16-4 简谐振动的合成

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2、简谐振动的合成

2、简谐振动的合成

A A1 A2
x
x1 A1 cos t x2 A2 cos(ωt π ) x x ( A2 A1 ) cos(ωt π)
o 2
A 2
A1
o
T
t
A
1) 相位相同 φ2 φ1 或 Δφ φ2 φ1 0
A A1 A2
相互加强
x A cos( t 1 ) A cos( t 2 ) 2) 相位相反 Δφ φ2 φ1 π
此结论对讨论各种波的干射、衍射极为有用。
二、 两个同方向不同频率简谐振动的合成 x1 A1 cos 1t A1 cos 2 π 1t
x2 A2 cos 2t A2 cos 2 π 2t
讨论 A1 A2 ,
x x1 x2
2 1 1 2 的情况
x y 2 1 2 A1 A2
π y A2 cos( t ) 2 0 质点沿顺时针方向运动
2 2
y
A1
A2
o
x
A2 y

x A1 cos t
o
A1
x
2 质点沿逆时针方向运动
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
两 相 互 简 垂 振 直 动 同 的 频 合 率、 成 不 图 同 相 位
1 1 可见 π ( 2 1 )T拍 ∴ T拍 2 1 拍
拍 2 1
拍频(振幅变化的频率)
注意:书上的拍频写成,此处的拍频写成拍
2 1 1 2
( 1 2 ) / 2 1 2 , 1 2
(C)
3k / m /( 2π )

简谐振动的合成

简谐振动的合成

简谐振动的合成
琴弦能发出悠长悦耳的声波,实际上是琴弦上若干种频率振动的合成.若有两列波同时在空间传播,则在相遇区域内,各体元的振动是这两列波在该处引起的振动的合成.
(一)同方向同频率简谐振动的合成
设质点参与同方向同频率的两个简谐振动
X1=A1cos(wt+a1),
X2=A2cos(wt+a2),
式子中x1,x1,A1,A2以及a1,a2分别表示两个振动的位移、振幅和初相位,w0表示它们共同的频率,因两分振动在同方向上进行,故质点合位移等于分位移的代数和:X=x1+x2
=A1cos (w0t+a1)+A2cos (w0t+a2)
将余弦函数展开再重新并项,得
X=(A1 cosa1+A2 cosa2)cosw0t-(A1sina1+A2sina2)sin w0t
式中A1 、A2、a1、a2都是决定的常数,将它们记作Acosa和Asina
于是
X=Acosacosw0t-Asinasinw0t
=Acos(w0t+a)
可见,同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为简谐振动,其频率与分振动频相同。

简谐振动的合成

简谐振动的合成

ω2 − ω1 = 2 A cos t cos(ω1t + ϕ ) 2 随t变化缓慢 变化缓慢 随t变化较快 变化较快 合振动不是谐振动。 合振动不是谐振动。
x1
t
x2
t
t
v ω2 A2
x
ω v
ω1 v A 1
理解: 理解:旋转 矢量合成法
A
x
o
x2
x1
x
两 相 互 垂 直 同 频 率 不 同 相 位 差
其合振动的振幅出现时而加强时而减弱的现象-- 拍 其合振动的振幅出现时而加强时而减弱的现象 “拍”。 设 ω1 ≈ ω 2 A1 = A2 = A,
x1 = A cos(ω1t + ϕ )
x 2 = A cos(ω 2t + ϕ )
合成后 x = x1 + x 2 = A cos(ω1t + ϕ ) + A cos(ω 2t + ϕ ) ω2 − ω1 ω2 + ω1 = 2 A cos t cos t +ϕ 2 2
o
ω v A
v A 3 ϕ3
v A 2
v ϕ1 A 1
ϕ ϕ2
x
例:两同方向、同频率谐振动合成, 两同方向、同频率谐振动合成,
x1 = 4 cos 3t
不变, 解:合成后ω不变,
x 2 = 2 cos(3t + π / 3)
求:合成谐振动方程
x = A cos(3t + ϕ )
A=
A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = 2 7 A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 tgϕ = A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2

