新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.2对数的运算讲义新人教A版必修第一册
数学人教A版必修第一册4.3.2对数的运算课件
(2)lg
2
2
5 + lg
3
8+lg 5·lg 20+(lg 2)2
24 ×53
解：原式=lg
1
5
1
5－lg
5
＝lg 104＝4
【跟踪训练】
(2)lg
2
2
5 + lg
3
8+lg 5·lg 20+(lg 2)2
解：原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2
如果a 0, 且a 1, M 0, N 0, 那么
（1）log（
log a M log a N；
a MN）
M
（2）log a
log a M - log a N；
N
n
（3）log a M n log a M .
对数的运算性质把乘积转化为加法，把商转化为减法，
把乘方转化为乘法，降低了运算级别，简化了运算。
的运算性质．你认为可以怎样研究？
我们知道了对数与指数间的
关系，能否利用指数幂运算性
质得出相应的对数运算性质呢？
(1)a r a s a r s (a 0, r , s R);
(2)(a r ) s a rs (a 0, r , s R);
(3)(ab) r a r b r (a 0, r R);
创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。
2024年11月10日星期日11时4分32秒
课程标准：掌握积、商、幂的对数运算性质，理解
其推导过程和成立的条件．
教学重点：对数的运算性质
新教材2024高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.1对数的概念课件新人教A版必修第一册
3．指数式与对数式的互化
1．(题型1)有下列说法：①只有正数有对数；②任何一个指数式都
可以化成对数式；③log525＝±2；④3log3(－5)＝－5成立．其中正确的
2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作_l_g_N___；以 无 理 数 e ＝ 2.718 28… 为 底 的 对 数 称 为 自 然 对 数 ， 并 且 把 logeN 记 为 __l_n_N____．
【预习自测】
在对数概念中，为什么规定a＞0，且a≠1呢？ 【提示】(1)若a＜0，则N取某些数值时，logaN不存在，因此规定a 不能小于0． (2)若a＝0，则当N≠0时，logaN不存在，当N＝0时，则logaN有无数 个值，与对数定义不符，因此规定a≠0． (3)若a＝1，当N≠1时，则logaN不存在，当N＝1时，则logaN有无数 个值，与对数定义不符，因此规定a≠1．
所以 x＝±5．
因为 52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，
所以 x＝5 或 x＝－5．
题型3 利用对数的性质及对数恒等式求值 方向1 利用对数的性质求值
(1)计算log3[log3(log28)]＝________． (2)若log2[log4(log3x)]＝0，则x＝________． 【答案】(1)0 (2)81 【解析】(1)令log28＝x，则2x＝8，所以x＝3．所以 log3[log3(log28)]＝log3(log33)＝log31＝0． (2)因为log2[log4(log3x)]＝0，可得log4(log3x)＝1，所以log3x＝4，所 以x＝34＝81．
2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.3.1 对数的概念讲义 新人教A版必修第一册
4．3.1 对数的概念知识点对数1．对数的概念(1)定义如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N.(2)相关概念①底数与真数其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．②常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lg_N；以无理数e＝2.718 28…为底数的对数称为自然对数，并且把log e N记为ln N.状元随笔log a N是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．2．对数与指数间的关系当a＞0，a≠1时，a x＝N⇔x＝log a N.前者叫指数式，后者叫对数式．3．对数的性质状元随笔指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：[教材解难]对数式与指数式的关系(1)对数式是指数式的另一种表达形式，对数运算是指数运算的逆运算，常用符号“log”表示对数．(2)对数的概念中出现了两个等式：指数式a x＝N和对数式x＝log a N，这两个等式是等价的，它们之间的关系如图所示．根据这个关系可以将指数式化成对数式，也可将对数式化成指数式．[基础自测]1．把指数式a b＝N 化为对数式是( ) A ．log b a ＝N B ．log a N ＝b C ．log N b ＝a D ．log N a ＝b解析：根据对数定义知a b＝N ⇔log a N ＝b . 答案：B2．把对数式log a 49＝2写成指数式为( ) A ．a 49＝2 B ．2a＝49 C ．492＝a D ．a 2＝49解析：根据指数式与对数式的互化可知，把log a 49＝2化为指数式为a 2＝49. 答案：D3．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．±4 B ．4 C ．256 D ．2解析：由log x 16＝2可知x 2＝16，所以x ＝±4， 又x ＞0且x ≠1，所以x ＝4. 答案：B 4．下列各式： ①lg(lg 10)＝0； ②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10； ④由log 25x ＝12，得x ＝±5.其中，正确的是________．(把正确的序号都填上)解析：因为lg 10＝1，所以lg(lg 10)＝lg 1＝0，①正确； 因为ln e ＝1，所以lg(ln e)＝lg 1＝0，②正确； 若10＝lg x ，则x ＝1010，③错误；由log 25x ＝12，得x ＝2512＝5，④错误．答案：①②题型一 指数式与对数式互化[教材P 122例1]例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： 利用a b ＝N ⇔log a N ＝b(1)54＝625； (2)2－6＝164；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫13m＝5.73; (4)log 1216＝－4；(5)lg 0.01＝－2; (6)ln 10＝2.303.【解析】 (1)log 5625＝4；(2)log 2164＝－6；(3)log 135.73＝m ；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16；(5)10－2＝0.01；(6)e 2.303＝10. 教材反思指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化：(1)25＝32; (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4；(3)log 381＝4; (4)log 134＝m .解析：(1)log 232＝5；(2)log 124＝－2；(3)34＝81；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＝4.底数不变，指数与对数，幂与真数相对应． 题型二 对数基本性质的应用 例2 求下列各式中的x 的值．利用性质log a a＝1，log a1＝0求值．(1)log2(log3x)＝0；(2)log5(log2x)＝1；(3)log(3＋1)23－1＝x.【解析】(1)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.(2)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32.(3)23－1＝2(3＋1)2＝3＋1，所以log(3＋1)23－1＝log(3＋1)(3＋1)＝1，所以x＝1.方法归纳利用对数性质求值的方法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求log a(log b c)的值，先求log b c的值，再求log a(log b c)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．跟踪训练2 求下列各式中的x的值．(1)log8[log7(log2x)]＝0；(2)log2[log3(log2x)]＝1.解析：(1)由log8[log7(log2x)]＝0得log7(log2x)＝1，所以log2x＝7，所以x＝27＝128.(2)由log2[log3(log2x)]＝1得log3(log2x)＝2，所以log2x＝32，所以x＝29＝512.已知多重对数式的值求变量，先外到内，利用性质逐一求值．题型三 对数恒等式a log a N ＝N (a ＞0，且a ≠1，N ＞0) 的应用例3 求下列各式的值： (1)22log 3＋33log 2；(2)22＋log 213；(3)101＋lg 2； (4)e－1＋ln 3.【解析】 (1)因为22log 3＝3,33log 2＝2，所以原式＝3＋2＝5.(2)原式＝22×221log 3＝4×13＝43.(3)原式＝10×10lg 2＝10×2＝20.(4)原式＝e －1×eln 3＝1e ×3＝3e. 化成a log a N ＝N 形式，再求值． 方法归纳利用对数恒等式化简的关键是利用指数幂的相关运算性质把式子转化为a log a N的形式．跟踪训练3 计算：(1)931log 42＝________；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1331log 2－＋＝________. 解析：(1)931log 42＝(912)3log 4＝33log 4＝4.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫133log 2＝3×(3－1)3log 2＝3×(33log 2)－1＝3×2－1＝32.答案：(1)4 (2)32不同底的先化成同底，再利用对数恒等式求值．一、选择题 1．对于下列说法： (1)零和负数没有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式； (3)以10为底的对数叫做自然对数； (4)以e 为底的对数叫做常用对数． 其中错误说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：只有符合a ＞0，且a ≠1，N ＞0，才有a x＝N ⇔x ＝log a N ，故(2)错误．由定义可知(3)(4)均错误．只有(1)正确．答案：C2．将⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( )A ．log 913＝－2 B ．log 139＝－2C ．log 13(－2)＝9 D ．log 9(－2)＝13解析：根据对数的定义，得log 139＝－2，故选B.答案：B 3．若log a2b ＝c 则( )A ．a 2b＝c B ．a 2c＝b C ．b c ＝2a D ．c 2a＝b解析：log a 2b ＝c ⇔(a 2)c＝b ⇔a 2c＝b .答案：B4．33log 4－2723－lg 0.01＋ln e 3等于( )A ．14B ．0C ．1D ．6解析：33log 4－2723－lg 0.01＋ln e 3＝4－3272－lg 1100＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.选B.答案：B 二、填空题5．求下列各式的值： (1)log 636＝________. (2)ln e 3＝________. (3)log 50.2＝________.(4)lg 0.01＝________. 解析：(1)log 636＝2. (2)ln e 3＝3.(3)log 50.2＝log 55－1＝－1. (4)lg 0.01＝lg 10－2＝－2. 答案：(1)2 (2)3 (3)－1 (4)－2 6．ln 1＋log (2－1)＝________.解析：ln 1＋log (2－1)＝0＋1＝1. 答案：1 7．10lg 2－ln e＝________.解析：ln e ＝1， 所以原式＝10lg2－1＝10lg 2×10－1＝2×110＝15.答案：15三、解答题8．将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4; (2)log 1327＝－3；(3)log3x ＝6; (4)43＝64；(5)3－2＝19； (6)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16.解析：(1)24＝16; (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－3＝27；(3)(3)6＝x; (4)log 464＝3； (5)log 319＝－2; (6)log 1416＝－2.9．求下列各式中x 的值： (1)log 3(log 2x )＝0； (2)log 2(lg x )＝1； (3)552log 3－＝x .解析：(1)∵log 3(log 2x )＝0，∴log 2x ＝1.∴x ＝21＝2. (2)∵log 2(lg x )＝1，∴lg x ＝2.∴x ＝102＝100. (3)x ＝552log 3－＝5255log 3＝253.[尖子生题库]10．计算下列各式： (1)2ln e ＋lg 1＋33log 2； (2)33log 4lg 10－＋2ln 1.解析：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.(2)原式＝33log 41－＋20＝33log 4÷31＋1＝43＋1＝73.。
新教材2024高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算课件新人教A版必修第一册
【预习自测】
(1)log32×log29＝________． (2)lg 2＋lg 5＋log23×log34＝________． 【答案】(1)2 (2)3
【解析】(1)原式＝llgg
2 lg 3·lg
92＝2．
(2)原式可化为
lg
10＋llgg
3 lg 2·lg
34＝3．
|课堂互动|
题型 1 利用对数的运算性质化简、求值 计算下列各式的值：
(方法二)因为 log189＝a，18b＝5，所以 log185＝b．
于是 log3645＝lolgo1g8(1981×9825)＝2lloogg118891＋8－lolgo1g81589＝a2＋－ba．
(方法三)因为 log189＝a，18b＝5，所以 lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18．
() ()
【解析】(1)根据对数的运算性质可知(1)正确；
(2)loga(xy)＝logax＋logay，只有x＞0，y＞0时才成立； (3)公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数．
换底公式
logcb logab＝__l_o_g_ca___(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．
|素养达成|1．换底公式可成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆 用．使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进 行对数式的化简(体现了数学运算核心素养)．
2．运用对数的运算性质应注意： (1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误： ①logaNn＝(logaN)n； ②loga(MN)＝logaM·logaN； ③logaM±logaN＝loga(M±N)．
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数函数模型的应用课件新人教A版必修第一册ppt
并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结
果保留两位有效数字).
