【精品】第八章单方程回归模型的几个专题
第八章相关与回归分析Correlation and Regression Analysis
n xt yt xt yt
83142 73 321
2 2 [8713 (73) ][8 14111 (321) ]
50
40
30
0.886
20
10
0 0 2 4 6 8 10 12 14
树干的直径, x
r = 0.886 → 表明 x 和 y 具有高度线 性相关关系。
Chap 08-12
2
假定3：误差项之间不存在序列相关关系，其协方差为零； 假定4：自变量是给定的变量，与随机误差项线性无关；
假定5：随机误差项服从正态分布；
Chap 08-22
最小二乘估计
在根据样本数据确定样本回归方程时，总是希望 y 的 估计值 尽可能地接近其实际观测值，即残差 et 的总 量越小越好。由于 et 有正有负，简单的代数和会相互 抵消，因此为了数学上便于处理，我们采用残差平方 和作为衡量总偏差的尺度。 所谓最小二乘法，就是根据这一思路，通过使残差平 方和最小来估计回归系数的方法。
Excel 输出结果
Excel 相关分析的输出结果 工具 / 数据分析 / 相关系数
树的高度 树的高度 树干的直径 1 0.886231 树干的直径 1
树的高度与树干的直径 的相关系数
Chap 08-13
相关系数的特点
r的取值在-1与1之间； 当ｒ＝０时，Ｘ与Ｙ的样本观测值之间没有线性关系； 在大多数情况下，０＜｜ｒ｜＜１，即Ｘ与Ｙ的样本 观测值之间存在着一定的线性关系，当ｒ＞０时，Ｘ 与Ｙ为正相关，当ｒ＜０时，Ｘ与Ｙ为负相关。 如果｜ｒ｜＝１，则表明Ｘ与Ｙ完全线性相关，当ｒ ＝１时，称为完全正相关，而ｒ＝－１时，称为完全 负相关。 ｒ是对变量之间线性相关关系的度量。ｒ＝０只是表 明两个变量之间不存在线性关系，但它并不意味着Ｘ 与Ｙ之间不存在其他类型的关系。
第八章 单室模型-3血管外给药
-katmax 再将e 再将
= 药时曲线方程得： 药时曲线方程得：
-ktmax k/kae
代入
残数法 （K/Ka） K/Ka）
药动学中将一曲线分段分解成若干指数函数 Feathering / peeling / stripping 应用： 应用：血药浓度曲线由多指数函数表达
K/ Ka估算 （残数法） 残数法）
Wagner-Nelson法（W-N） 法 ）
又称待吸收百分数法 一室模型法 又称待吸收百分数法；一室模型法 待吸收百分数 是求算Ka的经典方法 是求算 的经典方法
注
意
点
若以(Xa)t/(Xa)∞ 对释放百分数作图 ， 可得出 对释放百分数作图， ① 若以 体外释放百分数和体内吸收百分数之间关系。 体外释放百分数和体内吸收百分数之间关系 。 ② 若 [1- (Xa)t/(Xa)∞]对 t作图为一直线 ， 属于零 作图为一直线， 对 作图为一直线 级吸收；即本法可用于一些零级吸收过程。 级吸收；即本法可用于一些零级吸收过程。 本法只适用于单室模型， ③ 本法只适用于单室模型，对于双室模型要用 L-N（Loo-Riegelman）法 Loo-Riegelman）
滞后时间： 滞后时间：
A:图解法 图解法
B 参数计算法： 参数计算法：
C = Ae-kt – Ae-ka t 尾段直线 lnC = – Kt +lnC0 残数线 ln (C0e-kt – C) = – Kat+ lnA 在两直线的交点处： 在两直线的交点处： lnC = ln (C0e-kt – C) 则： lnC0 - Kt = lnA – Kat 所以： 所以：t = (lnA-lnC0) / (Ka-K)
备注： 备注： 1. 第一段和第二段曲线 ，血药 浓度由k 共同支配， 浓度由 a 和 k共同支配 ， 呈双指数 共同支配 下降。 下降。 2. 第三段为消除相，血药浓度只受 第三段为消除相， k支配，呈单指数下降。 支配，呈单指数下降。 3. V吸 和V除 是指吸收速度和消除 速度， 速度，等于浓度和速率常数的乘积 （V吸= kaXa、V除= kX）；而ka和k ） 是恒定不变的。 是恒定不变的。
单方程回归模型的几个专题
.单方程回归模型的几个专题一、名词解释1、虚拟变量2、模型设定误差3、工具变量4、工具变量法5、变参数模型；6、分段线性回归模型7、虚拟变量模型答案：1、把质的因素量化而构造的取值为0和1的人工变量。
2、在设定模时如果模型中解释变量的构成、模型函数的形式以及有关随机误差项的若干假定等内容的设定与客观实际不一致，利用计量经济学模型来描述经济现象而产生的误差。
3、是指与模型中的随机解释变量高度相关，与随机误差项不相关的变量。
4、用工具变量替代模型中与随机误差项相关的随机解释变量的方法。
5、由于引进虚拟变量，回归模型的截距或斜率随样本观测值的改变而系统地改变7、二、简答题1、模型中引入虚拟变量的作用是什么？答案：（1）可以描述和测量定性因素的影响；（2）能够正确反映经济变量之间的关系，提高模型的精度；（3）便于处理异常数据。
2、虚拟变量引入的原则是什么？答案：（1）如果一个定性因素有m方面的特征，则在模型中引入m-1个虚拟变量；（2）如果模型中有m个定性因素，而每个定性因素只有两方面的属性或特征，则在模型中引入m个虚拟变量；如果定性因素有两个及以上个属性，则参照“一个因素多个属性”的设置虚拟变量。
（3）虚拟变量取值应从分析问题的目的出发予以界定；（4）虚拟变量在单一方程中可以作为解释变量也可以作为被解释变量。
