图形与几何变换.doc
实验.四二维图形的基本几何变换
实验报告学院:计算机学号:姓名:实验四 二维图形的基本几何变换一、实验目的1．掌握二维图形基本的几何变换原理及变换矩阵； 2．掌握矩阵运算的程序设计。
二、实验内容实现二维图形的基本变换，包括平移、旋转、比例、对称变换。
三、实验环境硬件平台:PC运行环境: Windows 平台，Visual C++四、算法描述二维图形齐次坐标变换矩阵一般表达式 T = 这 3×3 矩阵中各元素功能一共可分成四块，即a 、b 、c 、d 四项用于图形的比例、对称、错切、旋转等基本变换； k 、m 用于图形的平移变换；p 、q 用于图形的透视变换； s 用于图形的全比例变换。
平移变换 旋转变化放缩变换五、实验过程5.1打开Visualc++6.0程序5.2新建一个C++项目⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡s m kq dc p b a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡''1),(110010011y x t t T y x t t y x y x y x 记为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡''1)(11000cos sin 0sin cos 1y x R y x y x θθθθθ记为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡''1),(11000001y x s s S y x s s y x y x y x记为5.3单击完成，双击源文件里的二维图形几何变换View.cpp,出现下图5.5找到其中的OnDraw函数，并将其改成如下，使其实现了一条直线的平移。
void C二维图形几何变换View::OnDraw(CDC* pDC){C二维图形几何变换Doc* pDoc = GetDocument();ASSERT_VALID(pDoc);if (!pDoc)return;// TODO: 在此处为本机数据添加绘制代码int a[3][3];int i,j;for(i=0;i<3;i++)for(j=0;j<3;j++)a[i][j]=0;for(i=0;i<3;i++)a[i][i]=1;int x0=80,x1=350,y0=120,y1=120;pDC->MoveTo(x1,y1);E:\c++6.0安装\MSDev98\MyProjects\pDC->LineTo(x0,y0);a[2][0]=80;//使直线在行方向上平移了80个单位a[2][1]=50;//使直线在列方向上平移了50个单位x0=x0*a[0][0]+y0*a[1][0]+a[2][0];y0=x0*a[0][1]+y0*a[1][1]+a[2][1];x1=x1*a[0][0]+y1*a[1][0]+a[2][0];y1=x1*a[0][1]+y1*a[1][1]+a[2][1];pDC->MoveTo(x1,y1);pDC->LineTo(x0,y0);}5.6单击运行程序并有如下结果5.7找到其中的OnDraw函数，并将其改成如下，使其实现了一条直线的平移和缩放。
图形的几何变换
图形的几何变换图形的几何变换是指对于一个图形，在平面上或空间中进行比例、旋转、平移、对称等操作后，得到的新图形。
这种操作可以改变图形的大小、方向、位置等特征，广泛运用于数学、物理、美术、计算机图形等领域。
以下从不同变换类型的角度分析图形的几何变换。
一、比例变换比例变换是指将一个图形沿着某个中心点或轴线进行等比例伸缩的变换。
其结果通常是一个形状相似但大小不同的新图形。
比例变换可以分为放大和缩小两种情况，当比例因子大于1时，为放大；比例因子小于1时，为缩小。
比例变换常见的应用包括模型制作、图形的等比例缩放等。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形沿着某个轴心或轴线进行旋转的变换。
旋转变换可分为顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，其结果是一个相似但方向不同的新图形。
旋转变换的角度通常用弧度制表示，旋转角度为正时为逆时针旋转，为负时为顺时针旋转，常见的应用包括风车的运动、建筑设计的转角变换等。
三、平移变换平移变换又叫做移动变换，是指将一个图形沿着某个方向进行平移的变换。
平移变换可以将图形整体沿着平移向量的方向进行移动，其结果是一个与原图形相同但位置不同的新图形。
平移变换常见的应用包括机器人的运动、物体的位移等。
平移变换也可以看作是比例变换的特殊情况，比例因子为1，即不改变图形的大小。
四、对称变换对称变换是指将一个图形沿着某个轴线进行翻折的操作。
对称变换可以分为对称、反对称和正交对称三种类型。
对称变换的结果通常是一个与原图形相等但位置镜像对称的新图形。
对称变换在分形几何、美术设计等领域都有着广泛的应用。
五、仿射变换仿射变换是指图形在平面上或空间中进行非等比例伸缩、旋转、平移和投影等操作时的变换。
仿射变换的结果通常是一个与原图形相似但有略微变形的新图形。
仿射变换包括平移变换、旋转变换、比例变换和剪切变换等。
其应用领域包括医学图像处理、计算机图形学等。
总结图形的几何变换在现代科技和艺术中有着广泛的应用。
比例变换常用于造型、模型制作和图形的等比例缩放；旋转变换常用于旋转花纹、风车运动、建筑转角的变化等；平移变换常用于运动控制、物体的位移等；对称变换常用于几何分形、美术设计等领域；仿射变换则是结合了以上变换操作的高级变换，其应用范围更加广泛。
几何第06章 图形变换
第40课时 图形的变换（一）【知识梳理】1、轴对称及轴对称图形的联系：轴对称及轴对称图形可以相互转化. 区别：轴对称是指两个图形之间的位置关系，而轴对称图形一个图形自 身的性质；轴对称只有一条对称轴，轴对称图形可能有几条对称轴．2、通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段 被对称轴垂直平分的性质．3、能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简 单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴．4、探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆） 的轴对称性及其相关性质．5、欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物 体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计． 【例题精讲】1、观察下列一组图形，根据你所发现的规律下面一个应该是什么形状？2、如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE +PB 的最小值是 ．3、如图，P 在∠AOB 内，点M 、N 分别是点P 关于 AO 、BO 的对称点，MN 分别交OA 、OB 于E 、F.⑴ 若PEF 的周长是20cm ，求MN 的长.⑵若∠AOB=30°试判断△MNO 的形状，并说明理由4、将一张矩形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可得到 条折痕．如果对折n 次，可以得到 条折痕．5、做一做:用四块如图1的瓷砖拼成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3、图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.FE NMA OB PC 'ABCD6、已知如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=5cm ，CD=6cm ，∠DCB=60º，∠ ABC=90º，等边三角形MNP （N为不动点）的边长为a cm ，边MN和直角梯形ABCD 的底边BC 都在直线l上，NC=8 cm ,将直角梯形ABCD 向左翻折180º，翻折一次得图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去． (1)、将直角梯形ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形MNP 的边长a≥2cm ，这时两图形重叠部分的面积是多少？(2)、将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积就等于直角梯形ABCD 的面积，这时等边三角形MNP 的边长a 至少应为多少？(3)、将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD 的面积的一半，这时等边三角形MNP 的边长a 应为多少？【当堂检测】1．下列图形是否是轴对称图形，找出轴对称图形的有几条对称轴．2．小明的运动衣号在镜子中的像是 ，则小明的运动衣号码是 ( ) A. B. C. D3．在角、线段、等边三角形、平行四边形形中，轴对称图形有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4．下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其它三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形 ；理由是 ：5．如图，ΔABC 中，DE 是边AC 的垂直平分线AC=6cm ， ΔABD 的周长为13cm ，则ΔABC 的周长为______cm. 6．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在点C '的位置，则C B '与BC 之间的数量关系是 ．A B PM N ② ① D C 第5题图第41课时 图形的变换（二）【知识梳理】 一、图形的平移1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的 图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．注:（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平 面图形在同一平面内的变换．（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的 距离，这两个要素是图形平移 的依据．（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形 相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图 形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点 都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具 有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等， 对应角相等． 注：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的 特征．（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图 形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 二、图形的旋转1、图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等；2、中心对称图形:____________________________________3、平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形； 【例题精讲】1. