[数学]111任意角

半轴重合,那么对一个任意角,角的终边可能落在y哪些位置？
2.象限角和轴线角
(1)象限角:当角的顶点与坐标原点重
合,角的始边与x轴的非负半轴重合, 那么，角的终边落在第几象限,我们
o
x
就说这个角是第几象限角。
h
6
(2)轴线角:当角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴
重合,角的终边落在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象
1.1 任意角
h
1
课题引入
问题:如果你的手表慢了20分钟,或快了1.25
小时,你应当如何将它校准？当时间校准后,
分针转了多少度？
讲授新课
B
1.任意角
平面内一条射线绕其
端点从一个位置旋转到
终边
α
始边
另一个位置所形成的图
O
A
形,叫做角。
顶点
角是平面几何中的一个基本图形,角是可以度量
其大小的.在平面几何中,角的取值范围如何？
零角
零
负角
负实数
角的集合
实数集R
h
27
角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个角时， 除了零角以外，所得到的量数都是不同 的，但它们既然是度量同一个角的结果， 二者就可以相互换算．
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角， 其弧度数是 2 ，而在角度制里它是 360，
因此 360 2rad．
h
28
h
37
问题３：任意两个角的数量大小可以相 加、相减，如 50°＋80°=130°， 50° －80°=－30°，你能解释一下这两个式子 的几何意义吗？
x
| 9 0 0 1 8 0 0 2 k 1 8 0 0 ,k Z
| 9 0 0 2 k 1 8 0 0 ,k Z | 9 0 0 ( 2 k 1 ) 1 8 0 0 ,k Z
| 9 0 0 n 1 8 0 0 ,n Z
h
12
巩固与提高
y
• 写出终边在X轴上的角的集合
h
15
•解:终边在终边在射线 y = x 上的角的集合是
A 4 0 k 5 30 ,k 6 Z 0
终边在终边在射线 y = -x 上的角的集合是
B 20 2 k 3 5 0 ,k 6 Z 0
所以终边在Y=x上的角的集合是
S | 2 2 5 0 k 3 6 0 0 ,k Z
D． 2k1与 3k， kΖ
h
36
3 . 已 A x | 2 知 x ( 2 k 1 )( ) B x | 6 x 6
则: AB x | 6 x , 或 0 x
解:如图
2 6
0
6 2
当 2 , 3 , 时 ,或 1 ,当 2 , 时 ,已超出 (6,6)的范围.
4
解：（1）∵ 45 ∴ sinsin45 2
4
4
2
（2）∵ 5 .3 7 0 1 .5 8 .9 5 5 8 5 7 5
∴ ta 1 .5 n ta 8 n 5 5 7 1.1 42
h
33
２. 试推出弧长公式和扇形面积公式(角用弧度).
1 l R ;
分析 1: 因为扇形为整个圆l的,
α
作图的要点吗?
O
B2 A
β
B1
h
5
画图表示一个大小一定的角:
(1)先画一条射线作为角的始边; (2)再由角的正负确定角的旋转方向;
(3)再由角的绝对值大小确定角的旋转量;
(4)画出角的终边,并用带箭头的螺旋线加以标注.
思考2:为了进一步研究角的需要,我们常在直角坐标系内
讨论角,并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负
2、在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧 长一一对应.
当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧 长不相等.
计 算 3.560： 40 424 /305 3/64042/4
h 800
22
练习: 当n=300时
nr 可以计算弧长L= 180
半径r
弧长L
弧长与半径 的比值
r1=1
6
6
r2=2
3
6
r3=3
所以扇形面积为
2R
2 S
1
R
2
;
2
l
S扇形 2RS圆
3 S 1 lR ;
2
l R2 1 lR
2R
2
分析 2：S扇S圆
2
r2 1r2 1lr（2）
2 2
2
h
34
用弧度表示终边在轴线上的角的集合
y
{2k,kz}
o
x
y
{2k,kz}
o
x
2
y
2 k 2 k ,k ,k Z Z
小于90°的角不一定是锐角。
h
7
思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
不一定。象限角只能反映角的终边所在象限(位置),不
能反映角的大小.
