16-4 简谐振动的合成
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11
16.4 简谐振动的合成
* 多个同方向同频率简谐运动的合成
第16章 机械振动
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) xn An cos(t n )
A A 3
x x1 x2 xn
x A cos(t )
在一般情况下，这是一个椭圆方程。
22
2
2
16.4 简谐振动的合成
2 2
第16章 机械振动
讨论
x y 2 xy 2 2 cos( 2 1 ) sin ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
1） 2 1 0 或 2π
x y 2 ( ) 0 A1 A2
A2 y x A1
6
A(1cm ) 6
A2 ( 3cm )
5 2 6
合振动方程： x 1 cos(2t / 6) m
9
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
例：已知两谐振动的曲线，它们是同频率的谐振动。 求：合振动方程。 解：由图知 A1 A2 5 cm
T1 T2 0.1 s 2 T 20
5 x1 x2 4cos 3cos( ) 0 6 6
8
16.4 简谐振动的合成
x1 4 cos(2t
第16章 机械振动
例：求合振动方程。已知两同方向、同频率谐振动：
6
) m,
5 x2 3 cos(2t )m, 6
2）旋转矢量法： A1 (4cm )
1
o
1 A1
2
3 A2
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动 假设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。 12
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
xN A0 cos[t ( N 1) ]
讨 论
1） 2kπ
x1 A0 cost x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
合振动的轨迹为通过 原点且在第一、第三 象限内的直线。
y
x
合振动仍为谐振动。 质点离开平衡位置的位移：
S x y A A2 cos( t )
2 2 2 1 2
23
16.4 简谐振动的合成
利用旋转矢量合成
第16章 机械振动
y
2
3
0 y
2 1
8 3
1
8 7 6
A2 y x A1
2 1
1t 1
A
1 A1
o
x2
x1
x
x
A12 A22 2 A1 A2 cos
1 2 0
2π ( 2 1 )t
20
( 2 1 )t ( 2 1 )
16.4 简谐振动的合成
A A12 A22 2 A1 A2 cos
2 1 2 2
第16章 机械振动
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 1）相位差 2 1 2k π (k 0 ， 1， 2,)
x
x
合振动振幅最大。
o A
o
T
A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos(t ) 2 1 2k π
x A cos(t )
两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐 运动，且其方向和频率与原来相同。
2
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x x1 x2
解 析 法
A1 cos t 1 ＋A2 cos t 2 A1 cos 1 A2 cos 2 cos t A1 sin 1 A2 sin 2 sin t
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
16.4 简谐振动的合成
1
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
一、两个同方向同频率简谐运动的合成 某质点同时参与两个同频率且 在同一条直线上的简谐运动。
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
合振动： x x1 x2 A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 ) 利用三角公式或旋转矢量可求得合振动：
令： 则：
A sin A1 sin 1 A2 sin 2 A cos A1 cos 1 A2 cos 2
x A cos cos t A sin sin t A cos t
3
16.4 简谐振动的合成
旋转矢量法：
第16章 机械振动
1 T 2 1
18
16.4 简谐振动的合成
A 2 A1 cos 2 π
第16章 机械振动
2 1
2
t
2 1
2 1 2π Tπ 2
1 T 2 1
拍频（振幅绝对值变化的频率）
所以，拍频是振动 cos(2
2 1
2
t ) 频率的两倍。
相互加强
2）相位差
2
1， ) 1 (2k 1)π (k 0 ，
A A1 A2
相互削弱
3）一般情况， 当相位差为其它值时，
A1 A2 A A1 A2
7
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
5 x1 4 cos(2t ) m , x2 3 cos(2t )m, 6 6 解：1）用解析法，合成后不变， x A cos(2t )
从图中三角形的边角关系，
可得：
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin1 A2 sin 2 tan A1 cos1 A2 cos 2
合振动的振幅A不仅与 两个分振动的振幅有关， 还取决于两分振动的初相 位差。
4
16.4 简谐振动的合成 讨论
x
x
o 2
A 2
A1
A A1 A2 2
o
T
合振动振幅最小。
t
6
A
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