解:以投入额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中作出散
点图,如图所示(图①为 A 商品,图②为 B 商品).
①
②
由散点图可以看出,A 种商品所获纯利润 y 与投入额 x 之间的变化规
较为接近,
所以用 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数较好.
方法规律
选择函数模型的标准
函数模型的优劣,一般可用其他数据进行验证,若差
距较小,则说明选择正确,主要考查数学抽象、数学建模
的核心素养.
【跟踪训练】
4.某农产品从 5 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得
到该农产品种植成本 Q(单位:元/百千克)与上市时间 t(单
据如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y -0.99 0.01 0.98
则对 x,y 最适合的拟合函数是 (
A.y=2x
B.y=x2-1
C.y=2x-2
D.y=log2x
2.00
)
解析:将x=0.50,y=-0.99代入计算可以排除选项A.
将x=2.01,y=0.98代入计算可以排除选项B,C,故选D.
所以
x
g(x)= ×( ) -3.
利用 f(x),g(x)对 2019 年的 CO2 浓度比 2015 年增加的
单位数作估算,
则其数值分别为 f(4)=10,g(4)=10.5.
因为|f(4)-12|>|g(4)-12|,
故 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数与 2019 年的实际数据
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数指数函数的概念讲义
最新课程标准：（１）通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．（２）能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.知识点一指数函数的定义函数y＝a x（a>0且a≠１）叫做指数函数，其中x是自变量．定义域为R.错误!指数函数解析式的３个特征（１）底数a为大于0且不等于１的常数．（２）自变量x的位置在指数上，且x的系数是１．（３）a x的系数是１．知识点二指数函数的图象与性质a>１0<a<１图象定义域R值域（0，＋∞）性质过定点过点（0,１），即x＝0时，y＝１函数值的变化当x>0时，y>１；当x<0时，0<y<１当x>0时，0<y<１；当x<0时，y>１单调性是R上的增函数是R上的减函数错误!底数a与１的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>１时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<１时，指数函数的图象是“下降”的．[教材解难]规定底数a>0且a≠１的理由（１）如果a＝0，则错误!（２）如果a<0，比如y＝（—２）x，这时对于x＝错误!，错误!，错误!，错误!，…在实数范围内函数值不存在．（３）如果a＝１，那么y＝１x＝１是常量，对此就没有研究的必要．[基础自测]１．下列各函数中，是指数函数的是（）Ａ．y＝（—３）xＢ．y＝—３xＣ．y＝３x—１Ｄ．y＝错误!x解析：根据指数函数的定义y＝a x（a>0且a≠１）可知只有D项正确．答案：D２．函数f（x）＝错误!的定义域为（）Ａ．RＢ．（0，＋∞）Ｃ．[0，＋∞）Ｄ．（—∞，0）解析：要使函数有意义，则２x—１>0，∴２x>１，∴x>0．答案：B３．在同一坐标系中，函数y＝２x与y＝错误!x的图象之间的关系是（）Ａ．关于y轴对称Ｂ．关于x轴对称Ｃ．关于原点对称Ｄ．关于直线y＝x对称解析：由作出两函数图象可知，两函数图象关于y轴对称，故选Ａ．答案：A４．函数f（x）＝错误!的值域为________．解析：由１—e x≥0得e x≤１，故函数f（x）的定义域为{x|x≤0}，所以0<e x≤１，—１≤—e x<0,0≤１—e x<１，函数f（x）的值域为[0,１）．答案：[0,１）题型一指数函数概念的应用[经典例题]例１（１）若函数f（x）＝（２a—１）x是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）Ａ．（0,１）Ｂ．（１，＋∞）Ｃ．错误!Ｄ．（—∞，１）（２）指数函数y＝f（x）的图象经过点错误!，那么f（４）·f（２）等于________．【解析】（１）由已知，得0<２a—１<１，则错误!<a<１，所以实数a的取值范围是错误!.（２）设y＝f（x）＝a x（a>0，a≠１），所以a—２＝错误!，所以a＝２，所以f（４）·f（２）＝２４×２２＝6４．【答案】（１）C （２）6４（１）根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠１，a x的系数是１．（２）先设指数函数为f（x）＝a x，借助条件图象过点（—２，错误!）求a，最后求值．方法归纳（１）判断一个函数是指数函数的方法１看形式：只需判定其解析式是否符合y＝a x（a>0，且a≠１）这一结构特征．２明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．（２）已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤跟踪训练１（１）若函数y＝（３—２a）x为指数函数，则实数a的取值范围是________；（２）下列函数中是指数函数的是________．（填序号）１y＝２·（错误!）x２y＝２x—１３y＝错误!x４y＝x x５y＝３1x⑥y＝x13.解析：（１）若函数y＝（３—２a）x为指数函数，则错误!解得a<错误!且a≠１．（２）１中指数式（错误!）x的系数不为１，故不是指数函数；２中y＝２x—１＝错误!·２x，指数式２x的系数不为１，故不是指数函数；４中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；５中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填３．答案：（１）（—∞，１）∪错误!（２）３１．指数函数系数为１．２．底数>0且≠１．题型二指数函数[教材P１１４例１]例２已知指数函数f（x）＝a x（a>0，且a≠１），且f（３）＝π，求f（0），f（１），f（—３）的值．【解析】因为f（x）＝a x，且f（３）＝π，则a３＝π，解得a＝π13，于是f（x）＝π3x.所以，f（0）＝π0＝１，f（１）＝π13＝错误!，f（—３）＝π—１＝错误!.错误!要求f（0），f（１），f（—３）的值，应先求出f（x）＝a x的解析式，即先求a的值．教材反思求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．因为底数a是大于0且不等于１的实数，所以a＝—３应舍去．跟踪训练２若指数函数f（x）的图象经过点（２,9），求f（x）的解析式及f（—１）的值．解析：设f（x）＝a x（a>0，且a≠１），将点（２,9）代入，得a２＝9，解得a＝３或a＝—３（舍去）．所以f（x）＝３x.所以f（—１）＝３—１＝错误!.设f（x）＝a x，代入（２,9）求出Ａ．一、选择题１．下列函数中，指数函数的个数为（）１y＝错误!x—１；２y＝a x（a>0，且a≠１）；３y＝１x；４y＝错误!２x—１．Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．３Ｄ．４解析：由指数函数的定义可判定，只有２正确．答案：B２．已知f（x）＝３x—b（b为常数）的图象经过点（２,１），则f（４）的值为（）Ａ．３Ｂ．6Ｃ．9 Ｄ．8１解析：由f（x）过定点（２,１）可知b＝２，所以f（x）＝３x—２，f（４）＝9．可知C正确．答案：C３．当x∈[—１,１]时，函数f（x）＝３x—２的值域是（）Ａ．错误!Ｂ．[—１,１]Ｃ．错误!Ｄ．[0,１]解析：因为指数函数y＝３x在区间[—１,１]上是增函数，所以３—１≤３x≤３１，于是３—１—２≤３x—２≤３１—２，即—错误!≤f（x）≤１．故选Ｃ．答案：C４．在同一平面直角坐标系中，函数f（x）＝ax与g（x）＝a x的图象可能是（）解析：需要对a讨论：１当a>１时，f（x）＝ax过原点且斜率大于１，g（x）＝a x是递增的；２当0<a<１时，f（x）＝ax过原点且斜率小于１，g（x）＝a x是减函数，显然B正确．答案：B二、填空题５．下列函数中：１y＝２·（错误!）x；２y＝２x—１；３y＝错误!x；４y＝３1x-；５y＝x13.是指数函数的是________（填序号）．解析：１中指数式的系数不为１；２中y＝２x—１＝错误!·２x的系数亦不为１；４中自变量不为x；５中的指数为常数且底数不是唯一确定的值．答案：３6．若指数函数y＝f（x）的图象经过点错误!，则f错误!＝________.解析：设f（x）＝a x（a>0且a≠１）．因为f（x）过点错误!，所以错误!＝a—２，所以a＝４．所以f（x）＝４x，所以f错误!＝４32-＝错误!.答案：错误!7．若关于x的方程２x—a＋１＝0有负根，则a的取值范围是________．解析：因为２x＝a—１有负根，所以x<0，所以0<２x<１．所以0<a—１<１．所以１<a<２．答案：（１,２）三、解答题8．若函数y＝（a２—３a＋３）·a x是指数函数，求a的值．解析：由指数函数的定义知错误!由１得a＝１或２，结合２得a＝２．9．求下列函数的定义域和值域：（１）y＝２1x—１；（２）y＝错误!222x－.解析：（１）要使y＝２1x—１有意义，需x≠0，则２1x≠１；故２1x—１>—１且２1x—１≠0，故函数y＝２1x—１的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为（—１,0）∪（0，＋∞）．（２）函数y＝错误!222x－的定义域为实数集R，由于２x２≥0，则２x２—２≥—２．故0<错误!222x－≤9，所以函数y＝错误!222x－的值域为（0,9]．[尖子生题库]１0．设f（x）＝３x，g（x）＝错误!x.（１）在同一坐标系中作出f（x），g（x）的图象；（２）计算f（１）与g（—１），f（π）与g（—π），f（m）与g（—m）的值，从中你能得到什么结论？解析：（１）函数f（x）与g（x）的图象如图所示：（２）f（１）＝３１＝３，g（—１）＝错误!—１＝３；f（π）＝３π，g（—π）＝错误!—π＝３π；f（m）＝３m，g（—m）＝错误!—m＝３m.从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．。
高中数学第四章4.3.2对数的运算讲义新人教A版必修第一册
4.3.2 对数的运算知识点一 对数的运算性质若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， (2)log a M N＝log a M －log a N ， (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )．状元随笔 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．知识点二 对数换底公式log a b ＝log c blog c a (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)．特别地：log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)． 状元随笔 对数换底公式常见的两种变形 (1)log a b·log b a ＝1，即1log a b＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .(2)log N n M m＝m n log N M ，此公式表示底数变为原来的n 次方，真数变为原来的m 次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍．[教材解难]换底公式的推导设x ＝log a b ，化为指数式为a x＝b ，两边取以c 为底的对数，得log c a x＝log c b ，即x log c a ＝log c b .所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a.[基础自测]1．下列等式成立的是( ) A ．log 2(8－4)＝log 28－log 24B.log 28log 24＝log 284C ．log 28＝3log 22D ．log 2(8＋4)＝log 28＋log 24解析：由对数的运算性质易知C 正确． 答案：C 2.log 49log 43的值为( ) A.12 B ．2 C.32 D.92解析：原式＝log 39＝2. 答案：B3．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4解析：原式＝log 5102＋log 50.25 ＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 答案：C4．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为________． 解析：log 32＝ln 2ln 3＝a b .答案：a b题型一 对数运算性质的应用[教材P 124例3] 例1 求下列各式的值： (1)lg 5100； (2)log 2(47×25)．【解析】 (1)lg 5100＝lg 10015＝15lg 100＝25； (2)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 24＋5log 22＝7×2＋5×1 ＝19.利用对数运算性质计算． 教材反思1．