离散型随机变量及其分布律
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就称上式为离散型随机变量 X 的分布律或概率分布．
1
10P1X 2
离散型随机变量 X 的分布律或概率分布也记为
X
x1
x2
xi
P
p1
p2
pi
或
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
，
其中 x1, x2 , , xi , 互不相同，且可能为有限个 x1, x2 , , xn ．
例
1.1
中， X
0, 1,
例 2.3 设随机变量 X ~ B(2, p), Y ~ B(3, p) ，若 P{X 1} 5 ， 9
求 P{Y 1}．
解 由于 P{X 0} 1 P{X 1} ，及 P{X 1} 5 知， 9
P{X
0} C20 p0 (1
p)2
(1
p)2
百度文库
4 9
，
所以 p 1 ，从而 3
P{Y 1} P{Y 0} P{Y 1}
P{X 3} 2 1 8 1 或 1 4 8 1 ，
10 9 8 45
5 45 45
1 2 3
即
X
~
4 5
8 45
1 45
．
4
续解 利用 F(x) PX x pi , x ，可求得 xi x
X 的分布函数为
0,
4
,
F
(
x)
5 4 5
8 45
,
x 1, 0,
由贝努里概率模型，在n 重贝努里试验中，记 X 表 示事件 A 发生的次数，则 X ~ B(n, p) ，其中 p P(A) ， 因此二项分布也称为贝努里分布．
设 X ~ B(n, p) ，当 n 1 时，可得 X 的分布律为 P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ，
故 0 1两点分布为二项分布中 n 1 时的特例．
【注 1】 Cnk pk (1 p)nk 0 ， k 0,1, 2, , n ，且
n
Cnk pk (1 p)nk [ p (1 p)]n 1 ，
k 0
故 P{X k} Cnk pk (1 p)nk 满足分布律的性质． 【注 2】又 Cnk pk (1 p)nk 为二项式[ p (1 p)]n 的展开式 中的各项，因此称 X 服从二项分布．
x
1 2 3x
例 2.2
已知随机变量
X
的分布律为 P{X
i}
k 2i
，
i 1, 2, ，试求常数 k ，以及 X 取奇数的概率．
1
解
由
i 1
P{X
i}
i 1
k 2i
k
2 1 1
k
，以及分布
2
律的性质可得 k 1．由上可知， X 的分布律为
P{X
i}
1 2i
，i
1, 2,
，
所以 X 取奇数的概率为
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念
定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就称 X 为离散型随机变量．
定 义 2.2 设 X 为 离 散型 随机 变量 ，其所 有可 能的 取值为 x1, x2 , , xi , ，且
P{X xi} pi ， i 1, 2, ．
C30
(1)0 3
(1
1)3 3
C31
(
1)1 3
(1
1)2 3
20 27
．
例 2.4 设某射手独立地向一目标射击 4 次，每次击中目标 的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大．
解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
则 pi (i 1, 2, ) 必能构成某离散型随机变量 X 的分布律．
结论 2.1 设 L 为任意实数集合，则 PX L pi ．
结论 2.2 X 的分布函数
xi L
F(x) PX x pi , x ．
3
xi x
例 2.1 设盒子中有8 个正品和2 个次品，现依次不放回地将其
生与不发生等许多现象都能够刻划成0 1 两点分布，本章例
1.1 中，随机变量 X ~ B(1, 1) ． 2
2．二项分布（贝努里（Bernulli）分布） 定义 2.4 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} Cnk pk (1 p)nk ， k 0,1, 2, , n ， 就称 X 服从二项分布，记为 X ~ B(n, p) ，其中n 为正整数， 0 p 1．
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点 {1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中，0 1两点分布有着广泛的应用．例如某
产品合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发
1
i 1
P{X
2i 1}
i 1
1 22i1
2 1 (1)2
2． 3
7
2
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布 1． 0 1两点分布
定义 2.3 如果随机变量 X 的分布律为 P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ， 0 p 1
即
X
0
1
P 1－ p p
就称 X 服从 0 1两点分布，记为 X ~ B(1, p) ．
反面向上,
为离散型随机变量，其分布律为
正面向上
X0 1
0 1
11 P
22
或
X
~
1
1
．
2 2
2
性质 2.1（离散型随机变量分布律的性质）设离散型随机
变量 X 的分布律为
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
，
则有 ⑴ pi 0 ， i 1, 2, ； ⑵
pi 1 ．
i
【注】如果实数列 pi (i 1, 2, ) 满足性质 2.1 中的⑴和⑵，
逐个取出，记 X 为首次取到正品时的所取产品个数，试求 X 的
分布律和分布函数 F(x) ．
解 由题意知 X 的可能取值为1, 2,3 ，因此 X 为离散型随机
变量．由乘法公式和古典概型概率计算公式得 X 的分布律为
P{X 1} 8 4 ， P{X 2} 2 8 8 ，
10 5
10 9 45
1 x 2,
4
,
2
x
3,
5 44
,
45
4 5
8 45
1 45
,
x3
1,
x 1, 1 x 2,
2 x 3, x 3.
