江苏省苏州市高二上学期期末考试数学试题
2022-2023学年江苏省苏州市高二年级上册学期期末模拟数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省苏州市高二上学期期末模拟数学试题一、单选题1．直线不经过（ ）2360x y +-=A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】作出直线的图象，可得出结论.2360x y +-=【详解】作出直线的图象如下图所示：2360x y +-=由图可知，直线不过第三象限.2360x y +-=故选：C.2．已知向量，若，则实数的值为（ ）()()1,2,3,2,,4a b x =-=-a b ⊥x A ．8B ．7C ．D ．147-【答案】B【分析】根据向量垂直，则向量数量积为0，得到，解出即可.()122340x -⨯++⨯-=【详解】已知向量，因为，()()1,2,3,2,,4a b x =-=-a b ⊥所以，解得．()122340x -⨯++⨯-=7x =故选：B ．3．如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（ ）OABC G BC OA a = OB b = OC c = =AGA ．B ．C ．D ．1122a b c -- 1122a b c-++12a b c -++12a b c -- 【答案】B【分析】根据三角形法则先求得向量、，进而求得．ABAC AG 【详解】解：，AC OC OA c a =-=-，AB OB OA b a =-=-．()()111122222AG AC AB a b c a b c∴=+=-++=-++ 故选：B ．4．在数列中，，，则数列前5项和（ ）{}n a ()*122,N n n a a n n -=+≥∈11a =12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭5S =A ．B ．C ．D ．1698910112011【答案】C【分析】根据递推公式判断其为等差数列，表示出其通项公式，然后代入裂项相消可求12n n a a +5.S 【详解】为1为首项，2为公差的等差数列，{}112,1,n n n a a a a -=+=∴，()()()1221111221,21212121n n n a n n a a n n n n +∴=+-⨯=-∴==--+-+故511111101....33591111S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C5．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线()222:104y x C a a -=>()2224x y -+=165的离心率为（ ）C A B C ．D 53【答案】C【分析】首先确定双曲线渐近线方程，结合圆的方程可确定两渐近线截圆所得弦长相等；利用垂径定理可构造方程求得的值，进而根据离心率可求得结果.a e =【详解】由双曲线方程得：渐近线方程为；2a y x =±由圆的方程知：圆心为，半径；()2,02r =与图象关于轴对称，圆的图象关于轴对称，2a y x =2a y x =-x x 两条渐近线截圆所得弦长相等，∴不妨取，即，则圆心到直线距离2a y x=20ax y -=d =弦长为，解得：，∴165==32a =双曲线离心率.∴53e ===故选：C.6．如果实数，满足，则的范围是（ ）x y ()2222x y -+=yx A ．B ．C ．D ．()1,1-[]1,1-()(),11,-∞-⋃+∞(][),11,-∞-⋃+∞【答案】B【分析】设，求的范围救等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围，结y k x =yx (),x y 合图象，易得取值范围.【详解】解：设，则表示经过原点的直线，为直线的斜率.yk x =y kx =k 如果实数，满足和，即直线同时经过原点和圆上的点.x y 22(2)2x y -+=y k x =y kx =(),x y其中圆心，半径()2,0C r =从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为E则直线的斜率就是其倾斜角的正切值，易得，EOC ∠2OC =CE r ==可由勾股定理求得，于是可得到为的最大值；OE ==tan 1CE k EOC OE =∠==yx 同理，的最小值为－1.yx 则的范围是.yx []1,1-故选：B.7．已知等差数列满足，若，则{}()1,2,3,,,n a n k k *=∈N 1113,13n n n a a a a +≤≤=125k a a a +++= k 的最大值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B【分析】设等差数列公差为，由题意可得，从而建立关于的不等式，求解{}n a d 22213d k -≥≥--k 不等式即可得答案.【详解】解：设等差数列公差为，由，且，{}n a d 1133n n na a a +≤≤11a =得，即，1[1(1)]13[1(1)],1,2,3,,13n d nd n d n k +-≤+≤+-=- (21)2,1,2,,1(23)2n d n k n d +≥-⎧=-⎨-≥-⎩ 当时，，1n =223d -≤≤当时，由，得，2,,1n k =- 222123n n -->+-221d n -≥+所以，22213d k -≥≥--所以，即，解得，(1)(1)252221k k k k k d k k ---=+≥+⋅-21050k k -+≤9k ≤所以k 的最大值是9.故选：B.8．已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，()222210x y a b a b +=>>1F 2F P 21212PF PF PF PF ⋅=⋅ 若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最12F PF △r 1123sin P PF r F F =∠2217a eb +e C 小值为（ ）A B C D 【答案】B【分析】由已知即向量数量积定义可得，应用余弦定理求得，根据121cos 2F PF ∠=2124||||3PF PF b =等面积法可得r =注意等号成立条件.【详解】由题设，故，1211212222cos PF PF PF PF F PF PF PF ⋅=⋅∠=⋅ 121cos 2F PF ∠=又，则，12[0,π)F PF ∠∈12π3F PF ∠=由余弦定理知：222221212121212121212||||||(||||)2||||||cos 2||||2||||PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +-+--∠==，12122224()41=11||||||22||2PF PF P a c b F PF --=-=所以，而，2124||||3PF PF b =1221212|||12|sin F PF PF PF PF S F ∠== 因为的内切圆的半径，故，12F PF △r 1212121(||||||)()2F PF PF PF F F r S c r a ++=+=所以，则()a c r +2=r =由，即，1123sin P PF r F F =∠121121||2sin sin 3πsin 3PF rF PF F F FcPF =∠∠==且，=2743(73)(1)0e e e e +-=-+=01e <<所以，37e =时等号成立，2217a eb +===≥=3a =故选：B二、多选题9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，{}n a q n n S n nT11a >，，则下列选项正确的是（ ）202220231a a >⋅()()20222023110a a -⋅-<A ．为递减数列B ．{}n a 202220231S S +<C ．是数列中的最大项D ．2022T {}Tn 40451T >【答案】AC【分析】根据题意先判断出数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.再对四个选{}n a 项一一验证：对于A ：利用公比的定义直接判断；对于B ：由及前n 项和的定义即可判断；对于C ：前20231a <项积为的定义即可判断；对于D ：先求出，由即可判断.n n T 4045T 40452023a =20231a <【详解】由可得：和异号，即或.()()20222023110a a -⋅-<20221a -20231a -202220231010a a ->⎧⎨-<⎩202220231010a a -<⎧⎨->⎩而，，可得和同号，且一个大于1，一个小于1.11a >202220231a a >⋅2022a 2023a 因为，所有，，即数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.11a >20221a >20231a <{}n a 对于A ：公比，因为，所以为减函数，所以为递减数列.故A 正确；202320221a q a =<11a >11n n a a q -={}n a 对于B ：因为，所以，所以.故B 错误；20231a <2023202320221a S S =-<202220231S S +>对于C ：等比数列的前项积为，且数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小{}n a n nT{}n a 于1，所以是数列中的最大项.故C 正确；2022T {}Tn 对于D ：40451234045T a a a a = ()()()240441111a a q a q a q = 404512340441a q +++= 4045202240451a q ⨯=()404520221a q =40452023a =因为，所以，即.故D 错误.20231a <404520231a <40451T <故选：AC10．如图，平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此1111ABCD A B C D -A 6的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）60A．1AC =B ．1AC BD⊥ C ．向量与的夹角是.1B C1AA60 D ．异面直线与.1BD AC 【答案】AB【分析】根据题意，引入基向量，分别用基向量表示，利用向量求长度1111,,,,,AC BD B C AA BD AC的计算公式，计算可得A 正确；利用向量证垂直的结论，计算可得B 正确；利用向量求夹角公式，计算可得CD 错误.【详解】设，因为各条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，1,,AB a AD b AA c=== 660所以，66cos 6018a b b c c a ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=因为，所以，1AC ca b =++A 正确；1AC === 由，所以，BD b a =- ()()221=+=3636+18180AC BD a b c b a b a c b c a ⋅=++⋅--⋅-⋅--= 所以，故B 正确；1AC BD⊥因为，且，所以1B C b c=-16B C = ，所以其夹角为，故C 错误；()21118361cos ,662b c c b c c B C AA b c c b c c-⋅⋅--====-⨯-⋅-⋅120因为，1,BD c a b AC a b=-+=+ 1BD ===AC == ，()()2213636181836BD AC c a b a b b a c a c b ⋅=-+⋅+=-+⋅+⋅=-++=所以，故D 错误.()()1cos ,c a b a b BD AC c a b a b-+⋅+===-+⋅+故选：AB.11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ）22 C: 22x y xy+=+A ．曲线C 围成的图形有4条对称轴B ．曲线C 围成的图形的周长是C ．曲线C 上的任意两点间的距离不超过5D ．若是曲线C 上任意一点，的最小值是(),T a b 4318a b +-11-【答案】ABD【分析】去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而可作出曲线的图像，由图像即可判断ABCD.【详解】，2222x y x y+=+当时，，即，0,0x y ≥≥2222x y x y +=+22(1)(1)2x y -+-=表示圆心为，半径(1,1)r =当时，，即，0,0x y ≥<2222x y x y +=-22(1)(1)2x y -++=表示圆心为，半径(1,1)-r =当时，，即，0,0x y <≥2222x y x y +=-+22(1)(1)2x y ++-=表示圆心为，半径(1,1)-r =当时，，即，0,0x y <<2222x y x y +=--22(1)(1)2xy +++=表示圆心为，半径.(1,1)--r =曲线的图像如下图所示：22C:22x y x y+=+对于A ，易知曲线图像有4条对称轴，A 正确；对于B ，曲线图形由4个半圆组成，故其周长为，B 正确；22r ⨯π⨯=对于C ，由图可知，曲线C 上的任意两点间的最大距离为C 错误；4r =对于D ，圆心到直线的距离为，(1,1)43180x y +-=1115d到直线的距离(),T a b 43180x y +-=2d若使最小，则有2d 21115d d r =-=所以，得，D 正确.54318a b +-115=413118a b =-+-故选：ABD.12．已知数列满足且，数列满足（），下列说法正确的{}n a 11a =11(1n n a a n +=+{}n b n n n b a t =*n ∈N 有（ ）A ．数列为等比数列B ．当时，数列的前项和为{}n b 2t ={}n b n ()1122n n +-+C ．当且为整数时，数列的最大项有两项D ．当时，数列为递减数(0,1)t ∈1tt -{}n b 1(0,)2t ∈{}n b 列【答案】BCD【分析】A 选项，变形为，得到为常数列，故，，根111n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11n na a n n +=+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a n =nn b nt =据定义求出不是等比数列，A 错误；{}n b B 选项，错位相减法求和，B 正确；C 选项，作差法得到随着的变大，先增后减，根据为整数，得到且最大，即数列n {}n b 1tt -1n n b b +=的最大项有两项，C 正确；{}n b D 选项，作差法结合得到，故D 正确.1(0,)2t ∈()1101n n n n b b n t t n +⎛⎫-=+-< ⎪+⎝⎭【详解】变形为，又，故数列为常数为1的数列，故，111n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11n na a n n +=+111a =n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a n =所以，因为，n n b nt =()1111n n nn n tb n t b nt n ++++==若，则为常数为0的常数列，不是等比数列，0=t {}n b 若，则不是定值，不是等比数列，综上A 错误；0t ≠11n n b n t b n ++=当时，，2t =2n n b n =⋅设数列的前项和为，{}n b n nT，①23222322n n T n =+⨯+⨯++⋅ 则，②23412222322n n T n +=+⨯+⨯++⋅ ②-①得：，B 正确；()()23411222222122n n n n T n n ++=-++++++⋅=-+ 当时，，(0,1)t ∈()()11111n n n n n n b b n t nt n t t n ++⎛⎫-=+-=+- ⎪+⎝⎭因为，所以当，即时，，即(0,1)t ∈1n t n <+1t n t >-10n n b b +-<1n n b b +<当，即时，，即，1n t n ≥+1tn t ≤-10n n b b +-≥1n n b b +≥故随着的变大，先增后减，n {}n b 因为为整数，故且最大，即数列的最大项有两项，C 正确；1tt -1n n b b +={}n b 当时，，1(0,2t ∈()()11111n n n n n n b b n t nt n t t n ++⎛⎫-=+-=+- ⎪+⎝⎭因为，所以单调递增，故，N n *∈1111n n n =-++112n n ≥+因为，所以，1(0,2t ∈()1101n n n n b b n t t n +⎛⎫-=+-< ⎪+⎝⎭数列为递减数列，D 正确；{}n b 故选：BCD三、填空题13．已知是等差数列，是等比数列，是数列的前项和，，，则{}n a {}n b n S {}n a n 1111S =373b b =___________.6325log a b =【答案】1-【分析】根据等差数列的求和公式以及等差中项，求第六项，再根据等比数列的等比中项，解得第五项的平方，结合对数运算可得答案.【详解】因为是等差数列，且是数列的前项和，{}n a n S {}n a n 所以，解得，()1111161111112a a S a +===61a =因为是等比数列，所以，{}n b 23753==b b b 则.633251log log 13==-a b 故答案为：.1-14．已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直2212x y +=11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭AB AB 线的方程是__________.l 【答案】2230x y +-=【分析】由点差法得斜率后求解直线方程，AB 【详解】设，由题意得，1122(,),(,)A x y B x y 222212121,122x x y y +=+=两式相减化简得，而是中点，得，1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-P AB 12122,1x x y y +=+=代入得，故直线方程为，即，12121y y k x x -==--AB 1(1)2y x -=--2230x y +-=点在椭圆内，故直线与椭圆相交，P 故答案为：2230x y +-=15．过双曲线上的任意一点，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点22221(0,0)x y a b a b -=>>P ，若，则双曲线离心率的取值范围是___________.,M N 214OM ON b⋅≥【答案】【分析】设点，分别联立两组直线方程，求出的坐标，然后利用向量的数量积，推00(,)P x y ,M N 出离心率的范围即可.【详解】因为双曲线的渐近线方程为：，22221(0,0)x y a b a b -=>>0bx ay ±=即，设点，可得：，b y x a =±00(,)P x y 00()by y x x a -=±-联立方程组，解得：，00()b y y x x a b y x a ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩0000(,22bx ay bx ay M b a ++同理可得：，0000(,)22bx ay bx ay N b a ---所以，2222222200002244b x a y b x a y OM ON ba--=- 因为，所以，2200221x y a b -=22222200b x a y a b -=所以，由题意可得：，224a b OM ON -= 22244a b b -≥所以，故离心率，又因为双曲线的离心率，2212b a≤ce a ==≤1e >所以双曲线离心率的取值范围为，故答案为：.16．已知等腰内接于圆O ，点M 是下半圆弧上的动点（不含端点，如图所示）.现将上半Rt ABC △圆面沿AB 折起，使所成的二面角为.则直线AC 与直线OM 所成角的正弦值最小值为C AB M --π4______.【答案】##0.512【分析】取下半圆弧的中点D ，连接OC ，OD ，以点O 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.【详解】在折后的图形中，取下半圆弧的中点D ，连接OC ，OD ，如图，依题意，平面，于是得平面，,,,,OA OD OA OC OC OD O OC OD ⊥⊥=⊂ COD OA ⊥COD 且是二面角的平面角，即，在平面内过点O 作，COD ∠C AB M --4COD π∠=COD Oz OD ⊥因此射线两两垂直，以点O 为原点，射线分别为非负半轴建立空间直,,OA OD Oz ,,OA OD Oz ,,x y z角坐标系，令，则，设点，显然有，2OA =(2,0,0),A C (,,0),0M a b b >224a b +=于是得，令直线AC 与直线OM 所成的角为，((,,0)AC OM a b =-=θ因此||1cos |cos ,|4||||AC OM AC OM AC OM θ⋅=〈〉===，111444=≤==当且仅当，即时取等号，显然直线AC 与直线OM为异面直线，即a -=a b ==，(0,2πθ∈而余弦函数在上单调递减，因此取最小值，，cos θ(0,]2πcos θθmin 1(sin )2θ=所以直线AC 与直线OM所成角的正弦值最小值为.12故答案为：12【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起变量的函数，求出函数最值即可.四、解答题17．在平行四边形ABCD 中，，，，点E 是线段BC 的中点．()1,1A -()1,2B ()3,2C -(1)求直线CD 的方程；(2)求四边形ABED 的面积．【答案】(1)；270x y --=(2).152【分析】（1）求出，由，由点斜式即可写出直线CD 的方程；AB k AB CD （2）四边形ABED 为梯形，E 是线段BC 的中点，求出E 坐标、直线AD 的方程，即可求出E 到直线AD 的距离，再求出，即可求梯形面积.BC【详解】（1）由，，∴直线CD 的方程为，即AB CD 121112AB k -==--()()1232y x --=-；270x y --=（2）四边形ABED 为梯形，E 是线段BC 的中点，则，即，1322,20E +-⎛⎫⎪⎝⎭()2,0E 直线AD 的方程为，即，则E 到直线AD()221131y x ---=+-210x y ++=.BC ==故四边形ABED .152=18．已知抛物线的焦点为F ，点在抛物线C 上.2:2(0)C x py p =>(2,1)P (1)求点F 的坐标和抛物线C 的准线方程；(2)过点F 的直线l 交抛物线C 于A 、两点，且线段AB 的中点为，求直线l 的方程及B (2,3)M .||AB 【答案】(1)的坐标为，准线方程为F (0,1)1y =-(2)，1y x =+||8AB =【分析】（1）将已知点代入抛物线方程，解得参数的值，即可得答案.p （2）由求得直线的方程，利用抛物线定义，结合弦长公式以及中点坐标公式，可得答案.,F M l 【详解】（1）点在抛物线上，，， (2,1)P 2:2C x py =42p ∴=2p ∴=的坐标为，抛物线C 的准线方程为.F ∴(0,1)1y =-（2）由题可知，直线l 经过与，(0,1)F (2,3)M 的斜率，直线l 的方程为，l ∴31120k -==-∴1y x =+设A ，B 的坐标分别为，，11(,)x y 22(,)x y 则由抛物线的定义可知，12||2AB y y =++又AB 的中点为，，(2,3)M 12326y y ∴+=⨯=||628.AB ∴=+=19．已知数列的首项为0，且，数列的首项，且对任意正整数{}n a *11,N n n a a n +=+∈{}n b 12b =恒有.,m n m n m n b b b +=⋅(1)求和的通项公式；{}n a {}n b (2)对任意的正整数n ，设，求数列的前2n 项和S 2n .()1331,21,n nn n n n n a b n a a c a n b ++⎧+⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数{}n c 【答案】(1)，；1n a n =-2nn b =(2).2221234121929n n n n S n -+=--+⨯【分析】（1）根据等差数列和等比数列的定义得到数列和分别为等差等比数列，然后求通{}n a {}n b 项即可；（2）根据题意得到当为奇数时，，当为偶数时，，然后分n ()()1132222222n n n n n c n n n n+--⋅==-++n 2n n nc =别用裂项相消和错位相减求和即可.【详解】（1）因为，所以数列为等差数列，公差为1，所以，11n n a a +=+{}n a 1n a n =-令，所以，数列为等比数列，公比为2，所以.1m =12n n b b +={}n b 2n n b =（2）当为奇数时，；n ()()1132222222n n n n n c n n n n+--⋅==-++当为偶数时，；n 2n n n c =所以奇数项的前项和为，n 20422222222222213153212121n n nS n n n -=-+-++-=-+-+ 奇偶数项的前项和为①，n 242242222nn S =+++ 偶①得：②，12⨯462212424222n n S +=+++ 偶①-②得：242223222242222n n nS +=+++- 偶221112241214n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--，22268323n n ++=-⨯所以，.21834992n n S -+=-⨯偶2221234121929n n n n S n -+=--+⨯20．如图，在四棱椎中，底面为平行四边形，平面，点分别为P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD ,M N的中点，且,BC PA1,AB AC AD ===(1)若，求直线与平面所成角的正弦值；1PA =MN PBC (2)若直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，求平面与平面的夹角AC PBC ⎛ ⎝PBC ABCD 的余弦值的取值范围.【答案】(1)13(2)⎫⎪⎭【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，从而求得平面的法向量与，由此可求得PBC n MN直线与平面所成角的正弦值；MN PBC （2）设，从而分别求得平面与平面的法向量与及，从而由题意条件求PA h =PBC ABCD m 0nAC 得，进而可求得平面与平面的夹角的余弦值的取值范围.(0,1]h ∈PBC ABCD 【详解】（1）因为，即，1,AB AC AD ===222AB AC AD +=AB AC ⊥又因为平面，所以，PA ⊥ABCD ,PA AB PA AC ⊥⊥故建立如图所示的空间直角坐标系，则，O xyz -111(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),,,0,0,0,222P B C M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，111(1,0,1),(1,1,0),,,222PB BC MN ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭ 设平面的一个法向量为，则，即，PBC ()111,,n x y z = 00PB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111100x z x y -=⎧⎨-+=⎩令，则，故，11x =111,1==y z (1,1,1)n = 设直线与平面所成角为，则MN PBC θsin cos ,MN θ= 所以直线与平面所成角的正弦值为.MN PBC 13 .（2）设，则，故，()0PA h h =>()()()0,0,,1,0,0,0,1,0P h B C (1,0,),(1,1,0)PB h BC =-=-设平面的一个法向量为，则，即，PBC ()222,,m x y z =00PB m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222200x z h x y -=⎧⎨-+=⎩令，则，故，2x h =22,1y h z ==(,,1)m h h =易得平面的一个法向量为，又，ABCD 0(0,0,1)n = (0,1,0)AC =设直线与平面所成角为，则，AC PBCαsin cos ,AC α⎛= ⎝ 即，0<≤01h <≤设平面与平面的夹角为，则PBC ABCD β0cos cos ,n β= 因为，所以，则.01h <≤21213h <+≤1<≤1≤<cos 1β≤<所以平面与平面的夹角的余弦值的取值范围为.PBC ABCD ⎫⎪⎭21．已知数列满足，.{}n a 1=1a ()*1121N n n a a n n +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭(1)求数列的通项公式；{}n a (2)记数列的前项中最大值为，最小值为，令，称数列是数列的{}n a n n M n m 2n nn M m b +={}n b {}n a “中程数数列”.若（且），求所有满足条件的实数对.m kb a =*,N m k ∈m k >(),m k 【答案】(1)；112n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭(2)，.()2,1()4,3【分析】（1）由已知递推关系可得，结合等比数列的定义写出通项公式；1112n na a n n +=⋅+（2）由递推研究的单调性，进而求出最大值为，最小值为，即可得，{}n a n M n m 1122mm b m ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭结合的通项公式得，再由（且）求出、的取值，即可得{}n a 1122m mb a =+mk b a =*,N m k ∈m k >k m 结果.【详解】（1）依题意，，即，故，()*1121N n n a a n n +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭11111122n n n n a a a n n ++⎛⎫==+⋅ ⎪⎝⎭1112n na a n n +=⋅+所以数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列，n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =12故，即；1112n n a n-⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭112n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（2）因为，即，11112n na a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11112n n n a a +⎛=⎫+ ⎪⎝⎭故时，，即；时，，即，=1n 11n n a a +=12a a =1n >11n n a a +<1n n a a +<故，故，，1234a a a a =>>>⋯11n M a ==112n n n m a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭=所以.1111122222n nn n n n M m b n -⎛⎫+⋅ ⎪+⎛⎫⎝⎭===+⋅ ⎪⎝⎭因为，，，1122mm b m ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭1102k k a k -⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭m kb a =所以，即，1111111222222m m m k b m a a -⎛⎫=+⋅=+=> ⎪⎝⎭1122k m a a -=又，，，且，知且，即3411422a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭2313324a ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭121a a ==1234a a a a =>>>⋯4k <*k ∈N ，1,2,3k =由知，1122k m a a -=时，，故，即，而，故符合题意；=1k 11111222m m a a a -=-=1m a =1,2m =m k >=2m 时，，故，即，而，故无解；=2k 21111222m m a a a -=-=1m a =1,2m =m k >时，，故，即，又，故符合题意；=3k 313112422m m a a a -=-=12m a ==4m m k >=4m 综上，所有满足条件的实数对有，.(),m k ()2,1()4,322．已知，，点满足，记点的轨迹为，1(2,0)F -2(2,0)F P 12||||2PF PF -=P E (1)求轨迹的方程；E (2)若直线过点且法向量为，直线与轨迹交于、两点．l 2F (),1n a =E P Q①过、作轴的垂线、，垂足分别为、，记，试确定的取值范围；P Q y PA QB A B PQ ABλ=λ②在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求x M l 2F 0MP MQ ⋅=出定点；如果不存在，请说明理由．M 【答案】(1)221(1)3y x x-=≥(2)①；②存在，λ⎛∈ ⎝(1,0)M -【分析】（1）根据双曲线的定义直接得到答案.（2）根据直线与双曲线的位置关系得到，计算的范围(),a ∈-∞⋃+∞λ=a 得到的取值范围；假设存在点满足条件，通过得到λ(,0)M m 0MP MQ ⋅=，计算得到答案.()()22231450m a m m -+--=【详解】（1）由，知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支．12122PF PF F F -=<P 1F 2F ，，，故，轨迹方程为．22a =1a =2c =2413b =-=221(1)3y x x -=≥（2）直线的方程为，，l ()20a x y -+=()22213y a x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得，设，，，，()222234430ax a x a --++=1(P x 1)y 2(Q x 2)y 由条件得，()()24222122212230 Δ164343040 3430 3a a a a a x x a a x x a ⎧-≠⎪=--+>⎪⎪⎪⎨+=>⎪-⎪+⎪=>⎪-⎩解得，即．23a>(),a ∈-∞⋃+∞①，2PQ x =-1212AB y y a x x =-=-由条件，故，故，(),1n a =12x x≠PQAB λ===因为，因此．23a >λ⎛∈ ⎝②设存在点满足条件，(,0)M m 由()()()()()222212*********MP MQ x m x m y y a x x a m x x m a ⋅=--+=+-++++ ，()22234503m a m a -+=+=-得对任意恒成立，所以，()()22231450m a m m -+--=23a >2210450m m m ⎧-=⎨--=⎩解得，1m =-因此存在定点满足条件．(1,0)M -【点睛】本题考查了双曲线的轨迹问题，根据直线和双曲线的位置求参数，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用韦达定理解题是常考的题型，需要熟练掌握.。
2021-2022学年江苏省苏州市高二上期末考试数学试卷附答案解析
