰⎰222e e112)22e 4x x ⎤⎛⎫=-=-= ⎪⎥⎦⎝⎭⎰13. 设0,0,x y ≥≥22x yx y ke ++≤恒成立,则k 的最小值为_____.【分析】由已知可得22x y x y k e ++≥,问题转化为计算2222()(,)()x y x yx y f x y x y e e-+++==+在0,0x y ≥≥上得最大值.【解】0,0x y >>时,令2222()(,)()x y x yx y f x y x y e e-+++==+,则 ()22(2)x y fe x x y x-+∂=--∂,()22(2)x y f e y x y y -+∂=--∂, 令0,0f fx y∂∂==∂∂,解得驻点为(0,0),(1,1). 2()222(24)x y f e x x y x-+∂=-++∂, 2()22(22)x y fe x y x y x y-+∂=--++∂∂, 2()222(24)x y f e y x y x-+∂=-++∂, 对驻点(0,0),2,0,2A B C ===,20,0AC B A ->>,(0,0)为极小值点,及(0,0)0f f ==极小值.对驻点(1,1),20,2,0A B e C -==-=,20AC B -<,(1,1)不为极值点.当0x =,2(0,)(0)y f y y e y -=>,则2(0,)20yy f y yey e --'=-=,得2y =为驻点,又2(0,)(42)y f y y y e -''=-+,2(0,2)20f e -''=-<,2(0,2)4f e -=为最大值同理可得2(2,0)4f e -=也为最大值. 综上可得24(,)k f x y e≥=最大. 14.级数1!n xn n n e n ∞--=∑的收敛域为(,)a +∞,则a =__________. 1-.【解析】令!()e nxn nn u x n -=,则 (1)111(1)!e ()1(1)lim lim e lim e 1!()1e 1n xn x x n n n n n nx n n n u x n n u x n n -++---+→∞→∞→∞-++===<⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 解得1x >-,故1a =-.15. 设,-A A E 可逆,若B 满足1(())---=E A E B A ,则-=B A ___________。
2020考研数学三真题及答案解析
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的. (1)设()limx af x a b x a →−=− ,则sin ()sin lim ()x a f x ax a→−= −(A). sin b a (B). cos b a (C). sin ()b f a (D). cos ()b f a 【答案】B 【解析】x x sin ()sin sin ()sin ()limlim cos ()cos ()()x a a a f x af x a f x a f x b b f a x a f x a x a=→→−−−=⋅=⋅=−−− 设()f x u =,则()()sin ()sin sin sin lim=lim cos cos ()()u f a x a u f a f x au a u f a f x a u a=→→−−==−− 则x sin ()sin sin ()sin ()sin ()sin ()limlim lim lim()()=cos x aa x a x a f x af x a f x a f x a f x a x a f x a x a f x a x a b a→→→→−−−−−=⋅=⋅−−−−−(2)函数11ln 1()(1)(2)x x e xf x e x −+=−−,则第二类间断点个数为( )(A).1 (B).2 (C).3(D).4 【答案】C【解析】本题考查的是第一类间断点与第二类间断点的定义,判断间断点及类型的一般步骤为:1.找出无定义的点(无意义的点);2.求该点的左右极限;3.按照间断点的定义判定。
第二类间断点的定义为00(),()f x f x −+至少有一个不存在,很显然()f x 不存在的点为1,0,1,2x x x x =−===。
考研数学试题及答案详解
考研数学试题及答案详解一、选择题(每题4分,共40分)1. 设函数f(x) = x^2 - 6x + 8,求f(3)的值。
A. -1B. 1C. 3D. 5答案:B解析:将x=3代入函数f(x)中,得到f(3) = 3^2 - 6*3 + 8 = 9- 18 + 8 = 1。
2. 求极限lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)。
A. 0B. 2C. 4D. 8答案:D解析:原式可以化简为lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) =lim(x→2) (x + 2) = 2 + 2 = 4。
