第十一章 组合变形(习题解答)
工程力学(高教第3版)习题解答：第11章 组合变形
1mF1mB A 第11章 组合变形 习题解答题11-1解：取AB 杆为研究对象1）∑=0xF 0sin =-αF F Ax kN 42543.F Ax =⨯= ∑=0yF0cos =-+αF F F B Ay∑=0)(F m A 05.225.2cos =⨯+⨯-B F F α 得：kN 90.F F B Ay == 2）m kN 1251452cos max ⋅=⨯=..F M αkN 42N .F = 3）MPa 7561010611252max max ...W M Z t,=⨯⨯==σ MPa 996101024001010611252N max max .....A F W M Z c,=⨯+⨯⨯=+=σ(压应力) 题11-2解：1）取横梁AB 为研究对象∑=0xF 030cos =- BC Ax F F ∑=0yF030sin =+- BC Ay F F F ∑=0)(F mA06230sin 31=⨯+⨯-.F .F BCB1.3mx1.3mF ADC30F AxF AyFF Bαx y AB得：kN 30=BC F kN 26=Ax F kN 15=Ay F2）作内力图（略） 知：kN 26max N =Fm kN 5194max ⋅==.lF M3）查表得：N O 18工字钢 2cm 75630.A = 3cm 185=Z W则：MPa 91131075630102610185105194363Nmax max max ...A F W M σZ =⨯⨯+⨯⨯=+=--<MPa 160][=σ横梁强度足够题11-3 解：1） kN 15N ==F Fm kN 64015⋅=⨯=⨯=.e F M因 ][max σσ≤+=A FW M2）先按][max σσ≤=WM进行设计则633103532π106⨯≤⨯d 得：mm 5120.d = 3）代入拉弯组合应力公式校核MPa 2436120504π10151205032π1062333max ...A F W M =⨯⨯+⨯⨯=+=σ%6.3][][max =-σσσ<5%所以取 d =mm 5120.题11-4 解：1）内力分析kN 100N ==F F30m kN 502⋅=⨯=a aF M 2）应力分析6692max 10610)200(1805010)200(180650⨯≤⨯-⨯+⨯-⨯⨯⨯=+=--a a a AF W M σ得：mm 439.a ≤ 所以允许mm 439max .a =题11-5解：受力图略1）计算截面形心和ZC Imm 555381135138)553(113...y C =⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯=42323mm 6103138)51555(1238113)55558(12113.....I ZC =⨯⨯-+⨯+⨯⨯-+⨯=2）内力分析F F =N 310)55.526(-⨯+=F M3）确定夹紧力F410300][1055.563max ,⨯=≤⨯⨯+=-t ZC t I M A F σσ 得：N 400=F410600][1045.863max ,⨯=≤⨯⨯+-=-c ZC c I M A F σσ 得：N 7622.F =所以 N 400max =F题11-61）柱子受压弯组合，危险点为K 和K ′点（见图中所示）。
组合变形习题及参考答案
组合变形一、判断题1.斜弯曲区别与平面弯曲的基本特征是斜弯曲问题中荷载是沿斜向作用的。
( )2.斜弯曲时，横截面的中性轴是通过截面形心的一条直线。
( )3.梁发生斜弯曲变形时，挠曲线不在外力作用面内。
( )4.正方形杆受力如图1所示，A点的正应力为拉应力。
( )图 15. 上图中，梁的最大拉应力发生在B点。
( )6. 图2所示简支斜梁，在C处承受铅垂力F的作用，该梁的AC段发生压弯组合变形，CB段发生弯曲变形。
( )图 27.拉（压）与弯曲组合变形中，若不计横截面上的剪力则各点的应力状态为单轴应力。
( )8.工字形截面梁在图3所示荷载作用下，截面m--m上的正应力如图3（C）所示。
( )图 39. 矩形截面的截面核心形状是矩形。
( )10.截面核心与截面的形状与尺寸及外力的大小有关。
( )11.杆件受偏心压缩时，外力作用点离横截面的形心越近，其中性轴离横截面的形心越远。
( )12.计算组合变形的基本原理是叠加原理。
（）二、选择题1.截面核心的形状与（）有关。
A、外力的大小B、构件的受力情况C、构件的截面形状D、截面的形心2.圆截面梁受力如图4所示，此梁发生弯曲是（）图 4A、斜弯曲B、纯弯曲C、弯扭组合D、平面弯曲三、计算题1.矩形截面悬臂梁受力F1=F，F2=2F，截面宽为b，高h=2b，试计算梁内的最大拉应力，并在图中指明它的位置。
图 52.图6所示简支梁AB上受力F=20KN，跨度L=2.5m，横截面为矩形，其高h=100mm,宽b=60mm，若已知α=30°，材料的许用应力[σ]=80Mpa,试校核梁的强度。
