函数周期性结论总结完整版
函数周期性公式大总结
竭诚为您提供优质文档/双击可除函数周期性公式大总结篇一：函数周期性结论总结函数周期性结论总结①f(x+a)=-f(x)T=2a②f(x+a)=±1T=2af(x)③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令x=x-b得f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a所以f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)代换x=x+2a得：f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。
f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+tf(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x)f(2b-x)=f(x)假设a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞b)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]关于直线x=a对称=f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)篇二：函数周期公式主要知识：1．周期函数：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y?f?x?满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），(1)f?x??f?x?a?，则y?f?x?是以T?a为周期的周期函数；(2)f?x?af?x?，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；(3)f?x?a1，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；fx(4)f?x?a??f?x?b?，则f?x?是以T?a?b为周期的周期函数；以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。
函数周期性公式大总结
函数周期性公式大总结函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了数值之间的关系。
而函数的周期性则是函数中一种特殊的性质，它在数学推导和实际应用中具有广泛的应用价值。
本文将对函数周期性公式进行总结，以帮助读者加深对这一概念的理解。
一、正弦函数与余弦函数的周期性公式正弦函数与余弦函数是最常见的周期函数之一，它们在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
它们的周期性公式如下：1. 正弦函数的周期性公式：\[sin(x+2πn)=sin(x)\]其中 \(n\) 为整数。
这个公式意味着正弦函数在 \(2π\) 的整数倍的变换下保持不变。
2. 余弦函数的周期性公式：\[cos(x+2πn)=cos(x)\]同样地，这个公式说明了余弦函数在 \(2π\) 的整数倍的变换下保持不变。
二、指数函数的周期性公式指数函数是另一类常见的函数，其公式如下：\[f(x)=a^x\]其中 \(a\) 为常数，又称为底数。
指数函数不同于正弦函数和余弦函数，它通常不具备周期性。
然而，我们可以通过引入“模”的概念，使指数函数具备周期性。
3. 指数函数的周期性公式：\[a^{x+ln(a)n}=a^x\]其中 \(n\) 为整数，\(ln(x)\) 为自然对数。
这个公式说明了指数函数在 \(ln(a)\) 的整数倍的变换下保持不变。
三、对数函数的周期性公式对数函数是指数函数的逆运算，其公式如下：\[f(x)=log_{a}(x)\]其中 \(a\) 为底数。
对数函数也可以借助模的概念引入周期性。
4. 对数函数的周期性公式：\[log_{a}(x+ln(a)n)=log_{a}(x)\]其中 \(n\) 为整数，\(ln(x)\) 为自然对数。
这个公式说明了对数函数在 \(ln(a)\) 的整数倍的变换下保持不变。
四、三角函数的周期性公式除了正弦函数和余弦函数外，还有其他几种常见的三角函数，如正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
它们同样具备周期性，并可以通过以下公式进行表示。
函数周期性公式大总结
函数周期性公式大总结1.余弦函数的周期性公式余弦函数是最常见的周期性函数之一，它的周期为2π。
余弦函数的周期性公式为：cos(x + 2π) = cos(x)。
这意味着，在余弦函数中，如果将自变量增加2π，那么函数值将保持不变。
2.正弦函数的周期性公式正弦函数也是一个常见的周期性函数，它的周期也是2π。
正弦函数的周期性公式为：sin(x + 2π) = sin(x)。
这和余弦函数的周期性公式非常类似，只是函数的定义域和值域略有不同。
3.周期函数的性质周期函数有许多重要的性质。
首先，一个函数是否是周期函数可以通过其函数图像进行观察。
如果函数的图像在一个特定的区间内重复出现，那么它就是一个周期函数。
其次，如果一个函数是周期函数，那么它的周期不止一个，可以有无穷多个。
最后，对于周期函数f(x)，如果T是其一个周期，那么对任意整数n，T/n也是其周期。
4.指数函数的周期性公式指数函数通常不会具有显式的周期，因为它会以指数的速度增长或减小。