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=2cm ，把这个三角形 在平面内绕点C 顺时针旋转90°，那么点A 移动所走过的路 线长是 cm ．2. 将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放．(1) 将图2中△11A B C 绕点C 顺时针旋转45°得图2，点11P A C 是与AB 的交点，求证：112CP AP 2＝； (2)将图2中△11A B C 绕点C 顺时针 旋转30°到△22A B C （如图3），点 22P A C 是与AB 的交点．线段112CP PP 与 之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（3）将图3中线段1CP 绕点C 顺时针旋转60°到3CP （图4），连结32P P ，求证：32P P ⊥AB.A G(O)EC B F ①3．把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG （其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合.现将三角板EFG 绕O 点顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）.(1)在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系？四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论；(2)连接HK ，在上述旋转过程中，设BH=x ，△GKH 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的516？若存在，求出此时x 的值；若不存在，说明理由.4．如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2）， 量得他们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合（在图3至图6中统一用F 表示）（图1） （图2） （图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决． （1）将图3中的△ABF 沿BD 向右平移到图4的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离；（2）将图3中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图5的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度；（3）将图3中的△ABF 沿直线AF 翻折到图6的位置，AB 1交DE 于点H ，请证明：AH ﹦DH（图4） （图5） （图6）【当堂检测】1．下列说法正确的是（ ）A ．旋转后的图形的位置一定改变B ．旋转后的图形的位置一定不变C ．旋转后的图形的位置可能不变D ．旋转后的图形的位置和形状都发生变化 2．下列关于旋转和平移的说法错误的是（ ）A ．旋转需旋转中心和旋转角，而平移需平移方向和平移距离B ．旋转和平移都只能改变图形的位置C ．旋转和平移图形的形状和大小都不发生变化D ．旋转和平移的定义是相同的3．在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180o 后不变的字是_____，在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转不超过180后能与原图形重合的是____． 4．△ABC 是等腰直角三角形，如图，A B=A C ，∠BAC ＝90°，D 是BC 上一点，△ACD 经过旋转到达△ABE 的 位置，则其旋转角的度数为（ ） A ．90° B ．120° C ．60° D ．45°5．以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、 菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．3个6．如图的图案中，可以看出由图案自身的部分经过平移而得到的是（ ）7.有以下现象：①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是（ ） A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．②④ 8．如图，若将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到△A B C '''，则A 点的对应点A′的坐标是（ ） A ．（－3，－2）B ．（2，2） C ．（3，0）D ．（2，1）第8题图 A B CD E第42课时 视图与投影【知识梳理】1、主视图、左视图、俯视图2、主俯长相等，主左高平齐，俯左宽相等 【例题精讲】1. 下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（ ）A 、三角形B 、正方形C 、任意四边形D 、正八边形 2. 用一张正多边形的纸片，在某一点处镶嵌（即无缝隙的围成一周），可实施 的方案有哪6种？每一种方案中需要的纸片各是几张？3.如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第6个图案中灰色瓷砖块数为____．4. 用含30角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ） A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①②③5. 为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．注：两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于一种，例如：图①、图②只算一种．6．下图是某几何体的展开图．（1）这个几何体的名称是 ；（2）画出这个几何体的三视图；（3）求这个几何体的体积．（ 取3.14）7．东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高是176cm ， 东东的身高是156cm ，在同一时刻爸爸的影长是 88cm ，那么东东的影长是 cm.8．如图（1）是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图（2）所示的位 置依次翻到第1格、第2格、第3格， 这时小正方体朝上一面的字是（ ）A ．奥B ．运C ．圣D ．火① ② ③ ④ ⑤第1个图案 第2个图案 第3个图案 20 10 迎 接 奥 运 圣 火 图1迎 接奥 12 3 图2【当堂检测】1.如图所示的阴影部分图案是由方格纸上3个小方格组成，我 们称这样的图案为L 形．那么在由4×5个小方格组成的方格纸 上最多可以画出不同位置的L 形图案的个数是 ( ) A ．16个 B ．32个 C ．48个 D ．64个2．在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是（ ）3.如图甲，正方形被划分成16个全等的 三角形，将其中若干个三角形涂黑，且 满足下列条件：（1）涂黑部分的面积是原正方形面积 的一半；（2）涂黑部分成轴对称图形．如图乙是一种涂法，请在图1～3中 分别设计另外三种涂法．（在所设计 的图案中，若涂黑部分全等，则认为 是同一种涂法，如图乙与图丙）4．现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1， 并且平行四边形纸片的每个顶点与小正 方形的顶点重合（如图1、图2、图3）．分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线， 沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部 分，并把这两部分重新拼成符合下列要 求的几何图形．要求：(1)在左边的平行四边形纸片中画一条裁 剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形；（2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙； （3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．图1 矩形（非正方形） 图2 正方形 图3 有一个角是135°的三角形 正方体 长方体 圆柱 圆锥 A B C D。
计算机图形学第五章图形变换
第五章图形变换重 点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。
难 点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。
课时安排：授课4学时。
图形变换包括二维几何变换， 二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。
为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变 换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。
有齐次坐标系齐次坐标系：n 维空间中的物体可用 n+1维齐次坐标空间来表示。
例如二维空间直线 ax+by+c=O ，在齐次空间成为 aX+bY+cW=0 ，以X 、Y 和W 为三维变量，构成没有常数项的 三维平面（因此得名齐次空间）。
点P （x 、y ）在齐次坐标系中用P （wx,wy,w ）表示，其中 W 是不为零的比例系数。
所以从 n 维的通常空间到 n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换 是多到一的变换。
例如齐次空间点P （X 、Y 、W ）对应的笛卡尔坐标是 x=X/W 和y=Y/W 。
将通一地用矩阵乘法来实现变换的组合。
常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时， W 的值取1。
采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用, 示形它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表式。
图形变换平移变换图示如图所示，它使图形移动位置。
新图 p'的每一图元点是原图形 p 中每个图元点在向分别移动Tx 和Ty 产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Tx y'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：[x' y' ] = : x y ] + : Tx Ty ]简记为：P'= P+T , T= : Tx Ty ］是平移变换矩阵（行向量）二堆几何变换1 1二维观察变換三维几诃变换平移变换 比例变换 陡转变换 对称变换 错切变换 仿肘变换 复合变换平移变换 比例变换 旋转变换 绕空间任意轴離转 对称变换 蜡切变换三维观察变5.1二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。
动态几何及图形变换
4 . ★（ 2013 •达州）如图，折叠矩形纸片 ABCD ，使 B 点落在 AD 上一点 E 处，折痕的两端点分别在 AB 、 BC 上（含端点） ，且 AB=6 ， BC=10 ．设 AE=x ，则 x 的取值范围是 ______.
