校本课程有趣的斐波拉契数列

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关于数列的趣味故事

关于数列的趣味故事在数学领域里，数列是一个非常重要且有趣的概念。

数列是按照一定规律排列的一系列数的集合，它们可以呈现出不同的特征和规律，给人们带来了许多乐趣和挑战。

下面我们来分享一些关于数列的趣味故事，让我们一起领略数学的魅力。

第一个故事讲述的是著名数学家斐波那契和他发现的斐波那契数列。

斐波那契数列是一个非常有趣的数列，它的前两项是0和1，从第三项开始，每一项都是前两项之和。

这个数列的特点是每一项都等于前面两项之和，看似简单的规律却蕴含着许多奥秘。

斐波那契数列在数学和自然界中都有着重要的应用，如黄金分割、植物的生长规律等，让人不禁感叹数学之美。

第二个故事讲述的是数学界的一个传奇人物——高斯。

高斯是一位拥有惊人数学天赋的数学家，他在很小的时候就展现出了非凡的才华。

有一次，老师给同学们布置了一道题目，要求他们计算1到100相加的和。

其他同学都在认真地将数字相加，而高斯却在很短的时间内给出了答案。

原来，高斯发现这些数可以两两配对，每一对的和都是101，一共有50对，所以答案是5050。

这个故事展示了高斯的聪明才智和对数学的热爱，也启发了我们用更巧妙的方法解决问题。

第三个故事讲述的是一个关于等差数列的趣事。

等差数列是最容易理解和计算的数列之一，它的每一项与前一项之间的差都相等。

有一天，小明在学校里学习等差数列的知识，他突然惊喜地发现，自己每天放学回家的路上，所走的步数正好构成了一个等差数列。

他开始思考每天走的步数之间的规律，发现自己的步幅和路程都在一个良好的数学关系中，这让他对数学产生了更深的兴趣。

通过以上这些有趣的数列故事，我们不仅可以感受到数学的魅力，也可以体会到数学在生活中的应用和乐趣。

数列作为数学中重要的概念之一，不仅让人们感受到数学的奥秘和美妙，也为我们展示了数学与现实世界之间的千丝万缕的联系。

希望每个人都能发现身边隐藏的数学之美，享受数学带来的乐趣和启发。

数列教案二斐波那契数列的性质与应用

数列教案二：斐波那契数列的性质与应用引言：斐波那契数列是数学上一种非常有趣的数列，被广泛运用在各个领域中。

它的前几项是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……（后面的项依次为前面两项之和）。

在本文中，我们将介绍斐波那契数列的性质与应用。

一、斐波那契数列的性质1.黄金分割比：斐波那契数列的性质之一是黄金分割比。

定义为，将一个线段分成两段，较长的一段与整个线段的比值等于较短的一段与较长的一段的比值，该比值为φ （phi），即：$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\phi$其中，a 和 b 分别为较长和较短的线段。

斐波那契数列中，相邻两个数的比值逐渐趋近于黄金分割比，即：$\frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \frac{21}{13}, ……$这个比值在美学和建筑学中应用广泛。

2.递归性：斐波那契数列的定义是：F(1)=1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥3）。

这个定义具有递归性质，即当前的某一项可以由前面的两项推导而来。

这个递归特性可以简化许多计算程序。

3.对称性：斐波那契数列具有左右对称性，即第 n 个项与第 (n+1)个项在黄金分割比两侧的距离是相等的。

例如：F(6)=8=F(7)-F(5)F(7)=13=F(6)+F(5)F(8)=21=F(7)+F(6)……由此可见，斐波那契数列在建筑学和对称性的应用上正好符合黄金分割比的几何形态。

二、斐波那契数列的应用1.斐波那契螺旋线：斐波那契数列可以绘制成螺旋线，称为斐波那契螺旋线。

它有以下性质：（1）外形美观，符合数学美学；（2）螺旋线与出生生长的自然界中普遍存在的螺旋形态极为相似；（3）斐波那契螺旋线可以用于编程、、图像处理等领域。

2.斐波那契数列的金融应用：（1）股票投资：斐波那契数列被广泛应用于股票市场。

必修5中的两个有趣的数列

２
：
．
＝
设。＝（半）
ｆＡｌ＋Ａ２１．
・
．（
得
，
ｆｏｔ＋／３＝１
：
一
丁Ｔ
所
以
１
１＋√ ５
，
…
：一
１—
＝
即
—
２一Ｔ
音１一 √ ５
－１＋
ｚ
。川一丁
膏
所以一２。）为争吡数列，是
偶为为
函数＝一ｌｎｘ的单调性及其应用
～
数，－＝
奇数
北京丰台二中偶数
１０００７１
甘志国（特级教师）
１函数：兰的单调性及其相应的结论
Ⅲ 导数可证得：
ｂ “ 均有可能．２定理１的应用
Ｊ
ｊｉｊＩ＝以（以ｚ上ｌ：：二＿－ — （ｎ为奇数）
＿＝』ｊｎ＝２ｋ＋１时，
＋：一。２＝２ “ ４一２，，
移动圆环３４１次．
通过课本的这两个例子，我们从中可以挖掘出很多
大数与最小数；（理）将ｅ，３，ｅ，竹，３，霄这６个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．
下面给出这道高考题的解法．解（１）增区间为（０，ｅ），减区间为ｅ，＋）．（２）（文）由（１）的结论还可证得结论：当ｅ≤ｎ＜

神奇的数学世界斐波那契数列的课程设计

神奇的数学世界斐波那契数列的课程设计斐波那契数列在数学领域中具有独特的魅力，其数列特性在各个领域中都有广泛的应用。

本课程设计旨在引导学生深入了解斐波那契数列的概念、性质和应用，并通过实际问题的探索，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

1. 引言斐波那契数列是一个非常特殊的数列，起初被提出用于描述兔子繁殖的规律，但随后发现其数学特性与实际问题的联系更为广泛。

本课程设计将带领学生探索斐波那契数列的奥秘。

2. 斐波那契数列的定义和性质2.1 定义斐波那契数列是一个以0和1开头，之后的每一项都是前两项之和的数列，数列的前几项为0、1、1、2、3、5、8、13、21...。

2.2 递推公式学生将学习到斐波那契数列的递推公式，即F(n) = F(n-1) + F(n-2)。

2.3 黄金分割学生将了解到斐波那契数列与黄金分割的关系，即相邻两项之比趋近于黄金分割比例0.618。

3. 斐波那契数列的应用3.1 自然领域中的应用通过学习斐波那契数列在自然界中的应用，如植物的叶子排列、鳞片的分布等，学生将深入理解数列的普适性和实际应用性。

3.2 美学领域中的应用学生将研究斐波那契数列在艺术、建筑等领域的应用，如黄金矩形、黄金螺旋等，培养学生的审美素养和对美的感知能力。

3.3 金融领域中的应用通过了解斐波那契数列在金融领域中的应用，如投资策略、股票价格波动等，学生将学会应用数列进行金融分析和决策。

4. 斐波那契数列的探索活动为了帮助学生更好地理解和掌握斐波那契数列的概念和应用，设计以下探索活动：4.1 斐波那契数列的绘制学生将使用纸和铅笔，根据斐波那契数列的定义，绘制数列的图形，并观察规律。