3.如图7所示挡土墙，承受土压力F=30KN，墙高H=3m，厚0.75m，许用压应力[σ]ˉ=1 Mpa，许用拉应力[σ]﹢=0.1 Mpa，墙的单位体积重量为，试校核挡土墙的强度。
图 6 图 74.一圆直杆受偏心压力作用，其偏心矩e=20mm,杆的直径d=70mm,许用应力[σ]=120Mpa,试求此杆容许承受的偏心压力F之值。
材料力学 第11章 组合变形习题集
横截面m-m上任一点C(y，z)处由 弯矩Mz和My引起的正应力分别为
M z y M cos y M y z M sin z
Iz
Iz
Iy
Iy
38
C点的正应力
' ''
M
cos
Iz
y
sin
Iy
z
悬臂梁固定端截面A的弯矩Mz和My 均达到最大值，故该截
面是危险截面。设yo、zo为中性轴上任一点的坐标，并令σ
算 圆轴表面上与轴线成30°方位上的正应变。
32
解: (1)由内力图知，所有截面均为危险截面，危险点为靠近
轴表面的各点，应力状态如图。计算危险点的主应力。轴力
引起的正应力
FN 4F
A πd 2
扭矩引起的切应力
T M 8F
Wp Wp 5πd 2
危险点处的主应力为
1
2
(
)2
( )2
它在y、z两轴上的截距分别为
y* z* h / 2
该截面惯性半径的平方为
iy2
Iy A
h2 12
iz2
Iz A
b2 12
28
中性轴①对应的核心边界上点1的坐标为
ey1
iz2 y*
0
ez1
iy2 z*
h 6
按上述方法可求得与它们对应的截面核
心边界上的点2、3、4，其坐标依次为：
ey2
b 6
ez2 0
车臂的直径d。
18
解：两个缆车臂各承担缆车重量的一半，如 图。则缆车臂竖直段轴力为FN=W/2=3kN 弯矩为M=Wb/2=540N·m 危险截面发生在缆车臂竖直段左侧，由强度条件
第11章 组合变形
120 MPa , 校核梁的强度。
z
z
30kN
y
A
C
D
x
h
B
30kN
b
y 100mm 100mm 100mm
A
B
C
Dx
+
My
1kNm 2kNm
Mz
1kNm
AB
2kNm
C
x D
解:(1)画内力图，确定 危险截面:
M By 2kNm, M Bz 1kNm
M Cy 1kNm, M Cz 2kNm
[例11-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所
示择D，工A字B梁为型工号字。A3钢梁，许用X应A Y力A [σ]＝10T0MPa，Ty 试选
A
Tx C
B
F
A
30° C B
FN
2m
1m F
_ 52kN
20kN·m
解：(1)选工字梁为研究对
象受力如图所示：
M
-
MA 0 : T 2sin 30 3F 0
F=1400kN ， 机 架 用 铸 铁 作 成 ， 许 用
拉 应 力 [σt]=35MPa ， 许 用 压 应 力 [σc]=140MPa， 试 校核该 压力机立 柱部分的强度。立柱截面的几何性质
如 下 ： yc=200mm ， h=700mm ， A=1.8×105mm2，Iz=8.0×109mm4。 解：由图可见，载荷F 偏离立柱轴线，
h 2b 118.8mm
⑤、校核刚度
wmax
w2 y m ax
w2 z max
5L4 384E
(
qy Iz
)2
(
qz Iy
材料力学组合变形答案
材料力学组合变形答案【篇一：材料力学组合变形及连接部分计算答案】，试求危险截面上的最大正应力。
解：危险截面在固定端m，，==返回8-2 受集度为的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为梁的尺寸为m，，如图所示。
已知该梁材料的弹性模量mm，mm；许用应力；；许可挠度。
试校核梁的强度和刚度。
解：=，强度安全，==返回刚度安全。
8-3(8-5) 图示一悬臂滑车架，杆ab为18号工字钢，其长度为m。
试求当荷载作用在ab的中点d处时，杆内的最大正应力。
设工字钢的自重可略去不计。
解：18号工字钢，，ab杆系弯压组合变形。
，，====返回8-4(8-6) 砖砌烟囱高重kn，受m，底截面m-m的外径的风力作用。
试求：m，内径m，自（1）烟囱底截面上的最大压应力；（2）若烟囱的基础埋深许用压应力m，基础及填土自重按，圆形基础的直径d应为多大？计算，土壤的注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。
解：烟囱底截面上的最大压应力：=土壤上的最大压应力=：即即解得：返回m8-5(8-8) 试求图示杆内的最大正应力。
力f与杆的轴线平行。
解：固定端为危险截面，其中：轴力，弯矩，，z为形心主轴。
=a点拉应力最大==b点压应力最大==因此返回8-6(8-9) 有一座高为1.2m、厚为0.3m的混凝土墙，浇筑于牢固的基础上，用作挡水用的小坝。
试求：（1）当水位达到墙顶时墙底处的最大拉应力和最大压应力（设混凝土的密度为）；（2）如果要求混凝土中没有拉应力，试问最大许可水深h为多大？解：以单位宽度的水坝计算：水压：混凝土对墙底的压力为：墙坝的弯曲截面系数：墙坝的截面面积：墙底处的最大拉应力为：【篇二：材料力学b试题8组合变形】心压缩杆，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到形心的距离e和中性轴到形心的距离d之间的关系有四种答案： (a)e?d；(b) e?d；(c) e越小，d越大； (d) e越大，d越大。