第 4 题图
第 5 题图
5. （ 2013 •福建莆田）如图，正方形 ABCD 的边长为 4 ，点 P 在 DC 边上且 DP=1 ，点 Q 是 AC 上一动点， 则 DQ+PQ 的最小值为 _________ ．
四边形
AOBO′
= 6+3 3；⑤ S △ A O C +S △ A O B =6+ ） B ．①②③④ D ．①②③
9 4
3．
其中正确的结论是（ A ．①②③⑤ C ．①②③④⑤
2
Part 2 填空题 (答对_____题)
1. （ 2013 •宜宾）如图，将面积为 5 的△ ABC 沿 BC 方向平移至△ DEF 的位置，平移的距离是边 BC 长的 两倍，那么图中的四边形 ACED 的面积为 ______ ．
1. （ 2013 •潍坊）如图 1 所示，将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2 、宽为 1 的长方形
CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形 ABEF ．现将小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE ′ F ′ D ′， 旋转角为 a ． （ 1 ）当点 D ′恰好落在 EF 边上时，求旋转角 a 的值； （ 2 ）如图 2 ， G 为 BC 中点，且 0 °＜ a ＜ 90 °，求证： GD ′ =E ′ D ； （ 3 ）小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，△ DCD ′与△ CBD ′能否全等？若能，直接 写出旋转角 a 的值；若不能说明理由．
以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的解答题(word+答案)
以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的解答题【考查知识点】图形的变换有轴对称、平移和旋转，在此类问题中轴对称问题多以折叠的形式出现。
折叠问题也是最近中考的热点，这类问题不但考察学生对基本几何图形性质的掌握情况，而且可以培养学生的空间思维能力和运动变化观念，提高学生的实践操作水平。
图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，考察内容：①中心对称和中心对称图形的性质和别。
②旋转，平移的性质.【解题思路】折叠类题目的主要出题结合点有：与三角形结合，与平行四边形结合，与圆结合，与函数图像结合，题型多以选择题和填空题的形式出现，少数题目也会在大题中作为辅助背景。
在解决这类问题时，要注意折叠出等角，折叠出等长，折叠出等腰三角形，折叠出全等与相似等。
图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，解题方法①熟练掌握图形的对称，图形的平移，图形的旋转的基本性质和基本作图法。
②结合具体的问题大胆尝试，动手操作平移，旋转，探究发现其内在的规律。
③注重对网格内和坐标内的图形的变换试题的研究，熟练掌握其常用的解题方法。
④关注图形与变换创新题，弄清其本质，掌握基本解题方法，如动手操作法，折叠法，旋转法,旋转可以移动图形的位置而不改变图形的大小，是全等变换. 变换的目的是为了实现已知与结论中的相关元素的相对集中或分散重组，使表面上不能发生联系的元素联系起来．在转化的基础上为问题的解决铺设桥梁，沟通到路．一些难度较大的问题借助平移、对称、旋转的合成及相互关系可能会更容易一些．【典型例题】【例1】（2019·河北中考模拟）如图1，在▱ABCD中，DH▱AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．（1）如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B．①求四边形BHMM′的面积；②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．（2）如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．【例2】（2019·湖南中考模拟）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把▱PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE▱CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．【例3】（2019·辽宁中考真题）思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD▱AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE 绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值．【方法归纳】实践操作性试题以成为中考命题的热点，很多省市的压轴的都是这类题型，解决这种类型的题目可从以下方面切入：1.构造定理所需的图形或基本图形.在解决问题的过程中，有时添辅助线是必不可少的。
《图形与几何》教案设计
《图形与几何》教案设计一、教学目标1.让学生掌握平面几何的基本概念、性质和定理。
2.培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3.激发学生对图形与几何的兴趣，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力。
二、教学内容1.平面几何的基本概念：点、线、面、角2.几何图形的性质和定理：三角形、四边形、圆3.几何图形的相互关系：平行、垂直、相交4.几何图形的变换：平移、旋转、对称三、教学重点与难点1.教学重点：平面几何的基本概念、性质和定理，几何图形的相互关系及变换。
2.教学难点：几何图形的性质和定理的证明，几何图形的变换方法。
四、教学过程1.导入（1）通过多媒体展示一些生活中常见的几何图形，让学生初步认识平面几何。
（2）引导学生回顾小学阶段学过的几何知识，为新课学习做好铺垫。
2.授课（1）讲解平面几何的基本概念：点、线、面、角（2）讲解几何图形的性质和定理：三角形、四边形、圆（3）讲解几何图形的相互关系：平行、垂直、相交（4）讲解几何图形的变换：平移、旋转、对称3.练习（1）让学生在纸上画出一些几何图形，如三角形、四边形、圆等，并标出相关性质和定理。
（2）让学生互相交流，分享自己画图的经验和心得。
4.小组讨论（1）将学生分成小组，每组选一个组长。
1.如何证明一个三角形是等边三角形？2.如何判断两个几何图形是否相似？3.如何进行几何图形的平移、旋转、对称变换？（1）请小组代表发言，分享讨论成果。
6.作业布置（1）让学生回家后，复习本节课所学内容。
（2）完成课后练习题，巩固所学知识。
五、教学反思本节课通过生动的实例和丰富的练习，让学生掌握了平面几何的基本概念、性质和定理，以及几何图形的相互关系和变换。
在教学过程中，注重学生的参与和互动，激发学生的学习兴趣。
但在教学过程中，也发现了一些问题，如部分学生对几何图形的性质和定理掌握不够熟练，需要加强巩固。