4.2 斐波那契数列的探究学生将使用计算器或电脑编程，通过循环和递归的方式计算斐波那契数列的前n项，并观察数值规律。

4.3 斐波那契数列的应用问题设计一些实际问题，鼓励学生运用斐波那契数列解决问题，如兔子繁殖问题、图形排列问题等。

5. 总结与展望通过本课程设计，学生将深入了解斐波那契数列的定义、性质和应用，并通过探索活动培养数学思维和解决问题的能力。

【最新精选】试以斐波那契数列为例谈谈中学生数学兴趣的培养

试以斐波那契数列为例谈谈中学生数学兴趣的培养姓名韩璐璐学号200840510411 指导老师荆科摘要本文以人们熟悉的斐波那契数列为例，通过分析类比，揭示斐波那契数列的性质，并表述如何培养中学生数学兴趣。

通过斐波那契数列的几个实例，求出数列的通项公式，讨论斐波那契数列的实际应用，说明如何培养中学生数学兴趣。

关键词斐波那契数列通项公式数学兴趣培养Try to talk about the cultivation of students' mathematicalinterest in the Fibonacci seriesAbstract In this paper, the familiar Fibonacci sequence, for example, by analyzing analog, reveal the nature of the Fibonacci sequence, and demonstrate how to train high school students’ mathematical interest. Fibonacci se quence, a few examples, fined the formula of general term, to discuss the Fibonacci deed of the number of columns in thepractical application of how to train high school students’mathematical interest.Key words Fibonacci sequence The formula of general term Interest in Mathematics Education1.引言1202年，Fibonacci 在他所著的《珠算的书》中提出了这样的一个问题：“年初在围栏中放养一对小兔子，每对新出生的小兔子从第二个月起每月生一对小兔子，一年后围栏里有多少只兔子？”[1]我们用{}n F表示第n个月的兔子对数，图1如图1，第1个月，只有成年兔子1对；第2个月时，成年兔子生1对幼兔，有2对兔子；第3个月时，幼兔长大，成年兔子生1对幼兔，有3对兔子；第4个月时，共有5对兔子；第5个月时，有8对兔子；···，因此可以看出，自第3个月起，成年兔子的个数就是前两个月中所有成年兔子的数目之和。

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月
点击此处添加正文，请言简意赅的阐述观点。
月
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解答
5月 6月
7月
月份1
23
4
5
6
1
12
3
5
8
兔子对数
月份7
8
兔子对13数 21
9 10 34 55
11 12 89 144
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，… 从第三项起，每一项都是前两项之和
1 1 2 3 5 8 13 21 34 +55 =
？
3 5 8 13 21 34 55 89 144 +233 =
？
143
605
13 21 34 55 89 144 233 377 610 +987 =？
2563
大自然中的斐波那契数列
马蹄莲 1
白鹤芋花烛滴水观音独角莲喇叭花
虎
2
刺
一
二
三
四
五
六
1
1
2
3
5
8
七
13
菜花表面排列的螺旋线数（5-8）
34
向日葵花盘上的螺旋线数，顺时针数２１条；反向再数就变成了３４条．是不是很有意思呀！
这种现象在几个世纪前已经被注意到，此后被广泛研究，但直到1993年才给出了合理的解释.这是植物生长的动力学特性造成的，这使得种子具有差不多的大小却又疏密得当，堆积率达到最高，能充分地利用阳光和雨露.
9
,
1
414 4, 24330….6180.3.. 233
黄金分割：把一条线段分
其比值是

斐波那契数列教案适合小学

拓展课斐波那契数列【教学内容】斐波那契数列相关知识。

【教学目标】1. 使学生认识“斐波那契数列”及其部分特性，并探究著名的兔子问题。

2. 在经历感知、分析、归纳和应用过程中培养学生的思维能力，会利用从易入难的数学思想方法解决问题，培养良好的思维品质。

3. 在知识结构不断拓展、能力不断提升的过程中，感悟数学文化的广袤和久远，培养积极的数学阅读习惯，形成积极的数学情感。

【教学重难点】重点：发现斐波那契数列的规律，探究兔子问题难点：会利用从易入难的数学思考方法解决问题【教学准备】课件、学习单【教学流程】一、图片欣赏，引出课题1．出示自然界中的图片师：一起欣赏这些大自然的图片，它们都有什么特点？预设：它们都有螺旋线2.出示鹦鹉螺师：鹦鹉螺的内部是非常美丽的螺旋线，我们可以把它画出来。

3. 出示斐波那契螺旋线，观察是怎么画出来的师：用数学的眼光看一看，说说它是怎么画出来的。

引导学生从最小的正方形数起。

预设：最小的正方形边长是1，有2个这样的小正方形预设：是正方形的对角线师：是的，需要先从里到外画出正方形，再画出正方形对角顶点相连的弧提问：这些正方形的边长都是多少？1,1,2,3,5,8,13,21……师：老师加了省略号是为什么？预设：还可以继续画下去。

师：你们发现后面应该是几了吗？预设：34预设：这串数字是有规律的，每次都是前两个数字之和师小结并揭示课题：像这些正方形的边长形成的一列有序的数，我们叫它数列（板贴：数列）。

4. 出示人物介绍，认识斐波那契最早研究这个数列的是莱昂纳多斐波那契，他是中世纪意大利的一位数学家。

因此这个数列就已他的名字命名，叫斐波那契数列。

（板贴：斐波那契）今天我们一起来研究学习斐波那契数列。

（指着板贴读课题）二、探究问题，学习新知1.兔子繁殖问题师：这个数列可不是斐波那契凭空想出来的，最早是斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，让我们也像数学家一样研究兔子繁殖的规律吧。

出示兔子繁殖的故事，请学生朗读，并加以理解。

有趣的斐波那契数列例子

……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]。
联立以上n-2个式子，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]。
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1。
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)。
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)。
157
…
F[1,3]n
1
3
4
7
11
18
29
47
76
123
…
F[1,4]n-F[1,3]n
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
…
F[1,4]n+F[1,3]n
2
7
9
16
25
41
66
107
173
280
…
②任何一个斐波那契—卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得，如
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
F[1,1](n)
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
…
F[1,1](n-1)
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
…
F[1,1](n-1)
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
…
F[1,3]n
1
3

有趣的斐波那契数列

有趣的斐波那契数列
1 1
2
3 5 8 13 21 3
4 5
5 89……
上面是一个斐波那契数列，它还存在着这样的规律：
我们用第一个数除以第二个数1÷1=1，
再用第二个数除以第三个数1÷2=0.5，
第三个数除以第四个数2÷3=0.666
……
继续下去
3÷5=0.6，
5÷8=0.625，
…………，
55÷89=0.617977…，
……
144÷233=0.618025
……
46368÷75025=0.6180339886…...
越到后面，这些比值越接近一个小数（0.618）.
而0.618就是著名的黄金分割数。

为了便于大家阅读，补充了上一期的文章：
800年前，居住在意大利小镇比萨，上苍安排，两件奇特的事在同时代发生了：一件是塔身开始倾斜；另一件是斐波纳契发现了他那著名的数列，数列是这样的：
1 ，1， 2， 3， 5， 8，13，（），（）
你知道接下来的两个数是多少吗？先要找到这列数的规律，1+1=2；1+2=3;2+3=5；3+5=8；5+8=13；所以接下来是8+13=21；13+21=34；从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和。

1 ，1， 2， 3， 5， 8，13，（21 ），（ 34）
斐波纳契数列是一个奇妙的数列，有很多神奇的特点。

你瞧，如下的正方形，里边标的数字是它们各自所在正方形的边长。

取两个边长是1的，可以拼成长方形（红色），再多取一个边长2的，也可以拼成一个长方形（红色+绿色），再多取一个边长3的也可以拼成一个正方形（红色+绿色+黄色）……。

有趣的斐波那契数列

有趣的斐波那契数列作者：华腾飞来源：《少儿科技》2021年第06期这里有一个有趣的问题：有一对刚出生的兔子，兔子从出生后的第三个月起每个月都会生一对小兔子，当小兔子长到第三个月时，每个月又会生一对小兔子。