A
1）相位差
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
2 1 2k π
A A1 A2
(k 0 ， 1， )
第16章 机械振动
x (2 A1 cos 2π
2 1
2
t ) cos 2π
2 1
2
t
振幅部分 振动频率 振幅
合振动频率
( 1 2 ) 2
A 2 A1 cos 2π
2 1
2
Amax 2 A1
t
Amin 0
由于余弦函数绝对值的周期为。
2 1 2π T π 2
拍在声学和无线电技术中的应用： 用音叉的振动来校准乐器； 利用拍的规律测量超声波的频率； 在无线电技术中，可用来测定无线电波频率以及调制。
19
16.4 简谐振动的合成
方法二：旋转矢量合成法
第16章 机械振动
( 2 1 )t ( 2 1 )
2t 2
A 2 2
A
x
4
5
7 6
4
5
x A1 cos(t 1 ) y A2 cos(t 2 )
4
5 6 7
3
2 1
8
x
24
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x 2 y 2 2 xy 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2 A2 y x 2） 2 1 π y A1
随 t 变化缓慢 随 t 变化较快 由于振幅是周期性变化的，所以合振 动不再是简谐振动。 讨论
A1 A2 ， 2 1 1 2 的情况
合振动是振幅按 | 2A0cos 2π(ν2-ν1) t /2 | 缓慢变化
的，角频率为 (ν2+ν1 ) /2 的“准周期运动”。
17
16.4 简谐振动的合成
合振动的轨迹为通过原点且 在第二、第四象限内的直线
合振动仍为谐振动。
x
质点离开平衡位置的位移：
S x y A A2 cos( t )
5
A
A2
1
t
第16章 机械振动 16.4 简谐振动的合成 2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0 ， 1, ) x1 A1 cost x ( A2 A1 ) cos(t π) x2 A2 cos(t π )
A
2 A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 1 m
例：求合振动方程。已知两同方向、同频率谐振动：
A1 sin1 A2 sin 2 3 tg A1 cos1 A2 cos 2 3
因为当t = 0时
6
合振动方程： x 1 cos(2t / 6) m
5
x /cm
1
0.05
1振动在 t = 0时： 1 x10 0 , v10 0 2 2振动在t = 0时：
0
5
0 .1
t /s
Leabharlann Baidu
2
x20 5cm , v 20 0
2
M2
x1 5 cos(20 t 2) cm x2 5 cos(20 t ) cm
为了简单起见，讨论两个振幅相同，初相位也 相同，在同方向上以不同频率振动的合成。其振 动表达式分别为：
x1 A1 cos1t A1 cos2π 1t x2 A2 cos2t A2 cos 2π 2t
利用三角函数关系式：
x x1 x2
2
cos cos 2 cos
o A1 A2 A3 A4 A5 x
A Ai NA0
A
(k 0,1,2,) 2） N 2k 'π
A5
A4 A
i
3
(k ' kN , k ' 1,2,)
N个矢量依次相接构
成一个闭合的多边形。
O A6
（拍在声学和无线电技术中的应用） 振动圆频率
1 2
2
21
16.4 简谐振动的合成
*三 相互垂直的简谐振动的合成
第16章 机械振动
*1、两个同频率相互垂直的简谐振动的合成
x A1 cos(t 1 ) y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹方程：
x y 2 xy 2 2 cos( 2 1 ) sin ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
合成振动表达式：
2
cos
x (2 A1 cos 2π
2 1
2
t ) cos 2π
2 1
2
t
16
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x x1 x2 A1 cos2π 1t A2 cos2π 2t 2 1 2 1 x (2 A1 cos 2π t ) cos 2π t 2 2
A0
A1
A2
x
13
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
*二 两个同方向不同频率简谐运动的合成
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合 成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍。 14
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
15
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
第16章 机械振动
(2 1 )t
振幅 A A 1 cos ) 1 2(
2
A2
t)
( 2 1 )t
2 A1 cos(
拍频
2 1
2
o
2 1
x1 x2 cost A
1t 2t
x2 x1
1 A1
A
x
x
2 1
O
M1
10
x
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x1 5 cos(20 t 2) cm x2 5 cos(20 t ) cm
由旋转矢量法：
M2
2
5 4
A 0 M1 0 M 2
5 2 cm
5 4
2
A
O
M1
x
5 x 5 2 cos(20 t ) cm 4
16.4 简谐振动的合成
* 多个同方向同频率简谐运动的合成
第16章 机械振动
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) xn An cos(t n )
A A 3