在今后的教学中，我将针对这些问题，调整教学方法，提高教学效果。
六、教学资源1.多媒体课件2.教学视频3.练习题库4.课后辅导资料七、教学时间1课时八、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、发言积极性和学习态度。
计算机图形学 图形的几何变换的实现算法教程文件
计算机图形学图形的几何变换的实现算法实验二 图形的几何变换的实现算法班级 08信计 学号 59 姓名 分数一、实验目的和要求：1、掌握而为图形的基本几何变换，如平移，旋转，缩放，对称，错切变换；。
2、掌握OpenGL 中模型变换函数，实现简单的动画技术。
3、学习使用OpenGL 生成基本图形。
4、巩固所学理论知识，加深对二维变换的理解，加深理解利用变换矩阵可由简单图形得到复杂图形。
加深对变换矩阵算法的理解。
编制利用旋转变换绘制齿轮的程序。
编程实现变换矩阵算法，绘制给出形体的三视图。
调试程序及分析运行结果。
要求每位学生独立完成该实验，并上传实验报告。
二、实验原理和内容：. 原理:图像的几何变换包括:图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。
图像几何变换的实质:改变像素的空间位置，估算新空间位置上的像素值。
图像几何变换的一般表达式：[,][(,),(,)]u v X x y Y x y = ，其中，[,]u v 为变换后图像像素的笛卡尔坐标， [,]x y 为原始图像中像素的笛卡尔坐标。
这样就得到了原始图像与变换后图像的像素的对应关系。
平移变换：若图像像素点 (,)x y 平移到 00(,)x x y y ++，则变换函数为0(,)u X x y x x ==+，0(,)v Y x y y y ==+，写成矩阵表达式为：00x u x y v y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中，x 0和y 0分别为x 和y 的坐标平移量。
比例缩放：若图像坐标 (,)x y 缩放到（ ,x y s s ）倍，则变换函数为：00x y s u x s v y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 其中, ,x y s s 分别为x 和y 坐标的缩放因子，其大于1表示放大，小于1表示缩小。
旋转变换：将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转θ角度，则变换后图像坐标为：cos sin sin cos u x v y θ-θ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥θθ⎣⎦⎣⎦⎣⎦内容：1、对一个三角形分别实现平移，缩放旋转等变化。
几何变换
CBACHBA几何变换几何变换几何变换是把一个几何图形变换成另一个几何图形的方法。
对称、平移、旋转变换是几何变换中的差不多变换。
对称变换：如果把一个图形变到它关于直线l 的轴对称图形，如此的变换叫做关于直线l 的对称变换，又称反射变换，直线l 称为对称轴，我们常选用线段的垂直平分线、角平分线、等腰三角形的底边上的高作为对称轴来解题。
已知：⊿ABC 中，∠A<60°，试在⊿ABC 的边AB 、AC 上分别找一点P 、Q ，使BQ+QP+PC 最小。
在⊿ABC 中，AH 是高，已知∠BAC = 45°,BH = 2,CH = 3求⊿ABC 的面积。
旋转变换：把图形绕定点O 转动角度α得到图形的变换称为旋转变换，点O 称为旋转中心，α叫做旋转角，若α＝180°，这种专门的旋转变换叫做中心对称变换，这时旋转中心叫做对称中心。
旋转性质有：（1）在旋OCBADFNE BA F CBEADM N转变换下两点之间的距离不变。
（2）在旋转变换下两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角；设O 是正三角形ABC 内一点，已知∠AOB = 115°，∠BOC = 125°，求以OA ，OB ，OC 为边构成的三角形的各角。
设E 、F 各为正方形ABCD 的边BC 和DC 上的点， ∠EAF = 45°,AN ⊥EF 于N 。
求证：（1）AN=AD ；（2）EF AB S S AEF ABCD :2:=∆正方形平移变换：把几何图形沿某一确定的方向移动一定的距离的变换。
例：已知：四边形ABCD 中，AD=BC ，E 、F 分别是AB 分别是AB 、CD 的中点，AD 、EF 、BC 的延长线分别交于M ，N两点求证：∠AME =∠BNE练习：1、设P 是等边三角形ABC 内一点，∠APB ，∠BPC ，∠CPA 的大小之比是OCBAO BCDA5：6：7，则求以PA ，PB ，PC 的长为边构成的三角形的三个内角之比（从小到大）。
初中数学教案：几何图形的性质和变换
初中数学教案：几何图形的性质和变换一、几何图形的性质1.1 点、线、面的概念在几何学中，点、线、面是最基本且不可分割的概念。
1.2 直线和曲线的区别与性质直线是由无限多个点按一定方向延伸而成的，是最短的路径。
曲线则具有弯曲或环绕的特点，长度与形状可以各不相同。
1.3 角的定义及分类角是由两条射线共同确定且不重合于其公共端点。
根据大小可将角分为锐角、直角和钝角。
1.4 同位角和对顶角同位角指当有一条直线与两条平行直线相交时，在这两条平行直线之间的对应位置上所成的各对内错角。
对顶角指当两条直线相交时，在相交点处互为补角。
二、几何图形的变换2.1 平移平移是指将一个物体沿着某个方向上移动一段距离而不改变其形状和大小。
在平移中，每一个点都沿着相同方向和相等距离进行移动。
2.2 旋转旋转是指围绕某个固定点按照一定规律将物体转动一定角度。
旋转可以绕一个点、绕一条直线或绕一个中心等进行。
2.3 对称对称是指物体相对于某个中心轴或平面，两侧的形状和大小完全相同。
对称包括中心对称和轴对称两种形式。
2.4 放缩放缩是指根据一定比例改变图形的大小。
放大使图形变大，而缩小则使图形变小。
三、几何图形的性质与变换的应用3.1 性质的应用几何图形的性质在解决实际问题时具有广泛的应用。
例如，在设计建筑物或布置房间时，需要考虑到几何图形的特性来确定布局与结构。
3.2 变换的应用几何图形的变换不仅有助于我们观察和理解它们之间的关系，还被广泛应用于艺术、设计和工程等领域。
例如，在计算机生成动画或制作游戏场景时，常常使用旋转、平移和放缩等变换来创建各种视觉效果。
3.3 几何问题的解决方法在解决几何问题时，我们可以通过利用几何图形性质进行推理和证明来得出结论。
例如，通过对等角三角形的性质进行分析，可以证明两条线段平行。
3.4 几何图形与实际生活的联系几何图形在我们日常生活中无处不在。
我们可以通过观察周围的建筑物、家具和自然界中的对象来发现各种各样的几何图形，并了解它们之间的关系和特点。
小学奥数第二十一讲 图形的切拼和变换.doc
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】第二十一讲图形的切拼和变换阅读与思考法国皇帝拿破仑是一位著名的军事家。
他从一名军官成为一国之君，东征西讨，战功赫赫。
他对数学也有着浓厚的兴趣，他喜欢思考和讨论数学问题。
在圣赫勒拿岛上，拿破仑常与自愿陪同他的前宫廷大臣卡萨斯讨论一些智力问题。
一天，他给卡萨斯出了一道智力题，那是他当年随军远征时见过一块形状奇异的土地（如图1）。