3、虚拟变量引入的方式及每种方式的作用是什么？答案：（1）加法方式：其作用是改变了模型的截距水平；（2）乘法方式：其作用在于两个模型间的比较、因素间的交互影响分析和提高模型的描述精度；（3）一般方式：即影响模型的截距有影响模型的斜率。
4、判断计量经济模型优劣的基本原则是什么？答案：（1）模型应力求简单；（2）模型具有可识别性；（3）模型具有较高的拟合优度；（4）模型应与理论相一致；（5）模型具有较好的超样本功能。
5、模型设定误差的类型有那些？答案：（1）模型中添加了无关的解释变量；（2）模型中遗漏了重要的解释变量；（3）模型使用了不恰当的形式。
【STATA精品教程】第八章-经典假设下的横截面数据单方程线性回归模型的Stata实现
本章结束，谢谢观看！
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本章介绍横截面数据、单方程、经典条件下 的线性回归分析的stata实现，对于其他回归
分析的实现方法在下面的章节中将会为大家 介绍
Stata的回归分析——regress、predict、test 命令
• Stata提供了范围异常广泛的回归程序。本章我们 介绍用于回归分析最基本的三个Stata命令—— regress、predict、test命令。regress、predict、 test是一组命令，它们完成各种简单和多元的普 通最小二乘法回归。regress命令用于完成因变量 对自变量的回归，其后续命令predict可以计算预 测值、残差，另一后续命令test检验用户指定的 假设。由于这组命令的连贯性，我们选用同一个 例子来说明它们的使用方法。
ห้องสมุดไป่ตู้现示例
• 问题：女性教育的回报 • 我们要研究的是对于女性而言，其受教育的年数 是否对其工资有影响。在考虑这个问题时，我们 控制了年龄、经验、女性小于6岁孩子的数量、6 到18岁的孩子这些变量对工资的影响 。
数据集
• mroz.dta是一个用来做劳动经济学研究的标准横截面数据集，它 收集了美国1975年有关女性工作的各种数据。mroz.dta这个数据 集中共有753条观测记录，代表753个女性，每条观测记录包括22 个变量。
• 目标 • 1.展示如何用regress命令估计
的w参ag数e 。其0 中1edu即c 为2女ag性e 的3教ex育p e回r 报4kidslt6 5kidsge6 u 2.展示如何用regr1 ess命令的后续命令predict来给出因变量
计量经济学 单方程回归模型的几个专题
图7.1.1表明，在相同的收入水平情况下，有适龄子女家庭的教育费用平均要 比无适龄子女家庭的教育费用多支a出个单位。
图7.1.1 虚拟变量对截距的影响
(2)乘法类型
在所设定的计量经济模型中，将虚拟解释变量与其他解释变量相乘 作为新的解释变量出现在模型中，以达到其调整设定模型斜率系数的 目的。 乘法形式引入虚拟解释变量的主要作用在于：①两个回归模型之 间的比较；②因素之间的交互影响分析；③提高模型对现实经济现象
反之则认为是稳定的。
模型结构的稳定性检验主要有两个用途：一是分析模型结构对样本变化 的敏感性，如多重共线性检验；二是比较两个 (或多个)回归模型之间的差异 情况，即分析模型结构是否发生了显著变化。 利用一些特定的统计检验 ( 如邹氏检验法，是美国计量经济学家邹至庄 教授于1960年提出的一种检验两个或两个以上计量经济模型间是否存在差异 的统计方法)，可以检验模型结构的稳定性问题，使用虚拟变量也可以得到相 同的检验结果。 设根据同一总体两个样本估计的回归模型分别为
三种类型：大专以下、本科、研究生（一个定性因素，三个不同属性）。为
了反映“学历”这个定性因素的影响，应该设置两个虚拟变量：
(2)多个因素各两种属性
如果有m个定性因素，且每个因素各有两个不同的属性类型，则引入m个虚
拟变量。 例 7.1.3 研究居民住房消费函数时，考虑到城乡差异以及不同收入层次 的影响，将消费函数设定为
表7.1.8 收入 等级 困难户 最低收入户
低收入户 中等偏下户 中等收入户 中等偏上户 高收入户 最高收入户
我国城镇居民人均消费支出和可支配收入统计资料 1998年 1999年
消费支出Y 2214.47 2397.60
表7.1.1 家庭年储蓄额y与收入额x数据
MBA管理统计学(中科大万红燕)第八章回归分析和相关分析
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销售额
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第二节 相关分析
例1解:
xi = 2139, ∑ yi = 11966, ∑ xi2 = 179291 ∑ yi2 = 6947974, ∑ xi y i = 1055391, n = 30 ∑ r= n∑ xi yi ∑ xi ∑ yi (∑ xi ) 2 n∑ yi2 (∑ yi ) 2
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第一节 相关与回归分析的基本概念
三.相关分析与回归分析
相关分析和回归分析是研究现象之间相关关系 的两种基本方法. 相关分析:研究两个或两个以上随机变量之间 相关关系密切程度和相关方向的统计分析方法. 回归分析:研究某一随机变量(因变量)与其 他一个或几个变量(自变量)之间数量变动关 系形式的统计分析方法.