对于同底的对数的化简，常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练1 (1)计算：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.(2)求下列各式的值． ①log 53＋log 513②(lg 5)2＋lg 2·lg 50③l g 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.解析：(1)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.(2)①log 53＋log 513＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13＝log 51＝0.②(lg 5)2＋lg 2·lg 50 ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.③原式＝lg 25＋lg 823＋lg 102·lg(10×2)＋(lg 2)2＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3. 答案：(1)－1 (2)见解析 利用对数运算性质化简求值．题型二 对数换底公式的应用[经典例题]例2 (1)已知2x ＝3y＝a ，1x ＋1y＝2，则a 的值为( )A ．36B ．6C ．2 6 D. 6 (2)计算下列各式： ①log 89·log 2732.②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭⎪⎫3382-3.③6413＋lg 4＋2lg 5.【解析】 (1)因为2x ＝3y＝a ， 所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，所以1x ＋1y ＝1log 2a ＋1log 3a ＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2，所以a 2＝6，解得a ＝± 6. 又a ＞0，所以a ＝ 6.(2)①log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝lg 32lg 23·lg 25lg 33＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109. ②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭⎪⎫3382-3＝lg 16＋lg 5－lg 8－1⎝⎛⎭⎪⎫32782＝lg 16×58－1⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1－49＝59. ③6413＋lg 4＋2lg 5＝4＋lg(4×52)＝4＋2＝6.【答案】 (1)D (2)见解析状元随笔 1.先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分． 方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a 为底．(2)换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ；log an b m＝mnlog a b . 跟踪训练2 (1)式子log 916·log 881的值为( ) A.18 B.118C.83D.38(2)(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)等于( ) A.56 B.2512C.94D ．以上都不对 解析：(1)原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 33log 34＋log 33log 38·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 38log 39＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋3log 322 ＝56log 32×52log 32＝2512. 答案：(1)C (2)B 利用换底公式化简求值． 题型三 用已知对数表示其他对数例3 已知log 189＝a,18b＝5，用a ，b 表示log 3645. 解析：方法一 因为log 189＝a ，所以9＝18a. 又5＝18b，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18(18×2)＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b 2－a.方法二 ∵18b＝5，∴log 185＝b . ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(4×9)＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b 2－a.状元随笔 方法一 对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值． 方法二 先求出a 、b ，再利用换底公式化简求值. 方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用．跟踪训练3 (1)已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg 5＝________；(用p ，q 表示) (2)①已知log 147＝a,14b＝5，用a ，b 表示log 3528. ②设3x ＝4y＝36，求2x ＋1y的值．解析：(1)lg 5＝log 65log 610＝q log 62＋log 65＝qp ＋q .(2)①∵log 147＝a,14b＝5， ∴b ＝log 145.∴log 3528＝log 1428log 1435＝log 141427log 14(5×7)＝log 14142－log 147log 145＋log 147＝2－a a ＋b . ②∵3x＝36,4y＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， ∴1x ＝1log 336＝1log 3636log 363＝log 363， 1y＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(9×4)＝1.答案：(1)qp ＋q (2)①2－aa ＋b②1 (1)利用换底公式化简．(2)利用对数运算性质化简求值．课时作业 22一、选择题1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，下列式子：①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：根据对数的性质知4个式子均不正确． 答案：A2．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3 D.12解析：12log 612－2log 62＝12(1＋log 62)－log 62＝12(1－log 62)＝12log 63＝log 6 3.答案：C3．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 5＝( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b1＋a C.2a ＋b 1－a D.a ＋2b1－a解析：lg 12lg 5＝lg 3＋lg 4lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝2a ＋b 1－a .答案：C4．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于( ) A ．3 B ．9 C ．18 D ．27解析：原式可化为log 8m ＝2log 34，lg m 3lg 2＝2lg 4lg 3，即lg m ＝6lg 2·lg 32lg 2，lg m ＝lg 27，m ＝27.故选D. 答案：D 二、填空题5．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.答案：4 －36．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于________．解析：由换底公式， 得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg xlg 6＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125.答案：1257.lg 2＋lg 5－lg 12lg 12＋lg 8·(lg 32－lg 2)＝________.解析：原式＝lg (2×5)－0lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122×8×lg 322＝1lg 2·lg 24＝4.答案：4 三、解答题8．化简：(1)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27；(2)(lg 5)2＋lg 2lg 50＋211+log252.解析：(1)方法一 (正用公式)： 原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45＋910－12lg 3lg 3＝115. 方法二 (逆用公式)：原式＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫3×925×2712×35×3－12lg 8127＝lg 3115lg 3＝115. (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21·22log ＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋25＝1＋2 5.9．计算：(1)log 1627log 8132； (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)． 解析：(1)log 1627log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516. (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝54. [尖子生题库]10．已知2x ＝3y ＝6z≠1，求证：1x ＋1y ＝1z.证明：设2x ＝3y ＝6z＝k (k ≠1)， ∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z＝log k 6＝log k 2＋log k 3，∴1z ＝1x ＋1y.。
高中数学第四章指数函数与对数函数对数函数及其性质的应用学案新人教A版必修第一册
第2课时 对数函数及其性质的应用课程标准(1)进一步理解对数函数的性质．(2)能运用对数函数的性质解决相关问题．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点 对数型复合函数的单调性❶复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为________；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为_ _______．对于对数型复合函数y＝log a f(x)来说，函数y＝log a f(x)可看成是y＝log a u与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．助学批注批注❶ 三看：(1)看底数是否大于1，(2)看函数的定义域，(3)看复合函数的构成．基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y＝log a x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是单调函数．( )(2)若函数y＝a x(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则函数y＝log a x在(0，＋∞)上也是增函数.( )(3)ln x＜1的解集为(－∞，e)．( )(4)y＝log2[(x－1)(x－2)]的增区间是(－∞，1)∪(2，+∞).( )2．已知a＝log20.6，b＝log20.8，c＝log21.2，则( ) A．c>b>a B．c>a>bC．b>c>a D．a>b>c3．函数f(x)＝log12(2－x)的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)4．不等式log4x≤12的解集为________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1 比较对数值的大小例1 (多选)下列各组的大小关系正确的是( )A.log230.5.log230.6B．log1.51.6＞log1.51.4C．log0.57＜log0.67D．log3π＞log20.8方法归纳比较对数值大小的三种常用方法巩固训练1 若4x＝5y＝20，z＝log x y，则x，y，z的大小关系为( ) A．x<y<z B．z<x<yC．y<x<z D．z<y<x题型 2 解对数不等式例2 已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则x的取值范围为( )A ．(12，＋∞)B ．(－∞，12)C ．(－12，12) D ．