[理学]大学物理 第二章 气体动理论2

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dN f (v ) ——分子速率分布函数 讨论 Ndv 3. 函数变式： Nf(v)v=dN
Nf (v)dv 表示速率处在v 到 v+dv 区间内的分子数；
速率处在v1 到v2 这个有限速率区间中的分子数 可用下列积分计算
N v Nf (v)dv
1
v2
速率处在0 到∞ 整个区域中的分子数
内的概率是多少？ 理论和实验发现：
当气体处于平衡态时，分子数按速率的分布也遵循
着一个完全稳定的统计规律
1859年，理论上 ——麦克斯韦速率分布律4
§2.5
麦克斯韦速率分布律和速度分布律
为了说明这个规律， 下面首先介绍分子速率分布函数的概念 一．分子速率分布函数 1. 分子的速率在原则上可以连续地取值，从0 到∞； 2. 在各个速率范围中分子数 是不连续的； 3. 如何来研究分子数按速率的分布？ 将速率分成一些小的区间，按这些区间来计算分子数 设气体分子总数为N，速率处在 v 到 v+dv 之间的分 子数为 dN ，
ΔV 包含的分子数占总分子数的比率就相等；
分子数按空间位置分布是等概率的 2. 同理，无论任何时刻沿任一方向运动的分子数占 总分子数的比率都相等； 分子数按速度方向分布是等概率的
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问题： 分子数按速度的大小的分布有什么规律呢？ 也就是说，在总数为N 的分子中，具有各种速率
的分子各有多少？
或这些分子在运动过程中，出现在各个速率范围
3 2
mv2 2 2 kT
o
v
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曲线所围面积及物理意义
在曲线下v 附近取一 宽度为dv 的小窄条 小窄条面积就等于
f (v )
dN f (v ) Ndv
面积 dN N
物理意义： 就等于在该区间内的分子数占总分子数的比率 则曲线下所围整个面积等于 1 思考？ 图示阴影部分的面积的意义


0
Nf (v)dv N
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4.分子速率分布函数的归一化
0 Nf (v)dv N 0 f (v)dv 1
意味着： 1. 对大量分子来说，任意分子的速率必然落在0


到∞ 整个区域中的；
2. 对单个分子来说表示按速率分布单个分子处于0 到∞ 整个区域中的概率等于1。
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二．麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦速率分布律就是给出了一定条件下的 速率分布函数的具体形式 1. 麦克斯韦速率分布律 在平衡态下，气体分子速率在v 到 v+dv 区间内 的分子数占总分子数的比率为
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dN N
写成等式
f (v)dv
dN f ( v )dv N
式中
dN ——分子速率分布函数 f (v ) Ndv
物理意义：由等式右边可以看出
分子速率分布函数表示速率在v 附近，单位速 率区间内的分子数占总分子数的比率。
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dN f (v ) ——分子速率分布函数 Ndv
讨论
dN f ( v )dv N
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设定：气体分子总数为N，速率处在 v 到 v+dv 之间 的分子数为dN ： 速率在v 到 v+dv 之间的分子数占总分子数比率为
dN N
特点：
f (v)dv
1. 不同v 附近的速率区间dv 内分子数dN 是不同 的，这一比率是速率v 的函数； 2. 在区间 dv 足够小的情况下，这一比率还应和区 间的大小dv 成正比。
v2
1 1 2
dN f (v)dv N
Fra Baidu biblioteko v1
v2 v v dv
v
N v v S v v 与 曲 线 围 的 面 积 v f (v )dv N
1
2
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曲线特征
f (v )
1. 从曲线形状可以看出， 速率很小和速率很大 的 o vp v 分子数都很少, 或者说分 最概然速率 子取速率很大或很小的概率都很小；
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f(v)dv对于单个分子的意义 dN f ( v )dv N 因此 f (v)dv 表示单个分子处于v 到 v+dv 区间内
一种预计或者估计，也就是前面提到的概率 说明： 1. 它的大小反映单个分子处于v 到 v+dv 区间的 可能性的大小；
2. 任何时刻分子具有什么样的速率无法确定，但
是具有某一速率的可能性大小是可以预计的。
3 2
mv2 2 2 kT
k 是玻尔兹曼常数
对于给定气体（ m 一定）， f (v)只与温度有关。
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2. 麦克斯韦速率分布曲线
以速率v 为横轴，以
f (v) 为纵轴，画出的图线
就是麦克斯韦速率分布曲线， 它能形象地表示出气体按速率分布的情况
f (v )
m f (v) 4 ( ) ve 2kT
2. 从曲线看，在某一速率vp 处，f(v)函数有一极大值。 物理意义：若把整个速率范围分成许多相等的小区间，
§2.4 麦克斯韦速率和速度分布规律
一．分子速率分布函数 二．麦克斯韦速率分布律
§2.5 麦克斯韦速率分布实验验证
一．麦克斯韦速率分布实验验证 二．麦克斯韦速度分布律
§2.6 玻尔兹曼分布定律
1
气体分子热运动是杂乱无章的，由于其他分子的 不断碰撞，单个分子的运动速度的方向和大小是不可 预知，但是大量分子的整体却会出现一些统计规律： • 分子数按位置分布平均说来是均匀的。
1. 就大量分子而言，表示速率在v 到 v+dv 区间内 分子数占总分子数的比率 2. 对单个分子而言，由于分子的速率在不断的改 变，它的速率有时处在v 到 v+dv 区间内，有时 也可能处在这个区间外，因此 f(v)dv表示单个分子 处于v 到 v+dv 区间内一种预计或者估计， 也就是前面提到的概率
其中
dN m f (v)dv 4 ( ) ve N 2kT
3 2 mv2 2 2 kT
3 2
mv2 2 2 kT
dv
m f (v) 4 ( ) ve 2kT
——麦克斯韦速率分布函数 12
——麦克斯韦速率分布函数 T 是 气体的热力学温度，m 是一个分子的质量，
m f (v) 4 ( ) ve 2kT
• 分子数按速度方向分布平均说来是均匀的。
在容器内任何一处，不论怎样取体积 ΔV，只要 ΔV 中 包含有大量的分子ΔN ，则
N N V V
N V N V
ΔV
2
• 分子数按位置分布平均说来是均匀的。
• 分子数按速度方向分布平均说来是均匀的。
N V N V
1. 无论在容器中的什么地方，只要ΔV 大小相同，