第三章非平稳序列的随机分析-课件

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SAS系统和数据分析非平稳序列的随机分析

第四十二课非平稳序列的随机分析20世纪70年代，G. P. Box 和G. M. Jenkins 发表了专著《时间序列分析：预测和控制》，对平稳时间序列数据，提出了自回归滑动平均模型ARIMA ，以及一整套的建模、估计、检验和控制方法。

使时间序列分析广泛地运用成为可能。

为了纪念Box 和Jenkins 对时间序列发展的特殊贡献，现在人们也常把ARIMA 模型称为Box-Jenkins 模型。

当我们拟合一个时间序列时，先通过差分法或适当的变换使非平稳序列化成为平稳序列，我们再要考虑的是参数化和记忆特征的有效性，用这种参数方法拟合序列为某种特定的结构，只用很少量的参数，使参数的有效估计成为可能。

相对于一个序列的过去值，可用传统的Box 和Jenkins 方法建模。

实际上，Box-Jenkins 模型主要是运用于单变量、同方差场合的线性模型。

随着对时间序列应用的深入研究，发现还存在着许多局限性。

所以近20年来，统计学家纷纷转向多变量、异方差和非线性场合的时间序列分析方法的研究，并取得突破性的进展，其中Engle 和Granger 一起获得2003年诺贝尔经济学奖。

在异方差场合，Robert F.Engle 在1982年提出了自回归条件异方差ARCH 模型，以及在ARCH 模型上衍生出的一系列拓展模型。

在多变量场合，70年代末，G. E. P. Box 教授和刁锦寰教授在处理洛山矶的环境数据时，提出了干预分析和异常值检验方法。

1987年，C.Granger 提出了协整（co-integration ）理论，在多变量时间序列建模过程中“变量是平稳的”不再是必须条件了，而只要求它们的某种组合是平稳的。

非线性时间序列分析也有重大发展，汤家豪教授等在1980年左右提出了利用分段线性化构造门限自回归模型。

一、 ARIMA 模型随着对时间序列分析方法的深入研究，人们发现非平稳序列的确定性因素分解方法（如季节模型、趋势模型、移动平均、指数平滑等）存在一些问题，它只能提取显著的确定性信息，对随机性信息浪费严重，同时也无法对确定性因素之间的关系进行分析。

《时间序列分析》讲义第三章平稳时间序列分析

k
1 k1 2 k2，k
2
自相关系数
自相关系数的定义
k
k 0
平稳AR(p)模型的自相关系数递推公式
k 1k 1 2 k 2 p k p
常用AR模型自相关系数递推公式
AR(1)模型 k 1k , k 0
AR(2)模型
1,
k
1
1 2
1k1 2 k2
k 0 k 1 k2
自回归系数多项式
(B) 11B 2B2 pBp
特征方程
中心化AR(p)模型
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
可以看成p阶常系数非齐次线性差分方程
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
它对应的齐次方程的特征方程为
p 1 p1 p1 p 0
1 12
协方差函数
在平稳AR(p)模型两边同乘xt-k，再求期望
E(xt xtk ) 1E(xt1xtk ) p E(xt p xtk ) E(t xtk )
根据
E( t xtk ) 0 ,k 1
得协方差函数的递推公式
k 1 k1 2 k 2 p k p
例题
例3.3 求平稳AR(1)模型的协方差
12
2 2
,
0,
k 0 k 1
k 2 k 3
偏自相关系数
滞后k偏自相关系数由Yule-Walker方程确定
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
齐次线性差分方程
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p 0
齐次线性差分方程的解
特征方程
p a1p1 a2p2 ap 0
特征方程的根称为特征根，记作1,2,…,p

