2019年天津市高考数学试卷(文科)

2019年天津市高考数学试卷（文科）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设集合A ={-1，1，2，3，5}，B ={2，3，4}，C ={x ∈R |1≤x ＜3}，则（A ∩C ）∪B =（）A. {2}B. {2,3}C. {−1,2，3}D. {1,2，3，4} 2. 设变量x ，y 满足约束条件{x +y −2≤0，x −y +2≥0，x ≥−1，y ≥−1，则目标函数z =-4x +y 的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 5D. 63. 设x ∈R ，则“0＜x ＜5”是“|x -1|＜1”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（ ）A. 5B. 8C. 24D. 295. 已知，，c =0.30.2，则a,b,c 的大小关系为（） A. c <b <aB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b6. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线x 2a2-y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |=4|OF |（O 为原点），则双曲线的离心率为（） A. √2 B. √3 C. 2 D. √57. 已知函数f （x ）=A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，且f （x ）的最小正周期为π，将y =f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）．若g （π4）=√2，则f （3π8）=（ ）A. −2B. −√2C. √2D. 28. 已知函数f （x ）=若关于x 的方程f （x ）=-14x +a （a ∈R ）恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为（）A. [54,94]B. (54,94]C. (54,94]∪{1}D. [54,94]∪{1}二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 9. i 是虚数单位，则|5−i1+i |的值为______．10. 设x ∈R ，使不等式3x 2+x -2＜0成立的x 的取值范围为______． 11. 曲线y =cos x -x2在点（0，1）处的切线方程为______．12. 已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形，侧棱长均为√5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为______． 13. 设x ＞0，y ＞0，x +2y =4，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为______．14. 在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =2√3，AD =5，∠A =30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE =BE ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况． （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这62 AB C D E F 子女教育 〇 〇 × 〇 × 〇 继续教育 × × 〇 × 〇 〇 大病医疗 × × × 〇 × × 住房贷款利息 〇〇 × × 〇 〇 住房租金 × × 〇 × × × 赡养老人〇〇×××〇（）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c =2a ，3c sin B =4a sin C ． （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin （2B +π6）的值．17. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA ⊥CD ，CD =2，AD =3．（Ⅰ）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．18. 设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0．已知a 1=b 1=3，b 2=a 3，b 3=4a 2+3． （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n }满足c n ={1，n 为奇数，b n 2，n 为偶数．求a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n （n ∈N *）．19.设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知√3|OA|=2|OB|（O为原点）．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x 轴和直线l相切，圆心C在直线x=4上，且OC∥AP．求椭圆的方程．20.设函数f（x）=ln x-a（x-1）e x，其中a∈R．（Ⅰ）若a≤0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若0＜a＜1e，（i）证明f（x）恰有两个零点；（ii）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点，且x1＞x0，证明3x0-x1＞2．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查集合的基本运算——交集、并集运算，比较基础．根据集合的基本运算即可求A∩C，再求（A∩C）∪B.【解答】解：设集合A={-1，1，2，3，5}，C={x∈R|1≤x＜3}，则A∩C={1，2}，∵B={2，3，4}，∴（A∩C）∪B={1，2}∪{2，3，4}={1，2，3，4}；故选：D．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（-1，1），化目标函数z=-4x+y为y=4x+z，由图可知，当直线y=4x+z过A时，z有最大值为5．故选C．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．【解答】解：∵|x-1|＜1，∴0＜x＜2，∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，0＜x＜2⇒0＜x＜5，∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要不充分条件，即0＜x＜5是|x-1|＜1的必要不充分条件.故选B．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：i=1，s=0；第一次执行第一个判断语句后，S=1，i=2，不满足条件；第二次执行第一个判断语句后，j=1，S=5，i=3，不满足条件；第三次执行第一个判断语句后，S=8，i=4，满足退出循环的条件；故输出S值为8.故选B.5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数式与指数式的大小比较，可利用整数作为中间量进行比较，属于基础题．本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．【解答】解：由题意，可知：a=log27＞log24=2，b=log38＜log39=2，b=log38＞log33=1，c=0.30.2＜0.30=1，∴c＜b＜a．故选A．