项目八 任务1 摆线轨迹的编程与操作
摆线的几何画板实现
ＺＨＯＮＧＸＩＡＯＸＵＥＤＩＡＮＪＩＡＯ２００６－１１摆线被称为“几何学中的海伦”，在物理中称为“最速降线”。
摆线是一类重要的曲线，齿轮的齿的纵断面、偏心轮、偏凸轮以及许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线等曲线相比毫不逊色。
因此，作为一类重要的曲线，摆线走进了《坐标系与参数方程》（《普通高中数学课程标准（实验）》系列４）。
对此，《课标》明确要求：“借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线），了解平摆线的生成过程并能推导出它们的参数方程。
通过阅读材料，了解其它摆线（变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线）的生成过程，了解摆线在实际中应用的实例，了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用。
”所谓摆线，是动圆在基线上滚动时动圆上一点所形成的轨迹，由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭，具体分类如图１所示。
本文以几何画板４．０６为软件平台，谈谈如何构造摆线。
图１一、平摆线的制作１．构造思路平摆线是动圆在直线上作无滑滚动时动圆上点的轨迹。
所谓无滑滚动即在圆的滚动过程中要保证Ｐ!Ｑ弧长等于相应线段ＣＰ长（如图２所示）。
在具体实现过程中可将动圆与直线的交点Ｐ旋转一定角度得到点Ｑ，旋转角度可由公式－ＣＰｒ得到，其中角度制为弧度制，公式中的负号主要是顺时针旋转的缘故。
图２２．实现步骤第一步，在“参数选择”中设置角度参数为弧度。
第二步，构造线段ＡＢ、ＣＤ，构造线段ＣＤ上一点Ｐ。
第三步，“度量”ＡＢ间的距离，将其度量值标记为距离，将Ｐ点按标记距离“平移”（角度为０），得到点Ｏ；以Ｏ为圆心、Ｐ为圆上一点“构造”圆。
第四步，“度量”ＣＰ间的距离，“计算”－ＣＰＡＢ．１弧度，将计算的结果标记为角度；以Ｏ为中心，将点Ｐ按标记角度“旋转”得点Ｑ。
第五步，先后选中点Ｑ、Ｐ，“构造”轨迹，即为平摆线（图３中粗线所示）。
图３３．拓展应用由图可知，平摆线是由呈周期性排列的拱组成的，拖动点Ｄ可得到不同拱数的平摆线。
摆线运动规律
摆线运动规律摆线运动是一种经典的力学运动，它是指在重力作用下，一定质量的物体沿着一条摆线轨迹运动的过程。
摆线运动在工程、物理、数学等领域都有着广泛的应用，因此研究摆线运动的规律具有重要的意义。
本文将从数学和物理两个方面来介绍摆线运动的规律。
一、数学方面1. 摆线轨迹的方程摆线运动的轨迹是一条摆线，它的形状可以用数学公式来描述。
在平面直角坐标系中，假设摆线的长度为2a，圆心在坐标轴上，则摆线的方程为：x=a(θ-sinθ)，y=a(1-cosθ)其中，θ是摆线的张角，x和y分别是摆线上任意一点的横坐标和纵坐标。
这个方程描述了摆线的形状和位置，可以用来计算摆线上各个点的坐标。
2. 摆线的参数方程除了上述的笛卡尔方程，摆线还有一种常用的参数方程，即：x=a(θ-sinθ)，y=a(1-cosθ)其中，t是时间，a是摆线的长度，g是重力加速度，θ是摆线的张角。
3. 摆线的长度摆线的长度是一个重要的物理量，它决定了摆线的运动轨迹和速度。
摆线的长度可以用勾股定理来计算：L=2a(1-cosθ)其中，a是摆线的长度，θ是摆线的张角，L是摆线的长度。
二、物理方面1. 摆线的运动规律摆线运动是受到重力作用的运动，因此它遵循牛顿的运动定律。
在摆线运动中，物体的运动受到重力和张力的作用，其运动规律可以用牛顿第二定律来描述：F=ma其中，F是受力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
在摆线运动中，物体的加速度可以用以下公式来计算：a=g(sinθ-μcosθ)其中，g是重力加速度，θ是摆线的张角，μ是摩擦系数。
2. 摆线的周期摆线的周期是指物体沿着摆线轨迹完成一次来回运动所需的时间。
摆线的周期可以用以下公式来计算：T=4a√(π/g)其中，a是摆线的长度，g是重力加速度，π是圆周率。
3. 摆线的能量摆线运动中，物体的动能和势能不断转化，它们的和是摆线的总能量。
在摆线运动中，物体的重力势能可以用以下公式来计算：U=mgh其中，m是物体的质量，g是重力加速度，h是物体的高度。
《摆线》课件1
y D M A C A B C B r r c o s.
