中考数学几何五大模型.docx

五大模型

一、等积变换模型

⑴等底等高的两个三角形面积相等；

其它常见的面积相等的情况

⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图 S1 : S2 a : b

⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图S△ACD = S△BCD；

反之，如果S△ACD S△BCD，则可知直线AB 平行于CD。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

二、鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比。

如图，在△ ABC 中，D,E分别是AB, AC上的点(如图1)或D在BA的延长线上，

E 在AC上(如图2)，则S△ABC: S△ADE( AB AC ) : ( AD AE )

图 1图2

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系( “蝴蝶定理” ) ：

① S1 : S2S4 : S3或者 S1S3S2S4② AO : OC S1S2 : S4S3

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系 ( “梯形蝴蝶定理”)

2 2

①S1 : S3 a : b

② S1 : S3 : S2 : S4a2 : b2 : ab : ab ；

③梯形 S 的对应份数为 a b 2。

四、相似模型

相似三角形性质：

金字塔模型沙漏模型

① AD AE DE AF ；

AB AC BC AG

② S△ADE : S△ABC AF 2 : AG 2。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形( 只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似) ，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模型

S△ABG: S△AGC S△BGE: S△EGC BE: EC

S△BGA: S△BGC S△AGF: S△FGC AF: FC

S△AGC:S△BCG S△ADG: S△DGB AD:DB

典型例题精讲

例 1一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15 倍，黄色三角形的面积是21 平方厘米。问：长方形的面积是 __________平方厘米。

例1图

例 2如图，三角形田地中有两条小路AE和 CF，交叉处为 D，张大伯常走这两条小

路，他知道 DF＝DC，且 AD＝2DE 。则两块地 ACF和 CFB的面积比是__________。

例

2图

【举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三

角形的面积分别是3， 7， 7，则阴影四边形的面积是多少？

举

一反三图

【拓展】如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形 ADB的面积是3，三角形 ACF的面积是 4，那么三角形ABC的面积是多少？

拓展图

例3 如图，将三角形ABC的AB边延长 1 倍到D，BC边延长 2 倍到E，CA边延长 3 倍到 F。如果三角形 ABC的面积等于1，那么三角形 DEF的面积是__________。

例

3图

【拓展】如图，在△ ABC中，延长 AB至 D，使 BD＝ AB,延长 BC至 E，使CE 1

BC ，F 2

是的中点，若△的面积是 2，则△的面积是多少？

AC ABC DEF

拓

展图

例4 如图，在△ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O，若△AOM、△ABO和△BON的面积分别是3、2、1，则△MNC的面积是__________。

例4图

【秒杀题】四边形ABCD的对角线AC与 BD交于点 O（如图所示）。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD的面积的

，且 AO＝2，DO＝3,那么CO的长度是1

3

DO的长度的__________倍。

秒杀题图

例5 如图，四边形EFGH的面积是 66 平方米，EA＝AB，CB＝BF，DC＝CG，HD＝DA，求四边形 ABCD的面积。

例5图

例 6如右图长方形ABCD中， EF＝16， F＝9，求 AG的长。

例6图

【铺垫】图中四边形ABCD是边长为12cm的正方形，从 G到正方形顶点C、D 连成

一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形

GDC的面积是多少？

铺垫图

例7 如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H，已知AH ＝5cm，HF＝ 3cm，求AG。

例 7

图

例 8如右图，三角形ABC中， BD∶ DC＝4∶9， CE∶ EA＝4∶3，求 AF∶ FB。

例

8图

【拓展】如图，三角形ABC的面积是1， BD＝ DE＝ EC， CF＝FG＝GA，三角形 ABC被分成 9 部分，请写出这9 部分的面积各是多少?

拓

展图

例9 如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于 M，AF与 BG交于 N，已知△ ABM的面积比四边形 FCGN的面积大7.2

平方厘米，则△ ABC的面积是多少平方厘米？