然而，当指数函数的自变量乘以一个虚数单位i时，它可以变成周期函数。
具体来说，e^(ix)是一个周期为2π的函数。
周期性公式为：e^(i(x + 2π)) = e^(ix)。
这个公式被称为欧拉公式，它在电子工程、信号处理等领域有广泛的应用。
5.对数函数的周期性公式对数函数也是一个常见的函数类型。
对数函数的周期性公式和指数函数非常相似，但具体形式有所不同。
对数函数的周期公式为：ln(x + e) = ln(x)。
这意味着，当自变量增加e时，对数函数的函数值保持不变。
6.周期函数的图像性质周期函数的图像通常具有一些特殊的性质。
首先，周期函数的图像可以在一个周期内进行平移，而不改变函数的形状。
其次，对于奇函数，其图像关于原点对称；对于偶函数，其图像关于y轴对称。
最后，周期函数的图像可以进行幅度的调整，即通过乘以一个常数来改变图像的振幅。
7.周期函数的应用周期函数在各个领域都有广泛的应用。
函数周期性结论总结
函数周期性结论总结函数周期性是数学中的一个重要概念，它在解决各种实际问题中起到了重要的作用。
在本文中，我将对函数周期性的结论做一个总结，以便对读者有更清晰的认识。
以下是我对函数周期性的总结：1. 周期性定义在数学中，一个函数被称为具有周期性，当且仅当存在一个正数T，使得对于每一个x值都有f(x+T) = f(x)成立。
其中，T被称为函数的周期。
2. 常见函数的周期性2.1 三角函数的周期性三角函数是一类具有周期性的函数。
常见的三角函数有正弦函数和余弦函数。
正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π) = sin(x)；余弦函数的周期也为2π，即cos(x+2π) = cos(x)。
这意味着在一个周期内，正弦函数和余弦函数的值会周期性地重复。
2.2 指数函数的周期性指数函数也具有周期性。
以自然对数为底的指数函数具有周期为2πi的形式，即e^(x+2πi) = e^x。
其中，i是虚数单位。
这意味着在一个周期内，指数函数的值也会周期性地重复。
3. 周期性性质3.1 零点的周期性如果一个函数的周期为T，那么对于任意一个零点x0，它的周期性可以表示为x0 + Tn，其中n为任意整数。
这意味着函数的零点也具有周期性，每隔一个周期就会出现一个零点。
3.2 值域的周期性如果一个函数具有周期T，那么对于函数值f(x)来说，它的周期性可以表示为f(x+T) = f(x)。
这意味着函数的值域也具有周期性，每隔一个周期就会重复一次。
4. 应用举例函数周期性在各个领域都有广泛的应用。
举几个例子来说明：4.1 电力系统在电力系统中，交流电的变化是具有周期性的。
电压和电流随着时间呈周期性变化，周期性的特点使得电力系统能够稳定地运行。
4.2 信号处理在信号处理领域，周期性信号的分析和处理是很重要的。
通过对周期信号的分析，可以准确地获取信号的频率和振幅等信息。
4.3 声音与音乐声音和音乐是具有周期性的。
乐器的音调是具有周期性的，音乐也是以一定的节拍和律动来展现周期性。
函数周期性的几个重要结论
函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=抽象函数的对称性1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
函数周期性结论总结
函数周期性结论总结在数学的广袤天地中，函数的周期性是一个非常重要的概念。
它不仅在数学理论中有着关键地位，还在解决实际问题时发挥着重要作用。
接下来，让我们深入探讨一下函数周期性的相关结论。
首先，我们来明确一下函数周期性的定义。
如果存在一个非零常数T，使得对于函数 f(x)定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，那么我们就称函数 f(x)是周期函数，T 称为这个函数的周期。
一个周期函数的周期通常不是唯一的。
如果 T 是函数 f(x)的周期，那么 kT（k 为非零整数）也是 f(x)的周期。
这是因为对于任意 x，f(x＋ kT) ＝ f(（x ＋（k 1)T) ＋ T) ＝ f(x ＋（k 1)T) ＝… ＝ f(x)。
但在所有周期中，存在一个最小的正数周期，我们称之为最小正周期。
不过，并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如常函数 f(x) ＝ C（C 为常数），任意非零实数都是它的周期，但是没有最小正周期。
常见的周期函数有正弦函数 y ＝ sin x 和余弦函数 y ＝ cos x，它们的最小正周期都是2π。
正切函数 y ＝ tan x 的最小正周期是π。
对于一些复合函数，其周期性也有相应的规律。
例如，若函数 f(x)的周期是 T₁，函数 g(x)的周期是 T₂，那么函数 f(x) ＋ g(x)的周期是T₁和 T₂的最小公倍数。
但需要注意的是，这个结论并非在所有情况下都成立，还需要具体分析函数的性质。
再来看函数周期性的一些重要性质。
若函数 f(x)是周期函数，且周期为 T，那么 f(x ＋ nT) ＝ f(x)（n 为整数）。
这意味着，在周期函数的图像上，每隔一个周期，函数的图像就会重复出现。
如果函数 f(x)是周期函数，且周期为 T，那么函数 f(ax ＋ b)（a 不为 0）的周期为 T ／｜a|。
比如，函数 f(2x ＋ 3)的周期是函数 f(x)周期的 1/2。
周期性在解题中也有很多应用。
函数周期性公式大总结
（1）F（x + a）=-f（x）周期为2A。
在本文中，我们证明（F + x）= 2a-f（x）= F-X（F-X）。
（2）SiNx的功能周期公式为t = 2π。