3. 设矩阵A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\],求A的行列式。
A. 0C. 5D. 8答案:C解析:矩阵A的行列式为1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2,但选项中没有-2,因此需要检查题目是否有误。
4. 求不定积分∫x^2 dx。
A. (1/3)x^3 + CB. (1/2)x^2 + CC. x^3 + CD. 2x + C答案:A解析:根据积分公式,∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C,代入n=2,得到∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C。
5. 设函数f(x) = sin(x),求f'(x)。
A. cos(x)B. sin(x)C. -cos(x)D. -sin(x)答案:A解析:根据导数公式,f'(x) = cos(x)。
6. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β,则α + β的值为。
B. 2C. 3D. 4答案:C解析:根据一元二次方程的根与系数的关系,α + β = -b/a = 5。
7. 设函数f(x) = e^x,求f'(x)。
A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. -e^(-x)答案:A解析:根据导数公式,f'(x) = e^x。
2023考研数学一真题试卷+详细答案解析
2023年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案考试时间:180分钟,满分:150分一、选择题:1~10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线1ln()1yx e x =+−的斜渐近线方程为( ) (A)y x e =+ (B)1y x e=+(C)y x = (D)1y x e=−【答案】B 【解析】1limlimln()11x x y ke x x →∞→∞==+=−,11lim()lim()lim[ln(]lim [ln(ln ]11x x x x b y kx y x x e x x e e x x →∞→∞→∞→∞=−==−=+−=+−−−111lim ln(1lim (1)(1)x x x x e x e x e→∞→∞=+==−−,所以渐进线方程为1y x e =+,答案为B(2)若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界,则( ) (A )0,0a b <>(B )0,0a b >>(C )0,0ab =>(D )0,0ab =<【答案】C 【解析】0y ay by ′′′++=的解一共三种情形:①240a b Δ=−>,1212x xy C e C e λλ=+,但此时无论12,λλ取何值,y 在(,)−∞+∞上均无界;②240a b Δ=−=,12()xy C C x eλ=+,但此时无论λ取何值,y 在(,)−∞+∞上均无界;③240a b Δ=−<,12(cos sin )xy e C x C x αββ=+,此时若y 在(,)−∞+∞上有界,则需满足0α=,所以0,0a b =>,答案为(C)(3)设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定,则( ) (A)()f x 连续,(0)f ′不存在(B)(0)f ′不存在,()f x ′在0x =处不连续(C)()f x ′连续,(0)f ′′不存在(D)(0)f ′′存在,()f x ′′在0x =处不连续【答案】C【解析】当0t =时,有0x y ==①当0t >时,3sin x t y t t=⎧⎨=⎩,可得sin 33x xy =,故()f x 右连续;②当0t <时,sin x ty t t=⎧⎨=−⎩,可得sin y x x =−,故()f x 左连续,所以()f x 连续;因为0sin 033(0)lim 0x x x y x ++→−′==;0sin 0(0)lim 0x x x y x −−→−−′==,所以(0)0f ′=;③当0x >时,1sin sin cos 333393x x x x x y ′⎛⎫′==+ ⎪⎝⎭,所以0lim ()0x y x +→′=,即()f x ′右连续;④当0x <时,()sin sin cos y x x x x x ′′=−=−−,所以0lim ()0x y x −→′=,即()f x ′左连续,所以()f x ′连续;考虑01sin cos 23393(0)lim 9x x x xf x ++→+′′==;0sin cos (0)lim 2x x x x f x −−→−−′′==−,所以(0)f ′′不存在,答案为C(4)已知(1,2,)nn a b n <= ,若级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛,则“1n n a ∞=∑绝对收敛”是“1n n b ∞=∑绝对收敛”的( )(A )充分必要条件(B )充分不必要条件(C )必要不充分条件(D )既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为级数1nn a ∞=∑与1nn b ∞=∑均收敛,所以正项级数1()nn n ba ∞=−∑收敛又因为()()n n n n n n n n n nb b a a b a a b a a =−+≤−+=−+所以,若1nn a∞=∑绝对收敛,则1n n b ∞=∑绝对收敛;同理可得:()()n n n n n n n n n na ab b a b b b a b =−+≤−+=−+所以,若1nn b ∞=∑绝对收敛,则1nn a∞=∑绝对收敛;故答案为充要条件,选(A)(5)已知n 阶矩阵A ,B ,C 满足ABC O =,E 为n 阶单位矩阵,记矩阵OA BC E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,ABC O E ⎛⎫⎪⎝⎭,E AB AB O ⎛⎫⎪⎝⎭的秩分别为123,,r r r ,则( ) (A )123r r r ≤≤(B )132r r r ≤≤(C )321r r r ≤≤(D )213r r r ≤≤【答案】B【解析】根据初等变换可得:OA O O O O BC E BC E O E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎯⎯→⎯⎯→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭行列,所以1r n =;AB C AB O O E O E ⎛⎫⎛⎫⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭行,所以2()r n r AB =+;2()E AB E O E O AB O AB ABAB O AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎯⎯→⎯⎯→ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭行列,所以23()r n r AB ⎡⎤=+⎣⎦;又因为20()()r AB r AB ⎡⎤≤≤⎣⎦,所以132r r r ≤≤(6)下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是()(A )11022003a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B )1112003a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C )11020002a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D )11022002a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】(A )特征值互异,则可对角化;(B )为实对称矩阵,必可对角化; 选项(C ),特征值为1,2,2,且特征值2的重数(代数重数)2(2)312n r E A =−−=−=(几何重数),故矩阵可对角化;选项(D ),特征值为1,2,2,且特征值2的重数(代数重数)2(2)321n r E A ≠−−=−=(几何重数),故矩阵不可对角化;(7)已知向量1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2101β⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,若γ既可由12,αα线性表示,也可由12,ββ线性表示,则γ=( )(A )33,4k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭(B )35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭(C )11,2k k R −⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭(D )15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】令γ11221122k k l l ααββ=+=+,则有112211220k k l l ααββ+−−=,即12121212(,)0k k l l ααββ⎛⎫ ⎪ ⎪−−= ⎪ ⎪⎝⎭而121212211003(,)2150010131910011ααββ−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−=−→− ⎪ ⎪⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭所以1212(,,,)(3,1,1,1),TT k k l l c c R =−−∈,所以12(1,5,8)(1,5,8),T T c c c k k R γββ=−+=−=∈,答案为D(8)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则()E X EX −=( )(A)1e(B)12(C)2e(D)1【答案】C【解析】因为(1)X P ,所以1EX =,()()1110022112(1)(1)!0!!k k e e e E X EX E X k k E X k k e e−−−∞∞==−=−=−=+−=+−=∑∑,答案为C(9)设12,,,n X X X 为来自总体21(,)N μσ的简单随机样本,12,,,m Y Y Y 为来自总体22(,2)N μσ的简单随机样本,且两样本相互独立,记11n i i X X n ==∑,11m i i Y Y m ==∑,22111()1n i i S X X n ==−−∑, 22211()1mi i S Y Y m ==−−∑,则( ) (A)2122(,)S F n m S (B)2122(1,1)S F n m S −−(C)21222(,)S F n m S (D)21222(1,1)S F n m S −− 【答案】D【解析】由正态分布的抽样性质可得,2212(1)(1)n S n χσ−− ,2222(1)(1)2m S m χσ−− 又因为2212,S S 相互独立,所以212222(1)1(1,1)(1)21n S n F n m m S m σσ−−−−−− ,即21222(1,1)S F n m S −− ,答案为D (10)设12,X X 为来自总体2(,)N μσ的简单随机样本,其中(0)σσ>是未知参数,记12a X X σ=−,若()E σσ=,则a =( )(A)2π(B)2π【答案】A【解析】由已知可得,令212(0,2)Z X X N σ=− ,所以22221212()()()z Z E E a X X aE X X aE Z az f z dz a dzσσ−+∞+∞⋅−∞−∞=−=−===⎰⎰2222440z z a zdz aσσ−−+∞+∞==−=⎰若()E σσ=,则有2a π=,答案为A二、填空题:11~16小题,每小题5分,共30分,请将答案写在答题纸指定位置上. (11)当0x →时,函数2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()cos x g x e x =−是等价无穷小,则ab =________【答案】2−【解析】由已知可得:2222200022221(())()ln(1)2lim lim lim 1()cos (1())(1())2x x x x ax bx x x o x f x ax bx x g x e x x o x x o x →→→++−++++==−++−−+220221(1)(()2lim 13()2x a x b x o x x o x →++−+==+所以1310,22a b +=−=,即1,2a b =−=,所以2ab =− (12)曲面222ln(1)z x y x y =++++在点(0,0,0)处的切平面方程为________【答案】20x y z +−=【解析】两边微分可得,222221xdx ydydz dx dy x y +=++++,代入(0,0,0)得2dz dx dy =+,因此法向量为(1,2,1)−,切平面方程为20x y z +−=(13)设()f x 是周期为2的周期函数,且()1,[0,1]f x x x =−∈,若01()cos 2n n a f x a n x π∞==+∑,则21nn a∞==∑_________【答案】0【解析】由已知得01(0)12n n a f a ∞==+=∑,01(1)(1)02n n n a f a ∞==+−=∑ 相加可得021(0)(1)21nn f f a a∞=+=+=∑显然()f x 为偶函数,则(0,1,2,)n a n = 为其余弦级数的系数,故1002()1a f x dx ==⎰,因此210n n a ∞==∑.(14)设连续函数()f x 满足:(2)()f x f x x +−=,2()0f x dx =⎰,则31()f x dx =⎰_______【答案】12【解析】323211121()()()()(2)f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx=+=++⎰⎰⎰⎰⎰[]2121111()()()022f x dx f x x dx f x dx xdx =++=+=+=⎰⎰⎰⎰(15)已知向量11011α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,21101α−⎛⎫ ⎪− ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,30111α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪− ⎪⎝⎭,1111β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭,112233k