热力学统计物理-统计热力学课件第八章(02)

纳一个电子。电子从 的状态0 起，依次填充 至 。(0)
(0是) T=0K时电子的最大能量。
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令：
(0) pF2 / 2m
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vF
pF m
TF
(0)
k
——费米能量。
——费米动量。
——费米速率。
——费米温度。
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(0大) 小的数值估计，以Cu为例： 费米温度：
平均电子数为：
a
1
1
f
e l
1
e kT 1
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则在体积V内，在到 d的能量范围内，电子的微观
状态数为：
在体积V内，在 到 d的能量范围内，平均电子数为：
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T=0K时的电子分 布
f
1
e kT 1
T=0K时，电子将尽可能占据能量最低的状态， 但泡利不相容原理限制每一个量子态最多只能容
第八章 玻色统计和费米统计
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§8.1 热力学量的统计表达式
一、玻色系统热力学量的统计表达式
al
l
e l
1
U
l
l l
e l 1
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2
2026/17
4
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5
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6
ln B.E. l al ln(l al ) al ln al l ln l
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0K时电子气体的总能量为：
0K时电子气体的平均内能：
费米气体在绝对零度下： 具有很高的平均能量、动量，
0K时电子气体的压强为：并且产生很大的压强。
微观状态数确定，熵为0。
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T〉0K时的电子分布：
f
1
e kT 1
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T〉0K时，只在μ附近量级为kT 的范围内，电子的分布与0K时 的分布有差异。
1
(
h
2
1 mkT
2
)
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不考虑分子内部结构，只有平动自由度，分子能量为：
1 2m
px2 py2 pz2
则在体积V内，在 到 d的能量范围内，分子可能的
微观状态数为：
g——粒子可能的自旋而引入的简并度。 考虑平动自由度的能级是连续的，系统总分子数满足：
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3k/2的贡献。但实验发现，除在极低温度下，金属中自由电子 的热容量基本可以忽略。
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金属中自由电子的费米统计理论
金属中自由电子形成强简并费米气体。
3
以Cu原子为例：
n 3
N h2 2
V
2 mkT
:
3400
金属中自由电子的费米统计
根据费米分布，温度为T时处在能量为 的 一个量子态上的
l
S k ln ——玻耳兹曼关系
6、巨热力势
（6.7.4)
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二、费米系统热力学量的统计表达式 • 巨配分函数
对数：
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§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
非简并系统： al = 1
l 弱简并系统： n3 1 强简并系统： n3 1
e ? 1 n3 = 1
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§8.5 金属中的自由电子气体
在金属中，价电子脱离原子在整个金属中运动，称为公有 电子。公有电子在离子产生的势场中运动，电子之间存在库 仑相互作用。在初步的近似下，可以把公有电子看作封闭在 金属体积中的自由粒子，称为自由电子。
经典统计的困难： 根据能量均分定理，一个自由电子对金属的热容量将有
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系统的内能为：
令：
x
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展开式保留第一项相当于近似为玻尔兹曼分布，弱简 并情形下，保留两项。积分可得：
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第一项是根据玻尔兹曼分布得到的内能，第二项是微观全 同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能。在弱简并 情形下，附加内能的数值是一个小量。
费米气体的附加内能为正，而玻色气体的附加内能为负。 可以认为，量子统计关联使费米子之间出现等效的排斥作用， 而玻色粒子之间出现等效的吸引作用。
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kT T 1
TF 260 22
自由电子热容量的定量计算
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当 T 时0 ，有：
3N 2C
2/3
将C代入，有：
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电子的热容量：
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常温范围电子的热容量远小于离子振动的热 容量。但在低温范围，离子振动的热容量按T3 迅速下降,而电子的热容量与T成正比下降比较 缓慢。所以，在足够低的温度下，电子的热容 量就不能忽略。
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