[数学]111任意角

α
作图的要点吗?
O
B2 A
β
B1
h
5
画图表示一个大小一定的角:
(1)先画一条射线作为角的始边; (2)再由角的正负确定角的旋转方向;
(3)再由角的绝对值大小确定角的旋转量;
(4)画出角的终边,并用带箭头的螺旋线加以标注.
思考2:为了进一步研究角的需要,我们常在直角坐标系内
讨论角,并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负
半轴重合,那么对一个任意角,角的终边可能落在y哪些位置？
2.象限角和轴线角
(1)象限角:当角的顶点与坐标原点重
合,角的始边与x轴的非负半轴重合, 那么，角的终边落在第几象限,我们
o
x
就说这个角是第几象限角。
h
6
(2)轴线角:当角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴
重合,角的终边落在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象
小于90°的角不一定是锐角。
h
7
思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
不一定。象限角只能反映角的终边所在象限(位置),不
能反映角的大小.
思考5：－32°,328°,－392°是第几象限的角？这些角
有什么内在联系？
y
32 8 32 36 0 －392°
3 9 2 3 2 3 630 28°
o
x
y o
x
322kk,,kk ZZ

22h
35
1．把下列各角化成 2 k 0 2 ， k Ζ 的形式：
16 （1） 3
；（2）315 ；（3） 11 ．
7
２．下列角的终边相同的是（ B ）．
A． k 与 2k，kΖ
4
4
B． 2k 2 与 ，kΖ
3
3
k C． 2
与 k，kΖ 2
| 4 5 0 k 3 6 0 0 ,k Z
| 4 5 0 k 1 8 0 0 ,k Z
h
16
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
• Ｓ中适合 36007200 的元素 (确定整数k)
• 45°—2x180°= -- 315° • 45°—1x180°= -- 135° • 45°+0x180°= 45° • 45°+1x180°= 225° • 45°+2x180°= 405° • 45°+3x180°= 585°
h
37
问题３：任意两个角的数量大小可以相 加、相减，如 50°＋80°=130°， 50° －80°=－30°，你能解释一下这两个式子 的几何意义吗？
9
例题分析
例1.在0°～360°范围内,找出与－950°12′角终边相同的
角,并判定它是第几象限角.
解:∵－950°12′= 129°48′-3× 360°
∴在0°～360°范围内,与－950°12′终边相同的角是 129°48′,它是第二象限角.
例2．求与3900°终边相同的最小正角和最大负角.
因为 360 2rad．
1度角等于多少弧度？
1 rad 0.01745rad
180
1弧度角等于多少度？
1rad 180 度 57.30
h
29
例1 把 6730化成弧度．
解：∵ 6730 671 2
∴ 67 30rad 61 73rad 180 2 8
h
30
例2 把 4 rad 化成度．
o
x
y
1 1 0 8 0 k 8 k 3 0 3 0 0 ,6 0 k ,6 k Z 0 Z 0
o
x
y
o
x
2 9 0 7 0 k 3 00 ,6 k Z 0
h
14
• 例3:写出终边在直线 y x 上的角的集合S,并把S中 适合不等式 36007200 的元素 写出来
所以扇形面积为
2R
2 S
1
R
2
;
2
l
S扇形 2RS圆
3 S 1 lR ;
2
l R2 1 lR
2R
2
分析 2：S扇S圆
2
r2 1r2 1lr（2）
2 2
2
h
34
用弧度表示终边在轴线上的角的集合
y
{2k,kz}
o
x
y
{2k,kz}
o
x
2
y
2 k 2 k ,k ,k Z Z
D． 2k1与 3k， kΖ
h
36
3 . 已 A x | 2 知 x ( 2 k 1 )( ) B x | 6 x 6
则: AB x | 6 x , 或 0 x
解:如图
2 6
0
6 2
当 2 , 3 , 时 ,或 1 ,当 2 , 时 ,已超出 (6,6)的范围.