大学物理教程3.2 简谐振动的合成

大学物理教程3.2 简谐振动的合成

Ay tg = A x
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
3. 两种特殊情况
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(2 - 1 )
(1)若两分振动同相
2- 1=0(2k,k=0,1,2,…)
x =A cos( t+ )
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
x =A cos( t+ )
由图知:
Ax = A1cos1 + A2cos2 Ay = A1sin1 + A2sin2 由: A2 = Ax2 + Ay2
y Ay
A A2

o
1
A1 A
x
2
x
2 2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 - 1 )
x1 4 cos 3t cm x2 2 cos(3t π) cm
求合成振动的振幅、初相位和振动表达式。
解 这两个谐振动的频率相同 3rad s ,振动方向相 同。所以它们的合成振动仍然是在x方向的、具有相同频 率的简谐振动。
-1
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
由于这两个振动反相,因此在旋转矢量图上,振幅矢 量 A1 和 A2 的方向始终相反,而合矢量 A 沿 A1 方向。
A 的模,即合成振动振幅为
A (4 - 2) 2
合振动的初相
1 0
x 2cos 3t cm
合振动的表达式为
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
二 同方向不同频率的简谐振动的合成 拍

第二节 两个简谐振动的合成

第二节  两个简谐振动的合成

A12 A22 2A1A2 cos(02 01)
A A12 A22 2A1A2 cos
[注:cos( ) cos cos sin sin ]
A值的讨论,有三种情况:
(1) 2k
cos 1
A A1 A2
A值最大
(2) (2k 1) cos 1
A A1 A2 (3) 为其它值
波器显示屏上出现合成结果的图形,见右图。求x ?
解:
x y
m n
Y方向切点数 X方向切点数
x 3 x y 2 1000
x 1500 Hz
本节小结
同方向
1
2
简谐振动 A A12 A22 2A1A2 cos
同方向 1 2 拍 2 1
垂直方向
x m y n
李萨如图
x y
两个简谐振动的步调比较
同相:若两个简谐振动的频率相同、初相位相同,则两个简谐 振动的位移同时达到最大和最小。
x
1
2
t3
t1
t2
t4
t
0 ,同相
反相:若两个简谐振动的频率相同、初相位相差π,则一个振
动到达最大位移处时,另一个振动到达反向最大位移处。
1
x
t1
t2
t3
t4
t
2
,反相
超前与落后:若两个简谐振动的频率相同,初相位之差为
Y2 B2
1
X 0 t1 0 Y B
t2
2
X A Y 0
X 0 t3 Y B
t4
3 2
X A Y 0
t4 t3
t2
t1 Y超前π/2
右旋振动
t1 t2
t3
t4 Y落后π/2

大学物理,机械振动16-4 简谐振动的合成

大学物理,机械振动16-4 简谐振动的合成

o A1 A2 A3 A4 A5 x
A Ai NA0
A
(k 0,1,2,) 2) N 2k 'π
A5

A4 A
i

3
(k ' kN , k ' 1,2,)
N个矢量依次相接构
成一个闭合的多边形。
O A6
2 1
1t 1
A
1 A1
o
x2
x1
x
x
A12 A22 2 A1 A2 cos
1 2 0
2π ( 2 1 )t
20
( 2 1 )t ( 2 1 )
16.4 简谐振动的合成
A A12 A22 2 A1 A2 பைடு நூலகம்os
11
16.4 简谐振动的合成
* 多个同方向同频率简谐运动的合成
第16章 机械振动
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) xn An cos(t n )