他曾发出誓言；谁能将它分成形状相同的两块，这块土地就赏给谁。
然而，当时无人能做到。
卡萨斯也考虑了好几个晚上，仍未能解得此题。
当拿破仑告诉他后，他看到题目的解法竟然如此简单而后悔不已。
这一有趣的问题后人称为“拿破仑分地”问题，它的具体解法如图2.也就是本讲中我们要讨论的第一个问题——“图形的切拼”，也即图形的切割问题。
另外，我们在求某些组合图形的面积时，由于题目中的条件不多，用公式无法计算，即使用到前面第八、九两讲所学习的方法和技巧也很难奏效，但若是用到平移、旋转、对称等其他几何图形变换的手段往往能起到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的效果。
平移就是将一个图形沿固定方向进行移动，使原图形变成新的图形结构。
平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。
旋转就是将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，从而形成一个新的图形结构。
旋转也只是改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。
对称分轴对称和中心对称。
轴对称图形就是沿对称轴折叠，轴两侧的部分可以完全生命。
轴对称图形的对称轴平分这个图形的面积，这一特性在求组合图形的面积时经常用到。
如果在一个图形上任取一点，把这一点与一定点连续起来，并且将连线段延长一倍，延长线段的外端点在图形的另一部分上，这个定点叫做对称中心，这样的图形就是中心对称图形。
典型例题|例1|将下面图形分成三块形状相同，大小相同的图形（如图3）。
训练1：如图4是一个等腰梯形，上底与腰相等，下底是上底的2倍，怎样剪开可以得到四个面积相等形状一样的小等腰梯形？（在图形中画出来）|例2|如图5是由三个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形。
几何图形的相关性质和变换方法
几何图形的相关性质和变换方法一、几何图形的性质1.点、线、面的基本性质–点：没有长度、宽度和高度，只有位置。
–线：由无数个点连成，有长度和方向。
–面：由无数个线段围成，有面积和边界。
2.角度和弧度的概念–角度：用来度量两条射线之间的夹角，单位为度、弧度。
–弧度：以圆的半径为长度单位，用来度量角的大小。
3.平行线、相交线、异面直线等基本概念–平行线：在同一平面内，永不相交的直线。
–相交线：在同一平面内，只有一个交点的直线。
–异面直线：不在同一平面内的直线。
4.三角形、四边形、圆等基本图形的性质–三角形：由三条边和三个角组成，具有稳定性。
–四边形：由四条边和四个角组成，具有不稳定性。
–圆：平面上所有到定点距离相等的点的集合。
5.几何图形的对称性–对称轴：将图形平分的直线。
–对称点：关于对称轴或对称中心对称的点。
–对称图形：通过某条对称轴或某个对称中心对称的图形。
二、几何图形的变换方法•定义：在平面内，将一个图形上的所有点按照某个方向作相同距离的移动。
•特点：图形的大小、形状和方向不变，位置发生变化。
•定义：在平面内，将一个图形绕着某一点转动一个角度。
•特点：图形的大小、形状不变，方向发生变化。
•定义：在平面内，将一个图形沿着某条直线对折，使得对折后的两部分完全重合。
•特点：图形的大小、形状不变，位置发生变化。
4.相似变换–定义：在平面内，将一个图形的每个点按照某个比例关系进行变换，使得变换后的图形与原图形形状相同，但大小不同。
–特点：图形的形状不变，大小发生变化。
5.投影变换–定义：将平面内的图形通过某个方向（如垂直方向）投影到另一个平面或直线上的变换。
–特点：图形的大小、形状不变，但部分或全部信息发生变化。
6.组合变换–定义：将多种几何变换方法结合使用，对一个图形进行变换。
–特点：图形的大小、形状、位置发生变化。
通过掌握以上几何图形的性质和变换方法，可以更好地理解和解决各类几何问题，提高解题能力。
图形与几何内容分析与教学建议学习心得.doc
图形与几何内容分析与教学建议学习心得图形的变化，是儿何里一个重要的内容，主要包括以下儿个方面：1.图形的轴对称、旋转、平移在图形轴对称、旋转、平移的教学中，我们主要教会通过学生对•图形的变化过程来认识图形，来探索这些图形变化的一些基本性质。
（1）了解或认识轴对称、旋转、平移的概念，这种要求通过借助图形直观很容易达到，在教学中不必要给出图形变换的严格定义。
在教学中，教师可以介绍生活中和自然界中，一些具有几何变换带来的美丽图案，如飞机、漂亮的蝴蝶等。
（2）探索轴对称、旋转、平移的基本性质，通过图形的运动变化去发现这些性质，而不是单纯地把这些性质作为现成的结论呈现给学生。
通过探索活动，让学生感受图形运动变化过程中的不变量和不变关系，从而为运用图形运动的方法研究图形性质奠定基础。
让学生通过动手操作，如折纸等方式，让他们来认识轴对称、旋转、平移的基本性质。
（3）课程标准要求“探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质”，“探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质”的含义，使学生不仅知道这些图形是轴对称图形或中心对称图形，而且还包括运用轴对称性或中心对称性探索这些图形的其他性质。
（4）轴对称与轴对称图形（中心对称与中心对称图形）是两个有联系又易混淆的概念。
“轴对称（中心对称）”的意义是两个图形关于一条直线（一个点）对• 称，它揭示的是两个图形所具有的一种特殊位置关系；“轴对称图形（中心对称图形）”揭示的是一•个图形自身具有的特殊性质（对称性）。
2.图形的相似相似，是不同于轴对称、旋转、平移的另一种图形变化，相似变化改变图形的大小，不改变图形的形状（改变两点间距离的大小，不改变角的大小），也称为“保角变换”。
⑴为了降低探索相似三角形性质和判定的难度，课程标准把“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”作为基本事实，且只要求“了解”相似三角形的判定定理和性质定理的证明，不要求运用这些定理证明其他命题。
平面与立体的几何变换
平面与立体的几何变换几何变换是指通过一系列操作使得几何图形在平面或者立体空间中发生形状上的变化。
平面与立体的几何变换在数学和计算机图形学中有着广泛的应用。
本文将介绍平面与立体的几何变换的基本概念、常见的变换方式，并探讨其在实际中的应用。
一、平面几何变换1. 平移变换平移变换是指将平面上的图形沿着某个方向进行平行移动的操作。
平移变换可以通过将图形上的每一个点的坐标分别加上相应的平移量来实现。
平移变换不改变图形的形状和大小，只改变其位置。
在二维平面坐标系中，平移变换可以表示为：x' = x + dxy' = y + dy其中，(x, y)为原始图形上的点的坐标，(x', y')为变换后图形上的点的坐标，dx和dy分别为平移的距离。
2. 旋转变换旋转变换是指将平面上的图形绕指定的旋转中心进行旋转的操作。
旋转变换可以通过将图形上的每一个点绕旋转中心按照一定的角度进行旋转来实现。
在二维平面坐标系中，旋转变换可以表示为：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，(x, y)为原始图形上的点的坐标，(x', y')为变换后图形上的点的坐标，θ为旋转角度。