如果这些兔子都活着的话，第十二个月时总共有多少对兔子？上面这个问题乍一看比较简单，但要想列出算式进行计算，好像又很困难。

我们根据题目所给的条件，一起来算算。

兔子总数由两部分组成：大兔子数和小兔子数。

当月的大兔子数是上个月的兔子总数，因为不管是大兔子还是小兔子，到了下个月都会变成大兔子；而当月的小兔子数是上个月的大兔子数，因为上个月有多少对大兔子，下个月就有多少对小兔子。

据此可知，上个月的大兔子数，总是上上月的兔子总数，所以当月的兔子数=上个月的兔子数+上个月的大兔子数，也就等于上个月的兔子数+上上月的兔子数。

根据上述结论进行推算，不难得出：第一个月、第二个月、第三个月……第十二个月时分别有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144对兔子。

大家仔细观察，不难发现从第三个数起，每个数都是前两个数之和，把它延续下去就得到了一个数列。

人们为了纪念斐波那契的伟大发现，把这个数列称为斐波那契数列。

斐波那契数列之所以伟大，是因为其中蕴含着一些非常重要的规律。

其一，斐波那契数列中任取连续三项，它们是两个奇数和一个偶数。

其二，斐波那契数列前n项的和是第（ n + 2 ）个数减1。

例如：在数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144中，前五项的和为12，它刚好等于第七个数13减去1。

其四，斐波那契数列中相邻两项（从第二项起）的差值仍然可以构成斐波那契数列。

例如：2-1=1，3-2=1，5-3=2，8-5=3，13-8=5，21-13=8，34-21=13，55-34=21……这些差值构成的数列仍为斐波那契数列。

其五，斐波那契数列中相邻两项（从第二項起）的平方和也是斐波那契数列。

数学赛课奇妙的数列与数学推理

数学赛课奇妙的数列与数学推理在数学领域中，数列是一种由数字按照一定规律排列而成的序列。

而数学推理则是通过逻辑和推导方法来建立和解释数学命题的过程。

数列与数学推理在数学竞赛课程中扮演着非常重要的角色，对学生的思维能力和分析能力有着很好的培养作用。

本文将探讨一些有趣的数列和数学推理问题。

一、斐波那契数列的神奇之处斐波那契数列是指从0和1开始，后续的每个数字由前两个数字相加而得到的数列。

具体来说，斐波那契数列的前几项是0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……。

斐波那契数列有许多令人惊叹的数学性质，下面将介绍其中两个。

1. 黄金分割比例斐波那契数列中的相邻两个数的比例近似于1.61803，该比值被称为黄金分割比例。

这一数值在建筑、艺术和自然界中都广泛出现。

例如，著名的斯托克斯大教堂尖塔是按照黄金分割比例设计的，而许多花朵的花瓣数量也符合该比例。

2. 逼近黄金分割比例的极限斐波那契数列中的相邻两个数的比例逐渐逼近黄金分割比例。

具体来说，当数列中的数字增加时，它们的比率会趋向于1.61803。

这一性质在数学推理中有着广泛应用，例如证明黄金分割比例的存在性。

二、数学推理中的递推和归纳数列的递推和归纳是数学推理中常见的两种方法。

递推是指通过已知的一项或多项，利用数列的规律来推导出后续的项。

而归纳则是通过已知数列前几项的规律性，推断出数列的通项公式。

1. 数列的递推考虑以下数列：1，4，9，16，25，……。

我们可以观察到，每一项都是前一个项的平方。

因此，该数列的递推规律可以表达为：第n个数项等于n的平方。

通过递推规律，我们可以很容易地计算出数列的后续项。

2. 数列的归纳以斐波那契数列为例，我们可以利用归纳法来证明其递推公式。

首先，我们可以证明斐波那契数列的第一项和第二项符合规律。

接着，假设斐波那契数列的第n项和第n+1项符合规律，那么我们可以证明第n+2项也符合规律。

通过不断归纳，我们可以得出斐波那契数列的递推公式。

小学数学《斐波那契数列课题》教学设计

《斐波那契数列的应用》课题设计一、课题的确定：孩子们小学六年学习了六年的数学，却从来没有想过为什么要学习数学，有的同学是认为学习数学是为了计算，而有的同学是认为学习数学是为了应用于生活，却从来没有亲身体会感受过数学的神奇，有没有一个课题能让学生感受到学习数学的目的，特别是让学生亲自体会感受一下数学的美，感受大自然的造物的神奇呢？我思考再三最终确定了研究课题《斐波那契数列的应用》。

二、课题的布置与指导：《斐波那契数列的应用》是数学史上非常著名的一个数列，课本是作为一段阅读材料呈现的，以《兔子的繁殖》为例介绍了斐波那契数列的产生，我本节课确定的目标主要是通过研究让孩子们领略学习数学的目的，感受一下数学本身的魅力以及大自然造物的神奇。

我是从四个方面来布置的课题研究任务：1、以《兔子的繁殖》为例，研究数列的产生，每个小组都要进行研究。

前一天进行了布置，第二天我们就进行了交流汇报，孩子们研究的不错。

于是又接着分组布置了任务：第一小组：从计算的角度研究斐波那契数列的秘密。

第二三小组：从应用的角度出发，到大自然中到生活中去观察是否有斐波那契数列。

孩子们真的是很善于思考，第二小组潘珂在爸爸领着去花棚里买花时，发现了花瓣里的斐波那契现象，而另一个同学惠鹏程却在住的小区里发现了植物叶序也存在着斐波那契现象。

第三小组的费枫舒在和妈妈去超市买东西时看到了正在削菠萝的阿姨，产生了兴趣蹲在那一个多小时发现了菠萝里的斐波那契现象。

而惠荣薪则是在一次上课快迟到了，大步流星的迈楼梯，突发奇想研究研究台阶的迈法，和她的小伙伴发现了楼梯里的斐波那契的秘密，组成了课题研究的第四小组。

我把孩子们的研究情况进行了汇总，考虑到时间有限，最终确定了把数列的产生不纳入到本节课的汇报当中。

三、课堂实录：（一）、导入：师：大家喜欢数学吗？问大家一个问题：我们天天在学习数学，那你知道我们为什么要学习数学吗？其实根本原因有三：计算、应用、激发灵感。

数学是一门研究规律的科学，我们通过学习数学可以提高我们的逻辑思维能力、思辨能力和创造力，可以让我们越变越聪明，数学在我们的生活中无处不在。

fibonacci课程设计

fibonacci 课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解并掌握斐波那契数列的定义、特点及应用；2. 学生能运用数列知识，推导斐波那契数列的递推公式，并解决相关问题；3. 学生了解斐波那契数列在自然界、数学和计算机科学等领域中的应用。

技能目标：1. 学生通过分析斐波那契数列，培养观察、总结、归纳的能力；2. 学生能够运用递推方法解决数列相关问题，提高解决问题的能力；3. 学生通过小组合作，提高团队协作能力和沟通能力。

情感态度价值观目标：1. 学生在学习过程中，培养对数学的兴趣和热爱，树立正确的数学观念；2. 学生通过探索斐波那契数列的奥秘，感受数学的简洁、优美和实用价值；3. 学生在学习中，培养勇于探究、善于思考、严谨求实的科学态度。