A A 3
x x1 x2 xn
x A cos(t )
x A cos(t )
两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐 运动,且其方向和频率与原来相同。
2
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x x1 x2
解 析 法
A1 cos t 1 +A2 cos t 2 A1 cos 1 A2 cos 2 cos t A1 sin 1 A2 sin 2 sin t
随 t 变化缓慢 随 t 变化较快 由于振幅是周期性变化的,所以合振 动不再是简谐振动。 讨论

大学物理-14 简谐振动的合成

大学物理-14 简谐振动的合成

1 2
2
Δ 1 2

2 A0
cos 1
2
2
t

cos 1 2 t
2
随时间变化缓慢得多,
将合成式写成谐振动形式 x A(t)cos t
合振动的振幅
A(t )
2 A0
cos 1
2
2
t
合振动可看做是振幅缓慢、周期变化的谐振动
x
[2
A0
cos
1
2
2
t ]cos
1
2
2
t
1
1

2
2
/22))cos(
t
N 2
1
)
(1) 如果各分振动的初相相同,即 0,则有
sin N
A
A lim a
0
2
sin
Na
o
A1
A2
A3 A4
A5
x
0
2 合振幅最大 同相 A Na
(2) N 2kπ
A4
A3
(k' 1,2,, 但k' kN ) A5
A2
A0
O
A6
A1
x
二、振动方向相同、频率略有差别、振幅相等
(同频率或不同频率)
消去参数 t ,得合运动的轨迹方程: 椭圆方程
x2 A12
y2 A22
2
x A1
y A2
cos(
2
1 ) sin2 (2
1)
一般而言,合振动轨迹为椭圆。椭圆的性质
(方位、长短轴、左右旋)在 A1、A2确定之
后,主要取决于相位差 Δ 2 1
x2 A12
y2 A22

简谐振动的合成

简谐振动的合成
8
合成振动表达式:
x(t ) A cos(1t ) A cos( 2 t )
( 2 1 t ) ( 2 1 )t 2 A cos cos[ ] 2 2
当 1与 2 都很大,且相差甚微时,可将 | 2 A cos( 2 1 )t / 2 |视为振幅变化部分, 合成振动是以 ( 2 1 ) / 2 为角频率的谐振动。
17
2 1 0
2 1

4
2 1

2
3 2 1 4

5 4
3 2
7 4
18
2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比,
合成运动的轨道是封闭曲线,运动也具有 周期。这种运动轨迹的图形 称为李萨如图形。 用李萨如图形 在无线电技术 中可以测量频 率:
4
上面得到:
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
讨论一:
A1 sin 1 A2 sin 2 arctg A1 cos1 A2 cos 2
k 0,1,2,
合振幅最大。
2 1 2k
A A1 A2
当 A1 A2 称为干涉相长。
2
2 2 0 x 0 令k m 0 x 2 T 0 x(t ) A cos( 0 t 0 )
g 0 g mgl sin 0 2 l l I 为m绕O点转动的转动惯量 O mgh sin I mgh 2 C 0 mgh 0 I I 简谐振动的能量 * 任一简谐振动总能量 mg
x2 y2 2 xy 2 2 cos sin 2 A1 A2 A1 A2
上式是个椭圆方程,具体形状由 ( 20 10 )相位差决定。 质点的运动方向与 有关。当 0 时, 质点沿顺时针方向运动;当 2 时, 质点沿逆时针方向运动。 当 A1 A2 时,正椭圆退化为圆。

简谐振动的合成

简谐振动的合成
25 第17章 振 动
则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱, 当 A1=A2 时, A=0 旋转矢量法处理谐振动的合成

x x1 x2
A2
A
A cos( t )
A A A 2 A1 A2 cos(2 1 )
2 1 2 2
2
O

A1
2 1
1
x
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
A1 cos(t x )
y
A2
O
A2 cos(t y )
x2 y2 x y 2 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) A1 A2 A12 A2
即 合成的一般结果是椭圆。 1) y x 0 A2 x A1
y
x 0, y 0 y
1 m ,m, n 2 n
合成轨迹为稳定的闭合曲线—李萨如图
y A 1
x x x y y y
达到最大的次数 达到最大的次数
-A2
0
A2
x 3 例如左图: y 2 x
应用:测定未知频率 周期T是多少? 太阳系的稳定性问题
第17章 振 动
- A1
15
小结 (谐振动合成)
(偏振光干涉的理论基础)
b) Δ π
A2
y