3、摆线的参数方程
M
B
yO A
B
M C
OD
A
Ex
摆线的参数方程为：xyrr((1csoins)).,(为参数)
O
A
x
由 于 向 量 e 1 ( c o s , s i n ) 是 与 O B 同 方 向 的 单 位 向 量 ，
因 而 向 量 e 2 ( s i n , c o s ) 是 与 向 量 B M 同 方 向 的 单 位 向 量 。
所 以 B M (r) e 2 ,即
4、渐开线的定义
探究：
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设 开 始 时 绳 子 外 端 （ 笔 尖 ） 位 于 点 A ，
当 外 端 展 开 到 点 M 时 ， 因 为 绳 子 对 圆 心 角 的 一 段 弧 A B ，
人字齿
相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构）
直齿
斜齿
曲线齿
准双曲面齿轮
小结： 1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
y
B
M C
所以，摆线的参数方程为：
从 设 设 开 点 点 O始 M M 的 分 时 D 坐 别 定 标 做 点 为 AA M B ( 在 ， x , 原 x y 轴 ) 点 , 取 的 ， 垂 为 圆 线 滚 参 ， 动 数 垂 了 ， 足 xy根 分 角 据 别 后 rr点 ((是 与 1M C x E满 轴 ， c足 s相 xD oi。 n的 s切 几 于 ))何 点 .,(条 A ， 件 为 圆 ， 参 心 有 在 数 点 )B 。
摆线轨道方程
摆线轨道方程一、引言摆线，又称旋轮线或圆滚线，是一种特殊的平面曲线。
当一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹称为摆线。
摆线因其独特的几何特性和在实际应用中的广泛存在，成为了数学、物理和工程学等多个领域的研究对象。
本文将详细探讨摆线的定义、性质、轨道方程及其推导过程，并通过实例分析摆线在现实生活中的应用。
二、摆线的定义与性质摆线是一种由圆的滚动产生的曲线。
具体来说，当一个圆在一条定直线上无滑动地滚动时，圆周上一个固定点所描绘出的轨迹即为摆线。
摆线具有许多独特的性质，如等时性、等距性等。
这些性质使得摆线在计时器、钟表和某些机械装置的设计中具有重要应用价值。
三、摆线轨道方程及其推导为了描述摆线的形状和特性，我们需要推导出其轨道方程。
设圆的半径为r，定直线为x轴，圆心初始位置在原点。
当圆滚动θ角度时，圆周上的定点P的坐标可以用参数方程表示为：x = r(θ - sinθ)y = r(1 - cosθ)这两个方程分别表示了P点在x轴和y轴上的投影。
通过这两个方程，我们可以描绘出摆线的完整形状。
推导过程如下：当圆滚动θ角度时，圆心从原点移动到(rθ, 0)位置。
此时，定点P相对于圆心的位置为(r sinθ, -r cosθ)。
将圆心坐标和P点相对于圆心的坐标相加，得到P点在绝对坐标系中的坐标：x = rθ - r sinθ, y = -r cosθ + r。
为了方便分析，我们通常将y坐标的表达式改写为y = r(1 - cosθ)。
这样，我们就得到了摆线的参数方程。
通过改变参数θ的值，我们可以描绘出摆线的不同部分。
四、摆线的应用实例摆线在现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些典型实例：钟表设计：摆线的等时性使得它在钟表设计中具有重要地位。
钟表的摆轮通常设计成摆线形状，以保证摆动的周期性稳定，从而提高钟表的精确度。
齿轮传动：在机械传动中，摆线齿轮具有传动平稳、噪音小、承载能力强等优点。
摆线齿轮的齿廓形状为摆线，能够有效降低齿轮传动过程中的冲击和振动。
绘制各种摆线
绘制各种摆线（平、外、内摆线）
数一班曾为云2009120131 靳婷2009120346
一. 平摆线的制作
1.在编辑-参数选择中设置角度参数为弧度
2.构造线段AB,CD，在CD上构造一点P.
3.度量AB的距离，将P点按标记距离平移(角度为π/2)得到点O，以O为圆心P为圆上一点作圆。
旋转得点Q。
5，然后选中点P、Q，构造轨迹，即为平摆线。
6.改变AB可以改变滚圆的半径，拖动点D可以不同拱数的平摆线
动态绘制平摆线
缩放可得短幅摆线（红色）
1.新建参数R，r初始值为3、1.【数据-新建参数】单位为厘米。
再在圆上构造A、B 两点
点P，以P为圆心，B为圆上点构造圆，隐藏不必要的
4.选择AB和圆构造圆弧并且度量弧度角
5.计算AB弧度角*R/r，将点B以P为中心，以弧度角*R/r为标记角度旋转，得到点C
6.选择C、B构造轨迹，得到外摆线
7.改变R可以得到不同拱数的外摆线
在射线PC上取一点C1，划动C1既可以变化长短摆线)
1改变r值当r为负值时且|r|＜R时为内摆线。