2021-2022学年江苏省苏州市高二上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量{a →，b →，c →}是空间向量的一组基底，向量{a →+b →，a →−b →，c →}是空间向量的另外一组基底，若一向量p →在基底{a →，b →，c →}下的坐标为（1，﹣2，3），则向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为（ ） A ．（−12，32，3）B ．（32，−12，3）C ．（3，−12，32）D ．（12，32，3）2．已知圆C 1：x 2+y 2+6x ＝0关于直线l 1：y ＝x 对称的圆为C ，则圆C 的方程为（ ） A ．x 2+（y +3）2＝9 B ．x 2+（y ﹣3）2＝9 C ．（x +3）2+y 2＝9D ．（x ﹣3）2+y 2＝93．已知椭圆C ：x 29+y 24=1的右顶点为A 2，直线l ：x ＝m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，当∠AA 2B 为钝角时，m 的取值范围是（ ） A ．(0，1513) B ．(1513，3)C ．(−1513，0)∪(0，1513)D ．(−3，−1513)∪(1513，3)4．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段A 1D 上一点，当AP +PB 取得最小值时，直线BP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值为（ ） A ．√22B ．√33C ．√2D ．√35．已知直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （﹣3，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≤32 B ．k ≥−12 C ．−12≤k ≤32 D ．k ≤−12或k ≥326．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左、右顶点为A 、B ，P 是椭圆C 上一点，cos ∠APB最小值为−35，则双曲线：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±√55x B ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2√55x 7．已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列命题中错误的是（ ）A ．AE ⊥平面P ABB ．直线PD 与平面ABC 所成角为45°C ．平面PBC 与平面PEF 的交线与直线AD 不平行 D ．直线CD 与PB 所成的角的余弦值为√5108．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ）的两个焦点，P 为椭圆上的一点，且|PF 1|：|PF 2|：|F 1F 2|＝7：1：4√3，则a b=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．12二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．若三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线x 2a+y 22=1的离心率可以是（ ）A ．√33B ．√153C ．√3D ．√10210．已知空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ） A ．向量i →+j →+k →的模是3B ．{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底C ．向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33D ．向量i →+j →与k →−j →共线11．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标分别为A （﹣3，﹣4），B （6，3），交通枢纽C （0，﹣1），计划经过C 修建一条马路l （l 看成一条直线，l 的斜率为k ），则下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =79或13B ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =97或32C ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(23，1)D ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(−∞，23)∪(1，+∞) 12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．D 1D ⊥AFB ．二面角F ﹣AE ﹣C 的正切值为√52C ．异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√1010D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若向量a →=（1，2，2），b →=（2，﹣1，2），且a →，b →夹角的余弦值为 ． 14．经过点P （4，2）作圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0的切线，则切线的一般式方程是 ． 15．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作x轴的垂线l ，与双曲线C 及其渐近线在第一象限内分别交于点A ，B ，且FB →=2FA →，则双曲线C 的离心率为 ． 16．已知F 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点，A 为椭圆C 的左顶点，P 是椭圆C 上一点，且PF 垂直于x 轴，若直线AP 的斜率为√33，则椭圆C 的离心率为 ．四．解答题（共6小题，其中第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分） 17．设F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件：（1）PF 2→⋅F 1F 2→=0；（2）tan∠PF 1F 2=√312；（3）PF 1→在F 1F 2→方向上的投影为2√3． （Ⅰ）求椭圆的离心率及椭圆方程；（Ⅱ）过焦点F 1的直线l 交椭圆于点A 、B 两点，问是否存在以线段AB 为直径的圆与y 相切，若存在，求出此时直线l 的方程，若不存在，请说明理由．18．已知梯形BFEC 如图1所示，其中BF ∥EC ，EC ＝3，BF ＝2，四边形ABCD 是边长为1的正方形，沿AD 将四边形EDAF 折起，使得平面EDAF ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．（1）求证：平面AEC ⊥平面BDE ； （2）求点F 到平面ABE 的距离；（3）若点H 在线段BD 上，且EH 与平面BEF 所成角的正弦值为13，求线段DH 的长度．19．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4和直线l：kx﹣y﹣4k+3＝0．（1）判断直线l和圆C的位置关系？（2）若直线l和圆C相交，求直线l被圆C截得的最短弦长及此时的直线方程．20．已知点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（2，0），点P 满足PA →•PB →+|PA →|•|PB →|＝8，记点P 的轨迹为E ．（1）证明：|P A |+|PB |为定值，并写曲线E 的方程；（2）设直线y ＝kx ﹣1（k ∈R ）与曲线E 交于C ，D 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使得对任意实数k ，直线QC ，QD 的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．21．如图正三棱柱ABC﹣A'B'C'的所有棱长均为2，E、F、G、H分别是棱AA'、AB、AC、B'C'的中点．（1）求证：B'C'∥面EFG；（2）求三棱锥H﹣EFG的体积；（3）求二面角E﹣FG﹣H的余弦值．22．过椭圆W：x22+y2＝1的左焦点F作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A（0，1），另一条过F的直线l2交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点（0，﹣1）重合，过F作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．（Ⅰ）求椭圆W的离心率和B点坐标；（Ⅱ）求证：E，G两点关于x轴对称．2021-2022学年江苏省苏州市高二上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量{a →，b →，c →}是空间向量的一组基底，向量{a →+b →，a →−b →，c →}是空间向量的另外一组基底，若一向量p →在基底{a →，b →，c →}下的坐标为（1，﹣2，3），则向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为（ ）A ．（−12，32，3）B ．（32，−12，3）C ．（3，−12，32）D ．（12，32，3）解：因为向量p →在基底{a →，b →，c →}下的坐标为（1，﹣2，3）， 则p →=a →−2b →+3c →，设向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为（x ，y ，z ）， 则p →=x(a →+b →)+y(a →−b →)+zc →=(x +y)a →+(x −y)b →+zc →， 所以{x +y =1x −y =−2z =3，解得x =−12，y =32，z =3，所以向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为(−12，32，3)． 故选：A ．2．已知圆C 1：x 2+y 2+6x ＝0关于直线l 1：y ＝x 对称的圆为C ，则圆C 的方程为（ ） A ．x 2+（y +3）2＝9 B ．x 2+（y ﹣3）2＝9 C ．（x +3）2+y 2＝9D ．（x ﹣3）2+y 2＝9解：易知圆心C 1与圆心C 关于直线y ＝x 对称，且两圆半径相等， 方程x 2+y 2+6x ＝0可化为：（x +3）2+y 2＝9，故C 1（﹣3，0），半径为3，结合两点关于y ＝x 对称，则它们的横纵坐标互换，可知C （0，﹣3），半径r ＝3， 故圆C 方程为x 2+（y +3）2＝9． 故选：A ．3．已知椭圆C ：x 29+y 24=1的右顶点为A 2，直线l ：x ＝m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，当∠AA 2B 为钝角时，m 的取值范围是（ ） A ．(0，1513)B ．(1513，3)C ．(−1513，0)∪(0，1513) D ．(−3，−1513)∪(1513，3) 解：设A （m ，y 0），则B （m ，﹣y 0），且|m |＜3，则y 02＝4（1−m 29），所以|y 0|=23√9−m 2，A 2（3，0），当∠AA 2B 为钝角时，则∠AA 2O ＞45°， 所以|y 0|＞3﹣m ，即23√9−m 2＞3﹣m ，|m |＜3，整理可得：13m 2﹣54m +45＜0， 解得：1513＜m ＜3，故选：B ．4．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段A 1D 上一点，当AP +PB 取得最小值时，直线BP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值为（ ） A ．√22B ．√33C ．√2D ．√3解：将正方体中的正△A 1BD 沿A 1D 翻折至与点A 共面，如图所示， 因为AA 1＝AD ，所以当P 为线段A 1D 的中点时，AP +PB 最小值．连接AP ，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AP ， 所以直线BP 与平面ADD 1A 1所成角为∠APB ．设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1D =√2a ，又点P 为A 1D 的中点，所以AP =12A 1D =√2a2，tan∠APB =ABAP =√2．故选：C ．5．已知直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （﹣3，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≤32 B ．k ≥−12 C ．−12≤k ≤32D ．k ≤−12或k ≥32解：直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0化为：k （x ﹣1）﹣（y +1）＝0，令{x −1=0y +1=0，解得x ＝1，y＝﹣1，可得直线经过定点：P （1，﹣1）． k PM =−1−11+3=−12，k PN =−1−21−3=32．∵直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （﹣3，1），N （3，2）为端点的线段相交， 则实数k 的取值范围为：k ≥32或k ≤−12． 故选：D ． 6．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左、右顶点为A 、B ，P 是椭圆C 上一点，cos ∠APB最小值为−35，则双曲线：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±√55x B ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2√55x 解：椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左、右顶点为A 、B ，P 是椭圆C 上一点，cos ∠APB最小值为−35，可知P 在椭圆的短轴端点，cos ∠APB ＝2cos 2（12∠APB ）﹣1＝2(b√a 2+b )2−1=−35，解得a ＝2b ， 双曲线：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为：x ±2y ＝0．故选：B ．7．已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列命题中错误的是（ ） A ．AE ⊥平面P ABB ．直线PD 与平面ABC 所成角为45°C ．平面PBC 与平面PEF 的交线与直线AD 不平行D ．直线CD 与PB 所成的角的余弦值为√510解：对于A ，∵P A ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，∴AE ⊥P A ， ∵六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，∴AE ⊥AB ，∵P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ，∴PE ⊥平面P AB ，故A 正确；对于B ，∵六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ， ∴P A ⊥AD ，P A ＝AD ，∴∠PDA ＝45°是直线PD 与平面ABC 所成角，故B 正确； 对于C ，∵EF ∥AD ∥BC ，EF ⊂平面PEF ，BC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC 与平面PEF 的交线与直线AD 平行，故C 错误；对于D ，设AB ＝1，则P A ＝2，AE =√12+12−2×1×1×cos120°=√3， PE =√4+3=√7，BE ＝2，PB =√4+1=√5，∵CD ∥BE ，∴∠PBE 是直线CD 与PB 所成的角（或所成角的补角）， ∴直线CD 与PB 所成的角的余弦值为： cos ∠PBE =2×2×√5=√510，故D 正确．故选：C ．8．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ）的两个焦点，P 为椭圆上的一点，且|PF 1|：|PF 2|：|F 1F 2|＝7：1：4√3，则a b=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．12解：由题意设|PF 2|＝m （m ＞0），则|PF 1|＝7m ，|F 1F 2|＝4√3m ， ∴2a ＝8m ，a ＝4m ，2c ＝4√3m ，c =2√3m ， ∴b =√a 2−c 2=√16m 2−12m 2=2m ， ∴ab =4m 2m=2．故选：B ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．若三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线x 2a+y 22=1的离心率可以是（ ）A ．√33B ．√153C ．√3D ．√102解：三个数1，a ，9成等比数列，可得a ＝±3， 当a ＝3时，曲线x 23+y 22=1的离心率为：e =ca =√3=√33， 当a ＝﹣3时，曲线y 22−x 23=1的离心率为：e =c a =√5√2=√102． 故选：AD ．10．已知空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ） A ．向量i →+j →+k →的模是3B ．{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底C ．向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33D ．向量i →+j →与k →−j →共线解：对于选项A ，因为空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直， 所以|i →|=|j →|=|k →|=1，且i →⋅j →=0，i →⋅k →=0，j →⋅k →=0，则|i →+j →+k →|=√(i →+j →+k →)2=√i →2+j →2+k →2+2i →⋅j →+2j →⋅k →+2i →⋅k →=√3， 所以向量i →+j →+k →的模是√3， 故选项A 错误；对于选项B ，因为空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直， 所以i →，j →，k →不共面，而向量i →+j →，i →−j →均与i →，j →共面， 所以i →+j →，i →−j →与k →不共面，则{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底， 故选项B 正确；对于选项C ，设i →+j →+k →与k →的夹角为α， 则cosα=(i →+j →+k →)⋅k→|i →+j →+k →||k →|=i →⋅k →+j →⋅k →+k →⋅k →|i →+j →+k →||k →|=1√3×1=√33，所以向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33， 故选项C 正确；对于选项D ，因为|i →+j →|=√(i →+j →)2=√i →2+2i →⋅j →+j →2=√2， 同理可得|k →−j →|=√2， 则cos ＜i →+j →，k →−j →＞=(i →+j →)⋅(k →−j →)|i →+j →||k →−j →|=−12，所以向量i →+j →与k →−j →的夹角为120°， 则向量i →+j →与k →−j →不共线， 故选项D 错误． 故选：BC ．11．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标分别为A （﹣3，﹣4），B （6，3），交通枢纽C （0，﹣1），计划经过C 修建一条马路l （l 看成一条直线，l 的斜率为k ），则下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =79或13B ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =97或32C ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(23，1)D ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(−∞，23)∪(1，+∞) 解：设直线l 的方程为y ＝kx ﹣1， 根据点到直线的距离公式d =00√A +B ，若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则√1+k 2=√1+k 2，解得k =79或13，故A正确，B 错误；若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则（﹣3k +4﹣1）•（6k ﹣3﹣1）＜0，解得k ＜23或k ＞1，故D 正确，C 错误． 故选：AD ．12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．D 1D ⊥AFB ．二面角F ﹣AE ﹣C 的正切值为√52C ．异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√1010D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，显然D 1D ∥A 1A ，且A 1A 与AF 不垂直，故D 1D 与AF 不垂直，选项A 错误；过点C 作CM ⊥AE ，交AE 的延长线于M ，连接FM ，由二面角的定义可知，∠FMC 即为二面角F ﹣AE ﹣C 的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则CF =1，CM =1×2√2+1=2√55，∴tan∠FMC =FC CM =2√55=√52，选项B 正确； 取B 1C 1中点H ，连接A 1H ，GH ，则GH ∥EF ，故异面直线A 1G 与EF 所成的角即为直线A 1G 与GH 所成角∠A 1GH ，而A 1H =√22+1=√5，A 1G =√22+1=√5，GH =√1+1=√2，故在△A 1C 1G 中，由余弦定理可得cos∠A 1GH =A 1G 2+GH 2−A 1H 22A 1G⋅GH =2×√5×√2=√1010，选项C 正确；连接CG 交EF 于点N ，则点G 到平面AEF 的距离与点C 到平面AEF 的距离之比为GN CN，而△GNF ∽△CNE ，故GN CN=GF CE=2，选项D 正确．故选：BCD ．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若向量a →=（1，2，2），b →=（2，﹣1，2），且a →，b →夹角的余弦值为 49．解：∵向量a →=（1，2，2），b →=（2，﹣1，2）， ∴cos ＜a →，b →＞=43×3=49， ∴a →，b →夹角的余弦值为49．故答案为：49．14．经过点P （4，2）作圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0的切线，则切线的一般式方程是 2x +y ﹣10＝0 ．解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0的圆心C （2，1），半径r =√5，点P （4，2）在圆上， 因为PC 的斜率2−14−2=12且切线与PC 垂直，所求切线的斜率K ＝﹣2，故切线方程y ﹣2＝﹣2（x ﹣4）即2x +y ﹣10＝0 故答案为：2x +y ﹣10＝0．15．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作x轴的垂线l ，与双曲线C 及其渐近线在第一象限内分别交于点A ，B ，且FB →=2FA →，则双曲线C 的离心率为 2√33． 解：设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的半焦距为c ，由题意可得l ：x ＝c ，F （c ，0），渐近线方程y ＝±b ax ，则A （c ，b 2a），B （c ，bc a），又FB →=2FA →，所以bc a=2b 2a，即c ＝2b ＝2√c 2−a 2，可得2a =√3c ，则双曲线的离心率为e =ca =2√33， 故答案为：2√33． 16．已知F 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点，A 为椭圆C 的左顶点，P 是椭圆C 上一点，且PF 垂直于x 轴，若直线AP 的斜率为√33，则椭圆C 的离心率为 3−√33． 解：设直线AP 的倾斜角为：θ，在Rt △P AF 中， 由题意可得tan θ=b 2aa+c=√33，整理可得3b 2=√3（a 2+ac ），即3（a 2﹣c 2）=√3（a 2+ac ），可得3e 2+√3e ﹣3+√3=0，解得e ＝﹣1（舍去），e =3−√33． 故答案为：3−√33．四．解答题（共6小题，其中第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分） 17．设F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件： （1）PF 2→⋅F 1F 2→=0；（2）tan∠PF 1F 2=√312；（3）PF 1→在F 1F 2→方向上的投影为2√3．（Ⅰ）求椭圆的离心率及椭圆方程；（Ⅱ）过焦点F 1的直线l 交椭圆于点A 、B 两点，问是否存在以线段AB 为直径的圆与y 相切，若存在，求出此时直线l 的方程，若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）∵PF 2→⋅F 1F 2→=0， ∴PF 2→⊥F 1F 2→，∴△PF 2F 1为直角三角形， ∴P （c ，b 2a），∴tan ∠PF 1F 2=b 2a2c =b22ac =√312，∵PF 1→在F 1F 2→方向上的投影为2√3，∴2c＝2√3，即c=√3，∵a2＝b2+c2，∴a＝2，b＝1，∴椭圆的离心率为e=ca=√32，椭圆方程为x24+y2＝1；（Ⅱ）设满足条件的直线为l，其方程为x＝my−√3，两交点坐标为A（x1，y1）B（x2，y2），设线段AB为直径的圆与y相切于点D，由{x=my−√3x24+y2=1，消去x得：（m2+4）y2﹣2√3my﹣1＝0，∴y1+y2=2√3m4+m2，y1y2=−14+m2，x1+x2＝m（y1+y2）﹣2√3=−8√34+m2，所以AB的中点到y轴的距离d=|x1+x2|2=4√34+m2，所以弦长|AB|=√1+m2√(y1+y2)2−4y1y2=√1+m2•√12m2(4+m2)2−4⋅−14+m2=4•1+m2 4+m2=2d=8√34+m2，解得m2＝2√3−1，所以m＝±√2√3−1直线方程为x=√2√3−1y−√3，或x=−√2√3−1y−√3，即x−√2√3−1y+√3=0或x+√2√3−1y+√3=0．18．已知梯形BFEC如图1所示，其中BF∥EC，EC＝3，BF＝2，四边形ABCD是边长为1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体．（1）求证：平面AEC ⊥平面BDE ； （2）求点F 到平面ABE 的距离；（3）若点H 在线段BD 上，且EH 与平面BEF 所成角的正弦值为13，求线段DH 的长度．（1）证明：∵平面EDAF ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面EDAF ， 平面EDAF ∩平面ABCD ＝AD ，DE ⊥AD ，∴DE ⊥平面ABCD ，∵AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵DE 、BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDE ∵AC ⊂平面ACE ，∴平面AEC ⊥平面BDE …（3分） （2）解：过点F 作FG ⊥AE 于点G ，因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面ADEF ，又FG ⊂平面ADEF ，所以AB ⊥FG ， 又AB ∩AE ＝A ，AB ，AE ⊂平面ABE ，所以FG ⊥平面ABE ， 所以线段FG 的长即为点F 到平面ABE 的距离，在△AEF 中，AF =1，AE =√5，EF =√2，由等积变换AE •FG ＝AF •AD ， 得FG =√55，即点F 到平面ABE 的距离为√55． （说明本题也可以用等体积变换求解，也可用向量法求解）（3）解：建系如图，设平面BEF 的法向量n →=(x ，y ，z)，E （0，0，2），F （1，0，1），B （1，1，0）， {EF →⋅n →=0BF →⋅n →=0，{x −z =0y −z =0，令x ＝1，则y ＝z ＝1， 则n →=(1，1，1)，设H （a ，a ，0），EH →=(a ，a ，−2)，则|cos ＜EH →，n →＞|=2a−2√3√2a +4=13解得a =25或a ＝2（舍）…（10分）故H(25，25，0)，∴DH =25√2⋯（12分） 19．已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝4和直线l ：kx ﹣y ﹣4k +3＝0．（1）判断直线l 和圆C 的位置关系？（2）若直线l 和圆C 相交，求直线l 被圆C 截得的最短弦长及此时的直线方程． 解：（1）证明：由直线l 的方程可得，y ﹣3＝k （x ﹣4），则直线l 恒通过点（4，3），把（4，3）代入圆的C 方程，得（4﹣3）2+（3﹣4）2＝2＜4，所以点（4，3）在圆C 的内部，又因为直线l 恒过点（4，3），所以直线l 与圆C 总相交；（2）设定点为A （4，3），由题可知当直线l 与CA 直线垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，因为k CA =4−33−4=−1，所以直线l 的斜率为k ＝1，所以直线l 的方程为y ﹣3＝x ﹣4，即x ﹣y ﹣1＝0…（10分）设圆心C （3，4）到直线l 距离为d ，则d =√2=√2，所以直线l 被圆C 截得最短的弦长为2√4−(√2)2=2√2．20．已知点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（2，0），点P 满足PA →•PB →+|PA →|•|PB →|＝8，记点P 的轨迹为E ．（1）证明：|P A |+|PB |为定值，并写曲线E 的方程；（2）设直线y ＝kx ﹣1（k ∈R ）与曲线E 交于C ，D 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使得对任意实数k ，直线QC ，QD 的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）因为AB →=AP →+PB →，两边平方得|AB →|2=|AP|2+|PB|2+2AP →⋅PB →，而PA →•PB →+|PA →|•|PB →|＝8，且|AB |＝4，从而16=|AP|2+|PB|2+2(|AP →|⋅|PB →|−8)，即（|AP |+|PB |）2＝32，所以|AP|+|PB|=4√2，由椭圆的定义可知P 的轨迹为椭圆，从而E 的方程为x 28+y 24=1．（2）设存在点Q （0，m ）满足条件，记C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．由{y =kx −1x 2+2y 2=8消去 y ，得 （1+2k 2）x 2﹣4kx ﹣6＝0． 显然其判别式△＞0， 所以x 1+x 2=4k 1+2k 2，x 1x 2=−61+2k 2， 于是k QC k QD =y 1−m x 1⋅y 2−m x 2=[kx 1−(m+1)]⋅[kx 2−(m+1)]x 1x 2 =k 2x 1x 2−(m+1)k(x 1+x 2)+(m+1)2x 1x 2=[1+23(m +1)−(m+1)23]⋅k 2−(m+1)26． 上式为定值，当且仅当 1+23(m +1)−(m+1)23=0． 解得 m ＝2 或 m ＝﹣2． 此时，k QC k QD =−(m+1)26=−32 或 −16． 从而，存在定点 Q （0，2）或者 Q （0，﹣2）满足条件．21．如图正三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '的所有棱长均为2，E 、F 、G 、H 分别是棱AA '、AB 、AC 、B 'C '的中点．（1）求证：B 'C '∥面EFG ；（2）求三棱锥H ﹣EFG 的体积；（3）求二面角E ﹣FG ﹣H 的余弦值．（1）证明：因为ABC ﹣A 'B 'C '是三棱柱，所以B 'C '∥BC ，又AF ＝FB ，AG ＝GC ，所以BC ∥FG ，所以B 'C '∥FG ，FG ⊂平面EFG ，B 'C '⊄面EFG ，所以B 'C '∥面EFG ；（2）解：由（1）可得，V H ﹣EFG ＝V B ﹣EFG ＝V G ＝EFB ，所以V G−EFB =13S △EFB ⋅ℎ，其中h 为点G 到平面ABB 'A '的距离，因为正三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '的所有棱长均为2，所以h =12×√22−12=√32， 故V G−EFB =13S △EFB ⋅ℎ=13×(2×2−1×2−12×1×1)×√32=√34，所以三棱锥H ﹣EFG 的体积为√34； （3）解：设二面角E ﹣FG ﹣A ，H ﹣FG ﹣B ，3﹣FG ﹣H 的平面角分别为α，β，γ， 则γ＝π﹣α﹣β，所以cos γ＝cos （π﹣α﹣β）＝﹣cos （α+β）＝sin αsin β﹣cos αcos β，过点A 作AR ⊥FG 于点R ，连结ER ，则∠ARE ＝α，所以sin α=2√7，cos α=√3√7， 同理可得，cos β=√3√19，sin β=4√19， 所以cos γ＝sin αsin β﹣cos αcos β=2√74√19√3√19√3√7=5√133133， 故二面角E ﹣FG ﹣H 的余弦值为5√133133． 22．过椭圆W ：x 22+y 2＝1的左焦点F 作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A （0，1），另一条过F 的直线l 2交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点（0，﹣1）重合，过F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ．（Ⅰ）求椭圆W 的离心率和B 点坐标；（Ⅱ）求证：E ，G 两点关于x 轴对称．解：（I ）由椭圆的标准方程x 22+y 2=1，得a =√2，b ＝1，c ＝1， 所以椭圆的离心率为e =c a =√22，由题意可得l 1的方程为y ＝x +1，与椭圆方程联立得{y =x +1x 22+y 2=1．， 解得x ＝0或−43，当x =−43时，y =−13，所以B(−43，−13)．解：（2）当l 2斜率不存在时，C ，D 两点与E ，G 重合， 因为椭圆W 关于x 轴对称，所以E ，G 两点关于x 轴对称；当l 2斜率存在时，设 C （x 1，y 1），（x 1≠−43），D （x 2，y 2），（x 2≠0）， 设l 2的方程为y ＝k （x +1）（k ≠1），y 1＝k （x 1+1），y 2＝k （x 2+1），A(0，1)，B(−43，−13)，所以直线BC 的方程为y +13=y 1+13x 1+43(x +43)， 直线AD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ， 联立 {y +13=y 1+13x 1+43(x +43)x =−1，解得 y =y 1−x 1−13x 1+4=(k−1)(x 1+1)3x 1+4， 所以G(−1，(k−1)(x 1+1)3x 1+4)， y =x 2−y 2+1x 2=(1−k)(x 2+1)x 2， 所以E(−1，(1−k)(x 2+1)x 2)，所以y G +y E =(1−k)(x 1+1)3x 1+4+(1−k)(x 2+1)x 2=(1−k)[2x 1x 2+3(x 1+x 2)+4]3x 1x 2+4x 2， 联立{x 22+y 2=1y =k(x +1)，得 （2k 2+1）x 2+4k 2x +2k 2﹣2＝0，因为Δ＝（4k 2）2﹣4（2k 2+1）（2k 2﹣2）＝8k 2+8＞0， 所以x 1+x 2=−4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，所以y G +y E =(1−k)(2⋅2k 2−22k 2+1−3⋅4k 22k 2+1+4)3x 1x 2+4x 2=0，所以y G ＝﹣y E ，综上所述：E ，G 两点关于x 轴对称．。
江苏省高二上学期期末数学试题(解析版)
高二上学期期末数学试题一、单选题1．在等比数列中，，公比，则（ ） {}n a 13a =2q =4a =A ．24 B ．48 C ．54 D ．66【答案】A【分析】根据等比数列通项公式基本量计算出答案.【详解】．33413224a a q ==⨯=故选：A2．曲线处的切线与直线平行，则实数（ ） y =()1,1y kx =k =A ． B ．C ．D ．12-12-12【答案】C【分析】根据导数的几何意义求解．【详解】时，，所以． y '=1x =12y ¢=12k =故选：C ．3．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则α()13,0,n λ= β()22,1,6n =αβ⊥λ=（ ）A ．B ．4C ．D ．1921-【答案】C【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.【详解】因为，则可得，αβ⊥12n n ⊥且，， ()13,0,n λ= ()22,1,6n =则可得，解得 660λ+=1λ=-故选:C4．若直线与圆相切，则实数取值的集合为（ ）340x y m ++=2220x y y +-=mA ．B ．C ．D ．{}1,1-{}9,1-{}1{}8,2-【答案】B【分析】根据题意，由直线与圆相切可得，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到d r =结果.【详解】由圆可得，表示圆心为，半径为的圆，2220x y y +-=()2211x y +-=()0,11则圆心到直线的距离340x y m ++=d 因为直线与圆相切，340x y m ++=2220x y y +-=所以，解得或，d r =11m =9m =-即实数取值的集合为 m {}9,1-故选:B5．已知，则n ＝（ ）22A C 30n n +=A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】利用排列数、组合数公式得到，解方程即得解. ()31302n n -=【详解】解：，整理得， ()()()22131A C 13022n nn n n n n n --+=-+==2200n n --=解得（舍），． n =-45n =故选：C ．6．函数的图象如图所示，则函数的图象可能是y ()y ()f x f x ==，的导函数y ()f x =A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D ．0x =【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图x 0x 象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单0x x 0x 调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．'()f x ()f x 7．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 ()A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种【答案】D【详解】4项工作分成3组,可得：=6，24C 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：种． 36363A ⨯=故选D.8．已知数列首项为2，且，则（ ）{}n a 112n n n a a ++-=n a =A ． B ． C ． D ．2n 121n -+22n -122n +-【答案】D【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.【详解】由已知得，，则当时，有112n n n a a ++-=12a =2n ≥ ，12111221()()(222)n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-=+++()12121121222222222212n n n n n n n a a --+-=++++=++++==-- 经检验当时也符合该式．∴.1n =122n n a +=-故选：D二、多选题9．下列四个选项中，不正确的是（ ） A ．数列，的一个通项公式是 2345,,,3456⋯1n n a n =+B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，，1，，与数列，1，，1，是同一数列1-1-⋯1-1-⋯D ．数列，，是递增数列11,24⋯12n 【答案】ACD【分析】由可判断A ；由数列的通项公式以及可判断B ；由数列定义可判断C ； 11223a =≠N*n ∈由递减数列定义可判断D ． 【详解】对于A ，当通项公式为时，，不符合题意，故选项A 错误；1n n a n =+11223a =≠对于B ，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B 正确； N*n ∈对于C ，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C 错误；对于D ，数列，，是递减数列，故选项D 错误．11,24⋯12n 故选：ACD ．10．下列结论中正确的有（ ） A ．若，则B ．若，则 sin3y π=0y '=2()3(1)f x x f x =-'(1)3f '=C ．若，则D ．若，则y x =1y ='+sin cos y x x =+cos sin y x x +'=【答案】ABC【解析】根据常见的基本初等函数的导数公式和常用的导数运算法则求解即可.【详解】选项A 中，若，故A 正确； sin3y π==0y '=选项B 中，若，则， 2()3(1)f x x f x =-⋅'()6(1)f x x f '-'=令，则，解得，故B 正确； 1x =(1)6(1)f f ''=-(1)3f '=选项C 中，若，则，故C 正确；y x =+1y ='+选项D 中，若，则x ，故D 错误． sin cos y x x =+cos sin y x x '=-故选:ABC【点睛】1.常见的基本初等函数的导数公式 (1) (C 为常数); ()0C '＝(2)； ()1()nn x nx n '∈N －＋＝(3); ； ()sinx cosx '＝()cosx sinx '＝-(4);，且)； ()xx e e '＝()(0x x a a lna a '>＝1a ≠(5)； ，且)． 1(ln )'=x x a a 1 (log )'=log e(a>0x x1a ≠2.常用的导数运算法则法则1： ． ()()()()[]u x v x u x v x ±''±'＝法则2：． ()()()()()()[]u x v x u x v x u x v x '''＝＋法则3： ()()()()()()()()22[](0)u x u x v x u x v x v x v x v x '''≠-＝11．已知名同学排成一排，下列说法正确的是（ ） 7A ．甲不站两端，共有种排法 1656A A B ．甲、乙必须相邻，共有种排法 5252A A C ．甲、乙不相邻，共有种排法2555A A D ．甲不排左端，乙不排右端，共有种排法7657652A A A -+【答案】AD【分析】A 选项通过特殊元素法判断；B 选项利用捆绑法判断；C 选项利用插空法判断；D 选项用总情况减去不满足的情况即可.【详解】A 选项：甲不站两端，甲有种，剩余6人全排，共有种排法，正确；15A 1656A A B 选项：甲、乙必须相邻，甲、乙捆绑有种，作为整体和剩余5人全排，共有种排法，错22A 2626A A 误；C 选项：甲、乙不相邻，先排其他5人有种，再把甲、乙插入6个空中，共有种排法，错55A 5256A A 误；D 选项：甲不排左端，乙不排右端，用7人全排减去甲在左端的和乙在右端的，再加上甲在左端同时乙在右端的，共有种排法，正确.7657652A A A -+故选：AD.12．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，OABC M OA 2OM MA =N G BC的中点，则用向量，，表示向量中正确的为（ ）MN OA OB OCA ．B ．111344GN OA OB OC =-++111344OG OA OB OC =-+C ． D ．113232GM OA OB OC =++111344GM OA OB OC =--【答案】AD【分析】连接，利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可. ON 【详解】连接，ON因为点，分别是线段，的中点，N G BC MN 所以，111211()222322OG OM ON OA OB OC =+=⨯+⨯+ 化简可得，故B 错误；111344OG OA OB OC =++所以，故A 正确 1111111()()2344344GN ON OG OB OC OA OB OC OA OB OC =-=+-++=-++ ，故C 错误，D 正确；11121113443344GM GO OM OA OB OC OA OA OB OC =+=---+=--故选：.AD三、填空题13．