(0，12)方法归纳对数不等式的2种类型及解法巩固训练2 已知log a 12>1，则a 的取值范围为________.题型 3 对数型复合函数的单调性例3 若函数f (x )＝ln (ax －2)在(1，＋∞)单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(0，2]D ．[2，＋∞)方法归纳已知对数型函数的单调性求参数的取值范围一要结合复合函数的单调性规律，二要注意函数的定义域．巩固训练3 函数f (x )＝ln (x 2－2x －8)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)题型 4 对数型函数性质的综合应用例4 已知函数f (x )＝log a 4−x 4+x (a >0，且a ≠1)．(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)判断函数f (x )的单调性．方法归纳解决对数型函数性质的策略巩固训练4 已知奇函数f (x )＝ln ax +1x −1.(1)求实数a 的值；(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并利用函数单调性的定义证明．第2课时 对数函数及其性质的应用新知初探·课前预习[教材要点]要点增函数 减函数[基础自测]1．答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×2．解析：∵y＝log2x在定义域上单调递增，∴log20.6<log20.8<log21.2，即c>b>a.答案：A3．解析：函数的定义域为(－∞，2)因为函数y＝2－x在(－∞，2)上为减函数．又0<12<1，所以函数f(x)＝log12(2－x)的单调增区间是(－∞，2).答案：A4．解析：由题设，可得：log4x≤log4412，则0<x≤412＝2，∴不等式解集为(0，2].答案：(0，2]题型探究·课堂解透例1 解析：A中，因为函数y＝log23x是减函数，且0.5<0.6，所以log230.5>log230.6，A错；B中，因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4，B正确；C中，因为0>log70.6>log70.5，所以1log70.6<1log70.5，即log0.67<log0.57，C不正确；D中，因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以log3π>log20.8，D正确．答案：BD巩固训练1 解析：∵4x＝5y＝20，根据指数与对数的关系和y＝log a x(a>1)为增函数：x＝log420>log416＝2，y＝log520，由log55<log520<log525，即1<log520<2，故1<y<2.∴1<y<x.可得log x y<log x x＝1，即z<1综上：z<y<x.答案：D例2 解析：因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于{3x>0，x+1>0，3x>x+1，解得x>12.答案：A巩固训练2 解析：由log a 12>1得log a12>log a a.①当a>1时，有a<12，此时无解．②当0<a<1时，有12<a，从而12<a<1.∴a的取值范围是(12，1)．答案：(12，1)例3 解析：函数f(x)＝ln (ax－2)中，令u＝ax－2，函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，而函数f(x)＝ln (ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则函数u＝ax－2在(1，＋∞)上单调递增，且∀x>1，ax－2>0，因此，{a>0a−2≥0，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．答案：D巩固训练3 解析：要使函数有意义，则：x2－2x－8>0，解得：x<－2或x>4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则，可得函数的单调增区间为(4，＋∞)．答案：D例4 解析：(1)由4−x4+x>0，∴f(x)的定义域为(－4，4)，关于原点对称，又f(－x)＝log a 4+x4−x＝log a(4−x4+x)－1＝－log a4−x4+x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数；(2)∵t＝4−x4+x＝－1＋84+x在(－4，4)上单调递减，又当0<a<1时，y＝log a t在(0，＋∞)上单调递减，当a>1时，y＝log a t在(0，＋∞)上单调递增，∴当0<a<1时，f(x)＝log a 4−x4+x在(－4，4)上单调递增，当a>1时，f(x)＝log a 4−x4+x在(－4，4)上单调递减．巩固训练4 解析：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即ln −ax+1−x−1＝－lnax+1x−1.∴ax−1x+1＝x−1ax+1，即(a2－1)x2＝0，得a＝±1，经检验a＝－1时不符合题意，∴a＝1.(2)f(x)在(1，＋∞)上单调递减．证明：由(1)得f(x)＝ln x+1x−1，x∈(－∞，－1)∪(1，+∞)，任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝ln x1+1x1−1－ln x2+1x2−1＝ln (x1+1x1−1·x2−1x2+1)＝ln x1x2+x2−x1−1x1x2+x1−x2−1.∵1<x1<x2，∴x2－x1>0，x1x2+x2−x1−1x1x2+x1−x2−1>1，∴f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减．。
新教材2024版高中数学第四章指数函数与对数函数4.1指数课件新人教A版必修第一册
指数幂及其运算性质
1．分数指数幂的意义
正分数指数幂
m
规定：an
＝__n__a_m___(a＞0，m，n∈N*，且
n＞1)
分数 指数
1
负分数指数幂
规定：a－mn
＝
1
m
＝___n _a_m___(a＞0，m，n∈N*，且
an
幂
n＞1)
0 的分数 0 的正分数指数幂等于___0_____，0 的负分数指数
(1)a±2a12
1
b2
＋b＝ a ±b ；
1 2
1 2
2
(2)a－b＝ a ＋b a －b ； 1
1 1
1
2
2
2
2
3
(3)a2
＋b23
＝ a ＋b (a－a 1
1
1
2
2
2
1
b2
＋b)；
3
(4)a2
－b23
＝ a －b (a＋a 1
1
1
2
2
2
1
b2
＋b)．
易错警示 忽视条件限制致误 已知 x∈[1，2]，化简：(4 x－1)4＋6 (x2－4x＋4)3＝________．
1．(题型 2)下列运算结果中，正确的是
A．a2a3＝a5
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．( a－1)0＝1
D．(－a2)3＝a6
()
【答案】A 【解析】a2a3＝a2+3＝a5，(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6，( a－1)0＝1， 若成立，需要满足 a≠1，(－a2)3＝－a6，故正确的是 A．故选 A．
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.2对数的运算课件新人教A版必修第一册
=(log23+log23+log23+…+log23)×log9
=n×log23× × log32
= .
探索点三
对数运算的综合应用
【例 3】
(1)已知 2x=3y=a,若 + =2,则 a 的值为(
A.36
B.6
C.2
D.
解析:因为 2x=3y=a,所以 x=log2a,y=log3a,
所以 + =
+
=loga2+loga3=loga6=2,
所以 a2=6,解得 a=±
.
又因为 a>0,所以 a=
,故选 D.
答案:D
)
(2)方程 lgx+lg(x-1)=1-lg5 的根是 (
A.-1
B.2
C.1 或 2
D.-1 或 2
解析:原方程可化为 lg[x(x-1)]=g2,则有
所以
答案:B
所以 log3645=
=
=
=
=
.
方法规律
利用对数换底公式进行化简求值的原则和技巧
【跟踪训练】
3.变式练在本例(2)的条件下,试用 a,b 表示 log310.
+
=
解:log310=
- + -+ -+
① lg 25+
+lg
+lg(2
);
②(lg 5)2+lg 2·lg 50.
解:①原式= ×2×lg 5+3+ lg
+lg
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数对数函数讲义
最新课程标准：（１）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．（２）知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数（a＞0，且a≠１）．（３）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.知识点一对数函数的概念函数y＝log a x （a＞0，且a≠１）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．错误!形如y＝２log２x，y＝log２错误!都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二对数函数的图象与性质a＞１0＜a＜１图象性质定义域（0，＋∞）值域R过点（１,0），即当x＝１时，y＝0在（0，＋∞）上是增函数在（0，＋∞）上是减函数错误!底数a与１的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞１时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜１时，对数函数的图象“下降”．知识点三反函数一般地，指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．[教材解难]１．教材P１３0思考根据指数与对数的关系，由y ＝错误!5730x（x ≥0）得到x ＝log 573012y （0＜y ≤１）．如图，过y 轴正半轴上任意一点（0，y 0）（0＜y 0≤１）作x 轴的平行线，与y ＝错误!5730x（x ≥0）的图象有且只有一个交点（x 0，y 0）．这就说明，对于任意一个y ∈（0,１]，通过对应关系x ＝log 573012y ，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x 和它对应，所以x 也是y 的函数．也就是说，函数x ＝log 573012y ，y ∈（0,１]刻画了时间x 随碳１４含量y 的衰减而变化的规律．２．教材P １３２思考利用换底公式，可以得到y ＝log 12x ＝—log ２x .因为点（x ，y ）与点（x ，—y ）关于x轴对称，所以y ＝log ２x 图象上任意一点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P １（x ，—y ）都在y ＝log 12x 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称．根据这种对称性，就可以利用y ＝log ２x 的图象画出y ＝log 12x 的图象．３．教材P １３8思考一般地，虽然对数函数y ＝log a x （a ＞１）与一次函数y ＝kx （k ＞0）在区间（0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx（k＞0）保持固定的增长速度，而对数函数y＝log a x（a＞１）的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，log a x可能会大于kx，但由于log a x的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有log a x＜kx.４．４．１对数函数的概念[基础自测]１．下列函数中是对数函数的是（）Ａ．y＝log14xＢ．y＝log14（x＋１）Ｃ．y＝２log14xＤ．y＝log14x＋１解析：形如y＝log a x（a＞0，且a≠１）的函数才是对数函数，只有A是对数函数．答案：A２．函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为（）Ａ．（0,１）Ｂ．[0,１）Ｃ．（0,１] Ｄ．[0,１]解析：由题意，得错误!解得0≤x＜１；故函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为[0,１）．答案：B３．函数y＝log a（x—１）（0＜a＜１）的图象大致是（）解析：∵0＜a＜１，∴y＝log a x在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝log a（x—１）的图象是由y＝log a x的图象向右平移一个单位得到，故A正确．答案：A４．若f（x）＝log２x，x∈[２,３]，则函数f（x）的值域为________．解析：因为f（x）＝log２x在[２,３]上是单调递增的，所以log２２≤log２x≤log２３，即１≤log２x≤log２３．答案：[１，log２３]题型一对数函数的概念例１下列函数中，哪些是对数函数？（１）y＝log a错误!（a＞0，且a≠１）；（２）y＝log２x＋２；（３）y＝8log２（x＋１）；（４）y＝log x6（x＞0，且x≠１）；（５）y＝log6x.