一.一元线性回归模型的建立 设因变量y(通常是随机变量)和一个自变量 (非随机变量)X之间有某种相关关系.在x的 不全相同的取值点x1,x2,…,xn作为独立观 察得到y的个观察值y1,y2,… ,yn记为( x1, y1 )( x2 , y2 ), … ,(xn , yn ). 根据这组数据寻求X与Y之间关系. 设一元线性回归模型为:yi=a+bxi+ ei
r=0.955248
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第二节 相关分析
25000 税收收入(亿元 亿元) 20000 15000 10000 5000 0
0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000
GDP(亿元)
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第二节 相关分析
二.有序数据的相关系数(等级相关系数)
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第八章 相关分析与回归分析习题答案
第八章 相关分析与回归分析习题参考答案一、名词解释函数关系：函数关系亦称确定性关系，是指变量（现象）之间存在的严格确定的依存关系。
在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，必定有另一个且只有一个变量有确定的值与之对应。
相关关系：是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。
在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，可以有另一变量的若干数值与之相对应。
这种关系不能用完全确定的函数来表示。
相关分析：相关分析主要是研究两个或者两个以上随机变量之间相互依存关系的方向和密切程度的方法，直线相关用相关系数表示，曲线相关用相关指数表示，多元相关用复相关系数表示。
回归分析：回归分析是研究某一随机变量关于另一个（或多个）非随机变量之间数量关系变动趋势的方法。
其目的在于根据已知非随机变量来估计和预测随机变量的总体均值。
单相关：单相关是指仅涉及两个变量的相关关系。
复相关：复相关是指一个变量对两个或者两个以上其他变量的相关关系。
正相关：正相关是指两个变量的变化方向是一致的，当一个变量的值增加（或减少）时，另一变量的值也随之增加（或减少）。
负相关：负相关是指两个变量的变化方向相反，即当一个变量的值增加（或减少）时，另一个变量的值会随之减少（或增加）。
线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈一条直线，则称为线性相关。
非线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈现出某种曲线形式，则为非线性相关。
相关系数：相关系数是衡量变量之间线性相关密切程度及相关方向的统计分析指标。
取值在-1到1之间。
两个变量之间的简单样本相关系数的计算公式为：()()niix x y y r --∑二、单项选择1.B;2.D;3.D;4.C;5.A;6.D 。
三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”） 1.×; 2.×; 3.√; 4.×; 5.×; 6.×; 7.×; 8.√. 四、简答题1、什么是相关关系？相关关系与函数关系有什么区别？答：相关关系，是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。
2023新教材高中数学第8章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用课件新人教A版选择性必修
(4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数． (5)得出结果后需进行线性回归分析． ①残差平方和越小，模型的拟合效果越好． ②决定系数R2取值越大，说明模型的拟合效果越好． 需要注意的是：若题中给出了检验回归方程是否理想的条件， 则根据题意进行分析检验即可．
[跟进训练]
2．某项研究发现某地的PM10浓度与车流量之间有线性相关关
n
xi－－x yi－－y
i＝1
附：经验回归方程y^＝b^ x＋a^中的系数b^＝
，a^
n
xi－－x 2
i＝1
＝－y －b^－x ．
A．4千元 C．8.2千元
B．5千元 D．8.3千元
C
[由题意，
－x
＝
2＋4＋5＋6＋8 5
＝5，
－y
＝
3＋4.5＋6.5＋7.5＋9 5
＝6.1，
因为经验回归直线经过样本点中心，所以6.1＝1.05×5＋ a^ ，解得a^
A．模型1的决定系数R2为0.98 B．模型2的决定系数R2为0.80 C．模型3的决定系数R2为0.50 D．模型4的决定系数R2为0.25
A [R2越大拟合效果越好．]
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 类型2 类型3
类型1 求经验回归方程
【例1】 随着网络的普及，网上购物的方式已经受到越来越多
星期日
20.3
29.4
(1)在如图所示的坐标系中作出表中数据的散点图；
[解] 如图所示．
(2)根据表中的统计数据，求出经验回归方程 y^ ＝ b^ x＋ a^ (精确到 0.01)；
7
xi－－x yi－－y
i＝1
[解] b^＝
7 x2i －7－x 2
第八章统计回归模型
第八章--统计回归模型第八章 统计回归模型回归分析是研究一个变量Y 与其它若干变量X 之间相关关系的一种数学工具.它是在一组试验或观测数据的基础上，寻找被随机性掩盖了的变量之间的依存关系.粗略的讲，可以理解为用一种确定的函数关系去近似代替比较复杂的相关关系.这个函数称为回归函数.回归分析所研究的主要问题是如何利用变量X 、Y 的观察值(样本)，对回归函数进行统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等.回归分析包含的内容广泛.此处将讨论多项式回归、多元线性回归、非线性回归以及逐步回归.一、多项式回归(1) 一元多项式回归一元多项式回归模型的一般形式为εβββ++++=m m x x y ...10.如果从数据的散点图上发现y 与x 呈现较明显的二次(或高次)函数关系，则可以选用一元多项式回归.1. 用函数polyfit 估计模型参数，其具体调用格式如下：p=polyfit(x,y,m) p 返回多项式系数的估计值；m 设定多项式的最高次数；x ，y 为对应数据点值.[p,S]=polyfit(x,y,m) S是一个矩阵，用来估计预测误差.2. 输出预估值与残差的计算用函数polyval实现，其具体调用格式如下：Y=polyval(p,X) 求polyfit所得的回归多项式在X处的预测值Y.