离散型随机变量及其分布律
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就称上式为离散型随机变量 X 的分布律或概率分布.
1
10P1X 2
离散型随机变量 X 的分布律或概率分布也记为
X
x1
x2
xi
P
p1
p2
pi
或
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
,
其中 x1, x2 , , xi , 互不相同,且可能为有限个 x1, x2 , , xn .
例
1.1
中, X
0, 1,
例 2.3 设随机变量 X ~ B(2, p), Y ~ B(3, p) ,若 P{X 1} 5 , 9
求 P{Y 1}.
解 由于 P{X 0} 1 P{X 1} ,及 P{X 1} 5 知, 9
P{X
0} C20 p0 (1
p)2
(1
p)2
百度文库
4 9
,
所以 p 1 ,从而 3
P{Y 1} P{Y 0} P{Y 1}
P{X 3} 2 1 8 1 或 1 4 8 1 ,
10 9 8 45
5 45 45
1 2 3
即
X
~
4 5
8 45
1 45
.
4
续解 利用 F(x) PX x pi , x ,可求得 xi x
X 的分布函数为
0,
4
,
F
(
x)
5 4 5
8 45
,
x 1, 0,
由贝努里概率模型,在n 重贝努里试验中,记 X 表 示事件 A 发生的次数,则 X ~ B(n, p) ,其中 p P(A) , 因此二项分布也称为贝努里分布.
设 X ~ B(n, p) ,当 n 1 时,可得 X 的分布律为 P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ,
故 0 1两点分布为二项分布中 n 1 时的特例.
【注 1】 Cnk pk (1 p)nk 0 , k 0,1, 2, , n ,且
n
Cnk pk (1 p)nk [ p (1 p)]n 1 ,
k 0
故 P{X k} Cnk pk (1 p)nk 满足分布律的性质. 【注 2】又 Cnk pk (1 p)nk 为二项式[ p (1 p)]n 的展开式 中的各项,因此称 X 服从二项分布.
x
1 2 3x
例 2.2
已知随机变量
X
的分布律为 P{X
i}
k 2i
,
i 1, 2, ,试求常数 k ,以及 X 取奇数的概率.
1
解
由
i 1
P{X
i}
i 1
k 2i
k
2 1 1
k
,以及分布
2
律的性质可得 k 1.由上可知, X 的分布律为
P{X
i}
1 2i
,i
1, 2,
,
所以 X 取奇数的概率为
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念
定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个,就称 X 为离散型随机变量.
定 义 2.2 设 X 为 离 散型 随机 变量 ,其所 有可 能的 取值为 x1, x2 , , xi , ,且
P{X xi} pi , i 1, 2, .
C30
(1)0 3
(1
1)3 3
C31
(
1)1 3
(1
1)2 3
20 27
.
例 2.4 设某射手独立地向一目标射击 4 次,每次击中目标 的概率为 0.6 ,求该射手在 4 次射击中,命中目标次数 X 的
分布律,并问 X 取何值时的概率最大.
解 将每次射击看成一次随机试验,所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标,因此整个射击过程为 4 重的贝
则 pi (i 1, 2, ) 必能构成某离散型随机变量 X 的分布律.
结论 2.1 设 L 为任意实数集合,则 PX L pi .
结论 2.2 X 的分布函数
xi L
F(x) PX x pi , x .
3
xi x
例 2.1 设盒子中有8 个正品和2 个次品,现依次不放回地将其
生与不发生等许多现象都能够刻划成0 1 两点分布,本章例
1.1 中,随机变量 X ~ B(1, 1) . 2
2.二项分布(贝努里(Bernulli)分布) 定义 2.4 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, 2, , n , 就称 X 服从二项分布,记为 X ~ B(n, p) ,其中n 为正整数, 0 p 1.
一般地,在随机试验 E 中,如果样本空间 只包含两个
样本点 {1,2},且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ,其中 p P{X 1} P({2}) .
在现实生活中,0 1两点分布有着广泛的应用.例如某
产品合格与不合格;某课程的考试及格与不及格;某事件 A 发
1
i 1
P{X
2i 1}
i 1
1 22i1
2 1 (1)2
2. 3
7
2
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布 1. 0 1两点分布
定义 2.3 如果随机变量 X 的分布律为 P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 , 0 p 1
即
X
0
1
P 1- p p
就称 X 服从 0 1两点分布,记为 X ~ B(1, p) .
反面向上,
为离散型随机变量,其分布律为
正面向上
X0 1
0 1
11 P
22
或
X
~
1
1
.
2 2
2
性质 2.1(离散型随机变量分布律的性质)设离散型随机
变量 X 的分布律为
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
,
则有 ⑴ pi 0 , i 1, 2, ; ⑵
pi 1 .
i
【注】如果实数列 pi (i 1, 2, ) 满足性质 2.1 中的⑴和⑵,
逐个取出,记 X 为首次取到正品时的所取产品个数,试求 X 的
分布律和分布函数 F(x) .
解 由题意知 X 的可能取值为1, 2,3 ,因此 X 为离散型随机
变量.由乘法公式和古典概型概率计算公式得 X 的分布律为
P{X 1} 8 4 , P{X 2} 2 8 8 ,
10 5
10 9 45
1 x 2,
4
,
2
x
3,
5 44
,
45
4 5
8 45
1 45
,
x3
1,
x 1, 1 x 2,
2 x 3, x 3.
【注】分布函数的三个特征:
①分 n 1段;②每段上的函数值为概率累加(开始为零);
③ 每个区间为左闭右开。
5
y
4
1
5
8
45
1
45
o 1 2 3x
F ( x)
0.8 1
努里试验.故由题意知, X ~ B(4, 0.6) ,即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k , k 0,1, 2,3, 4 . 可具体计算得, P{X 0} C40 0.60 0.44 0.0256 ,
1
10P1X 2
离散型随机变量 X 的分布律或概率分布也记为
X
x1
x2
xi
P
p1
p2
pi
或
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
,
其中 x1, x2 , , xi , 互不相同,且可能为有限个 x1, x2 , , xn .