组合变形习题课
解： w q0 x l 3 3lx 2 2x 3 48EI w q0 l 3 9lx 2 8x 3 48EI
M EIw q0 18lx 24x 2 48
FS
EIw
q0 48
18l
48 x
q EIw 4 q0
w q0 x l 3 3lx 2 2 x 3 w q0 l 3 9lx 2 8x 3
M FS FS q M q
y
A
B
x
y=Ax3
l
反问题
2. 反应梁旳变形与内力旳关系
——挠曲线近似微分方程。
y M EI
M EIy FS EIy q EIy4
y
A
B
x
y=Ax3
l
反问题
解:
y =Ax3
EIy 3AEIx 2
M EIy 6AEIx 线性分布（M＜0）
FS EIy 6AEI q EIy4 0
48EI
48EI
M EIw q0 18lx 24x 2
48
FS
EIw
q0 48
18l
48 x
q EIw 4 q0
x=0, w=0 , M=0 , FS≠0 , θ ≠0 铰支座 x=l , w=0 , θ =0 , FS≠0 , M≠0 固定端
q0
l
3.公式合用范围问题
每个公式都有其合用条件，使用公式时
F
1 2 3 4
选项
1
2
3
4
(A)
(B)
(C)
(D) 正确答案：B,D
如图所示直角三角形单元体旳斜面上无应力,它属
于____。
xy
x
30°
yx y
材料力学组合变形习题
L1AL101ADB 〔3〕偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，那么外力作用点 到形心之距离ｅ和中性轴到形心距离ｄ之间的关系有四种答案：〔A 〕 ｅ＝ｄ； 〔B 〕 ｅ＞ｄ；〔C 〕 ｅ越小，ｄ越大； 〔D 〕 ｅ越大，ｄ越小。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案〔C 〕1BL102ADB 〔3〕三种受压杆件如图。
设杆１、杆２和杆３中的最大压应力〔绝对值〕分别用 max1σ、max 2σ和max3σ表示，现有以下四种答案：〔A 〕max1σ＝max 2σ＝max3σ； 〔B 〕max1σ＞max 2σ＝max3σ；〔C 〕max 2σ＞max1σ＝max3σ； 〔D 〕max 2σ＜max1σ＝max3σ。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案〔C 〕1BL103ADD 〔1〕在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的哪一点，现有四种答案：〔A 〕Ａ点； 〔B 〕Ｂ点； 〔C 〕Ｃ点； 〔D 〕Ｄ点。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案〔C 〕1AL104ADC 〔2〕一空心立柱，横截面外边界为正方形， 边界为等边三角形〔二图形形心重 合〕。
当立柱受沿图示ａ－ａ线的压力时，此立柱变形形态有四种答案： 〔A 〕斜弯曲与中心压缩组合； 〔B 〕平面弯曲与中心压缩组合；〔C 〕斜弯曲； 〔D 〕平面弯曲。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案〔B 〕1BL105ADC 〔2〕铸铁构件受力如下图，其危险点的位置有四种答案：〔A 〕①点； 〔B 〕②点； 〔C 〕③点； 〔D 〕④点。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案〔D 〕1BL106ADC 〔2〕图示矩形截面拉杆中间开一深度为ｈ／２的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处 的最大应力的增大倍数有四种答案：〔A 〕２倍； 〔B 〕４倍； 〔C 〕８倍； 〔D 〕１６倍。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案〔C 〕1BL107ADB 〔3〕三种受压杆件如图，设杆１、杆２和杆３中的最大压应力〔绝对值〕分别用 max1σ、max 2σ和max3σ表示，它们之间的关系有四种答案：〔A 〕max1σ＜max 2σ＜max3σ； 〔B 〕max1σ＜max 2σ＝max3σ；〔C 〕max1σ＜max3σ＜max 2σ； 〔D 〕max1σ＝max3σ＜max 2σ。
第11章习题及其答案
mnmn 第十一章的课后答案11-1 在计算行星轮系的传动比时，式i= 1- i H 只有在什么情况下才是正确的？mHmn答：在行星轮系，设固定轮为 n ，即ξ = 0 时， i= 1- i H 公式才是正确的。
nmHmn11-2 在计算周转轮系的传动比时，式i mH = (n m - n H )/ (n n - n H ) 中的i mH 是什么传动比，如何确定其大小和“ ± ”号？答：i mH 是在根据相对运动原理，设给原周转轮系加上一个公共角速度“ -ξH ”，使之绕 行星架的固定轴线回转，这时各构件之间的相对运动仍将保持不变。