[Y,DELTA]=polyval(p,X,S) p，S为polyfit的输出，DELTA为误差估计.在线性回归模型中，Y±DELTA以50%的概率包含函数在X处的真值.3. 模型预测的置信区间用polyconf实现，其具体调用格式如下：[Y,DELTA]=polyconf(p,X,S,alpha) 求polyfit所得的回归多项式在X处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y±DELTA，alpha缺省时为0.05.4. 交互式画图工具polytool，其具体调用格式如下：polytool(x,y,m)；polytool(x,y,m,alpha)；用m次多项式拟合x，y的值，默认值为1，alpha 为显著性水平，默认值为0.05.例1 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s . t (s) 1/30 2/30 3/30 4/30 5/30 6/30 7/30 s(cm) 11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13t (s) 8/30 9/3010/30 11/30 12/30 13/30 14/30 s(cm) 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48解 根据数据的散点图，应拟合为一条二次曲线.选用二次模型，具体代码如下：%%%输入数据t=1/30:1/30:14/30;s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48];%%%多项式系数拟合[p,S]=polyfit(t,s,2);则得回归模型为：1329.98896.652946.489ˆ2++=t t s . %%%y 的拟合值及预测值y 的置信半径delta [y,dalta]=polyconf(p,t,S); 得结果如下：y=Columns 1 through 1111.8729 15.7002 20.6148 26.6168 33.7060 41.8826 51.1465 61.4978 72.9363 85.4622 99.0754Columns 12 through 14113.7759 129.5637 146.4389dalta=Columns 1 through 110.0937 0.0865 0.0829 0.0816 0.0817 0.0823 0.0827 0.0827 0.0823 0.0817 0.0816Columns 12 through 140.0829 0.0865 0.0937%%%交互式画图polytool(t,s,2);polytool所得的交互式图形如图8-1所示.图8-1(2) 多元二项式回归多元二项式回归模型的一般形式为εββββ∑≤≤+++++=m k j k j jk m m x x x x y ,1110....多元二项式回归命令：rstool(x,y,’model’,alpha) x 表示n ⨯m 矩阵；y 表示n 维列向量；alpha 为显著性水平(缺省时为0.05)；model 表示由下列4个模型中选择1个(用字符串输入，缺省时为线性模型)：linear(线性)：mm x x y βββ+++= 110；purequadratic(纯二次)：∑=++++=nj jjj m m x x x y 12110ββββ ； interaction(交叉)：∑≤≠≤++++=m k j k j jk m m x x x x y 1110ββββ ； quadratic(完全二次)：∑≤≤++++=m k j k j jk m m x x x x y ,1110ββββ .例2 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下，建立回归模型，预测平均收入为1000、价格为6时的商品需求量. 需求量100 75 80 70 50 65 90 100 11060 收入 1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 30价格 5 7 6 6 8 7 5 4 3 9解 选择纯二次模型，即2222211122110x x x x y βββββ++++=. %%%输入数据 x1=[1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300];x2=[5 7 6 6 8 7 5 4 3 9];x=[x1' x2'];y=[100 75 80 70 50 65 90 100 110 60]';%%%多元二项式回归rstool(x,y,'purequadratic');得如下结果：图8-2得到一个如图所示的交互式画面，左边是x1（=1000）固定时的曲线y （x1）及其置信区间，右边是x2（=6）固定时的曲线y （x2）及其置信区间.用鼠标移动图中的十字线，或在图下方窗口内输入，可改变x1，x2.在左边图形下方的方框中输入1000，右边图形下方的方框中输入6，则画面左边的“Predicted Y1”下方的数据变为88.4791，即预测出平均收入为1000、价格为6时的商品需求量为88.4791.在画面左下方单击”Export ”，在出现的窗体中单击”ok ”按钮，则beta 、rmse 和residuals 都传送到Matlab 工作区中.在Matlab 工作区中输入命令：beta,rmse ，得结果： beta=110.5313 0.1464 -26.5709 -0.00011.8475rmse =4.5362故回归模型为：2221218475.10001.05709.261464.05313.110x x x x y +--+=，剩余标准差为4.5362，说明此回归模型的显著性较好.二、多元线性回归多元线性回归模型的一般形式为011...m m y x x βββε=++++. 在Matlab 统计工具箱中使用函数regress 实现多元线性回归.具体调用格式为：b=regress(Y,X) [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n Y Y Y Y ...21，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nm n n m m x x x x x x x x x X ...1..................1...1212222111211.对于一元线性回归，取1=m 即可.b 为输出向量；b ，bint 表示回归系数估计值和它们的置信区间；r 表示残差；rint 表示残差的置信区间；stats 表示用于检验回归模型的统计量，有四个数值：相关系数2R 、F 值、与F 值对应的概率P 、2s 的值.