SiNx是正弦函数，周期为2π（3）cosx的函数周期公式为t = 2π，cosx为余弦函数，周期为2π。
（4）TaNx和Cotx的周期公式为t =π，TaNx和Cotx分别为切线和Cotx（5）secx和CSCX的周期公式为t = 2π，secx和CSCX为secx和余割。
扩展数据：以下方法分为几个步骤（1）确定F（x）的域是否有界；（2）根据函数周期的定义，我们可以知道非零实数T在关系f （x + T）= f（x）中与X无关，因此可以求解方程f（x）-f（x）= 0，如果我们可以求解独立于X的非零常数t，则可以得出结论：函数f（x）是周期函数，如果不存在t，则f （x）是非周期性函数。
（3）通常用相反的证明方法证明。
（如果f（x）是周期函数，则推论矛盾，因此f（x）是非周期函数。
示例：证明f（x）= ax + B（a≠0）是一个非周期函数。
证明如果f（x）= ax + B是周期函数，则存在t（≠0），使其成立。
A（x + T）+ B = ax + Bax +在AX = 0，在at = 0且a≠0，t = 0与t≠0矛盾的情况下，﹤f（x）是一个非周期函数。
示例：证明f（x）= ax + B是一个非周期函数。
证明：如果f（x）是周期函数，则必须有一个t（≠0）对，并且必须有（x + T）= f（x）。
当x = 0时，f（x）= 0，但是x + T≠0，νf（x + T）= 1，νf（x + T）≠f（x）且f（x + T）= f （x）。
(完整版)函数周期性与对称性常见结论
(完整版)函数周期性与对称性常见结论
函数周期性与对称性是数学中一种基本的类型，可以用来描述函数的特征。
这种性质
极大地影响着函数的曲线形状，对于函数研究也是非常重要的。
本文为读者介绍函数周期
性与对称性常见的结论。
一、周期性
1. 可以说函数f(x+T)与f(x)的图像有周期性，T<>0是一个常数，也称为函数的周期，它可以定义一个函数的曲线；
2. 周期性循环是一种规律，表明函数的值随着参数的改变而不断变化，但最终又会
回到原来的状态；
3. 一般情况下，定义域内的函数都具有周期性，当x的取值超出定义域时，函数f(x)也可能有周期性；
4. 一个周期性函数的周期T是其变化模式的重要特征，其变化规律如果舍弃它，函
数f(x)就不再具有周期性；
5. 若函数f(x)具有周期性，那么它的最小正周期Tc就定义了整个函数的曲线，可以视为一种最基本的形状。
二、对称性
1. 当函数f(x)满足f(-x)=f(x)的性质时，称此函数具有对称性；
2. 一个函数的平行四边形对称性表明，函数f(-x)和f(x)的图像是完全一模一样的，而不管x的取值为多少；
3. 一些函数具有点对称性，点对称性表明f(-x0)=f(x0)，即对称中心为x0的函数图像；
4. 如果一个函数的图象可以通过给定的任意角度旋转而不失真，则称其为角度对称性；
5. 对称性可有效描述函数f(x)的特征，常用于应用函数研究中。
函数周期性公式大总结
公式及推导f（x+a）=-f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-f（x+a）=-[-f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。
f（x+a）=1/f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1/f（x+a）=1/[1/f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。
f（x+a）=-1/f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1/f（x+a）=1/[-1/f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。
所以得到这三个结论。
函数的周期性设函数f(x)在区间X上有定义，若存在一一个与x无关的正数T,使对于任一x∈X,恒有f(x+T)=f(x)则称f(x)是以T为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T称为函数f(x)的周期。
二、周期函数的运算性质:①若T为f(x)的周期,则f(ax+b)的周期为T/al。
②若f(x),g(x)均是以T为周期的函数,则f(X)+g(X)也是以T为周期的函数。
③若f(x),g(x)分别是以T1,T2,T1≠T2为周期的函数,则f(x)+g(x)是以T1,T2的最小公倍数为周期的函数。
周期公式sinx的函数周期公式T=2π，sinx是正弦函数，周期是2πcosx的函数周期公式T=2π，cosx是余弦函数，周期2π。
tanx和cotx的函数周期公式T=π，tanx和cotx分别是正切和余切。
secx和cscx的函数周期公式T=2π，secx和cscx是正割和余割。
函数的性质包含的内容主要有函数的定义域、值域、最大值最小值、单调性、对称性、奇偶性和周期。
对称性指的是函数的图像，其中包含有两部分知识包括点对称和轴对称。
对称性的公式y=sinx的图像是点对称的图像和y=cosx的图像是轴对称的图像。
周期性是指若T 为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数。
T叫做这个函数的一个周期。
完整版)函数的周期性与对称性总结
完整版)函数的周期性与对称性总结在已知条件$f(a+x)=f(b-x)$或$f(x+a)=f(x-b)$中，可以得到以下结论：1.当等式两端的两自变量部分相加得常数，如$(a+x)+(b-x)=a+b$，则$f(x)$的图像具有对称性，其对称轴为$x=\frac{a+b}{2}$。