选中r，【按减号键】
2.改变R和r以及C1的位置可以得到不同的内摆线
3.当2|r|=R 时摆线为直线。
摆线定义
用《几何画板》软件作各种摆线1、用几何画板作摆线生成过程动画[实例效果](1)如图1，单击隐藏内摆线按钮，隐藏内摆线；(2)如图2，单击滚动按钮，动态演示车轮滚动效果和内摆线生成过程；(3)在显示菜单中单击擦除追踪踪迹，擦除摆线踪迹；(4)单击显示内摆线按钮，将摆线显示出来，如图1.图1 内摆线图2 动态生成内摆线[创作思路](1)分别利用摆线和滚动圆圆心的参数方程构造摆线和滚动圆圆心的轨迹迹；(2)利用几何画板的隐藏、追踪、变换、动画、轨迹等功能，根据需要生成各种展示图片或制作各种演示动画.[作图准备]分别确定以下参数：n：滚动圆滚动的圈数或者说是摆线的周期；r：滚动圆的半径；d：滚动圆半径所在射线上一点到滚动圆圆心的距离.[创作过程](1)通过图表→新建参数创建参数：n=2，r=1，d=1，ax=0,ay=-1；(2)用度量→计算计算ax+nπ；(3)选中ax=0,ay=-1, 通过图表→绘制点绘制点A，如图3；选中ax+nπ，ay=1通过图表→绘制点绘制点B，选中点A、B,通过构造→线段构造线段AB；(4)在线段AB上任取一点C，通过度量→坐标距离度量线段AB的坐标距离，并通过属性将标签改为t；(5)分别计算x= rt-dsin t，y =a-dcos t，和x= rt，y=r；(6)分别选中x= rt-dsin t，y =a-dcos t，和x= rt，y=r，通过图表→绘制点绘制点D和E；(7)选中点D和点C，通过构造→轨迹构造摆线轨迹；(8)选中点E和点C，通过构造→轨迹构造滚圆圆心轨迹；参数及计算结果图像n= 2.00r= 1.00d= 1.00a x=0.00a y=- 2.00a x+n⋅π= 6.28t= 2.51r⋅t= 2.51r⋅t-d⋅s i n t ()= 1.91r-d⋅c os t()= 1.81图3 构造摆线轨迹(9)在图3的基础上先后选中点E和点D，选择构造→以圆心和圆周上的点绘圆生成圆E；连接E D；如图4所示.(10)选中点C，选择编辑→操作类按钮→动画，生成滚动效果，如图4所示；将“运动点”标签改为“滚动圆”(11)选摆线，选择编辑→操作类按钮→隐藏/显示，生成隐藏轨迹按钮，图4 通过滚动圆生成摆线如图4所示；将“隐藏轨迹”标签改为“隐藏摆线”(12)可以通过改变参数n=2的值确定生成摆线的“拱数”如图5，当时生成“三拱”摆线.图5 参数n=2时生成摆线的“三拱”摆线2、用几何画板作短幅摆线和长幅摆线[创作思路](1)重复前面“用几何画板作摆线生成过程动画”[创作过程]中的第1步到第8步，得图3；(2)在图3的基础上，以（ax,d）绘制点G，连接点G和圆心O,选中点E和线段OG, 选择构造→以圆心和圆周上的点绘圆生成圆E；连接E D；如图4所示;(3)依次选择点D、E，选择构造→射线得以E为端点，过点D的射线，用点工具分别在射线上圆内、外处各取一点H、I，如图6，图6 用点工具分别在射线上圆内、外处各取一点H、I(4)分别选择点H、C和点I 、C，选择构造→轨迹生成如图7所示的短幅摆线和长幅摆线，然后隐藏射线，构造线段EH、ED和EI.图7 短幅摆线和长幅摆线3、用几何画板作内摆线生成过程动画[实例效果](1)通过滑块工具改变参数大圆半径R，滚动圆的半径r，滚动圆半径所在射线上一点到滚动圆圆心的距离d和滚动圆滚动的圈数n，可得到如表1中各图所示不同类型的内摆线，如表2中各图所示不同类型的短幅内摆线和表3中各图所示不同类型的长幅内摆线；(2)如表4中各图所示，单击隐藏内摆线按钮，隐藏内摆线；单击滚动按钮，动态演示表中各图所示的小圆在大圆中滚动的过程中内摆线的生成过程；(3)在显示菜单中单击擦除追踪踪迹，擦除内摆线踪迹；(4)单击显示内摆线按钮，将摆线显示出来.m=r/R的取值图形m=r/R的取值图形1/2 1/41/3 3/42/3 1/5表1 不同类型的内摆线R/ r/d的取值图形R/ r/d的取值图形3/2/1 4/2/14/3/1 4/3/2表2 不同类型的短幅内摆线R/ r/d的取值图形R/ r/d的取值图形2/1/2 3/1/33/2/3 4/1/2表3 不同类型的长幅内摆线表4 内摆线的生成过程示意图[创作思路](1)分别利用内摆线和滚动圆圆心的参数方程构造各种摆线和滚动圆圆心的轨迹迹；(2)利用几何画板的隐藏、追踪、变换、动画、轨迹等功能，根据需要生成各种内摆线的展示图片或制作各种内摆线的演示动画.