o


y

π c) Δ y 2
A1
x
A1 tan A2



x
正椭圆 若 A A2 1
x
0
Δ π
振动方向旋转 2 太阳光非偏振光 偏振片->线偏振光

同方向、不同频率的简谐振动的合成

同方向、不同频率的简谐振动的合成
合振幅 Acos cost Asin sin t
的仍 简然 谐是 振同 动频 。率
Acos(t )
3
式中:
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
可见:
2 1 2k
k 0,1,2,
A A1 A2
2Acos (2 1)t cos[ (2 1)t ]
2
2
当1与2 都很大,且相差甚微时,可将
| 2Acos(2 1)t / 2 | 视为振幅变化部分,
合成振动是以 (2 1) / 2 为角频率的谐振动。
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定, 即振动忽强忽弱,所以它是近似的谐振动.
这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。 10
arctg A1 sin 1 A2 sin 2
讨论一:
A1 cos1 A2 cos2
2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 合振幅最大。
当 A1 A2 称为干涉相长。
A A2
A 2A1
A1
6
讨论二:
2 1 (2k 1)
k 0,1,2,
A2
A | A1 A2 |
A
1动、的2相位1 差0在视缓为慢同地频变率化的,合所成以,质不点过运两动个的振轨
道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。
当 0 2 1 时是顺时针转;
sin(
20
10 )
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程,具体形状由
(20 10) 相位差决定。
质点的运动方向与 有关。当 0 时,

简谐振动的合成

简谐振动的合成

(A1 sin1 A2 sin2 )sint
合振幅
令: A1 cos1 A2 cos2 Acos 代入上式:
A1 sin1 A2 sin2 Asin
2
x ( A1 cos1 A2 cos2)cost (A1 sin1 A2 sin2 )sint
Acos cost Asin sint Acos(t ) x Acos(t )
x1(t) a cost
M aN
x2 (t) a cos(t ) x3(t) a cos(t 2 )
C
R N
A
a3
xN (t) a cos[t (N 1) ]O a1 P
在COM中:A 2R sin(N / 2)
上两式相除得:
在OCP中: a 2Rsin( / 2)
7
A a sin(N / 2) sin / 2
若 A1 A2, A 2A1
2.当 2 1 (2k 1) (k 0,1,2, ) 时,
A
A12
A
2 2
2 A1
A2
cos(
2
1
)
| A1 A2 | 合振动振幅最小。
若 A1 A2, A 0
A2
3.一般情况 | A1 A2 | A | A1 A2 |
5
A A2 A1
A2 A A1 A A1
第二节
简谐振动的合成
1
一、同方向同频率简谐振动的合成
在同一直线上同频率的两个简谐振
动分别为:
x1 A1 cos(t 1),
x2 A2 cos( t 2 )
• 代数方法: 振动合成
x x1 x2 A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
(A1 cos1 A2 cos2) cost

大学物理简谐运动的合成

大学物理简谐运动的合成
大学物理简谐运动的合 成
目录
• 简谐运动的定义与特性 • 简谐运动的合成原理 • 简谐运动的合成方法 • 简谐运动的合成应用 • 总结与展望
简谐运动的定义与特
01