时间序列分析讲义

• 推荐软件——SAS
– 在SAS系统中有一个专门进行计量经济与时间序列分析的模块：SAS/ETS。SAS/ETS编程语言简洁，输出功能强大，分析结果精确，是进行时间序列分析与预测的理想的软件
– 由于SAS系统具有全球一流的数据仓库功能，因此在进行海量数据的时间序列分析时它具有其它统计软件无可比拟的优势
例2.3自相关图
时间序列分析讲义
例2.4时序图
时间序列分析讲义
例2.4 自相关图
时间序列分析讲义
例2.5时序图
时间序列分析讲义
例2.5自相关图
时间序列分析讲义
• 例2.3时序为非平稳的，有趋势； • 例2.4时序非平稳性，有趋势 • 例2.5时序是一个平稳的
时间序列分析讲义
非平稳性序列的平稳化
时间序列分析讲义
2020/11/16
时间序列分析讲义
第一章时间序列分析基本概念
时间序列分析讲义
第一章时间序列分析基本概念
1.1 时间序列的定义
• 随机序列:按时间顺序排列的一组随机变量
• 观察值序列:随机序列的个有序观察值，称之为序列长度为的观察值序列
• 随机序列和观察值序列的关系
– 观察值序列是随机序列的一个实现 – 我们研究的目的是想揭示随机时序的性质 – 实现的手段都是通过观察值序列的性质进行推断
满足下列条件的随机序列称为白噪声序列，也称为纯随机序列：
注1：白噪声序列也是平稳时间序列中的特例. 注2：由于白噪声序列不同时刻的值相互独立，那么这样的序列数值不能对于将来进行推断与预测，所以白噪声是不能建立模型的。时序图1.3符合白噪声序列特征
时间序列分析讲义
若满足时间序列满足: 称该时间序列是周期为T的时间序列.

(6)141非平稳时间序列的概念讲解

(14.1.2)
(14.1.2)式表明yt的均值不随时间的变化而变化。
为了求出yt的方差，我们将(14.1.1)式进行一系列的迭代：
yt = yt-1 +来自ut= yt-2 + ut-1+ ut
= yt-3 + ut-2+ ut-1+ ut
= y0+ u1+ u2+…+ ut
y0 ui
§14.1 非平稳时间序列基本概念
时间序列的非平稳性，是指时间序列的统计规律随
着时间的位移而发生变化，即生成变量时间序列数
据的随机过程的统计特征随时间变化而变化。只要
宽平稳的三个条件不全满足，则该时间序列便是非
平稳的。当时间序列是非平稳的时候，如果仍然应
用OLS进行回归，将导致虚假的结果或者称为伪回归。
△yt = yt–yt-1 = ut
稳的。
（14.1.5）
（14.1.5）式表明随机游走序列的一阶差分式是平
2.带漂移项的随机游走（random walk with drift）序列带漂移项的随机游走序列由下式确定： yt = μ+ yt-1 + ut （14.1.6）
式中μ为非零常数，称之为“漂移项”，ut为白噪声序列。
3. 带趋势项的随机游走序列随机游走序列(14.1.1) 和（14.1.6）是比较简单的非平稳序列，它们是
yt = μ + β t + yt-1 + ut
(14.1.11)
的特例。 (14.1.11) 式称为带趋势项的随机游走序
列，容易证明，该时间序列也是非平稳时间序列。
由（14.1.11)有
μ所以被称之为“漂移项”，是因为（14.1.6）的一阶差

非平稳时序计量经济学EVIEWS建模课件

进行数据可视化分析。
丰富的模型估计方法
EViews提供了多种回归分析、时间序列分析和计量经济学模型估计方法，满足用户不同需求。
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EViews能够自动进行各种统计检验，如单位根检验、协整检验等，帮助用户快速验证模型的有效性。
EViews的基本操作界面
菜单栏
包含文件、编辑、视图、图表等常用菜单选项，方便用户进行基本操作。
EViews中的模型选择与估计
模型选择
根据数据特征和经济学理论，选择合适的非平稳时序计量经济学模型，如ARIMA、 SARIMA、VAR等。
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利用EViews软件提供的工具，对选定的模型进行参数估计，包括自回归系数、差分阶数、移动平均系数等。
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通过残差分析、ACF图、PACF图等手段，检验模型是否符合数据特征，判断模型是否合适。
THANKS
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描述性统计分析
提供各种描述性统计指标，帮助用户了解数据的基本特征和分布情况。
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支持回归分析、时间序列分析、计量经济学等多种高级统计分析方法。
03
CATALOGUE
非平稳时序计量经济学模型构建
ARIMA模型及其扩展
ARIMA模型
自回归积分滑动平均模型，通过差分将非平稳时序转化为平稳时序，再利用ARMA模型进行拟合。
EViews中的模型检验与诊断
平稳性检验
利用ADF检验、PP检验等方法，对原始序列和残差序列进行平稳性检验，确保模型适用于非平稳
时序数据。
残差诊断
通过计算残差的ACF图、PACF图、QQ图等，诊断模型的残差是否符合白噪声假设，判断模型是否合适。