课程性质：本课程为数学学科课程，结合学生年级特点，注重知识性与趣味性的结合，强调实践操作和团队合作。

学生特点：学生具备一定的数学基础，对新鲜事物充满好奇心，喜欢探索和挑战。

教学要求：教师需运用生动形象的语言、丰富的教学手段，引导学生主动参与课堂，激发学生的学习兴趣和探究欲望，注重培养学生的实际操作能力和团队协作能力。

通过本课程的学习，使学生达到预期学习成果，为后续学习打下坚实基础。

二、教学内容1. 斐波那契数列的概念与性质：介绍斐波那契数列的定义、特点，以及其在自然界、数学和计算机科学中的应用实例。

- 教材章节：第二章数列与数学归纳法，第三节斐波那契数列。

- 内容安排：讲解斐波那契数列的起源，引导学生探索数列的规律。

2. 斐波那契数列的递推公式：推导斐波那契数列的递推公式，并运用公式解决相关问题。

- 教材章节：第二章数列与数学归纳法，第四节数列的递推关系。

- 内容安排：引导学生通过观察斐波那契数列的规律，自主推导递推公式。

3. 斐波那契数列的应用：分析斐波那契数列在实际问题中的应用，如兔子繁殖问题、螺旋线等。

- 教材章节：第二章数列与数学归纳法，第五节数列的应用。

人教版小学数学六年级下册《斐波那契数列》教学设计(课例)

人教版小学数学六年级下册《斐波那契数列》教学设计(课例)课题：斐波那契数列年级：六年级学科：数学设计者：未知教学目标：1.知识与技能：使学生了解斐波那契数列的由来、特点和规律，并感受斐波那契数列与自然的神秘联系。

2.过程与方法：培养学生的观察、分析、概括及探究能力。

3.情感、态度和价值观：向学生展示生活中的数学，使学生在欣赏的同时，感受数学的神奇，产生热爱数学、热爱自然的情感。

同时培养学生科学研究的态度和方法。

教学过程：一、探究数列：1.情境引入：老师出示兔子的图片，引导学生探究斐波那契数列。

如果刚开始第一个月有1对小兔，到了第5个月兔子怎么样？到了第8个月呢？这是怎么回事呢？2.探索研究：1）学生读懂了关于小兔子的问题，老师出示大兔子、小兔子的图片，让学生用图来摆出这段话的意思。

学生可以通过生贴生讲的方式，将每个月之间的关系、每对兔子之间的关系摆出来，让同学们能够清晰地理解。

2）老师引导学生自己尝试着研究第五个月、第六个月有多少对兔子。

学生可以记录下自己的研究过程，与周围的同学交流，互相研究。

学生可以用各种图形、符号来代替兔子，这种数学的思维意识非常好。

老师可以展示几种不同的方法，让学生比较并评价。

我们可以用大圆和小圆来区分大兔和小兔。

当面对“第5个月第6个月有多少对兔子”这个复杂的问题时，我们可以通过画图来清晰地理解题意。

在研究数学的过程中，我们可以利用图形和符号来解决许多问题。

现在，让我们看看如何计算6月有多少对兔子。

我们可以先看4月和5月的情况。

4月的2对大兔到5月仍然是大兔，而1对小兔则长大了。

因此，5月有3对大兔和2对小兔。

接着，5月的3对大兔到6月仍然是大兔，而2对小兔则也长大了。

因此，6月有5对大兔和3对小兔。

我们可以用算式3+5=8来表示这个结果。

那么，如何知道6月一定有3对小兔呢？我们可以通过观察5月的3对大兔来得知。

同样地，我们可以通过观察4月的兔子数来得知5月和6月的情况。

有趣的“斐波那契数列”(韩俊利)

有趣的“斐波那契数列”“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契，他被人称作“比萨的列昂纳多”。

1202年，他撰写了《珠算原理》一书。

他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。

斐波那契数列指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21……一、生活中的斐波那契现象1、细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。

2、细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。

斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：3………………………百合和蝴蝶花5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草8………………………翠雀花13………………………金盏草21………………………紫宛34，55，84……………雏菊3、斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。

例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。

叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。

叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。

在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。

多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

二、在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1……过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8……三、斐波那契数列与黄金比值相继的斐波那契数的比的数列：它们交错地或大于或小于黄金比的值。