已知，1，、，2，、，，，若向量与垂直为坐标原(2A 3)(4B -)x (1C x -2)OA OB + OC(O点），则等于__． x 【答案】4【分析】由向量垂直的坐标表示求解.【详解】，()()()2,1,3,4,2,,1,,2OA OB x OC x ==-=-，∴()2,3,3OA OB x +=-+向量与垂直，OA OB + OC，∴()·23260OA OB OC x x +=--++=．4x ∴=故答案为：4．四、双空题14．已知函数，则函数的单调递增区间是______，值域为______．()()212log 43f x x x =-+-【答案】[2,3)[0,)+∞【解析】令，求得函数的定义域，根据在其定义域内为单调减函2430t x x =-+->()12log f x t =数，求函数的单调递增区间转化为求函数在定义域内的减区间，再利用()()212log 43f x x x =-+-t 二次函数的值域求整个函数的值域.【详解】解：令，可得，故函数的定义域为. 2430t x x =-+->13x <<()1,3因为在其定义域内为单调减函数，()12log f x t =故求在定义域内的减区间，又函数在定义域内的减区间为，243t x x =-+-t [2,3)所以函数的单调递增区间为，()()212log 43f x x x =-+-[2,3)当时，，则，()1,3x ∈243(0,1]t x x =-+-∈()12log [0,)f x t =∈+∞即函数的值域为. ()()212log 43f x x x =-+-[0,)+∞故答案为：；.[2,3)[0,)+∞【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基本知识的考查.五、填空题15．求和：Sn ＝1＋＋＋1＋＋＋＋…＋＝________.1(12+11(1)24++1214181111(1)242n -+++⋯+【答案】2n ＋－2 112n -【分析】先化简数列，结合分组求和法即可求解． 1212k ka ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】被求和式的第k 项为：111111121211242212kk k k a -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++==- ⎪⎝⎭-所以Sn ＝2＝22111(1)(1(1)222n -+-+⋯+-231111(2222n n ⎡⎤-+++⋯+⎢⎥⎣⎦ 111111222212212212n n n n n n -⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦故答案为：2n ＋－2． 112n -16．如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能441种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）5【答案】260【分析】先分1，3相同与1，3不相同两类，每类中按分步计数原理，分2，4相同或不同两类求解，然后再分类计数原理求和.【详解】根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有：种， ()5411380⨯⨯⨯+=当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有：种， ()54312180⨯⨯⨯+=所以不同的种植方案共有种， 80180260+=故答案为：260【点睛】本题主要考查计数原理的应用问题，还考查了分析求解问题的能力，所以中档题.六、解答题17．已知等比数列的首项为2，前项和为，且. {}n a n n S 234230S S S -+=(1)求；n a(2)已知数列满足：，求数列的前项和. {}n b n n b na ={}n b n n T 【答案】(1)2n n a =(2)()1122n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据题意，由可得公比，再由等比数列的通项公式即可得到结234230S S S -+=q 果；（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为，{}n a q 因为，所以，234230S S S -+=()234320S S S S -+-=所以，所以，所以.342a a =2q =112n n n a a q -==（2）由（1）得，，所以，……①2nn b n =⨯212222n n T n =⨯+⨯++⨯ 所以，……②()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ①-②，得，()()21112122222212212n nn n n n T n n n +++⨯--=+++-⨯=-⨯=-⨯-- 所以.()1122n n T n +=-⋅+18．已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为-.2222:1x y C a b-=()0,0a b >>4()-（1）求双曲线的标准方程;（2）已知斜率为的直线与双曲线交于，两点，且的方程.1l C A B AB =l 【答案】（1）；（2）22148x y -=1y x =±【分析】（1）由双曲线的实轴长及焦点坐标，再由，，之间的关系求出，进而求出双曲线a b c b 的方程；（2）由题意设直线的方程，与双曲线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长的AB ||AB 值，再由题意可得参数的值，即求出直线的方程．AB【详解】（1）由得，又，24a =2a =c =2228b c a =-=故双曲线的方程为．22148x y -=（2）设直线的方程为，代入双曲线方程可得，l y x m =+22280x mx m ---=设，，，，则，．1(A x 1)y 2(B x 2)y 122x x m +=2128x x m =--因为||AB ==， ==1m =±所以直线的方程为．l 1y x =±19．从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中，选出3面排成一排作为一种信号，共能组成多少种信号？ 【答案】24【分析】分步完成：第一步选3面旗帜，第二步3面旗帜全排列，由此可得．【详解】从4面不同颜色旗子中，选出3面排成一排能组成种信号．3343C A 24=20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm ）满足关系：，设为C x ()()4011035C x x x =≤≤+()f x 隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式；()f x (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． ()f x 【答案】(1) 800()635f x x x =++()110x ≤≤(2)当隔热层修建5cm 厚时，总费用最小，最小值为70万元．【分析】（1）根据已给模型确定函数解析式； （2）利用导数求得最小值．【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为， 40()35C x x =+6x ．． ()()800206635f x C x x x x ∴=+=++()110x ≤≤（2），令得或（舍． ()()22400'635f x x =-+()0f x '=5x =253x =-)当时，，当时，．∴15x ≤<()0f x '<510x <≤()0f x '>在，上单调递减，在，上单调递增．()f x ∴[15)[510]当时，取得最小值（5）．∴5x =()f x f 70=当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为70万元．∴5cm21．三棱柱中，，，线段的中点为，且111ABC A B C -112AB AB AA AC ====120BAC ∠= 11A B M .BC AM⊥(1)求证：平面；AM ⊥ABC (2)点在线段上，且，求二面角的余弦值. P 11B C 11123B P B C =11P B A A --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由、根据线面垂直的判定定理可得平面；AB AM ⊥BC AM ⊥AM ⊥ABC （2）以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系，求出平面、A 、、AN AC AM x y z 、、11B AA 平面的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.1PB A 【详解】（1）三棱柱中，，111ABC A B C -11//AB A B 在中，，线段的中点为，所以，所以；11AB A △11AB AA =11A B M 11A B AM ⊥AB AM ⊥因为，平面，平面，，平面，所以BC AM ⊥BC ⊂ABC AB ⊂ABC AB BC B ⋂=AB BC ⊂、ABC 平面； AM ⊥ABC （2）做交于点，AN AC ⊥BC N 以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系，A 、、AN AC AM x y z 、、则，，， ()0,0,0A )1,0B-112B -，.()0,2,0C (M 所以，，，112AB =-()BC =(AM = 因为，所以，111222,033B P B C BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭32P ⎛ ⎝所以，32AP ⎛= ⎝ 设平面的一个法向量，则， 11B AA ()1111,,n x y z =11111111020n AB y n AM ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩ 解得，令，所以， 10z=1y 11x =()1n = 设平面的一个法向量，则， 1PB A ()2222,,n x y z =222221222302102n AP y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩令，，所以， 2y =23x =21z =-()21n =- 设二面角的平面角为，则11P B A A --()0180θθ≤≤ ，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==== 由图知二面角的平面角为锐角，11P B A A --所以二面角11P B A A --22．已知函数，．()()2e x f x x ax a =--R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x (2)当时，证明：．0a =()2(ln 2)f x x x >+【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出不等式，的解集作()f x ()f x '()0f x '<()0f x ¢>答.（2）将不等式等价变形，再分别证明和即可作答.e 1x x >+ln 1x x ≥+【详解】（1）依题意，，令，则或()()()()222e 2e x x f x x a x a x x a '⎡⎤=+--=+-⎣⎦()0f x '=2x =-.x a =当时，，则函数在上单调递增； 2a =-()()22e 0x f x x '+≥=()f x R 当时，当时，，当时，，2a >-()2,x a ∈-()0f x '<()(),2,x a ∈-∞-∞+ ()0f x ¢>于是得在，上单调递增，在上单调递减；()f x (),2-∞-(),a +∞()2,a -当时，当时，，当时，，2a <-(),2x a ∈-()0f x '<()(),2,x a ∞∞-∈-+ ()0f x ¢>因此函数在、上单调递增，在上单调递减，()f x (),a -∞()2,-+∞(),2a -所以当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；2a >-()f x (),2-∞-(),a +∞()2,a -当时，在上单调递增；2a =-()f x R 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.2a <-()f x (),a -∞()2,-+∞(),2a -（2）当时，，，，0a =()2e x f x x =0x >()222(ln 2)e (ln 2)e ln 2x x f x x x x x x x >+⇔>+⇔>+令，则，函数在上单调递增，()e 1,0x g x x x =-->()e 10x g x '=->()g x (0,)+∞，，即，(0,)∀∈+∞x ()(0)0g x g >=e 1x x >+令，，当时，，当时，， ()ln 1,0h x x x x =-->1()1h x x'=-01x <<()0h x '<1x >()0h x '>即函数在上单调递减，在上单调递增，，，即()h x (0,1)(1,)+∞(0,)∀∈+∞x ()(1)0h x h ≥=，ln 1x x ≥+于是得，而，因此，，e 1ln 2x x x >+≥+20x >22e (ln 2)x x x x >+所以成立.()2(ln 2)f x x x >+【点睛】关键点睛：利用导数探讨含参函数的单调性，求出导数后分类讨论解不等式是解决问题的关键.。
2023-2024学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．43．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．46．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：x 2m−1+y 2=m ，则下列说法正确的有（ ）A ．若m ＞1，则C 是椭圆B ．若m ＞2，则C 是椭圆C ．若m ＜0，则C 是双曲线D ．若m ＜1，则C 是双曲线10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝pa n +q （p ，q ∈R ，n ∈N *），设{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法正确的有（ ）A ．若p ＝﹣1，q ＝3，则a 10＝2B ．若p ＝﹣1，q ＝3，则S 10＝30C ．若p ＝2，q ＝1，则a 10＝1024D ．若p ＝2，q ＝1，则S 10＝203611．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程 ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 ．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 ． 16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：由于直线l ：x +√3y +1＝0的斜率为−√33，故它的倾斜角为5π6，故选：D ．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．4解：设双曲线C 的右焦点为F '， 由双曲线的对称性可知，|BF |＝|AF '|，所以由双曲线的定义知|AF |﹣|BF |＝|AF |﹣|AF '|＝2a ＝4． 故选：D ．3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：由共面向量的充要条件可得：对于A 选项，b →=12（b →+c →）+12（b →−c →），所以b →+c →，b →，b →−c →三个向量共面；对于B 选项，同理：a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面； 对于D 选项，a →+b →+c →=(a →+b →)+c →，所以三个向量共面； 故选：C ．4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：根据题意，{a n }是等比数列，设其公比为q ，若a 2a 4＝a 3，则有a 32=a 3，又由a 3＞0，则a 3＝1，又由a 4a 5＝8，则（a 3q ）（a 3q 2）＝q 3＝8，解可得q ＝2，所以a 1=a 3q 2=14． 故选：A ．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4解：直线l ：mx +y ﹣m ＝0过定点A （1，0），圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0化为圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，可知圆的圆心M （2，1），半径R ＝2， 因为点A （1，0）在圆M 内，如图， 由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时， 弦长最短为2√R 2−|MA|2=2√4−2=2√2． 故选：C ．6．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）解：对于A ，P 0P →=（2，0，﹣2），n →⋅P 0P →=1×2+1×0+1×（﹣2）＝0，故选项A 在平面α内； 对于B ，P 0P →=（﹣3，3，1），n →⋅P 0P →=1×（﹣3）+1×3+1×1＝1≠0，故选项B 不在平面α内； 对于C ，P 0P →=（﹣4，2，2），n →⋅P 0P →=1×（﹣4）+1×2+1×2＝0，故选项C 在平面α内； 对于D ，P 0P →=（1，﹣6，5），n →⋅P 0P →=1×1+1×（﹣6）+1×5＝0，故选项D 在平面α内． 故选：B ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解：根据题意，可知点A （﹣1，0）位于圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9的内部， 所以圆P 与圆C 内切，且圆P 在圆C 的内部，作出圆C 过切点Q 的半径CQ ，则根据两圆内切的关系，得到点P 在CQ 上， 因为QC ＝PQ +PC ＝3，且P A ＝PQ ，所以P A +PC ＝3，根据AP +PC ＝3＞AC ＝2，可知点P 轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆．故选：B ．8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35解：不妨设R 1＝3，R 2＝5，CD ＝m ，则AB ＝3m ，MB ＝R 2﹣AB ＝5﹣3m ，OM ＝R 1﹣MB ＝3m ﹣2， 所以MD ＝R 2＝OM +OC +CD ＝3m ﹣2+R 1+m ＝4m +1＝5⇒m ＝1，所以a ﹣c ＝OC ＝R 1＝3①，2a ＝AC ＝MA +OM +OC ＝R 2+3m ﹣2+R 1＝9②，联立①②解得a=92，c=32，所以椭圆离心率e=ca=13．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：x2m−1+y2=m，则下列说法正确的有（）A．若m＞1，则C是椭圆B．若m＞2，则C是椭圆C．若m＜0，则C是双曲线D．若m＜1，则C是双曲线解：当m＞1时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，若m＝2，曲线为圆，故A错误；当m＞2时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，曲线为椭圆，故B正确；当m＜0时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，此时m（m﹣1）＞0，m＜0，曲线为双曲线，故C正确；当m＜1时，若m＝0，曲线C：x2m−1+y2=m化为y2﹣x2＝0，即y＝±x，曲线为两条直线，故D错误．故选：BC．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝pa n+q（p，q∈R，n∈N*），设{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的有（）A．若p＝﹣1，q＝3，则a10＝2B．若p＝﹣1，q＝3，则S10＝30C．若p＝2，q＝1，则a10＝1024D．若p＝2，q＝1，则S10＝2036解：对于选项AB，若p＝﹣1，q＝3，则a n+1+a n＝3，a n+2+a n+1＝3，两式相减可得a n+2＝a n，∴{a n}为周期2的周期数列，a1＝1，a2＝2，则a10＝a2＝2，故A正确；S10＝5（a1+a2）＝5×3＝15，故B错误；对于CD，若p＝2，q＝1，则a n+1＝2a n+1，可得a n+1+1＝2（a n+1），∵a1+1＝2，∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，则a n=2n−1，∴a10=210−1=1023，故C错误；S10=2(1−210)1−2−10=2036，故D正确．故选：AD．11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4解：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°， E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，对于A ，由题意知△A 1AB ≌△A 1AD ，∴A 1D ＝A 1B ， 设AC ∩BD ＝O ，O 为BD 中点，连接A 1O ，则A 1O ⊥BD ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1ACC 1， ∵A 1E ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1E ⊥BD ，故A 正确；对于B ，∵A 1E →=−23AA 1→+AB →+AD →，∴A 1E →⋅AA 1→=(−23AA 1→+AB →+AD →)⋅AA 1→−23AA 1→2+AB →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→=−23+12+12=13≠0，∴A 1E →与AA 1→不垂直，即A 1E →与BB 1→不垂直，∴A 1E 与平面BDD 1B 1不垂直，故B 错误； 对于C ，BD 1→=BA →+AA 1→+A 1D 1→=−AB →+AA 1→+AD →， ∴|BD 1→|2=|−AB →+AA 1→+AD →|2=(AB →)2+(AA 1→)2+(AD →)2−2AB →⋅AA 1→−2AB →⋅AD →+2AA →1⋅AD →=3−2×12−2×12+2×12=2⇒BD 1=√2，故C 正确对于D ，由A 知BD ⊥平面A 1ACC 1，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角即为直线BD 1与BD 所成角的余角， BD →=AD →−AB →，∵|BD →|=1，BD →⋅BD 1→=(AD →−AB →)⋅(−AB →+AA →1+AD →)=1 ∴|cos〈BD →，BD 1→〉|=|BD →⋅BD 1→|BD →|⋅|BD 1→||=11×√2=√22，∴直线BD 1与BD 所成角为π4，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4，故D 正确．故选：ACD ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切 B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|解：抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F （12，0），p ＝1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=4y 1y 2=−4，得：y 1y 2=−1=−p 2，故直线AB 过焦点F ，点T 和点F 重合，选项D 正确； 由抛物线的性质得|AF |＝x 1+12，|BF |＝x 2+12，|AB |＝x 1+x 2+1，线段AB 的中点M 到准线的距离为|AF|+|BF|2=x 1+x 2+12=|AB|2，所以以AB 为直径的圆与C 的准线相切，选项A 正确； |AB |≥2p ＝2，故选项B 正确； 设直线AB 的倾斜角为θ，则S △AOB =p 22sinθ=12sinθ≥12，选项C 错误． （或当AB 为通径时，S △AOB =p 22=12＜34，故选项C 错误）． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程： x 24+y 2=1（答案不唯一） ．解：根据题意，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，则该菱形对角线的交点为坐标原点，如图：假设A 、C 在x 轴上，B 、D 在y 轴上，∠BCD ＝60°， 由菱形的性质，∠BCA ＝30°，又由菱形ABCD 的边长为2，则OB ＝1，则BC ＝2，OC =√3， 即b ＝1，c =√3，则a 2＝b 2+c 2＝4， 故该椭圆的一个方程为x 24+y 2=1．故答案为：x 24+y 2=1（答案不唯一）．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 √5 ．解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F （1，0），由抛物线的定义知d ＝|PF |，所以d ﹣|P A |＝|PF |﹣|P A |≤|AF |=√(2−1)2+(2−0)2=√5， 当点P 位于射线F A 与抛物线交点时，取最大值√5．答案为：√5．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 π3．解：作出示意图形，如下图所示，向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，结合O 1A ∥O 2C ，得∠BO 2C ＝60°， 所以△BO 2C 为等边三角形，设点A 在圆O 2所在平面内的射影为D ，连接AD 、BD ， 则AD 与O 1O 2平行且相等，且D 为O 2C 中点，∠BAD （或其补角）就是异面直线AB 与直线O 1O 2所成角， Rt △BCD 中，BD =√42−22=2√3， 在Rt △ADB 中，AD ＝O 1O 2＝2，得tan ∠BAD =BD AD =√3，所以∠BAD =π3， 即直线AB 与直线O 1O 2所成角为π3．故答案为：π3．16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 59 ． 解：a n ＝[log 2（2n +1）]，可得a 2k−1=[log 2（2k +1）]＝k ，a 2k =[log 2(2k+1+1)]=k +1， 故2k ﹣1≤n ＜2k 时，a n ＝k ，共2k ﹣2k ﹣1＝2k﹣1项，其和为k •2k ﹣1＝（k ﹣1）•2k ﹣（k ﹣2）•2k ﹣1，S 2k −1=0⋅21−(−1)⋅20+1⋅22−0⋅21+⋅⋅⋅+(k −1)⋅2k −(k −2)⋅2k−1=(k −1)⋅2k +1， 则S 63＝（6﹣1）×26+1＝321＞300，又32≤n ≤63时，a n ＝6，故S 60＝303，S 59＝297， 因此，所求正整数n 的最大值为59． 故答案为：59．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程． 解：（1）根据B （2，0），D （0，1），可得BD 的中点为E(1，12)．由A （﹣1，﹣1）、B （2，0），得k AB =0+12+1=13， 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ∥CD ，得k CD =k AB =13，而直线l ⊥CD ，可知直线l 的斜率为−113=−3，所以直线l 的方程为y −12=−3(x −1)，整理得6x +2y ﹣7＝0． （2）设C （m ，n ），根据A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）， 可得BC →=(m −2，n)，AD →=(1，2)，结合BC →=AD →，得{m −2=1n =2，，m ＝3，n ＝2，即C （3，2），根据k BD =1−00−2=−12，k BC =2−03−2=2，得k BD •k BC ＝﹣1，即BC ⊥BD ， 所以点C 到BD 的距离为BC =√(3−2)2+(2−0)2=√5，因此，以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）因为4S n ＝（2n +1）a n +1． 令n ＝1得a 1＝1， 因为4S n ＝（2n +1）a n +1，所以4S n ﹣1＝（2n ﹣1）a n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得4a n ＝（2n +1）a n ﹣（2n ﹣1）a n ﹣1（n ≥2），即（2n ﹣3）a n ＝（2n ﹣1）a n ﹣1． 所以a n a n−1=2n−12n−3（n ≥2）， 所以a 2a 1⋅a 3a 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a n a n−1=31⋅53⋅⋅⋅2n−12n−3，即a na 1=2n −1， 所以当n ≥2时，a n ＝2n ﹣1， 又a 1＝1，所以a n ＝2n ﹣1． （2）由（1）可得b n =1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n =12[(11−13)+(13−15)+⋅⋅⋅+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．解：（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∵∠BAC ＝90°，∴AB ，AC ，AA 1两两垂直， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB ＝AC ＝2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0）， 设AA 1＝a （a ＞0），则A 1（0，0，a ），B 1（2，0，a ），C 1（0，2，a ）， 设AF ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），则E （2﹣λ，0，0），F （0，λ，0）， ∴B 1F →=(−2，λ，−a)，C 1E →=(2−λ，−2，−a)，∵B 1F ⊥C 1E ，∴B 1F →⋅C 1E →=0，即2λ﹣4﹣2λ+a 2＝0，解得：a ＝2， 即该直三棱柱的高为2；（2）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，有AA 1⊥平面AEF ， 又∠BAC ＝90°，由（1）知AA 1＝2，AE ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），∴V A 1−AEF =13S △AEF ⋅AA 1=13λ⋅(2−λ)≤13，当且仅当λ＝1时取“＝”，即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大， 此时E （1，0，0），F （0，1，0），A 1（0，0，2）， ∴A 1E →=(1，0，−2)，A 1F →=(0，1，−2)，设平面A 1EF 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)， 则{A 1E →⋅n 1→=0A 1F →⋅m 1→=0，即{x −2z =0y −2z =0，取z ＝1，则n 1→=(2，2，1)， 又平面ACC 1A 1的一个法向量为n 2→=(1，0，0)，所以|cos〈n 1→，n 2→〉|=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=23×1=23， 因为平面A 1EF 与平面ACC 1A 1的夹角θ为锐角，所以cosθ=23．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．解：（1）由题意2c =4√3，所以c =2√3=√a 2−b 2，又因为a ＝2b ，所以a ＝4，b ＝2， 所以C 的标准方程为x 216+y 24=1．（2）设直线l ：y =12x +m （m ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 3，y 3）．将y =12x +m 代入C ：x 216+y 24=1中，化简整理得x 2+2mx +2m 2﹣8＝0，于是有{Δ=32−4m 2＞0，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−8，所以|AB|=√1+(12)2|x 1−x 2|=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52√(−2m)2−4(2m 2−8)=√5√8−m 2， 因为点O 关于l 的对称点为P ，所以{y 3−0x 3−0=−2，y 3+02=12⋅x 3+02+m ，解得{x 3=−45my 3=85m，即P(−45m ，85m)， 因为P 在C 上，所以(−45m)216+(85m)24=1，解得m 2=2517． 又因为点O 到直线l 的距离d =|m|√1+(12)=2√5， 所以由对称性得S 四边形OAPB =2S △OAB =|AB|⋅d =√5√8−m 2⋅√5=2|m|√8−m 2=25√17×√8−2517=1017√111．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．解：（1）将n ＝2，3代入a n +1＝a n +1+cos n π，得a 2＝1，a 3＝3， 令n ＝2k ，2k ﹣1，得a 2k +1＝a 2k +2，a 2k ＝a 2k ﹣1，所以a 2k +1＝a 2k ﹣1+2，又a 1＝1，从而a 2k ﹣1＝1+2（k ﹣1）＝2k ﹣1， 所以a 2k ＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，从而a n ={n ，n 为奇数，n −1，n 为偶数.；（2）：由b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，又b 2＝2，b 2k +2＝3b 2k ， 所以{b 2k }是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以b 2k =2⋅3k−1，所以b n ={n ，n =2k −1(k ∈N ∗)，2⋅3n2−1，n =2k(k ∈N ∗)， 因为S 2m ＝2S 2m ﹣1，所以b 2m ＝S 2m ﹣1．因为S 2m ﹣1＝b 1+b 2+•+b 2m ﹣1＝（b 1+b 3+•+b 2m ﹣1）+（b 2+b 4+•+b 2m ﹣2） =m(1+2m−1)2+2(3m−1−1)3−1=3m−1+m 2−1，所以2•3m ﹣1＝3m ﹣1+m 2﹣1，即3m ﹣1＝m 2﹣1当m ＝1时，3m ﹣1＝m 2﹣1无解；当m ＞1时，因为(m+1)2−13m−m 2−13m−1=−2m 2+2m+33m＜0，所以当且仅当m ＝2时，m 2−13m−1取最大值1，即3m ﹣1＝m 2﹣1的解为m ＝2．综上所述，满足题意的m 的值为2．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．解：（1）因为F （2，0），所以a 2+（a 2+2）＝4，所以a 2＝1， 所以圆O 的半径r ＝1，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k （x ﹣2）（k ≠0），当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d ＝r ，即√1+k 2=1，解得k =±√33，由{y =k(x −2)，x 2−y 23=0，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2＝0，即2x 2+x ﹣1＝0，解得x D ＝﹣1，x E =12， 所以|DE|=√1+k 2|x D −x E |=√3．（2）证明：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{y =k(x −2)，x 2−y 23=1，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2+3＝0， 此时k ≠0，Δ＞0，x 1x 2=4k 2+3k 2−3＜0，解得0＜k 2＜3，且{x 1+x 2=4k 2k 2−3=4+12k 2−3，x 1x 2=4k 2+3k 2−3=4+15k 2−3，所以x 1x 2=54(x 1+x 2)−1， 因为A 1（﹣1，0），A 2（1，0），所以A 1Q ：y =y 2x 2+1(x +1)，A 2P ：y =y1x 1−1(x −1)，联立A 1Q ，A 2P 方程，消去y 得x+1x−1=(x 2+1)y 1(x 1−1)y 2=k(x 2+1)(x 1−2)k(x 1−1)(x 2−2)=x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2．所以x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2=54(x 1+x 2)−1+x 1−2x 2−254(x 1+x 2)−1−x 2−2x 1+2=94x 1−34x 2−3−34x 1+14x 2+1=−3，即x+1x−1=−3，所以x =12．将x=12代入A2P方程，得y=−y12(x1−1)，即S(12，−y12(x1−1))．因为x1＜﹣1，所以(−y12(x1−1))2=3(x12−1)4(x1−1)2=3(x1+1)4(x1−1)=34[1+2x1−1]∈(0，34)，所以(12)2+(−y12(x1−1))2＜1，即直线A1Q，A2P的交点S在圆O内．。