x x1 x2 xn
x A cos(t )
在一般情况下，这是一个椭圆方程。
22
2
2
16.4 简谐振动的合成
2 2
第16章 机械振动
讨论
x y 2 xy 2 2 cos( 2 1 ) sin ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
1） 2 1 0 或 2π
x y 2 ( ) 0 A1 A2
A2 y x A1
6
A(1cm ) 6
A2 ( 3cm )
5 2 6
合振动方程： x 1 cos(2t / 6) m
9
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
例：已知两谐振动的曲线，它们是同频率的谐振动。 求：合振动方程。 解：由图知 A1 A2 5 cm
T1 T2 0.1 s 2 T 20
5 x1 x2 4cos 3cos( ) 0 6 6
8
16.4 简谐振动的合成
x1 4 cos(2t
第16章 机械振动
例：求合振动方程。已知两同方向、同频率谐振动：
6
) m,
5 x2 3 cos(2t )m, 6
2）旋转矢量法： A1 (4cm )
1
o
1 A1
2
3 A2
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动 假设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。 12
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
xN A0 cos[t ( N 1) ]
讨 论
1） 2kπ
x1 A0 cost x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
合振动的轨迹为通过 原点且在第一、第三 象限内的直线。
y
x
合振动仍为谐振动。 质点离开平衡位置的位移：
S x y A A2 cos( t )
2 2 2 1 2
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16.4 简谐振动的合成
利用旋转矢量合成
第16章 机械振动
y
2
3
0 y
2 1
8 3
1
8 7 6
A2 y x A1
2 1
1t 1
A
1 A1
o
x2
x1
x
x
A12 A22 2 A1 A2 cos
1 2 0
2π ( 2 1 )t
20
( 2 1 )t ( 2 1 )
16.4 简谐振动的合成
A A12 A22 2 A1 A2 cos
2 1 2 2
第16章 机械振动
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 1）相位差 2 1 2k π (k 0 ， 1， 2,)
x
x
合振动振幅最大。
o A
o
T
A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos(t ) 2 1 2k π
x A cos(t )
两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐 运动，且其方向和频率与原来相同。
2
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x x1 x2
解 析 法
A1 cos t 1 ＋A2 cos t 2 A1 cos 1 A2 cos 2 cos t A1 sin 1 A2 sin 2 sin t
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
16.4 简谐振动的合成
1
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
一、两个同方向同频率简谐运动的合成 某质点同时参与两个同频率且 在同一条直线上的简谐运动。
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
合振动： x x1 x2 A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 ) 利用三角公式或旋转矢量可求得合振动：
令： 则：
A sin A1 sin 1 A2 sin 2 A cos A1 cos 1 A2 cos 2
x A cos cos t A sin sin t A cos t
3
16.4 简谐振动的合成
旋转矢量法：
第16章 机械振动
1 T 2 1
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16.4 简谐振动的合成
A 2 A1 cos 2 π
第16章 机械振动
2 1
2
t
2 1
2 1 2π Tπ 2
1 T 2 1
拍频（振幅绝对值变化的频率）
所以，拍频是振动 cos(2
2 1
2
t ) 频率的两倍。
相互加强
2）相位差
2
1， ) 1 (2k 1)π (k 0 ，
A A1 A2
相互削弱
3）一般情况， 当相位差为其它值时，
A1 A2 A A1 A2
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16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
5 x1 4 cos(2t ) m , x2 3 cos(2t )m, 6 6 解：1）用解析法，合成后不变， x A cos(2t )
从图中三角形的边角关系，
可得：
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin1 A2 sin 2 tan A1 cos1 A2 cos 2
合振动的振幅A不仅与 两个分振动的振幅有关， 还取决于两分振动的初相 位差。
4
16.4 简谐振动的合成 讨论
x
x
o 2
A 2
A1
A A1 A2 2
o
T
合振动振幅最小。
t
6
A
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
A
1）相位差