2.当等式两端的两自变量部分相减得常数，如$(x+a)-(x-b)=a+b$，则$f(x)$的图像具有周期性，其周期$T=a+b$。
如果对于$f(x)$定义域内的任意$x$，恒有下列条件之一成立：周期性规律对称性规律1.$f(x-a)=f(x+a)$，则$T=2a$；$f(a+x)=f(a-x)$，则$x=\frac{a^2+b^2}{2a+b}$。
2.$f(x)=f(x+a)$，则$T=a$；$f(a+x)=f(b-x)$，则$x=\frac{a+b}{2}$。
3.$f(x+a)=-f(x)$，则$T=2a$；$f(a-x)=f(b+x)$，则$x=2a-b$。
4.$f(x+a)=\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(b-x)$，则点$(a,-\frac{1}{2})$为对称中心。
5.$f(x+a)=-\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(a-x)$，则点$(a,0)$为对称中心。
6.$f(x+a)=\frac{f(x)+1}{1-f(x)}$，则$T=2a$；$f(x+a)=\frac{f(x)-1}{1+f(x)}$，则$T=2a$。
7.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}$，则$T=4a$。
8.$f(x+a)=-\frac{1-f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。
9.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。
10.$f(x)=f(x-a)+f(x+a)$，且$a>0$，则$T=6a$。
高中函数周期性总结
1函数的周期性常见结论归类一.周期函数的定义：设函数()y f x =的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有()()f x T f x +=，则称()y f x =为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。
二.常见结论 (约定a>0)（1）()()f x f x a =+，则()f x 的周期T a =；（2）()()f x a f x +=－，或()()f x a f x +=－a 或1()(()0)()f x a f x f x +=≠，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则()f x 的周期2T a =； 1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.（3）1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （4）1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （5）函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.（6）若()()f a x f a x +=--且f(x)是偶函数,则()y f x =是周期为4a 的周期函数；若f(x) 是奇函数,则()y f x =是周期为2a 的周期函数。
（7）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（8）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（9）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期. (10)1()1(()0)()f x f x f x a =-≠+，则()f x 的周期3T a =； (11)121212()()()1()()f x f x f x x f x f x ++=-且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，或()()f x a f x +=-－a 则()f x 的周期T=4a ；（证明方法：令12,x x x a ==）(13)()()()f x a f x f x a +=-+，则()f x 的周期6T a =. (14)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数()()f x a x R =∈；(15)周期函数的定义域是无界的；(16)若T 为()y f x =的周期，则(0)nT n Z n ∈≠且也是()y f x =的周期(17)若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=+，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；推论：若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=-+()a b ≠，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；。
高中数学函数周期性总结
（ 4） y f ( x 3) 与 y f (3 x) 的图象关于直线 x 3 对称。
其中正确命题的序号为
。
11、若 f ( x) 为定义在 R 上的函数， 且 f (10 x) f (10 x) ， f (20 x) f (20 x) ，则 f ( x) 为（
）
A． 奇函数且周期函数；
B.