【解析】（１）中真数不是自变量x，不是对数函数．（２）中对数式后加２，所以不是对数函数．（３）中真数为x＋１，不是x，系数不为１，故不是对数函数．（４）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（５）中底数是6，真数为x，系数为１，符合对数函数的定义，故是对数函数.用对数函数的概念例如y＝log a x（a＞0且a≠１）来判断．方法归纳判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练１若函数f（x）＝（a２—a＋１）log（a＋１）x是对数函数，则实数a＝________.解析：由a２—a＋１＝１，解得a＝0或a＝１．又底数a＋１＞0，且a＋１≠１，所以a＝１．答案：１对数函数y＝log a x系数为１．题型二求函数的定义域[教材P１３0例１]例２求下列函数的定义域：（１）y＝log３x２；（２）y＝log a（４—x）（a＞0，且a≠１）．【解析】（１）因为x２＞0，即x≠0，所以函数y＝log３x２的定义域是{x|x≠0}．（２）因为４—x＞0，即x＜４，所以函数y＝log a（４—x）的定义域是{x|x＜４}.真数大于0．教材反思求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式（数）非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于１．另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练２求下列函数的定义域：（１）y＝lg（x＋１）＋错误!；（２）y＝log（x—２）（５—x）．解析：（１）要使函数有意义， 需错误!即错误!∴—１＜x ＜１，∴函数的定义域为（—１,１）． （２）要使函数有意义，需错误!∴错误! ∴定义域为（２,３）∪（３,５）．真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 题型三 对数函数的图象问题例３ （１）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的（ ）（２）已知函数y ＝log a （x ＋３）—１（a ＞0，a ≠１）的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f （x ）＝３x ＋b 的图象上，则f （log ３２）＝________.（３）如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与１的大小关系为________．【解析】 （１）A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞１，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜１，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜１，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．（２）依题意可知定点A （—２，—１），f （—２）＝３—２＋b ＝—１，b ＝—错误!，故f （x ）＝３x —错误!，f （log ３２）＝３3log 2—错误!＝２—错误!＝错误!.（３）由题干图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a＞１，b＞１，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0＜c＜１,0＜d＜１．过点（0,１）作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞１＞d＞c.【答案】（１）C （２）错误!（３）b＞a＞１＞d＞c错误!（１）由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．（２）依据log a１＝0，a0＝１，求定点坐标．（３）沿直线y＝１自左向右看，对数函数的底数由小变大．方法归纳解决对数函数图象的问题时要注意（１）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．（２）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞１，还是0＜a＜１．（３）牢记特殊点．对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象经过点：（１,0），（a,１）和错误!.跟踪训练３（１）如图所示，曲线是对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象，已知a取错误!，错误!，错误!，错误!，则相应于C１，C２，C３，C４的a值依次为（）Ａ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｂ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｃ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｄ．错误!，错误!，错误!，错误!（２）函数y＝log a|x|＋１（0＜a＜１）的图象大致为（）解析：（１）方法一作直线y＝１与四条曲线交于四点，由y＝log a x＝１，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以C１，C２，C３，C４对应的a值分别为错误!，错误!，错误!，错误!，故选Ａ．方法二由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C１，C２，C３，C４，即错误!，错误!，错误!，错误!.故选Ａ．增函数底数a＞１，减函数底数0＜a＜１．（２）函数为偶函数，在（0，＋∞）上为减函数，（—∞，0）上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±１时y＝１，故选Ａ．先去绝对值，再利用单调性判断.答案：（１）A （２）A课时作业２３１．下列函数是对数函数的是（）Ａ．y＝２＋log３xＢ．y＝log a（２a）（a＞0，且a≠１）Ｃ．y＝log a x２（a＞0，且a≠１）Ｄ．y＝ln x解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝log a x”的形式，A，B，C全错，D正确．答案：D２．若某对数函数的图象过点（４,２），则该对数函数的解析式为（）Ａ．y＝log２xＢ．y＝２log４xＣ．y＝log２x或y＝２log４xＤ．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log a x（a＞0，且a≠１，x＞0），则２＝log a４即a２＝４得a＝２．故所求解析式为y＝log２x.答案：A３．设函数y＝错误!的定义域为A，函数y＝ln（１—x）的定义域为B，则A∩B＝（）Ａ．（１,２）Ｂ．（１,２]Ｃ．（—２,１）Ｄ．[—２,１）解析：由题意可知A＝{x|—２≤x≤２}，B＝{x|x＜１}，故A∩B＝{x|—２≤x＜１}．答案：D４．已知a＞0，且a≠１，函数y＝a x与y＝log a（—x）的图象只能是下图中的（）解析：由函数y＝log a（—x）有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，Ｃ．又当a＞１时，y＝a x为增函数，所以图象B适合．二、填空题５．若f（x）＝log a x＋（a２—４a—５）是对数函数，则a＝________.解析：由对数函数的定义可知错误!，∴a＝５．答案：５6．已知函数f（x）＝log３x，则f错误!＋f（１５）＝________.解析：f错误!＋f（１５）＝log３错误!＋log３１５＝log３２7＝３．答案：３7．函数f（x）＝log a（２x—３）（a＞0且a≠１）的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．解析：令２x—３＝１，解得x＝２，且f（２）＝log a１＝0恒成立，所以函数f（x）的图象恒过定点P（２,0）．答案：（２,0）三、解答题8．求下列函数的定义域：（１）y＝log３（１—x）；（２）y＝错误!；（３）y＝log7错误!.解析：（１）由１—x＞0，得x＜１，∴函数y＝log３（１—x）的定义域为（—∞，１）．（２）由log２x≠0，得x＞0且x≠１．∴函数y＝错误!的定义域为{x|x＞0且x≠１}．（３）由错误!＞0，得x＜错误!.∴函数y＝log7错误!的定义域为错误!.9．已知f（x）＝log３x.（１）作出这个函数的图象；（２）若f（a）＜f（２），利用图象求a的取值范围．解析：（１）作出函数y＝log３x的图象如图所示（２）令f（x）＝f（２），即log３x＝log３２，解得x＝２．由图象知，当0＜a＜２时，恒有f（a）＜f（２）．∴所求a的取值范围为0＜a＜２．[尖子生题库]１0．已知函数y＝log２x的图象，如何得到y＝log２（x＋１）的图象？y＝log２（x ＋１）的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？解析：y＝log２x错误!y＝log２（x＋１），如图．定义域为（—１，＋∞），值域为R，与x轴的交点是（0,0）．。
人教A版高中数学必修第一册精品课件 第4章 指数函数与对数函数 4.3.2 对数的运算
4.3.2
对数的运算
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
自主预习·新知导学
一、对数的运算性质
1.计算下列各组式子的值:
(1)lg 10+lg 100,lg 1 000;(2)log39+log327,log3243;
(3)lo +lo 8,lo 2;(4)logaa5+logaa3,logaa8(a>0,且 a≠1),并观
×
=12.
=- .
反思感悟
对数换底公式的应用技巧
(1)对数换底公式的作用是将不同底数的对数转化为同底数
的对数,将一般对数式转化成常用对数式或自然对数式来进
行运算,要注意对数换底公式的正用和逆用.
(2)当要求值的式子中既含有对数式又含有指数式时,应先将
它们进行互化,统一形式后再利用相关公式计算.
察每组中两个式子的值是否相等?由此你猜测有什么结论?
提示:(1)3,3;(2)5,5;(3)-1,-1;(4)8,8,每组中两个式子的值均相等.
两个正数的乘积的对数等于两个正数对数的和.
2.计算下列各组式子的值:
(1)lg 10-lg 100,lg ;(2)log39-log327,log3 ;(3)lo -lo 8,lo
解:(1)因为 18b=5,所以 log185=b.
又因为 log189=a,
(×)
+
所以 log3645= = (×) = +
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数 对数的运算学案含解析新人教A版必修第一册
4．3.2 对数的运算[目标] 1.理解对数的运算性质；2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；3.了解对数在简化运算中的作用．[重点] 对数的运算性质的推导与应用．[难点] 对数的运算性质的推导和换底公式的应用．知识点一 对数的运算性质[填一填]如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0.那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N .(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．[答一答]1．若M ,N 同号,则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？ 提示：不一定,当M >0,N >0时成立,当M <0,N <0时不成立． 2．你能推导log a (MN )＝log a M ＋log a N 与log a MN ＝log a M －log a N(M ,N >0,a >0且a ≠1)两个公式吗？提示：①设M ＝a m ,N ＝a n ,则MN ＝a m ＋n .由对数的定义可得log a M ＝m ,log a N ＝n ,log a (MN )＝m ＋n .这样,我们可得log a (MN )＝log a M ＋log a N . ②同样地,设M ＝a m ,N ＝a n ,则M N ＝a m －n .由对数定义可得log a M ＝m , log a N ＝n ,log a MN ＝m －n ,即log a MN ＝log a M －log a N .知识点二 换底公式[填一填]前提原对数的底数a 的取值范围a >0,且a ≠1条件 原对数的真数b 的取值范围 b >0 换底后对数的底数c 的取值范围c >0,且c ≠1公式log a b ＝log c blog c a换底公式常见的推论： (1)log an b n ＝log a b ；(2)log am b n ＝n m log a b ,特别log a b ＝1log b a ；(3)log a b ·log b a ＝1； (4)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .[答一答]3．换底公式的作用是什么？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数． 4．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416,求m 的值． 