该数列的极限为。

这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。

四、斐波那契数列蕴藏着算法思想在科学计算中，有许多有规律的重复计算，如数列求项、求和等问题，非常适合计算机处理，需要借助于算法的循环结构。

简单而有趣的数列

简单而有趣的数列数列作为数学中的一个重要概念，是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。

在我们的日常生活中，数列也能带给我们许多乐趣和惊喜。

本文将介绍一些简单而有趣的数列，并探索它们背后的数学原理。

1. 斐波那契数列斐波那契数列是一种非常著名且有趣的数列，它的特点是每一项都是前两项的和。

数列的开始是0和1，接下来的项依次为1、2、3、5、8、13等。

这个数列在自然界中广泛存在，比如植物的枝叶数目、兔子的繁殖等。

斐波那契数列不仅仅因为其规律性而著名，还能带给我们许多有趣的数学问题，比如如何判断一个数是否为斐波那契数。

2. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变。

例如，1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。

等差数列在我们的生活中随处可见，比如每天温度的变化、银行利率的计算等。

我们可以通过求和公式来快速计算一个等差数列的和，这在实际问题中会非常有用。

3. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变。

例如，2、6、18、54就是一个公比为3的等比数列。

等比数列在很多领域中都有应用，比如复利的计算、生物的繁殖等。

通过求和公式，我们也可以快速计算一个等比数列的和。

4. 平方数列平方数列是指数列中的每一项都是某个整数的平方。

例如，1、4、9、16、25就是一个平方数列。

平方数列不仅仅是数学上的概念，它也可以体现在几何图形上，比如正方形的边长依次为1、2、3、4。

5. 素数数列素数数列是指数列中的每一项都是素数。

素数是指大于1且只能整除1和自身的自然数。

素数数列是数学中一个具有挑战性的问题，至今仍然没有找到一种简单而通用的方法来生成素数数列。

然而，素数数列在密码学和计算机科学中有重要的应用。

总结：数列作为数学中的一个重要概念，不仅仅是在纸上的数字序列，它还存在于我们的现实生活中。

从斐波那契数列到素数数列，每一种数列都承载着数学的美妙和深奥。

通过研究和探索这些简单而有趣的数列，我们能够更好地理解数学的原理，同时也享受到数学带来的乐趣和挑战。

有趣的斐波那契数列例子

斐波那契数列斐波那契的发明者,是数学家Leonardo Fibonacci,生于公元1170年,卒于1240年,籍贯大概是;他被人称作“比萨的列昂纳多”;1202年,他了珠算原理Liber Abacci一书;他是第一个研究了和数学理论的人;他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点相当于今日的地区,列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学;他还曾在、、、和研究;斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和;斐波那契数列通项公式通项公式见图又叫“比内公式”,是用表示的一个范例;注：此时a1=1,a2=1,an=an-1+an-2n>=3,n∈N通项公式的推导斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……如果设Fn为该数列的第n项n∈N+;那么这句话可以写成如下形式：F0 = 0,F1=1,Fn=Fn-1+Fn-2 n≥2,显然这是一个递推数列;方法一：利用特征方程线性代数解法线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=1+√5/2,,X2=1-√5/2;则Fn=C1X1^n + C2X2^n;∵F1=F2=1;∴C1X1 + C2X2;C1X1^2 + C2X2^2;解得C1=1/√5,C2=-1/√5;∴Fn=1/√5{1+√5/2^n+1 - 1-√5/2^n+1}√5表示5;方法二：待定系数法构造等比数列1初等待数解法设常数r,s;使得Fn-rFn-1=sFn-1-rFn-2;则r+s=1, -rs=1;n≥3时,有;Fn-rFn-1=sFn-1-rFn-2;Fn-1-rFn-2=sFn-2-rFn-3;Fn-2-rFn-3=sFn-3-rFn-4;……F3-rF2=sF2-rF1;联立以上n-2个式子,得：Fn-rFn-1=s^n-2F2-rF1;∵s=1-r,F1=F2=1;上式可化简得：Fn=s^n-1+rFn-1 ;那么：Fn=s^n-1+rFn-1;= s^n-1 + rs^n-2 + r^2Fn-2;= s^n-1 + rs^n-2 + r^2s^n-3 + r^3Fn-3;……= s^n-1 + rs^n-2 + r^2s^n-3 +……+ r^n-2s + r^n-1F1;= s^n-1 + rs^n-2 + r^2s^n-3 +……+ r^n-2s + r^n-1;这是一个以s^n-1为首项、以r^n-1为末项、r/s为公比的的各项的和;=s^n-1-r^n-1r/s/1-r/s;=s^n - r^n/s-r;r+s=1, -rs=1的一解为s=1+√5/2,r=1-√5/2;则Fn=1/√5{1+√5/2^n+1 - 1-√5/2^n+1};方法三：待定系数法构造等比数列2初等待数解法已知a1=1,a2=1,an=an-1+an-2n>=3,求数列{an}的通项公式;解:设an-αan-1=βan-1-αan-2;得α+β=1;αβ=-1;构造方程x^2-x-1=0,解得α=1-√5/2,β=1+√5/2或α=1+√5/2,β=1-√5/2;所以;an-1-√5/2an-1=1+√5/2an-1-1-√5/2an-2=1+√5/2^n-2a2-1-√5/2a1`````````1;an-1+√5/2an-1=1-√5/2an-1-1+√5/2an-2=1-√5/2^n-2a2-1+√5/2a1`````````2;由式1,式2,可得;an=1+√5/2^n-2a2-1-√5/2a1``````````````3;an=1-√5/2^n-2a2-1+√5/2a1``````````````4;将式31+√5/2-式41-√5/2,化简得an=1/√5{1+√5/2^n - 1-√5/2^n};与黄金分割的关系有趣的是：这样一个完全是的数列,通项公式却是用无理数来表达的;而且当n时an-1/an越来越逼近数;1÷1=1,2÷1=2,3÷2=,5÷3=...,8÷5=,…………,89÷55=…,…………233÷144=…75025÷46368=…;..越到后面,这些比值越接近黄金比.证明:an+2=an+1+an;两边同时除以an+1得到：an+2/an+1=1+an/an+1;若an+1/an的极限存在,设其极限为x,则limn->∞an+2/an+1=limn->∞an+1/an=x;所以x=1+1/x;即x²=x+1;所以极限是黄金分割比;奇妙的属性斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等,有时也可能是我们对斐波那契额数过于热衷,把原来只是巧合的东西强行划分为斐波那契数;比如钢琴上白键的8,黑键上的5都是斐波那契数,因该把它看做巧合还是规律呢随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值……从第二项开始,每个奇数项的都比前后两项之积多1,每个项的平方都比前后两项之积少1;注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶,而并不是列的本身的奇偶,比如第四项3是奇数,但它是偶数项,第五项5是奇数,它是奇数项,如果认为数字3和5都是奇数项,那就误解题意,怎么都说不通多了的一在哪如果你看到有这样一个题目：某人把一个88的方格切成四块,拼成一个513的,故作惊讶地问你：为什么64=65其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到;斐波那契数列的第n项同时也代表了{1,2,...,n}中所有不相邻正的个数;斐波那契数列fn,f0=0,f1=1,f2=1,f3=2……的其他性质：0+f1+f2+…+fn=fn+2-1;1+f3+f5+…+f2n-1=f2n;2+f4+f6+…+f2n =f2n+1-1;4.f0^2+f1^2+…+fn^2=fn·fn+1;0-f1+f2-…+-1^n·fn=-1^n·fn+1-fn+1;m+n-1=fm-1·fn-1+fm·fn;利用这一点,可以用程序编出时间复杂度仅为Olog n的程序;怎样实现呢伪代码描述一下7.fn^2=-1^n-1+fn-1·fn+1;2n-1=fn^2-fn-2^2;n=fn+2+fn-2;2n-2m-2f2n+f2n+2=f2m+2+f4n-2m n〉m≥-1,且n≥1斐波那契数列2n+1=fn^2+fn+1^2.在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列将杨辉三角依次下降,成如图所示排列,将同一行的数加起来,即得一数列1、1、2、3、5、8、……公式表示如下：f1=C0,0=1 ;f2=C1,0=1 ;f3=C2,0+C1,1=1+1=2 ;f4=C3,0+C2,1=1+2=3 ;f5=C4,0+C3,1+C2,2=1+3+1=5 ;f6=C5,0+C4,1+C3,2=1+4+3=8 ;F7=C6,0+C5,1+C4,2+C3,3=1+5+6+1=13 ;……Fn=Cn-1,0+Cn-2,1+…+Cn-1-m,m m<=n-1-m斐波那契数列的整除性与素数生成性每3个数有且只有一个被2整除,每4个数有且只有一个被3整除,每5个数有且只有一个被5整除,每6个数有且只有一个被8整除,每7个数有且只有一个被13整除,每8个数有且只有一个被21整除,每9个数有且只有一个被34整除,.......