3. 缩放变换缩放变换是指将平面上的图形按照一定的比例进行放大或缩小的操作。
缩放变换可以通过将图形上每一个点的坐标按照一定的比例进行扩大或缩小来实现。
在二维平面坐标系中，缩放变换可以表示为：x' = x * sxy' = y * sy其中，(x, y)为原始图形上的点的坐标，(x', y')为变换后图形上的点的坐标，sx和sy分别为沿x轴和y轴的缩放比例。
二、立体几何变换1. 平移变换立体空间中的平移变换与平面几何中的平移变换类似，只是需要将图形的每一个点的三维坐标分别加上相应的平移量。
2. 旋转变换立体空间中的旋转变换与平面几何中的旋转变换类似，只是需要将图形的每一个点的三维坐标按照一定的角度绕旋转中心进行旋转。
几何变换基本图形
几何变换基本图形1.“K 字形”应用：①已知450角⇒构造等腰直角三角形⇒“一线三直角”⇒全等②已知300角⇒构造直角三角形⇒“一线三直角”⇒相似③已知tan k α=⇒构造直角三角形⇒“一线三直角”⇒相似2.母子型相似“一线三直角” “一线三等角” B 如图，△ABD 整体旋转900△ABC∽△ACD∽△CBD CD 2=AD ·BD AC 2=AD ·AB BC 2= BD ·ABCD=AC BCABg B△ABC∽△ACD AC 2=AD ·AB3.半角模型4.定边对定角⇒隐圆（辅助圆）① 若AB若AB 定长，∠ACB=α，则点C 在⊙O（△ABC 的外接圆）上运动。
5. 已知中点的处理策略：几何法：①垂直平分线（等腰三角形+中点）②直角三角形斜边中线（直角三角形+中点）⇒可寻找线段数量关系。
③中位线（中点+中点） ④倍长中线⇒构造全等。
代数法：中点坐标公式：A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ，则中点P (122x x +,122y y +)△ADC≌△BFCB F⊥AB △DCE≌△FCE BE 2+AD 2=DE 2 ①等腰直角三角形（正方形）+450角⇒△ADC 整体旋转900.②同弧所对圆周角=12圆心角 ③等腰三角形+直角三角形=找半角或倍角的三角函数值。
A tan2α=22tan 1tan αα- tanαD Btan 12α A 记：tan150=2-tan750=2+6.“手拉手模型”（本质旋转）7.角平分线处理策略： ① 角平分线+平行=等腰角平分线+等腰=平行 ②角平分线+垂直=等腰三角形 ③角平分线，作两条垂线段④ 角平分线，作对称或翻折8.垂直处理策略：②几何法： 构造“K 型图”⇒ 构造双垂直 ⇒ 横平竖直 △ACE≌△BCD∠BAC＝∠DEC BC DCAC EC=BC ACDC EC= △BCD∽△ACE两个等腰直角三角形 EC 两个顶角相等的等腰三角形 ∠ACB＝∠DCE=α △ACE≌△BCDAC=BC, DC=EC∵∠ACB＝∠DCEBC DCAC EC= ∴△BCD∽△ACE9、等腰三角形存在性问题（两定一动）已知两点，定一边，利用“两圆一线”模型分类讨论， ①定点为圆心，定边为半径； ②定边为中垂线。
三维图形几何变换
3.1.2 三维图形几何变换三维几何变换包括平移、旋转和变比。
三维几何变换可以表示为公式，或三维齐次坐标和4×4变换矩阵的乘积。
下面分别以公式，矩阵乘积和简记符号来描述三维几何变换。
并记变换前物体的坐标为x,y,z；变换后物体的坐标为x′，y′，z′。
一、平移设Tx,Ty,Tz是物体在三个坐标方向上的移动量，则有公式：x′＝x＋T xy′＝y＋T yz′＝z＋T z矩阵运算表达为：［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］简记为：T(Tx,Ty,Tz)二、旋转旋转分为三种基本旋转：绕z轴旋转，绕x轴旋转，绕y轴旋转。
在下述旋转变换公式中，设旋转的参考点在所绕的轴上，绕轴转θ角，方向是从轴所指处往原点看的逆时针方向(图3.5(a),(b))。
1 绕z轴旋转的公式为：x′＝xcosθ－ysinθy′＝xsinθ＋ycosθz′＝z矩阵运算的表达为：［x′ y′ z 1］＝［x y z 1］简记为R z(θ)。
2 绕x轴旋转的公式为：x′＝xy′＝ycosθ－zsinθz′＝ysinθ＋zcosθ矩阵运算的表达为：［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］简记为R x(θ)2 绕y轴旋转的公式为：x′＝zsinθ＋xcosθy′＝yz′＝zcosθ－xsinθ矩阵的运算表达式为：［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］简记为Ry(θ)。
如果旋转所绕的轴不是坐标轴，而是一根任意轴，则变换过程变显得较复杂。
首先，对物体作平移和绕轴旋转变换，使得所绕之轴与某一根标准坐标轴重合。
然后，绕该标准坐标轴作所需角度的旋转。
最后，通过逆变换使所绕之轴恢复到原来位置。
这个过程须由7个基本变换的级联才能完成。
设旋转所绕的任意轴为p1, p2两点所定义的矢量。
旋转角度为 (图3.6)。
这7个基本变换是：1 T(－x1,－y1,－z1)使p1点与原点重合(图3.6(b))；2 R x(α)，使得轴p1p2落入平面xoz内(图3.6(c))；3 R y(β)，使p1p2与z轴重合(图3.6(d));4 R z(θ)，执行绕p1p2轴的θ角度旋转(图3.6(e))；5 R y(－β)，作3的逆变换；6 R x(－α)，作2的逆变换；7 T(x1,y1,z1)作1的逆变换。
几何图形的对称性与变换
几何图形的对称性与变换是几何学中的重要概念，它们在数学、艺术、工程设计等多个领域都有着广泛的应用。
对称性是指物体或图形在某种变换下保持不变的性质，而变换则是指图形在空间中的位置、形状、大小等特征的改变。
一、对称性对称性是几何图形的一种基本属性，它反映了图形在某种对称变换下的不变性。
对称性可以分为两种基本类型：轴对称和中心对称。
1. 轴对称：如果一个几何图形关于一条直线（对称轴）对称，即在直线两侧的部分能够通过这条直线对折而完全重合，那么这个图形具有轴对称性。
轴对称的图形在日常生活中非常常见，如蝴蝶、叶子等。
轴对称的性质在数学上有助于简化一些问题的求解，如计算图形的面积或周长等。
2. 中心对称：如果一个几何图形关于一个点（对称中心）对称，即图形上的每一点与对称中心连接形成的线段都被该点平分，那么这个图形具有中心对称性。
中心对称的图形如圆形、正方形等，它们在视觉上呈现出一种平衡和稳定感。
中心对称的性质在数学上也有着广泛的应用，如计算图形的旋转、平移等变换后的位置。
对称性不仅存在于二维平面图形中，还存在于三维立体图形中。
在三维空间中，几何图形的对称性可以表现为面对称、线对称和旋转对称等多种形式。
这些对称性质在工程设计、建筑设计等领域中具有重要的应用价值，可以帮助设计师创造出美观且结构稳定的作品。
二、变换变换是指几何图形在空间中的位置、形状、大小等特征的改变。
常见的变换包括平移、旋转、缩放等。
1. 平移：平移是指图形在空间中沿某一方向移动一定的距离，而形状和大小保持不变的操作。
平移是一种简单的变换，它不会改变图形的任何内在属性，只是改变了图形在空间中的位置。
平移在数学、计算机图形学等领域有着广泛的应用，如在动画制作中通过平移实现物体的运动效果。