提示：∵log 34·log 48·log 8m ＝log 416,∴lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝log 442＝2,化简得lg m ＝2lg3＝lg9, ∴m ＝9.类型一 对数运算性质的应用 [例1] 计算下列各式： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8；(3)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[分析] (1)(2)正用或逆用对数的运算性质化简；(3)用lg2＋lg5＝1化简．[解] (1)(方法1)原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12. (方法2)原式＝lg427－lg4＋lg(75)＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝lg 10＝12. (2)原式＝lg4＋lg31＋lg0.6＋lg2＝lg12lg (10×0.6×2)＝lg12lg12＝1.(3)原式＝2lg5＋2lg2＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.利用对数的运算性质解决问题的一般思路：(1)把复杂的真数化简；(2)正用公式：对式中真数的积、商、幂、方根,运用对数的运算法则,将它们化为对数的和、差、积、商,然后再化简；(3)逆用公式：对式中对数的和、差、积、商,运用对数的运算法则,将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.[变式训练1] (1)计算：log 53625＝43；log 2(32×42)＝9.(2)计算：lg8＋lg125＝3；lg 14－lg25＝－2；2log 36－log 34＝2.类型二 换底公式的应用[例2] (1)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)； (2)已知log 189＝a,18b ＝5,试用a ,b 表示log 3645.[解] (1)原式＝⎝⎛⎭⎫lg2lg3＋lg2lg9⎝⎛⎭⎫lg3lg4＋lg3lg8＝⎝⎛⎭⎫lg2lg3＋lg22lg3⎝⎛⎭⎫lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54. (2)由18b ＝5,得log 185＝b ,∴log 3645＝log 18(5×9)log 18(18×2)＝log 185＋log 1891＋log 182＝log 185＋log 1891＋log 18189＝log 185＋log 1892－log 189＝a ＋b 2－a.利用换底公式可以统一“底”,以方便运算.在用换底公式时,应根据题目特点灵活换底.由换底公式可推出常用结论：log a b ·log b a ＝1.[变式训练2] 计算下列各式：(1)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)． (2)log 89log 23×log 6432. 解：(1)方法1：原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28 ⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22·⎝⎛⎭⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.方法2：原式＝⎝⎛⎭⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125＝⎝⎛⎭⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5＝⎝⎛⎭⎫13lg53lg2⎝⎛⎭⎫3lg2lg5＝13.(2)方法1：原式＝log 29log 28÷log 23×log 232log 264＝2log 233÷log 23×56＝59.方法2：原式＝lg9lg8÷lg3lg2×lg32lg64＝2lg33lg2×lg2lg3×5lg26lg2＝59.类型三 与对数方程有关的问题[例3] (1)若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg2＋lg x ＋lg y ,求xy 的值；(2)解方程：log 2x ＋log 2(x ＋2)＝3. [解] (1)由题可知lg[(x －y )(x ＋2y )]＝lg(2xy ), 所以(x －y )(x ＋2y )＝2xy ,即x 2－xy －2y 2＝0. 所以⎝⎛⎭⎫x y 2－x y －2＝0. 解得x y ＝2或xy＝－1.又因为x >0,y >0,x －y >0.所以x y ＝2.(2)由方程可得log 2x ＋log 2(x ＋2)＝log 28. 所以log 2[x (x ＋2)]＝log 28, 即x (x ＋2)＝8.解得x 1＝2,x 2＝－4. 因为x >0,x ＋2>0,所以x ＝2.对数方程问题的求解策略：,利用对数运算性质或换底公式将方程两边写成同底的对数形式,由真数相等求解方程,转化过程中注意真数大于零这一条件,防止增根.[变式训练3] (1)方程lg x ＋lg(x －1)＝1－lg5的根是( B ) A ．－1 B ．2 C ．1或2D ．－1或2(2)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y ),则log2xy的值为4. 解析：(1)由真数大于0,易得x >1,原式可化为lg[x (x －1)]＝lg2⇒x (x －1)＝2⇒x 2－x －2＝0⇒x 1＝2,x 2＝－1(舍)．(2)因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y ), 所以lg xy ＝lg(x －2y )2,所以xy ＝(x －2y )2,即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 所以(x －y )(x －4y )＝0,解得x ＝y 或x ＝4y .因为x >0,y >0,x －2y >0,所以x ＝y 应舍去, 所以xy＝4.故log2xy＝log 24＝4.类型四 对数的实际应用[例4] 人们对声音有不同的感觉,这与它的强度有关系．声音强度I 的单位用瓦/平方米(W/m 2)表示,但在实际测量时,声音的强度水平常用L 1表示,它们满足以下公式：L 1＝10lg II 0(单位为分贝,L 1≥0,其中I 0＝1×10－12W/m 2,是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端)．回答下列问题：树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m 2,耳语的强度是1×10－10W/m 2,恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m 2,试分别求出它们的强度水平．[解] 由题意,可知树叶沙沙声的强度是I 1＝1×10－12W/m 2,则I 1I 0＝1,故LI 1＝10·lg1＝0,则树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I 2＝1×10－10W/m 2,则I 2I 0＝102,故LI 2＝10lg102＝20,即耳语声的强度水平为20分贝． 同理,恬静的无线电广播强度水平为40分贝．对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛,其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式),在此基础上进行一些实际求值.计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式.另一类是先建立指数函数应用模型,再进行指数求值,此时往往将等式两边进行取对数运算.[变式训练4] 抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次？(lg2≈0.301 0)解：设至少抽n 次可使容器内空气少于原来的0.1%,则a (1－60%)n <0.1%a (设原先容器中的空气体积为a ),即0.4n <0.001,两边取常用对数得n ·lg0.4<lg0.001,所以n >lg0.001lg0.4＝－32lg2－1≈7.5.故至少需要抽8次．1．设a ,b ,c 均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( B ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：由换底公式得log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝log c b ,所以B 正确．2．2log 32－log 3329＋log 38的值为( B )A.12 B ．2 C ．3D.13解析：原式＝log 34－log 3329＋log 38＝log 34×8329＝log 39＝2.3．lg 5＋lg 20的值是1.解析：lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg 100＝1.4．若a >0,且a ≠1,b >0,且b ≠1,则由换底公式可知log a b ＝lg b lg a ,log b a ＝lg a lg b ,所以log a b ＝1log b a ,试利用此结论计算1log 321＋1log 721＝1.解析：1log 321＋1log 721＝lg3lg21＋lg7lg21＝lg (3×7)lg21＝1.5．计算：(1)3log 72－log 79＋2log 7⎝⎛⎭⎫322；(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25.解：(1)原式＝log 78－log 79＋log 798＝log 78－log 79＋log 79－log 78＝0.(2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋2lg5＝lg2·lg100＋2lg5 ＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2lg10＝2.——本课须掌握的两大问题1．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n ＝(log a N )n ,②log a (MN )＝log a M ·log a N ,③log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．2．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化,可正用,逆用；使用的关键是恰当选择底数,换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．。
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数对数函数对数函数的概念图象及性质教案
考点学习目标核心素养对数函数的概念理解对数函数的概念，会判断对数函数数学抽象对数函数的图象初步掌握对数函数的图象和性质直观想象对数函数的定义域问题能利用对数函数的性质解决与之有关的定义域问题数学运算问题导学预习教材P１３0—P１３５，并思考以下问题：１．对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？２．对数函数的图象是什么形状？你能画出y＝log２x与y＝log错误!x的图象吗？３．通过对数函数的图象，你能观察到函数的哪些性质？１．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x（a>0，且a≠１）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．■名师点拨在对数函数的定义表达式y＝log a x（a>0，且a≠１）中，log a x前边的系数必须是１，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．２．对数函数的图象及性质a的范围0＜a＜１a＞１图象性质定义域（0，＋∞）值域R定点（１，0），即x＝１时，y＝0单调性在（0，＋∞）上是减函数在（0，＋∞）上是增函数■名师点拨底数a 与１的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>１时，对数函数的图象“上升”；当0<a<１时，对数函数的图象“下降”．３．反函数指数函数y＝a x（a>0，且a≠１）和对数函数y＝log a x（a>0，且a≠１）互为反函数．两者的定义域和值域正好互换．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）y＝log２x２与y＝log x３都是对数函数．（）（２）对数函数的定义域、值域都是R.（）（３）对数函数的图象一定在y轴右侧．（）（４）函数y＝log２x与y＝２x互为反函数．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√下列函数是对数函数的是（）Ａ．y＝ln xＢ．y＝ln（x＋１）Ｃ．y＝log x e Ｄ．y＝log x x答案：A函数f（x）＝lg（３x）—错误!的定义域是（）Ａ．（0，２）Ｂ．[0，２]Ｃ．[0，２）Ｄ．（0，２]答案：D对数函数f（x）＝log a x的图象过点（３，１），则f（9）的值为________．答案：２若对数函数y＝log （１—２a）x，x∈（0，＋∞）是增函数，则a的取值范围为________．答案：（—∞，0）对数函数的概念下列函数中，哪些是对数函数？