简谐运动的定义
简谐运动
物体在平衡位置附近做往复运动,其位移、速度和加速度随时间按正弦或余弦 规律变化的运动。
简谐运动的数学描述
简谐运动可以用正弦或余弦函数表示,其数学表达式为 $x = Asin(omega t + varphi)$,其中 $A$ 是振幅,$omega$ 是角频率,$varphi$ 是初相。
简谐运动的特性
周期性
简谐运动具有周期性,即物体在每个周期内重复 相同的运动轨迹。
往复性
简谐运动是往复运动,即物体在平衡位置附近来 回振动。
能量守恒
简谐运动过程中,系统的动能和势能相互转化, 总能量保持不变。
简谐运动的分类
自由振动
不受外力作用的简谐运动。
受迫振动
受到周期性外力作用的振动,其振动频率与外力频率 相同或相近。
简谐运动的合成方法
03
旋转矢量法
总结词
旋转矢量法是一种直观且易于理解的方法,用于合成简谐运动。
详细描述
旋转矢量法是通过引入一个旋转矢量来表示简谐运动,该矢量在复平面内以角速 度旋转。通过旋转矢量的长度和角度变化,可以直观地理解简谐运动的合成过程 。
复数法
总结词
复数法是一种基于复数运算的方法,用于合成简谐运动。
自激振动
由系统内部激励产生的振动,不需要外部激励作用。
02
简谐运动的合成原理
线性合成原理
线性合成原理是指两个简谐运动的合成结果仍为简谐运动,其振幅和角频率分别为两个简谐运动振幅 和角频率的线性组合。

高二物理竞赛简谐运动的合成 课件

高二物理竞赛简谐运动的合成 课件

若 1, 2 均较大,而差值较小,则合振动
的“振幅”时而大(为 2A),时而小(为 0)。
这种合振动周期性的时强时弱的现象称作拍
单位时间内振动加强(或减弱)的次数叫拍频。
A(t) 2 A cos 2 1 t
2
合振幅变化的周期
Tb
|
2 1 2
|| 2 2 1
|
b
1 Tb
2 1 2 2
2 1
v拍 | v1 v2 | 或 b=|2-1|
4
x1
1
x2
2
=1 - 2
x
第8章 机械振动
t
t
t
5
第8章 机械振动
6
黑管的振动是由9个不同的简谐运动合成的第8章 机械振动
7
钢琴的振动是由16个不同的简谐运动合成的第8章 机械振动
8
受迫振动
共振危害:
第8章 机械振动
A)160多年前,拿破仑率军入侵到西班牙,在 整齐跨过一铁链桥时坍塌,士兵纷纷落水。
1940年华盛顿的塔科曼大桥建成 同年7月的一场大风引起桥的共振 桥被摧毁
10
第8章 机械振动
11
第8章 机械振动
消除共振
A)消极:阻尼器吸收振动能量 B)积极:共振原理做成机械滤波装置,滤掉 有害波段。或改变系统和外界驱动力频率。
共振的利用
A)电驱蚊器 B)微波炉
C)次声波武器 D)核磁共振
12
B)1906年,俄国士兵在圣彼得堡的卡坦卡河,也 发生同样惨剧,士兵纷纷落水。
C)1940年,美国的Tocoma Narrow Bridge, 在风中发生共振坍塌。唯一伤者为一个记者的长毛 狗,在牺牲前将救它的华盛顿大学专家咬伤。(该 桥曾一度作为休闲好去处)

简谐振动的合成

简谐振动的合成

动振幅周期变化的现象叫拍。
解:③拍现象
A (t) 不论 调 达到正的最大或负的最大,对加强振幅来说,都是等效的,
因此拍的圆频率为:
因此:
拍 20 10
调(拍)
20 10
2 20 10
2 拍
2
拍频为: 调(拍) 2 1
合成图像如下图:
x1 t
x2
t
x
t
程序演示:
MATLAB 程序:
t=[0:0.001:10]; %给出时间轴上 10s,分 10000 个点
%输入两组信号的振幅、频率以及初相
A1=input('振幅 1=');W1=input('频率 1=');a1=input('初相 1=');
A2=input('振幅 2=');W2=input('频率 2=');a2=input('初相 2=');
y1=A1*cos(W1*t+a1);
y2=A2*cos(W2*t+a2); %生成两个正弦波
此时 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) A1 A2 Amin 振动减弱
两个同方向、同频率简谐运动反相合成时,其合振动振幅最小,振幅为两个
分振动振幅之差的绝对值,初相位与振幅大的分振动的初相位相同,合成图像如
下图。
x
x2
o
x
t
x1
分析:同方向不同频率简谐振动的合成 x1 Acos10t , x2 Acos20t
A2 A1
A
x
此时 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) A1 A2 Amax 振动加强