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．推导出F（1，0），准线l的方程为x=-1，|AB|=，|OF|=1，从而b=2a，进而c= =，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l,∴F（1，0），准线l的方程为x=-1，∵l与双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|=4|OF|（O为原点），∴|AB|=，|OF|=1，∴，∴b=2a，∴c==，∴双曲线的离心率为e=．故选D．7.【答案】C【解析】解：∵f（x）是奇函数，∴φ=0，∵f（x）的最小正周期为π，∴=π，得ω=2，则f（x）=Asin2x，将y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．则g（x）=Asinx，若g（）=，则g（）=Asin=A=，即A=2，则f（x）=Asin2x，则f（）=2sin（2×=2sin=2×=，故选：C．根据条件求出φ和ω的值，结合函数变换关系求出g（x）的解析式，结合条件求出A的值，利用代入法进行求解即可．本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查分段函数的运用，注意运用函数的图象和平移变换，考查分类讨论思想方法和数形结合思想，属于中档题．分别作出y=f（x）和y=-x的图象，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，直线与y=在x＞1相切，求得a的值，结合图象可得所求范围．【解答】解：作出函数f（x）=的图象，以及直线y=-x的图象，关于x的方程f（x）=-x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，即为y=f（x）和y=-x+a的图象有两个交点，平移直线y=-x，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，可得a=或a=，考虑直线与y=在x＞1相切，可得ax-x2=1，由△=a2-1=0，解得a=1（-1舍去），综上可得a的范围是[，]∪{1}．故选：D．9.【答案】√13【解析】【分析】本题主要考查复数定义及模的概念及基本运算，本题属基础题．可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算．【解答】解：由题意，可知：===2-3i，∴||=|2-3i|==．故答案为．10.【答案】（-1，2）3【解析】【分析】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．解一元二次不等式即可．【解答】解：3x2+x-2＜0，故（x+1）（x-）＜0，由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”，可得：-1＜x＜，即{x|-1＜x＜}.故答案为：（-1，）.11.【答案】x+2y-2=0【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，导数的运算，直线方程的求法.对曲线方程求导，然后将x=0代入导数方程得出在点（0，1）处的斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．【解答】解：由题意，可知：y′=-sinx-，∵y′|x=0=-sin0-=-，曲线y=cosx-在点（0，1）处的切线方程：y-1=-x，整理，得：x+2y-2=0．故答案为x+2y-2=0．12.【答案】π4【解析】【分析】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题．求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可．【解答】解：由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得：正四棱锥的高为2，由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于，由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1，则该圆柱的体积为：v=sh=π（）2×1=.故答案为.13.【答案】92【解析】【分析】利用基本不等式求最值．本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．【解答】解：x＞0，y＞0，x+2y=4，则===2+，x＞0，y＞0，x+2y=4，由基本不等式有：4=x+2y≥2，∴0＜xy≤2，≥，故：2+≥2+=，（当且仅当x=2y=2时，即：x=2，y=1时，等号成立），故的最小值为.故答案为．14.【答案】-1【解析】【分析】本题考查了平面向量基本定理和平面向量的数量积，关键是选好基底，属于中档题．利用和作为基底表示向量和，然后计算数量积即可．【解答】解：∵AE=BE，AD∥BC，∠A=30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA=120°，又AB=2，∴AE=2，∴，∵，∴，又，∴•====-12+×5×2×-=-1. 故答案为-1．15.【答案】解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6：9：10，由于采用分层抽样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人； （Ⅱ）（i ）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 {A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }， {B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种； （ii ）由表格知，符合题意的所有可能结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }， {B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种， 所以，事件M 发生的概率P （M ）=1115． 【解析】本题主要考查了用列举法求古典概型的概率问题，分层抽样，是基础题目. （Ⅰ）根据分层抽样各层所抽比例相等可得结果； （Ⅱ）（i ）用列举法求出基本事件数；（ii ）用列举法求出事件M 所含基本事件数以及对应的概率.16.【答案】解（Ⅰ）在三角形ABC 中，由正弦定理b sinB =csinC ，得b sin C =c sin B ，又由3c sin B =4a sin C ，得3b sin C =4a sin C ，即3b =4a ， 又因为b +c =2a ，得b =4a 3，c =2a3， 由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac=a 2+49a 2−169a22⋅a⋅23a=-14；（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B =√1−cos 2B =√154，从而sin2B =2sin B cosB=-√158，cos2B =cos 2B -sin 2B =-78，故sin （2B +π6）=sin2B cos π6+cos2B sin π6=-√158×√32-78×12=−3√5+716． 【解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．（Ⅰ）根据正余弦定理可得；（Ⅱ）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．17.