（１）y＝log a错误!（a＞0，且a≠１）；（２）y＝log２x＋２；（３）y＝8log２（x＋１）；（４）y＝log x6（x＞0，且x≠１）；（５）y＝log6x.【解】（１）中真数不是自变量x，不是对数函数．（２）中对数式后加２，所以不是对数函数．（３）中真数为x＋１，不是x，系数不为１，故不是对数函数．（４）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（５）中底数是6，真数为x，系数为１，符合对数函数的定义，故是对数函数．错误!判断一个函数是对数函数的方法１．下列函数是对数函数的是（）Ａ．y＝log错误!xＢ．y＝log错误!（x＋１）Ｃ．y＝２log错误!xＤ．y＝log错误!x＋１解析：选Ａ．形如y＝log a x（a>0，且a≠１）的函数才是对数函数，只有A是对数函数，故选Ａ．２．若函数y＝（a２—４a＋４）·log a x是对数函数，则实数a的值为________．解析：因为（a２—４a＋４）·log a x是对数函数，则a２—４a＋４＝１，得a＝１或a＝３．由于a>0，a≠１，则a＝１舍去，即a＝３．答案：３３．若对数函数f（x）＝log a x的图象过点（２，１），则f（8）＝________．解析：依题意知１＝log a２，所以a＝２，所以f（x）＝log２x，故f（8）＝log２8＝３．答案：３与对数函数有关的定义域问题求下列函数的定义域：（１）y＝错误!；（２）y＝log２（１6—４x）；（３）y＝log（x—１）（３—x）．【解】（１）要使函数式有意义，需错误!解得x>１，且x≠２．所以函数y＝错误!的定义域是{x|x>１，且x≠２}．（２）要使函数式有意义，需１6—４x>0，解得x<２．所以函数y＝log２（１6—４x）的定义域是{x|x<２}．（３）要使函数式有意义，需错误!解得１<x<３，且x≠２．所以函数y＝log（x—１）（３—x）的定义域是{x|１<x<３，且x≠２}．错误!（１）求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则１分母不能为0；２根指数为偶数时，被开方数非负；３对数的真数大于0，底数大于0且不为１．（２）求函数定义域的步骤１列出使函数有意义的不等式（组）；２化简并解出自变量的取值范围；３确定函数的定义域．求下列函数的定义域：（１）y＝lg（x＋１）＋错误!；（２）y＝log x—２（５—x）．解：（１）要使函数式有意义，需错误!所以错误!所以—１<x<１．所以该函数的定义域为（—１，１）．（２）要使函数式有意义，需错误!所以错误!所以２<x<５，且x≠３．所以该函数的定义域为（２，３）∪（３，５）．对数型函数的图象角度一对数型函数图象的辨析已知a＞0，且a≠１，则函数y＝x＋a与y＝log a x的图象只可能是（）【解析】当a＞１时，函数y＝log a x为增函数，且直线y＝x＋a与y轴的交点的纵坐标大于１；当0＜a＜１时，函数y＝log a x为减函数，且直线y＝x＋a与y轴的交点的纵坐标在0到１之间，只有C符合，故选Ｃ．【答案】C角度二作对数型函数的图象画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调性：（１）y＝log３（x—２）；（２）y＝|log错误!x|.【解】（１）函数y＝log３（x—２）的图象如图１．其定义域为（２，＋∞），值域为R，在区间（２，＋∞）上是增函数．（２）y＝|log错误!x|＝错误!其图象如图２．其定义域为（0，＋∞），值域为[0，＋∞），在（0，１]上是减函数，在（１，＋∞）上是增函数．角度三对数型函数图象的数据分析如图，若C１，C２分别为函数y＝log a x和y＝log b x的图象，则（）Ａ．0＜a＜b＜１Ｂ．0＜b＜a＜１Ｃ．a＞b＞１Ｄ．b＞a＞１【解析】作直线y＝１，则直线与C１，C２的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜１．【答案】B错误!有关对数型函数图象问题的应用技巧（１）求函数y＝m＋log a f（x）（a＞0，且a≠１）的图象过定点时，只需令f（x）＝１求出x，即得定点为（x，m）．（２）给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法．（３）根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝１与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．１．在同一坐标系中，函数y＝２—x与y＝log２x的图象是（）解析：选Ａ．函数y＝２—x＝错误!错误!过定点（0，１），单调递减，函数y＝log２x过定点（１，0），单调递增，故选Ａ．２．已知函数y＝log a（x＋b）（a＞0且a≠１）的图象如图所示．（１）求实数a与b的值；（２）函数y＝log a（x＋b）与y＝log a x的图象有何关系？解：（１）由图象可知，函数的图象过（—３，0）点与（0，２）点，所以得方程0＝log a（—３＋b）与２＝log a b，解得a＝２，b＝４．（２）函数y＝log a（x＋４）的图象可以由y＝log a x的图象向左平移４个单位得到．１．对数函数的图象过点M（１6，４），则此对数函数的解析式为（）Ａ．y＝log４xＢ．y＝log错误!xＣ．y＝log错误!xＤ．y＝log２x解析：选Ｄ．由于对数函数的图象过点M（１6，４），所以４＝log a１6，得a＝２．所以对数函数的解析式为y＝log２x，故选Ｄ．２．已知函数f（x）＝log a（x—１）＋４（a>0，且a≠１）的图象恒过定点Q，则Q点坐标是（）Ａ．（0，５）B．（１，４）C．（２，４）D．（２，５）解析：选Ｃ．令x—１＝１，即x＝２．则f（x）＝４．即函数图象恒过定点Q（２，４）．故选Ｃ．３．若函数y＝log a（x＋a）（a>0且a≠１）的图象过点（—１，0）．（１）求a的值；（２）求函数的定义域．解：（１）将点（—１，0）代入y＝log a（x＋a）（a>0且a≠１）中，有0＝log a（—１＋a），则—１＋a＝１，所以a＝２．（２）由（１）知y＝log２（x＋２），由x＋２>0，解得x>—２，所以函数的定义域为{x|x>—２}．[A 基础达标]１．下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是（）Ａ．y＝错误!Ｂ．y＝（错误!）２Ｃ．y＝log２２xＤ．y＝２log２x解析：选Ｃ．y＝错误!＝|x|，y＝（错误!）２的定义域为{x|x≥0}，y＝log２２x＝x（x∈R），y＝２log２x＝x（x>0），故与函数y＝x是同一个函数的是y＝log２２x.故选Ｃ．２．y＝２x与y＝log２x的图象关于（）Ａ．x轴对称Ｂ．直线y＝x对称Ｃ．原点对称Ｄ．y轴对称解析：选Ｂ．函数y＝２x与y＝log２x互为反函数，故函数图象关于直线y＝x对称．３．函数f（x）＝ln错误!错误!＋错误!的定义域为（）Ａ．错误!Ｂ．（—２，＋∞）Ｃ．错误!∪错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．对于函数f（x）＝ln错误!错误!＋错误!，有错误!解得x>—２且x≠错误!.故定义域为错误!∪错误!.４．函数y＝lg（x＋１）的图象大致是（）解析：选Ｃ．由底数大于１可排除A、B，y＝lg（x＋１）可看作是y＝lg x的图象向左平移１个单位．（或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数）５．若函数y＝f（x）是函数y＝a x（a＞0，且a≠１）的反函数，且f（２）＝１，则f（x）＝（）Ａ．log２xＢ．错误!Ｃ．log错误!xＤ．２x—２解析：选Ａ．函数y＝a x（a＞0，且a≠１）的反函数是f（x）＝log a x，又f（２）＝１，即log a２＝１，所以a＝２．故f（x）＝log２x.6．若f（x）＝log a x＋（a２—４a—５）是对数函数，则a＝________．解析：由对数函数的定义可知，错误!解得a＝５．答案：５7．函数y＝log a（x＋１）—２（a>0且a≠１）的图象恒过点________．解析：依题意，当x＝0时，y＝log a（0＋１）—２＝0—２＝—２，故图象恒过定点（0，—２）．答案：（0，—２）8．如果函数f（x）＝（３—a）x，g（x）＝log a x的增减性相同，则a的取值范围是________．解析：若f（x），g（x）均为增函数，则错误!即１＜a＜２，若f（x），g（x）均为减函数，则错误!无解．综上，a的取值范围是（１，２）．答案：（１，２）9．已知函数f（x）＝log３x.（１）作出函数f（x）的图象；（２）由图象观察当x>１时，函数的值域．解：（１）函数f（x）的图象如图：（２）当x>１时，f（x）>0．故当x>１时，函数值域为（0，＋∞）．１0．已知函数f（x）＝log a（３＋２x），g（x）＝log a（３—２x）（a＞0，且a≠１）．（１）求函数y＝f（x）—g（x）的定义域；（２）判断函数y＝f（x）—g（x）的奇偶性，并予以证明．解：（１）要使函数y＝f（x）—g（x）有意义，必须有错误!解得—错误!＜x＜错误!.所以函数y＝f（x）—g（x）的定义域是错误!.（２）由（１）知函数y＝f（x）—g（x）的定义域关于原点对称，所以，f（—x）—g（—x）＝log a（３—２x）—log a（３＋２x）＝—[log a（３＋２x）—log a（３—２x）]＝—[f（x）—g（x）]．所以函数y＝f（x）—g（x）是奇函数．[B 能力提升]１１．函数f（x）＝错误!的定义域为（0，１0]，则实数a的值为（）Ａ．0 Ｂ．１0Ｃ．１Ｄ．错误!解析：选Ｃ．由已知，得a—lg x≥0的解集为（0，１0]，由a—lg x≥0，得lg x≤a，又当0<x≤１0时，lg x≤１，所以a＝１，故选Ｃ．１２．若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且x∈（0，＋∞）时，f（x）＝lg（x＋１），求f（x）的表达式，并画出f（x）的大致图象．解：因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0．又当x∈（—∞，0）时，—x∈（0，＋∞），所以f（—x）＝lg（１—x）．又f（—x）＝—f（x），所以f（x）＝—lg（１—x），所以f（x）的解析式为f（x）＝错误!所以f（x）的大致图象如图所示：１３．求函数y＝（log错误!x）２—错误!log错误!x＋５在区间[２，４]上的最大值和最小值．解：因为２≤x≤４，所以log错误!２≥log错误!x≥log错误!４，即—１≥log错误!x≥—２．设t＝log错误!x，则—２≤t≤—１，所以y＝t２—错误!t＋５，其图象的对称轴为直线t＝错误!，所以当t＝—２时，y max＝１0；当t＝—１时，y min＝错误!.[C 拓展探究]１４．已知f（x）＝２＋log３x，x∈[１，9]，g（x）＝（f（x））２＋f（x２）．（１）求g（x）的定义域；（２）求g（x）的最大值以及g（x）取得最大值时x的值．解：（１）因为f（x）的定义域为[１，9]，所以要使函数g（x）＝（f（x））２＋f（x２）有意义，必须满足错误!所以１≤x≤３，所以g（x）的定义域为[１，３]．（２）因为f（x）＝２＋log３x，所以g（x）＝（f（x））２＋f（x２）＝（２＋log３x）２＋２＋log３x２＝（log３x）２＋6log３x＋6＝（log３x＋３）２—３．因为g（x）的定义域为[１，３]，所以0≤log３x≤１．所以当log３x＝１，即x＝３时，函数g（x）取得最大值．所以g（x）max＝g（３）＝１３．。
高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算课件新人教A版必修第一册
答案 C
解析
log512＝llgg152＝2l1g－2＋lgl2g
3 2a＋b ＝ 1－a ，故选
C.
10．设 2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则 m＝(
)
A. 10 B．10 C．20 D．100
答案 A
解析 ∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m.1a＋1b＝logm2＋logm5＝logm10 ＝2，∴m2＝10.又 m>0，∴m＝ 10，选 A.
解析 由对数的运算性质知 A，B 错误，C 正确；D 中－2 不能作底数， ∴D 错误，故选 C.
2．若 lg x－lg y＝a，则 lg 2x3－lg 2y3＝(
)
A．3a
3 B.2a
C．a
a D.2
答案 A
解析 由对数的运算性质可知，原式＝3(lg x－lg 2)－3(lg y－lg 2)＝3(lg x－lg y)＝3a.
－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5
＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12.
解法二：原式＝lg
4 7
2－lg
4＋lg
7
5＝lg
4
2×7 7×4
5＝lg (
2×
5)＝lg
10＝12.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
12．方程 log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________． 答案 4 解析 由换底公式得 log9(x＋5)＝12log3(x＋5)． ∴原方程可化为 2log3(x－1)＝log3(x＋5)， 即 log3(x－1)2＝log3(x＋5)， ∴(x－1)2＝x＋5. ∴x2－3x－4＝0，解得 x＝4 或 x＝－1.
4.3.2 对数的运算 高中数学人教A版必修一
式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
训练 3 已知 3a＝5b＝c，且a1＋b1＝2，求 c 的值.