[作图准备]用几何画板提供的专用滑块工具分别做出确定以下参数的滑块如表5所示，以便演示不同参数各种取值的图像或动画效果：参数的意义参数的可控滑块及其取值R：大圆半径；r：滚动圆的半径；d：滚动圆半径所在射线上一点到滚动圆圆心的距离；n：滚动圆滚动的圈数.ndrRn= 2.00d= 1.00r= 2.00R= 3.00图1 各参数的意义及其可控滑块[创作过程](1)用度量→计算计算m=r/R；(2)在几何画板上任取一点E，选中点E，用度量→横坐标和度量→横坐标分别度量点D的两个坐标（x E,y E），(3)用度量→计算计算x E+2π；(4)以（x E+2π,y E）为坐标通过图表→绘制点绘制点G；(5)连接EG,在EG上任取一点H，选中点E、H, 通过度量→坐标距离度量线段EH的坐标距离，并通过属性将标签改为t；(6)用度量→横坐标和度量→横坐标分别度量原点O的两个坐标（x O,y O）;(7)分别以（x O,R）和（x O,r）为坐标通过图表→绘制点绘制点R和点P；(8)选中原点O和点R，通过图表→以圆心和圆周上的点绘圆绘制大圆；(9)建立如表6所示的内摆线和滚圆圆心的参数方程。
摆线运动的特性和计算方法
摆线运动的特性和计算方法摆线运动是一种常见的物理现象，它的特性和计算方法在工程学、机械学和物理学等领域中具有重要的应用价值。
本文将介绍摆线运动的特性，并探讨一些计算方法。
一、摆线运动的特性1. 路径规律性：摆线运动的路径是一条连续的曲线，它具有规律性。
摆线路径由一个固定点和一个运动点组成，运动点在固定点周围旋转时，路径呈现出连续的曲线形状。
2. 不规则性：尽管摆线路径具有规律性，但它并不是一个简单的几何形状。
摆线路径的形态复杂多样，有时呈现出对称性，有时又呈现出不对称性，这使得摆线运动具有一定的美学价值。
3. 周期性：摆线运动具有周期性，即运动点在一个完整的周期内完成一次往复运动。
摆线运动的周期取决于运动点的速度和距离，速度越快、距离越长，周期越短。
4. 运动速度变化：摆线运动的速度是不断变化的。
当运动点离固定点较远时，速度较快；当运动点靠近固定点时，速度较慢。
这种速度的变化使得摆线运动具有一定的动态性。
二、摆线运动的计算方法1. 运动点的坐标计算：为了计算摆线运动的轨迹，我们需要确定运动点在每个时刻的坐标。
根据运动点相对于固定点的距离和角度，可以使用三角函数来计算运动点的坐标。
2. 运动速度的计算：摆线运动的速度可以通过求解运动点的速度矢量来计算。
速度矢量的大小等于运动点的速度，方向与运动点的运动方向相同。
可以使用微分法来计算速度矢量。
3. 加速度的计算：摆线运动的加速度可以通过求解运动点的加速度矢量来计算。
加速度矢量的大小等于运动点的加速度，方向与运动点的运动方向相同。
可以使用微分法来计算加速度矢量。
4. 能量变化的计算：摆线运动的能量变化可以通过求解运动点的势能和动能来计算。
势能是由于重力和弹性力而产生的，动能是由于运动点的速度而产生的。
可以使用物理学中的能量守恒定律来计算能量变化。
三、摆线运动的应用1. 工程学应用：摆线运动的特性使得它在工程学中有广泛的应用。
例如，在机械传动中，摆线齿轮可以将旋转运动转化为直线运动，实现复杂的机械运动。
文档：摆线-优秀教学设计
摆线摆线(cycloid)是数学中众多的迷人曲线之一．它是这样定义的：一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线别称一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹，又称旋轮线。
圆上定点的初始位置为坐标原点，定直线为x轴。
当圆滚动j 角以后，圆上定点从 O 点位置到达P点位置。
当圆滚动一周，即 j从O变动2π时，动圆上定点描画出摆线的第一拱。
再向前滚动一周，动圆上定点描画出第二拱，继续滚动，可得第三拱，第四拱……，所有这些拱的形状都是完全相同的，每一拱的拱高为2a（即圆的直径），拱宽为2πa（即圆的周长）。
摆线有一个重要性质，即当一物体仅凭重力从A点滑落到不在它正下方的B点时，若沿着A，B间的摆线，滑落所需时间最短，因此摆线又称最速降曲线。
性质到17 世纪，人们发现摆线具有如下性质：1．它的长度等于旋转圆直径的 4 倍。
尤为令人感兴趣的是，它的长度是一个不依赖于π的有理数．2．在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍。
3．圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在特定的地方它甚至是静止的。
4．当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部方程式x=r*(t-sint)； y=r*(1-cost)r为圆的半径， t是圆的半径所经过的角度（滚动角），当t由0变到2π时，动点就画出了摆线的一支，称为一拱。
基本原理摆线针轮行星传动中，摆线轮齿廓曲线运用内啮合发生圆产生的短幅外摆线。
这种摆线曲线的生成原理如词条图所示。
有一发生圆（滚圆）半径为rp'，基圆半径为rc'，基圆内切于发生圆，当发生圆绕基圆作纯滚动，其圆心Op分别处于Op1、Op2、Op3、Op4、Op5、Op6......各位置时，由此固结在发生圆平面上的点M分别经过M1、M2、M3、M4、M5、M6......各位置，由此发生圆周期滚动，发生圆上点M所形成的轨迹曲线即为短幅外摆线。