奇函数且非周期函数；
f(x)=C(C 为常数 ) 是周期函数吗？有最小正周期吗？ 三、抽象函数的周期总结
1、 f ( x T ) f ( x)
y f (x) 的周期为 T
2、 f ( x a) f (b x) (a b)
y f (x) 的周期为 T b a
3、 f ( x a) f (x)
y f ( x) 的周期为 T 2a
(C)1
(D)2
4、定义在 R 上的函数 f ( x) ，给出下列四个命题：
（ 1）若 f ( x) 是偶函数，则 f ( x 3) 的图象关于直线 x 3 对称
（ 2）若 f ( x 3) f (3 x), 则 f (x) 的图象关于点 (3,0) 对称
（ 3）若 f ( x 3) = f (3 x) ，且 f (x 4) f (4 x) ，则 f ( x) 的一个周期为 2。
11 、 y f (x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0)
y f (x) 周期 T 2(b a)
12 、 y f (x) 有一条对称轴 x a 和一个对称中心 (b,0) y f (x) 周期 T 4(b a)
13 、奇函数 y f ( x) 满足 f (a x) f (a x)
y f ( x) 周期 T 4a 。
f (x)
f ( x)
函数的周期性常见结论归类
函数的周期性常见结论归类四川省苍溪实验中学校 周万勇一.周期函数的定义：设函数()y f x =的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有()()f x T f x +=，则称()y f x =为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。
二.常见结论 (约定a>0)（1）()()f x f x a =+，则()f x 的周期T a =；（2）()()f x a f x +=－，或()()f x a f x +=－a 或1()(()0)()f x a f x f x +=≠，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则()f x 的周期2T a =； 1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.（3）1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （4）1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （5）函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.（6）若()()f a x f a x +=--且f(x)是偶函数,则()y f x =是周期为4a 的周期函数；若f(x) 是奇函数,则()y f x =是周期为2a 的周期函数。
（7）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期. （8）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（9）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期. (10)1()1(()0)()f x f x f x a =-≠+，则()f x 的周期3T a =； (11)121212()()()1()()f x f x f x x f x f x ++=-且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，或()()f x a f x +=-－a 则()f x 的周期T=4a ；（证明方法：令12,x x x a ==）(12)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ++++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则()f x 的周期5T a =；证明：()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ++++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++令x x a =+，则()(2)(3)(4)(5)f x a f x a f x a f x a f x a +++++++++()(2)(3)(4)(5)f x a f x a f x a f x a f x a =+++++两式做差得：(5)()[(5)()][()(2)(3)(4)]f x a f x f x a f x f x a f x a f x a f x a +-=+-⋅++++ 整理[(5)()][()(2)(3)(4)1]0f x a f x f x a f x a f x a f x a +-⋅++++-= 若(5)()0f x a f x +-=则(5)()f x a f x +=证毕否则()(2)(3)(4)1f x a f x a f x a f x a ++++=，这不可能。
函数的周期性的几个常用结论
函数的周期性的几个常用结论(1) )(x f y =对∈∀x R 时，若)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(≠=-a x f a x f 恒成立,则2a 是)(x f y =的一个周期；若()()x a f x f +=-，1()(0)()f x a a f x +=≠，1()(0)()f x a a f x +=-≠恒成立，则2a 是)(x f y =的一个周期.(2) 若)(x f y =是偶函数，其图像又关于直线a x =）（0≠a 对称，则)(x f 是以a 2为一个周期的周期函数；若)(x f y =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则)(x f y =是以2||T a b =-为一个周期的周期函数.(3) 若)(x f y =奇函数，其图像又关于直线a x =）（0≠a 对称，则)(x f 是以a 4为一个周期的周期函数；若函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则()y f x =是以b a -4为一个周期的周期函数.(4) 若)(x f y =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则)(x f y =是以2||T a b =-为一个周期的周期函数.例1：函数)(x f 对于任意实数x 满足条件=-==+))5((,5)1(,)(1)2(f f f x f x f 。
分析：5)1()5(),()2(1)4(-===+=+f f x f x f x f ；51)21(1)1()5())5((-=+-=-=-=f f f f f例2：定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为 。
（答：(sin )(cos )f f αβ>)例3：已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2(T f 。
函数的周期性主要结论
函数的周期性主要结论1．如果函数)(x f y =对于一切x ∈R,都有)()(x a f x a f -=+ (⇔)()2(x f x a f =-),那么函数y=f(x)的图像关于直线a x =对称⇔)(a x f y +=是偶函数2．如果函数)(x f y = 对于一切x ∈R, 都有f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数)(x f y =的图像关于直线x=2b a +（由x=2)()(x b x a -++确定）对称 3. 如果函数)(x f y =对于一切x ∈R, 都有b x a f x a f 2)()(=-++成立, 那么函数)(x f y =的图像关于点),(b a 对称4.两个函数图像之间的对称性（1）函数)(x f y = 与函数)(x f y -=的图像关于直线0=x (即y 轴)对称；函数)(x f y = 与函数)(x f y -=的图像关于直线0=y ; 函数)(x f y = 与函数)(x f y --=图像关于坐标原点对称。