平稳性和非平稳时间序列分析

19
五、误差修正模型（Error correction 误差修正模型 model, ECM）误差修正模型是有协积关系的一阶单积时间序列 I (1) 之间，包含一个反映长期均衡对短期波动影响的“误差修正机制” 的，特定形式的差分方程模型。
20
两个一阶单积的非平稳时间序列 I (1) 之间的回归可能导致虚假回归。运用差分变换虽然可以克服时间序列非平稳的问题，但差分变换会使得经济变量关系的长期信息丧失，还会导致回归模型误差序列相关性，从而使得回归分析失效或降低价值。采用由简单的自回归分布滞后模型ARDL(1,1) 导出的误差修正模型，则可以克服这些问题，不仅能够保留变量关系的长期动态信息，而且还能够保证回归分析的有效性。
6
1、基本的DF检验方法（1）检验时间序列{ Yt }是否属于最基本的单位根过程，也就是随机游走过程 Yt = Yt −1 + ε t ，其中 ε t 为白噪声过程。（2）检验思路首先 Yt 服从如下的自回归模型 Yt = δYt −1 + ε t
7
如果其中 δ = 1 ，或者变换成如下的回归模型 ∆Yt = λYt −1 + ε t 中的 λ = 0 ，那么时间序列{ Yt }就是最基本的单位根过程 Yt = Yt −1 + ε t ，肯定是非平稳的。对上述差分模型中的显著性检验，就是检验时间序列是否存在上述单位根问题。
9
2、扩展迪基-富勒检验（ADF）随机游走过程只是最简单的一种单位根过程，许多非平稳时间序列包含更复杂的单位根过程，包含常数项、趋势项和高阶差分项等。为了使迪基-富勒检验适用单位根过程的检验，必须作适当的扩展。
10
扩展的方法是分别采用下列模型：

平稳性和非平稳时间序列分析

进行了d次差分才变为平稳序列。这种经过d次差分才平稳的时间序列，称为d阶
“单积”（Integrated）的，并记I为(d) 。
14
四、时间序列的协积性（一）定义如果一组时间序列都 X1, , X n 是同阶单积
的（I (d) ），并且存在向量 (1, , n )
使加权组合1X1 n X n 为平稳序列（I (0)），则称这组时间序列为“协积的”
（Cointegrated），其中 (1, , n ) 称为
“协积向量”。
15
具有协积性的非平稳序列各自的非平稳趋势和波动有相互抵消的作用，因此虽然非平稳本身有导致回归分析失效的影响，但如果模型中的几个非平稳时间序列具有协积性，回归分析仍然可以是有效的，不需要担心非平稳性会造成问题。
16
11
不少非平稳时间序列作差分变换得到的差分序列都是平稳序列。对于这种非平稳时间序列的差分序列，基于平稳数据的计量分析就是有效的。
由于时间序列的差分序列与时间序列本身包含许多一致的信息，差分与原变量之间常常可以相互转换，因此利用差分数据进行计量分析也是有意义的。
并不是所有非平稳时间序列的差分序列都是平稳的。利用差分数据进行分析之前，必须对差分序列进行平稳性检验。检验的方法是把单位根检验用于时间序列的差分序列。
Yt Yt1 t ，其中 t 为白噪声过程。
（2）检验思路首先 Yt 服从如下的自回归模型
Yt Yt 1 t
6
如果其中 1 ，或者变换成如下的回归模型 Yt Yt 1 t
中的 0 ，那么时间序列{Yt }就是最基
本的单位根过程 Yt Yt1 t ，肯定是非平稳的。对上述差分模型中的显著性检验，就是检验时间序列是否存在上述单位根问题。