k k γααα=++,若(1,2,3)T T i i i γαβα==,则222123k k k ++=_______【答案】119【解析】由已知可得,123,,ααα两两正交,通过计算可得:11113TT k γαβα=⇒=;2221T T k γαβα=⇒=−;33213T T k γαβα=⇒=−,则222123k k k ++=119(16)设随机变量X 与Y 相互独立,且1(1,3X B ,1(2,2Y B ,则{}P X Y ==________ 【答案】13【解析】212211111{}{0}{1}(323223P X Y P X Y P X Y C ====+===⋅+⋅⋅=三、解答题:17~22小题,共70分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)设曲线:()(0)L y y x x =>经过点(1,2),该曲线上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距(1)求()y x ;(2)求函数1()()xf x y t dt =⎰在(0,)+∞上的最大值【答案】(1)()(2ln )y x x x =− (2)454e −【解析】(1)曲线L 上任一点(,)P x y 处的切线方程为()Y y y X x ′−=−,令0X =,则y 轴上的截距为Y y xy ′=−,由题意可得x y xy ′=−,即11y y x′−=−,解得(ln )y x C x =−,其中C 为任意常数,代入(1,2)可得2C =,从而()(2ln )y x x x =−(2)()(2ln )f x x x ′=−,显然在2(0,)e 上()0f x ′>,()f x 单调递增;在2(,)e +∞上()0f x ′<,()f x 单调递减,所以()f x 在(0,)+∞上的最大值为22422211515()(2ln )ln 424e e ef e t t dt t t t −⎛⎫=−=−=⎪⎝⎭⎰(18)(本题满分12分)求函数23(,)()()f x y y x y x =−−的极值【答案】极小值为2104(,)327729f =−【解析】先求驻点42235(32)020xy f x x x y f y x x ⎧′=−+=⎪⎨′=−−=⎪⎩,解得驻点为(0,0),(1,1),210(,327下求二阶偏导数,3220(62)322xx xy yyf x x yf x xf ⎧′′=−+⎪⎪′′=−−⎨⎪′′=⎪⎩①对于点(0,0),(0,0)0f =,5(,0)f x x =,由定义可得(0,0)不是极值点;②代入点(1,1),解得1252xxxy yy A f B f C f ⎧′′==⎪⎪′′==−⎨⎪′′==⎪⎩,210AC B −=−<,所以(1,1)不是极值点;③代入点210(,)327,解得10027832xx xy yyA fB fC f ⎧′′==⎪⎪⎪′′==−⎨⎪⎪′′==⎪⎩,2809AC B −=>且0A >,所以210(,)327是极小值点,极小值为2104(,)327729f =−(19)(本题满分12分)设空间有界区域Ω由柱面221x y +=与平面0z =和1x z +=围成,Σ为Ω的边界曲面的外侧,计算曲面积分2cos 3sin I xzdydz xz ydzdx yz xdxdy Σ=++⎰⎰【答案】54π【解析】由高斯公式可得,2cos 3sin (2sin 3sin )I xzdydz xz ydzdx yz xdxdy z xz y y x dvΣΩ=++=−+⎰⎰⎰⎰⎰ 因为Ω关于平面xoz 对称,所以(sin 3sin )0xz y y x dv Ω−+=⎰⎰⎰所以1222022(1)(:1)xyxyxxy D D I zdv dxdy zdz x dxdyD x y −Ω===−+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22221(21)()2xyxyxyD D D x x dxdy x dxdy x y dxdy ππ=−+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2130015244d r dr πππθππ=+=+=⎰⎰(20)(本题满分12分)设函数()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数,证明: (1)若(0)0f =,则存在(,)a a ξ∈−,使得21()[()()]f f a f a aξ′′=+−(2)若()f x 在(,)a a −内取得极值,则存在(,)a a η∈−,使得21()()()2f f a f a aη′′≥−−【答案】(1)利用泰勒公式在0x =处展开,再利用介值性定理; (2)利用泰勒公式在极值点处展开,再利用基本不等式进行放缩;【解析】(1)在0x =处泰勒展开,22()()()(0)(0)(0)2!2!f c f c f x f f x x f x x ′′′′′′=++=+, 其中c 介于0与x 之间;代入两个端点有:211()()(0),(0,)2!f