解 ∵3a＝5b＝c，∴c>0，
∴a＝log3c，b＝log5c，
∴1a＝logc3，1b＝logc5， ∴1a＋b1＝logc15. 由 logc15＝2 得 c2＝15，
二、换底公式 1.问题 假设lloogg2253＝x，则 log25＝xlog23，即 log25＝log23x，从而有 3x＝5，再将此 式化为对数式可得到什么结论？ 提示 x＝log35，从而 x＝lloogg2253＝log35.
logcb
2. 填 空 对 数 换 底 公 式 ： logabl＝og_ca_______ (a>0 ， 且 a≠1 ； b>0 ； c>0 ， 且
什么结论？ 提示 (1)lg 10＋lg 100＝lg 1 000＝3， (2)log39＋log327＝log3243＝5， (3)log1241＋log128＝log122＝－1. 每组中两式子的值均相等，两个正数的乘积的对数等于每个正数对数的和.
2.问题 计算下列各组式子的值： (1)lg 10－lg 100，lg 110；
y－loga3 z
z
＝2loga|x|＋12logay－13logaz.
角度2 用代数式表示对数
例3 已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645.
解 法一 ∵log189＝a，18b＝5，
∴log185＝b，
于是 log3645＝lloogg11884356＝lloogg1188（（198××52）） ＝log11＋89＋loglo18g2185＝1＋al＋ogb18198＝1＋1a－＋lbog189＝a2＋ －ba.
高中数学第四章指数函数与对数函数32对数的运算课件新人教A版必修第一册
[跟踪训练]
1．(2021·温州高一检测)lg－11002＝
A．－4
B．4
C．10
D．－10
解析： lg－11002＝lg10102＝lg 1－lg 104＝－4.
答案：A
()
2．已知ab>0，有下列四个等式： ①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lgab＝lg a－lg b；③12lgab2＝lgab；④lg(ab)＝ log1ab10.其中正确的是________(填序号)． 解析：①②式成立的前提条件是a>0，b>0；④式成立的前提条件是ab≠1. 只有③式成立． 答案：③
知识点一 对数的运算性质 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝l_o_g_a_M_＋__l_o_g_a_N__； (2)logaMN ＝__lo_g_a_M__－__lo_g_a_N_； (3)logaMn＝_n_l_o_g_aM___ (n∈R )．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差． (2)loga(xy)＝logax·logay. (3)log2(－5)2＝2log2(－5)． 答案：(1)√ (2)× (3)×
2．几个常用推论 (1)loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)； (2)logambn＝mn logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R )； (3)logab·logba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1)．
1.lloogg4493＝________． 解析：lloogg4493＝log39＝2. 答案：2
解析：因为log32＝a，所以log23＝
【新教材】4.3.2 对数的运算 课件-人教A版高中数学必修第一册 (共33张PPT)
它们之间有何关系？
试一试:由 M a p , N aq
得：p loga M , q loga N
由 M N a p aq a pq 得 p q loga (M N )
从而得出 loga (M N ) loga M loga N (a 0,a 1, M 0, N 0)
M n (a p )n anp
又能得到什么样的结论？
试一试:由 M n (a p )n anp
得 loga M n np nloga M
(a 0,a 1, M 0,n R)
对数的运算法则
对数的运算性质 如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝lologg＋aMl_＋__l_o_goaNgN； (2)logaMN ＝logMlo_g_aM__－__l_o_g_aN__N； (3)logaMn＝nl__n_l_o_g_a_M__M(n∈R)． 思考：当 M>0，N>0 时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN 是否成立？
提出问题
在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可 以怎样研究？
我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性 质得出相应的对数运算性质呢？
问题探究
探究一：
1.对数的运算性质
将指数式 M a p , N aq 化为对数式，
结合指数的运算性质能否将 M N a p aq a pq
lg 2＋lg 3－lg 10
(3)
lg 1.8
.
[解] (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10 ＝12.
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数对数的运算课件新人教A版必修第一册ppt
7 log2 4 5log2 2 7 2 51 19
2
（2）lg 5 100 lg105
2
5
【提升总结】 对于底数相同的对数式的化简,常用的方法是: (1)“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商)的 对数. (2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差).
【变式练习】
1.求下列各式的值：
（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算 7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多 少倍（精确到1）.
解:(1) M lg 20 lg 0.001 lg 20 lg 20 000 0.001
lg 2 lg104 4.3
因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.
（2）由 M lg A lg A0 可得
(2)
log3
45
log3
5
log3
45 5
log3 9 log3 32
2log3 3 2
4.(2017·北京高考文科·T8)同(2017·北京高考理科·T8)根
据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361,而可
观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数
中与 M 最接近的是(参考数据:lg3≈0.48) ( ) N
p logc N logc a
即证得
loga
N
logc N logc a
这个公式叫做换底公式
结论：对数的运算性质
loga (M N ) loga M loga N
loga
M N
loga M
loga
N
loga M n nloga M
loga
N
logc logc
N a
(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; M 0, N 0, n R)
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新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.2对数的运算讲义新人教A 版必修第一册4.3.2 对数的运算知识点一 对数的运算性质若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， (2)log a M N＝log a M －log a N ， (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )．状元随笔 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．知识点二 对数换底公式log a b ＝log c blog c a (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)．特别地：log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)． 状元随笔 对数换底公式常见的两种变形 (1)log a b·log b a ＝1，即1log a b＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .(2)log N n M m＝m n log N M ，此公式表示底数变为原来的n 次方，真数变为原来的m 次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍．[教材解难]换底公式的推导设x ＝log a b ，化为指数式为a x＝b ，两边取以c 为底的对数，得log c a x＝log c b ，即x log c a ＝log c b .所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a.[基础自测]1．下列等式成立的是( ) A ．log 2(8－4)＝log 28－log 24 B.log 28log 24＝log 284C ．log 28＝3log 22D ．log 2(8＋4)＝log 28＋log 24解析：由对数的运算性质易知C 正确． 答案：C 2.log 49log 43的值为( ) A.12 B ．2 C.32 D.92解析：原式＝log 39＝2. 答案：B3．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4解析：原式＝log 5102＋log 50.25 ＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 答案：C4．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为________． 解析：log 32＝ln 2ln 3＝a b .答案：a b题型一 对数运算性质的应用[教材P 124例3] 例1 求下列各式的值： (1)lg 5100； (2)log 2(47×25)．【解析】 (1)lg 5100＝lg 10015＝15lg 100＝25； (2)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 24＋5log 22 ＝7×2＋5×1 ＝19.利用对数运算性质计算． 教材反思1．对于同底的对数的化简，常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练1 (1)计算：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.(2)求下列各式的值． ①log 53＋log 513②(lg 5)2＋lg 2·lg 50③lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.解析：(1)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.(2)①log 53＋log 513＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13＝log 51＝0.②(lg 5)2＋lg 2·lg 50 ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.③原式＝lg 25＋lg 823＋lg 102·lg(10×2)＋(lg 2)2＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.答案：(1)－1 (2)见解析 利用对数运算性质化简求值．题型二 对数换底公式的应用[经典例题]例2 (1)已知2x ＝3y＝a ，1x ＋1y＝2，则a 的值为( )A ．36B ．6C ．2 6 D. 6 (2)计算下列各式： ①log 89·log 2732.②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭⎪⎫3382-3.③6413＋lg 4＋2lg 5.【解析】 (1)因为2x ＝3y＝a ， 所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，所以1x ＋1y ＝1log 2a ＋1log 3a ＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2，所以a 2＝6，解得a ＝± 6. 又a ＞0，所以a ＝ 6.(2)①log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝lg 32lg 23·lg 25lg 33＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109. ②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭⎪⎫3382-3＝lg 16＋lg 5－lg 8－1⎝⎛⎭⎪⎫32782＝lg 16×58－1⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1－49＝59. ③6413＋lg 4＋2lg 5＝4＋lg(4×52)＝4＋2＝6.【答案】 (1)D (2)见解析状元随笔 1.先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分．方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a 为底．(2)换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ；log an b m＝mnlog a b . 跟踪训练2 (1)式子log 916·log 881的值为( ) A.18 B.118C.83D.38(2)(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)等于( ) A.56 B.2512C.94D ．以上都不对 解析：(1)原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 33log 34＋log 33log 38·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 38log 39＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋3log 322 ＝56log 32×52log 32＝2512. 答案：(1)C (2)B 利用换底公式化简求值． 题型三 用已知对数表示其他对数例3 已知log 189＝a,18b＝5，用a ，b 表示log 3645. 解析：方法一 因为log 189＝a ，所以9＝18a. 又5＝18b，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18(18×2)＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b 2－a.方法二 ∵18b＝5，∴log 185＝b .∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(4×9)＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b 2－a.状元随笔 方法一 对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值． 方法二 先求出a 、b ，再利用换底公式化简求值. 方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用．跟踪训练3 (1)已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg 5＝________；(用p ，q 表示) (2)①已知log 147＝a,14b＝5，用a ，b 表示log 3528. ②设3x ＝4y＝36，求2x ＋1y的值．解析：(1)lg 5＝log 65log 610＝q log 62＋log 65＝qp ＋q .(2)①∵log 147＝a,14b＝5， ∴b ＝log 145.∴log 3528＝log 1428log 1435＝log 141427log 14(5×7)＝log 14142－log 147log 145＋log 147＝2－a a ＋b . ②∵3x＝36,4y＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， ∴1x ＝1log 336＝1log 3636log 363＝log 363， 1y＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(9×4)＝1.答案：(1)qp ＋q (2)①2－aa ＋b②1 (1)利用换底公式化简． (2)利用对数运算性质化简求值．课时作业 22一、选择题1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，下列式子：①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：根据对数的性质知4个式子均不正确． 答案：A2．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3 D.12解析：12log 612－2log 62＝12(1＋log 62)－log 62＝12(1－log 62)＝12log 63＝log 6 3.答案：C3．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 5＝( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b1＋a C.2a ＋b 1－a D.a ＋2b1－a解析：lg 12lg 5＝lg 3＋lg 4lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝2a ＋b 1－a .答案：C。