（2）函数)(),(x b f y x a f y -=+=,的图像关于直线2b a x -=(由x b x a -=+确定)对称（3）函数)(x f y =与函数)(x f A y -=的图像关于直线2A y =对称（由[][]2)()(x f A x f y -+=确定 （4）函数)(x f y =与函数)(x n f m y --=的图像关于点)2,2(m n 中心对称 5.左加右减（对一个x 而言），上加下减（对解析式而言）：若将函数)(x f y =的图像右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图像；若将曲线0),(=y x f 的图像右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图像6.函数)0)((>+a a x f 的图像是把)(x f y =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数)0)((<+a a x f 的图像是把)(x f y =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的；函数)(a wx f y +=的图像是把)(b wx f y +=的图像沿x 轴向左平移wb a -个单位得到的 7.定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T 。
函数周期性公式大总结
函数周期性公式大总结函数的周期性设函数f(x)在区间X上有定义，若存在一一个与x无关的正数T,使对于任一x∈X,恒有f(x+T)=f(x)则称f(x)是以T为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T称为函数f(x)的周期。
二、周期函数的运算性质:①若T为f(x)的周期,则f(ax+b)的周期为T/al。
②若f(x),g(x)均是以T为周期的函数,则f(X)+g(X)也是以T为周期的函数。
③若f(x),g(x)分别是以T1,T2,T1≠T2为周期的函数,则f(x)+g(x)是以T1,T2的最小公倍数为周期的函数。
周期公式sinx的函数周期公式T=2π，sinx是正弦函数，周期是2πcosx的函数周期公式T=2π，cosx是余弦函数，周期2π。
tanx和cotx的函数周期公式T=π，tanx和cotx分别是正切和余切。
secx和cscx的函数周期公式T=2π，secx和cscx是正割和余割。
公式及推导f（x+a）=-f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-f（x+a）=-[-f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。
f（x+a）=1/f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1/f（x+a）=1/[1/f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。
f（x+a）=-1/f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1/f（x+a）=1/[-1/f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。
所以得到这三个结论。
函数（function）在数学中为两不为空集的集合间的一种对应关系：输入值集合中的每项元素皆能对应唯一一项输出值集合中的元素。
其定义通常分为传统定义和近代定义，前者从运动变化的观点出发，而后者从集合、映射的观点出发。
其近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。
函数周期性结论总结57669
函数周期性结论总结57669 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII2 函数周期性结论总结① f(x+a)=-f(x) T=2a② f(x+a)=±)(1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b| 证明： 令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a 证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为 偶函数,所以 f(-x)=f(x) 因为 关于x=a 对称所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质）设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以 周期T=2a) ⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x) 又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a 得：f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数，用递推的方法来证明。
f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a) 换元：令x-a=t 那么x=a+tf(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)假设a ＞b (当然假设a ＜b 也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)] =f(2b-x) =f(x)⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称，T=2a-2b(a ＞b)证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x) f(b+x)=-f(b-x) f(2b-x)=-f(x )f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)关于直线x=a 对关于直线x=b 对称。
函数周期性结论总结
函数周期性结论总结① f(x+a)=-f(x) T=2a② f(x+a)=±)(1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b| 证明： 令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为 偶函数,所以 f(-x)=f(x) 因为 关于x=a 对称所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质）设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以 周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x) 又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a 得：f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数，用递推的方法来证明。
f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a) 换元：令x-a=t 那么x=a+tf(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x)f(2b-x)=f(x) 假设a ＞b (当然假设a ＜b 也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)] =f(2b-x) =f(x)⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称，T=2a-2b(a ＞b) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)f(b+x)=-f(b-x) f(2b-x)=-f(x )f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)关于直线x=a 对称 关于直线x=b 对称仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。