《 初、高中衔接：因式分解》教案

分 解 因 式

因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法。

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；

（2）完全平方公式 222

()2a b a a b b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233

()()a b a a b b a b

+-+=+； （2）立方差公式 2233

()()a b a a b b a b

-++=-； （3）三数和平方公式 222

2()2()a b c a b c a b b c a c

++=+++++； （4）两数和立方公式 33223

()33a b a a b a b b +=+++； （5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 说明：前面有*的供选用

1．提取公因式法与分组分解法、公式法 例1 分解因式：

（1）2（y －x ）2+3（x －y ）

（2）mn （m －n ）－m （n －m ）2

22223

2

2

3

2

92442456()(1)x y xy a ab b a b x x y xy y

a b a ab b --+++----++---（3）（4）（）（）

2．十字相乘法

例2 分解因式：

（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．

解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有

x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．

－1 －2 x x 图1．2－1

－1 －2 1 1 图1．2－2

－2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．

（2）由图1．2－3，得

x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．2－4，得

22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1

＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）．

*例3 因式分解：（双十字相乘法）

22222(1)282143(2)534(3)2

x xy y x y x y x y xy y x y +-++--+++++--

3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．（求根法）

若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式

2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.

例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：

（1）221x x +-；

（2）2

244x xy y +-． 解： （1）令221x x +-=0，则解得1

1x =-

21x =-，

∴221x x +-=(1(1x

x ⎡⎤⎡

⎤-----⎣⎦⎣⎦

=(11

x x +-++．

（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x

y =-+

，1(2x y =--， ∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．

－1 1

x y

图1．2－5

练 习

1．选择题：

（1）多项式2

2

215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -

（2）若21

2

x mx k +

+是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2

m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m

（3）不论a ，b 为何实数，22

248a b a b +--+的值 （ ）

（A ）总是正数 （B ）总是负数

（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数

2．填空：

（1）221111

()9423

a b b a -=+（ ）

； （2）(4m + 22

)164(m m =++ )；

(3 ) 2222

(2)4(a b c a b c +-=+++ )．

3．分解因式：

（1）5（x －y ）3+10（y －x ）2

()()2

2

222c ab a b c +-+（）·

()()()422

232x x y x x y xy y x ---+-（） 44322

a a -（）

（5）8a 3－b 3； （6）x 2＋6x ＋8；

（7）4(1)(2)x y y y x -++- （8）4

2

4139x x -+；