而行星架的角速度为 0， 即行星架“静止不动”，于是周转轮系转化成了定轴轮系，这个转化轮系的传动比。
其大小可以用i mH = (n m - n H ) / (n n - n H ) 公式计算；方向由“ ± ”号确定，但注意，它由在转化轮系中m ，n两轮的转向关系来确定。
11-3 用转化轮系法计算行星轮系效率的理论基础是什么?为什么说当行星轮系为高速时，用它来计算行星轮系的效率会带来较大的误差？答：用转化轮系法计算行星轮系效率的理论基础是行星轮系的转化轮系和原行星轮系的差别，仅在于给整个行星轮系附加了一个公共角速度“ -ξH ”。
经过这样的转化之后，各构 件之间的相对运动没有改变，而轮系各运动副中的作用力（当不考虑构件回转的离心惯性力时）以及摩擦因数也不会改变。
因而行星轮系与其转化轮系中的摩擦损失功率应相等。
用转化轮系法计算行行轮系效率没有考虑由于加工、安装和使用情况等的不同，以及还有一些影响因素如搅油损失、行星轮在公转中的离心惯性力等，因此理论计算的结果并不能完全正确地反映传动装置的实际效率。
11-4 何谓正号机构、负号机均，各有何特点？各适用什么场合？答：行星轮系的转化轮系中当传动比i H > 0 ，称为正号机构；当传动比i H < 0 ，称为负号机构。
组合变形
1 b
断裂破坏仅与最大正应力有关。适用于脆性材料的二向或
2最大正应变理论（第二强度理论） ：
由于
1 1 [ 1 ( 2 3 )] E
1 b
当最大正应变等于强度极限对应的正应变时，断裂破坏。
b
b
E
1 ( 2 3 ) b
m
x
m m
Pz
z Py y
m
z
P
P
y
Py P sin Pz P cos
矩形截面梁，作用集中力P与Z轴成角，确定m—m截面的应力
m
m
Mz
z
Mz My
m
z
My
m
M
y
y
Py P sin Pz P cos M yz Iy
Mzy Iz
M y Pz x Px cos M cos M z Py x Px sin M sin
z y cos sin 0 Iy Iz
过形心的斜直线
最大、最小正应力，a、b两点。
斜弯曲时中性轴斜率与弯矩作用面的关系
z y cos sin 0 中性轴方程 Iy Iz z Iy tan tan y Iz
z
y
中性轴
当 I y I z 时， 说明载荷作用面与中性层不垂直 当 Iy Iz 时
1 3 2
对应第四强度理论
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 3 2
复杂应力状态危险点单元体的强度条件：
ri [ ]
ri
工程力学 第11章组合变形
第三节
偏心压缩
三.截面核心的概念 ——若外力作用在截面形心附近的某一个区域，使 得杆件整个截面上全为压应力而无拉应力，这个 外力作用的区域称为截面核心。
第三节
偏心压缩
例2. 起重机支架的轴线通过基础的中心。 起重机自重180kN，其作用线通过基础 底面QZ轴，且有偏心距e=0.6m.已知基 础混凝土的容重等于22kN/m3，若矩形 基础的短边长3m。 试计算：（1）其长边的尺寸为 多少时使基础底面不产生拉应力？ （2）在所选的值之下，基础底面上的 最大压应力为多少？
Mzy M cosy Iz Iz
Myz Iy
M sin z Iy
（4）应力叠加——危险点应力
Mz y Myz cos sin M ( y z) IZ Iy IZ Iy
第二节
危险点的应力为：
max
斜弯曲
工程力学
第十一章 组合变形
主要内容
第一节 组合变形的概念 第二节 斜弯曲 第三节 偏心压缩
第一节
组合变形的概念
牛腿柱
第一节
组合变形的概念
F F F
试分析受压立柱的变形形式
压缩-弯曲变形
压缩变形
压缩-弯曲变形
第一节
组合变形的概念
一.组合变形的概念 1.组合变形——由两种或两种以上的基本变形组合 而成的变形称为组合变形 。 2.组合变形杆件的强度计算方法——叠加原理。 二.叠加原理解题步骤： （1）分解：将作用于组合变形杆件上的外力分解或简化 为基本变形的受力方式； （2）叠加：对各基本变形进行应力计算后，将各基本变形 同一点处的应力进行叠加，以确定组合变形时各点的应力； （3）强度条件：分析确定危险点的应力，建立强度条件。
建筑力学-组合变形
上式称为斜弯曲时中性轴方程式。
建筑力学-组合变形
从中可得到中性轴有如下特点：
(1) 中性轴是一条通过形心的斜直线。
(2) 力P穿过一、三象限时，中性轴穿过 二、四象限。反之位置互换。
(3) 中性轴与z轴的夹角α(图11.2(c))的正 切为
tanα=｜y0/z0｜= Iz/Iytanφ
从上式可知，中性轴的位置与外力的数
若材料的抗拉和抗压强度相等，则斜弯 曲的强度条件为
σmax= Mzmax/Wz + Mymax/Wy ≤［σ］
建筑力学-组合变形
对于不同的截面形状， Wz/Wy 的比值
可按下述范围选取：
矩形截面： Wz/Wy = h/b=1.2～2；
工字形截面：Wz/Wy =8～10；
槽形截面： Wz/Wy =6～8。
值有关，只决定于荷载P与y轴的夹角φ及截
面的形状和尺寸。