我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5,13,89,233,1597,28657第19位不是斐波那契数列的素数无限多吗斐波那契数列的个位数：一个60步的循环11235,83145,94370,77415,,99875,27965,16730,33695,49325,72910…斐波那契数与植物花瓣3………………………百合和蝴蝶花5………………………蓝花耧斗菜、、飞燕草、毛茛花8………………………翠雀花13………………………金盏和玫瑰21………………………紫宛34、55、89……………雏菊斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现;例如,在树木的枝干上选一片叶子,记其为数0,然后依序点数叶子假定没有折损,直到到达与那息叶子正对的位置,则其间的叶子数多半是斐波那契数;叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回;叶子在一个循回中的圈数也是斐波那契数;在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为源自希腊词,意即叶子的排列比;多数的叶序比呈现为斐波那契数的比;斐波那契—卢卡斯数列与广义斐波那契数列黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质：中间项的平方数与前后两项之积的差的是一个恒值,斐波那契数列：|11-12|=|22-13|=|33-25|=|55-38|=|88-513|=…=1卢卡斯数列：|33-14|=|44-37|=…=5F1,4数列：|44-15|=11F2,5数列：|55-27|=11F2,7数列：|77-29|=31斐波那契数列这个值是1最小,也就是前后项之比接近最快,我们称为黄金特征,黄金特征1的数列只有斐波那契数列,是独生数列;卢卡斯数列的黄金特征是5,也是独生数列;前两项的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列;而F1,4与F2,5的黄金特征都是11,是孪生数列;F2,7也有孪生数列：F3,8;其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是孪生数列,称为孪生斐波那契—卢卡斯数列; 广义斐波那契数列斐波那契数列的黄金特征1,还让我们联想到佩儿数列：1,2,5,12,29,…,也有|22-15|=|55-212|=…=1该类数列的这种称为勾股特征;数列Pn的递推规则：P1=1,P2=2,Pn=Pn-2+2Pn-1.据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：fn = fn-1 p + fn-2 q,称为广义斐波那契数列;当p=1,q=1时,我们得到斐波那契—卢卡斯数列;当p=1,q=2时,我们得到佩尔—勾股弦数跟边长为整数的有关的数列集合;当p=-1,q=2时,我们得到等差数列;其中f1=1,f2=2时,我们得到自然数列1,2,3,4…;自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为1等差数列的这种差值称为;具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义斐波那契数列p=±1;当f1=1,f2=2,p=2,q=1时,我们得到等比数列1,2,4,8,16……相关的数学问题1.排列组合有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶,有两种登法；登上三级台阶,有三种登法；登上四级台阶,有五种登法……1,2,3,5,8,13……所以,登上十级,有89种走法;类似的,一枚均匀的硬币掷10次,问不连续出现正面的可能情形有多少种答案是1/√5{1+√5/2^10+2 - 1-√5/2^10+2}=144种;2.数列中相邻两项的前项比后项的极限当n趋于无穷大时,Fn/Fn+1的极限是多少这个可由它的通项公式直接得到,极限是-1+√5/2,这个就是黄金分割的数值,也是代表的和谐的一个数字;3.求递推数列a1=1,an+1=1+1/an的通项公式由可以得到：an=Fn+1/Fn,将斐波那契数列的通项式代入,化简就得结果;3.兔子繁殖问题关于斐波那契数列的别名斐波那契数列又学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“”;一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来;如果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对两个月后,生下一对小兔民数共有两对三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对－－－－－－依次类推可以列出下表：经过月数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12幼仔0 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89成兔对数0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 总体对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 幼仔对数=前月成兔对数成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列;这个数列有关十分明显的特点,那是：前面相邻两项之和,构成了后一项;这个数列是意大利数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的,这个的通项公式,除了具有an+2=an+an+1的性质外,还可以证明通项公式为：an=1/√5{1+√5/2^n-1-√5/2^n}n=1,2,3.....数学游戏一位拿着一块边长为8英尺的地毯,对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块,再把它们缝成一块长13英尺,宽5英尺的长方形地毯;”这位匠师对魔术师之差深感惊异,因为两者之间面积相差达一平方英尺呢可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的这真是不可思议的事亲爱的读者,你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢实际上后来缝成的地毯有条细缝,面积刚好就是一平方英尺;自然界中的巧合斐波那契数列在自然科学的其他分支,也有许多应用;例如,树木的生长,由于新生的枝条,往往需要一段“休息”时间,供自身生长,而后才能萌发新枝;所以,一株树苗在一段间隔,例如一年,以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发；此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发,当年生的新枝则次年“休息”;这样,一株树木各个年份的枝桠数,便构成斐波那契数列;这个规律,就是生物学上着名的“鲁德维格定律”;另外,观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣,可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、……斐波那契螺旋：具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的的头部这些植物懂得斐波那契数列吗应该并非如此,它们只是按照自然的规律才进化成这样;这似乎是植物排列种子的“优化方式”,它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当,不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉;叶子的生长方式也是如此,对于许多植物来说,每片叶子从中轴附近生长出来,为了在生长的过程中一直都能最佳地利用要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来,而不是一下子同时出现的,每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是度,这个角度称为“黄金角度”,因为它和整个圆周360度之比是……的,而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生;向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89,甚至144条;数字谜题三角形的三边关系和斐波那契数列的一个联系：现有长为144cm的铁丝,要截成n小段n>2,每段的长度不小于1cm,如果其中任意三小段都不能拼成三角形,则n的最大值为多少分析：由于形成三角形的是任何两边之和大于第三边,因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边;截成的铁丝最小为1,因此可以放2个1,第三条就是2为了使得n最大,因此要使剩下来的铁丝尽可能长,因此每一条线段总是前面的相邻2段之和,依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55,以上各数之和为143,与144相差1,因此可以取最后一段为56,这时n达到最大为10;我们看到,“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用,正是这个最1产生了斐波那契数列,如果把1换成其他数,递推关系保留了,但这个数列消失了;这里,三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系;在这个问题中,144>143,这个143是斐波那契数列的前n项和,我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去,如果加到其他数上,就有3条线段可以构成三角形了;影视作品中的斐波那契数列斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知,于是在电影这种通俗艺术中也时常出现,比如在风靡一时的里它就作为一个重要的符号和情节线索出现,在魔法玩具城里又是在店主招聘会计时随口问的问题;可见此数列就像黄金分割一样流行;可是虽说叫得上名,多数人也就背过前几个数,并没有