2020-2021学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）命题“∀x∈R，x2-x+1＞0”的否定为（）A.∀x∈R，x2-x+1≤0B.∀x∈R，x2-x+1＜0C.∃x∈R，x2-x+1≤0D.∃x∈R，x2-x+1＜02.（单选题，5分）已知复数z=-i（1+2i）（i为虚数单位），则复数z的实部为（）A.-2B.-1C.1D.23.（单选题，5分）不等式（x+5）（3-2x）≥6的解集是（）A.{x|x≤-1或x≥ 92}B.{x|-1≤x≤ 92}C.{x|x≤- 92或x≥1}D.{x|- 92≤x≤1}4.（单选题，5分）若0＜b＜1，则“a＞√b”是“a＞b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题，5分）在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d= mk，其中d是距离（单位cm），m是质量（单位g），k是弹簧系数（单位g/cm）．弹簧系数分别为k1，k2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k满足1k = 1k1+ 1k2，并联时得到的弹簧系数k满足k=k1+k2．已知物体质量为20g，当两个弹簧串联时拉伸距离为1cm，则并联时弹簧拉伸的最大距离为（）A. 14cmB. 12cmC.1cmD.2cm6.（单选题，5分）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2=2px（p＞0）上的点M与焦点F 的距离为10，点M到x轴的距离为2p，则p的值为（）A.1B.2C.4D.87.（单选题，5分）若正整数m，n满足n+4n+2＜√m＜n+3n+1，则所有满足条件的n的和为（）A.6B.4C.3D.18.（单选题，5分）单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和，例如25=13+115，729=16+1 24+158+187+1232，…，现已知2101可以表示成4个单分数的和，记2101=1606+1x+1y+1z，其中x，y，z是以101为首项的等差数列，则y+z的值为（）A.505B.404C.303D.2029.（多选题，5分）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n次方程有n个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程z3-1=0的根的是（）A. 12+√32iB. −12+√32iC. −12−√32iD.110.（多选题，5分）已知a＞b＞0＞c＞d，则（）A.a-c＞b-dB.ad＞bcC. ba ＜b−ca−cD. c2a ＜d2b11.（多选题，5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y24=1与直线y=kx+m（k≠±2，m∈R）有唯一的公共点，则动点P（k，m）与定点Q（0，2）的距离可能为（）A.2B. √6C. 2√2D.312.（多选题，5分）已知等比数列{a n}满足a1=1，其前n项和S n=pa n+1+r（n∈N*，p＞0）．（）A.数列{a n}的公比为pB.数列{a n}为递增数列C.r=-p-1D.当p- 14r取最小值时，a n=3n-113.（填空题，5分）已知复数z满足（1+2i）z=3+4i（i为虚数单位），则复数z的模为___ ．14.（填空题，5分）已知a＞0，b＞0，且2a+b=4，则ab+ 1a + 2b的最小值为___ ．15.（填空题，5分）在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数R0=3，那么初始一名感染者，经过三轮传染后，感染总人数将达到___ 人；若感染总人数达到1000人，则应采取紧急防控措施，那么应在第___ 轮传染开始前采取紧急防控措施．（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48）16.（填空题，5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为4√6，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，过O作OD⊥AB交AB于点D，点D 的坐标为（2，1），则椭圆C的方程为___ ．17.（问答题，10分）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆x2a2+y2b2=1与双曲线x2a2−y2b2=1的离心率分别为e1，e2，其中a＞b＞0．（1）求e12+e22的值；（2）若双曲线渐近线的斜率小于√22，求e1和e2的取值范围．18.（问答题，12分）已知不等式ax2+（3-a）x-3b＜0（a，b∈R）的解集为A={x|-3＜x＜1}．（1）求实数a，b的值；（2）设f(x)=ax 2+bx−2x−2（x∈A），当x为何值时f（x）取得最大值，并求出其最大值．19.（问答题，12分）在① 2S n=2n2+a n，② a3+a5=16且S3+S5=42，③ S nS2n =n+14n+2且S7=56这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，___．数列{b n}为等比数列，b1=a1，b2=a3，求数列{1S n+b n}的前n项和T n．20.（问答题，12分）著名数学家庞加莱说“我感受到了数学的美、数字和形状的协调，以及几何的优雅”．为了让学生体会数学之美，某校数学组开设了特色校本课程，老师利用两类圆锥曲线构造了一个近似“W”形状的曲线，它由抛物线C1的部分和椭圆C2的一部分构成（如图1），已知在平面直角坐标系xOy中，C1：x2=2py（p＞0）和C2：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）交于A，B两点，F1是公共焦点，|OF1|=1，|AF1|= 53（如图2）．（1）求C1和C2的方程；（2）过点F1作直线l与“W”形状曲线依次交于C，D，E，F四点，若|CF|=λ|DE|，求实数λ的取值范围．21.（问答题，12分）已知数列{a n}满足a1=1，2a n+1=(1+1n)a n（n∈N*）．（1）求证：数列{a nn}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{a n}的前n项中最大值为M n，最小值为m n，令b n=M n+m n2，称数列{b n}是数列{a n}的“中程数数列”．① 求“中程数数列”{b n}的前n项和S n；② 若b m=a k（m，k∈N*且m＞k），求所有满足条件的实数对（m，k）．22.（问答题，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，过原点O的直线交该椭圆于A，B两点（点A在x轴上方），点E（4，0）．当直线AB垂直于x轴时，|AE|=2√5．（1）求a，b的值；（2）设直线AE与椭圆的另一交点为C，直线BE与椭圆的另一交点为D．① 若OC || BE，求△ABE的面积；② 是否存在x轴上的一定点T，使得直线CD恒过点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）命题“∀x∈R，x2-x+1＞0”的否定为（）A.∀x∈R，x2-x+1≤0B.∀x∈R，x2-x+1＜0C.∃x∈R，x2-x+1≤0D.∃x∈R，x2-x+1＜0【正确答案】：C【解析】：欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：① ：“∀”；② ：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】：解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是∃x∈R，x2-x+1≤0，故选：C．【点评】：这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．2.（单选题，5分）已知复数z=-i（1+2i）（i为虚数单位），则复数z的实部为（）A.-2B.-1C.1D.2【正确答案】：D【解析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的实部概念得答案．【解答】：解：z=-i（1+2i）=-i-2i2=-i+2，则z的实部为2．故选：D．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 3.（单选题，5分）不等式（x+5）（3-2x ）≥6的解集是（ ） A.{x|x≤-1或x≥ 92} B.{x|-1≤x≤ 92 } C.{x|x≤- 92 或x≥1} D.{x|- 92 ≤x≤1} 【正确答案】：D【解析】：把不等式的右边移项到左边，去括号合并化简，分解因式得到（2x+9）（x-1）小于0，分情况2x+9与x-1异号或都等于0讨论得到两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．【解答】：解：因为不等式（x+5）（3-2x ）≥6可化为2x 2+7x-9≤0， 分解因式得（2x+9）（x-1）≤0，可化为 {2x +9≥0x −1≤0 或 {2x +9≤0x −1≥0，解得- 92 ≤x≤1，所以不等式（x+5）•（3-2x ）≥6的解集是{x|- 92 ≤x≤1}． 故选：D ．【点评】：本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题． 4.（单选题，5分）若0＜b ＜1，则“a ＞ √b ”是“a ＞b”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：A【解析】：说明命题成立只需证明即可，说明命题不成立可进行列举即可，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．【解答】：解：若a ＞ √b ，在0＜b ＜1时，b （1-b ）=b-b 2＞0即 √b ＞b ，故可得a ＞b ， 若a ＞b ，可取 b =19 ， a =29 ，此时 a ＜√b ，所以若0＜b ＜1，则“a ＞ √b ”是“a ＞b”的充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题主要考查了代数式的大小比较，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生的推理能力．5.（单选题，5分）在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d= mk，其中d是距离（单位cm），m是质量（单位g），k是弹簧系数（单位g/cm）．弹簧系数分别为k1，k2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k满足1k = 1k1+ 1k2，并联时得到的弹簧系数k满足k=k1+k2．已知物体质量为20g，当两个弹簧串联时拉伸距离为1cm，则并联时弹簧拉伸的最大距离为（）A. 14cmB. 12cmC.1cmD.2cm【正确答案】：A【解析】：由已知可得k1k2k1+k2=20，利用基本不等式求解k1+k2的最小值，即可求得并联时弹簧拉伸的最大距离．【解答】：解：根据题意可得，当两个弹簧串联时，弹簧的系数k= md =201=20，由1k = 1k1+ 1k2= k1+k2k1k2，得k= k1k2k1+k2，则串联时，有k1k2k1+k2=20；并联时，弹簧系数k′满足k′=k1+k2，d′= mk′，要使d′最大，则k′最小，即k1+k2最小，由k1k2k1+k2=20，得20（k1+k2）=k1k2≤(k1+k22)2，得80（k1+k2）≤ (k1+k2)2，解得k1+k2≤0（舍去），或k1+k2≥80，当且仅当k1=k2=40时上式等号成立，此时d′= mk′=2080=14（cm）．故选：A．【点评】：本题考查函数模型的选择及应用，考查不等式的性质，考查运算求解能力，是中档题．6.（单选题，5分）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2=2px（p＞0）上的点M与焦点F 的距离为10，点M到x轴的距离为2p，则p的值为（）A.1B.2C.4D.8【正确答案】：C【解析】：由题中的条件可以将点M的坐标用p表示出来，由点M坐标满足抛物线方程，可以直接解决．【解答】：解：设点M（x，y），由题意可知，{x+p2=10 |y|=2p，所以M（10- p2，±2p），又因为M点在抛物线上，所以，4p2=2p（10- p2），∴p=4．故选：C．【点评】：本题考查了抛物线的定义，属于基础题．7.（单选题，5分）若正整数m，n满足n+4n+2＜√m＜n+3n+1，则所有满足条件的n的和为（）A.6B.4C.3D.1【正确答案】：B【解析】：根据题中给出的条件，先得到n+4n+2和n+3n+1的范围，确定m=2或3，分别解对应的分式不等式，求出对应的n即可．【解答】：解：因为m，n均为正整数，所以1＜n+4n+2 = 1+2n+2≤1+21+2=1+23，1＜n+3n+1= 1+2n+1≤2，所以1＜√m＜2，所以m=2或3，若m=2时，则n+4n+2＜√2＜n+3n+1，所以2n+2＜√2−1＜2n+1，解得2√2＜n＜2√2+1，则n=3，若m=3时，则n+4n+2＜√3＜n+3n+1，所以2n+2＜√3−1＜2n+1，解得 √3−1＜n ＜√3 ， 则n=1， 所以n=3+1=4． 故选：B ．【点评】：本题考查了不等式知识的理解和应用，涉及了分式不等式的解法、分离常数法的应用，解题的关键是先确定出m 的取值为2或3．8.（单选题，5分）单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和，例如 25=13+115 ， 729=16+124+158+187+1232 ，…，现已知 2101可以表示成4个单分数的和，记2101=1606+1x+1y +1z，其中x ，y ，z 是以101为首项的等差数列，则y+z 的值为（ ） A.505 B.404 C.303 D.202【正确答案】：A 【解析】：根据已知将 2101写出四个单分数的和，从而可求得x ，y ，z 的值，即可得解．【解答】：解： 2101 = 1101 + 1101= 1101 + 2202 =1101 + 1202 + 1202 = 1101 + 1202 + 3606 = 1101 + 1202 + 2606 + 1606 = 1101 + 1202 + 1303 + 1606所以x=101，y=202，z=303满足题目x ，y ，z 是以101为首项的等差数列， 所以y+z=505． 故选：A ．【点评】：本题主要考查等差数列的性质，属于中档题．9.（多选题，5分）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n次方程有n个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程z3-1=0的根的是（）A. 12+√32iB. −12+√32iC. −12−√32iD.1【正确答案】：BCD【解析】：对应各个选项逐个已知即可求解．【解答】：解：选项A：当z= 12+√32i时，z 3−1=(12+√32i)3−1 =（12+√32i）2•(12+√32i)-1=- 14−34−1 =-2，故A错误，选项B：当z=- 12+√32i时，z3-1=（- 12+√32i）3-1=（- 12+√32i）2•(−12+√32i)−1 = 14+34−1=0，故B正确，选项C：当z=- 12−√32i时，z 3−1=(−12−√32i)3−1 =（- 12−√32i）2•(−12−√32i) -1= 14+34−1=0，故C正确，选项D：显然当z=1时满足z3-1=0，故D正确，故选：BCD．【点评】：本题考查了复数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．10.（多选题，5分）已知a＞b＞0＞c＞d，则（）A.a-c＞b-dB.ad＞bcC. ba ＜b−ca−cD. c2a ＜d2b【正确答案】：CD【解析】：由a＞b＞0＞c＞d，取a=2，b=1，c=-1，d=-2，即可判断AB；由不等式的基本性质，即可判断CD．【解答】：解：由a＞b＞0＞c＞d，取a=2，b=1，c=-1，d=-2，则AB不成立；若ba ＜b−ca−c，只需b（a-c）＜a（b-c），即bc＞ac，显然bc-ac=c（b-a）＞0，故C正确；若c 2a ＜d2b，只需bc2＜ad2，又c2＜d2，0＜b＜a，显然bc2＜ad2成立，故D正确．故选：CD．【点评】：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．11.（多选题，5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y24=1与直线y=kx+m（k≠±2，m∈R）有唯一的公共点，则动点P（k，m）与定点Q（0，2）的距离可能为（）A.2B. √6C. 2√2D.3【正确答案】：BCD【解析】：将直线与双曲线联立，由判别式Δ=0，可推出m2-k2+4=0，再结合两点间距离公式和配方法，即可得解．【解答】：解：联立{y=kx+mx2−y24=1，得（4-k2）x2-2kmx-m2-4=0，因为直线与双曲线有唯一公共点，所以Δ=4k2m2+4（4-k2）（m2+4）=16（m2-k2+4）=0，所以m2-k2+4=0，|PQ|2=k2+（m-2）2=m2+4+m2-4m+4=2m2-4m+8=2（m-1）2+6≥6，所以|PQ|≥ √6，所以选项BCD均符合题意，故选：BCD．【点评】：本题考查直线与双曲线的交点个数问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．12.（多选题，5分）已知等比数列{a n}满足a1=1，其前n项和S n=pa n+1+r（n∈N*，p＞0）．（）A.数列{a n}的公比为pB.数列{a n}为递增数列C.r=-p-1D.当p- 14r取最小值时，a n=3n-1【正确答案】：BD【解析】：利用S n和a n的关系得到以a n+1a n =p+1p，然后通过数列{a n}为等比数列进行分析求解，依次判断四个选项即可．【解答】：解：因为S n=pa n+1+r，所以S n-1=pa n+r（n≥2），所以a n=S n-S n-1=pa n+1-pa n，则pa n+1=（p+1）a n（n≥2），所以a n+1a n =p+1p（n≥2），当n=1时，a1=S1=pa2+r，所以a2=1−rp，因为{a n}为等比数列，又q=p+1p =1+1p＞1，所以数列{a n}为递增数列，故选项A错误，选项B正确；所以q=p+1p =1−rp，解得r=-p，故选项C错误；p- 14r = p+14p≥2√p•14p=1，当且仅当p=14p ，即p= 12时取等号，此时数列{a n}的公比为q=p+1p=3，所以a n=3n-1，故选项D正确．故选：BD．【点评】：本题考查了等比数列的应用，涉及了等比数列前n项和与第n项之间关系的应用，解题的关键是求出a n+1a n =p+1p（n≥2），属于中档题．13.（填空题，5分）已知复数z满足（1+2i）z=3+4i（i为虚数单位），则复数z的模为___ ．【正确答案】：[1] √5【解析】：根据复数的基本运算法则进行化简，然后结合复数的模长公式即可求解．【解答】：解：因为（1+2i）z=3+4i，所以z= 3+4i1+2i = (3+4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)= 11−2i5，故|z|= √5．故答案为：√5．【点评】：本题主要考查复数模长的计算，属于基础题．14.（填空题，5分）已知a＞0，b＞0，且2a+b=4，则ab+ 1a + 2b的最小值为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：根据2a+b=4及a＞0，b＞0即可得出ab+1a +2b=ab+4ab≥4，这样即可得出ab+1a +2b的最小值．【解答】：解：∵a＞0，b＞0，且2a+b=4，∴ ab+1a +2b=ab+2a+bab=ab+4ab≥2√ab•4ab=4，当且仅当ab=4ab，即a=1，b=2时等号成立，∴ ab+1a +2b的最小值为：4．故答案为：4．【点评】：本题考查了基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算能力，属于基础题．15.（填空题，5分）在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数R0=3，那么初始一名感染者，经过三轮传染后，感染总人数将达到___ 人；若感染总人数达到1000人，则应采取紧急防控措施，那么应在第___ 轮传染开始前采取紧急防控措施．（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48）【正确答案】：[1]64; [2]6【解析】：由题意依次求出经过三轮传染后感染的总人数，则答案可求；分析可知，每一轮传染后的感染人数构成以4为首项，以4为公比的等比数列，写出等比数列的通项公式，求解不等式得答案．【解答】：解：初始一名感染者，经过一轮传染后，感染人数为1+R0=4人，经过二轮传染后，感染人数为4+4R0=16人，经过三轮传染后，感染人数为16+16R0=64人；则每一轮传染后的感染人数构成以4为首项，以4为公比的等比数列，到第n轮传染后，感染人数为a n=4×4n−1=4n，由4n≤1000，得n≤ lg1000lg4=32lg2≈30.6=5．∴若感染总人数达到1000人，则应采取紧急防控措施，那么应在第6轮传染开始前采取紧急防控措施．故答案为：64；6．【点评】：本题考查函数模型的选择及应用，考查等比数列的通项公式，考查运算求解能力，是基础题．16.（填空题，5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为4√6，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，过O作OD⊥AB交AB于点D，点D 的坐标为（2，1），则椭圆C的方程为___ ．【正确答案】：[1] x 230+y26=1【解析】：由已知求出直线AB的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理求出A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积，再利用OA与OB以及a，b，c的关系即可求解．【解答】：解：由已知可得k AB•k OD=-1，所以k AB=−1k OD =−112=−2，则直线BA的方程为：y-1=-2（x-2），即y=-2x+5，代入椭圆方程消去y整理可得：（b2+4a2）x2-20a2x+25a2-a2b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），B（x2，y2），则x 1+x2=20a2b2+4a2，x1x2=25a2−a2b2b2+4a2，又由已知可得：2c=4 √6，所以c=2 √6，则a2=b2+24，所以x 1+x2=20a25a2−24，x1x2=49a2−a45a2−24，所以y1y2=（-2x1+5）（-2x2+5）=4x1x2-10（x1+x2）+25= 121a2−4a4−6005a2−24，又由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，所以49a 2−a4+121a2−4a4−6005a2−24=0，即a4-34a2+120=0，解得a2=30或4（舍去），所以a2=30，b2=6，所以椭圆的方程为x 230+y26=1，故答案为：x 230+y26=1．【点评】：本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．17.（问答题，10分）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆x2a2+y2b2=1与双曲线x2a2−y2b2=1的离心率分别为e1，e2，其中a＞b＞0．（1）求e12+e22的值；（2）若双曲线渐近线的斜率小于√22，求e1和e2的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由椭圆和双曲线中a、b、c的关系以及离心率的定义，即可得解；（2）易知0＜ba ＜√22，再由e1= √1−(ba)2，e2= √1+(ba)2，得解．【解答】：解：（1）由题意知，e12= a2−b2a2，e22= a2+b2a2，∴e12+e22= a2−b2a2 + a2+b2a2=1- b2a2+1+ b2a2=2．（2）双曲线C的渐近线方程为y=± bax，∵双曲线渐近线的斜率小于√22，∴0＜ba ＜√22，∴e1= √1−(ba )2∈（√22，1），e2= √1+(ba )2∈（1，√62），故e1的取值范围为（√22，1），e2的取值范围为（1，√62）．【点评】：本题考查椭圆和双曲线的几何性质，主要包含渐近线方程和离心率，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.（问答题，12分）已知不等式ax 2+（3-a ）x-3b ＜0（a ，b∈R ）的解集为A={x|-3＜x ＜1}． （1）求实数a ，b 的值； （2）设 f (x )=ax 2+bx−2x−2（x∈A ），当x 为何值时f （x ）取得最大值，并求出其最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据不等式的解集得出对应方程的两实数根，代入方程得列方程组，再求出a ，b 的值；（2）根据条件设x-2=t ，利用基本不等式，求出函数y 的最大值的值和x 的值即可．【解答】：解：（1）不等式ax 2+（3-a ）x-3b ＜0的解集为A={x|-3＜x ＜1}， 所以-3和1是对应方程ax 2+（3-a ）x-3b=0的两根， 所以 {9a −3(3−a )−3b =0a +(3−a )−3b =0 ，解得a=1，b=1；（2）由 f (x )=ax 2+bx−2x−2= x 2+x−2x−2 ，x∈（-3，1）， 设x-2=t ，则x=t+2，且t∈（-5，-1）， 令y=f （x ），则y=(t+2)2+tt=t+ 4t +5≤5-2 √(−t )•4−t=1， 当且仅当-t= 4−t ，即t=-2时取等号，此时x=0； 所以当x=0时f （x ）取得最大值，且最大值为1．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了利用基本不等式求最值，是中档题．19.（问答题，12分）在 ① 2S n =2n 2+a n ， ② a 3+a 5=16且S 3+S 5=42， ③ S n S 2n=n+14n+2且S 7=56这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，___．数列{b n }为等比数列，b 1=a 1，b 2=a 3，求数列 {1S n+b n } 的前n 项和T n ．【正确答案】：【解析】：本题三个条件均根据等差数列的通项公式及前n 项和公式代入进行计算，列出关于首项a 1与公差d 的方程，解出a 1与d 的值，即可得到数列{a n }的通项公式，进一步即可计算出 1S n的表达式，以及通过等比数列的通项公式计算出数列{b n }的通项公式，即可计算出数列{1S n+b n } 的通项公式，然后运用分组求和法即可计算出前n 项和T n ．【解答】：解：方案一：选条件 ①依题意，当n=1时，2a 1=2S 1=2×12+a 1，解得a 1=2， 当n≥2时，由数列{a n }为等差数列，可知S n = n (a 1+a n )2 = n (2+a n )2， 则2S n =2×n (2+a n )2=2×n 2+a n ， 化简整理，可得a n =2n ， 当n=1时，a 1=2也满足上式， ∴a n =2n ，n∈N*， S n =n (2+a n )2 = n (2+2n )2 =n （n+1）， ∴ 1S n=1n (n+1) = 1n - 1n+1， 又∵b 1=a 1=2，b 2=a 3=6，设等比数列{b n }的公比为q ，则q= b 2b 1= 62 =3，故b n =2•3n-1，n∈N*， ∴ 1S n+b n = 1n - 1n+1 +2•3n-1，∴T n = 1S 1+b 1+ 1S 2+b 2+…+ 1S n+b n=（ 1S 1+ 1S 2+…+ 1S n）+（b 1+b 2+…+b n ）=（1- 12 + 12 - 13 +…+ 1n - 1n+1 ）+（2+2•31+…+2•3n-1）=1- 1n+1 + 2−2•3n1−3=3n - 1n+1 ． 方案二：选条件 ②依题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则{(a 1+2d )+(a 1+4d )=163a 1+3×22d +5a 1+5×42d =42，化简整理，得 {a 1+3d =88a 1+24d =42，解得 {a 1=2d =2，∴a n =2+2（n-1）=2n ，n∈N*， S n =n (2+a n )2 = n (2+2n )2=n （n+1）， ∴ 1S n= 1n (n+1) = 1n - 1n+1 ， 又∵b 1=a 1=2，b 2=a 3=6，设等比数列{b n }的公比为q ，则q= b 2b 1= 62 =3，故b n =2•3n-1，n∈N*， ∴ 1S n+b n = 1n - 1n+1 +2•3n-1，∴T n = 1S 1+b 1+ 1S 2+b 2+…+ 1S n+b n=（ 1S 1 + 1S 2 +…+ 1S n）+（b 1+b 2+…+b n ）=（1- 12 + 12 - 13 +…+ 1n - 1n+1 ）+（2+2•31+…+2•3n-1） =1- 1n+1 +2−2•3n1−3 =3n - 1n+1 ． 方案三：选条件 ③依题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则 S n =na 1+n (n−1)2 d ，S 2n =2na 1+ 2n (2n−1)2d ， ∴ {na 1+n (n−1)2d 2na 1+2n (2n−1)2d=n+14n+27a 1+7×62d =56 ，化简整理，得 {a 1=da 1+3d =8，解得 {a 1=2d =2，∴a n =2+2（n-1）=2n ，n∈N*， S n =n (2+a n )2 = n (2+2n )2=n （n+1），∴ 1 S n = 1n(n+1)= 1n- 1n+1，又∵b1=a1=2，b2=a3=6，设等比数列{b n}的公比为q，则q= b2b1 = 62=3，故b n=2•3n-1，n∈N*，∴ 1 S n +b n= 1n- 1n+1+2•3n-1，∴T n= 1S1 +b1+ 1S2+b2+…+ 1S n+b n=（1S1 + 1S2+…+ 1S n）+（b1+b2+…+b n）=（1- 12 + 12- 13+…+ 1n- 1n+1）+（2+2•31+…+2•3n-1）=1- 1n+1 + 2−2•3n1−3=3n- 1n+1．【点评】：本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及运用分组求和法求前n 项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．20.（问答题，12分）著名数学家庞加莱说“我感受到了数学的美、数字和形状的协调，以及几何的优雅”．为了让学生体会数学之美，某校数学组开设了特色校本课程，老师利用两类圆锥曲线构造了一个近似“W”形状的曲线，它由抛物线C1的部分和椭圆C2的一部分构成（如图1），已知在平面直角坐标系xOy中，C1：x2=2py（p＞0）和C2：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）交于A，B两点，F1是公共焦点，|OF1|=1，|AF1|= 53（如图2）．（1）求C1和C2的方程；（2）过点F1作直线l与“W”形状曲线依次交于C，D，E，F四点，若|CF|=λ|DE|，求实数λ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由焦点的坐标求抛物线的方程，及椭圆的焦点坐标，再由|AF 1|的值，求出椭圆的方程；（2）设直线CF 的方程，与抛物线联立求出两根C ，F 的横坐标，与椭圆联立求出两根D ，E 的横坐标，求出|CF|，|DE|的表达式，由题意可得λ的表达式，由k 的范围，求出λ的范围．【解答】：解：（1）因为OF 1=1，所以F 1（0，1），则 p2=1，可得：p=2， 所以抛物线C 1的方程x 2=4y ； 设C 2的焦距为2c ，则c=1，设A （x ，y ）由抛物线的方程可得AF 1=y+1= 53 ，得y= 23 ， x 2=4y= 83 ，{a 2−b 2=149a 2+83b 2=1 ，解得：a 2=4，b 2=3， 所以可得C 2的方程为： y 24 + x 23 =1； （2）设l ：y=kx+1， 当A （- 2√63 ， 23 ）时，k AF 1 = 1−232√63 = 2√6，则k∈（-2√6，2√6{y =kx +1x 2=4y整理可得：x 2-4kx-4=0， 可得x C ，F =2k±2 √1+k 2 ，所以|CF|= √(x C −x F )2+(y C −y F )2 = √1+k 2 |x C -x F |=4（1+k 2）， {y =kx +1y 24+x 23=1整理可得：（4+3k ）2x 2+6kx-9=0，可得x D ，E =−3k±6√1+k 24+3k 2， |DE|= √(x D −x E )2+(y D −y E )2 = √1+k 2 |x D -x E |= 12(1+k 2)4+3k 2，λ= |CF||DE| =k 2+ 43 ，因为k∈（- 2√6 ， 2√6所以k 2∈[0， 124 ），可得λ∈[ 43 ， 118 ）．【点评】：本题考查求抛物线椭圆的方程及直线与圆锥曲线的综合，弦长公式的应用，属于中档题．21.（问答题，12分）已知数列{a n }满足a 1=1， 2a n+1=(1+1n )a n （n∈N *）．（1）求证：数列 {ann } 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）记数列{a n }的前n 项中最大值为M n ，最小值为m n ，令 b n =M n +m n2，称数列{b n }是数列{a n }的“中程数数列”．① 求“中程数数列”{b n }的前n 项和S n ；② 若b m =a k （m ，k∈N *且m ＞k ），求所有满足条件的实数对（m ，k ）．【正确答案】：【解析】：（1）由已知等式可得 a n+1n+1 = 12 • ann ，由等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2） ① 判断数列{a n }的单调性，计算a n+1-a n ，求得最大项和最小项，可得b n = n+12n−1 - n+22n + 12，再由数列的分组求和和裂项相消求和，计算可得所求和；② 由b m =a k ，结合数列{a n }的单调性，求得k=1，2，3，分别讨论k=1，k=2，k=3，求得m ，即可得到所求．【解答】：解：（1）证明：因为 2a n+1=(1+1n )a n =n+1na n ， 所以 a n+1n+1 = 12 • an n ，又 a 11 =1，所以数列 {a n n } 是首项为1，公比为 12 的等比数列，则 a n n=（ 12）n-1，即a n =n 2n−1；（2） ① a n+1-a n = n+12n - n2n−1 = 1−n2n ， n=1时，a n+1-a n =0，n≥2时，a n+1-a n ＜0， 所以a 1=a 2＞a 3＞a 4＞…＞a n ， 所以M n =a 1=1，m n =a n = n2n−1 ，所以b n = 1+n2n−12 = n 2n + 12 = n+12n−1 - n+22n + 12，所以S n = 220 - 321 + 321 - 422 +…+ n+12n−1 - n+22n + 12 n=2- n+22n + 12n ； ② b m =m 2m + 12 =a k = k2k−1 ，m ＞k ，m ，k∈N*， 显然a k ＞ 12 ，由 ① 可知a 1=a 2=1＞a 3= 34 ＞a 4= 12 ＞a 5＞…＞a n ，故k=1，2，3； k=1时， m2m + 12 =1，即 m2m−1 =1，即a m =1，则m=1，2，又m ＞k ，故m=2； k=2时， m2m + 12 =1，即 m2m−1 =1，即a m =1，则m=1，2，又m ＞k ，故m 无解； k=3时， m2m + 12 = 34 ，即 m2m−1 = 12 ，即a m = 12 ，则m=4． 综上可得，所有满足条件的实数对有（2，1），（4，3）．【点评】：本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和、新定义“中程数数列”的理解和运用，考查转化思想和分类讨论思想、运算能力和推理能力，属于中档题． 22.（问答题，12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1 （a ＞b ＞0）的离心率为 √22 ，过原点O 的直线交该椭圆于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），点E （4，0）．当直线AB 垂直于x 轴时， |AE |=2√5 ． （1）求a ，b 的值；（2）设直线AE 与椭圆的另一交点为C ，直线BE 与椭圆的另一交点为D ． ① 若OC || BE ，求△ABE 的面积；② 是否存在x 轴上的一定点T ，使得直线CD 恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设椭圆的焦距为2c ，依题可得关于a ，b ，c 的方程组，求解即可得到a ，b 的值；（2） ① 设A （x 0，y 0），y 0＞0，则B （-x 0，-y 0），由题意列式求得A ，B 的坐标，则三角形ABE 的面积可求；② 联立方程组求得C ，D 的坐标，分CD 与x 轴垂直与不垂直可得直线CD 恒过点T ．【解答】：解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则 {c a=√22b 2=a 2−c 2√b 2+16=2√5 ，解得 {a =2√2b =2；（2） ① 设A （x 0，y 0），y 0＞0，则B （-x 0，-y 0）， ∵O 为AB 的中点，OC || BE ，∴C 是AE 的中点，则C （ x 0+42 ， y02 ），可得 {x 02+2y 02=8(x 0+4)24+y 022=8y 0＞0，解得 {x 0=1y 0=√72，∴ S △ABE =12×4×2y 0=4y 0=2√14 ；② 由 {x 02+2y 02=8y =y 0x 0−4(x −4)x 2+2y 2=8，解得 {x =x 0y =y 0 或 {x =3x 0−8x 0−3y =(1−x 0)y 0(x 0−3)(x 0−4)， 则C （ 3x 0−8x 0−3，−y 0x0−3），同理，D （ 3x 0+8x 0+3 ， −y 0x 0+3 ）， 当 3x 0−8x 0−3=3x 0+8x 0+3，即x 0=0时，CD ：x= 83 ，与x 轴的交点为（ 83 ，0），若存在T 符合题意，则T （ 83，0）； 当x 0≠0时， k CT =−y 0x 0−33x 0−8x 0−3−83=−3y0x 0， k DT=−y 0x 0+33x 0+8x 0+3−83=−3y 0x 0， k CT =k DT ，故CD 过点T （ 83 ，0）．【点评】：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．。