建筑力学-组合变形
图11.2
建筑力学-组合变形
11.2.4 强度条件
进行强度计算，首先要确定危险截面和 危险点的位置。危险点在危险截面上离中性 轴最远的点处，对于工程上常用具有棱角的 截面，危险点一定在棱角上。图11.2(a)所示 的悬臂梁，固定端截面的弯矩值最大，为危 险截面，该截面上的B、C两点为危险点，B 点产生最大拉应力，C点产生最大压应力。
11.2(b)所示，拉应力取正号，压应力取负号。
建筑力学-组合变形
图11.2
建筑力学-组合变形
11.2.3 中性轴的位置
因为中性轴上各点的正应力都等于零，
设在中性轴上任一点处的坐标为y0和z0，将 σ=0代入式(12.1)，有
σ=M(y0cosφ/Iz +z0 sinφ/Iy)=0
建筑力学—组合变形及答案讲解
第六章直梁弯曲弯曲变形是杆件比较常见的基本变形形式。
通常把以发生弯曲变形为主的杆件称为梁。
本章主要讨论直梁的平面弯曲问题，内容包括：弯曲概念和静定梁的力学简图；弯曲内力及内力图；弯曲应力和强度计算；弯曲变形和刚度计算。
其中，梁的内力分析和画弯矩图是本章的重点。
第一节平面弯曲的概念和力学简图一、弯曲概念和受力特点当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用(图6-1)时，杆轴由直线弯成曲线，这种在外力作用下其轴线变成了一条曲线。
这种形式的变形称为弯曲变形。
工程上通常把以弯曲变形为主的杆件称为梁。
图 6-1 弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。
例如房屋建筑中的楼面梁和阳台挑梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形，如图6-2所示。
一些杆件在荷载作用下不仅发生弯曲变形，还发生扭转等变形，当讨论其弯曲变形时，仍然把这些杆件看做梁。
图6-2工程实际中常见到的直梁，其横截面大多有一根纵向对称轴，如图6-3所示。
梁的无数个横截面的纵向对称轴构成了梁的纵向对称平面，如图6-4所示。
图 6-3 图6-4若梁上的所有外力（包括力偶）作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线将在其纵向对称平面内弯成一条平面曲线，梁的这种弯曲称为平面弯曲，它是最常见、最基本的弯曲变形。
本章主要讨论直梁的平面弯曲变形。
从以上工程实例中可以得出，直梁平面弯曲的受力与变形特点是：外力作用于梁的纵向对称平面内，梁的轴线在此纵向对称面内弯成一条平面曲线。
二、梁的受力简图为了便于分析和计算直梁平面弯曲时的强度和刚度，需建立梁的力学简图。
梁的力学简图（力学模型）包括梁的简化、荷载的简化和支座的简化。
1、梁的简化由前述平面弯曲的概念可知，载荷作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线弯成一条平面曲线。
因此，无论梁的外形尺寸如何复杂，用梁的轴线来代替梁可以使问题得到简化。
例如，图6-1a和图6-2a所示的火车轮轴和桥式起重机大梁，可分别用梁的轴线AB代替梁进行简化（图6-1b和图6-2b）。
第11章 组合变形
c ,max
(2)若 [ t ] [ c ] [ ] ,
则
FN M max [ c ] A Wz
25
max Max { t ,max , c ,max } [ ]
[例11-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所 示，AB为工字A3钢梁，许用应力[σ]＝100MPa，试选 T Y Ty A 择工字梁型号。 XA D
= +
Fz
z
叠加原理
x
y
Fy
z
在线弹性范围
小变形条件下
x y
8
二、内力分析
m m x L
xy平面弯曲
y z
Mz
z
x x
Fy
m y
z
m Fz m x L
xz平面弯曲
y
z
x
My
x
m y
9
二、内力分析
m A m x L m A L 危险截面：杆件根部A截面
10
z x y
FL
弯矩：Mz Fy x
xy平面弯矩图
M
A
A
A
=
B
压弯组合 B 轴向拉压
+
B 平面弯曲
32
F F1
内力分析
M
F
A
A
M A
A
B 轴向拉压
B FN(轴力)
B 平面弯曲
B
33) M(弯矩
应力分析
FN
z
M
z
y
FN ( y, z) A
y
z
y
+
z
y
M σ(y, z) y Iz
组合变形习题PPT课件
一个袋子中有5个红球和5个白球，从中随 机抽取5个球，求取出5个球中颜色相同的 概率。
高难度习题解析
总结词
这些习题难度较大，需要学 生具备较强的逻辑思维和分 析能力。
题目1
一个袋子中有10个不同颜色 的球，从中随机抽取3个球， 求取出3个球中颜色种类最 多的概率。
题目2
题目3
一个班级有20名学生，从中 选出5名学生代表，要求男 女比例相等且来自不同宿舍， 问共有多少种不同的选法。
04
组合变形的注意事项
力的作用点与方向
力的作用点
力的作用点是确定物体运动状态的依据，在分析受力时，必须明确力的作用点。
力的方向