思考5：－32°,328°,－392°是第几象限的角？这些角
有什么内在联系？
y
32 8 32 36 0 －392°
3 9 2 3 2 3 630 28°
-4
OA
长度 AB
3.10 厘米 3.10 厘米
m ÐAOB 1.00000 弧度
-6
OA
长 度 AB
m ÐAOB
4.23 厘 米-8 4.23 厘 米 1.00000 弧 度
h
25
三）弧度数 l
R
1、在单位圆中，当圆心角为周角时，它所对的 弧长为2π，所以周角的弧度数为2π，周角是 2πrad 的角.
k 10 8 ,k 0 Z
o
x
• 写出终边在坐标轴上的角的集合y
k 1 0 , k 8 Z 0 9 0 k 0 1 0 , k 8 Z0
k 90 ,0 k Z o
x
h
13
小结1:终边在轴线上的角的集合
y {k36,k 0z}
o
x
y {90 k36 ,k 0z}
o
x
y
1 1 0 8 0 k 8 k 3 0 3 0 0 ,6 0 k ,6 k Z 0 Z 0
o
x
y
o
x
2 9 0 7 0 k 3 00 ,6 k Z 0
h
14
• 例3:写出终边在直线 y x 上的角的集合S,并把S中 适合不等式 36007200 的元素 写出来
| 4 5 0 k 3 6 0 0 ,k Z
| 4 5 0 k 1 8 0 0 ,k Z
h
16
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
• Ｓ中适合 36007200 的元素 (确定整数k)
• 45°—2x180°= -- 315° • 45°—1x180°= -- 135° • 45°+0x180°= 45° • 45°+1x180°= 225° • 45°+2x180°= 405° • 45°+3x180°= 585°
2
6
r4=4
2 3
6
当n=600时呢? L
r3
h
23
3、实验结果表明：当半径不同时，同样的圆心 角所对的弧长与半径的比是常数.
6
4
终 边2
-10
-5
O
A 始5边A
-2
-4
-6
称这个常数为该角的弧度数.
拖动 点增减角 的大小
-8
l
-10
R
h
能否用弧长来定义角的大小呢?
弧长
θ
半径 弧长
半径
9
例题分析
例1.在0°～360°范围内,找出与－950°12′角终边相同的
角,并判定它是第几象限角.
解:∵－950°12′= 129°48′-3× 360°
∴在0°～360°范围内,与－950°12′终边相同的角是 129°48′,它是第二象限角.
例2．求与3900°终边相同的最小正角和最大负角.
2、任意一个00~3600的角的弧度数必然适合不 等式 0≤x<2π.
3、任一正角的弧度数都是一个正实数；
任一负角的弧度数都是一个负实数；
零角的弧度数是0.
弧度制下的角与实数之h 间的关系是怎样的呢26?
4、用弧度来度量角，实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系：
正角
正实数
对应角的 弧度数
5
解：4rad4180144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180
弧度这个关键．
h
31
写出一些特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
弧 度
0
6
4
3
2
2 3 5 3 46
3 2
2
h
32
例3 计算：
（1） sin
；（2）tan1.5 ．
h
2
h
3
同学们现实生活中确定有存在不在学过范围的角
现状生活中：体操、跳水、滑冰、 转体720度的高难度动作,直体后空 翻转体900度及以上的旋转
时钟的时针、分针转动和调准时间 时顺时针、逆时针拨转角度
主从动轮转动角
车的轮子的转动角
风车,风扇叶片等转动
h
4
规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角;按顺
因为 360 2rad．
1度角等于多少弧度？
1 rad 0.01745rad
180
1弧度角等于多少度？
1rad 180 度 57.30
h
29
例1 把 6730化成弧度．
解：∵ 6730 671 2
∴ 67 30rad 61 73rad 180 2 8
h
30
例2 把 4 rad 化成度．
时针方向旋转形成的角叫做负角;如果一条射线没
有作任何旋转,则称它形成了一个零角. 这样,我们就把角的概念推广到任意角.它包括正
角、负角和零角。 注意:(1)确定一个角的大小需要考虑两个要素:旋
转量和旋转方向；
(2)角常用希腊字母 , 等, 表示。
思考1：
对于 2 1 0, 1 5 ,0 你, 能 用 6 图6 0 形表示这些角吗?你能总结一下γ
2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范围 内与已知角β终边相同的角有且只有一个. 用 β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α 必须是正数），则α即为所找的角.