2021-2022学年江苏省苏州市高二上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省苏州市高二上学期期末数学试题一、单选题 1．直线3x π=的倾斜角为（ ）A ．0B ．2π C ．3π D ．23π 【答案】B【解析】分析出直线3x π=与x 轴垂直，据此可得出该直线的倾斜角.【详解】由题意可知，直线3x π=与x 轴垂直，该直线的倾斜角为2π. 故选：B.【点睛】本题考查直线的倾斜角，关键是掌握直线倾斜角的定义，属于基础题． 2．已知平面α的一个法向量为n =（2，－2，4）， AB =（－1，1，－2），则AB 所在直线l 与平面α的位置关系为（ ） A ．l ⊥αB ．l α⊂C ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α【答案】A【分析】由向量AB 与平面法向量的关系判断直线与平面的位置关系． 【详解】因为2AB n -=，所以//AB n ，所以AB α⊥． 故选：A ．3．若数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，a 1=1，313a =-，则a 5=（ ）A ．79-B ．35 C ．35D ．79【答案】B【分析】令1n =、3n = 可得等差数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的首项和第三项，即可求出第五项，从而求出5a . 【详解】令1n =得1211a =+， 令3n =得3231a =+， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差为1d =，所以5322232511a a =+=+=++，解得535a ，故选：B.4．已知抛物线y 2= 2px （p > 0）的焦点为F ，准线为l ， M 是抛物线上一点，过点M 作MN ⊥l 于N .若△MNF 是边长为2的正三角形，则p =（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】根据正三角形的性质，结合抛物线的性质进行求解即可.【详解】如图所示：准线l 与横轴的交点为A ，由抛物线的性质可知：AF p =， 因为若△MNF 是边长为2的正三角形，所以2NF =，3MNF π∠=， 显然236ANF πππ∠=-=，在直角三角形ANF 中，1sin 1122AF AFANF AF p NF ∠=⇒=⇒=⇒=， 故选：C5．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中， AC 与BD 的交点为M .设11111,,,===A B a A D b A A c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ）A ．1122a b c --+B ．1122a b c -++C ．1122a b c -+D ．1122a b c ++【答案】B【分析】根据1112=+=+B M B B BM c BD 代入计算化简即可.【详解】()1111112222=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c故选：B.6．椭圆22143x y +=上的点P 到直线x + 2y - 9= 0的最短距离为（ ）ABCD【答案】A【分析】与已知直线平行，与椭圆相切的直线有二条，一条距离最短，一条距离最长，利用相切，求出直线的常数项，再计算平行线间的距离即可. 【详解】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为20x y b ++= ，则222222202421203412143x y b y x b x bx b x y x y ++=⎧-=+⎧⎪⇒⇒++-=⎨⎨+=+=⎩⎪⎩ 所以()()222441204b b b ∆=-⨯-=⇒=±所以椭圆上点P 到直线290x y +-=的最短距离为d ==故选：A7．若数列{an }满足21321111222n n a a a a a a --<-<<-<……，则称数列{an }为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列{cn }的前n 项和Sn 满足*221()n n S c t n N +=-∈，则实数t的取值范围是（ ） A ．1(,)2-∞B ．（-∞，1）C ．1(,)2+∞D ．（1， +∞）【答案】A【分析】根据*221()n n S c t n N +=-∈,利用递推公式求得数列{}n c 的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数t 的取值范围.【详解】因为*221()n n S c t n N +=-∈所以当2n ≥时, 11221n n S c t --+=-两式相减可得1220n n n c c c -+-=,即123n n c c -=,所以数列{}n c 是以公比23q =的等比数列 当1n =时,1213t c -=所以121233n n t c --⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则1221121221221223363183n n n n n t t t c c -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-⋅=⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112121212212233233183nn n n n t t t c c --+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-⋅=⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由“差半递增”数列的定义可知21212212183183n n t t ----⎛⎫⎛⎫⋅<⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简可得()221213t t -<-⨯解不等式可得12t即实数t 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭故选：A.8．已知线段AB 的端点B 在直线l ：y =-x +5上，端点A 在圆C 1：22(1)4x y ++=上运动，线段AB 的中点M 的轨迹为曲线C 2，若曲线C 2与圆C 1有两个公共点，则点B 的横坐标的取值范围是（ ） A ．（-1，0） B ．（1，4） C ．（0，6） D ．（-1，5）【答案】D【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点()M x y ，，由中点坐标公式求得121222x x x y y y =-⎧⎨=-⎩，代入圆C 1：22(1)4x y ++=得点点M 的轨迹方程22221()122x y x y -⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，再根据两圆的位置关系建立不等式13<，代入225y x =-+，求解即可得点B 的横坐标的取值范围.【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点()M x y ，，则1212+2+2x x x y y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以121222x x x y y y =-⎧⎨=-⎩， 又因为端点A 在圆C 1：22(1)4x y ++=上运动，所以()2222(21)24x x y y -++-=，即22221()122x y x y -⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，因为曲线C 2与圆C 1有两个公共点，所以212+1-<<，又因B 在直线l ：y =-x +5上，所以225y x =-+，所以212+1-，整理得22224+1318x x <-<，即2222224+11>0450x x x x ⎧-⎨--<⎩，解得215x -<<，所以点B 的横坐标的取值范围是()15-，， 故选：D. 二、多选题9．已知双曲线22221x y a b -=（a >0，b >0）的左、右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线l 与双曲线右支交于点P .若12||2||PF PF =，且12PF F △有一个内角为120，则双曲线的离心率可能是（ ） AB ．2 CD【答案】AD【分析】当12120F PF ∠=时，由122PF PF a -=，122PF PF =，求得2PF ，1PF ，12F F ，利用余弦定理可得答案；当21120PF F ∠=时， 122PF PF a -=，122PF PF =，求出2PF ，1PF ，12F F ，由余弦定理可得答案.【详解】当12120F PF ∠=时，122PF PF a -=，122PF PF =， 所以22PF a =，14=PF a ，122F F c =，所以22121221212cos 2+-∠=⨯PF PF F F F PF PF PF ，即222224c 116411o 62s 0+-==-c a a a ，化简得227c a=，所以7e =， 当21120PF F ∠=时，122PF PF a -=，122PF PF =， 所以22PF a =，14=PF a ，122F F c =，所以221221212221cos 2+-∠=⨯F F PF PF PF F F F PF ，即22224c s 4112810o 6=--+=ac a c a ，化简得2230c ac a +-=，解得1312e -=， 故选：AD.10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，1AH t AA =（t ∈[0， 1]），则下列说法正确的有（ ）A ．1(1)CH tCA t CA =+-B ．[]0,1t ∀∈，都有0CH BD ⋅=C ．[]0,1t ∃∈，使得1//DH B CD ．若平面α⊥CH ，则直线CD 与平面α所成的角大于4π【答案】BC【分析】根据空间向量的线性运算、数量积运算计算，空间向量平行的向量表示、直线与平面所成角的向量法判断各选项．【详解】111()(1)CH CA AH CA t AA CA t CA CA tCA t CA =+=+=+-=+-，A 错； ()CH BD CA AH BD CA BD AH BD AH BD ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅111()0t AA BA AD t AA BA t AA AD ⋅+=⋅+⋅=，B 正确； 1111BC B B BC A A AD A D =+=+=， 1t =时，11DH DA AH DA AA BC =+=+=-，C 正确；如图，CD ⊥平面11ADD A ，DH ⊂平面11ADD A ，所以CD DH ⊥， 设正方体棱长为1，则AH t =，21DH t =+，2tan 11DHDCH t DC∠==+≥，[0,1]t ∈， 所以4DCH π∠≥，平面α⊥CH ，CH 是平面α的一个法向量，所以CD 与平面α所成的角与DCH ∠互余，因此CD 与平面α所成的角不大于4π．D 错． 故选：BC ．11．如图1，曲线C ：22322()16x y x y +=为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用.如图2，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆驶入环道后再自右侧切向汇入主路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状给出下列结论正确的是（ ）A ．曲线C 只有两条对称轴B ．曲线C 仅经过1个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C ．曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2D ．过曲线C 上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2 【答案】BCD【分析】对于A ，由图象可得答案，对于B ，由图象结合曲线方程判断即可，对于C ，由曲线方程结合基本不等式可判断，对于D ，利用基本不等式判断【详解】因为曲线上任一点(,)x y ，关于x 轴的对称点(,)x y -满足曲线方程，关于y 轴的对称点(,)x y -满足曲线方程，关于直线y x =的对称点(,)y x 满足曲线方程，关于直线y x =-的对称点(,)y x --满足曲线方程，所以可知曲线有4条对称轴，所以A 错误，由222(0,0)x y xy x y +>>≥，得222x y xy ≤+，所以()2223222222216()164()4x y x yx y x y ++=≤=+，所以224x y +≤，当且仅当x y =时等号成立，所以曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2，所以C 正确，由图可知将第一象内的整数点(1,1),(1,2),(2,1)分别代入曲线方程中，等号不成立，所以曲线在第一象限不经过整数点，由对称性可知曲线只经过原点，所以曲线C 仅经过1个整点，所以B 正确，由曲线的对称性，在第一象限内的曲线上任取一点(,)x y ，则过这一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积为2222x y S xy +=≤≤，当且仅当x y =时等号成立，所以所围成的矩形的面积的最大值为2，所以D 正确， 故选：BCD12．已知数列{an }满足*1111,(2,)222n n n a a a n n N λ-==+≥∈，其中λ∈{－1，0，1}，下列说法正确的是（ ）A ．当λ=0时，数列{an }是等比数列B ．当λ=－1时，数列{（－2）nan }是等差数列C ．当λ=1时，数列2n n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是常数列D ．数列{an }总存住最大项. 【答案】ACD【分析】由等比数列的定义判断A ，由等差数列的定义判断BC ，由数列的单调性判断D ．【详解】0λ=时，112n n a a -=，又1102a =≠，所以{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，A 正确；1λ=-时，11122n n n a a -=-，11221n n n n a a --=-，即11221n n n n a a ---=-， 所以数列{2}nn a 是等差数列，因此数列{(2)}n n a -不是等差数列，B 错；1λ=时，11122n n n a a -=+，11221n n n n a a ---=，{2}n n a 是等差数列，又121a =， 所以2nn a n =，2n n n a =，从而02n n n a -=是常数，C 正确；由以上讨论知0λ=时，{}n a 最大值是112a =， 0λ=时，21(1)(1)2nn a n n =+-⨯-=-，22n n na -=，2n ≥时，0na ≤，所以数列最大值为1a 12=； 1λ=时，2n nn a =，11111222n nn n n n n na a ++++--=-=0≤，即1(2)n n a a n +<≥，21a a =，{}n a 有最大项12， D 正确． 故选：ACD ． 三、填空题13．若(11a =-，，，则与向量a 同方向的单位向量的坐标为____________.【答案】1122⎛- ⎝⎭， 【分析】由空间向量的模的计算求得向量的模，再由单位向量的定义求得答案.【详解】解：因为(11a =-，，，所以(21+2a =-，所以与向量a 同方向的单位向量的坐标为112222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 故答案为：112222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，. 14．小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支.如图，P 为双曲线的顶点，经过测量发现，该双曲线的渐近线相互垂直，AB ⊥PC ，AB = 60 cm ，PC = 20cm ，双曲线的焦点位于直线PC 上，则该双曲线的焦距为____cm.【答案】252【分析】建立直角坐标系，利用代入法、双曲线的对称性进行求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设双曲线的标准方程为：22221(0,0,)x y a b x a a b -=>>≥， 因为该双曲线的渐近线相互垂直，所以a b =，即222x y a -=，因为AB = 60 cm ，PC = 20cm ，所以点B 的坐标为：(20,30)a +，代入222x y a -=，得： 22225(20)302a a a +-=⇒=，因此有22625625252442c a b =+=+=，所以该双曲线的焦距为252222522c =⨯=， 故答案为：25215．已知数列{an }满足an +2=an +1－an （n ∈N ），且a 1= 2，a 2= 3，则a 2022的值为_________. 【答案】1-【分析】根据递推关系求出数列的前几项，得周期性，然后可得结论．【详解】由题意3211a a a =-=，4132a =-=-，5213a =--=-，63(2)1a =---=-，71(3)2a =---=，82(1)3a =--=，所以数列{}n a 是周期数列，周期为6，所以2022337661a a a ⨯===-． 故答案为：1-．16．已知抛物线C ：y 2= 8x 的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线C 交于A ，B 两点，以F 为圆心的圆交线段AB 于C ，D 两点（从上到下依次为A ，C ，D ，B ），若||||||||AC BD FC FD ≥，则该圆的半径r 的取值范围是____________.【答案】02r <≤【分析】设出直线l 的方程为2x my =+，代入抛物线方程，消去x ，可得关于y 的二次方程，运用韦达定理及抛物线的定义，化简计算可求解.【详解】抛物线C ：y 2= 8x 的焦点为(2,0)F ,设以F 为圆心的圆的半径为r ， 可知||||FC FD r ==，||||,||||AC AF r BD BF r =-=-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为2x my =+，则12||2,||2AF x BF x =+=+， 代入抛物线方程28y x =，可得28160y my --=，即有121216,8y y y y m =-+=， 221212488y y x x =⋅=，222212121212()284888y y y y y y x x m +-+=+==+，2||||||||||||(||)(||)||||AF BF AC BD FC FD AF r BF r r r AF BF ≥⇒--≥⇒≤+，即212122122()416162488x x x x m r x x m ++++≤==+++， 所以02r <≤. 故答案为：02r <≤ 四、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知直线l ：mx －（2－m ）y －4=0与直线h ：x +y －2=0的交点M 在第一三象限的角平分线上. (1)求实数m 的值；(2)若点P 在直线l上且|||PM PO =，求点P 的坐标. 【答案】(1)3 (2)(2,2)-【分析】（1）求出直线h 与直线y x =的交点坐标，代入直线l 的方程可得m 值； （2）设(,43)P a a -，代入已知等式可求得a 值，得坐标． (1)由20x y y x +-=⎧⎨=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)M ．所以(2)40m m ---=，3m =． (2)由（1）直线l 方程是340x y +-=，P 在直线l 上，设(,43)P a a -，2a =， 所以P 点坐标为(2,2)-． 18．已知函数(),f x x =，从下列两个条件中选择一个使得数列{an }成等比数列.条件1：数列{f （an ）}是首项为4，公比为2的等比数列； 条件2：数列{f （an ）}是首项为4，公差为2的等差数列. (1)求数列{an }的通项公式；(2)求数列()n n f a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(1)12n n a +=(2)332n nn T +=-【分析】（1）根据所给的条件分别计算后即可判断，再通过满足题意的求出通项； （2）由（1）可得()12n n n f a n a +=，再通过错位相减法求和即可. (1)若选择条件1，则有11()422n n n n f a a -+==⨯=，可得22nn a =，不满足题意；若选择条件2，则有()4+2(1)22n n f a n n ==-=+，可得12n n a +=，满足题意，故12n n a +=.(2)由（1）可得1()22212n n n n f a n n a +++==， 所以231234122222n n nn n T -+=+++++………① 因此有234112341222222n n n n n T ++=+++++……….② ①-②可得23111111122222n n n n T ++=++++-，即21111122222n n nn T -+=++++-， 化简得332n nn T +=-. 19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB =60°，PD ⊥底面ABCD ，点F 为棱PD 的中点，二面角D FC B --的余弦值为66.(1)求PD 的长；(2)求异面直线BF 与P A 所成角的余弦值； (3)求直线AF 与平面BCF 所成角的正弦值. 【答案】(1)26705【分析】（1）以DC 为y 轴，DP 为z 轴，x 轴与AB 垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，设(0,0,)F t ，0t >，由空间向量法求二面角，从而求得t ，得PD 长；（2）由空间向量法求异面直线所成的角； （3）由空间向量法求线面角． (1)以DC 为y 轴，DP 为z 轴，x 轴与AB 垂直，由于菱形ABCD 中60DAB ∠=︒，x 轴是AB 的中垂线，建立如图坐标系，则(3,1,0)A -，(3,1,0)B ，(0,2,0)C ，设(0,0,)F t ，0t >，(3,1,)BF t =--，(0,2,)CF t =-，设平面BCF 的一个法向量为(,,)m x y z =，则2030m CF y tz m BF x y tz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令y t =，则2z =，3=x ，即3(,,2)3m t t =，平面DCF 的一个法向量是(1,0,0)n =， 因为二面角D FC B --6所以22336cos ,6143t m n m n m nt t ⋅<>===++，6t =（负值舍去）． 所以226PD t ==；(2)由（1）(0,0,26)P ，(3,1,26)PA =--，(3,6)BF =--， 370cos ,2810BF PA BF PA BF PA⋅-<>===⨯，所以异面直线BF 与P A 70(3)由（1）平面BCF 的一个法向量为(2,6,2)m =，又(3,1,6)AF =-， 66265cos ,1210m AF m AF m AF⋅-++<>===⨯ 所以直线AF 与平面BCF 5． 20．已知数列{}n a 满足*111,4()n n a a a n n N +=+=∈(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)是否存在正实数a ，使得不等式1211231112n n n a a aa a a a a a+⋅⋅<-+++对一切正整数n 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)21n a n =-(2)a >【分析】（1）通过构造新数列求解； （2）由（1）得121121352121112462n n n a a an a n a a a n+-⋅⋅=⋅⋅⋅+++调性，从而得到最值，再解不等式即可求解. (1)由14n n a a n ++=，假设其变形为1(1)()n n a n a n λμλμ++++=-++，则有242201λλμλμ-==-⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩，所以12(1)1(21)n n a n a n +-++=--+，又1210a -+=. 所以210n a n -+=，即21n a n =-. (2) 由（1）2112n n a n a n-=+， 所以121121352121112462n n n a a an a n a a a n+-⋅⋅=⋅⋅⋅+++令13521()2462n f n n -=⋅⋅⋅13521(1)2462n f n n -+=⋅⋅⋅ 所以(1)1()f n f n +=，所以()f n 是递减数列， 所以max 1()(1)2f n f ===所以使得不等式121231112n n aa a a aa a a⋅⋅-+++对一切正整数n 都成立， 则32a a ->260(0a a a ->⇒->， 因为a 为正实数，所以a >21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2= 4x 经过点A （1，2），直线l ：y = kx + b 与抛物线C 交于M ，N 两点.(1)若4MN OA =，求直线l 的方程；(2)当AM ⊥AN 时，若对任意满足条件的实数k ，都有b =mk +n （m ，n 为常数），求m +2n 的值.【答案】(1)42150x y --= (2)3或9-【分析】（1）由4MN OA =可得2MN OA k k ==，则可得直线l 为2y x b =+，设1122(,),(,)M x y N x y ，然后将直线方程代入抛物线方程中消去y ，再利用根与系数的关系，由4MN OA =可得214-=x x ，三个式子结合可求出b ，从而可得直线方程，（2）将直线方程代入抛物线方程中消去y ，再利用根与系数的关系表示出1212,x x x x +，再结合直线方程表示出1212,y y y y +，由AM ⊥AN 可得1212(1)(1)(2)(2)0x x y y --+--=，化简结合前面的式子可求出2b k =-或52b k =--，从而可可求出,m n 的值，进而可求得答案 (1)因为A （1，2），4MN OA =， 所以20210MN OA k k -===-， 则直线l 为2y x b =+，设1122(,),(,)M x y N x y ，由242y x y x b⎧=⎨=+⎩，得224(44)0x b x b +-+=， 由22(44)160b b ∆=-->，得12b < 则212121,4b x x b x x +=-=，因为4MN OA =，所以2121(,)4(1,2)(4,8)x x y y --==，所以214-=x x ，所以()22211212()416x x x x x x -=+-=， 所以22(1)16b b --=，解得152b =-， 所以直线l 的方程为1522y x =-，即42150x y --=， (2)设1122(,),(,)M x y N x y ，由24y xy kx b ⎧=⎨=+⎩，得222(24)0k x kb x b +-+=，由222(24)40kb k b ∆=-->，得10kb -<， 则212122242,kb b x x x x k k-+==， 所以1212424()22kb y y k x x b b k k -+=++=+=， 22121212124()()()by y kx b kx b k x x kb x x b k=++=+++=， 因为AM ⊥AN ，所以0AM AN ⋅=， 所以1212(1)(1)(2)(2)0x x y y --+--=， 即12121212()12()40x x x x y y y y -+++-++=， 所以225(68)40k b k b +-+-=， 所以(2)(52)0k b k b +-++=， 所以2b k =-或52b k =--， 所以1,2m n =-=或5,2m n =-=-， 所以23m n +=或29m n +=-22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221x y a b+=（a >b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2点P 是椭圆上的一动点，且P 在第一象限.记12PF F 的面积为S ，当212PF F F ⊥时，S =(1)求椭圆E 的标准方程；(2)如图，PF 1，PF 2的延长线分别交椭圆于点M ， N ，记12MF F 和12NF F 的面积分别为S 1和S 2.（i ）求证：存在常数λ，使得1211S S Sλ+=成立； （ii ）求S 2- S 1的最大值. 【答案】(1)22162x y += (2)(i) 存在常数10λ= ，使得1211S S Sλ+=成立； (ii) 21S S - 83.【分析】(1)求点P 的坐标，再利用面积和离心率，可以求出222a b c ，， ，然后就可以得到椭圆的标准方程；(2)设点的坐标和直线方程，联立方程，解出M N ， 的y 坐标值与P 的坐标之间的关系，求以焦距为底边的三角形面积；利用均值定理2a b ab +≥ 当且仅当a b = 时取等号，求最大值. (1)先求第一象限P 点的坐标：222222222613131x c c c e y b b y a a x y ab ⎧=⎪⎪⎛⎫⎪==⇒=-=⇒=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+=⎪⎩ ，所以P 点的坐标为3c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ， 所以22222213262223624c a ca b c b a c ⎧⋅=⎪=⇒====-⎪⎪⎩，， ， 所以椭圆E 的方程为22162x y +=(2)设()()()()000011220P x y x y M x y N x y >，>0，，，，， ， 易知直线PM 和直线PN 的坐标均不为零，因为()()122020F F -，，， ，所以设直线PM 的方程为2x my += ，直线PN 的方程为2x ny -=，由()()222222221342062162x my my y m y my x y+=⎧-⎪⇒+=⇒+--=⎨+=⎪⎩所以01223y y m =-+ ，因为002x my +=，2200162x y +=， 所以220001222000000223442523y y y y x y x x x y =-=-=-++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭所以01025y y x =-+ 同理由()()222222221342062162x ny ny y n y ny x y-=⎧+⎪⇒+=⇒++-=⎨+=⎪⎩ 所以02223y y n =-+ ，因为002x ny -=，2200162x y +=， 所以220002222000000223445223y y y y x y x x x y =-=-=-+-+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以01052y y x =--，因为1200122S F F y y =⋅⋅= ，11211122S F F y y =⋅⋅=-，21222122S F F y y =⋅⋅=-(i)所以00121200052521111101022222x x S S y y y y y S ⎛⎫+-+=-+=+== ⎪⎝⎭ 所以存在常数10λ= ，使得1211S S Sλ+=成立. (ii)()00002112200022825252254y y x y S S y y x x x -=-=-=-+- 0000222200000000088812525254626262x y x y x y x y x y x y x ===⎛⎫+++- ⎪⎝⎭≤=，当且仅当0x =，0y =时取等号，所以21S S - .。
江苏省苏州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
江苏省苏州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，则22a b > C. 若0a b <<，则22a ab b << D. 若0a b <<，则11a b> 【答案】D 【解析】试题分析：A 中当0c 时不成立；B 中若0,1a b ==-不成立；C 中2,1a b =-=-不成立，所以D 正确 考点：不等式性质2.不等式()43x x -<的解集为（ ） A. {|1x x <或}3x > B. {0x x <或}4x > C. {}13x x << D. {}04x x <<【答案】A 【解析】 【分析】化成2430x x -+>即可求解.【详解】由题：等式()43x x -<化简为：2430x x -+>()()130x x -->解得：1x <或3x >. 故选：A【点睛】此题考查解一元二次不等式，关键在于准确求出二次函数的零点.3.双曲线221916y x -=离心率为（ ）A.53B.54C.3D.4【答案】A 【解析】 【分析】由题：3,4,5a b c ===，即可求得离心率.【详解】在双曲线221916y x -=中，3,4,5a b c ===所以离心率53c e a ==. 故选：A【点睛】此题考查根据双曲线方程求离心率，关键在于准确辨析基本量,,a b c 的取值. 4.椭圆的两个焦点分别为()18,0F -、()28,0F ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为A. 22136100x y +=B. 22110036x y +=C. 221400336x y +=D. 2212012x y +=【答案】B 【解析】 【分析】由焦点坐标，可知椭圆的焦点在x 轴上，且c=8，再根据椭圆的定义得到a=10，进而求得b ，即可得椭圆的方程.【详解】已知两个焦点的坐标分别是F 1（-8，0），F 2（8，0）， 可知椭圆的焦点在x 轴上，且c=8，由椭圆的定义可得：2a=20，即a=10，由a ，b ，c 的关系解得b=22a c -=6∴椭圆方程是22110036x y +=,故选B【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的定义和性质，涉及到两焦点的距离问题时，常采用定义法求椭圆的标准方程.5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ） A. 7 B. 8C. 15D. 16【答案】C 【解析】 试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n 项和公式．考点：1．等比数列通项公式及前n 项和公式；2．等差中项．6.已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，直线1A E 与平面1B BC 所成角的正弦值为（ ） A.12B.13C.223【答案】B 【解析】 【分析】直线1A E 与平面1B BC 所成角即直线1A E 与平面1A AD 所成角，根据定义找出线面角即可. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，平面1B BC //平面1A AD ，所以直线1A E 与平面1B BC 所成角即直线1A E 与平面1A AD 所成角， 连接11,A E A D ，CD ⊥与平面1A AD ，所以1EA D ∠就是直线1A E 与平面1A AD 所成角， 在1Rt EA D ∆中，11tan 22DE EA D A D ∠== 所以11sin 3EA D ∠=. 故选：B【点睛】此题考查求直线与平面所成角的大小，根据定义找出线面角即可.7.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A. 174斤 B. 184斤C. 191斤D. 201斤【答案】B 【解析】 用128,,,a a a 表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列128,,,a a a 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴1878179962a ⨯+⨯=， 解得165a =．∴865717184a =+⨯=．选B ．8.关于x 的不等式()221ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A. 3443,,2332⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B. 3443,,2332⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C. 3443,,2332⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D. 3443,,2332⎡⎫⎡⎫--⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】二次不等式作差，利用平方差公式因式分解，分析解集的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一个端点的范围. 【详解】由题：()221ax x -<()2210ax x --<()()()()11110a x a x +---<恰有2个整数解，所以()()110a a +->，即1a >或1a <-，当1a >时，不等式解为1111x a a <<+-，因为110,12a ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，恰有两个整数解即：1,2， 所以1231a <<-，22133a a -<≤-，解得：4332a ≤<；当1a <-时，不等式解为1111x a a <<+-，因为11,012a ⎛⎫∈- ⎪-⎝⎭，恰有两个整数解即：1,2--，所以1321a -≤<-+，()()21131a a -+<≤-+，解得：3423a -<≤-， 综上所述：4332a ≤<或3423a -<≤-. 故选：B【点睛】此题考查含参数的二次不等式，根据不等式的解集特征求参数范围，关键在于准确进行分类讨论.二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.下列判断中正确的是（ ）A. 在ABC ∆中，“60B =︒”的充要条件是“A ，B ，C 成等差数列”B. “1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C. 命题p ：“0x ∃>，使得210x x ++<”，则p 的否定：“0x ∀≤，都有210x x ++≥”D. 若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该动点的轨迹是一条抛物线 【答案】AB 【解析】 【分析】在ABC ∆中，A ，B ，C 成等差数列，即60B =︒，所以A 选项正确；2320x x -+=的解为1x =或2x =，所以B 选项正确；C 选项中p 的否定应该是：“0x ∀>，都有210x x ++≥”，所以该选项错误；D 选项中，若这个定点在这条定直线上，则动点的轨迹是一条直线，所以该选项错误. 【详解】A 选项：在ABC ∆中， “A ，B ，C 成等差数列”即2,3B AC B π=+=，等价于“60B =︒”，所以它们互为充要条件，该选项正确；B 选项：“2320x x -+=”即“1x =或2x =”，所以“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，该选项正确；C 选项： 命题p ：“0x ∃>，使得210x x ++<”，则p 的否定是：“0x ∀>，都有210x x ++≥”，所以该选项说法错误；D 选项：若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，当这个定点在定直线上时，该动点的轨迹是一条直线，所以该选项说法错误. 故选：AB【点睛】此题考查命题真假性的判断，涉及充分条件与必要条件和含有一个量词的命题的否定，关键在于准确判断其说法的正误.10.已知向量a b b c a c ⋅=⋅=⋅，()3,0,1b =-，()1,5,3c =--， 下列等式中正确的是（ ）A. ()a b c b c ⋅=⋅ B. ()()a b c a b c +⋅=⋅+C. ()2222a b ca b c ++=++ D. a b c a b c ++=--【答案】BCD 【解析】 【分析】根据坐标求出3030a b a c b c ⋅=⋅=⋅=-++=，根据向量的运算法则即可判定. 【详解】由题3030b c ⋅=-++=，所以0a b b c a c ⋅=⋅=⋅=()0,0a b c b c ⋅=⋅=不相等，所以A 选项错误；()()0a b c a b c a b b c a b a c +⋅-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅=，所以()()a b c a b c +⋅=⋅+，所以B 选项正确；()2222222222a b c a b c a b b c a c a b c ++=+++⋅+⋅+⋅=++，所以C 选项正确； ()2222222222a b ca b c a b b c a c a b c --=++-⋅+⋅-⋅=++，即()()22a b c a b c ++=--，a b c a b c ++=--，所以D 选项正确.故选：BCD【点睛】此题考查空间向量的运算，根据运算法则进行运算化简即可.11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2n n S a a =-（其中a 为常数），则下列说法正确的是（ ）A. 数列{}n a 一定是等比数列 B. 数列{}n a 可能是等差数列 C. 数列{}n S 可能是等比数列 D. 数列{}n S 可能是等差数列【答案】BD 【解析】 【分析】根据()2n n S a a =-，()112,,2n n S a a n N n --=-∈≥分析出12n n a a -=，对常数a 分类讨论进行辨析.【详解】()2n n S a a =-，()112,,2n n S a a n N n --=-∈≥，两式相减：122n n n a a a -=-，12n n a a -=，2n ≥若0a =，令()111,20n a a ==-，10a =，则0n a =，此时是等差数列，不是等比数列，若0a ≠，令()111,2n a a a ==-，12a a =，则12n n a a -=，2n ≥，此时不是等差数列， 所以数列{}n a 不一定是等比数列，可能是等差数列，所以A 错B 正确；又()()122,2,n n n n S a a S S a n n N *-=-=--≥∈，得122n n S S a -=+，要使{}n S 为等比数列，必有若0a =，已求得此时令()111,20n a a ==-，10a =， 则0,0n n a S ==，此时{}n S 是一个所有项为0的常数列，所以{}n S 不可能为等比数列，所以C 错误D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查根据数列的前n 项和n S 和通项n a 的关系辨析数列特点，采用通式通法，对参数进行分类讨论.12.已知方程22mx ny mn +=和0mx ny p ++=（其中0mn ≠且,m n R ∈，0p >），它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是（ ）A. B. C. D.【答案】AC 【解析】 【分析】将直线和曲线方程化简成m p y x n n =--，221x y n m+=，结合每个选项依次对参数的正负分析.【详解】由题：0mn ≠且,m n R ∈，0p >，方程22mx ny mn +=即221x y n m+=，0mx ny p ++=即m p y x n n =--，斜率m n -，y 轴截距p n-， A 选项根据椭圆，0n m >>，直线斜率10m n -<-<，y 轴截距0pn-<，可能； B 选项根据椭圆，0m n >>，直线斜率1m n -<-，但是y 轴截距0pn->不可能，所以B 选项不可能；C 选项根据双曲线，0,0n m ><，直线斜率0m n ->， y 轴截距0pn-<，可能； D 选项根据双曲线，0,0m n ><，直线斜率应该0mn->，与图中不一致，所以该选项不可能. 