在分析受力时，要明确力的方向，特别是对于作用在刚体上的力，其方向通常由 箭头的指向表示。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
力的大小与单位
力的大小
在分析受力时，要明确力的大小，通常用实线段表示力的大小，并在其旁边标注相应的 数值。
组合变形的实例解析
平面力系的组合变形
总结词
平面力系中，力的方向和作用点对确定刚体运动 状态十分重要。
总结词
平面力系中，力的合成与分解是解决复杂问题的 关键。
详细描述
在平面力系中，力的方向和作用点发生变化时， 刚体的运动状态也会随之改变。例如，当一个水 平推力作用在静止的木箱上时，木箱会沿推力方 向移动；而当这个推力作用点改变时，木箱的运 动轨迹也会发生变化。
组合变形的分类
线性组合变形
将多个简单形按照线性关系组合在一起，形成新 的复杂形。
对称组合变形
将多个简单形按照对称关系组合在一起，形成新 的复杂形。
非线性组合变形
将多个简单形按照非线性关系组合在一起，形成 新的复杂形。
第十一章组合变形CombinedDeformation
R
x
x
P
P y
z My
zMz
Py
My
二、应力分析：
x z Mz P y
P
MZ
My
My
xP
P A
xMz
Mz y Iz
xMy
Myz Iy
x
P A
Mz y Iz
Myz Iy
三、中性轴方程
x
P A
M z y0 Iz
M y z0 Iy
0
对于偏心拉压问 题
P PyP y0 PzP z0
max 162.8106
x 36.8mm
例 圆杆直径为d = 0.1m,T = 7kNm, P = 50kN [ ]=100MPa,按第三强度理论校核强度
解：拉扭组合,危险点应力状态如图
T P
A T
A
P
P A
4 50
0.12
103
6.37MPa
T Wn
Mz y M y sinj
Iz
Iz
合应力
M( z cosj y sinj )
Iy
Iz
m
x
z
x
m Pz
Py
y
LP
Pz
zj
Py LP
y
（3）中性轴方程 M ( z0 cosj y0 sinj ) 0
中性轴
Iy
Iz
tg y0 Iz ctgj
Pz P cosj
2.分别研究两个平面弯曲
(整理)题10-组合变形
组合变形1. 偏心压缩杆，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到形心的距离e 和中性轴到形心的距离d 之间的关系有四种答案：(A) e d =； (B) e d >； (C) e 越小，d 越大； (D) e 越大，d 越大。
答：C2. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为max1σ、max 2σ和max 3σ，现有下列四种答案：(A)max1max 2max 3σσσ==； (B)max1max 2max 3σσσ>=； (C)max 2max1max 3σσσ>=； (D)max1max3σσσ<=max2。
答：C3.重合）。
立柱受沿图示a-a(A)斜弯曲与轴向压缩的组合； (B)平面弯曲与轴向压缩的组合； (C)斜弯曲； (D)平面弯曲。
答：B4. (A) A 点； (B) B 点； (C) C 点； (D) D 点。
答：C5. 图示矩形截面拉杆，中间开有深度为/2h 的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处最大正应力将是不开口杆的 倍： (A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。
答：C6. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为max1σ、max 2σ和max 3σ，现有下列四种答案：(A)max1max 2max3σσσ<<； (B)max1max 2max3σσσ<=； (C)max1max3max 2σσσ<<； (D)max1max 3max 2σσσ=<。
答：C7. 正方形等截面立柱，受纵向压力F移至B 时，柱内最大压应力的比值max maxA B σσ(A) 1:2； (B) 2:5； (C) 4:7； (D) 5:2。
答：C8. 图示矩形截面偏心受压杆，其变形有下列四种答案：(A)轴向压缩和平面弯曲的组合； (B)轴向压缩、平面弯曲和扭转的组合； (C)缩和斜弯曲的组合；(D)轴向压缩、斜弯曲和扭转的组合。
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10-3 试求图示[16a 简支梁由于自重作用所产生的最大正应力及同一截面上AB 两点的正应力。
q解：(1)查表可矩[16a 的理论重量为17.24kg/m ，故该梁重均布载荷的集度为172.4N/m 。
截面关于z 轴对称，而不关于y 轴称，查表可得：364640108cm 10810,73.3cm 0.73310m,63m m =0.063m , 1.8cm =0.018mz y W I b z --==⨯==⨯==⑴外力分析：cos 172.4cos 20162.003/sin 172.4sin 2058.964/y z q q N m q q N mϕϕ======⑵内力分析：跨中为危险面。