2. 旋转：旋转是指图形在空间中以某一点为中心，沿某一方向旋转一定的角度，而形状和大小保持不变的操作。
旋转变换可以改变图形的方向，但不会改变图形的大小和形状。
在日常生活中，许多物体都具有旋转对称性，如轮子、表盘等。
数学中的几何图形与空间变换
数学中的几何图形与空间变换数学中的几何图形与空间变换是一门研究空间形状与变化规律的学科。
通过对几何图形的研究，我们可以更好地理解和描述世界的形态、结构和属性。
同时，空间变换是一种将几何图形从一个状态转变为另一个状态的操作，对于解决实际问题和揭示几何现象也起着重要作用。
一、几何图形的分类与性质：在数学中，几何图形可以被分为二维图形与三维图形。
二维图形指的是存在于平面上的图形，如点、线、面等；而三维图形则是存在于空间中的图形，如球体、立方体、圆柱体等。
几何图形具有许多独特的性质。
例如，在二维平面中，线段的长度可以被测量，角度可以被度量，多边形有不同的边数和角度。
在三维空间中，物体的体积可以被计算，表面上的形状可以进行测量和描述。
二、几何变换的基本操作：几何变换是指将几何图形在空间中进行移动、旋转、缩放等操作，由此得到新的几何图形。
常见的几何变换包括平移、旋转、对称和放缩等。
这些变换可以通过数学方法来表示和描述，并且可以通过矩阵运算进行计算和推导。
1. 平移变换：平移变换是指将几何图形沿着指定的方向和距离进行移动。
平移变换不改变图形的大小和形状，只是改变图形的位置。
在二维平面中，平移变换可以使用向量进行描述，例如(x, y) → (x+a, y+b) 表示将点 (x, y) 平移 a 个单位在 x 轴方向，b 个单位在 y 轴方向。
2. 旋转变换：旋转变换是指将几何图形绕着某个点或轴进行旋转。
旋转变换改变了几何图形的方向和位置。
在二维平面中，旋转变换可以使用旋转矩阵进行表示，例如绕原点逆时针旋转角度θ 的变换可以表示为(x, y) → (x*cosθ - y*sinθ, x*sinθ + y*cosθ)。
3. 对称变换：对称变换是指将几何图形围绕某条直线、点或平面进行镜像。
对称变换通过改变图形的对称性来得到新的图形。
在二维平面中，对称变换可以通过坐标变换来描述，例如关于 x 轴的对称变换可以表示为 (x, y) → (x, -y)。
几何变换的概念与分类
几何变换的概念与分类几何变换（Geometric transformation）是指在几何空间中，通过一系列数学操作改变图形的形状、大小、位置或方向的过程。
几何变换是解决计算机图形学、计算机视觉和几何建模等领域中的重要问题之一。
本文将介绍几何变换的概念与分类，以及具体的应用案例。
一、概念几何变换是通过对图形进行一系列数学操作来改变其属性的方法。
常见的几何变换包括平移（Translation）、旋转（Rotation）、缩放（Scaling）和翻转（Reflection）等。
其中，平移是指在平面或者空间中保持图形大小和形状不变的情况下，仅改变图形的位置；旋转是指绕某一点或某一轴将图形按一定角度进行旋转；缩放是指通过乘以一个比例因子来改变图形的大小；翻转是指将图形关于某一轴进行对称。
二、分类根据几何变换的性质和特点，可以将几何变换分为刚体变换和仿射变换两大类。
1. 刚体变换刚体变换（Rigid transformation）是指变换过程中保持图形大小、形状和相对位置不变的几何变换。
常见的刚体变换包括平移和旋转。
平移是通过改变图形的位置来实现，旋转则是通过围绕某一点进行旋转来实现。
刚体变换可以应用于很多领域。
例如，在计算机动画中，通过对角色模型进行平移和旋转，可以实现动作的平移和旋转效果；在机器人运动规划中，通过对机器人进行平移和旋转来规划其路径。
2. 仿射变换仿射变换（Affine transformation）是指在变换过程中图形的边长比例和平行性质保持不变的几何变换。
除了平移和旋转，仿射变换还包括缩放和翻转。
缩放是通过改变图形的大小来实现，翻转则是通过关于某一轴进行对称来实现。
仿射变换是计算机图形学、计算机视觉和几何建模等领域中非常重要的变换方式。
例如，在图像处理中，通过对图像进行仿射变换可以实现图像的旋转、缩放和翻转效果；在地理信息系统（GIS）中，通过对地图进行仿射变换可以实现地图的伸缩和旋转。
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图形与变换一、考点综述考点内容：（1）图形的轴对称（2）图形的平移（3）图形的旋转（4）图形相似变换考纲要求：1理解轴对称及轴对称图形的联系和区别；2掌握轴对称的性质；根据要求正确地作出轴对称图形。
3理解图形的平移性质；4会按要求画出平移图形；5会利用平移进行图案设计。
6理解图形旋转的有关性质；7掌握基本中心对称图形；8会运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计9掌握按耍求作出简单平面图形经相似变换后的图形。
考查方式及分值：近年全国各地的中考数学试题出现了不少有关图形变换的试题.这些试题以新课程标准的内容和要求为依据，注重对数学知识的理解，技能的掌握综合应用能力的检测，积极推进素质教育和数学创新思维培养，中考中考查的内容丰富，形式多样，题型涉及选择题、填空题、作图题和解答题等，其中尤以选择题居多，填空题相对较少，所占分值在3"0分,在选择、填空、解答题中都有出现，图案的设计常在作图题中出现。
备考策略：加强了对学生实验操作、读图作图、合情推理等能力的耍求，强化对图形变换的训练, 适当渗透空间观念，侧重数学思想方法以及运用几何知识解决实际问题能力。
二、例题精析例1、如图1,在直线/上摆放有AABC和宜角梯形DEFG,且CD = 6 cm；在左ABC中：ZC = 90°, ZA=30°, AB = 4 cm；在直角梯形DEFG 中:EF//DG, ZDGF=90°, DG=6 cm, DE =4cm, ZEDG = 60°解答下列问题:o（1）旋转：将AABC绕点C顺时针方向旋转90°,请你在图中作出旋转后的对应图形△ABC,并求出AB】的长度;（2）翻折：将沿过点Bi且与直线/垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形(3)平移：将△AEG 沿直线/向右平移至△ A’BQ,若设平移的距离为x, △，岫妁与直的 梯形重叠部分的面积为y,当y 等于AABC 面积的一半时，x 的值是多少？FEDAG解题思路：运用旋转、翻折、平移的性质，旋转注意旋转中心和旋转角度，翻折利用轴对称 的性质。
平移前后对应线段平行且相等。
AO.Ci,试判定四边形A2B (DE 的形状？并说明理由；解析：(1)在Z\ABC 中由巳知得：BC=2, AC=ABXcos30° =2占，.*.ABi=AC+C Bi=AC+CB= 2 + 2^3 . (2) 四边形ABDE 为平行四边形.理由如下：VZEDG=60° , ZA2B1C1 = ZAiBiC= ZABC = 60° , AA2B1Z/DE又A2B I =AB=AB=4, DE = 4, .・.A2B ： = DE,故结论成立.(3) 由题意可知：S AABC ~ — X 2 X — 2^3 ,2%1 当 0^尤< 2 或 x>iont, y =0此时重叠部分的面积不会等于AABC 的面积的一半%1 当2 < x V 4时，直角边B2C2与等腰梯形的下底边DG 重叠的长度为DC 2=C 1C 2-DC F(x —2) cm,则 y = —(x- 2)V3(x - 2)=——(x- 2)2,2 2当y=|S AABC =占时，即争(x —2)2=占， 解得尤=2-扼(舍)或X = 2 + VL..•当x = 2 +很 时，重叠部分的面积等于AABC 的面积的一半. %1 当4<x<8时，△AaBzC?完全与等腰梯形重杵，即y = 2V3 %1 当 8<x< 10 时,B 2G=B2C2-GC 2=2 - (% -8)=10-%则y=；(10_工)，^^(1。