深入理解研究;在电视剧中也出现斐波那契数列,比如：日剧考试之神第五回,义嗣做全国模拟考试题中的最后一道~社会文明中的斐波那契数列艾略特波浪理论1946年,艾略特完成了关于波浪理论的集大成之作,自然法则——宇宙的秘密;艾略特坚信,他的波浪理论是制约人类一切活动的普遍自然法则的一部分;波浪理论的优点是,对即将出现的顶部或底部能提前发出警示信号,而传统的技术分析方法只有事后才能验证;艾略特波浪理论对市场运作具备了全方位的透视能力,从而有助于解释特定的形态为什么要出现,在何处出现,以及它们为什么具备如此这般的预测意义等等问题;另外,它也有助于我们判明当前的市场在其总体周期结构中所处的地位;波浪理论的数学基础,就是在13世纪发现的费氏数列;波浪理论数学结构8浪循环图·8浪循环图说明·波浪理论的推动浪,浪数为51、2、3、4、5,调整浪的浪数为3a\b\c,合起来为8;·8浪循环中,前5段波浪构成一段明显的上升浪,其中包括3个向上的冲击波及两个下降的调整波;在3个冲击波之后,是由3个波浪组成的一段下跌的趋势,是对前一段5浪升势的总调整;这是艾略特对波浪理论的基本描述;而在这8个波浪中,上升的浪与下跌的浪各占4个,可以理解为艾略特对于股价走势对称性的隐喻;·在波浪理论中,最困难的地方是：波浪等级的划分;如果要在特定的周期中正确地指认某一段波浪的特定属性,不仅需要形态上的支持,而且需要对波浪运行的时间作出正确的判断;·换句话说,波浪理论易学难精,易在形态上的归纳、总结,难在价位及时间周期的判定;波浪理论的数字基础：斐波那契数列波浪理论数学结构——斐波那契数列与黄金分割率·这个数列就是斐波那契数列;它满足如下特性：每两个相连数字相加等于其后第一个数字；前一个数字大约是后一个数字的倍；前一个数字约是其后第二个数字的倍；后一个数字约是前一个数字的倍；后一个数字约是前面第二个数字的倍；·由此计算出常见的黄金分割率为和外：、、、、、、、、、·黄金分割比率对于股票市场运行的时间周期和价格幅度模型具有重要启示及应用价值;黄金分割比率在时间周期模型上的应用·未来市场转折点=已知时间周期×分割比率·已知时间周期有两种：1循环周期：最近两个顶之间的运行时间或两个底之间的运行时间2趋势周期：最近一段升势的运行时间或一段跌势的运行时间·一般来讲,用循环周期可以计算出下一个反向趋势的终点,即用底部循环计算下一个升势的顶,或用顶部循环计算下一个跌势的底;而用趋势周期可以计算下一个同方向趋势的终点或是下一个反方向趋势的终点;时间循环周期模型预测图时间趋势周期模型预测图时间周期与波浪数浪的数学关系·一个完整的趋势推动浪3波或调整浪3波,运行时间最短为第一波1浪或A浪的倍,最长为第一波的倍;如果第一波太过短促,则以第一个循环计算A浪与B浪或1浪与2浪;·及的周期一旦成立,则出现的行情大多属次级趋势,但行情发展迅速;·同级次两波反向趋势组成的循环,运行时间至少为第一波运行时间的倍;·一个很长的跌势或升势结束后,其右底或右顶通常在前趋势的或倍时间出现;黄金分割比率在价格幅度模型上的应用·如果推动浪中的一个子浪成为延伸浪的话,则其他两个推动浪不管其运行的幅度还是运行的时间,都将会趋向于一致;也就是说,当推动浪中的浪3在走势中成为延伸浪时,则浪1与浪5的升幅和运行时间将会大致趋同;假如并非完全相等,则极有可能以的关系相互维系;·浪5最终目标,可以根据浪1浪底至浪2浪顶距离来进行预估,他们之间的关系,通常亦包含有神奇数字组合比率的关系;·对于ABC调整浪来说,浪C的最终目标值可能根据浪A的幅度来预估;浪C的长度会经常是浪A的倍;当然我们也可以用下列公式预测浪C的下跌目标：浪A浪底减浪A乘;·在对称三角形内,每个浪的升跌幅度与其他浪的比率,通常以的神奇比例互相维系;黄金分割比率在价格幅度模型上的应用·：浪4常见的回吐比率、部份浪2的回吐比率、浪B的回吐比率;·：大部份浪2的调整幅度、浪5的预期目标、浪B的调整比率、三角形内浪浪之间比率;·：常见是浪B的调整幅度;·：浪3或浪4的回吐比率,但不多见;·与：·：浪3与浪1、浪C与浪A的比率关系;推动浪形态·推动浪有五浪构成;第一浪通常只是由一小部分交易者参与的微弱的波动;一旦浪1结束,交易者们将在浪2卖出;浪2的卖出是十分凶恶的,最后浪2在不创新低的情况下,市场开始转向启动下一浪波动;浪3波动的初始阶段是缓慢的,并且它将到达前一次波动的顶部浪1的顶部;推动浪浪5未能创新高低,市场将会出现大逆转推动浪的变异形态——倾斜三角形·倾斜三角形为推动浪中的一种特殊型态比较少见,主要出现在第5浪的位置;艾略特指出,在股市中,一旦出现一段走势呈现快速上升或赶底的状况,其后经常会出现倾斜三角形型态调整浪形态·调整是十分难以掌握的,许多艾略特交易者在推动模式阶段上赚钱而在调整阶段再输钱;一个推动阶段包括五浪;调整阶段由三浪组成,但有一个三角形的例外;一个推动经常伴随着一个调整的模式;·调整模式可以被分成两类：·简单的调整：之字型调整N字型调整·复杂的调整：平坦型、不规则型、三角形型调整浪的简单与复杂调整的交替准则调整浪的变异形态：强势三角形调整浪的变异形态：前置三角形各段波浪的特性·在8浪循环中,每段波浪都有不同的特点,熟知这些特点,对波浪属性的判断极有帮助,·第1浪：大部分第1浪属于营造底部形态的一部份,相当于形态分析中头肩底的底部或双底的右底,对这种类型的第1浪的调整第2浪幅度通常较大,理论上可以回到第1浪的起点;小部份第1浪在大型调整形态之后出现,形态上呈V形反转,这类第1浪升幅较为可观;在K线图上,经常出现带长下影线的大阳线;从波浪的划分来说,在5-3-5的调整浪当中,第1浪也可以向下运行,通常第1浪在分时图上应该显示明确的5浪形态;·第2浪：在强势调整的第2浪中,其回调幅度可能达到第1浪幅度的或,在更多的情况下,第2浪的回调幅度会达到100%,形态上经常表现为头肩底的右底,使人误以为跌势尚未结束;在第2浪回调结束时,指标系统经常出现超卖、背离等现象;第2浪成交量逐渐缩小,波幅较细,这是卖力衰竭的表现;出现传统系统的转向信号,如头肩底、双底等;·第3浪：如果运行时间较短,则升速通常较快;在一般情况下为第1浪升幅的倍;如果第3浪升幅与第1浪等长,则第5浪通常出现扩延的情况;在第3浪当中,唯一的操作原则是顺势而为;因为第3浪的升幅及时间经常会超出分析者的预测;通常第3浪运行幅度及时间最长;属于最具爆发性的一浪;大部分第3浪成为扩延浪;第3浪成交量最大;出现传统图表的突破信号,如跳空缺口等;·第4浪：如果第4浪以平坦型或N字型出现,a小浪与c小浪的长度将会相同;第4浪与第2浪经常是交替形态的关系,即单复式交替或平坦型、曲折型或三角形的交替;第4浪的低点经常是其后更大级数调整浪中A浪的低点;经常以较为复杂的形态出现,尤其以三角形较为多见;通常在第3浪中所衍生出来的较低一级的第4浪底部范围内结束;第4浪的底不会低于第1浪的顶;·第5浪：除非发生扩延的情况,第5浪的成交量及升幅均小于第3浪;第5浪的上升经常是在指标出现顶背离或钝化的过程中完成;在第5浪出现衰竭性上升的情况下,经常出现上升楔形形态;这时,成交量与升幅也会出现背离的情况;如果第1、3浪等长,则第5浪经常出现扩延;如果第3浪出现扩延浪,则第5浪幅度与第1浪大致等长;市场处于狂热状态;·第6浪A浪：A浪可以为3波或者5波的形态;在A浪以3波调整时,在A浪结束时,市场经常会认为整个调整已经结束;在多数情况下,A浪可以分割为5小浪;市场人士多认为市场并未逆转,只视为一个较短暂的调整;图表上,阴线出现的频率增大;·第7浪B浪：在A浪以3波形态出现的时候,B浪的走势通常很强,甚至可以超越A浪的起点,形态上出现平坦型或三角形的概率很大;而A浪以5波运行的时候,B浪通常回调至A浪幅度的至;升势较为情绪化,维持时间较短;成交量较小;·第8浪C浪：除三角形之外,在多数情况下,C浪的幅度至少与A浪等长;杀伤力最强;与第3浪特性相似,以5浪下跌;股价全线下挫;人类文明的斐波那契演进古老的<马尔萨斯理论>已经显灵马尔萨斯认为：每当社会财富快速积累,人口快速增长,就会出现：战争、瘟疫、饥荒、自然灾害来削减人口;2000年科技泡沫达到繁荣的极限,到处都是财富神话然后盛极而衰,全球经济急转直下转入衰退、长期萧条;于是：911、阿富汗战争、伊拉克战争、SARS、印度洋海啸、飓风袭击美利坚、禽流感、寒流袭击欧罗巴;这一切集中在一起接二连三地发生2000年是自上世纪30年代全球经济大萧条后,一个长达约70年的经济增长周期的结束点,后面将是一个长期萧条周期;上世纪30年代全球经济大萧条导致了二次世界大战,被艾略特称之为：底部战争;现在又是一个与上世纪30年代全球经济大萧条同级别的经济萧条周期,2000年来的经济萧条将持续至2021年才会结束预测附在下面;后面是否又会发生被艾略特称之为的：底部战争至少有不良苗头：哈马斯执政、伊朗核问题纠缠,世界将走向何方是否还记得那个着名的：1999年7月之上误差了2年恐怖大王从天而降911使安哥鲁摩阿大王为之复活美国发动反恐战争这期间由马尔斯借幸福之名统治四方唯一待验证社会群体心理、群体行为、群体价值观,乃至国际政治、经济、军事,一切皆是自相似系统分形几何运行阶段的反映和结果;1、自2000年来的全球经济萧条将持续至2021年,说明未来将是长期萧条;2、之前会有若干次小级别、温和的经济扩张和收缩,2010、2011、2018年是拐点;3、2021年是一个黑暗的年份,人们悲观、恐惧、绝望的情绪会达到一个极点;到时绝大多数经济学家会一致悲观接着柳岸花明经济开始复苏,经济学家们又挨了一记大耳光;首先,列出一组计算公式：公元1937年–公元1932年X + 公元1982年= 公元2000年公元1966年–公元1942年/ + 公元1982年= 公元1999年公元1837年–公元1789年X + 公元1932年= 公元1998年公元1325年–公元950年X –公元1650年–公元1490年+ 公元1789年–公元1650年+ 公元1789年= 公元2000年其中：公元950年商业革命的起点公元1325年商业革命的结束点公元1490年资本主义革命的起点公元1650年资本主义革命的结束点公元1789年工业革命的起点公元1837年公元1789年后第一轮经济扩张的结束点公元1932年自公元1929年资本主义世界股灾的结束点公元1937 年公元1929年股灾后第一轮经济扩张的结束点公元1942年公元1929年股灾后第二轮经济扩张的起点公元1966年公元1929年股灾后第二轮经济扩张的结束点公元1982年70年代全球经济滞胀的结束点、、是斐波那契比率,来源于斐波那契数列前2个计算公式的含义：自上世纪30年代资本主义世界经济大萧条以来,新的一个自公元1932年开始的上升5浪的经济扩张周期已经结束,结束点为公元2000年;那么接着是一个调整期经济。

