函数的最大最小值

[解析] 设－3≤x1<x2≤－2， 则 f(x1)－f(x2)＝x12＋x11－x22＋x21 ＝2x1x2x＋1＋11－x22x＋2x11＋1＝x12＋x11－xx2＋2 1.
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
∵－3≤x1<x2≤－2， ∴x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0. ∴f(x1)－f(x2)<0，所以 f(x1)<f(x2)． ∴函数 f(x)＝x＋2x1，x∈[－3，－2]是增函数． 又∵f(－2)＝4，f(－3)＝3， ∴函数的最大值是 4，最小值是 3.
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
题型三 二次函数的最值
例 3 已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x 在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．
(1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]． [解析] f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，作出函 数y＝f(x)的图象，如图所示．
则实数a的取值集合为____{－__3_}____. [错解] 函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间(－
∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，即a≤－3.故填a≤－3. [错因分析] 导致上述错解的原因是把“单调区间”误认为是“在区
间上单调”．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
(1)求证：f(x)在[3,5]上为增函数； (2)求 f(x)在[3,5]上的最大值和最小值．
[分析] 利用函数单调性来求函数最值，即先判断函数的单调性，再 求最值．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[解析] (1)证明：任取 x1，x2∈[3,5]且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝xx11＋－21－xx22＋－21 ＝x1－1x2x＋1＋22－x2x＋2－21 x1＋2 ＝x1x2＋2x1－xx21－＋22－xx21＋x2－2 2x2＋x1＋2 ＝x13＋x21－xx2＋2 2
所以最小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
t2＋1，t<0，
综上可得，g(t)＝1，0≤t≤1， t2－2t＋2，t>1.
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
误区警示
混淆“单调区间”和“区间上单调” 例 4 若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图1所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上
为减函数，所以最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1； 当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图2所示，最小值为g(t)＝
f(1)＝1；当t>1时，函数图象如图3所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增
函数．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[归纳提升] 定轴定区间的二次函数的最值问题的解法 解决这类问题，要画出函数的图象，根据给定的区间截取符合要求 的部分，根据图象写出最大值和最小值．经常用到的结论：当二次函数 图象开口向上时，自变量距离对称轴越远，对应的函数值越大；当图象 开口向下时，则相反．
第2课时 函数的最大(小)值
第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
知识点
基础知识 函数的最大值和最小值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M(或m)满足
条件 结论
(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；
(3)∀x∈I，都有f(x)≥m；
(2)__∃_x_0∈__I_，__使__得__f_(x_0_)＝__M_________ (4)∃x0∈I，使得f(x0)＝m
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[归纳提升] 1.利用函数单调性求最值的一般步骤： (1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．利用单调性求最值的三个常用结论
(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的
左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，
则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，
则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
【对点练习】❷ 已知函数 f(x)＝x＋2x1，x∈[－3，－2]，求函数的最 大值和最小值．
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ห้องสมุดไป่ตู้
第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
关键能力·攻重难
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
题型一 利用图象求最值
题型探究
例 1 已知函数 f(x)＝1x0<x<1 ，求函数 f(x)的最值． x1≤x≤2
[分析] 可作出分段函数的图象，利用图象法求函数最值．
M为函数y＝f(x)的最大值
m为函数y＝f(x)的最小值
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
思考：函数的最值与值域有怎样的关系？ 提示：联系：函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的 是整个定义域． 区别：(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在． (2)若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素． (3)若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区 间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
∵x1，x2∈[3,5]且 x1<x2， ∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)， ∴函数 f(x)＝xx－ ＋12在 x∈[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，当 x＝3 时，函数 f(x)取得最小值为 f(3)＝52，当 x＝5 时， 函数 f(x)取得最大值为 f(5)＝47.
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
(3)利用(2)和条件 f(31)＝－1 可得 f(3)，求得 f(m)＝2，将不等式 f(x)－
f(x－2)≥2 化为 f(x)≥f(x－2)＋f(m)的形式结合条件即可得 f(x)≥f[m(x－
2)]，再利用单调性脱去符号“f”即可求解．莫忘定义域的限制．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
【对点练习】❸ 求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值
g(t)．
[解析] f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴
为直线x＝1.