相关系数2R 越接近1，说明回归方程越显著；)1,(1-->-m n m F F α时拒绝0H ，F 越大，说明回归方程越显著；与F 对应的概率α<P 时拒绝0H ，回归模型成立；alpha表示显著性水平(缺省时为0.05).残差及其置信区间可以用命令rcoplot(r,rint)画出. 例3 已知某湖泊八年来湖水中COD 浓度实测值(y )与影响因素，如湖区工业产值(x 1)、总人口数(x 2)、捕鱼量(x 3)、降水量(x 4)的资料，建立y 的水质分析模型.湖水浓度与影响因素数据表 x 11.376 1.375 1.387 1.401 1.412 1.428 1.445 1.477 x 20.450 0.475 0.485 0.500 0.535 0.545 0.550 0.575 x 32.170 2.554 2.676 2.713 2.8233.088 3.122 3.262x40.89221.1610.53460.95891.02391.04991.10651.1387y 5.19 5.30 5.60 5.82 6.00 6.06 6.45 6.95 解作出因变量y与各自变量的样本散点图作散点图的目的主要是观察因变量y与各自变量间是否有比较好的线性关系，以便选择恰当的数学模型形式.图8-3、图8-4、图8-5、图8-6分别为y与x1、x2、x3、x4的散点图.从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边，因此有较好的线性关系，可以采用线性回归.图8-3 y与x1的散点图图8-4 y与x2的散点图图8-5 y与x3的散点图图8-6 y与x4的散点图在Matlab中实现回归的具体代码如下：%%%输入数据x1=[1.376 1.375 1.387 1.401 1.412 1.428 1.445 1.477];x2=[0.450 0.475 0.485 0.500 0.535 0.545 0.550 0.575];x3=[2.170 2.554 2.676 2.713 2.823 3.088 3.122 3.262];x4=[0.8922 1.1610 0.5346 0.9589 1.0239 1.04991.1065 1.1387];x=[ones(8,1) x1' x2' x3' x4'];y=[5.19 5.30 5.60 5.82 6.00 6.06 6.45 6.95];%%%多元线性回归[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x);得如下结果：b =-13.984913.19202.42280.0754-0.1897bint =-26.0019 -1.96791.4130 24.9711-14.2808 19.1264-1.4859 1.6366-0.9638 0.5844r =-0.06180.02280.01230.0890 0.0431 -0.1473 0.0145 0.0274 rint =-0.1130 -0.0107 -0.1641 0.2098 -0.1051 0.1297 -0.2542 0.4321 -0.0292 0.1153 -0.2860 -0.0085 -0.3478 0.3769 -0.1938 0.2486 stats =0.9846 47.9654 0.0047 0.0123 故回归模型为：43211897.00754.04228.21920.139849.13x x x x y -+++-=，此外，由stats 的值可知9846.02=R，9654.47=F ，0047.0=P 。
计量经济学(内蒙古大学) 第八章 经典单方程计量经济学模型：专门问题(滞后变量模型)
第四章: 经典单方程计量经济学模型： 专门问题(滞后变量模型)
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在许多情况下被解释变量Y 不仅受到同期的解
释变量Xt 的影响，而且和X的滞后值Xt-1， Xt-2 ，
…,有很强的相关性 。
例如，人们的储蓄和当期的收入以及过去几期的收 入有着很强的相关性；固定资产的形成不仅取决 于现期投资额而且还取决于前几个时期的投资额 的影响等。这样的社会现象还有很多，有经济方 面的，也有其它领域的，对这些问题进行讨论就
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一、分布滞后模型的概念及相关问题
于是，由该例可以得到以下消费函数关系式
Yt 常量 0.4 X t 0.3X t 1 0.2 X t 2 ut
式中， Y=消费支出，X=收入。该方程就 是一个分布滞后模型，它表示收入对消费的 影响分布于不同时期。
在经济活动中，某一个经济变量的影响不仅 取决于同期各种因素，而且也取决于过去时期的各 种因素，有时还受自身过去值的影响。例如，居民 现期消费水平，不仅受本期居民收入影响，同时受 到前几个时期居民收入的影响。
把这些过去时期的变量，称作滞后变量， 把那些包括滞后变量作为解释变量的模型称作 滞后解释变量模型。
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一、分布滞后模型的概念及相关问题
什么是分布滞后模型？ 例如：消费者每年收入增加10000元，假如,该
消费者把各年增加的收入按照以下方式分配：当年
增加消费支出4000元，第二年再增加消费支出3000
元，第三年再增加消费支出2000元，剩下的1000元 作为储蓄。第三年的消费支出不仅取决于当年的收 入，还与第一年和第二年的收入有关。当然，还可 以和前面更多期有关。
人教A版高中数学选择性必修第三册精品课件 第8章 成对数据的统计分析 一元线性回归模型及其应用
请问如何表示年推销金额y与工作年限x之间的相关关系?
提示:画出散点图,由图可知,样本点散布在一条直线附近,因此可用回归直
线表示变量之间的相关关系.
2.(1)用 x 表示父亲的身高,Y 表示儿子的身高,e 表示随机误差.假定随机误差
e 的均值为 0,方差为与父亲身高无关的定值 σ2,则它们之间的关系可以表示
n
∑
(2) 决定系数 R2 的计算公式为 R2=1-i=1
^ 2
( - )
2
2
.在
R
表达式中,
∑
(y
i-) 与经
2
∑ ( -)
=1
验回归方程无关,残差平方和 ∑
=1
=1
^ 2
(yi- ) 与经验回归方程有关.因此
R2 越大,表
示残差平方和 越小 ,即模型的拟合效果 越好 ;R2 越小,表示残差平方和越大,
即模型的拟合效果 越差 .
3.在两个变量y与x的回归模型中,分别选择了4个不同的模型,它们的决定
系数R2如下,其中拟合效果最好的模型是(
)
模型
模型1
模型2
模型3
模型4
R2
0.98
0.80
0.50
0.25
A.模型1
答案:A
B.模型2
C.模型3 D.模型4
合作探究 释疑解惑
探究一
经验回归方程
【例1】 随着智能手机的普及,使用手机上网成为人们日常生活的一部分,
^ ^
最小二乘法,求得的, 叫做 b,a 的 最小二乘估计 .