无处不在的斐波那契数列

无处不在的斐波那契数列斐波那契数列是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明，起始的正方形的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、2l……等等的正方形。

这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。

1.斐波那契数列的提出斐波那契是意大利的数学家，他是一个商人的儿子，儿童时代跟随父亲到了阿尔及利亚，在那里学到了许多阿拉伯的算术和代数知识，从而对数学产生了浓厚的兴趣。

长大以后,因为商业贸易关系,他走遍了许多国家,到过埃及,叙利亚,希腊,西西里和法兰西.每到一处他都留心搜集数学知识。

回国后,他把搜集到的算术和代数材料,进行研究,整理,编写成一本书,取名为《算盘之书》,于1202年正式出版。

这本书是欧洲人从亚洲学来的算术和代数知识的整理和总结,它推动了欧洲数学的发展.其中有一道“兔子数目”的问题是这样的: 一个人到集市上买了一对小兔子,一个月后,这对小兔子长成一对大兔子.然后这对大兔子每过一个月就可以生一对小兔子,而每对小兔子也都是经过一个月可以长成大兔子,长成大兔后也是每经过一个月就可以生一对小兔子.那么,从此人在市场上买回那对小兔子算起,每个月后,他拥有多少对小兔子和多少对大兔子?这是一个有趣的问题.当你将小兔子和大兔子的对数算出以后,你将发现这是一个很有规律的数列,而且这个数列与一些自然现象有关.人们为了纪念这位兔子问题的创始人,就把这个数列称为"斐波那契数列".你能把兔子的对数计算出来吗?解:可以这么推算:第一个月后,小兔子刚长成大兔子,还不能生小兔子,所以只有一对大兔子。

第二个月后,大兔子生了一对小兔子,他有了一对小兔子和一对大兔子。

第三个月后,原先的大兔子又生了一对小兔子,上月出生的小兔子也长成了大兔子,他共有一对小兔子和两对大兔子。

第四个月后,两对大兔子各生一对小兔子,上月出生的小兔子又长成了大兔子,他共有两对小兔子和三对大兔子。

体验有趣的数列与等差数列

体验有趣的数列与等差数列在数学中，数列是由一系列数字按照特定规律排列而成的序列。

其中，有一类数列被称为等差数列，它们的相邻项之间的差值始终保持一致。

而另一类数列则是以有趣的方式增加或减少，这些数列往往带给我们不同寻常的体验和思考方式。

本文将介绍一些有趣的数列以及等差数列，并探讨它们的性质和应用。

一、斐波那契数列斐波那契数列是一种非常有趣的数列，它的定义规则如下：第一项和第二项都是1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

所以这个数列的前几项依次为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…… 斐波那契数列具有很多令人惊叹的性质和应用。

首先，斐波那契数列在自然界中的广泛出现让人惊叹不已。

例如，很多植物的花瓣数量就是斐波那契数列中的某几个数字，如百合花有3或5瓣，向日葵有21或34瓣等。

这种自然界和数学规律的奇妙结合引发了人们对数学和生物学之间关系的探索研究。

其次，斐波那契数列还具有一些有趣的数学性质。

例如，相邻两项的比值会越来越接近黄金分割数0.618，当项数越大时，这种趋势更加明显。

斐波那契数列的若干性质和特点一直是数学研究的热点领域。

二、等差数列等差数列是一种依次递增或递减，且相邻项之间差值保持一致的数列。

例如，1, 3, 5, 7, 9 就是一个公差为2的等差数列。

等差数列具有很多重要性质和应用。

首先，等差数列可以用来解决一些实际问题。

例如，假设你每天存储一定量的钱，将其看作等差数列，那么在一段时间后，你可以计算出你的总存款和每天存款的平均值。

这种应用常见于金融和经济领域，帮助我们更好地了解资金的增长和变动。

其次，等差数列在数学的数值和符号运算中也具有重要作用。

通过对等差数列进行求和，我们可以得到一个简洁的公式，称为等差数列的求和公式。

这个公式可以帮助我们快速计算长数列的和，节省时间和精力。

三、斐波那契数列与等差数列的联系虽然斐波那契数列和等差数列看起来截然不同，但它们之间其实存在一定的联系。

大班数学：有趣的数字

大班数学：有趣的数字1. 引言在大班数学学习中，我们将会接触到各种各样的数字。

数字不仅仅是用来计数和量化的工具，它们还可以带给我们乐趣和启发。

本文将介绍一些有趣的数字，以帮助学生更好地理解数学的美妙之处。

2. Fibonacci数列Fibonacci数列是一个非常有趣的数列，它的每个数字都是前两个数字的和。

数列的前几个数字是 0、1、1、2、3、5、8、13、21…… Fibonacci数列在自然界中有许多出现的例子，比如植物的花瓣数、蜂窝的结构等等。

学生们可以通过计算Fibonacci数列的前几个数字，发现其中的规律，并深入探讨这个数列在数学和自然科学中的应用。

3. 质数质数是只能被1和自身整除的整数。

它们常常被认为是数学世界中最基本的数字。

质数有很多有趣的性质，比如：•质数之和无穷：质数的数量是无穷的。

•相邻质数之差：相邻质数之差可以非常大，也可以很小。

•质数分布：质数并不均匀地分布在整数数轴上。

例如，质数在小的范围内往往会更密集，但随着数值的增大，它们会变得稀疏。

学生们可以通过计算质数和探索质数的特性，培养对数字的敏感度和数学思维。

4. 圆周率圆周率是一个非常特殊的数字，它是圆的周长与直径之比。

在数学中，圆周率通常用希腊字母π来表示，它的近似值是3.14。

然而，圆周率的小数部分是无限不循环的，这让它有着奇特的魅力。

计算圆周率一直是一个有趣而具有挑战性的数学问题。

从古代到现代，许多数学家和科学家都致力于计算圆周率的精确值。

学生们可以通过使用不同的公式和算法来逼近圆周率的值，体验数学探索的乐趣。

5. 完全数在数学中，完全数是指它的所有真因子的和（即除去自身以外的约数）等于它本身的数。

例如，6是一个完全数，因为它的真因子是1、2，而1 + 2 = 3 = 6。

完全数是非常罕见的，目前已知的完全数只有很少几个。

学生们可以通过计算并探索不同的数字，看看是否能够找到更多完全数，提高他们的数学发现能力。

校本课程有趣的斐波拉契数列

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数列教案二斐波那契数列的性质与应用

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神奇的数学世界斐波那契数列的课程设计

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有趣的“斐波那契数列”(韩俊利)

简单而有趣的数列

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