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第三章 函数的概念与性质
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
学科素养
逻辑推理——抽象函数 例 5 已知函数 f(x)的定义域是(0，＋∞)，f(x·y)＝f(x)＋f(y)，对任
意 x，y∈(0，＋∞)都成立．当 x>1 时， f(x)>0. (1)求 f(1)； (2)求证：f(x)在定义域上是增函数； (3)如果 f(13)＝－1，求满足不等式 f(x)－f(x－2)≥2 的 x 的取值范围．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立． 故当x∈R时，函数f(x)的最小值为－7，无最大值． (2)由图可知，在[0,3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为 5； 故x＝2处取得最小值，最小值为－7. (3)由图可知，函数f(x)在[－1,1]上是减函数，在x＝－1处取得最大 值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4.
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[分析] (1)由于 f(x·y)＝f(x)＋f(y)对任意 x，y∈(0，＋∞)都成立，故 可给 x、y 赋值产生 f(1)．
(2)欲证 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，需证对任意 x1，x2∈(0，＋∞) 且 x1<x2，有 f(x1)－f(x2)<0.结合已知条件 x>1 时， f(x)>0，这里xx12>1.∴ f(xx12)>0，即 f(x2·x11)＝f(x2)＋f(x11)>0，于是在 f(x·y)＝f(x)＋f(y)中令 y＝1x可得 f(x)＋f(1x)＝0，从而 f(1x)＝－f(x)．从而有 f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(x11)＝f(xx21)>0， 即可沟通条件与结论．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
2．函数y＝－|x|在R上( A ) A．有最大值0，无最小值 B．无最大值，有最小值0 C．既无最大值，又无最小值 D．以上都不对 [解析] 函数y＝－|x|在(－∞，0]上递增，在(0，＋∞)上递减，∴当x ＝0时，y取最大值0，无最小值．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
3 ． 若定 义在 区 间 (0,3]上 的函 数 y ＝f(x) 是 减函 数 ，则 它 的最 大值
( D) A．是f(0)
B．是f(3)
C．是0
D．不存在
[解析] ∵y＝f(x)在区间(0,3]上是减函数， ∴当x＝3时，f(x)取最小值f(3)，f(x)无最大值．故选D．
[正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，所以1－a＝4，即a＝ －3.故实数a的取值集合是{－3}．
[方法点拨] 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间 是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则 指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题 时，不能混淆在区间D上单调和区间D上是单调函数这两个不同的概念．
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第三章 函数的概念与性质
[解析] 作出f(x)的图象如图：
数学(必修 · 第一册 · RJA)
由图象可知，当x＝1时，f(x)取最小值1，无最大值．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[归纳提升] 利用图象法求函数最值的一般步骤是：
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第三章 函数的概念与性质
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
－2]上4．的函最数小y值＝为1x在__[2_－_,3_12]_上__的，最最小大值值为为_____13__－____13_，_最_. 大值为___12___；在[－3， [解析] 函数 y＝1x在区间[2,3]上单调递减， ∴ymin＝13，ymax＝12；在区间[－3，－2]上单调递减， ∴ymin＝－12，ymax＝－13.
以函数 f(x)的图象应为图中的实线部分．解方程 x＋2＝10－x，得 x＝4，
此时 y＝6，故两图象交点为(4,6)．观察图象知，两图象的交点即为 f(x)
的图象的最高点，即 f(x)的最大值为 6.
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
题型二 利用单调性求最值 例 2 已知函数 f(x)＝xx－ ＋12.
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数学(必修 · 第一册 · RJA)
基础自测
1．在函数y＝f(x)的定义域中存在无数个实数x满足f(x)≥M，则( D ) A．函数y＝f(x)的最小值为M B．函数y＝f(x)的最大值为M C．函数y＝f(x)无最小值 D．不能确定M是函数y＝f(x)的最小值 [解析] 根据函数最值的定义，易知选D．
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【对点练习】❶ 用min{a，b}表示a，b两个数中 的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的 最大值为__6___.
[解析] 在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x ＋2和y＝10－x的图象．
根据 min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)＝x1＋0－2，x，0≤ x>x4≤，4， 所