4简谐振动的合成

4简谐振动的合成

ω1 − ω2 << ω1 ≈ ω2
dengyonghe1@

A1 = A2 = A,
ω1 ≈ ω 2
x1 = A cos(ω1t + ϕ ) x 2 = A cos(ω 2t + ϕ )
合成后 x = x1 + x 2
= A cos(ω1t + ϕ ) + A cos(ω 2t + ϕ )
x
dengyonghe1@
o
2.注意几点 2.注意几点 (1). 当
Hale Waihona Puke ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2kπ ( k = 0,±1,±2,L) 时,
两个同相
A=
A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) x = A1 + A2
2 1 2 2
合振动振幅最大。 合振动振幅最大。 若
一、同方向同频率的两个简谐振动合成
质点同时参与两个振动, 质点同时参与两个振动,只 研究两个同方向同频率的振动合 成。 分振动
x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) x 2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
振动合成
x = x1 + x 2
dengyonghe1@
1.利用矢量法求合振动 利用矢量法求合振动
dengyonghe1@
解:直接代公式: 直接代公式:
A = (90 2 ) + (200 2 ) = 220 2
2 2
200 2 ϕ = tan ( ) = 65.80 90 2
−1
∴ u = 220 2 cos(100πt + 65.8 )

一同频率同一直线上的简谐振动的合成

一同频率同一直线上的简谐振动的合成
§4.4 简谐振动的合成
一.同频率、同一直线上的简谐振动的合成 分振动:x1 =A1cos( t+1 ) x2 =A2cos( t+2 )
合振动: x= x1+x2 = Acos( t+ )
A A1 A2 2 A1 A2cos( 2 1 )
2
2
A1sin1 A2sin 2 tg A1cos1 A2cos 2
x y 2 1 2 A1 A2
y
2
2
合振动不再是谐振动。
y
x
x 左旋
右旋
2 -1=/2
2 -1=-/2
21
两个频率相同、 振幅不同的互
相垂直简谐
Δ=0 Δ=/4 Δ=/2 Δ=3/4
振动的合成
Δ=
Δ=5/4
Δ=3/2
Δ=7/4
22
四.不同频率垂直谐振动的合成 李萨如图形 x =A1cos(1 t+1 ) y =A2cos(2 t+2 )
2, = 0 (临介阻尼)
x e t C1 C 2 t
3, < 0 (欠阻尼)
xe
e
t
t
C cos
1
C e
1
i 0 2 2 t
C2 e
2
i 0 2 2 t

2 2
0 t C2 sin 0 t
2
2 2

( 2 1 )

2
o
x
10
例题4.17 求同方向、同频率、同振幅、依次间相 位差均为的N个谐振动的合振动方程。 光的衍射 解
选择适当的计时起点,使某个简谐振动的初 相为零,则有