3.(1)在一次试验中,测得(x,y)的四组值分别是(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),则y关于x
7.单方程回归模型的几个专题
Y ( 1 2 D) ( 3 4 D) X u 即：Y 1 2 D 3 X 4 ( DX ) u
0 其中，D={ 1 战时 平时
此式等价于下列两个单独的回归式：
战时：Y 1 3 X u 平时：Y ( 1 2 ) （ 3 4）X u
log Y 2.82 0.64 log X 0.48 log P (0.42) (0.03) (0.12)
R 2 0.99
回归结果表明，需求的收入弹性是0.64,需求的价格弹 性是0.48，这两个系数都显著异于0。
例2．柯布-道格拉斯生产函数 生产函数是一个生产过程中的投入及其产出之间的一 种关系。著名的柯布-道格拉斯生产函数（C-D函数）为
非线性回归方法的步骤
1． 首先给出各参数的初始估计值（合理猜测值）; 2． 用这些参数值和X观测值数据计算Y的各期预测值 ˆ ; （拟合值） Y 3．计算各期残差，然后计算残差平方和∑e2; 4．对一个或多个参数的估计值作微小变动； ˆ Y ˆ 、残差平方和∑e2； 5．计算新的Y预测值 Y 6．若新的∑e2小于老的∑e2，说明新参数估计值优于 老估计值，则以它们作为新起点； 7．重复步骤4，5，6，直至无法减小∑e2为止。 8．最后的参数估计值即为最小二乘估计值。
r=2 r
Yt=β 1+β 2Xt + ut
ˆ , ˆ 将OLS法应用于此模型，可求得β 1和β 2的估计值 1 2
从而可通过下列两式求出a和b估计值：
ˆ ˆ) log( a 1 ˆ ˆ b
2
应当指出，在这种情况下，线性模型估计量的性质（如
ˆ 和 ˆ ，而 BLUE,正态性等）只适用于变换后的参数估计量 1 2
第八章 单方程回归模型的相关专题
(8-6)
此时产生的后果如下： （1）过度拟合模型（8-6）的OLS估计量是 无偏的（也是一致的）。即:
E ( 0 ) 0 , E ( 1 ) 1
和 E ( 2 ) 0
（2）标准的置信区间和假设检验仍然是有效 的。 （3）从回归方程（8-6）中估计的α却不是最 优的。
第四，模型(8-13)或其等价方程(8-14)都假定每 单位解释变量变化所带来的概率的变化率是一 个常数，并由斜率值直接给出。 表示家庭收入每增加一个单位，拥有住房 所有权的概率就会增加个单位，而并未考虑家 庭收入的水平，这是与实际相背离的。 考虑到“收益递减”规律，在不同家庭收 入水平条件下，每增加一个单位的家庭收入， 促使拥有住房所有权增加的概率值是不尽相同 的。
3、不正确的函数形式 用进口支出函数（8-1）来说明 如果使用如下形式的进口支出函数：
ln Yi 0 1 ln X 1 i 2 ln X 2 i v i
（8-7）
边际与弹性是不一样的
4、测量误差 如果研究者在使用中没能运用真正 的Yi 和Xi ，而是采用了含有测量误差的 替代变量Y*i和Xi*，使模型变为：
第八章
单方程回归模型的相关专题
本章我们将介绍在实际研究当中非常 有用的几个专题。这些专题是： 模型选择：标准和检验 虚拟因变量模型 自回归模型与分布滞后模型
§8.1 模型选择：标准和检验 一、“好的”模型具有的特性 第一，具有节省性（parsimony） 第二，具有可识别性 第三，具有较高的拟合优度 第四，具有理论一致性 第五，具有较强的预测能力
Yi 0 1 X i u i
Yi——住房所有权状况， 拥有住房所有权取值为l，反之则取为0 Xi家庭收入
第八章 单方程回归模型的几个专题
第八章 单方程回归模型的几个专题8.1虚拟变量（dummy variable ）8.1.1 概念与用作在实际建模过程中，被解释变量不但受定量变量影响，同时还受定性变量影响。
例如需要考虑性别、民族、不同历史时期、季节差异、企业所有制性质等因素的影响。
这些因素也应该包括在模型中。
为此人们采取了一种构造人工变量的方法，将这些定性变量进行量化，使其能与数值变量一样在回归模型中得以应用。
构造的规则是当某种属性存在时，人工变量取值为1；当某种属性不存在时时，取值为0。
在计量经济学中，我们把反映定性因素变化，取值为0或1的人工变量称为虚拟变量。
习惯上用D 表示。
如：引入虚拟变量的作用主要有三个：1）可以描述定性因素的影响；2）能够正确反映经济变量的相互关系，提高模型的精度；3）便于处理异常数据。
当样本资料中存在异常数据时，一般有三种处理方式。
一是直接剔除；二是平滑掉；三是设置虚拟变量。
8.1.2 虚拟变量的设置 1、设置规则1）一个因素多个属性：若定性因素有M 个不同的属性，或相互排斥的类型，在模型中则只能引入M-1个虚拟变量，否则会引起完全多重共线性。
2）多个因素多个属性：每个因素的引入方法均按上述原则。
2、引入方式：1）加法方式（截距移动） 设有模型，y t = β0 + β1 x t + β2D + u t ,其中y t ，x t 为定量变量；D 为定性变量。
当D = 0 或1时，上述模型可表达为，y t =⎩⎨⎧=+++=++1)(012010D u x D u x tt t t βββββ0204060204060X Y图8.1 测量截距不同D = 1或0表示某种特征的有无。
反映在数学上是截距不同的两个函数。
若β2显著不为零，说明截距不同；若β2为零，说明这种分类无显著性差异。
例：中国成年人体重y （kg ）与身高x （cm ）的回归关系如下：–105 + x D = 1 (男)y = - 100 + x - 5D =– 100 + x D = 0 (女)注意：① 若定性变量含有m 个类别，应引入m -1个虚拟变量，否则会导致多重共线性，称作虚拟变量陷阱（dummy variable trap ）。
第8章 单方程回归模型预测
f
~ N (0,1)
• 当 2未知时,用 2 • 其中有 • 所以:
2 s2 s (1 T 1 ) f 2 T ( X t X ) ˆ Y Y • 进而得到: t T 1 T 1 ~ t (T 2) sf ˆ t s Y Y ˆ t s • 置信区间为 Y T 1 0.05 f T 1 T 1 0.05 f
第8章 单方程回归模型预测
• 8.1 无条件预测 • 8.2 误差项序列相关情形下的预测 • 8.3 有条件预测
8.1 无条件预测
• 无条件预测是解释变量在整个预测区间 上必须全部已知. • 8.1.1 预测误差 • 8.1.2 预测的评价
8.1.1 预测误差(1)
ˆ Y ˆT 1 Y • 预测误差的定义: T 1 T 1 • 预测误差的性质:1)期望值为0;2)预测误差的方差是最小 的. ˆ Y 2 Y N ~ ( 0 , ) • 由于预测误差服从 ,我们用标准化: T 1 T 1 ˆ ˆ • 预测区间为: YT 1 0.05 YT 1 YT 1 0.05 • 如果实际值落在95%的置信区间内,模型是符合要求的; 落在置信区间以外,则是模型需要修正的证据. • 关于作为评价模型可靠性的方法与古典的统计量不同: 有很显著的t统计量和可决系数的单方程回归模型,不能 很好的预测(预测区间内发生了结构变化).而回归参数 不显著的方程,可能有好的预测.