故选：AC【点睛】此题考查直线与曲线方程以及图象关系的辨析，根据图象逐一分析.三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第15题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.已知向量()1,4,3a =，()2,,6b t =--，若//a b ，则实数t 的值为_______． 【答案】-8 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示即可求出参数的值.【详解】向量()1,4,3a =，()2,,6b t =--， //a b ， 所以存在λ使b a λ=，()()2,,61,4,3t λ--=，即2463t λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得：28t λ=-⎧⎨=-⎩.故答案为：8-【点睛】此题考查根据向量平行的坐标表示求参数的值，属于简单题目.14.已知正实数x ，y 满足41x y +=，则11x y+的最小值为_______．【答案】9 【解析】 【分析】对11x y+乘以4x y +，利用基本不等式求解. 【详解】由题：41,0,0x y x y +=>>，则()11114x x y y y x +=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 414x y xy=+++14≥+ 9=当且仅当4y xx y=时，取得等号， 即224y x =时，取得等号，此时2x y =，41x y += 即11,36x y ==时，取得最小值9. 故答案为：9【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，注意利用基本不等式解题口诀“一正二定三取等”，求得最值要考虑能否取等号.15.早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．根据图上尺寸，在平面直角坐标系xOy 中，桥拱所在抛物线的方程为_______，溢流孔与桥拱交点 B 的坐标为_______．【答案】 (1). 280x y =-（或2180y x =-） (2). 510,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】①设桥拱所在抛物线的方程22x py =-，经过()20,5-即可求解；②根据四个溢流孔轮廓线相同，从右往左设第一个抛物线()21:142C x p y '-=-，第二个抛物线()22:72C x p y '-=-，根据曲线过点()20,5A -，先求抛物线方程，再求点B 的坐标. 【详解】①设桥拱所抛物线方程22x py =-，由图，曲线经过()20,5-，代入方程()22025p =-⨯-，解得：40p =，所以桥拱所在抛物线方程280x y =-；②四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线()21:142C x p y '-=-，第二个抛物线()22:72C x p y '-=-， 由图抛物线1C 经过点()20,5A -，则()()2201425p '-=-⨯-，解得185p '=， 所以()2236:75C x y -=-， 点B 即桥拱所在抛物线280x y =-与()2236:75C x y -=-的交点坐标， 设(),,714B x y x <<由()22803675714x yx y x ⎧=-⎪⎪-=-⎨⎪<<⎪⎩，解得：1054x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以点510,4B ⎛⎫-⎪⎝⎭. 故答案为：①280x y =-（或2180y x =-）；②510,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】此题考查根据实际意义求抛物线方程和交点坐标，关键在于合理建立模型正确求解. 16.已知一族双曲线n E ：2221x y n n-=+（n *∈N ，且2020n ≤），设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，由n A 向n E 的两条渐近线作垂线，垂足分别为n B ，n C ．记n n n A B C ∆的面积为n a ，则1232020a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 【答案】5052021【解析】 【分析】设出n A 的坐标，依次表示出,n n n n A B B C 的长度，求出n n n A B C ∆的面积，即可求解. 【详解】由题：双曲线渐近线方程为y x =±，即0,0x y x y +=-=，两条渐近线互相垂直， 设()00,n A x y 是双曲线上的点，则220021x y n n-=+ ()00,n A x y 到两条渐近线的距离分别为：n n n n B C A A ==，n n n n A B A C ⊥，所以n n n A B C ∆的面积为()22002111112244n n n n n B C a A A x y n n =⋅==-=⨯+， 即11141n a n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭所以12320201111111422320202021a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11142021⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭5052021=故答案为：5052021【点睛】此题考查根据双曲线上点的坐标关系表示三角形面积，结合数列裂项相消求和，综合性比较强.四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解下列不等式： （1）24120x x --≤； （2）223x x +<-． 【答案】（1）{}|26x x -≤≤ （2）{|3x x <或}8x > 【解析】 【分析】（1）因式分解成()()620x x -+≤，即可求出解集； （2）不等式变形2203x x +-<-，整理得803x x ->-，等价于解()()830x x -->. 【详解】解：（1）由24120x x --≤，可知()()620x x -+≤， 解得26x -≤≤，所以不等式的解集为{}|26x x -≤≤.（2）由223x x +<-可知2203x x +-<-，整理得803x x -+<-，即803x x ->-， 不等式等价于()()830x x -->，解得3x <或8x >，所以不等式的解集为{|3x x <或}8x >.【点睛】此题考查解二次不等式，关键在于进行因式分解，分式不等式一定转化为与之同解的整式不等式.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且35141350,,,S S a a a +=成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设{}nnb a 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =+；（2）3nn T n =⋅【解析】【详解】试题分析：（1）由3550S S +=，1413,,a a a 成等比数列求出等差数列{}n a 的两个基本量1a 及公差0d ≠从而得数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 是一个等差数列与一个等比较数列之积，用错位相减法求其和． 解题时注意不要混淆公式． 试题解析：（1）依题得1121113254355022(3)(12)a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪⎨⎪+=+⎩ 解得13{2a d ==，1(1)32(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=+，即21n a n ∴=+ （2）1113,3(21)3n n n nn n n b b a n a ---==⋅=+⋅ 2135373(21)3n n T n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅①2313335373(21)3(21)3n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅②两式相减得：2312323232323(21)3n nn T n --=+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-+⋅13(13)32(21)31323n nn n n --=+⋅-+⋅-=-⋅ 3n n T n ∴=⋅考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的通项公式；3.数列的前项和公式；4.错位相消法19.如图1，一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成，其中框架设计如图2，其结构为上、下两栏，下栏为两个完全相同的矩形，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为()8cm ，上栏和下栏的框内矩形高度（不含铝合金部分）比为1:2，此铝合金窗占用的墙面面积为()220000cm ，设该铝合金窗的宽和高分别()a cm ，()b cm ，铝合金的透光部分的面积为()2S cm（外推窗框遮挡光线部分忽略不计）．（1）试用a ，b 表示S ；（2）若要使S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？【答案】（1）S 6420512243a b ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ （2）宽为4003cm ，高为150cm 【解析】 【分析】（1）根据题意设上栏框内高度为()h cm ，下栏框内高度为()2h cm ，则324h b +=，243b h -=，即可表示出透光面积； （2）根据基本不等式642051224205126400141123S a b ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭，等号成立的时刻即为所求.【详解】解：（1）铝合金窗的宽和高分别为()a cm ，()b cm ，0a >，0b >， 由已知20000ab =，①设上栏框内高度为()h cm ，下栏框内高度为()2h cm ， 则324h b +=，243b h -=，所以透光部分的面积()()()()22424241633b b S a a --=-+-6420512243a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）因为0a >，0b >，所以642464003a b +≥==， 所以642051224205126400141123S a b ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当64243a b =时等号成立，此时98b a =， 代入①式得4003a =，从而150b =，即当4003a =，150b =时，S 取得最大值.答：铝合金窗的宽度为4003cm ，高为150cm 时，可使透光部分的面积最大. 【点睛】此题考查函数模型的建立，根据函数关系利用基本不等式或勾型函数单调性求解最值.20.已知抛物线24x y =，过点()4,2P 作斜率为k 的直线l 与抛物线交于不同的两点M ，N ．（1）求k 的取值范围；（2）若OMN ∆为直角三角形，且OM ON ⊥，求k 的值．【答案】（1）2k >或2k <（2）12k =- 【解析】 【分析】（1）设直线的方程，联立直线和抛物线的方程得241680x kx k -+-=，解2420k k -+>即可；（2）结合韦达定理，计算0OM ON ⋅=的坐标表示即可. 【详解】解：（1）由题意，设直线l 方程为()24y k x -=-，联立方程组()2424x yy k x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，消去x 得241680x kx k -+-=，要使直线l 与抛物线交于不同的两点M ，N ，则()21641680k k ∆=-->，即2420k k -+>，解得2k >或2k <综上，k 的取值范围为2k >+2k <（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由（1）可知1x ，2x 是241680x kx k -+-=的两个根， 则124x x k +=，12168x x k =-，法一：因为OMN ∆为直角三角形，且OM ON ⊥， 所以0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，因为()()12124242y y kx k kx k =-+⋅-+()()()2212124242k x x k k x x k =--++-()()()()22221684424242k k k k k k =---+-=-，所以有()2168420k k -+-=， 解得12k =或12k =-， 当12k =时，直线过原点，O ，M ，N 不能够构成三角形， 所以12k =-.法二：因为OMN ∆为直角三角形，且OM ON ⊥， 所以0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，因为()2221212124416x x x x y y =⋅=，所以()21212016x x x x +=， 因为120x x ≠，所以1216x x =-， 即16816k -=-，解得12k =-， 此时满足（1）中k 的取值范围，所以12k =-. 【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，根据位置关系求解参数的范围，根据其中的几何关系结合韦达定理求解参数.21.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2AB =，AF t =，M 是线段EF 的中点．（1）求证：//AM 平面BDE ；（2）若1t =，求二面角A DF B --的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3π；（32. 【解析】 【分析】 （1）设ACBD O =，连结AM ，EO ，通过证明OAME 为平行四边形得//AM EO ，或者建立空间直角坐标系，利用向量证明平行；（2）建立空间直角坐标系，利用向量方法分别求出两个半平面的法向量的夹角即可得到二面角的大小；（3）根据向量的坐标表示，0PF BE ⋅=得()2210t λ--+=恒有解即可求出t 的范围.【详解】解：（1）法一：设ACBD O =，连结AM ，EO ，因为矩形ACEF 中M 是线段EF 的中点，O 是线段AC 的中点， 所以//EM AO ，EM AO =，所以OAME 为平行四边形， 故//AM EO ，又AM ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，所以//AM 平面BDE ；法二：由题意，正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， 因为平面ABCD平面ACEF CA =，EC AC ⊥，所以EC ⊥平面ABCD ，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为2AB =，AF t =，M 是线段EF 的中点，则()2,0,0D，()2,2,0A，()0,2,0B ，()0,0,E t ，()2,2,Ft ，22,,22M t ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，从而22,,22AM t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,DE t =-，()2,2,0BD =-，()0,2,DF t =，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则由00n DE n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可知20220x tz x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，不妨令1x =，则1y =，2z =，从而平面BDE 的一个法向量为21,1,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 计算可知2220AM n ⋅=--+=，又AM ⊄平面BDE ， 所以AM n ⊥，从而//AM 平面BDE .（2）若1t =，则()2,2,0BD =-，()0,2,1DF =，平面ADF 的一个法向量为()1,0,0p =，设平面BDF 的法向量为(),,q x y z =，则由00q DF q BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可知20220y z x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，不妨令1x =，则1y =，2z =-，从而平面BDF 的一个法向量为()1,1,2q =-， 设二面角A DF B --的平面角为θ， 因为θ为锐角，所以11cos cos ,122p q θ===⨯， 所以二面角A DF B --的大小为3π. （3）因为点P 在线段AC 上，而()2,2,0CA =，设CP CA λ=，其中[]0,1λ∈， 则()2,2,0CP λλ=，从而P 点坐标为()2,2,0λλ，于是()22,22,PF t λλ=--，而()0,2,BE t =-，则由PF BE ⊥可知0PF BE ⋅=，即()2210t λ--+=， 所以()2212t λ=-≤，解得2t ≤，故t 的最大值为2.【点睛】此题考查立体几何中的证明和计算问题，利用空间向量解决二面角的大小和探索性的问题，解体更加简便.22.如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，P 为椭圆上在第一象限内一点．（1）若1221PF F PAF PBF S S S ∆∆∆==． ①求椭圆的离心率e ；②求直线1PF 的斜率．（2）若2PAF S ∆，12PF F S ∆，1PBF S ∆成等差数列，且130F BO ∠≤︒，求直线1PF 的斜率的取值范围．【答案】（1）①13e =；②3k = ；（2k ≤<【解析】【分析】 （1）①根据122PF F PAF S S ∆∆=得122F F F A =，即2a c c -=，可得离心率；②设1PF 的直线方程，由121PF F PBF S S ∆∆=，得111122PF PF =即可求得斜率； （2）根据130F BO ∠≤︒得离心率的范围1152e <≤，根据2PAF S ∆，12PF F S ∆，1PBF S ∆成等差数列，计算化简得6b k c a=-，平方处理成关于离心率e 的函数关系，利用函数单调性求范围. 【详解】解：（1）①因为122PF F PAF S S ∆∆=，所以122F F F A =，所以2a c c -=，即3a c =，所以13e =. ②设1PF 的直线方程为()y k x c =+，因为121PF F PBF S S ∆∆=，所以111122PF PF =， 所以2b kc kc -=，则2b kc kc -=±，因为P 在第一象限，所以0b k c <<， 所以3b kc =，因3a c =，所以b =，所以3k =. （2）设12PF F S t ∆=，则22PAF a c S t c ∆-=，因为P 在第一象限，所以b k c<，1122PBF PF F S b kc S kc ∆∆-==，所以12PBF b kc S t kc∆-=⋅， 因2PAF S ∆，12PF F S ∆，1PBF S ∆成等差数列，所以222a c b kc t t t c kc--=+⋅， 所以4kc ak ck b kc =-+-，所以()6k c a b -=，所以6b k c a=-， 所以6b b c a c <-，所以115e <<，又由已知130F BO ∠≤︒，所以11sin 2F BO ∠≤， 因为1sin F BO e ∠=，所以1152e <≤， 因为2222222236123612b a c k c ac a c ac a-==-+-+()2222113612161e e e e e --==-+-， 令61m e =-，所以16m e +=， 22221113526136m k m m m +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-- ⎪⎝⎭235111363535m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 因为1152e <≤，所以125m <≤， 所以1152m ≤<，所以232416k ≤<， 因为P 为椭圆上在第一象限内一点，所以0k >，所以4k ≤<【点睛】此题考查根据椭圆基本量的关系求离心率和直线斜率，根据直线与椭圆形成三角形面积关系，求解斜率范围，涉及函数与方程思想，转化与化归思想.。
江苏省高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） (1,0)A B AB A ． B ． C ． D ．30︒45︒60︒135︒【答案】A【分析】利用两点坐标求出直线的斜率，再求对应的倾斜角即可． AB【详解】由直线经过，， (1,0)A B设直线的倾斜角为，则有， θtan θ=又，所以. 0180θ︒≤<︒30θ=︒故选：A.2．若直线与直线互相平行，则实数（ ） 1:20l x y +=2:10l mx y ++=m =A ． B ．C ．D ．2122-12-【答案】A【分析】判断不合题意，再根据直线的平行列出相应的比例式，即可求得答案. 0m =【详解】当时，直线，直线与不平行， 0m =2:10l y +=1l 2l 当时，，0m ≠12//l l ，解得， ∴21011m =≠2m =故选：A.3．若等差数列的前项和为，且，则的值为（ ） {}n a n n S 21012a a +=11S A ． B ． C ． D ．334466132【答案】C【分析】根据结合即可求解. 110211a a a a +=+1111111()2a a S +=【详解】等差数列的前项和为，且， {}n a n n S 21012a a +=由等差数列的基本性质，得，21101112a a a a +=+=. ∴1111111()11126622a a S +⨯===故选：C.4．若直线与圆交于，两点，且，关于直线对1y kx =+2240x y kx my +++-=M N M N 20x y +=称，则实数的值为（ ）k m -A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【分析】先对圆的方程配方，求出圆心，再根据两直线以及圆之间的关系求解. 【详解】由圆的方程： 得： ， 2240x y kx my +++-=222242244k m k m x y ⎛⎫⎛⎫+++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭圆心坐标为 ，,22k m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线与圆交于，两点，且，关于直线对称， 1y kx =+2240x y kx my +++-=M N M N 20x y +=则直线必定经过圆心，，，20x y +=(2k -2m -20k m --=又根据垂径定理：直线与直线垂直，可得，即，1y kx =+20x y +=1()12k ⋅-=-2k =所以，故； 1m =-213k m -=+=故选：A.5．数列满足，，，则数列的前10项和为（ ）{}n a 10a =21a =222,3,2,3,n n n a n n a a n n --+≥⎧=⎨≥⎩为奇数为偶数{}n a A ．51 B ．56C ．83D ．88【答案】A【分析】按照已知条件可以发现奇、偶项分别成等差和等比数列，一一列举前10项求和即可.【详解】数列满足，，，{}n a 10a =21a =222,3,2,3,n n n a n n a a n n --+≥⎧=⎨≥⎩为奇数为偶数不难发现，奇数项是等差数列，公差为2，偶数项是等比数列，公比为2， 所以数列的前10项和为：. {}n a (02468)(124816)51+++++++++=故选：.A 6．已知为双曲线的右焦点，为的左顶点，过点且斜率为的直线F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>A C A 1l与交于另一点，且垂直于轴．则的离心率为（ ） C B BF x C AB ．2C D ．3【答案】B【分析】根据题意先求出，，再根据可得到关于，的关系式，进而即可得到|BF |AF 1BF AF=a c 双曲线的离心率．C【详解】联立，解得，所以， 22222221x cx y a b c b a=⎧⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎩2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩2||b BF a =依题可得，，即， 1BFAF=AF c a =+()2221b c a a c a a c a -==++整理得，所以双曲线的离心率为． 2c a =C 2ce a==故选：B ．7．已知等差数列前项和为，公差是与的等比中项，则下列选项不正确{}n a n n S 670,90,d S a ≠=3a 9a 的是（ ） A ．B ．120a =2d =-C ．当，时，取得最大值 D ．当时，的最大值为2110n =11n S 0n S >n 【答案】D【分析】根据等差数列的通项公式，结合等比中项的定义、等差数列的前项进行求解即可. n 【详解】因为是与的等比中项，7a 3a 9a 所以，()()()22739111162810a a a a d a d a d a d =⋅⇒+=++⇒=-由，有，611906659060159022S a d d d d =⇒+⨯⨯=⇒-+=⇒=-120a =，()221121441121224n S na n n d n n n ⎛⎫=+⋅-=-+=--+ ⎪⎝⎭当，时，取得最大值，10n =11n S ，的最大值为，2210021n S n n n =-+>⇒<<n 20故选：D8．已知函数满足：，，则不等式的解集为()f x ()01f =()()'f x f x <()x f x e <A ． B ． C ．D ．()0,∞+(),0∞-()1,+∞(),1∞-【答案】A【详解】是减函数，由得： ()()()0,x xf x f x f x e e ''-⎛⎫=< ⎪⎝⎭()x f x e ()x f x e <0()(0)1,0x f x f x e e <=∴>故选A.点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如()()f x f x '<()()x f x g x e=构造；如构造；如构()()0f x f x '+<()()x g x e f x =()()xf x f x '<()()f xg x x=()()0xf x f x '+<造等.()()g x xf x =二、多选题9．下列求导运算正确的是（ ） A ． 211()1x xx +'=-B ．(cos )sin x x x ⋅'=-C ．222(e )e x xx x x -'=D ．，则 ()sin(21)f x x =-)cos ()221(f x x '=-【答案】ACD【分析】利用导数计算公式分析各选项可得答案.【详解】A 选项，，故A 正确；()2111()1x x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭''+'=+=-B 选项，，故B 错误；()()(cos )cos cos cos sin x x x x x x x x x ''⋅'=+=-C 选项，，故C 正确； ()()()2222222e e 2e e 2(ee e e xx x x xx xx x x xx x x x ''---'===D 选项，，则，D 正确. ()sin(21)f x x =-)cos ()221(f x x '=-故选：.ACD 10．在平面直角坐标系中，已知双曲线，则（ ）xOy 221412x y -=A ．离心率为2B ．渐近线方程为 y =C ．实轴长为2D ．右焦点到渐近线的距离为【答案】ABD【分析】根据双曲线方程确定的值，即可一一判断各选项，即得答案. ,,a b c 【详解】由双曲线的方程可得，，，，24a =212b =22216c a b =+=所以，，实轴长，离心率，所以A 正确，C 不正确， 2a =b =4c =24a =2ca=所以，渐近线方程为，所以B 正确， by x a=±=因为右焦点为，不妨取渐近线， (4,0)y =0y -=则到渐近线距离为D 正确.(4,0)y =d =故选：ABD.11．设数列的前项和为，且，则（ ） {}n a n n S 2121,log +=-=n n n n S a b a A ．数列是等比数列B ．{}n a 1(2)n n a -=-C ．D ．的前项和为22221232213n n a a a a -++++= {}n n a b +n 2n212n n n T +=-+【答案】ACD【分析】由已知可得数列是，2为公比的等比数列，从而可得通项公式，可判断A 、B ，{}n a 11a =进而可以求的值判断C ，也易求得的前项和判断D.2222123n a a a a ++++ {}n n a b +n 【详解】由已知，当时，可得21n n S a =-1n =11a =选项A ，，可得数列是，2为公比的等比数列，故A 正11122,2-----===n n n n n n n S S a a a a a {}n a 11a =确；选项B ，由选项A 可得解得，故B 错误；1121-==，n n a a a 1n 2n a -=选项 C ，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以2{}n a ，故C 正确； 222212321441211433n n n n a a a a ---++++===- 选项D ，因为，故D 正确.212n+1n (12)(1)log ,2211222n n nn n n n n n n b a n a b n T --++==+=+=+=-+-，故选：ACD.12．已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（ ） 3()1f x x ax =-+2x =A ．3a =B ．在上单调递减 ()f x [1,1]-C ．(1)(1)lim0x f x f x∆→+∆-=∆D ．的图象关于原点中心对称 ()f x 【答案】ABC【分析】根据导数的几何意义求得的值，即可判断A ；根据函数单调性与导数的关系，即可判断aB ；由导数的定义可判断C ；由函数的对称性即可判断D. 【详解】，则， 3()1f x x ax =-+2()3f x x a '=-因为函数的图象在处切线的斜率为9， ()f x 2x =所以，解得，故A 正确；()2129f a ='-=3a =，则，3()31,R f x x x x =-+∈2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+令，可得，所以在上单调递减，故B 正确； ()0f x '≤11x -≤≤[1,1]-由于，故C 正确；20(1)(1)lim(1)3130x f x f f x'∆→+∆-==⨯-=∆函数，则，3()31,R f x x x x =-+∈3()31f x x x -=-++所以，则的图象关于点中心对称，故D 不正确. ()()2f x f x +-=()f x ()0,1故选：ABC.三、填空题13．等比数列中，则__. {}n a 59740,a a a -=7a =【答案】4【分析】利用等比数列性质可得，结合条件即可得答案.2597a a a =【详解】由题可得，， 259774a a a a ==70a ≠所以. 74a =故答案为：4.14．已知，则__.()2()e 0xf x xf '=-()1f '=【答案】22e 1-【分析】根据导数运算求得正确答案.【详解】，则，()2()e 0xf x xf '=-2()2e (0)x f x f ''=-将代入可得，，解得，0x =()()()002e 020f f f '''=-=-()01f '=故，，2()e x f x x =-()22e 1xf x '=-所以.()2122e 12e 11f ⨯=-=-'故答案为：.22e 1-15．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，O ()2:20C y px p =>F P C PF x 为轴上一点，且，若，则的准线方程为______．Q x PQ OP ⊥4FQ =C 【答案】=1x -【分析】设点，求得点，由已知条件得出，求出正数的值，即,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭4,02p Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭0PQ OP ⋅= p 可得出抛物线的准线方程.C 【详解】抛物线的焦点，()2:20C y px p =>,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭为上一点，轴，所以，将代入抛物线的方程可得，P C PF x ⊥2P p x =2P px =P y p =±不妨设，因为为轴上一点，且，所以在的右侧．,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭Q x PQ OP ⊥Q F 又，得，即点，所以，， 42Qp FQ x =-= 42Q p x =+4,02p Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()4,PQ p =- 因为，所以，，，PQ OP ⊥2402p PQ OP p ⋅=⨯-= 0p > 2p ∴=所以抛物线的准线方程为． C =1x -故答案为：． =1x -16．函数有两个零点，则的取值范围是 __. ln ()2x kf x x =-k 【答案】20,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】函数有两个零点，即方程有两个根，构造函数，利ln ()2x kf x x =-ln 2x k x =ln ()(0)x g x x x=>用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图像，根据图象即可得解. ()g x 【详解】函数有两个零点，方程有两个根， ln ()2x k f x x =-∴ln 02x kx -=即方程有两个根， ln 2x kx =设，则函数与的图像有两个交点， ln ()(0)xg x x x =>()g x 2k y =， 21ln ()xg x x -'=当时，，单调递增； (0,e)x ∈()0g x '>()g x 当时，，单调递减，(e,)x ∈+∞()0g x '<()g x 函数在时，取得最大值，∴()g x e x =()1e eg =又当时，；当时，且，0x →()g x →-∞x →+∞()0g x >()0g x →函数的大致图像，如图所示，∴()g x由图像可知，，102ek <<的取值范围是.k ∴20,e⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：.20,e ⎛⎫⎪⎝⎭四、解答题17．已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l 过点． 1C 34100x y +-=(1,2)M (1)求圆的标准方程；1C(2)若直线l 被圆所截得的弦长为l 的方程． 1C 【答案】(1)； 224x y +=(2)或 1x =3450x y -+=【分析】（1）直接由圆心到直线的距离求出半径，即可求出圆的方程；（2）先由弦长公式求出，斜率不存在时符合题意，斜率存在时，设出直线方程，由解出1d =1d =直线斜率，即可求解.【详解】（1）设圆的半径为，则，故圆的标准方程为；r 2r ==1C 224x y +=（2）设圆心到直线到的距离为，则；当直线l 斜率不存在时，易得l d =1d =，此时圆心到的距离，符合题意；:1l x =l 1d =当直线l 斜率存在时，设，即，则，解得，即:2(1)l y k x -=-20kx y k -+-=1d 34k =，:3450l x y -+=故直线l 的方程为或.1x =3450x y -+=18．已知等差数列满足. {}n a 13424,2a a a a +=-=(1)求数列的通项公式及前项和； {}n a n n S (2)记数列的前项和为，若,求的最小值. 1{}n S n n T 9950n T >n 【答案】(1) ()1,2n n n n a n S +==(2) 100【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解；n （2）利用（1）的结论及裂项相消法求数列的前项和，结合不等式的解法即可求解. n 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 {}n a d 因为，13424,2a a a a +=-=所以，即，解得. ()11112432a a d a d a d ++=⎧⎨+-+=⎩1222a d d +=⎧⎨=⎩111a d =⎧⎨=⎩所以数列的通项公式为， {}n a ()111n a n n =+-⨯=所以数列的通项公式及前项和为.{}n a n ()()1122n S n n n n ++==（2）由（1）知，， ()12n n n S +=所以， ()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以数列的前项和为 1{}n S n 1231111n nT S S S S =++++ 111111224122223113n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+⎪⎛⎫- ⎪-++- ⎪ ⎪ +⎝⎭⎝⎝⎝⎭⎭⎭ 111111*********n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ . 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭因为， 9950n T >所以，即，于是有，解得， 19921150n ⎛⎫->⎪+⎝⎭19911100n ->+111100n <+99n >因为， *N n ∈所以的最小值为.n 10019．已知：函数. 32()3f x x ax x =--(1)若，求的单调性；(3)0f '=()f x(2)若在上是增函数，求实数的取值范围. ()f x [)1x ∈+∞，a 【答案】(1)答案见解析；(2). (]0-∞，【分析】（1）求出导函数，利用，求出的值，解不等式，即可求出(3)0f '=a ()()''>0<0，f x f x ()f x 的单调性；（2）利用函数在区间上是单调增函数，导数大于等于0恒成立，推出关系式，求出实数的取值范围.a 【详解】（1），，32()3f x x ax x =-- 2()323'∴=--f x x ax ，，.(3)0'= f 27630∴--=a 4a ∴=将代入得，令得或. 4a =()2383'=--f x x x ()0f x '=13x =-3x =x1()3-∞-，13-1(3)3-， 3(3)+∞， ()f x ' +0 -0 +()f x↑↓↑在上单调递减，在上单调递增. ()f x ∴1(3)3∈-，x 1()(3)3∈-∞-+∞，，，x （2）方法1：在上是增函数， ()f x [)1x ∈+∞，在上恒成立， 2()3230f x x ax ∴--'=≥[)1+∞，， 31()2a x x∴≤-当时，是增函数，其最小值为，1x ≥31(2x x-3(11)02-=.实数的取值范围是. 0a ∴≤a (]0-∞，方法2：在上是增函数， ()f x [)1x ∈+∞，在上恒成立， 2()3230f x x ax ∴--'=≥[)1+∞，，. (1)2013f a a=-≥⎧⎪⎨≤'⎪⎩0a ∴≤实数的取值范围是. a (]0-∞，20．已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列．{}n a 2a 3a 44a -(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，设数列的前n 项和，求证：． 21log n n na b a +={}n b n T 13n T ≤<【答案】(1)2n n a =(2)证明见解析【分析】(1)根据等差中项的性质和等比数列定义求解；(2)利用错位相减法求和即可证明.【详解】（1）因为，，成等差数列，所以，2a 3a 44a -32442a a a =+-又因为数列的公比为2，所以，{}n a 2311122242a a a ⨯=+⨯-即，解得，所以．1118284a a a =+-12a =1222n n n a -=⨯=（2）由（1）知，则， 2nn a =221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===所以， ① 2323412222n n n T +=++++L ， ② 231123122222n n n n n T ++=++++ ①②得 -23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L 212111111111122221111221122n n n n n n -+++⎛⎫-- ⎪++⎝⎭=+-=+---． 11112133122222n n n n n +++++=+--=-所以． 3332n n n T +=-<又因为， 102n nn b +=>所以是递增数列，所以，所以．{}n T 11n T T =≥13n T ≤<21．已知函数，其中. 211()()ln 2=-++f x x a x x a0a >(1)当时，求曲线在点处切线的方程；1a =()y f x =()()1,1f (2)试讨论函数的单调区间.()f x 【答案】(1)； 32y =-(2)答案见解析.【分析】（1）利用导数几何意义结合条件即得；（2）求函数的导函数,得到导函数的零点,讨论的范围，由导函数的零点对函数定义域分段,利()f x a 用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性.【详解】（1）当时，,则， 1a =21()2ln 2f x x x x =-+1()2f x x x'=-+，又， ()10f '∴=()312f =-在点处切线的方程为； ∴()y f x =()()1,1f 32y =-（2）由题可得， 1()()11()(0)x a x a f x x a x a x x --⎛⎫'=-++=> ⎪⎝⎭令，解得或， ()0f x '=x a =1x a =若，，当变化时，，的变化情况如表： 01a <<1a a <x ()f x '()f x x (0,)a a 1(,)a a 1a ,1(a )∞+ ()f x ' +0-0 + ()f x 增函数减函数增函数的单调增区间为和,，单调减区间为； ()f x ∴(0,)a 1(a )∞+1(,)a a②若，，当变化时，，的变化情况如表： 1a >1a a <x ()f x '()f x x1(0,)a 1a , 1(a )a a (,)a +∞ ()f x ' +0-0 + ()f x 增函数减函数增函数的单调增区间为和，单调减区间为； ()f x ∴1(0,)a(,)a +∞1(,)a a③若，则，函数的单调增区间为；1a =()0f x '≥()f x ()0,∞+综上，当时，的单调增区间为和,，单调减区间为；当时，01a <<()f x (0,)a 1(a )∞+1(,a a1a >()f x 的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为1(0,a(,)a +∞1(,)a a 1a =()f x .()0,∞+22．已知椭圆过点，且焦距为2222:1(0)x y C a b a b+=>>(2,1)P --(1)求椭圆的方程；C (2)过直线（不经过点交椭圆于点，，试问直线与直线的斜率之和为，求证：l )P C A B PA PB 1-l 过定点.【答案】(1) 22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.,,a b c C （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据化简求得定点坐标.AB 1PA PB k k +=-【详解】（1）由题意可得，解得，22222411c aba b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩椭圆的方程：.∴C 22182x y +=（2）当直线的斜率不存在时，设其方程为，AB,x t x =-<<2x ≠-则， ,,A t Bt ⎛⎛⎝⎝所以， 212PA PB k k t +===-+解得（舍去），4t =-所以直线的斜率存在.AB 设直线的方程为，其中，AB y kx m =+21m k ≠-联立方程，消去得：， 22182y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 22(4)8801k x kmx -+=+设，()()1122,,,A x y B x y 则，， 122841km x x k -+=+21224841m x x k -⋅=+所以 12121122PA PB m kx m k k x k x x +++++=+++ 1212(2)21(2)2122k x m k k x m k x x ++-+++-+=+++ 122121()22m k m k k k x x -+-+=+++++ 12112(21)()22k m k x x =+-++++ 12121242(21)2()4x x k m k x x x x ++=+-++++ 2222841842(21)482()44141k m k m km k k k m k +-+-+=+-+-+++ 222221684412(21)16441641k km k k m k k m kmk -++=+-+⋅+--+ 224212(21)(2)1k km k m k k m -+=+-+⋅--， 24212121k km k k m -+-=+=--+整理得，直线的方程为，4m k =AB ()4y k x =+所以直线恒过定点.l ()4,0-【点睛】根据已知条件求解椭圆的方程，关键点在于列方程组来求得，要注意“隐藏条件”,,a b c .求解直线过定点问题，可先设出直线方程，然后根据已知条件列方程，求得直线方程中222a b c =+参数的关系，从而求得定点的坐标.。