x
| 9 0 0 1 8 0 0 2 k 1 8 0 0 ,k Z
| 9 0 0 2 k 1 8 0 0 ,k Z | 9 0 0 ( 2 k 1 ) 1 8 0 0 ,k Z
| 9 0 0 n 1 8 0 0 ,n Z
h
12
巩固与提高
y
• 写出终边在X轴上的角的集合
136.63 ° 2.09 4.98 2.38
10
15
弧长
θ
半径 弧长
半径
136.63 ° 3.41 8.14 2.38
24
二、1弧度角的定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做
1弧度的角。
4
B
B
单位符号是 rad,读作弧度
-10
-5
2
1弧度
O
A 拖 动AA拖改
-2
弧度把角度单位与长度单位统一起来.
零角
零
负角
负实数
角的集合
实数集R
h
27
角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个角时， 除了零角以外，所得到的量数都是不同 的，但它们既然是度量同一个角的结果， 二者就可以相互换算．
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角， 其弧度数是 2 ，而在角度制里它是 360，
因此 360 2rad．
h
28
4.象限角的集合表示
第一象限角： S={α|k·3600<α<900＋k·3600,k∈Z}；
第二象限角：
S={α|900＋ k第·三36象00限<角α<：1800+k·3600,k∈Z}；
S={α|1800＋k·3600<α<2700+k·3600,k∈Z}；
第四象限：
S={α|－900＋k·3600<α<kh·3600，k∈Z}.
2、在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧 长一一对应.
当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧 长不相等.
计 算 3.560： 40 424 /305 3/64042/4
h 800
22
练习: 当n=300时
nr 可以计算弧长L= 180
半径r
弧长L
弧长与半径 的比值
r1=1
6
6
r2=2
3
6
r3=3
解:∵ 与3900°终边相同的角可表示为
3900k360,k Z
∴当k=-10时，390010360 =300°
当k=-10时，390011360 =-60°
∴与3900° 终边相同的最小正角是300°,最大负角是-
60°.
h
10
• 例2:
写出终边在Y轴上的角的集合
分析:首先写出在Y轴的正半轴上的角的集合, 然后写出在Y轴的负半轴上的角的集合
4
解：（1）∵ 45 ∴ sinsin45 2
4
4
2
（2）∵ 5 .3 7 0 1 .5 8 .9 5 5 8 5 7 5
∴ ta 1 .5 n ta 8 n 5 5 7 1.1 42
h
33
２. 试推出弧长公式和扇形面积公式(角用弧度).
1 l R ;
分析 1: 因为扇形为整个圆l的,
-4
OA
长度 AB
3.10 厘米 3.10 厘米
m ÐAOB 1.00000 弧度
-6
OA
长 度 AB
m ÐAOB
4.23 厘 米-8 4.23 厘 米 1.00000 弧 度
h
25
三）弧度数 l
R
1、在单位圆中，当圆心角为周角时，它所对的 弧长为2π，所以周角的弧度数为2π，周角是 2πrad 的角.
解答:终边在Y轴的正半轴上的角的集合为 y
S 1| 9 0 0 k 3 6 0 0 ,k Z
o
x
终边在Y轴的负半轴上的角的集合为 y
S 2| 2 7 0 0 k 3 6 0 0 ,k Z
o
x
h
11
• 所以,终边在Y轴上的角的集合为
S S1 S2
y
| 9 0 0 2 k 1 8 0 0 ,k Z o
h
2
h
3
同学们现实生活中确定有存在不在学过范围的角
现状生活中：体操、跳水、滑冰、 转体720度的高难度动作,直体后空 翻转体900度及以上的旋转
时钟的时针、分针转动和调准时间 时顺时针、逆时针拨转角度
主从动轮转动角
车的轮子的转动角
风车,风扇叶片等转动
h
4
规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角;按顺
时针方向旋转形成的角叫做负角;如果一条射线没
有作任何旋转,则称它形成了一个零角. 这样,我们就把角的概念推广到任意角.它包括正
角、负角和零角。 注意:(1)确定一个角的大小需要考虑两个要素:旋