32,m ax32,m ax11162.003 4.2357.217881158.964 4.2130.01688z y y z Mq l N mMq l N m==⨯⨯=⋅==⨯⨯=⋅⑶应力分析：A 、B 点应力分析如图所示。
A 点具有最大正应力。
,m ax,m axm ax 66,m ax,m axm ax 066357.217130.016(0.0630.018)11.29M P a108100.73310357.217130.0160.018 6.50M P a108100.73310y z A A z y y z B zyMMz W I MMz W I σσσσ---+--==--⋅=--⨯-=-⨯⨯==++⋅=+⨯=⨯⨯m ax 11.29M Pa A σσ==-10-4 试求图示简支梁的最大正应力，及跨中的总挠度。
已知弹性模量100P a E G =。
解：(1) 外力分析：由于集中力在横截面内与轴线垂直，故梁将发生斜弯曲。
cos 10cos159.66kN sin 10sin 15 2.59kNy z P P P P ϕϕ======⑵内力分析：集中力作用在跨中，故跨中横截面为危险面。
,m ax,m ax119.6637.245kN m4411 2.593 1.943kN m44z y y z MP l MP l ==⨯⨯=⋅==⨯⨯=⋅⑶应力分析：跨中横截面D 2、D 1点分别具有最大的拉压应力，应力分析如图所示。
133,max,maxmax227.24510 1.94310(Pa)110.150.200.200.15667.245 2.591(M Pa)9.836M Pay z D zyMMW W σσ+⨯⨯==++=+⨯⨯⨯⨯=+=2,max,max max 7.245 2.591(M Pa)9.836M Pa y z D zyMM W W σσ-==--=--=-（4）求梁的跨中的总挠度。
9.66kN y P =使简支梁上下弯曲，发生挠度f y ; 2.59kN z P =使简支梁前后弯曲，发生挠度f z 。
查《教材》P .156第12栏，可知跨中的挠度 333-439333-4399.6610310m =0.5434m m480.150.2048(10010)122.591032.5910m =0.259m m480.200.1548(10010)12y y zz z yP lf EI P lf EI⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯故：-4m 0.602m m 5.434tan 2.09864.522.59z yf f f ββ======→=10-5 由木材制成的矩形截面悬臂梁受力、尺寸如图所示。
材料的弹性模量41.010M P a E =⨯。
试：（1）求梁的最大正应力及其作用点的位置；（2）求梁的最大挠度。
（3）如果截面是圆形，130m m d =，试求梁横截面的最大正应力。
3M z解：（1）求梁的最大正应力及其作用点的位置①外力分析，判变形。
P 1使梁发生水平面内绕y 轴转动的弯曲。
P 2使梁发生铅垂平面内绕z 轴转动的弯曲。
梁发生斜弯曲。
②内力分析，判危险面：P 1 、P 2都在固定端面引起最大弯矩，固定端面为危险面。
,max1,max 22160023200(1800()y z MP M P =⨯=⨯=⋅=⨯=⋅N m)N m③应力分析，判危险点，如右所示图P 1使危险面上出现前压后拉的应力，P 2使危险面上出现上拉下压的应力。
故，固定端右截面上危险点是：前下角D 1和后上角D 2。
,m a x,m a xmax ma x ma x223200800Pa 14.8M Pa110.180.090.090.1866y z y z MMW W σσσ+-===+=+=⨯⨯⨯⨯（2）求梁的最大挠度。
查《教材》P .154第4栏，可知 333231033313100.8101(3)(321)0.001524m0.090.1866(110)121.61020.03902m0.180.0933(110)12y zz yP a f l a EI P l f EI⨯⨯=-=⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯故：0.039m0.03902tan 25.7287.770.001524z yf f f ββ======→=（3）当截面是圆形时，求梁横截面的最大正应力当截面是圆形时梁发生平面弯曲，由于截面寻找中性轴难度大，我们将两个平面的弯矩合成，是几何合成而不是代数相加。
固定端面的合成弯矩为：m ax 3298.48(N m )M ===⋅m ax m ax 33298.48Pa 15.29M 0.1332M WWσπ====⨯11-9 简支折线梁受力如图所示，截面为25cm ×25cm 的正方形截面，试求此梁的最大正应力。
解：（1）外力分析，判变形。