2021-2022学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线的倾斜角为( )A. 0B.C.D. 2.已知平面的一个法向量为，则所在直线l 与平面的位置关系为( )A. B.C. l 与相交但不垂直D.3.若数列是等差数列，，则( )A.B.C.D.4.已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，M 是抛物线上一点，过点M 作于若是边长为2的正三角形，则 ( )A.B.C. 1D. 25.在平行六面体中，M 为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是( )A. B. C. D.6.椭圆上的点P 到直线的最短距离为( )A.B.C.D.7.若数列满足，则称数列为“半差递增”数列．已知“半差递增”数列的前n项和满足，则实数t的取值范围是( )A. B. C. D.8.已知线段AB的端点B在直线l：上，端点A在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹为曲线，若曲线与圆有两个公共点，则点B的横坐标的取值范围是( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线l与双曲线右支交于点若，且有一个内角为，则双曲线的离心率可能是( )A. B. 2 C. D.10.如图，已知正方体的棱长为1，，则下列说法正确的有A.B. ，都有C. ，使得D. 若平面，则直线CD与平面所成的角大于11.如图1，曲线为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜宿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用．如图2，苜宿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆驶入环道后再自右侧切向汇入主路，四条环形匝道就形成了苜宿叶的形状．给出下列结论正确的是A. 曲线C只有两条对称轴B. 曲线C仅经过1个整点即横纵坐标均为整数的点C. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2D. 过曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为212.已知数列满足，，其中，下列说法正确的是( )A. 当时，数列是等比数列B. 当时，数列是等差数列C. 当时，数列是常数列D. 数列总存在最大项三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若，则与向量同方向的单位向量的坐标为__________.14.小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支．如图，P为双曲线的顶点，经过测量发现，该双曲线的渐近线相互垂直，，，，双曲线的焦点位于直线PC上，则该双曲线的焦距为__________15.已知数列满足，且，则的值为__________.16.已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于两点，以F为圆心的圆交线段AB于两点从上到下依次为，若，则该圆的半径r的取值范围是__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
江苏高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则α()13,0,n λ= β()22,1,6n =αβ⊥λ=（ ）A ．B ．4C ．D ．1921-【答案】C【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.【详解】因为，则可得，αβ⊥12n n ⊥且，， ()13,0,n λ= ()22,1,6n =则可得，解得 660λ+=1λ=-故选:C2．若直角三角形三条边长组成公差为2的等差数列，则该直角三角形外接圆的半径是（ ） A ．B ．3C ．5D ．52152【答案】C【分析】根据题意，设中间的边为，由等差数列的定义，结合勾股定理即可得到的值，从而得a a 到结果.【详解】由题意设中间的边为，则三边依次为 a 2,,2-+a a a 由勾股定理可得，解得或（舍） ()()22222a a a +=-+8a =0a =即斜边为，所以外接圆的半径为 210a +=1052=故选:C3．已知为双曲线与抛物线的交点，则点的横坐标为（ ）P 22:133x y C -=22y x =P A ．3 B ．2CD ．1-【答案】A【分析】根据给定条件，联立方程组并求解判断作答.【详解】依题意，，则由解得220x y =≥22223y x x y ⎧=⎨-=⎩3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以点的横坐标为3. P 故选：A4．若直线与圆相切，则实数取值的集合为（ ） 340x y m ++=2220x y y +-=m A ． B ． C ． D ．{}1,1-{}9,1-{}1{}8,2-【答案】B【分析】根据题意，由直线与圆相切可得，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到d r =结果.【详解】由圆可得，表示圆心为，半径为的圆，2220x y y +-=()2211x y +-=()0,11则圆心到直线的距离340x y m ++=d 因为直线与圆相切，340x y m ++=2220x y y +-=所以，解得或，d r =11m =9m =-即实数取值的集合为 m {}9,1-故选:B5．已知数列首项为2，且，则（ ）{}n a 112n n n a a ++-=n a =A ． B ． C ． D ．2n 121n -+22n -122n +-【答案】D【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.【详解】由已知得，，则当时，有112n n n a a ++-=12a =2n ≥ ，12111221()()(222)n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-=+++()12121121222222222212n n n n n n n a a --+-=++++=++++==-- 经检验当时也符合该式．∴.1n =122n n a +=-故选：D6．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结111ABC A B C -CA CB =P 1A B Q 1CC 论不正确的是（ ）A ．B ．//平面 1PQ A B ⊥AC 1A BQ C ．D ．//平面1PQ CC ⊥PQ ABC 【答案】B【分析】A 选项可以利用三线合一证明垂直关系，B 选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断.C 选项先通过类似A 选项的证明得到线线垂直，结合AC 的结论得到线面垂直后判断，D 选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明， 【详解】不妨设棱柱的高为，.2h AC CB x ==B 选项，根据棱柱性质，//，而平面，若//平面，无论怎样平移11A C AC 11A C ⋂11A BQ A =AC 1A BQ 直线，都不会和平面只有一个交点，于是得到矛盾，故B 选项错误；AC 1A BQA 选项，计算可得，为的中点，故（三线合一），A 选项1QA QB ==P 1A B 1PQ A B ⊥正确；C 选项，连接，根据平行四边形性质，过，计算可得，11,,QB QA AB 1AB P 1QA QB =为的中点，故（三线合一），结合A 选项，，，P 1AB 1PQ AB ⊥1PQ A B ⊥11AB A B P = 11,AB A B ⊂平面，故平面，由平面，故，棱柱的侧棱//，11ABB A PQ ⊥11ABB A 1AA ⊂11ABB A PQ ⊥1AA 1AA 1CC 故，C 选项正确；1PQ CC ⊥D 选项，取中点，连接，结合为的中点可知，为中位线，故//AB E ,PE CE P 1A B PE 1ABA △PE ，且，即//，且，故四边形为平行四边形，故//，由1AA 112PE AA =PE CQ PE CQ =PECQ PQ CE 平面，平面，故//平面，D 选项正确.PQ ⊄ABC CE ⊂ABC PQ ABC 故选：B7．在数列中，若存在不小于2的正整数使得且，则称数列为“数列”.{}n a k 1k k a a -<1k k a a +<{}n a k -下列数列中为“数列”的是（ ） k -A ． B ．n b n =2nn b =C ． D ． 9n b n n=+123n b n =-【答案】C【分析】利用“数列”定义逐项判断可得答案.k -【详解】对于A ，，，，数列是单调递增数列， n b n =11n b n +=+1110+=+-=>-n n b b n n {}n b 所以数列不是“数列”，故A 错误；{}n b k -对于B ， ，，，数列是单调递增数列，2n n b =112++=n n b 112220++-=-=>n n nn n b b {}n b 所以数列不是“数列”，故B 错误；{}n b k -对于C ，对于函数，令，， ()()90f x x x x=+>123x x >>()()()121212129--=-x x f x f x x x x x 因为，所以，，所以， 123x x >>12120,9->>x x x x ()12121290-->x x x x x x ()()12f x f x >在上为单调递增函数， ()f x ()3,x ∈+∞令，， 2103<<<x x ()()()121212129--=-x x f x f x x x x x 因为，所以，，所以，在2103<<<x x 12120,09-><<x x x x ()12121290x x x x x x --<()()12f x f x <()f x 上为单调递减函数， ()0,3x ∈所以对于，当时，有，当时，有，存在使得数列9n b n n=+23n ≤≤1n n b b -<3n ≥1n n b b +<3k ={}n b 是“数列”，故C 正确；k -对于D ，，时，因为的单调递增数列，是单调递减数列，所以不存在11b =-2n ≥{}23n -123⎧⎫⎨⎬-⎩⎭n不小于2的正整数使得且，所以数列不是“数列”，故D 错误. k 1k k a a -<1k k a a +<{}n b k -故选：C.8．已知为坐标原点，点坐标为，是抛物线在第一象限内图象上一点，O A ()2,0P 21:2C y x =M 是线段的中点，则斜率的取值范围是（ ） AP OM A ．B ． 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦[)2,+∞C ．D ． 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦⎛ ⎝【答案】A【分析】设，可得，再利用基本不等式可得答案.()()22,0>P y y y ()221=+OM y k y 【详解】设，所以，()()22,0>P y y y 21,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭y M y 所以，()22112141212===≤+⎛⎫++ ⎪⎝⎭OMyy k y y y y 当且仅当即时等号成立， 1y y=1y =则斜率的取值范围是.OM 10,4⎛⎤⎥⎝⎦故选：A.二、多选题9．已知正四面体的棱长均为1，分别以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，在这些向量中两两的数量积可能是（ ） A．0 B ．C ．2D 12【答案】AB【分析】由，排除C 、D ；取，求出[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⨯⨯=∈- ,a AD b BC ==；取，求出.即可判断A 、B.0a b ⋅=,a AD b AC == 12a b ⋅= 【详解】在正四面体中，棱长均为1.ABCD任意以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，得到的向量的模长为1.任取两个向量，则.,a b1a b == 所以.故C 、D 错误； []cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⨯⨯=∈- 取.设中点为,连接. ,a AD b BC ==BC E ,AE DE 因为为正四面体，所以. ABCD ,AE BC DE BC ⊥⊥因为,面，面， AE DE E = AE ⊂ADE DE ⊂ADE 所以面.BC ⊥ADE 因为面，所以，所以. AD ⊂ADE BC AD ⊥,90a b =︒ 所以.故A 正确； cos ,cos900a b a b ⋅==︒=取，则.,a AD b AC ==,60a b =︒ 所以.故B 正确. 1cos ,cos 602a b a b ⋅==︒= 故选：AB10．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，为椭圆上一点()2222:10x y C a b a b+=>>121F 2F P （异于左，右顶点），且的周长为6，则下列结论正确的是（ ） 12PF F △A ．椭圆的焦距为1B ．椭圆的短轴长为C C C ．D ．椭圆上存在点，使得12PF F △C P 1290F PF ∠=【答案】BC 【分析】根据，解得可判断AB ；设，由知当12e =226a c +=,,a b c ()00,P x y 1212012PF F S F F y =V P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C ；假设椭圆上存在点，设C P，求出、，可看作方程，求出判别式可判断D.12,PF m PF n ==m n +mn ,m n 2460x x -+=∆【详解】由已知得，，解得，， 12c e a ==226a c +=2,1a c ==2223b a c =-=对于A ，椭圆的焦距为，故A 错误； C 22c =对于B ，椭圆的短轴长为B 正确； C 2b =对于C ，设，，当点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，()00,P x y 12120012==A PF F S F F y c y P此时C 正确；0==y b 12PF F △对于D ，假设椭圆上存在点，使得，设，C P 1290F PF ∠=12,PF m PF n ==所以，，，24m n a +==22216244m n mn c +=-==6mn =所以是方程，其判别式，所以方程无解，故假设不成立，故D 错,m n 2460x x -+=16240∆=-<误. 故选：BC.11．在棱长为的正方体中，下列结论正确的是（ ） 21111ABCD A B C D -A ．异面直线与所成角的为 1AB CD 45 B ．异面直线与所成角的为 11A B 1AC 45C ．直线与平面 1AC 11ABB AD ．二面角的大小为 1C AD B --45 【答案】ACD【分析】利用异面直线所成角的定义可判断AB 选项；利用线面角的定义可判断C 选项；利用二面角的定义可判断D 选项. 【详解】如下图所示：对于A 选项，，则与所成的角为，A 对；//CD AB 1AB CD 145BAB ∠=对于B 选项，，所以，与所成角为或其补角，11//AB A B 1AC 11A B 1BAC ∠因为，，，2AB=1BC ==1AC ==22211AB BC AC ∴+=则，所以，，B 错； 1AB BC ⊥11tan BC BAC AB∠==145BAC ∠≠ 对于C 选项，平面，故直线与平面所成角为，11B C ⊥ 11AA B B 1AC 11ABB A 11B AC ∠平面，则，所以，1AB ⊂ 11AA B B 111B C AB ⊥11111sin B CB AC AC ∠==因此，直线与平面C 对； 1AC 11ABB A 对于D 选项，平面，、平面，则，， AD ⊥ 11CC D D CD 1C D ⊂11CC D D AD CD ⊥1AD C D ⊥所以，二面角的平面角为，D 对. 1C AD B --145CDC ∠=o故选：ACD.12．已知数列的前项和，数列是首项和公比均为2的等比数列，将数列和{}n a n 2n S n ={}n b {}n a 中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列，则下列结论正确的是（ ）{}n b {}n c A ． B ．数列中与之间共有项 1216c ={}n c n b 1n b +12n -C ． D ．22n n b a =121n n n b c -+-=【答案】AB【分析】根据题意可得：数列是以为首项，为公差的等差数列，则，，然{}n a 1221n a n =-2nn b =后根据数列的性质逐项判断即可求解.【详解】由题意可知：数列的前项和，当时，；{}n a n 2n S n =1n =111a S ==当时，；经检验，当时也满足，所以；2n ≥121n n n a S S n -=-=-1n =21n a n =-又因为数列是首项和公比均为2的等比数列，所以.{}n b 2nn b =则数列为：， {}n c 1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,23, 所以，故选项正确；1216c =A 数列是由连续奇数组成的数列，都是偶数，所以与之间包含的奇数个数为{}n a 1,n n b b +n b 1n b +，故选项正确； 112222n nn +--=B 因为，则为偶数，但为奇数，所以，故选项错误；2n n b =222nn b =1222121n n n a +=⨯-=-22n n b a ≠C 因为，前面相邻的一个奇数为，令，解得：，2n n b =21n -2121nk a k =-=-12n k -=所以数列从1到共有，也即，故选项错误，{}n c 2n 12n n -+122n nn n c b -+==D 故选：AB三、填空题13．已知等差数列前3项的和为6，前6项的和为21，则其前12项的和为______. {}n a 【答案】78【分析】先求得等差数列的首项和公差，然后求得前项和. {}n a 12【详解】设等差数列的公差为，d 则，解得，1133661521a d a d +=⎧⎨+=⎩11a d ==所以前项的和为. 121126678a d +=故答案为：7814．以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线C 的共轭双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为______. 3C【分析】不妨设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，根据双曲线的离心率公式可得C 2a 2b 2c出，进而可求得双曲线的共轭双曲线的离心率.b =C 【详解】不妨设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，则，可得C 2a 2b 2c 3c a==，b =所以，双曲线的共轭双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，C 2b 2a 2c =因此，双曲线的共轭双曲线的离心率为.C c b===15．已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面均在一个球面上，则该圆锥与球的体积之比为______. 【答案】## 9320.28125【分析】根据圆锥、球的体积公式求得正确答案. 【详解】画出轴截面如下图所示， 圆锥的轴截面为正三角形，ABC 设球心为，圆锥底面圆心为，球的半径为，O 1O R 则圆锥的高为，1322R R R +=. 932=故答案为：932四、双空题16．摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点运动的轨迹就得到内摆线.已知基线圆的方程为，半径为1的动圆内P O ()2220x y R R +=>M 切于定圆作无滑动的滚动，切点的初始位置为.若，则的最小值为______；若O P (),0R 4R =PO ，且已知线段的中点的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为______.2R =MP N 【答案】 2 2219144x y +=【分析】根据圆、摆线、椭圆的知识求得正确答案. 【详解】当时，的最小值为.4R =PO 21422R -⨯=-=当时，初始位置为， 2R =N 3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭圆的四分之一弧长为， O 12π2π4⨯⨯=圆的半周长为， M 12π1π2⨯⨯=所以的轨迹过点， N 10,2N ⎛⎫' ⎪⎝⎭所以，椭圆焦点在轴上， 31,22a b ==x 所以椭圆方程为. 2219144x y +=故答案为：； 22219144x y +=五、解答题17．如图，是三棱锥的高，线段的中点为，且，.PA -P ABC BC M AB AC ⊥2ABAC PA ===(1)证明：平面；BC ⊥PAM (2)求到平面的距离.A PBC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据已知条件证明，，由直线与平面垂直的判定定理即可证明. BC AM ⊥PA BC ⊥（2）法一：在平面中，过点作，证明平面，再求值即可；法二：PAM A AH PM ⊥AH ⊥PBC A 到平面的距离，是三棱锥的高，利用等体积法求解.PBC A PBC -【详解】（1）因为，线段的中点为，所以.AB AC =BC M BC AM ⊥因为是三棱锥的高，所以平面，PA -P ABC PA ⊥ABC 因为平面，所以.BC ⊂ABC PA BC ⊥因为平面，平面，，所以平面PA ⊂PAM AM ⊂PAM PA AM A = BC ⊥PAM （2）法一：（综合法）在平面中，过点作，如图所示，PAM A AH PM ⊥因为平面，平面，所以.BC ⊥PAM AH ⊂PAM BC AH ⊥因为，平面，平面，，所以平面. AH PM ⊥BC ⊂PBC PM ⊂PBC PM BC M = AH ⊥PBC在中，Rt BAC A 1122AM BC ====所以在中，Rt PAM A PM ===所以到平面PA AM AH PM ⨯===A PBC 法二：（等体积法）设到平面的距离为，则在中，A PBC d Rt BAC A 1122AM BC ====在中，Rt PAM A PM ===因为是三棱锥的高，所以， PA -P ABC 11142223323P ABC ABC V S PA -=⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得， 11143323P ABC PB PBC C A V V S d d --==⨯=⨯⨯=△d =所以到平面A PBC 18．已知等比数列的首项为2，前项和为，且.{}n a n n S 234230S S S -+=(1)求；n a(2)已知数列满足：，求数列的前项和.{}n b n n b na ={}n b n n T 【答案】(1)2n n a =(2)()1122n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据题意，由可得公比，再由等比数列的通项公式即可得到结234230S S S -+=q 果；（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果.【详解】（1）设等比数列的公比为，{}n a q 因为，所以，234230S S S -+=()234320S S S S -+-=所以，所以，所以.342a a =2q =112n n n a a q -==（2）由（1）得，，所以，……①2n n b n =⨯212222n n T n =⨯+⨯++⨯ 所以，……②()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ①-②，得， ()()21112122222212212n n n n n n T n n n +++⨯--=+++-⨯=-⨯=-⨯-- 所以.()1122n n T n +=-⋅+19．已知双曲线的实轴长为2，右焦点到的距离为. ()2222:10,0x y C a b a b-=>>F 32x =12(1)求双曲线的方程；C (2)若直线与双曲线交于，两点，求的面积.1y x =-C M N MNF A 【答案】(1) 2213y x -=(2) 32【分析】（1）由双曲线实轴长为2可得，再利用右焦点到的距离为可得，即可1a =F 32x =122c =求得双曲线的方程；C （2）联立直线和双曲线方程容易解出，两点坐标即可求得的面积.M N MNF A 【详解】（1）设双曲线的焦距为，C ()20c c >因为双曲线的实轴长为2，所以，解得. C 22a =1a =因为右焦点到的距离为，所以，解得或. F 32x =123122c -=1c =2c =因为，所以.可得，c a >2c =222413b c a =-=-=所以双曲线的方程为. C 2213y x -=（2）设，，()11,M x y ()22,N x y 联立直线和双曲线可得， 22113y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩()223130x x ---=即，或220x x +-=1x =2x =-不妨设，，所以.11x =22x =-2130,y y ==-所以. 2121113132222MNF S MF y c x y =⨯=-⨯=⨯⨯=△即的面积为MNF A 3220．已知数列的首项为1，前项和为，且满足______.{}n a n n S ①，；②；③.22a =22n n a a +-=()21n n S n a =+()12n n nS n S +=+从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：(1)求；n a (2)求数列的前项和. 21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1)n a n =(2) 13112212n T n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭【分析】（1）当选①时，分为奇数，偶数时，分别计算即可得到结果；当选②时，根据与n n S na 的关系，即可得到结果；当选③时，根据条件得到是常数数列，从而得到结果； ()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭（2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果.【详解】（1）选① 因为，所以当为奇数时，； 22n n a a +-=n 1122n n a a n -=+⨯=同理，当为偶数时，. n 2222n n a a n -=+⨯=所以.n a n =选②因为，（*）所以当时，，（**） ()21n n S n a =+2n ≥112n n S na --=（*）-（**），得，即， ()11n n n a na --=11n n a a n n -=-所以数列是首项为1的常数列， n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以.n a n =选③因为，所以，所以数列是首项为的常数列， ()12n n nS n S +=+()()()1211n n S S n n n n +=+++()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭12所以，所以当时，. ()12n n n S +=2n ≥()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=当时，也符合上式.所以. 1n =n a n =（2）由（1）得，， ()211111222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以 111111111311123243522212n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 21．三棱柱中，，，线段的中点为，且111ABC A B C -112AB AB AA AC ====120BAC ∠= 11A B M .BC AM ⊥(1)求证：平面；AM ⊥ABC (2)点在线段上，且，求二面角的余弦值. P 11B C 11123B P BC =11P B A A --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由、根据线面垂直的判定定理可得平面； AB AM ⊥BC AM ⊥AM ⊥ABC（2）以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系，求出平面、A 、、AN AC AM x y z 、、11B AA 平面的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.1PB A 【详解】（1）三棱柱中，，111ABC A B C -11//AB A B 在中，，线段的中点为，所以，所以； 11AB A △11AB AA =11A B M 11A B AM ⊥AB AM ⊥因为，平面，平面，，平面，所以BC AM ⊥BC ⊂ABC AB ⊂ABC AB BC B ⋂=AB BC ⊂、ABC 平面；AM ⊥ABC （2）做交于点，AN AC ⊥BC N 以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系， A 、、AN AC AM x y z 、、则，，， ()0,0,0A )1,0B-112B -，.()0,2,0C (M 所以，，，112AB =-()BC =(AM = 因为，所以，111222,033B P B C BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭32P ⎛ ⎝所以，32AP ⎛= ⎝ 设平面的一个法向量，则， 11B AA ()1111,,n x y z =11111111020n AB y n AM ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩ 解得，令，所以， 10z=1y =11x =()1n = 设平面的一个法向量，则， 1PB A ()2222,,n x y z =222221222302102n AP y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩令，，所以， 2y =23x =21z =-()21n =- 设二面角的平面角为，则11P B A A --()0180θθ≤≤ ，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==== 由图知二面角的平面角为锐角，11P B A A --所以二面角11P B A A --22．已知为椭圆上一点，上、下顶点分别为、，右顶点为P ⎛ ⎝()2222:10x y E a b a b +=>>A B C ，且.225a b +=(1)求椭圆的方程；E (2)点为椭圆上异于顶点的一动点，直线与交于点，直线交轴于点.求证：直线P E AC BP Q CP y R 过定点.RQ 【答案】(1) 2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. 22,a b E （2）设出直线的方程，求得点的坐标，联立直线的方程和椭圆的方程，求得点坐BP Q BP E P 标，进而求得直线的方程，从而求得点的坐标，由此求得直线的方程并确定定点坐标. PC R RQ【详解】（1）因为为椭圆上一点，所以. P ⎛ ⎝()2222:10x y E a b a b +=>>221314a b +=因为，所以，整理得，解得或. 225a b +=2213154b b +=-42419150b b -+=21b =2154b =当时，，与矛盾.所以，. 2154b =254a =a b >21b =24a =椭圆的方程为. E 2214x y +=（2）设直线的斜率为，则.BP k :1BP l y kx =-因为， 1:12AC l y x =-+由解得，. 1112y kx y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩421Q x k =+2121Q k y k -=+因为，所以，整理得， 22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()224140x kx +--=()221480k x kx +-=所以，. 2841P k x k =+224141P k y k -=+所以，所以. 2222241412141888242241PC k k k k k k k k k k --++===--+---+()21:242PC k l y x k +=---令，得. 0x =2121R k y k +=-所以， ()()222221212121822121414144421212121RQ k k k k k k k k k k k k k k k +--+---+--====-----+++所以. 221:2121RQ k k l y x k k +=-+--所以. ()242:12212121RQ k k k l y x x k k k +=-+=-----所以直线过定点. RQ ()2,1-。
2019-2020学年江苏省苏州市高二上学期期末考试数学试卷及答案
综上， k 的取值范围为 k 2 2 或 k 2 2 .
（2）设 M x1, y1 ， N x2, y2 ，由（1）可知 x1 ， x2 是 x2 4kx 16k 8 0 的两
个根，则 x1 x2 4k ， x1x2 16k 8 ， 因为 OMN 为直角三角形，且 OM ON ，
设上栏框内高度为 hcm ，下栏框内高度为 2hcm ，
则 3h 24 b ， h b 24 ， 3
所以透光部分的面积 S a 24 2b 24 a 16 b 24
3
3
20512
24a
64 3
b
；
（2）因为 a 0 ， b 0 ，
所以 24a 64 b 2 24a 64 b 2 8a 64b 6400 ，
20．解：（1）由题意，设直线 l 方程为 y 2 k x 4 ，
联立方程组
x2 4 y
y
2
k
x
4
，消去
x
得
x2
4kx
16k
8
0
，
要使直线 l 与抛物线交于不同的两点 M ， N ，则 16k2 416k 8 0 ，
即 k2 4k 2 0 ，
解得 k 2 2 或 k 2 2 ，
；16．
505 2021
（2）由
x x
2 3
2
可知
x x
2 3
2
0
，整理得
x 8 x3
0
，即
x x
8 3
0
，
不等式等价于 x 8 x 3 0 ，
解得 x 3 或 x 8 ，所以不等式的解集为x | x 3 或 x 8 .