作业
ˆ ˆYT ˆ (1 ˆ ) ( X T 1 ˆX T ) Y T 1
• 例8.3 利率预测 • 例8.4 烟煤需求量预测
8.3 有条件预测
• 我们前面的讨论全部假设解释变量是已 知的.但在事前预测的情况下,有些解释变 量可能需要预测其未来值.那么,X值的随 机性质,使得当X值本身也需要预测时,预 测误差95%的置信区间的宽度回增大. • 一般情况下,很难获得一般预测误差的公 式.
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第八章单方程回归模型的几个专题8.1虚拟变量（dummyvariable）8。
1。
1概念与用作在实际建模过程中，被解释变量不但受定量变量影响,同时还受定性变量影响。
例如需要考虑性别、民族、不同历史时期、季节差异、企业所有制性质等因素的影响.这些因素也应该包括在模型中。
为此人们采取了一种构造人工变量的方法，将这些定性变量进行量化，使其能与数值变量一样在回归模型中得以应用.构造的规则是当某种属性存在时,人工变量取值为1;当某种属性不存在时时，取值为0。
在计量经济学中，我们把反映定性因素变化，取值为0或1的人工变量称为虚拟变量。
习惯上用D表示。
如：引入虚拟变量的作用主要有三个：1)可以描述定性因素的影响;2）能够正确反映经济变量的相互关系，提高模型的精度;3）便于处理异常数据。
当样本资料中存在异常数据时，一般有三种处理方式。
一是直接剔除；二是平滑掉;三是设置虚拟变量.8.1。
2虚拟变量的设置1、设置规则1）一个因素多个属性:若定性因素有M个不同的属性，或相互排斥的类型，在模型中则只能引入M-1个虚拟变量,否则会引起完全多重共线性。
2)多个因素多个属性：每个因素的引入方法均按上述原则。
2、引入方式：1）加法方式（截距移动）设有模型,y t=β0+β1x t+β2D+u t，其中y t，x t为定量变量；D为定性变量.当D=0或1时，上述模型可表达为，y t =⎩⎨⎧=+++=++1)(012010D u x D u x tt t t βββββ 0204060204060X Y图8。
1测量截距不同D =1或0表示某种特征的有无。
反映在数学上是截距不同的两个函数。
若β2显著不为零，说明截距不同；若β2为零，说明这种分类无显著性差异。
例：中国成年人体重y (kg)与身高x （cm)的回归关系如下：–105+xD =1（男)y =—100+x —5D = –100+xD =0(女）注意：①若定性变量含有m 个类别，应引入m -1个虚拟变量，否则会导致多重共线性,称作虚拟变量陷阱（dummyvariabletrap ）。
②关于定性变量中的哪个类别取0，哪个类别取1,是任意的，不影响检验结果. ③定性变量中取值为0所对应的类别称作基础类别（basecategory)。
④对于多于两个类别的定性变量可采用设一个虚拟变量而对不同类别采取赋值不同的方法处理。
如：1（大学） D =0（中学） -1(小学）。
例1:市场用煤销售量模型(file:Dummy1）我国市场用煤销量的季节性数据（1982-1988，《中国统计年鉴》1987，1989）见下图与表。
由于受取暖用煤的影响,每年第四季度的销售量大大高于其它季度。
鉴于是季节数据可设三个季节变量如下：1（4季度）1(3季度）1（2季度） D 1=D 2=D 3=0（1,2，3季度）0（1，2,4季度)0（1,3,4季度）β0β0+β2D =1 D =0250030003500400045005000550082838485868788Y250030003500400045005000550082838485868788Y2731.03+57.15*T全国按季节市场用煤销售量数据（file:Dummy1)数据来源:《中国统计年鉴》1989。
注:以季节数据D 1为例，EViews 命令是D1=＠seas （4）.以时间t 为解释变量（1982年1季度取t =1）的煤销售量（y ）模型如下:y =2431.20+49.00t +1388.09D 1+201.84D 2+85。
00D 3(1）（26。
04)(10.81）(13。
43)(1.96）(0.83)R 2=0.95，DW=1。
2,s 。
e 。
=191.7，F=100.4，T =28，t 0.05(28—5)=2。
07由于D 2，D 3的系数没有显著性，说明第2,3季度可以归并入基础类别第1季度。
于是只考虑加入一个虚拟变量D 1，把季节因素分为第四季度和第一、二、三季度两类。
从上式中剔除虚拟变量D 2，D 3,得煤销售量(y ）模型如下:y =2515。
86+49.73t +1290.91D 1（2）（32。
03(10。
63)(14。
79）R 2=0.94,DW=1.4，s 。
e 。
=198.7,F=184.9，T =28,t 0.05（25）=2.06进一步检验斜率是否有变化，在上式中加入变量tD 1，y =2509。
07+50.22t +1321.19D 1—1。
95tD 1(3）(28.24）（9.13）(6。
85)（—0.17)R 2=0.94,DW=1.4，s.e 。
=202。
8，F=118。
5,T =28,t 0.05(24)=2。
06由于回归系数—1.95所对应的t 值是-0。
17，可见斜率未发生变化。
因此以模型(2）作为最后确立的模型。
若不采用虚拟变量,得回归结果如下， y =2731。
03+57.15t (4）(11。
6）(4。
0）R 2=0。
38,DW=2。
5,s 。
e.=608.8，T =28，t 0。