例
1.1
中, X
0, 1,
例 2.3 设随机变量 X ~ B(2, p), Y ~ B(3, p) ,若 P{X 1} 5 , 9
求 P{Y 1}.
解 由于 P{X 0} 1 P{X 1} ,及 P{X 1} 5 知, 9
P{X
0} C20 p0 (1
p)2
(1
p)2
百度文库
4 9
,
所以 p 1 ,从而 3
P{Y 1} P{Y 0} P{Y 1}
P{X 3} 2 1 8 1 或 1 4 8 1 ,
10 9 8 45
5 45 45
1 2 3
即
X
~
4 5
8 45
1 45
.
4
续解 利用 F(x) PX x pi , x ,可求得 xi x
X 的分布函数为
0,
4
,
F
(
x)
5 4 5
8 45
,
x 1, 0,
由贝努里概率模型,在n 重贝努里试验中,记 X 表 示事件 A 发生的次数,则 X ~ B(n, p) ,其中 p P(A) , 因此二项分布也称为贝努里分布.
设 X ~ B(n, p) ,当 n 1 时,可得 X 的分布律为 P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ,
故 0 1两点分布为二项分布中 n 1 时的特例.
【注 1】 Cnk pk (1 p)nk 0 , k 0,1, 2, , n ,且
n
Cnk pk (1 p)nk [ p (1 p)]n 1 ,
k 0
故 P{X k} Cnk pk (1 p)nk 满足分布律的性质. 【注 2】又 Cnk pk (1 p)nk 为二项式[ p (1 p)]n 的展开式 中的各项,因此称 X 服从二项分布.
x
1 2 3x
例 2.2
已知随机变量
X
的分布律为 P{X
i}
k 2i
,
i 1, 2, ,试求常数 k ,以及 X 取奇数的概率.
1
解
由
i 1
P{X
i}
i 1
k 2i
k
2 1 1
k
,以及分布
2
律的性质可得 k 1.由上可知, X 的分布律为
P{X
i}
1 2i
,i
1, 2,
,
所以 X 取奇数的概率为
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念
定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个,就称 X 为离散型随机变量.
定 义 2.2 设 X 为 离 散型 随机 变量 ,其所 有可 能的 取值为 x1, x2 , , xi , ,且
P{X xi} pi , i 1, 2, .
C30
(1)0 3
(1
1)3 3
C31
(
1)1 3
(1
1)2 3
20 27
.
例 2.4 设某射手独立地向一目标射击 4 次,每次击中目标 的概率为 0.6 ,求该射手在 4 次射击中,命中目标次数 X 的
分布律,并问 X 取何值时的概率最大.
解 将每次射击看成一次随机试验,所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标,因此整个射击过程为 4 重的贝
则 pi (i 1, 2, ) 必能构成某离散型随机变量 X 的分布律.
结论 2.1 设 L 为任意实数集合,则 PX L pi .
结论 2.2 X 的分布函数
xi L
F(x) PX x pi , x .
3
xi x
例 2.1 设盒子中有8 个正品和2 个次品,现依次不放回地将其
生与不发生等许多现象都能够刻划成0 1 两点分布,本章例
1.1 中,随机变量 X ~ B(1, 1) . 2
2.二项分布(贝努里(Bernulli)分布) 定义 2.4 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, 2, , n , 就称 X 服从二项分布,记为 X ~ B(n, p) ,其中n 为正整数, 0 p 1.
一般地,在随机试验 E 中,如果样本空间 只包含两个
样本点 {1,2},且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ,其中 p P{X 1} P({2}) .
在现实生活中,0 1两点分布有着广泛的应用.例如某
产品合格与不合格;某课程的考试及格与不及格;某事件 A 发
1
i 1
P{X
2i 1}
i 1
1 22i1
2 1 (1)2
2. 3
7
2
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布 1. 0 1两点分布
定义 2.3 如果随机变量 X 的分布律为 P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 , 0 p 1
即
X
0
1
P 1- p p
就称 X 服从 0 1两点分布,记为 X ~ B(1, p) .
反面向上,
为离散型随机变量,其分布律为
正面向上
X0 1
0 1
11 P
22
或
X
~
1
1
.
2 2
2
性质 2.1(离散型随机变量分布律的性质)设离散型随机
变量 X 的分布律为
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
,
则有 ⑴ pi 0 , i 1, 2, ; ⑵
pi 1 .
i
【注】如果实数列 pi (i 1, 2, ) 满足性质 2.1 中的⑴和⑵,
逐个取出,记 X 为首次取到正品时的所取产品个数,试求 X 的
分布律和分布函数 F(x) .
解 由题意知 X 的可能取值为1, 2,3 ,因此 X 为离散型随机
变量.由乘法公式和古典概型概率计算公式得 X 的分布律为
P{X 1} 8 4 , P{X 2} 2 8 8 ,
10 5
10 9 45
1 x 2,
4
,
2
x
3,
5 44
,
45
4 5
8 45
1 45
,
x3
1,
x 1, 1 x 2,
2 x 3, x 3.
【注】分布函数的三个特征:
①分 n 1段;②每段上的函数值为概率累加(开始为零);
③ 每个区间为左闭右开。
5
y
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1
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o 1 2 3x
F ( x)
0.8 1
努里试验.故由题意知, X ~ B(4, 0.6) ,即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k , k 0,1, 2,3, 4 . 可具体计算得, P{X 0} C40 0.60 0.44 0.0256 ,