18．（1）依题得
3a1
2022-2023学年江苏省苏州市高二上学期期末数学质量检测试题(含解析)
2022-2023学年江苏省苏州市高二上册期末数学质量检测试题一、填空题1．半径为1cm 的球的体积是___________3cm .【正确答案】4π3【分析】根据球体积公式计算．【详解】由题意球体积为()3344π1πcm 33V =⨯=．故4π3．2．设正四面体的棱长为1，则该正四面体的高为______.【分析】设正四面体为A BCD -，过A 作AO ⊥底面BCD ，可知O 为底面正三角形的中心，然后求解直角三角形得答案．【详解】如图，设正四面体为A BCD -，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，四面体为正四面体，∴O 为底面正三角形的中心，连接CO 并延长交BD 于G ，则G 为BD 中点，底面边长为1，23CO CG ∴==AO ∴∴该正四面体的高为3．故3．3．两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为______.【正确答案】35##0.6【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.【详解】两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为：35=.故答案为.354．若直线l 的一个法向量为(-，则过原点的直线l 的方程为______.【正确答案】0x =【分析】根据直线法向量，可设出直线方程，由直线过原点，求出未知系数.【详解】若直线l 的一个法向量为(-，可设直线方程为0x c -++=，由直线过原点，∴0c =，故所求直线方程为0x -=，即0x -=.故0x -=5．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC 的直观图，其中1O B O C ''''==，则三角形A B C '''的面积为______.【分析】根据直观图和平面图的关系可求出O A ''，进而利用面积公式可得三角形A B C '''的面积【详解】由已知可得122O A ''=⨯则122A B C S '''=⨯故答案为6．如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___．【正确答案】2π【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解．【详解】由题意，圆锥底面周长为2π×1=2π，又母线长为2，所以圆锥的侧面积12222S ππ=⨯⨯=．故2π.7．一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为________.【正确答案】2根据已知可知：2a b =，再代入离心率公式e =即可.【详解】由题知：222a b =⨯，即2a b =.2c e a=====.本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题.8．已知直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，则直线l 的倾斜角的取值范围是______.【正确答案】π3π[0,][,π)44⋃【分析】由题意可得直线l 的斜率cos [1,1]k θ=-∈-，设直线l 的倾斜角为β，则有tan [1,1]β∈-，[0,π)β∈，再根据正切函数的性质即可求得答案.【详解】解：因为直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，所以直线l 的斜率cos k θ=-，所以[1,1]k ∈-，设直线l 的倾斜角为β，则有tan [1,1]k β=∈-，又因为[0,π)β∈，所以π3π[0,][,π)44β∈⋃.故π3π[0,][,π)44⋃9．已知正三棱台111ABC A B C -上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.【分析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可.【详解】上底面的面积为111sin 602⨯⨯⨯︒122sin 602⨯⨯⨯︒=三棱台的体积为1713412⎛⨯⨯= ⎝.故1210．已知圆22:16C x y +=，直线()():20l a b x b a y a -+--=（a 、b 不同时为0），当a 、b 变化时，圆C 被直线l 截得的弦长的最小值为______.【正确答案】【分析】由题意知直线l 恒过定点(1,1)--，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆C 被直线l 截得的弦长为最小值，即可求出答案.【详解】把直线()():20l a b x b a y a -+--=化为(21)()0a x y b x y --+-+=，210101x y x x y y --==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩，恒过定点(1,1)--，当圆C 被直线l 截得的弦长的最小值时，圆心(0,0)到定点(1,1)--=圆心到直线()():20l a b x b a y a -+--=，此时直线弦长为最小值=故答案为.11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，M ，N ，Q ，P 分别为棱11A B ，11B C ，1BB ，1CC 的中点，三棱锥M PQN -的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________.【正确答案】8π【分析】由正方体性质确定三棱锥M NPQ -的性质，从而确定其外接球球心O 所在位置，然后由直角梯形和直角三角形求出半径得表面积．【详解】如图，取PQ 中点K ，11A D AD H = ，由正方体性质知HK ⊥平面11BCC B ，由已知NPQ △是等腰直角三角形，PQ 是斜边，则三棱锥M NPQ -的外接球球心O 在HK 上，连接,OM OP ，由HK ⊥平面11BCC B 知1,HK KB HK PQ ⊥⊥，同理111A B B K ⊥，1OKB M 是直角梯形，11MB =，1B K =，1KP =，设外接球半径为R ，则1OK =在直角三角形OPK 中，222(11R =+，解得R =．所以球表面积为248S R ππ==．故8π．关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是找到外接球的球心，一般外接球球心必在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上．确定球心位置后通过直角梯形与直角三角形求得半径．12．如图，已知F 是椭圆22143x y +=的左焦点，A 为椭圆的下顶点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 为直径作圆N ，射线ON 与圆N 交于点Q ，则AQ 的取值范围为______.【正确答案】22⎡⎣【分析】由题意求得点Q 轨迹，根据轨迹判断计算AQ 的取值范围.【详解】F '为椭圆右焦点，连接PF '，如图所示：,O N 分别为,FF FP '的中点，12ON PF '=，PF 为直径，12NQ PF =，()1112222OQ ON NQ PF PF PF PF ''=+=+=+=，所以点Q 轨迹是以O 为圆心2为半径的圆，(0,3A -在圆内，所以AQ 的最小值为23，最大值为23，即AQ 的取值范围为23,23⎡⎤+⎣⎦.故23,23⎡⎣二、单选题13．设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【正确答案】A【分析】由公理2的推论()()12即可得到答案.【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得1234P P P P 、、、在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当11213242,P l P l P l P l ∈∈∈∈、、、12l l 时,1234P P P P 、、、在同一个平面上,但1234P P P P 、、、中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：()1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;()2经过两条平行直线,有且只有一个平面;()3经过两条相交直线,有且只有一个平面;14．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP⋅ 的最小值为A ．22-B ．12C ．22+D ．1【正确答案】B【详解】试题分析：设点，所以，由此可得(,)(1,)OP FP x y x y ⋅=⋅-，[2,2]x ∈，所以OP FP ⋅ 的最小值为12.向量数量积以及二次函数最值．15．已知曲线C ：()3222216x y x y +=，命题p ：曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q ：曲线C 上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（）A ．p 、q 都是真命题B ．p 是真命题，q 是假命题C ．p 是假命题，q 是真命题D ．p 、q 都是假命题【正确答案】A【分析】结合均值不等式得到当且仅当22x y =时，等号成立，以及224x y +≤，从而可判断命题q 的真假性，检验点()()()()()()()()()0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------是否在曲线上即可判断命题p 的真假性.【详解】因为()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当22x y =时，等号成立，所以224x y +≤，因此曲线C 所围成的区域的在圆224x y +=2£，故曲线C 上的点到原点的最大距离是2，因此命题q 为真命题，圆224x y +=上以及内部横坐标与纵坐标都是整数的点有()()()()()()()()()0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------，其中点()0,0显然在曲线C 上，但是()()()()()()()()1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------不在曲线上，故曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点，因此命题p 为真命题，故选：A.16．四面体ABCD 的所有棱长都为1，棱AB 平面α，则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（）A ．1,22⎤⎢⎣⎦B ．12⎤⎥⎣⎦C ．142⎤⎥⎣⎦D ．4⎣⎦【正确答案】D【分析】设A 、B 、C 、D 在平面α内的射影依次为1111A B C D 、、、，分别讨论11C D 、在11A B 两侧、11C D 、其中一点在11A B 上、11C D 、在11A B 同侧时的投影图形，其中11C D 、在11A B 同侧时，CD α⊥时面积最小、平面ABD α 时面积最大，结合正四面体的几何性质及投影性质即可求面积.【详解】四面体ABCD 的所有棱长都为1，则为正四面体，由正四面体的性质可知AB CD ⊥,正四面体的侧面上的高为2h ¢=，正四面体的高3h ==.∵棱AB 平面α，设A 、B 、C 、D 在平面α内的射影依次为1111A B C D 、、、，则111A B AB ==，i.当11C D 、在11A B 两侧时，构成的图形即为四边形1111A C B D ，此时1111A B C D ^，11h C D CD <£，即111C D <£，则所求面积即1111111111,262A B C D S A B C D ç=鬃ç棼；ii.当11C D 、在11A B 同侧或其中一点在11A B 上时，构成的图形即为111A B C △，1D 在111A B C △的高1C E 上（或1C 在111A B D 的高上，由对称性，只研究其中一种即可），其中①当平面ABD α^时，1C E h ==②当平面ABD α 时，1C E h ¢==；③当CD α⊥时，1C E 为CD 到面α的距离，即12C E ==.故122C E＃，则所求面积即11111112A B C S A B C E =鬃臌.综上，四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是,44⎥⎣⎦.故选：D 三、解答题17．已知圆C 经过(3,2)A 、(1,6)B 两点，且圆心在直线2y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．【正确答案】（１）22(2)(4)5x y -+-=；（２）250250x y x y -+=+-=或【详解】试题分析：（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦AB 的垂直平分线的方程与2y x =联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线l 斜率不存在时，与圆相切，方程为=1x -；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出k 的值.试题解析：（1）依题意知线段AB 的中点M 坐标是()2,4，直线AB 的斜率为62213-=--，故线段AB 的中垂线方程是()1422y x -=-即260x y -+=，解方程组260{2x y y x-+==得2{4x y ==，即圆心C 的坐标为()2,4，圆C 的半径r AC ==C 的方程是()()22245x y -+-=（2）若直线l 斜率不存在，则直线l 方程是1x =-，与圆C 相离，不合题意；若直线l 斜率存在，可设直线l 方程是()31y k x -=+，即30kx y k -++=，因为直线l 与圆C 相切，所以有=解得2k =或12k =-．所以直线l 的方程是250x y -+=或250x y +-=.18．如图，在三棱锥D ABC -中，平面ACD ⊥平面ABC ，AD AC ⊥，AB BC ⊥，E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.(1)求证：直线//EF 平面ABD ；(2)若直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，直线CD 与平面ABD 所成角为30°，求二面角B AD C --的大小.【正确答案】(1)证明见解析；(2)45【分析】（1）根据//EF BD 即可证明；（2）证明AD ⊥平面ABC ，BC ⊥平面ABD ，进而结合已知条件证明ABC 为等腰直角三角形，45BAC ∠= ，再根据二面角的概念求解即可.【详解】（1）证明：因为E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.所以，在BCD △中，//EF BD ，因为EF ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以，直线EF P 平面ABD（2）解：因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，AD ⊂平面ACD AD AC ⊥,所以AD ⊥平面ABC ，所以，DCA ∠是直线CD 与平面ABC 所成的角，因为直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，所以，45DCA ∠= ，所以AD AC=因为AD ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥，AD AB ⊥，因为AB BC ⊥，AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ，所以，BDC ∠是直线CD 与平面ABD 所成角，因为直线CD 与平面ABD 所成角为30°，所以30BDC ∠=o ，所以1,2BC CD BD ==，不妨设1BC =，则2,1CD BD AD AC AB =====，所以，ABC 为等腰直角三角形，45BAC ∠=因为AD AB ⊥，AD AC ⊥，所以BAC ∠是二面角B AD C --的平面角，所以二面角B AD C --的大小为4519．如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km 测得tan 3MON ∠=-，6km OA =.以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头Q 在第一象限，且三个码头A 、B 、Q 均在一条航线上.(1)求码头Q 点的坐标；(2)海中有一处景点P （设点P 在平面xOy 内，PQ OM ⊥，且6km PQ =），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标.【正确答案】(1)()42Q ，(2)(1,5)C 【分析】（1）根据已知条件，写出直线ON 方程，再求解Q 点坐标.（2）由直线AQ 的方程求解B 点坐标，进而求解AB 的直线方程.由（1）知C 为垂足，可联立直线AB 与PC 方程，即可求解C 点坐标.【详解】（1）由已知得，(6,0)A ，直线ON 方程：3y x=-设00(,2)(0)Q x x >5=及图，得04x =，()42Q ∴，.（2）直线AQ 的方程为(6)y x =--即60x y +-=由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，解得39x y =-⎧⎨=⎩，即(3,9)B -则直线AB 方程60x y +-=，点P 到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C ，因为PQ OM ⊥，且6km PQ =，()42Q ，，(4,8)P ∴，则直线PC 方程为40x y -+=联立6040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得15x y =⎧⎨=⎩轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标为(1,5).20．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11DD DA ==，2AB =，点E 在棱AB 上运动.(1)证明：11B C D E ⊥；(2)设E 为棱AB 的中点，在棱1CC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面1DEC ，若存在，求1CF CC 的值，若不存在，说明理由；(3)求直线AB 与平面1DEC 所成角的取值范围.【正确答案】(1)证明详见解析(2)存在，且112CF CC =(3)1arcsin 3⎡⎢⎣⎦【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得11B C D E ⊥.（2）根据向量法列方程，从而求得1CF CC .（3）利用向量法求得直线AB 与平面1DEC 所成角的正弦值，结合不等式的性质求得所成角的取值范围.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，()()()()1110,0,1,1,2,1,0,2,0,1,0,1D B C B C =-- ，设()1,,0,02E t t ≤≤，则()11,,1D E t =- ，111010D E B C ⋅=-++= ，所以11B C D E ⊥.（2）若E 是AB 的中点，则()1,1,0E ，()10,2,1C ，设平面1DEC 的法向量为()111,,x n y z = ，则11111020n DE x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，故可设()1,1,2n =-- ，设()0,2,,01F λλ≤≤，()()1,2,0,1,0,B BF λ=- ，若//BF 平面1DEC ，BF ⊄平面1DEC ，则1120,2n BF λλ⋅=-== ，所以F 是1CC 的中点，所以112CF CC =.（3）()0,2,0AB = ，设()1,,0,02E t t ≤≤，设平面1DEC 的法向量为()222,,m x y z = ，则22122020m DE x ty m DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，故可设(),1,2m t =-- ，设直线AB 与平面1DEC 所成角为π,02θθ≤≤，则2221sin 255m AB m AB t t θ⋅===⋅⨯++ ，由于22202,04,559,553t t t t ≤≤≤≤≤+≤≤+≤，所以2115sin ,355t θ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，所以15arcsin ,arcsin 35θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.21．已知椭圆22:142x y C +=，过动点()()0,0M m m >的直线l 交x 轴于点N ，交C 于点A 、P （P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .设()11,A x y 、()22,B x y (1)若点N 的坐标为()2,0-，求PNQ V 的周长；(2)设直线PM 的斜率为k ，QM 的斜率为k '，证明：k k'为定值；(3)求直线AB 倾斜角的最小值.【正确答案】(1)8(2)证明见解析(3)直线AB倾斜角的最小值为arctan 2【分析】（1）利用椭圆C 的标准方程和点N 的坐标，结合题中条件可得PNQ V 为焦点三角形，周长为4a ；（2）设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由(0,)(0)M m m >，可得02(),P x m ，0,2()Q x m -，求出直线PM 的斜率，QM 的斜率，推出k k'为定值．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．直线PA 的方程为y kx m =+直线QB 的方程为3y kx m =-+，联立方程椭圆与椭圆方程，利用韦达定理，求解AB 坐标，然后求解AB 的斜率的表达式，利用基本不等式求解斜率的最小值，即可得到直线AB 倾斜角的最小值．【详解】（1）椭圆22:142x y C +=，由方程可知，椭圆两焦点坐标为()，若点N的坐标为()，点N 为左焦点，点()0,M m 是线段PN 的中点，故点P的坐标为)m ，PQ 垂直于x 轴，则PQ 与x 轴交点为椭圆右焦点，可得PNQ V 的周长为点P 到两焦点距离之和加上点Q 到两焦点距离之和，,P Q 都在椭圆上，所以PNQ V 的周长为8.（2）证明：设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由(0,)(0)M m m >，可得02(),P x m ，0,2()Q x m -，所以直线PM 的斜率002m m m k x x -==，QM 的斜率0023m m m k x x '--==-，所以0033mk x m k x -'==-，所以k k'为定值．（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+，联立方程2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理得222(21)4240k x mkx m +++-=，根据根与系数可得20122421m x x k -=+，可得21202(2)(21)m x k x -=+，所以211202(2)(21)k m y kx m m k x -=+=+，同理222222002(2)6(2),(181)(181)m k m x y m k x k x ---==+++，所以22222122220002(2)2(2)32(2)(181)(21)(181)(21)m m k m x x k x k x k k x -----==++++，22222122220006(2)2(2)8(61)(2)(181)(21)(181)(21)k m k m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++，所以221216111644ABy y kk kx x k k-+⎛⎫===+⎪-⎝⎭．由0m>，00x>，可得0k>，所以16kk+≥16kk=，即6k=时，取得等号，=m=所以直线AB斜率的最小值为2AB倾斜角的最小值为arctan2．。
高二数学第一学期期末考试试卷理科(江苏苏州中学)
江苏省苏州中学２００５～２００６学年度第一学期期末考试 高二数学 一、选择题 １．椭圆221167ｙｘ？？上的点Ｍ到左准线的距离为53，则点Ｍ到左焦点的距离为 （ ） Ａ．８ Ｂ．５ Ｃ．274 Ｄ．54 ２．直线1ｙｋｘ？？与双曲线221ｘｙ？？有且仅有一个公共点，则ｋ的取值为 （ ） Ａ．一切实数 Ｂ．1？或2？ Ｃ．2？ Ｄ．1？ ３．动点Ｍ在抛物线221ｘｙ？？移动，则点(01)Ａ？，与点Ｍ的连线中点的轨迹方程为 （ ） Ａ．23ｙｘ？ Ｂ．281ｙｘ？？ Ｃ．24ｙｘ？ Ｄ．241ｙｘ？？ ４．椭圆22221ｙｘａｂ？？（0ａｂ？？）的顶点(0)Ａａ，，(0)Ｂｂ，，焦点(0)Ｆｃ？，，若90ＡＢＦ？？？，则椭圆的离心率等于 Ａ．512？ Ｂ．152？？ Ｃ．152？ Ｄ．22 ５．圆1Ｃ：22460ｘｙｘｙ？？？？与圆2Ｃ：2260ｘｙｘ？？？的交点为ＡＢ，，则ＡＢ的垂直平分线的方程为 （ ） Ａ．30ｘｙ？？？ Ｂ．250ｘｙ？？？ Ｃ．390ｘｙ？？？ Ｄ．4370ｘｙ？？？ ６．与圆Ｃ：22(5)3ｘｙ？？？相切，且纵截距和横截距相等的直线共有 （ ） Ａ．２条 Ｂ．３条 Ｃ．４条 Ｄ．６条 ７．已知抛物线1Ｃ：22ｙｘ？与抛物线2Ｃ关于直线ｙｘ？？对称，则抛物线2Ｃ的准线方程是 （） Ａ．18ｘ？ Ｂ．12ｘ？ Ｃ．18ｘ？？ Ｄ．12ｘ？？ ８．设0ａｂ？，则不论ｋ取何值，直线1ｂｘａｙｋ？？与直线ｂｘａｙｋ？？的交点一定在 （ ） Ａ．一个圆上 Ｂ．椭圆上 Ｃ．双曲线上 Ｄ．抛物线上 ９．将４个不同的小球放入编号为１，２，３，４的四个盒子中，恰好有一个空盒的方法数为 （） Ａ．９６ Ｂ．１４４ Ｃ．２４４ １０．现有８名同学，从中选出２名男生和１名女生分别参加“资源”、“生态”、“环保”三个夏令营活动，已知共有９０种不同的入选方法，那么８名同学中，男生和女生的人数分别为（） 二、填空题 １１．８个人站成一排，甲、乙两人之间恰有４个人的排法总数为 （结果用数字回答）． １２．用１，２，３，４，５这５个数字组成没有重复数字的三位数，共有 个，其中偶数有 个（结果用数字回答）． １３．设12ＦＦ，是双曲线22221ｙｘａｂ？？的两个焦点，离心率为52，Ｐ是双曲线上一点，若1290ＦＰＦ？？？，121ＦＰＦＳ？？，则双曲线的渐近线方程是 ，该双曲线方程为 ． １４．已知点()Ｐｘｙ，在曲线2cos 2sin ｘｙ？？？？？？？？（？为参数），则32ｘｙ？？？的最大值为 ． １５．把椭圆221259ｙｘ？？绕左焦点按顺时针方向旋转90？，则所得椭圆的准线方程为 ． 三、解答题 １６．“渐升数”是指从左边第二位起每个数字都比前面的数字大的正整数，如１２５，２３４７８等． ⑴问五位“渐升数”有多少个； ⑵首位为“１”（即１××××）的“渐升数”有多少个； ⑶前两位为“２３”（即２３×××）的“渐升数”有多少个； ⑷若把五位“渐升数”按从小到大的顺序排列，第１００个数为多少？ （以上结果均用数字回答）． １７．已知椭圆的中心在原点，焦点12ＦＦ，在ｘ轴上，Ｐ为椭圆上一点，1453ＰＦ？，2253ＰＦ？，且过点Ｐ作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． １８．已知曲线22116ｙｘｍｍ？？？． ⑴当曲线是椭圆时，求ｍ的取值范围，并写出焦点坐标； ⑵当曲线是双曲线时，求ｍ的取值范围，并写出焦点坐标． 二、填空题 １１．８个人站成一排，甲、乙两人之间恰有４个人的排法总数为 （结果用数字回答）． １２．用１，２，３，４，５这５个数字组成没有重复数字的三位数，共有 个，其中偶数有 个（结果用数字回答）． １３．设12ＦＦ，是双曲线22221ｙｘａｂ？？的两个焦点，离心率为52，Ｐ是双曲线上一点，若1290ＦＰＦ？？？，121ＦＰＦＳ？？，则双曲线的渐近线方程是 ，该双曲线方程为 ． １４．已知点()Ｐｘｙ，在曲线2cos 2sin ｘｙ？？？？？？？？（？为参数），则32ｘｙ？？？的最大值为 ． １５．把椭圆221259ｙｘ？？绕左焦点按顺时针方向旋转90？，则所得椭圆的准线方程为 ． 三、解答题 １６．“渐升数”是指从左边第二位起每个数字都比前面的数字大的正整数，如１２５，２３４７８等． ⑴问五位“渐升数”有多少个； ⑵首位为“１”（即１××××）的“渐升数”有多少个； ⑶前两位为“２３”（即２３×××）的“渐升数”有多少个； ⑷若把五位“渐升数”按从小到大的顺序排列，第１００个数为多少？ （以上结果均用数字回答）． １７．已知椭圆的中心在原点，焦点12ＦＦ，在ｘ轴上，Ｐ为椭圆上一点，1453ＰＦ？，2253ＰＦ？，且过点Ｐ作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． １８．已知曲线22116ｙｘｍｍ？？？． ⑴当曲线是椭圆时，求ｍ的取值范围，并写出焦点坐标； ⑵当曲线是双曲线时，求ｍ的取值范围，并写出焦点坐标． 二、填空题 １１．８个人站成一排，甲、乙两人之间恰有４个人的排法总数为 （结果用数字回答）． １２．用１，２，３，４，５这５个数字组成没有重复数字的三位数，共有 个，其中偶数有 个（结果用数字回答）． １３．设12ＦＦ，是双曲线22221ｙｘａｂ？？的两个焦点，离心率为52，Ｐ是双曲线上一点，若1290ＦＰＦ？？？，121ＦＰＦＳ？？，则双曲线的渐近线方程是 ，该双曲线方程为 ． １４．已知点()Ｐｘｙ，在曲线2cos 2sin ｘｙ？？？？？？？？（？为参数），则32ｘｙ？？？的最大值为 ． １５．把椭圆221259ｙｘ？？绕左焦点按顺时针方向旋转90？，则所得椭圆的准线方程为 ． 三、解答题 １６．“渐升数”是指从左边第二位起每个数字都比前面的数字大的正整数，如１２５，２３４７８等． ⑴问五位“渐升数”有多少个； ⑵首位为“１”（即１××××）的“渐升数”有多少个； ⑶前两位为“２３”（即２３×××）的“渐升数”有多少个； ⑷若把五位“渐升数”按从小到大的顺序排列，第１００个数为多少？ （以上结果均用数字回答）． １７．已知椭圆的中心在原点，焦点12ＦＦ，在ｘ轴上，Ｐ为椭圆上一点，1453ＰＦ？，2253ＰＦ？，且过点Ｐ作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． １８．已知曲线22116ｙｘｍｍ？？？． ⑴当曲线是椭圆时，求ｍ的取值范围，并写出焦点坐标； ⑵当曲线是双曲线时，求ｍ的取值范围，并写出焦点坐标． (82)ＭＱｙ？？？？？？，，(22)ＰＱｘｙ？？？？？？，． ∵ ＭＱＰＱ？？？？？？？？？？，∴21640ｘｙ？？？． ∴动点Ｎ的轨迹方程为24ｙｘ？． ⑵设11()Ａｘｙ，，22()Ｂｘｙ，，则11()Ｄｘｙ？，． 由ＨＡＨＢ？？？？？？？？？？，知1122(1)(1)ｘｙｘｙ？？？？，，， 即11121(1)ｘｘｙｙ？？？？？？？？？①② 要证明ＦＤＦＢ？？？？？？？？？？？，只要证明1122(1)(1)ｘｙｘｙ？？？？？？，，， 即只要证明11121(1)ｘｘｙｙ？？？？？？？？？？？③④ 由②知④成立． 由①知，要证③，只要证112211(1)1ｘｘｘｘ？？？？？？． 只要证1212(1)(1)(1)(1)0ｘｘｘｘ？？？？？？，只要证121ｘｘ？． ∵ＡＢ过点(10)Ｈ？，，∴可设直线ＡＢ的方程为(1)ｙｋｘ？？， 代入24ｙｘ？，并整理得 2222(24)0ｋｘｋｘｋ？？？？． 由韦达定理，知21221ｋｘｘｋ？？． ∵③，④都成立，∴ＦＤＦＢ？？？？？？？？？？？． ⑶设233()4ｙＥｙ，，244()4ｙＥｙ，，则 直线ＥＫ的方程为 34344()0ｘｙｙｙｙｙ？？？？． ∵ＥＫ过点(10)Ｆ，，∴34400ｙｙ？？？，∴344ｙｙ？？． ∵Ｇ与Ｅ关于ｘ轴对称，∴233()4ｙＧｙ？，． ∴直线ＧＫ的方程为34344()0ｘｙｙｙｙｙ？？？？？， ∵344ｙｙ？？，∴ＧＫ的方程为344()40ｘｙｙｙ？？？？？， ∴ 直线ＧＫ过定点(10)？，． 。
苏州市高二(上)期末数学试卷
2016-2017学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每题5分，共70分）1．（5分）命题“?x∈R，x2＞9”的否认是．2．（5分）抛物线y2=2x的焦点坐标为．3．（5分）过点P（0，1），且与直线2x+3y﹣4=0垂直的直线方程为．4．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0与两条坐标轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则△ABO的面积等于．．（分）函数3﹣2x2+x的单一递减区间为．55y=x6．（5分）“m=﹣1”是“直线l1：mx﹣2y﹣1=0和直线l2：x﹣（m﹣1）y+2=0相互平行”的条件．（用“充足不用要”，“必需不充足条件”，“充要”，“既不充足也不用要”填空）7．（5分）函数y=x2﹣x﹣lnx在区间[1，3]上的最小值等于．8．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，则以下结论：①AD∥平面PBC；②平面PAC⊥平面PBD；③平面PAB⊥平面PAC；④平面PAD⊥平面PDC．此中正确的结论序号是．9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0上存在两个不一样的点对于直线x+ay﹣1=0对称，过点A（﹣4，a）作圆C的切线，切点为B，则|AB|=．10．（5分）已知圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，若圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为，则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为．11．（5分）已知函数在区间（m，m+2）上单一递减，则实数m的取值范围为．12．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：ax+y+2=0和点A（﹣3，0），若直线l上存在点M知足MA=2MO，则实数a的取值范围为．13．（5分）在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是．14．（5分）已知F是椭圆的左焦点，A，B为椭圆C的左、右极点，点P在椭圆C上，且PF⊥x轴，过点A的直线与线段PF交与点M，与y轴交与点E，直线BM与y轴交于点N，若NE=2ON，则椭圆C的离心率为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必需的文字说明或推理、验算过程. 15．（14分）已知圆M的圆心在直线y=﹣x上，且经过点A（﹣3，0），B（1，2）．（1）求圆M 的方程；（2）直线l与圆M相切，且l在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍，求直线l的方程．16．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，平面CDD1C1⊥平面ABCD，E，F分别是CD，AB的中点，求证：（1）AD⊥CD；（2）EF∥平面ADD1A1．17．（14分）从旅行景点A到B有一条100km的水道，某轮船企业开设一个游轮参观项目．已知游轮每小时使用燃料花费与速度的立方成正比率，其余花费为每小时3240元，游轮最大时速为50km/h，当游轮的速度为10km/h时，燃料花费为每小时60元，设游轮的航速为vkm/h，游轮从A到B一个单程航行的总花费为S元．（1）将游轮从A到B一个单程航行的总花费 S表示为游轮的航速v的函数S=f（v）；（2）该游轮从A到B一个单程航行的总花费最少时，游轮的航速为多少，并求出最小总花费．18．（16分）已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0）上的左、右极点分别为A，B，F1为左焦点，且|AF1，又椭圆C 过点．|=2（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2上（点，B 除外），设直线，QB的斜率分别=16A PB为k1，k2，若k1=，证明：A，P，Q三点共线．19．（16分）已知函数（fx）=a（x﹣1）﹣lnx（a为实数），g（x）=x﹣1，h（x）=．（1）当a=1时，求函数f（x）=a（x﹣1）﹣lnx在点（1，f（1））处的切线方程；（2）议论函数f （x）的单一性；（3）若h（x）=f（x），务实数a的值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=t（1＜t＜2）上一点．（1）已知t=．①若点P在第一象限，且OP=，求过点P的圆O的切线方程；②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（2）设直线l与x轴交于点M，线段OM的中点为Q，R为圆O上一点，且RM=1，直线RM与圆O 交于另一点N，求线段NQ长的最小值．第二卷（附带题.每题10分。
江苏省苏州市高二上学期期末数学试卷
江苏省苏州市高二上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在直角坐标平面内，已知点，动点M满足条件：，则点M的轨迹方程是（）．A .B .C .D .2. （2分）直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，则a等于（）A . 0B . ﹣20C . 0或﹣20D . 0或﹣103. （2分）若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A . （0，+∞）B . （0，2）C . （1，+∞）D . （0，1）4. （2分）如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限5. （2分） (2015高二上·西宁期末) 椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A .B .C . 2D . 46. （2分） (2015高二上·西宁期末) 若直线l1：ax+3y+1=0与l2：2x+（a+1）y+1=0互相平行，则a的值是（）A . ﹣3B . 2C . ﹣3或2D . 3或﹣27. （2分） (2015高二上·西宁期末) 平行于直线2x﹣y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A . 2x﹣y+5=0B . x2﹣y﹣5=0C . 2x+y+5=0或2x+y﹣5=0D . 2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=08. （2分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tanθ的值等于（）B .C .D .9. （2分）当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为（）A . ﹣2x+4y=0B . +2x+4y=0C . +2x﹣4y=0D . ﹣2x﹣4y=010. （2分） (2015高二上·西宁期末) 圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个11. （2分） (2016高一下·厦门期中) 过三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A .B .C .12. （2分） (2015高二上·西宁期末) 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 ________．14. （1分） (2016高二下·卢龙期末) 双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为________．15. （1分）已知在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)，则点D的坐标为________．16. （1分）已知双曲线过点且渐近线方程为2x±y=0，则该双曲线的标准方程为________．三、解答题 (共8题；共80分)17. （5分）(2017·大连模拟) 如图，已知过抛物线E：x2=4y的焦点F的直线交抛物线E与A、C两点，经过点A的直线l1分别交y轴、抛物线E于点D、B（B与C不重合），∠FAD=∠FDA，经过点C作抛物线E的切线为l2 ．（Ⅰ）求证：l1∥l2；（Ⅱ）求三角形ABC面积的最小值．18. （10分） (2019高二下·闵行期末) 如图，圆锥的展开侧面图是一个半圆，、是底面圆O的两条互相垂直的直径，D为母线的中点，已知过与D的平面与圆锥侧面的交线是以D为顶点、为对称轴的抛物线的一部分．（1）证明：圆锥的母线与底面所成的角为；（2）若圆锥的侧面积为，求抛物线焦点到准线的距离．19. （15分） (2016高二上·抚州期中) 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是A1B1、A1A的中点．（1）求的长；（2）求cos（• ）的值；（3）求证A1B⊥C1M．20. （10分）(2020·鹤壁模拟) 已知动点到直线的距离比到定点的距离大1.（1）求动点的轨迹的方程.（2）若为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，，切点为，，为的中点.①求证：轴；②直线是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.21. （15分）(2020·天津模拟) 如图，在四棱锥P一ABCD中，已知，点Q为AC中点，底面ABCD, ，点M为PC的中点.（1）求直线PB与平面ADM所成角的正弦值；（2）求二面角D-AM-C的正弦值；（3）记棱PD的中点为N，若点Q在线段OP上，且平面ADM，求线段OQ的长.22. （10分） (2019高一下·滁州期末) 如图,在直三棱柱ABC- 中,AB=AC,P为的中点,Q为BC 的中点。
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201６—2０17学年第一学期期末考试试卷
高二数学
第一卷 20１
7.01
一、填空题:（本大题共１4小题，每小题5分，共70分)
1. 命题2",9"x R x ∃∈>的否定是 ．
2. 抛物线22y x =的焦点坐标为 .
3.过点()0,1P ，且与直线2340x y +-=垂直的直线方程为 ．
4．直线34120x y --=与两条坐标轴分别交于点A,B ，O 为坐标原点,则ABO ∆的面积等于 .
5．函数322y x x x =-+的单调递减区间为 ．
6.“1m =-”是“直线1:210l mx y --=和直线()2:120l x m y --+=相互平行”的 条件.（用“充分不必要”,“必要不充分条件”,“充要”，“既不充分也不必要”填空)
７.函数2ln y x x x =--在区间[]1,3上的最小值等
于 .
8.如图，四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,底面
ABCD 为正方形，则下列结论:
①//AD 平面PBC ；
②平面PAC ⊥平面PBC ;
③平面PAB ⊥平面PAC ;
④平面PAD ⊥平面PDC .
其中正确的结论序号是 .
9.已知圆22:4210C x y x y +--+=上存在两个不同的点关于直线10x ay +-=对称，过点()4,A a -作圆C 的切线,切点为B ，则AB = .
1０.已知圆柱甲的底面半径Ｒ等于圆锥乙的底面直径,若圆柱甲的高为R,圆锥乙
,则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为 ． 11.已知函数()2
3x x f x e
-=在区间(),2m m +上单调递减，则实数m 的取值范围为 .
12．在平面直角坐标系xoy 中,已知直线:20l ax y ++=和点()3,0A -,若直线l 上存在点M 满足MA ＝2MO,则实数a 的取值范围为 .
13.在平面直角坐标系xoy 中，直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线,则当0a >时，实数b 的最小值是 .
14.已知F 是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左焦点,Ａ，B 为椭圆C 的左、右顶点，点Ｐ在椭圆C 上,且PF x ⊥轴,过点A 的直线与线段ＰF 交与点M ，与轴交与点Ｅ,直线B Ｍ与y 轴交于点N,若N Ｅ=2ON ，则椭圆C 的离心率为 ．
二、解答题：本大题共6小题,共90分．解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程． 1５.(本题满分1４分)
已知圆M 的圆心在直线y x =-上,且经过点()()3,0,1,2.A B -
（1)求圆M 的方程；
(2）直线l 与圆M 相切，且l 在y 轴上的截距是在x 轴上截距的两倍,求直线l 的方程.
1６．(本题满分14分）如图，四棱柱
1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为矩形,平面
11CDD C ⊥平面ABCD ，,E F 分别是,CD AB 的中
点,求证：
(１)AD CD ⊥;
（2)//EF 平面11ADD A .
１7.(本题满分14分)
从旅游景点A 到B 有一条１00k ｍ的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目.已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时324０元,游轮最大时速为５0km/h,当游轮的速度为10k ｍ/h 时,燃料费用为每小时６0元,设游轮的航速为vkm/h,游轮从A 到B 一个单程航行的总费用为Ｓ元．
（1）将游轮从A 到B 一个单程航行的总费用Ｓ表示为游轮的航速v 的函数()S f v =;
（2)该游轮从A 到B 一个单程航行的总费用最少时,游轮的航速为多少，并求出最小总费用.
18．（本题满分１6分）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左右顶点分别为A,B,1F 为左焦点，且12AF =,又椭圆C 过点(0,23.
(1)求椭圆C 的方程；
（２)点Ｐ和Q 分别在椭圆C 和圆222x y a +=上(点A,B 除外），设直线P Ｂ,ＱB 的斜率分别为12,k k ，若1234
k k =
，证明:A,P,Q 三点共线.
１9.(本题满分16分）
已知函数()()1ln f x a x x =--(a 为实
数),()()()()()()()(),1,,g x f x g x g x x h x f x f x g x <⎧⎪=-=⎨≥⎪⎩. (１）当1a =时，求函数()()1ln f x a x x =--在点()()1,1f 处的切线方程;
（2)讨论函数()f x 的单调性；
（３)若()()h x f x =，求实数a 的值.
20.（本题满分16分）
在平面直角坐标系xoy 中，圆22:1O x y +=，P 为直线()12x t t =<<上一点.
（1）已知43
t =. ①若点P 在第一象限,且53
OP =,求过点P 的圆Ｏ的切线方程； ②若存在过点P 的直线交圆Ｏ于点Ａ,B,且Ｂ恰为线段A Ｐ的中点，求点P 纵坐标的取值范围;
（2)设直线l 与x 轴交与点M,线段OM 的中点为Q ，R 为圆O 上一点,且R Ｍ=1，直线RM 与圆Ｏ交于另一点N,求线段NQ 长的最小值.
2016—２0１7学年第一学期期末考试试卷
高二数学
第二卷(附加题）
2１.（本小题满分10份)
求曲线()2x x f x e =
在2x =处的切线与x 轴交点A 的坐标.
2２.(本小题满分１0份)
已知点P 是圆221x y +=上的一个动点，定点()1,2M -,Q 是线段PM 延长线上的一点,且2PM MQ =，求点Q 的轨迹方程.
23.(本小题满分10份)
如图所示，在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ，,//,2,1AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====,点E 为棱ＰC 的中点，在如图所示的空间直角坐标系中,
(1）求直线ＢE 与平面ＰBD 所成角的正弦值；
(2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值．
２4.(本小题满分10份)
如图，已知抛物线24y x =，过点()2,0P 做斜率分别12,k k 为的两条直线,与抛物线
相交于点A,B和C，D,且M,N分别是AB,CＤ的中点
（1）若
120
k k
+=,2
AP PB
=,求线段MN的长；
（2）若
121
k k⋅=-，求PMN
∆面积的最小值.。