由以上摆线生成的几何关系若仍保持以上的内切滚动关系，将基圆和摆线视为刚体相对于发生圆运动，则形成了摆线图形相对发生圆圆心Op作行星方式的运动，这就是行星摆线传动机构的基本原理。
摆线的逐点生成算法
ｘ＝ｘ′－ ｙｒ； ｙ＝ｙ′－ ｘｒ； 画点（ (ｘ＋０．５」， (ｙ＋０．５」） ； ｝ Ｓｔｅｐ５． 算法结束。 我们在计算机上用 Ｃ 语言实现了上述算法， 运行结果 证明了算法的正确性。半径为 ｒ＝１０（ 象素） 在［０，４πｒ］两个周期 上的摆线结果如图 １ 所示。
图 １ 摆线
４ 结束语
本文给出了摆线的逐点生成算法， 在曲线的逐点生成 过程中， 只用到两次乘法， 迭代过程中避免了三角函数运算， 并且根据曲线参数方程的特点， 将其迭代关系分解成几个简 单迭代关系的线性组合， 简单直观， 减少了计算量。根据光栅 扫描器的特点， 曲线只能由坐标为整数的象素点组成。为了 使误差在 % ２ ／２ 象素之内， 将结果加 ０．５ 后取整。
ｙ（ ｉ＋１ ｎ
） － ｙ（ ｉ ｎ
）
＝
ｙ′（ &） ｎ
≤１， ｉ ≤&≤ ｉ＋１
ｎ
ｎ
因此， 为了保证所绘制曲线的连续性， 且同时提高算法
速度， 需找到满足
ｎ≥ ｍａｘ !ｘ′（ θ） ， ｙ′（ θ） %
０≤θ≤２π
的最小 ｎ 值。由于
ｍａｘ ｘ′（ θ） ＝ｍａｘ ｒ（ １－ ｃｏｓθ） ≤２ｒ
! "! "! " ｘｉ ＝ ｘ′ｉ － ｙｒｉ
ｙｉ ｙ′ｉ ｘｒｉ 其中
! "! " ｘ′ｉ ＝ ｒθ
（ ３）
ｙ′ｉ ｒ
! "! " ｘｒｉ
ｒ ｃｏｓθ ＝
（ ４）
ｙｒｉ ｒ ｓｉｎθ
对于式（ ３） ， 有
! "! "! "! "! "! " ｘ′ｉ＋１ ｒ（ θ＋β） ｒθ ｒβ ｘ′ｉ ｒβ
摆线定义
用《几何画板》软件作各种摆线1、用几何画板作摆线生成过程动画[实例效果](1)如图1，单击隐藏内摆线按钮，隐藏内摆线；(2)如图2，单击滚动按钮，动态演示车轮滚动效果和内摆线生成过程；(3)在显示菜单中单击擦除追踪踪迹，擦除摆线踪迹；(4)单击显示内摆线按钮，将摆线显示出来，如图1.图1 内摆线图2 动态生成内摆线[创作思路](1)分别利用摆线和滚动圆圆心的参数方程构造摆线和滚动圆圆心的轨迹迹；(2)利用几何画板的隐藏、追踪、变换、动画、轨迹等功能，根据需要生成各种展示图片或制作各种演示动画.[作图准备]分别确定以下参数：n：滚动圆滚动的圈数或者说是摆线的周期；r：滚动圆的半径；d：滚动圆半径所在射线上一点到滚动圆圆心的距离.[创作过程](1)通过图表→新建参数创建参数：n=2，r=1，d=1，ax=0,ay=-1；(2)用度量→计算计算ax+nπ；(3)选中ax=0,ay=-1, 通过图表→绘制点绘制点A，如图3；选中ax+nπ，ay=1通过图表→绘制点绘制点B，选中点A、B,通过构造→线段构造线段AB；(4)在线段AB上任取一点C，通过度量→坐标距离度量线段AB的坐标距离，并通过属性将标签改为t；(5)分别计算x= rt-dsin t，y =a-dcos t，和x= rt，y=r；(6)分别选中x= rt-dsin t，y =a-dcos t，和x= rt，y=r，通过图表→绘制点绘制点D和E；(7)选中点D和点C，通过构造→轨迹构造摆线轨迹；(8)选中点E和点C，通过构造→轨迹构造滚圆圆心轨迹；参数及计算结果图像n= 2.00r= 1.00d= 1.00a x=0.00a y=- 2.00a x+n⋅π= 6.28t= 2.51r⋅t= 2.51r⋅t-d⋅s i n t()= 1.91r-d⋅c os t()= 1.81图3 构造摆线轨迹(9)在图3的基础上先后选中点E和点D，选择构造→以圆心和圆周上的点绘圆生成圆E；连接E D；如图4所示.(10)选中点C，选择编辑→操作类按钮→动画，生成滚动效果，如图4所示；将“运动点”标签改为“滚动圆”(11)选摆线，选择编辑→操作类按钮→隐藏/显示，生成隐藏轨迹按钮，如图4所示；将“隐藏轨迹”标签改为“隐藏摆线”图4 通过滚动圆生成摆线(12)可以通过改变参数n=2的值确定生成摆线的“拱数”如图5，当时生成“三拱”摆线.图5 参数n=2时生成摆线的“三拱”摆线2、用几何画板作短幅摆线和长幅摆线[创作思路](1)重复前面“用几何画板作摆线生成过程动画”[创作过程]中的第1步到第8步，得图3；(2)在图3的基础上，以（ax,d）绘制点G，连接点G和圆心O,选中点E和线段OG, 选择构造→以圆心和圆周上的点绘圆生成圆E；连接E D；如图4所示;(3)依次选择点D、E，选择构造→射线得以E为端点，过点D的射线，用点工具分别在射线上圆内、外处各取一点H、I，如图6，图6 用点工具分别在射线上圆内、外处各取一点H、I(4)分别选择点H、C和点I 、C，选择构造→轨迹生成如图7所示的短幅摆线和长幅摆线，然后隐藏射线，构造线段EH、ED和EI.