由对称性可知，A 、C 两处的约束反力为P/2 ，主动力、约束反力均在在纵向对称面内，简支折线梁将发生压弯组合变形。
(2)内力分析，判危险面：从下端无限靠近B 处沿横截面将简支折线梁切开，取由右边部分为研究对象，受力如图所示。
梁上各横截面上轴力为常数，B 横截面具有最大弯矩，故B 横截面为压弯组合变形危险面。
,m ax244249.6(k 28cos )22y P MP N ϕ=⨯=⨯=⋅=⨯=⨯..N m)N(3)应力分析，判危险点，如右所示图由于截面为矩形，而D 1 D 2是压弯组合变形的压缩边缘，故危险面上D 1 D 2边缘是出现最大压应力。
,m a xm a x3324362.561109.610Pa 0.0409763.6864M Pa 3.727M Pa1251025106z zMN AW σ---=+⨯⨯=+=+=⨯⨯⨯11-10 水塔盛满水时连同基础总重量为G ，在离地面H 处，受一水平风力合力为P 作用，圆形基础直径为d ,基础埋深为h ，若基础土壤的许用应力[σ]=300kN/m 2，试校核基础的承载力。
kN解：（1）外力分析，判变形。
主动力、约束反力均在在纵向对称面内左右弯，基础及盛满水的水塔的重量使结构发生轴向压缩变形，而风荷载使其发生左拉右压弯曲。
结构发生压弯组合变形。
(2)内力分析，判危险面：基础底部轴力、弯矩均达到最大值，故该横截面为压弯组合变形的危险面。
,max315+36018108(k610(kyM PN G=⨯=⨯=⋅==⨯（）N m)N)(3)应力分析，判危险点，如右所示图由于截面为圆形，中性轴是左右对称的水平直径所在线上，最右边点压弯组合变形的压缩边缘将出现最大压应力。
（4）强度计算。
[],m a xm a x6323-61010810--Pa-212.21-50.93kPa263.14kPa300kPa 66432zzMNA Wσσππ-=⨯⨯===≤=⨯⨯11-11 试求图示具有切槽杆的最大正应力。
1kN解：（1）外力分析，判变形。
P与缺口轴线平行不重合，所以发生双向偏心拉伸。
(2)内力分析，判危险面：从缺口处沿横截面将梁切开，取由右边部分为研究对象，将集中力作用点在端部平移到与缺口对应的形心位置，受力如图所示。
可先将集中力向前水平平移2.5mm,则附加My；再将力向下平移5mm，则附加Mz。
梁上各横截面上轴力、弯矩均为常数。
332.510 2.5(5105(1(kyzM PM PN P=⨯⨯=⋅=⨯⨯=⋅==N m)N m)N)(3)应力分析，判危险点，如右所示图整个横截面上均有N引起的均布的拉应力，My引起后拉前压的弯曲应力，Mz引起上拉下压的弯曲应力，点于D2点三者可以均引起拉应力，可代数相加。
622991000 2.55=Pa51010105510101066206060M Pa140M Pay zy zM MNA W Wσ---++=++⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++=11-12 矩形截面悬臂梁受力如图所示。
确定固定端截面上中性轴的位置，应力分布图及1、2、3、4四点的应力值。
轴解：（1）外力分析，判变形。
5kN作用下构件在xy平面内上下弯曲；25kN作用下构件发生轴向压缩的同时，还将在xz 平面内前后弯曲。
结构将发生双向偏心压缩组合变形。
(2)内力分析，判危险面：5kN 作用下构件将使M z 在固定端面达到最大值弯矩,m ax50000.63000N m z M=⨯=⋅;25kN 作用下使构件各横截面具有相同的内力，3325000N ,25102510625N m yN M-==⨯⨯⨯=⋅。
故该固定端横截面为偏心压缩的危险面。
(3) 应力分析：z M 使固定端横截面上拉下压的弯曲正应力，N 使每一点具有均匀分布的压应力，y M 使固定端横截面前拉后压的弯曲正应力。
故，固定端截面第一象限的K 任意点的应力K σ 确定固定端截面上中性轴的位置33366625103000625-+=+0.150.10.10.150.150.1012121.66710106.667105010yzK K K K KzyK KM M N y z y z A I I y z σ⨯=-⋅⋅--⋅⋅⨯⨯⨯=-⨯-⨯+⨯331.667106.66750063.98729.994=1111115.631033.341063.98729.994K K K K K K K KKy z y z y z y z σ=--+=→-+→+=→+=-⨯⨯-应力分布图及1、2、3、4四点的应力值。
31223425103000625++=+Pa 1.6678 2.5M Pa 8.83M Pa0.150.1020.150.10.10.1566+-1.66782.5M Pa3.83M Pa--1.66782.5M Pa 12.17M Pa-+1.66782yzK z y yzz yyzz y yzzyMMN y A W W MMN A W W MMN A W W MMN A W W σσσσ⨯=---⋅=-++=⨯⨯⨯=-=-+-==-=-+-=-=-=--+.5M Pa 7.17M Pa=-11-14 图示铁路圆信号板，装在外径为D=60mm 的空心柱上。