高二物理竞赛简谐振动的合成课件

高二物理竞赛简谐振动的合成课件

r1
A1r1A2r2
所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源为单 位距离的点振幅为A则距波源r 处的点振幅为A/r
由于振动的相位随距离的增加而落后的关系, 与平面波类似,球面简谐波的波函数:
yAcos[(tr)]
r
u
3. 波的吸收 波在实际介质中,由于波动能量总有一部分会被介 质吸收,波的机械能不断减少,波强亦逐渐减弱。
体积元内媒质质点动能为 穷能人量的 密孩度子早单当位家体。积介质中所具有的波的能量。
鹰体爱积高 元飞内,媒鸦质栖质一点枝动。能为
志由气于和 振贫动困的是相患位难随兄距弟离,的世增人加常而见落他后们的伴关在系一,起与。平面波类似,球面简谐波的波函数:
桐拍山合万振里动丹忽山强路忽,弱雄的风现清象于老风声
4.2 简谐振动的合成
4.2.1 同方向同频率谐振动的合成
质点同时参与同方向同频率
的谐振动 :
x1(t ) A1 cos(t 1 ) x2 (t ) A2 cos(t 2 )
2
A2
M2 A
1
A1
M1
M
合振动 : x x1 x2
x2
x1 x
x Acos(t )
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
静压力之间的压差。
平面简谐波,声压振幅为
pmuA
声强:声波的能流密度。
I1 pm2 1uA22 2 u 2
频率越高越容易获得较大的声压和声强
引起人听觉的声波有频率范围和声强范围
20~200H 00z
1 W 0 m 2~ 1 1 0 W 2m 2
I0 1012Wm2 测定声强的标准
声强级
IL
log10
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o A1 A2 A3 A4 A5 x
A Ai NA0
A
(k 0,1,2,) 2) N 2k 'π
A5

A4 A
i

3
(k ' kN , k ' 1,2,)
N个矢量依次相接构
成一个闭合的多边形。
O A6
合振动的轨迹为通过 原点且在第一、第三 象限内的直线。
y
x
合振动仍为谐振动。 质点离开平衡位置的位移:
S x y A A2 cos( t )
2 2 2 1 2
23
16.4 简谐振动的合成
利用旋转矢量合成
第16章 机械振动
y
2
3
0 y
2 1
8 3
1
8 7 6
A2 y x A1
相互加强
2)相位差
2
1, ) 1 (2k 1)π (k 0 ,
A A1 A2
相互削弱
3)一般情况, 当相位差为其它值时,
A1 A2 A A1 A2
7
16.4 简谐振动的合成

第16章 机械振动
5 x1 4 cos(2t ) m , x2 3 cos(2t )m, 6 6 解:1)用解析法,合成后不变, x A cos(2t )
拍在声学和无线电技术中的应用: 用音叉的振动来校准乐器; 利用拍的规律测量超声波的频率; 在无线电技术中,可用来测定无线电波频率以及调制。
19
16.4 简谐振动的合成
方法二:旋转矢量合成法
第16章 机械振动
( 2 1 )t ( 2 1 )
2t 2
A 2 2

A
1 T 2 1
18
16.4 简谐振动的合成
A 2 A1 cos 2 π
第16章 机械振动
2 1
2
t
2 1
2 1 2π Tπ 2
1 T 2 1
拍频(振幅绝对值变化的频率)
所以,拍频是振动 cos(2
2 1
2
t ) 频率的两倍。
(拍在声学和无线电技术中的应用) 振动圆频率

1 2
2
21
16.4 简谐振动的合成
*三 相互垂直的简谐振动的合成
第16章 机械振动
*1、两个同频率相互垂直的简谐振动的合成
x A1 cos(t 1 ) y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹方程:
x y 2 xy 2 2 cos( 2 1 ) sin ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
5
x /cm
1
0.05
1振动在 t = 0时: 1 x10 0 , v10 0 2 2振动在t = 0时:
0
5
0 .1
t /s
2
x20 5cm , v 20 0
2
M2
x1 5 cos(20 t 2) cm x2 5 cos(20 t ) cm
第16章 机械振动
(2 1 )t
振幅 A A 1 cos ) 1 2(
2
A2
t)
( 2 1 )t