非平稳时间序列

a ln a b ln b
Tt a bct
－
Tt eabct
－
Tt

1 a bct
－
变换后模型 Tt a bt ct2
Tt a bt －－－
参数估计方法
线性最小二乘估计
线性最小二乘估计
迭代法迭代法迭代法
X-11过程
简介
X-11过程是美国国情调查局编制的时间序列季节调整过程。它的基本原理就是时间序列的确定性因素分解方法。

a0 an1
an1i ai
a0ai an1ian1
i 0,1,2,, n 2
依次类推，直到只剩下三个元素
当且仅当满足下面三个条件时，序列才是平稳的。
（1） 1 2 3 n 1
（2） 1 2 3 (1)nn 1
该法始于上世纪二三十年代，那时不存在合适的分析模型；在历史数据基础上只能有效表达一段有限长度时间序列的发展变化规律，一旦加入更多数据，模型就不具有很好的解释性。由于以上原因，在X-11过程中普遍采用移动平均的方法：用多次短期中心移动平均消除随机波动，用周期移动平均消除趋势，用交易周期移动平均消除交易日影响。在整个过程中总共要用到11次移动平均，所以称为X-11过程。
例：判断上面序列的平稳性解：N1＝6，N2＝4，r＝8，
显著性水平＝0.05，查表得rL＝2，rU＝9，所以用游程检验法判断该序列是平稳的。
二、非平稳序列的确定性分析
1、确定性因素分解 ①传统的因素分解
长期趋势循环波动季节性变化随机波动
②现在的因素分解
长期趋势波动季节性变化随机波动

非平稳时间序列的随机分析

Cramer分解定理为我们研究非平稳时间序列奠定了理论基础。
第二节差分运算
对于随机非平稳序列来说，我们难以直接找到其变化发展规律，主要是因为非平稳序列通常都具有某种不稳定的趋势。所以，分析非平稳序列的第一步是采取有效的手段提取其趋势使序列变为平稳序列，然后利用平稳序列分析方法来处理。提取序列趋势的工具主要是差分运算。
kt
t
例如，若
xt a bt t
则对序列 xt 做一阶差分
xt b t
就提取了序列中的确定性趋势信息。
若 xt a bt ct2 t ，则对 xt 做二阶差分
2 x 2c 2
t
t
即可提取序列中的确定性趋势信息。
yt 01yt q 2yt q1 vt
式中，vt 为残差序列。如果我们基于历史信息： ytq , ytq1, 预测 yt 的值，则 vt 可以理解为预测
误差，记 Var(v ) 2(q) ，显然有 2(q) Var( y ) ，
t
v
v
t
且滞后期 q 越大，意味着预测的步长越长，预测
的误差就越大，即2v(q) 越大。
实际上，时间序列中的差分运算类似于函数的求导运算，如果一个时间序列的确定性趋势是时间的 d 次多项式，则 d 阶差分后的序列的确定性趋势就一定是常数，将不会再蕴含时间趋势，从而实现序列的平稳化。
d
d
tj
j k,
（ k 为常数）
j0
而由Cramer分解定理知，方差齐性非平稳序列都可以分解为如下形式：
y
)t
，说明序列发展的
随机性强，历史信息对现值估计效果差，这时称
序列 yt是随机序列。
例如，对于平稳的ARMA(p,q) 模型：

第3章非平稳随机变量

第3章非平稳随机过程从本章起介绍计量经济学近20年来最新研究成果。

如果把第1章内容称为经典计量经济学，那么将要介绍的内容则应该称为非经典计量经济学。

从1974年开始计量经济学工作者渐渐意识到当用含有单位根的时间序列建立经典计量经济模型时会出现一些问题，这就是虚假回归。

应该知道通过经济数据了解经济变量的变化规律有时是存在相当大的局限性的，所以在建立模型时，必须依靠经济理论，同时对参数进行假设检验。

实际上，只有经济理论是不够的。

比如处于调整中的经济变量，哪些是它的外生变量，哪些是它的无关变量，单凭经济理论就很难判别清楚。

所以当研究经济变量参数变化规律时，常常采用另外一种方法，即依靠统计理论的方法，通过设计具有某种特征的能生成数据的随机过程或数据生成系统研究经济问题。

下面常常用到数据生成系统这个概念。

3.1 单整性单整：若一个随机过程 {x t } 必须经过d 次差分之后才能变换成一个平稳的可逆的ARMA 过程，则称 {x t } 是d 阶单整过程。

用x t ~ I(d ) 表示。

对于平稳过程表示为I(0)。

注意：单整过程是指单整阶数大于零的过程。

对于I(d ) 过程x t Φ(L ) (1- L ) d x t = Θ(L ) u t因含有d 个单位根，所以常把时间序列单整阶数的检验称为单位根检验（unit root test ）。