【注】分布函数的三个特征：
①分 n 1段；②每段上的函数值为概率累加（开始为零）；
③ 每个区间为左闭右开。
5
y
4
1
5
8
45
1
45
o 1 2 3x
F ( x)
0.8 1
努里试验．故由题意知， X ~ B(4, 0.6) ，即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k ， k 0,1, 2,3, 4 ． 可具体计算得， P{X 0} C40 0.60 0.44 0.0256 ，
1
10P1X 2
离散型随机变量 X 的分布律或概率分布也记为
X
x1
x2
xi
P
p1
p2
pi
或
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
，
其中 x1, x2 , , xi , 互不相同，且可能为有限个 x1, x2 , , xn ．
例
1.1
中， X
0, 1,
例 2.3 设随机变量 X ~ B(2, p), Y ~ B(3, p) ，若 P{X 1} 5 ， 9
求 P{Y 1}．
解 由于 P{X 0} 1 P{X 1} ，及 P{X 1} 5 知， 9
P{X
0} C20 p0 (1
p)2
(1
p)2
百度文库
4 9
，
所以 p 1 ，从而 3
P{Y 1} P{Y 0} P{Y 1}
P{X 3} 2 1 8 1 或 1 4 8 1 ，
10 9 8 45
5 45 45
1 2 3
即
X
~
4 5
8 45
1 45
．
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续解 利用 F(x) PX x pi , x ，可求得 xi x
X 的分布函数为
0,
4
,
F
(
x)
5 4 5
8 45
,
x 1, 0,
由贝努里概率模型，在n 重贝努里试验中，记 X 表 示事件 A 发生的次数，则 X ~ B(n, p) ，其中 p P(A) ， 因此二项分布也称为贝努里分布．
设 X ~ B(n, p) ，当 n 1 时，可得 X 的分布律为 P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ，
故 0 1两点分布为二项分布中 n 1 时的特例．
【注 1】 Cnk pk (1 p)nk 0 ， k 0,1, 2, , n ，且
n
Cnk pk (1 p)nk [ p (1 p)]n 1 ，
k 0
故 P{X k} Cnk pk (1 p)nk 满足分布律的性质． 【注 2】又 Cnk pk (1 p)nk 为二项式[ p (1 p)]n 的展开式 中的各项，因此称 X 服从二项分布．
x
1 2 3x
例 2.2
已知随机变量
X
的分布律为 P{X
i}
k 2i
，
i 1, 2, ，试求常数 k ，以及 X 取奇数的概率．
1
解
由
i 1
P{X
i}
i 1
k 2i
k
2 1 1
k
，以及分布
2
律的性质可得 k 1．由上可知， X 的分布律为
P{X
i}
1 2i
，i
1, 2,
，
所以 X 取奇数的概率为
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念
定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就称 X 为离散型随机变量．
定 义 2.2 设 X 为 离 散型 随机 变量 ，其所 有可 能的 取值为 x1, x2 , , xi , ，且
P{X xi} pi ， i 1, 2, ．
C30
(1)0 3
(1
1)3 3
C31
(
1)1 3
(1
1)2 3
20 27
．
例 2.4 设某射手独立地向一目标射击 4 次，每次击中目标 的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大．
解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
则 pi (i 1, 2, ) 必能构成某离散型随机变量 X 的分布律．
结论 2.1 设 L 为任意实数集合，则 PX L pi ．
结论 2.2 X 的分布函数
xi L
F(x) PX x pi , x ．
3
xi x
例 2.1 设盒子中有8 个正品和2 个次品，现依次不放回地将其
生与不发生等许多现象都能够刻划成0 1 两点分布，本章例
1.1 中，随机变量 X ~ B(1, 1) ． 2
2．二项分布（贝努里（Bernulli）分布） 定义 2.4 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} Cnk pk (1 p)nk ， k 0,1, 2, , n ， 就称 X 服从二项分布，记为 X ~ B(n, p) ，其中n 为正整数， 0 p 1．
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点 {1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中，0 1两点分布有着广泛的应用．例如某
产品合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发
1
i 1
P{X
2i 1}
i 1
1 22i1
2 1 (1)2
2． 3
7
2
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布 1． 0 1两点分布
定义 2.3 如果随机变量 X 的分布律为 P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ， 0 p 1
即
X
0
1
P 1－ p p
就称 X 服从 0 1两点分布，记为 X ~ B(1, p) ．
反面向上,
为离散型随机变量，其分布律为
正面向上
X0 1
0 1
11 P
22
或
X
~
1
1
．
2 2
2
性质 2.1（离散型随机变量分布律的性质）设离散型随机
变量 X 的分布律为
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
，
则有 ⑴ pi 0 ， i 1, 2, ； ⑵
pi 1 ．
i
【注】如果实数列 pi (i 1, 2, ) 满足性质 2.1 中的⑴和⑵，
逐个取出，记 X 为首次取到正品时的所取产品个数，试求 X 的
分布律和分布函数 F(x) ．
解 由题意知 X 的可能取值为1, 2,3 ，因此 X 为离散型随机
变量．由乘法公式和古典概型概率计算公式得 X 的分布律为
P{X 1} 8 4 ， P{X 2} 2 8 8 ，
10 5
10 9 45
1 x 2,
4
,
2
x
3,
5 44
,
45
4 5
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1 45
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x3
1,
x 1, 1 x 2,
2 x 3, x 3.
【注】分布函数的三个特征：
①分 n 1段；②每段上的函数值为概率累加（开始为零）；
③ 每个区间为左闭右开。
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o 1 2 3x
F ( x)
0.8 1
努里试验．故由题意知， X ~ B(4, 0.6) ，即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k ， k 0,1, 2,3, 4 ． 可具体计算得， P{X 0} C40 0.60 0.44 0.0256 ，