图7 短幅摆线和长幅摆线3、用几何画板作内摆线生成过程动画[实例效果](1)通过滑块工具改变参数大圆半径R，滚动圆的半径r，滚动圆半径所在射线上一点到滚动圆圆心的距离d和滚动圆滚动的圈数n，可得到如表1中各图所示不同类型的内摆线，如表2中各图所示不同类型的短幅内摆线和表3中各图所示不同类型的长幅内摆线；(2)如表4中各图所示，单击隐藏内摆线按钮，隐藏内摆线；单击滚动按钮，动态演示表中各图所示的小圆在大圆中滚动的过程中内摆线的生成过程；(3)在显示菜单中单击擦除追踪踪迹，擦除内摆线踪迹；(4)单击显示内摆线按钮，将摆线显示出来.m=r/R 的取值图形m=r/R的取值图形1/2 1/4 1/3 3/42/3 1/5表1 不同类型的内摆线R/ r/d 的取值图形R/ r/d的取值图形3/2/1 4/2/14/3/1 4/3/2表2 不同类型的短幅内摆线R/ r/d 的取值图形R/ r/d的取值图形2/1/2 3/1/33/2/3 4/1/2表3 不同类型的长幅内摆线表4 内摆线的生成过程示意图[创作思路](1)分别利用内摆线和滚动圆圆心的参数方程构造各种摆线和滚动圆圆心的轨迹迹；(2)利用几何画板的隐藏、追踪、变换、动画、轨迹等功能，根据需要生成各种内摆线的展示图片或制作各种内摆线的演示动画.[作图准备]用几何画板提供的专用滑块工具分别做出确定以下参数的滑块如表5所示，以便演示不同参数各种取值的图像或动画效果：参数的意义参数的可控滑块及其取值R：大圆半径；r：滚动圆的半径；d：滚动圆半径所在射线上一点到滚动圆圆心的距离；n：滚动圆滚动的圈数.ndrRn= 2.00d= 1.00r= 2.00R= 3.00图1 各参数的意义及其可控滑块[创作过程](1)用度量→计算计算m=r/R；(2)在几何画板上任取一点E，选中点E，用度量→横坐标和度量→横坐标分别度量点D的两个坐标（x E,y E），(3)用度量→计算计算x E+2π；(4)以（x E+2π,y E）为坐标通过图表→绘制点绘制点G；(5)连接EG,在EG上任取一点H，选中点E、H, 通过度量→坐标距离度量线段EH的坐标距离，并通过属性将标签改为t；(6)用度量→横坐标和度量→横坐标分别度量原点O的两个坐标（x O,y O）;(7)分别以（x O,R）和（x O,r）为坐标通过图表→绘制点绘制点R和点P；(8)选中原点O和点R，通过图表→以圆心和圆周上的点绘圆绘制大圆；(9)建立如表6所示的内摆线和滚圆圆心的参数方程。
程序设计算法竞赛基础综合课程设计(特色) 摆线
程序设计算法竞赛基础综合课程设计(特色）摆线
摆线是一种具有特殊运动轨迹的几何图形。
在摆线运动中，固定一个
铅垂线段上端点，并在该线段的另一端悬挂自由运动的小球，当小球开始
运动时，它的运动轨迹就是摆线。
摆线的运动轨迹是一条半径为悬挂线段长度的圆内滚动生成的。
它不
仅在几何学中具有重要的应用价值，同时在物理学、机械工程、计算机图
形学等领域也具有广泛的应用。
在计算机图形学领域，摆线可以被用来实现复杂的运动轨迹模拟，比
如模拟飞行器的轨迹，以及其他机械结构的运动轨迹。
为了实现摆线的模拟，程序员需要利用一些数学知识和算法。
具体来说，程序员需要使用贝塞尔曲线算法，将摆线的运动轨迹进行逼近和描述，并结合时间因素，计算每一时刻的摆线位置。
除此之外，还需要考虑如何以最优的方式实现摆线动画的渲染，以及
如何进行摆线的交互操作等方面的问题。
在程序设计算法竞赛基础综合课程中，摆线可以作为一个特色课程进
行设计教学。
通过摆线的模拟和应用，学生可以更好地理解各种计算机图
形学算法的实现原理和应用方法，提高他们的计算机图形学理论水平和动
手能力。
通过设计摆线课程，不仅能够提高学生的学习兴趣和动手实践能力，
而且还能够拓展他们的知识面，提升他们的职业竞争力。
利用运动分解分析摆线运动中一般过程的时间和位移问题
利用运动分解分析摆线运动中一般过程的时间和位移问题正如当今的科技发展正在迅速推进着我们的社会，摆线运动也受到了越来越多的关注。
摆线运动是指物体沿着特定的轨迹移动的运动，例如摩擦力的作用下的直线和曲线运动，等加速度的作用下的抛物线和径向加速度/匀减速运动，这类运动既复杂又有趣，因此使得它成为了许多学科领域里面的研究热点。
本文将以《利用运动分解分析摆线运动中一般过程的时间和位移问题》为标题，阐述摆线运动相关理论，分析其中一般过程的时间和位移问题，并提供一些有效的解决方案。
首先，我们从摆线运动概念的基础出发，摆线运动指的是物体沿着一定的固定轨迹移动的运动，即使位移是恒定的也可以被称为摆线运动，它的特点是可以用来描述许多科学领域的现象。
摆线运动的非常重要的特性就是可以被分解为直线和曲线运动，例如利用摩擦力的抛物线和径向加速度/匀减速运动。
接下来，我们来具体讨论摆线运动中一般过程的时间和位移问题，时间与位移是摆线运动最重要的参数之一，而解决这类问题则需要从直线和曲线的运动特性出发，可以采用“运动分解”的方式分析摆线运动。