f a f a a a ξξ′′′=+∈222()()(0)(),(,0)2!f f a f a a a ξξ′′′−=−+∈− 两式相加可得:212()()()()2f f f a f a a ξξ′′′′++−=即122()()1[()()]2f f f a f a a ξξ′′′′++−= 因为()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数,所以()f x ′′存在最大值M 与最小值m , 根据连续函数的介值性定理可得,12()()2f f m M ξξ′′′′+≤≤,所以存在(,)a a ξ∈−,使得12()()()2f f f ξξξ′′′′+′′=,即21()[()()]f f a f a a ξ′′=+−成立;(2)若()f x 在(,)a a −内取得极值,不妨设0x 为其极值点,则由费马引理可得,0()0f x ′=将()f x 在0x 处泰勒展开,22000000()()()()()()()()()2!2!f d f d f x f x f x x x x x f x x x ′′′′′=+−+−=+−其中d 介于0x 与x 之间; 代入两个端点有:210010()()()(),(,)2!f f a f x a x x a ηη′′=+−∈ 220020()()()(),(,)2!f f a f x a x a x ηη′′−=+−−∈−两式相减可得:221200()()()()()()22f f f a f a a x a x ηη′′′′−−=−−−−所以22120022()()11()()()()2222f f f a f a a x a x a a ηη′′′′−−=−−−− 22102021[()()()()]4f a x f a x aηη′′′′≤−++,记112()max[(),()]f f f ηηη′′′′′′=, 又因为22220000()()[()()]4a x a x a x a x a −++≤−++=,所以21()()()2f a f a f a η′′−−≤成立 (21)(本题满分12分)已知二次型2221231231213(,,)2222f x x x x x x x x x x =+++−,22212312323(,,)2g y y y y y y y y =+++(1)求可逆变换x Py =,将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ; (2)是否存在正交变换x Qy =将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ?【答案】(1)111010001P −⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭(2)不存在(二者矩阵的迹不相同)【解析】(1)利用配方法将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y , 先用配方法将123(,,)f x x x 化成标准形:22222212312312131232323(,,)2222()2f x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++−=+−+++2212323()()x x x x x =+−++再用配方法将123(,,)g y y y 化成标准形:2222212312323123(,,)2()g y y y y y y y y y y y =+++=++令11232233y x x x y x y x =+−⎧⎪=⎨⎪=⎩,即11232233x y y y x y x y=−+⎧⎪=⎨⎪=⎩, 则在可逆变换112233*********x y x y x y −⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下,其中111010001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,二次型123(,,)f x x x 即可化成123(,,)g y y y (2)因为二次型123(,,)f x x x 与123(,,)g y y y 的矩阵分别为111120102A −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭,100011011B ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭显然()5tr A =,()3tr B =,所以矩阵A ,B 不相似,故不存在正交矩阵Q ,使得1T Q AQ Q AQ B −==, 所以也不存在正交变换x Qy =,将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y .11 /11 (22)(本题满分12分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为22222(),1(,)0,x y x y f x y else π⎧++≤⎪=⎨⎪⎩,求 (1)求X 与Y 的斜方差;(2)X 与Y 是否相互独立?