_工)=_^(1。
-工)2，1R当y = —S^ABC=y/3时，即—(10 — X)- = V3 ，2 2解得x = 10 —扼，或x = 10 +扼(舍去)...•当x = 10 + V2时，重叠部分的面积等于AABC的面积的一半.由以上知，当x = 2 + ^2或尤=10 +很口寸，重叠部分的而积等于AABC的而积的一半. 规律总结：注意运用图形变换中旋转、轴对称、平移的性质，认真把握题目所给条件的脉搏。
例2、如图2,桌面内，直线/上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较小直角边的长为6cm,较小锐们的度数为30° .(1)将△昭9沿直线化翻折到如图2-1的位置，ED，与他相交于点凡请证明：AF = Fir .(2)将△时沿直线/向左平移到图2-2的位置，使幻、E落在时上，你可以求出平移的距离，试试看；(3)将△旋7?绕点。
逆时针方向旋转到图2-3的位置，使/点落在ABk.请求出旋转角的度数.解题思路：(1)中线段相等可利用三角形全等；(2)中利用宜角三角形可以求出平移的距离;(3)中旋转后的图形可以判断△BCE，为等边三角形，从而求出旋转角度.解析:(1)根据轴对称的性质可知，在用与△〃'网中,9：ZA=ZD, , AB-BD' , /AF序ZD' FB,「•△g竺△〃' FB.・.・AF = FD f.(2)根据平移的性质可知6T为平移的距离.在Rt△矿S'中，BC = 2V3 ,所以07 = 6-20(3)根据旋转的性质可知，△BCE，为等边三角形，ZECE f为旋转角・.••旋转角匕ECE'为3甘.规律总结：解决平移与旋转的综合变换问题时，常常既可以先旋转后平移也可以先平移后旋转.只要把握好平移和旋转变换的各自的儿要素就可以很好地解决问题.例3、如图3,在平面直怕坐标系中，京BC和左关于点"成中心对称.(1)画出对称中心乙并写出点从/I、。
的坐标;(2)尹(a,力)是△应/的边ACk一点，△/!冏;经平移后点夕的对应点为& (a+6, M2), 请画出上述平移后的△ A?BG,并写出点4、。
的坐标；(3)判断△和左A^G的位置关系(直接写出结果).解题思路：根据中心对称图形的对应点连线经过对称中心，可以确定点8位置；通过〃点的平移规律可知，△4%|何上平移了6个单位，向右平移了2个单位.解析：(1)如图3—1, E (—3, -1), A (-3, 2),。
(一2, 0)；(2)如图,4 (3, 4), G (4, 2)；(3)^A2&G与左Ar&G关于原点0成中心对称.规律总结：本题将图形与坐标、平移有机的结合起来，考查学生能按照要求作出简单平图3-1图①图②A】图面图形旋转、平移后的图形，在一定程度上也考查学生切实理解运动变换及数形结合思想方法的程度.例4如图4-1,将矩形纸片砂⑦（图①）按如下步骤操作：（1）以过点】的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在4〃边上，折痕与网边交于点£、（如图②）；（2）以过点3的直线为折痕折叠纸片，使点4落在此'边上4,折痕所交沥边于点仃（如图③）；（3）将纸片收展平，那么ZAFE的度数为（）.图4—1A. 60°B. 67. 5°C. 72°D. 75°解题思路：设，点落在％边上4处，如图4-2由折叠过程可知，4AEF^A\EF, AAEF- ZA1EF, /AE&67.5。
,所以ZJ/^67. 5° .图4-2解：选B.规律总结：为了能清楚的理解问题，一定耍让学生实行实际操作，对于基础较好的同学可以根据操作结果进行分析计算，而一些基础不好的同学完全可以实际操作的结果进行测量，得出正确结果.另外，要让学生明确折叠即意味着图形轴对称，意味着全等图形的存在.例5如图5,在Rt△既C中，AB=AQ D、8是斜边位上两点，且匕〃/必45° ,将△也C 绕点，顺时针旋转90°后，得到△沥冗连接研下列结论：AB E D CA.①⑤B.②④C.③⑤D.②⑤ 2.将一正方体纸盒沿下右图所示的线剪开, 展开成平面图，其展开图的形状为（）①②4ABEs/\ACD ・,③ BE + DC = DE ；④ BE 2 + DC 2 = DE 2其中正确 的是（ ） A.②④ B.①④ C.②③ D.①③解题思路：由题意△成竺必；得到ZAB 件45° , Z/^90° ZFAE=ZFA^ZBAB^ 匕DA 。
ZBAE=45° ,所以△ AE/SEF,从而即=〃C.解析：选B.规律总结：本题考查学生运用旋转的性质，结合等腰直佑三的形和全等三的形的有关知 识，要求学生在图形变换的过程中全而寻找图形旋转过程中的不变量.三、综合训练一、选择题1.如图的图案是由下而五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（）3.将一张纸第一次翻折，折痕为AB （如图1）,第二次翻折，折痕为国（如图2）,第 三次翻折使PA 与PQ 重合，折痕为％（如图3）,第四次翻折使所与用重合，折痕为初（如 图4）.此时，如果将纸复原到图1的形状，则匕C0?的大小是（）1题图① ② ③ ④ ⑤A. 120°B.90°C.6(7I).45。
4.直角三角形纸片的两直角边长分别为6, 8, 点B重合，折痕为OE,则tan ZCBE的值是（现将△ABC如图那样折叠，使点A与第4题图24A. VV77C. 24D.5.如图，RtAABC 中,第3题图ZACB = 90\ ZCAB =30°, BC = 2 ,。
，H 分别为边A& AC的中点，将△A8C绕点B顺时针旋转120°到乙的位置，则整个旋转过程中线段所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（）C.兀6.如图，△应仃的内部有一点R H〃、伏户是户分别以』从BC、4C为对称轴的对称点.若的内角£4=70。
，Z庐60。
，Z05O。
，则』AD8+qBEC，/CFA=（AB 图1)4第5题图3D. ( 2 , 4-2A /3)A. (2, 20)A. 180°B. 270°C. 360°D. 480°7. 如图，布平而直角坐标系中，04殄是正方形，点刀的坐标是（4, 0）,点P 为边伸 上一点，Z 677^60° ,沿67,折叠正方形，折准后，点月落在平而内点8'处，则8'点的坐 标为（）.3B. ( 2 , 2-^3) c. (2, 4-2A /3) 二、填空题8. 如图，菱形中，匕仞庆60° , 〃是的中点，Q 是对角线刀。
上的一个动点, 若P^PB 的最小值是3,则应?长为.第8题图9. 在如图所示的单位正方形网格中，将 WBC 向右平移3个单位后得到△A'RC'（其 中A,B C 的对应点分别为A', B' C'）,则ZBA f A 的度数是第9题图10. 如图，将边长为1的正三角形°AP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落扩B第6题图第7题图DB在点与，4… 乙。