基于理论，可以把摆线运动拆分为若干次叠加的直线和曲线运动，每次运动都可以按照既定运动规律来进行分析，并获得其中的特定参数，如其时间及位移等。
一般来说，可以通过下面几种方法来分析摆线运动中一般过程的时间和位移问题：（1）第一种方法是采用积分技术，根据摆线运动的特性，计算出每次运动的速度/加速度或力的大小，然后根据这些数据积分出其时间及位移。
（2）第二种方法则采用矩阵运算，根据摆线运动的特性，建立相应的矩阵，对其中的向量进行运算，最终将运算结果最为摆线运动的时间及位移信息。
（3）第三种方法是基于方程的求解，通过根据运动特性构建解析方程，并采用函数求解技术求解，从而获得时间及位移数据。
最后，需要指出的是，分析摆线运动中一般过程的时间和位移问题实际上也并非易事，它需要结合积分、矩阵运算以及函数求解等方法，将这些手段融汇贯通起来，才能分析出摆线运动中一般过程的时间和位移问题。
绘制各种摆线
绘制各种摆线（平、外、内摆线）数一班曾为云2009120131 靳婷2009120346一. 平摆线的制作1.在编辑-参数选择中设置角度参数为弧度2.构造线段AB,CD，在CD上构造一点P.3.度量AB的距离，将P点按标记距离平移(角度为π/2)得到点O，以O为圆心P为圆上一点作圆。
4.度量CP距离，计算-CP/AB*1弧度，将标签改为角度，以O为圆心，将点P按标记角度旋转得点Q。
5，然后选中点P、Q，构造轨迹，即为平摆线。
6.改变AB可以改变滚圆的半径，拖动点D可以不同拱数的平摆线7.隐藏轨迹，选择点P,编辑-操作类按钮-动画得动画点按钮，选择点Q选择显示-追踪点。
动态绘制平摆线8，如果将点P以点O为中心按不同比例缩放，以2缩放可以得长幅摆线9（蓝色），以1/2缩放可得短幅摆线（红色）二，外摆线的制作1.新建参数R，r初始值为3、1.【数据-新建参数】单位为厘米。
2.任意选一点O,以O为圆心，R为半径作圆（选择点O，参数R-构造-以圆心半径作圆，）再在圆上构造A、B 两点3.计算R+r以O为圆心半径和为半径做同心圆，过OB做直线，经过大圆与直线构造交点P，以P为圆心，B为圆上点构造圆，隐藏不必要的4.选择AB和圆构造圆弧并且度量弧度角5.计算AB弧度角*R/r，将点B以P为中心，以弧度角*R/r为标记角度旋转，得到点C6.选择C、B构造轨迹，得到外摆线7.改变R可以得到不同拱数的外摆线8.在PC上取一点构造轨迹可得短幅线、在PC延长线上取一点可得长幅线、【蓝线】通过在射线PC上取一点C1，划动C1既可以变化长短摆线)三．内摆线的制作1改变r值当r为负值时且|r|＜R时为内摆线。
选中r，【按减号键】2.改变R和r以及C1的位置可以得到不同的内摆线3.当2|r|=R时摆线为直线。
摆线的参数方程
摆线的参数方程引言摆线（Epicycloid）是一种经典的数学曲线，它的运动规律是一个圆绕着另一个圆外部滚动时所产生的轨迹。
摆线曲线的特点是在某些特定参数下，曲线呈现出美丽的对称性和精确的几何形状。
本文将介绍摆线的参数方程及其几何性质，以及一些应用和实际意义。
摆线的参数方程摆线的参数方程可以由两个圆的半径和位置关系推导得出。
设外圆的半径为R，内圆的半径为R，两个圆的初始位置相交于一点，并且外圆开始滚动。
假设外圆上的一点（也就是摆线曲线上的一点）位于初始位置的角度为R，则这个点的坐标可以表示为：R = (R + R) * cos(R) - R * cos((R + R) / R * R)R = (R + R) * sin(R) - R * sin((R + R) / R * R)几何性质摆线是一条连续光滑的闭合曲线，具有以下几何性质：1.对称性：摆线相对于内圆和外圆均具有对称性。
即使指定的初始角度不同，摆线的几何形状也不会改变。
2.周期性：在特定的参数条件下，摆线曲线的长度是有限的，因此摆线是一条有限长的曲线。
3.尖点性：摆线曲线上存在尖点（cusp）的现象，也就是曲线上的某些点的切线与曲线相切。
4.高阶曲率：在摆线的一些特定位置，曲线的曲率会达到最大值。
这些位置对应于内圆上的极点和外圆上的距离等于外圆半径的角度。
应用和实际意义摆线曲线在很多领域都有应用和实际意义，以下是一些例子：1.工程学：摆线是一种优美和精确的几何曲线，在建筑和机械设计中常用于装饰和美化。
2.时钟设计：摆线是钟表指针的运动轨迹，它能够实现精准的时间测量。
3.动力学：摆线曲线的运动规律和参数方程可以用于研究物体在旋转运动中的轨迹和加速度。
4.计算机图形学：摆线曲线的绘制和表示是图形学领域中的经典问题，用于生成复杂和精细的图形效果。
5.数学教育：摆线作为一种经典的数学曲线，常常用于教学和学术研究，能够帮助学生理解参数方程和曲线的几何性质。
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任务实施
1.关节运动指令J的操作