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
2 1 2k π
A A1 A2
(k 0 ， 1， )
第16章 机械振动
x (2 A1 cos 2π
2 1
2
t ) cos 2π
2 1
2
t
振幅部分 振动频率 振幅
合振动频率
( 1 2 ) 2
A 2 A1 cos 2π
2 1
2
Amax 2 A1
t
Amin 0
由于余弦函数绝对值的周期为。
2 1 2π T π 2
拍在声学和无线电技术中的应用： 用音叉的振动来校准乐器； 利用拍的规律测量超声波的频率； 在无线电技术中，可用来测定无线电波频率以及调制。
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16.4 简谐振动的合成
方法二：旋转矢量合成法
第16章 机械振动
( 2 1 )t ( 2 1 )
2t 2
A 2 2
A
x
4
5
7 6
4
5
x A1 cos(t 1 ) y A2 cos(t 2 )
4
5 6 7
3
2 1
8
x
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16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x 2 y 2 2 xy 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2 A2 y x 2） 2 1 π y A1
随 t 变化缓慢 随 t 变化较快 由于振幅是周期性变化的，所以合振 动不再是简谐振动。 讨论
A1 A2 ， 2 1 1 2 的情况
合振动是振幅按 | 2A0cos 2π(ν2-ν1) t /2 | 缓慢变化
的，角频率为 (ν2+ν1 ) /2 的“准周期运动”。
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16.4 简谐振动的合成
合振动的轨迹为通过原点且 在第二、第四象限内的直线
合振动仍为谐振动。
x
质点离开平衡位置的位移：
S x y A A2 cos( t )
5
A
A2
1
t
第16章 机械振动 16.4 简谐振动的合成 2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0 ， 1, ) x1 A1 cost x ( A2 A1 ) cos(t π) x2 A2 cos(t π )
A
2 A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 1 m
例：求合振动方程。已知两同方向、同频率谐振动：
A1 sin1 A2 sin 2 3 tg A1 cos1 A2 cos 2 3
因为当t = 0时
6
合振动方程： x 1 cos(2t / 6) m
5
x /cm
1
0.05
1振动在 t = 0时： 1 x10 0 , v10 0 2 2振动在t = 0时：
0
5
0 .1
t /s
Leabharlann Baidu
2
x20 5cm , v 20 0
2
M2
x1 5 cos(20 t 2) cm x2 5 cos(20 t ) cm
为了简单起见，讨论两个振幅相同，初相位也 相同，在同方向上以不同频率振动的合成。其振 动表达式分别为：
x1 A1 cos1t A1 cos2π 1t x2 A2 cos2t A2 cos 2π 2t
利用三角函数关系式：
x x1 x2
2
cos cos 2 cos
o A1 A2 A3 A4 A5 x
A Ai NA0
A
(k 0,1,2,) 2） N 2k 'π
A5
A4 A
i
3
(k ' kN , k ' 1,2,)
N个矢量依次相接构
成一个闭合的多边形。
O A6
（拍在声学和无线电技术中的应用） 振动圆频率
1 2
2
21
16.4 简谐振动的合成
*三 相互垂直的简谐振动的合成
第16章 机械振动
*1、两个同频率相互垂直的简谐振动的合成
x A1 cos(t 1 ) y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹方程：
x y 2 xy 2 2 cos( 2 1 ) sin ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
合成振动表达式：
2
cos
x (2 A1 cos 2π
2 1
2
t ) cos 2π
2 1
2
t
16
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x x1 x2 A1 cos2π 1t A2 cos2π 2t 2 1 2 1 x (2 A1 cos 2π t ) cos 2π t 2 2
A0
A1
A2
x
13
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
*二 两个同方向不同频率简谐运动的合成
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合 成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍。 14
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
15
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
第16章 机械振动
(2 1 )t
振幅 A A 1 cos ) 1 2(
2
A2
t)
( 2 1 )t
2 A1 cos(
拍频
2 1
2
o
2 1
x1 x2 cost A
1t 2t
x2 x1
1 A1
A
x
x
2 1
O
M1
10
x
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x1 5 cos(20 t 2) cm x2 5 cos(20 t ) cm
由旋转矢量法：
M2
2
5 4
A 0 M1 0 M 2
5 2 cm
5 4
2
A
O
M1
x
5 x 5 2 cos(20 t ) cm 4