【答案】证明：（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD=H，BH=DH，又由BG=PG，得GH∥PD，∵GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴GH∥平面PAD；（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN，依题意得DN⊥PC，又∵平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD=PC，∴DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，∴DN⊥PA，又PA⊥CD，CD∩DN=D，∴PA⊥平面PCD；（Ⅲ）连结AN，由（Ⅱ）中DN⊥平面PAC，知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，∵△PCD是等边三角形，CD=2，且N为PC中点，∴DN=√3，又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN=DNDA =√3 3．∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为√33．【解析】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力．（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD=H，BH=DH，由BG=PG，得GH∥PD，由此能证明GH∥平面PAD；（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN，推导出DN⊥PC，从而DN⊥平面PAC，进而DN⊥PA，再上PA⊥CD，能证明PA⊥平面PCD；（Ⅲ）连结AN ，由DN ⊥平面PAC ，知∠DAN 是直线AD 与平面PAC 所成角，由此能求出直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值． 18.【答案】解：（Ⅰ）{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0，设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，q ＞0， 由题意可得：3q =3+2d ①，3q 2=15+4d ②， 解得：d =3，q =3，故a n =3+3（n -1）=3n ，b =3×3n -1=3n ， （Ⅱ）数列{c n }满足c n =，a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n （n ∈N *）=（a 1+a 3+a 5+…+a 2n -1）+（a 2b 1+a 4b 2+a 6b 3+…+a 2n b n ） =[3n +n(n−1)2×6]+（6×3+12×32+18×33+…+6n ×3n ）=3n 2+6（1×3+2×32+…+n ×3n ） 令T n =（1×3+2×32+…+n ×3n ）①， 则 3T n =1×32+2×33+…+n 3n +1②， ②-①得：2T n =-3-32-33…-3n +n 3n +1 =-3×1−3n 1−3+n 3n +1=(2n−1)3n+1+32，故a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n =3n 2+6T n =(2n−1)3n+2+6n 2+92（n ∈N *）.【解析】本题主要考查等差等比数列通项公式和前n 项和的求解，考查数列求和的基本方法分组和错位相减法的运算求解能力，属中档题．（Ⅰ）由等差等比数列通项公式和前n 项和的求解{a n }和{b n }的通项公式即可． （Ⅱ）利用分组求和和错位相减法得答案．19.【答案】解：（Ⅰ）√3|OA |=2|OB |，即为√3a =2b ，可得e =ca =√1−b 2a2=√1−34=12，（Ⅱ）b =√32a ，c =12a ，即a =2c ，b =√3c ， 可得椭圆方程为x 24c2+y 23c 2=1，设直线FP 的方程为y =34（x +c ）， 代入椭圆方程可得7x 2+6cx -13c 2=0，解得x =c 或x =-13c 7，代入直线PF 方程可得y =3c2或y =-9c14（舍去）， 可得P （c ，3c2），圆心C 在直线x =4上，且OC ∥AP ，可设C （4，t ）， 可得t4=3c 2c+2c，解得t =2，即有C （4，2），可得圆的半径为2， 由直线FP 和圆C 相切的条件为d =r ， 可得|3×4−4×2+3c|√9+16=2，解得c =2，可得a =4，b =2√3， 可得椭圆方程为x 216+y 212=1．【解析】本题考查椭圆的方程和性质、直线和椭圆的位置关系，求交点，以及直线和圆相切的条件：d=r ，考查化简运算能力，属于中档题． （Ⅰ）由题意可得a=2b ，再由离心率公式可得所求值； （Ⅱ）求得a=2c ，b=c ，可得椭圆方程为+=1，设直线FP 的方程为y=（x+c ），联立椭圆方程求得P 的坐标，以及直线AP 的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得c=2，即可得到所求椭圆方程． 20.【答案】（Ⅰ）解：f ′（x ）=1x -[ae x +a （x -1）e x ]=1−ax2e xx，x ∈（0，+∞），当a ≤0时，f ′（x ）＞0，∴函数f （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增； （Ⅱ）证明：（i ）由（Ⅰ）可知：f ′（x ）=1−ax 2e xx，x ∈（0，+∞），令g （x ）=1-ax 2e x ，∵0＜a ＜1e ，可知g （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递减，又g （1）=1-ae ＞0， 且g （ln 1a ）=1-a (ln 1a )2⋅1a =1-(ln 1a )2＜0， ∴g （x ）存在唯一解x 0∈（1，ln 1a ），即函数f （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，+∞）单调递减， ∴x 0是函数f （x ）的唯一极值点， 令h （x ）=ln x -x +1，（x ＞0），h ′（x ）=1−x x，可得h （x ）≤h （1）=0，∴x ＞1时，ln x ＜x -1，f （ln 1a ）=ln （ln 1a ）-a （ln 1a -1）e ln 1a =ln （ln 1a ）-（ln 1a -1）＜0， ∵f （x 0）＞f （1）=0，∴函数f （x ）在（x 0，+∞）上存在唯一零点1， 因此函数f （x ）恰有两个零点；（ii ）由题意可得：f ′（x 0）=0，f （x 1）=0，即a x 02e x 0=1，ln x 1=a （x 1-1）e x 1， ∴ln x 1=x 1−1x 02e x 1−x 0，即e x 1−x 0=x 02lnx 1x 1−1，∵x ＞1，可得ln x ＜x -1， 又x 1＞x 0＞1， 故e x 1−x 0＜x 02(x 1−1)x 1−1=x 02，取对数可得：x 1-x 0＜2ln x 0＜2（x 0-1），化为：3x 0-x 1＞2． 【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（Ⅰ）通过求导可得f′（x ），当a≤0时，分析可得f′（x ）＞0，即可判断； （Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）可知f′（x ）=，x ∈（0，+∞），令g （x ）=1-ax 2e x ，∵0＜a ＜，可得g （x ）存在唯一解x 0∈（1，ln ），可得x 0是函数f （x ）的唯一极值点，令h （x ）=lnx-x+1，可得x ＞1时，lnx ＜x-1，f （ln ）＜0，f （x 0）＞f （1）=0，可得函数f （x ）在（x 0，+∞）上存在唯一零点1，因此函数f （x ）恰有两个零点； （ii ）由题意可得：f′（x 0）=0，f （x 1）=0，即a =1，lnx 1=a （x 1-1），可得=，由x ＞1，可得lnx ＜x-1，又x 1＞x 0＞1，可得＜=，取对数即可证明．。