若x t ~ I(d )，y t ~ I(c )，则 z t = (a x t + b y t ) ~ I (max[d , c ]).∆ z t = ∆ (a x t + b y t ) = (a x t + b y t ) - (a x t -1 + b y t - 1) = (a ∆ x t + b ∆ y t ) 当 c > d 时，z t 只有差分c 次才能平稳。

一般来说，若x t ~ I (c )，y t ~ I (c )，则z t = (a x t + b y t ) ~ I (c ).但也有z t 的单整阶数小于c 的情形。

非平稳随机过程

两个相互独立的I(1)变量的相关系数的分布
1600 Series: CORRXY Sample 1 50000 Observations 50000 1200 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 0.000369 0.000965 0.980302 -0.975489 0.491984 -0.002124 1.879724 2614.657 0.000000
随机游走过程
20 random walk 15 10 5 0 -5 -10
3 X 2 1 0 -1 -2 -3 50 100 150 200 250 300
xt = xt-1 + ut 可写为 xt = (1+ L + (L) 2 + (L) 3 +…) ut 于是xt 是一个非平稳随机过程。
50
100
最常见的非平稳过程的种类
• • • • 随机游走过程随机趋势过程趋势平稳过程趋势非平稳过程
（1）随机游走过程
yt = yt-1 + ut , y0 = 0, ut IID(0, 2) 其均值为零，方差无限大，但不含有确定性时间趋势。
10
y=y(-1)+u
5
0
-5
-10 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
yt = 0.01+ 0.01t + yt-1+ ut, ut IID(0, 1)生成的序列
单位根检验 ——DF检验
yt = + t + yt-1 + ut

第3章非平稳随机变量(讲稿)

第3章非平稳随机过程从本章起介绍计量经济学近20年来最新研究成果。

如果把第1章内容称为经典计量经济学，那么将要介绍的内容则应该称为非经典计量经济学。

从1974年开始计量经济学工作者渐渐意识到当用含有单位根的时间序列建立经典计量经济模型时会出现一些问题，这就是虚假回归。

应该知道通过经济数据了解经济变量的变化规律有时是存在相当大的局限性的，所以在建立模型时，必须依靠经济理论，同时对参数进行假设检验。

实际上，只有经济理论是不够的。

比如处于调整中的经济变量，哪些是它的外生变量，哪些是它的无关变量，单凭经济理论就很难判别清楚。

下面常常用到数据生成系统这个概念。

3.1 单整性单整：若一个随机过程{x t} 必须经过d次差分之后才能变换成一个平稳的可逆的ARMA过程，则称{x t} 是d阶单整过程。

用x t~ I(d) 表示。

对于平稳过程表示为I(0)。

注意：单整过程是指单整阶数大于零的过程。

对于I(d) 过程x tΦ(L) (1- L) d x t = Θ(L) u t因含有d个单位根，所以常把时间序列单整阶数的检验称为单位根检验（unit root test）。

若x t~ I(d)，y t~ I(c)，则z t = (a x t + b y t) ~ I (max[d, c]).∆z t = ∆ (a x t + b y t) = (a x t + b y t) - (a x t -1 + b y t - 1) = (a ∆ x t + b ∆ y t)当c > d时，z t只有差分c次才能平稳。