步骤十： 光标移至第一行，按SHIFT+FWD键。屏幕提示选 择“是”，按“SHIFT”+”FWD”键。机器人开 始运行。 温馨提示：在测试程序前，确认速度的倍率已降为 10％
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任务实施
视频：摆线轨迹的编程与操作
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主题讨论
讨论问题
学习重点
知道关节运动指令J的操作
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知识准备
一、常用运动指令及其参数介绍
位置数据有“P一般位置”和“PR位置寄存器” 两种类型； 速度单位随运动类型能改变，可以改变机器 人运行速度； 终止类型有“FINE”和 “CNT(CNT0=FINE)” 两种类型。
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知识准备
一、常用运动指令及其参数介绍
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任务实施
1.关节运动指令J的操作
步骤六： 按”F1”指令，选择“负载”，插入负载PAYLOAD[2]。 步骤七： 按”NEXT”键，继续按”F1”点键，插入运动指令J。 步骤八： 光标移至速度100，输入数字20，光标移至FINE，按F4选 择键，选择”CNT”,输入数字50。 步骤九： 继续添加指令J,光标移至P2点，按”F5”位置键，继续按 “F5“形式键，选择“关节”，按”enter”键确认。改 变参数如图所示。
步骤一： 在示教器中创建程序，按SELECT键，F2创建。 步骤二： 输入程序名“SQUARE1”。按”ENTER“确认。 步骤三： 将坐标系切换成世界坐标系，按”SHIFT+COORD“键， 将TOOL编号改为2， USER编号更改为0。
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任务实施
1.关节运动指令J的操作
步骤四： 按“NEXT”键进入下一页，按“F1”指令，光标选择 “偏移/坐标系”，点击“ENTER”, 选择“UFRAME_NUM”，选择输入常数，输入0，调用 默认用户坐标系。 步骤五： 用相同办法，调用工具坐标系为“UTOOL_NUM=2”,即 之前创建的工具坐标系。
知识准备
三、机器人初始姿态
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一般在机器人正式运动前，我们会设置一个相对的安全位置点。这个姿态可以是用户想要的， 也可以满足以下参数设置：
位置参数 轴1 ： 0 ° 轴2 ： 0 ° 轴3 ： 0 ° 轴4 ： 0 ° 轴5 ： - 9 0 ° 轴6 ： - 1 8 0 °
任务实施
1.关节运动指令J的操作
工业机器人技术
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任务一
项目八 程序的建立及基本运动指令的使用
摆线轨迹的编程与操作
导入
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机器人编程如何实现机器人运动呢？
目录
学习目标
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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知识准备
任务实施
主题讨论
学习目标
Car 情报局
学习目标
知识目标
1 知道FANUC工业机器人初始姿态的知识 2 知道关节运动指令的操作
常用的运动指令：
指令类型 关节运动J 直线运动L 圆弧运动C
特点 工具在两个指定的点之间以任意弧线运动 工具在两个指定的点之间沿直线运动 工具在三个指定的点之间沿圆弧运动
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知识准备
二、运动指令J
Car 情报局
关节运动指令是在对路径精度要求不高的情况下，机器人的工具中心点TCP从一个位置移动到 另一个位置，两个位置之间的路径不一定是直线。
程序指令J适合用在哪些场合呢？
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小结
➢我们要知道FANUC机器人机器人程序指令J指令的格式 和参数等知识等知识，使我们更了解FANUC机器人操作的 相关知识。 ➢学会了FANUC机器人摆线轨迹程序的建立后，为我们接 下来机器人的直线轨迹编程操作奠定了基础。
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谢谢观看