(3)求22Z X Y =+概率密度【答案】(1)0 (2)不独立 (3)2,01()0,z z f z else <<⎧=⎨⎩【解析】(1)由对称性可得:222212()0x y EX x x y dxdy π+≤=+=⎰⎰,同理0EY =,0EXY =所以(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =−=; (2)22)11()(,)0,X x y dy x f x f x y dy else +∞−∞⎧+−≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰24(121130,x x elseπ⎧+−≤≤⎪=⎨⎪⎩同理可得,24(1211()30,Y y y f y else π⎧+−≤≤⎪=⎨⎪⎩所以(,)()()X Y f x y f x f y ≠,X 与Y 不独立 (3)先求分布函数22(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤ 当0z <时,()0Z F z =;当01z ≤<时,2222222320022(){}()Z x y z F z P X Y z x y dxdy d dr z πθππ+≤=+≤=+==⎰⎰⎰;当1z ≤时,()1Z F z =;所以22Z X Y =+概率密度为2,01()()0,Z Z z z f z F z else <<⎧′==⎨⎩。
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考研数学试题解析考研数学试题解析一、问题求解(本大题共5小题,每小题3分,共45分)下列每题给出5个选项中,只有一个是符合要求的,请在答题卡上将所选择的字母涂黑。
1、某家庭在一年支出中,子女教育支出与生活资料支出的比为3:8,文化娱乐支出与子女教育支出比为1:2。
已知文化娱乐支出占家庭总支出的10.5%,则生活资料支出占家庭总支出的()(A)40%(B)42%(C)48%(D)56%(E)64%【解析】:D。
文化:子女:生活=3:6:16,所以。
2、有一批同规格的正方形瓷砖,用他们铺满整个正方形区域时剩余180块,将此正方形区域的边长增加一块瓷砖的长度时,还需要增加21块瓷砖才能铺满,该批瓷砖共有()(A)9981块(B)10000块(C)10180块(D)10201块(E)10222块【解析】:C。
设原边长为a,则。
3、上午9时一辆货车从甲地出发前往乙地,同时一辆客车从乙地出发前往甲地,中午12时两车相遇,货、客车的速度分别是90千米/小时、100千米/小时。
则当客车到达甲地时,货车距乙地的距离是()(A)30千米(B)43千米(C)45千米(D)50千米(E)57千米【解析】:E。
设甲乙相距S,则S=(100+90)×3=570,客车到甲地时时间570÷100=5.7小时,货车距乙地570-90×5.7=57。
4、在分别标记了数字1、2、3、4、5、6的6张卡片中随机取3张,其中数字之和等于10的概率()(A)0.05(B)0.1(C)0.15(D)0.2(E)0.25【解析】:C。
1,3,6;1,4,5;2,3,5。
5、某商场将每台进价为2000元的冰箱以2400元销售时,每天销售8台,调研表明这种冰箱的售价每降低50元,每天就能多销售4台。
若要每天销售利润最大,则冰箱的定价应为()(A)2200(B)2250(C)2300(D)2350(E)2400【解析】:B。
设降低x个50元,则(400-50x)·(8+4x)=(800-100x)·(200+100x),当800-100x=200+100x,x=3,所以定价为22506、某委员会由三个不同的专业人员组成,三个专业人数分别是2,3,4,从中选派2位不同专业的委员外出调研,则不同的选派方式有()(A)36种(B)26种(C)12种(D)8种(E)6种【解析】:A。
7、从1到100的整数中任取一个数,则该数能被5或7整除的概率为()(A)0.02(B)0.14(C)0.2(D)0.32(E)0.34【解析】:D。
能被5整除的100个,能被7整除的14个,能被35整除的2个;(20+14-2)÷100=0.32。
8、如图1,在四边形ABCD中,AB//CD,AB与CD的边长分别为4和8,若△ABE的面积为4,则四边形ABCD的面积为()(A)24(B)30(C)32(D)36(E)40【解析】:D。
9、现有长方形木板340张,正方形木板160张(图2),这些木板正好可以装配成若干竖式和横式的无盖箱子(图3)。
装配成的竖式和横式箱子的个数为()(A)25,80(B)60,50(C)20,70(D)60,40(E)40,60【解析】:E。
设装配成竖式箱子x个,横式箱子y个,则。
10.圆x+y-6x=4y=0上到原点距离最远的点是()(A)(-3,2)(B)(3,-2)(C)(6,4)(D)(-6,4)(E)(6,-4)【解析】:E。
把圆写成标准方程可以发现原点是在圆上的,那么离原点最远的点一定是原点关于圆心的对称点(6,-4)。