2 A1 cos(
拍频
2 1
2
o
2 1
x1 x2 cost A
1t 2t
x2 x1
1 A1
A
x
x
2 1
O
M1
10
x
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x1 5 cos(20 t 2) cm x2 5 cos(20 t ) cm
由旋转矢量法:
M2
2
5 4
A 0 M1 0 M 2
5 2 cm
5 4
2
A
O
M1
x
5 x 5 2 cos(20 t ) cm 4
在一般情况下,这是一个椭圆方程。
22
2
2
16.4 简谐振动的合成
2 2
第16章 机械振动
讨论
x y 2 xy 2 2 cos( 2 1 ) sin ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
1) 2 1 0 或 2π
x y 2 ( ) 0 A1 A2
A2 y x A1
令: 则:
A sin A1 sin 1 A2 sin 2 A cos A1 cos 1 A2 cos 2
x A cos cos t A sin sin t A cos t
3
16.4 简谐振动的合成
旋转矢量法:
第16章 机械振动
A
2 A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 1 m
例:求合振动方程。已知两同方向、同频率谐振动:
A1 sin1 A2 sin 2 3 tg A1 cos1 A2 cos 2 3
因为当t = 0时
6
合振动方程: x 1 cos(2t / 6) m
A0
A1

A2
x
13
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
*二 两个同方向不同频率简谐运动的合成
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合 成,其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍。 14
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
15
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x A cos(t )
两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐 运动,且其方向和频率与原来相同。
2
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x x1 x2
解 析 法
A1 cos t 1 +A2 cos t 2 A1 cos 1 A2 cos 2 cos t A1 sin 1 A2 sin 2 sin t
为了简单起见,讨论两个振幅相同,初相位也 相同,在同方向上以不同频率振动的合成。其振 动表达式分别为:
x1 A1 cos1t A1 cos2π 1t x2 A2 cos2t A2 cos 2π 2t
利用三角函数关系式:
x x1 x2

2
cos cos 2 cos
合成振动表达式:

2
cos
x (2 A1 cos 2π
2 1
2
t ) cos 2πFra bibliotek 2 12
t
16
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x x1 x2 A1 cos2π 1t A2 cos2π 2t 2 1 2 1 x (2 A1 cos 2π t ) cos 2π t 2 2
合振动的轨迹为通过原点且 在第二、第四象限内的直线
合振动仍为谐振动。
x
质点离开平衡位置的位移:
S x y A A2 cos( t )
o
1 A1
2
3 A2
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动 假设它们的振幅相等,初相位依次差一个恒量。 12
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
xN A0 cos[t ( N 1) ]
讨 论
1) 2kπ
x1 A0 cost x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
x
x
o 2
A 2
A1
A A1 A2 2
o
T
合振动振幅最小。
t
6
A
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
A
1)相位差
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
2 1 2k π
A A1 A2
(k 0 , 1, )
从图中三角形的边角关系,
可得:
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin1 A2 sin 2 tan A1 cos1 A2 cos 2
合振动的振幅A不仅与 两个分振动的振幅有关, 还取决于两分振动的初相 位差。
4
16.4 简谐振动的合成 讨论

6
A(1cm ) 6
A2 ( 3cm )
5 2 6
合振动方程: x 1 cos(2t / 6) m
9
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
例:已知两谐振动的曲线,它们是同频率的谐振动。 求:合振动方程。 解:由图知 A1 A2 5 cm
T1 T2 0.1 s 2 T 20
随 t 变化缓慢 随 t 变化较快 由于振幅是周期性变化的,所以合振 动不再是简谐振动。 讨论
A1 A2 , 2 1 1 2 的情况
合振动是振幅按 | 2A0cos 2π(ν2-ν1) t /2 | 缓慢变化
的,角频率为 (ν2+ν1 ) /2 的“准周期运动”。
17
16.4 简谐振动的合成
2 1 2 2
第16章 机械振动
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 1)相位差 2 1 2k π (k 0 , 1, 2,)
x
x
合振动振幅最大。
o A
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