h
20
弧度制
h
21
一）问题的提出
1、度量角的方法——度分秒制——把圆周角分 为360等份——1度的角——60等份——1分的 角——60等份——1秒的角.
解答:终边在Y轴的正半轴上的角的集合为 y
S 1| 9 0 0 k 3 6 0 0 ,k Z
o
x
终边在Y轴的负半轴上的角的集合为 y
S 2| 2 7 0 0 k 3 6 0 0 ,k Z
o
x
h
11
• 所以,终边在Y轴上的角的集合为
S S1 S2
y
| 9 0 0 2 k 1 8 0 0 ,k Z o
136.63 ° 2.09 4.98 2.38
10
15
弧长
θ
半径 弧长
半径
136.63 ° 3.41 8.14 2.38
24
二、1弧度角的定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做
1弧度的角。
4
B
B
单位符号是 rad,读作弧度
-10
-5
2
1弧度
O
A 拖 动AA拖改
-2
弧度把角度单位与长度单位统一起来.
解:∵ 与3900°终边相同的角可表示为
3900k360,k Z
∴当k=-10时，390010360 =300°
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当k=-10时，390011360 =-60°
∴与3900° 终边相同的最小正角是300°,最大负角是-
60°.
h
10
• 例2:
写出终边在Y轴上的角的集合
分析:首先写出在Y轴的正半轴上的角的集合, 然后写出在Y轴的负半轴上的角的集合
h
17
例4：已知与240°角的终边相同，判断
2
是第几象限的角。
h
18
例5．已知角θ的终边与30°角的终边关于x轴对称 试在0°～360°范围内，找出与 终 边相同的角.
3
110°， 230°， 350°.
h
19
小结作业
1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个 给定的角，都有唯一的一条终边与之对应， 并使得角具有代数和几何双重意义.
限,称这个角为轴线角.
练习1:下列各角：-50°,405°,210°,-200°,－450°分别
是第几象限的角？
y
y
y
y
y
210°
x
x
x
x
o
－50°
o 405°
o
o
－200°
x o
思考3:锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐
角？小于90°的角是锐角吗？
锐角是第一象限的角； 第一象限的角不一定是锐角；
4.象限角的集合表示
第一象限角： S={α|k·3600<α<900＋k·3600,k∈Z}；
第二象限角：
S={α|900＋ k第·三36象00限<角α<：1800+k·3600,k∈Z}；
S={α|1800＋k·3600<α<2700+k·3600,k∈Z}；
第四象限：
S={α|－900＋k·3600<α<kh·3600，k∈Z}.
与－32°角终边相同
o
的角有多少个？
这些角与－32°角在
x －32°
数量上相差多少？ 3 k 2 3 ,k 6 Z 0
h
8
3.终边相同的角
一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内可构成
一个集合 S k 3 ,k 6 Z 0
即任一与α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周 角的和.
o
x
y o
x
322kk,,kk ZZ
22h
35
1．把下列各角化成 2 k 0 2 ， k Ζ 的形式：
16 （1） 3
；（2）315 ；（3） 11 ．
7
２．下列角的终边相同的是（ B ）．
A． k 与 2k，kΖ
4
4
B． 2k 2 与 ，kΖ
3
3
k C． 2
与 k，kΖ 2