11、如图4,点A,B,O的坐标分别为(4,0),(0,3),(0,0),若是△AOB中的点,则的最大值为()(A)6(B)7(C)8(D)9(E)12【解析】:D。
根据线性规划的规律,角点处取到最值,把(4,0),(0,3),(0,0,)三角点代入2x+3y,可知,最大的是9。
12.设抛物线y=x+2ax+b与x轴相交于A,B两点,点C坐标为(0,2),若ΔABC的面积等于6,则()(A)a-b=9(B)a+b=89(C)a-b=36(D)a+b=36(E)a-4b=9【解析】:A。
画出图形可以帮助分析,根据面积公式有。
13、某公司以分期付款方式购买一套定价1100万元的设备,首期付款100万元,之后每月付款50万元,并支付上期余额的利息,月利率1%,该公司为此设备支付了()(A)1195万元(B)1200万元(C)1205万元(D)1215万元(E)1300万元【解析】:C。
100+(50+1000×1%)+(50+950×1%)+…+(50+50×1%)=120514、某学生要在4门不同课程中选修2门课程,这4门课程中的2门各开设一个班,另外2门各开设两个班,该同学不同的选课方式共有()(A)6种(B)8种(C)10种(D)13种(E)15种【解析】:C。
假设有ABCD四门课,其中有A1,B1,C1,C2,D1,D2六个班,所有的选法有种,减去选同一班的两种情况,故有15-2=13种。
15、如图5,在半径为10厘米的球体上开一个底面半径是6厘米的圆柱形洞,则洞的内壁面积为(单位为平方厘米)()(A)48π(B)288π(C)96π(D)576π(E)192π【解析】:E。
求半径,圆柱横截面半径,圆柱高的一半构成直角三角形,勾股定理计算得高的一半为8,高为16,内径为2π×6×16=192π。
二.条件充分性判断:第16-25小题,每小题3分,共30分。
要求判断每题给出的条件(1)和(2)能否充分支持题干所陈述的结论A、B、C、D、E五个选项为判断结果,请选择一项符合试题要求的判断,请在答题卡上将所选的字母涂黑。
(A)条件(1)充分,但条件(2)不充分(B)条件(2)充分,但条件(1)不充分(C)条件(1)和(2)都不充分,但联合起来充分(D)条件(1)充分,条件(2)也充分(E)条件(1)不充分,条件(2)也不充分,联合起来仍不充分16、已知某公司男员工的平均年龄和女员工的平均年龄,则能确定该公司员工的平均年龄(1)已知该公司员工的人数(2)已知该公司男女员工的人数之比【解析】:B。
条件(1)已知员工人数,男女分别不同时会造成平均年龄的不同。
条件(2),已知人数只比和男女平均年龄,可以确定总的平均年龄。
17、如图6,正方形ABCD由四个相同的长方形和一个小正方形拼成,则能确定小正方形的'面积(1)已知正方形ABCD的面积(2)已知长方形的长宽之比【解析】:C。
事实上任何一个长方形这样叠加都能得到这样的带有中间小正方形的图形。
所以,仅仅知道面积求得边长,或者仅仅知道长宽之比都是不行的,联合可以。
18、利用长度为a和b的两种管材能连接成长度为37的管道(单位:米)(1)a=3,b=5(2)a=4,b=6【解析】:A。
条件(1),能连接,充分;条件(2)4x+6y=37都是偶数的和是不可能为奇数的,不充分。
19、设x,y是实数,则x≤6,y≤4(1)x≤y+2(2)2y≤x+2【解析】:C。
单独显然不可能,联合。
20、将2升甲酒精和1升乙酒精混合得到丙酒精,则能确定甲、乙两种酒精的浓度(1)1升甲酒精和5升乙酒精混合后的浓度是丙酒精浓度的1/2倍(2)1升甲酒精和2升乙酒精混合后的浓度是丙酒精浓度的2/3倍【解析】:E。
设甲乙丙的浓度分别为a,b,c,则,只能解出之间的关系,解不出a,b值。
21、设有两组数据S1:3,4,5,6,7和S2:4,5,6,7,,a,则能确定a的值(1)S1与S2的均值相等(2)S1与S2的方差相等【解析】:A。
平均值相同,a只能是3,所以,条件(1)充分。
方程相同,a可以是3或8。
22、已知M是一个平面内的有限点集,则平面上存在到M中各点距离相等的点(1)M中只有三个点(2)M中的任意三点都不共线【解析】:C。
条件(1)三点共线的时候没有。
条件(2)形成凹多边形的时候没有,联合只有三个点且不共线时可以构成三角形,三角形外接圆圆心到三点距离相等。
23、设x,y是实数,则可以确定x3+y3的最小值(1)xy=1(2)x+y=2【解析】由于不知道x与y的正负符号,故单独(1)不充分。
由(2),当xy越大,所求x3+y3数值越小,显然当x与y同号时,且x=y=1时,取最小值。
故选B【解析】A。
条件(1)前项总是大于后项,可以推的成对的都大于0,充分;条件(2)取负数时不成立。
25、已知f(x)=x2+ax+b,则0≤f(1)≤1(1)f(x)在区间[0,1]中有两个零点(2)f(x)在区间[1,2]中有两个零点【解析】:D。
条件(1):此条件等价于“方程x2+ax+b=0的两根在区间[0,1]内”,即转化为区间根问题,数形结合求解,如图有条件(2):此条件等价于“方程x2+ax+b=0的两根在区间[1,2]内”,即转化为区间根问题,数形结合求解,得不等式组:。