05（26)=2.06与（2)式相比，回归式（4）显得很差.2、乘法方式（斜率变化)以上只考虑定性变量影响截距，未考虑影响斜率，即回归系数的变化。
当需要考虑时，可建立如下模型:y t =β0+β1x t +β2D +β3x t D +u t ，其中x t 为定量变量；D 为定性变量。
当D =0或1时，上述模型可表达为，y t =⎩⎨⎧=++++=++1)()(0312010D u x D u x tt tt ββββββ 通过检验β3是否为零,可判断模型斜率是否发生变化。
20406080100204060XY010203040506070204060T Y图8.5情形1（不同类别数据的截距和斜率不同)图8.6情形2(不同类别数据的截距和斜率不同）例2：用虚拟变量区别不同历史时期（file:dummy2）中国进出口贸易总额数据(1950-1984）见上表.试检验改革前后该时间序列的斜率是否发生变化。
定义虚拟变量D 如下0（1950—1977） D =1（1978—1984）中国进出口贸易总额数据(1950-1984）（单位:百亿元人民币)年trade time D timeD年trade time D timeD1950 0.415 1 0 0 1968 1。
085 19 0 01951 0.595 2 0 0 1969 1。
069 20 0 01952 0.646 3 0 0 1970 1.129 21 0 01953 0.809 4 0 0 1971 1。
209 22 0 01954 0。
847 5 0 0 1972 1.469 23 0 01955 1。
098 6 0 0 1973 2.205 24 0 01956 1。
087 7 0 0 1974 2.923 25 0 01957 1.045 8 0 0 1975 2。
904 26 0 01958 1.287 9 0 0 1976 2.641 27 0 01959 1。
493 10 0 0 1977 2.725 28 0 01960 1。
284 11 0 0 1978 3.550 29 1 291961 0。
908 12 0 0 1979 4。
546 30 1 301962 0。
809 13 0 0 1980 5.638 31 1 311963 0.857 14 0 0 1981 7.353 32 1 321964 0。
975 15 0 0 1982 7.713 33 1 331965 1.184 16 0 0 1983 8。
601 34 1 341966 1。
271 17 0 0 1984 12。
010 35 1 351967 1.122 18 0 0以时间time为解释变量,进出口贸易总额用trade表示，估计结果如下：trade=0.37+0。
066time—33。
96D+1.20timeD（1.86）（5。
53)(—10。
98）（12.42)0.37+0.066time(D=0，1950—1977）=-33.59+1.27time（D=1,1978—1984）上式说明，改革前后无论截距和斜率都发生了变化。
进出口贸易总额的年平均增长量扩大了18倍。
例3：香港季节GDP数据(单位：千亿港元)的拟合(虚拟变量应用,file：dummy6）1.01.52.02.53.03.54.090919293949596979899000102GDP1.01.52.02.53.03.54.090919293949596979899000102GDP1.6952+0.0377*T年由于遭受东南亚金融危机的影响，总量几乎没有增长(见上图)。
对这且含有季节性周期变化的过程简单地用一条直线去拟合显然D2、D3、D4和2002:4DT=0（1990:1~1997:4)得估计结果如下：GDP t =1.1573+0.0668t +0。
0775D 2+0。
2098D 3+0。
2349D 4+1.8338DT —0.0654DT t(50。
8)(64。
6)（3.7)(9.9）（11。
0）（19。
9)(-28。
0）R 2=0。
99,DW=0。
9,s.e.=0。
05，F=1198。
4,T =52,t 0.05（52—7)=2.01对于1990:1～1997：4 GDP t =1。
1573+0。
0668t +0。
0775D 2+0。
2098D 3+0。
2349D 4 对于1998:1～2002：4GDP t =2.9911+0.0014t +0.0775D 2+0。
2098D 3+0。
2349D 41第4季度0其它季度如果不采用虚拟变量拟合效果将很差。
GDP t =1。
6952+0.0377t（20。
6)(13。
9)R 2=0.80，DW=0。
3，T =52，t 0.05（52-2)=2.01 例：P262略8。
1.3虚拟变量的特殊应用 1、检验模型的稳定性设根据同一总体两个样本的估计回归模型分别为: 样本1：1t o t t y b b x u =++ 样本2：1t o t t y a a x u =++设置虚拟变量：合并样本，估计模型：00111()()t o t t t t y b a b D b x a b XD u =++++-+ 其中：t t tXD x D =⨯D=1样本2 0样本1，利用t检验判断两个虚拟变量系数的显著性，可以得到四种检验结果：1）两个系数均等于零，表明两个回归模型之间的没有显著差异。
2）第一个系数不等于零，第二个系数等于零，说明截距不同,称之为“平行回归”。
3）第一个系数等于零，第二个系数不等于零，说明斜率不同，称之为“汇合回归”。