一般来说，若x t~ I (c)，y t~ I (c)，则z t = (a x t + b y t) ~ I (c).但也有z t的单整阶数小于c的情形。

当z t的单整阶数小于c时，则称x t与y t存在协整关系。

非平稳信号分析课件

50
29
n Lebesgue积分学定理 Riemann积分与Lebesgue积分
f(x)
f(x)
x Riemann积分
Lebesgue积分
x 30
几乎处处收敛：
31
n 控制收敛定理
32
n Fubili定理
33
函数空间：
C[a,b] :{f(x)|f(x)是[a,b]上的连续函
数}
L2
:{f(x)|f(x)是平方可积函数}
非平稳信号分析
1
教学内容：
n 信号的时－频表示方法 n 短时傅立叶变换 n 分数傅立叶变换 n Wigner分布与广义双线性时频分布 n 小波分析和应用
2
对学习者的要求
n 三个基本要求：
n 掌握时频分析的基本思想 n 熟悉处理非平稳信号的基本方法 n 能将非平稳信号分析方法应用在实际工作
中。
3
非平稳信号分析介绍：
2) 齐次性： 3) 三角不等式：
则称X是赋范线性空间。
36
内积空间与赋范线性空间的关系：
n 内积空间可以下面的方法定义范数，成为一个赋范线性空间。
37
赋范线性空间中的收敛概念：
完备性：
完备的赋范线性空间称为Banach空间。
38
Banach空间的另一种表述：
柯西序列：
若任一柯西序列都有极限，则称X为Banach空间。
7
平稳信号与非平稳信号：
n 广义平稳随机信号
8
平稳信号与非平稳信号：
n 广义(n阶)平稳随机信号 n阶统计量不随时间变化的随机信号
9
平稳信号与非平稳信号。
n 某阶统计量随时间变化的信号。 (时变信号)

第三章平稳时间序列分析-1

Φ ( B ) xt = ε t
4、AR模型平稳性判别、模型模型平稳性判别判别原因 AR模型虽是常用的平稳序列的拟合模型之模型虽是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的但并非所有的AR模型都是平稳的判别方法，除时序图及自相关图法外，判别方法，除时序图及自相关图法外，还有特征根判别法特征根判别法平稳域判别法平稳域判别法
z t + a1 z t −1 + a 2 z t − 2 + L + a p z t − p = h(t )
齐次线性差分方程
z t + a1 z t −1 + a 2 z t − 2 + L + a p z t − p = 0
齐次线性差分方程的解
z t + a1 z t −1 + a 2 z t − 2 + L + a p z t − p = 0
1+ 3 2
1− 3 λ2 = 2
φ2 = 0.5, φ2 + φ1 = 1.5, φ2 − φ1 = −0.5
作业
P98 习题三 3、4 、实验1理论（sas简介及数据集创建）简介及数据集创建）实验理论（理论简介及数据集创建
延迟算子的性质：延迟算子的性质：
B0 = 1
B (c ⋅ xt ) = c ⋅ B( xt ) = c ⋅ xt −1 , c为任意常数
B ( xt ± y t ) = xt −1 ± y t −1
B n xt = xt − n
i (1 − B ) = ∑ ( −1) n C n B i， n i =0 n
则变换y 称为中心化变换则变换 t=xt-µ称为中心化变换。称为

SAS学习系列38. 时间序列分析Ⅱ—非平稳时间序列的确定性分析

38. 非平稳时间序列的确定性分析实际中大多数时间序列是非平稳的，对非平稳时间序列的分析方法主要有两类：确定性分析和随机性分析。

确定性分析——提取非平稳时间序列明显的规律性（长期趋势、季节性变化、周期性），目的是：①克服其它因素影响，单纯测度出单一确定因素对序列的影响；②推断各种确定性因素彼此之间相互作用关系及它们对序列的综合影响。

随机性分析——分析非平稳时间序列由随机因素导致的随机波动性。

（一）趋势分析有的时间序列具有明显的长期趋势，趋势分析就是要找出并利用这种趋势对序列发展做出合理预测。

1. 趋势拟合法即把时间作为自变量，相应的序列观察值作为因变量，建立序列值随时间变化的回归模型。

分为线性拟合和非线性拟合。

2. 平滑法利用修匀技术，消弱短期随机波动对序列的影响，使序列平滑化，从而显示出长期趋势变化的规律。

（1）移动平均、加权移动平均已知序列值x1, …, x t-1, 预测x t的值为12ˆt t t n t x x x x n---+++= 称为n 期移动平均值，n 的选取带有一定的经验性，n 过长或过短，各有利弊，也可以根据均方误差来选取。

一般最新数据更能反映序列变化的趋势。

因此，要突出新数据的作用，可采用加权移动平均法：1122ˆt t n t n tw x x x xn ωωω---+++= 其中，111ni i n ω==∑. （2）二次移动平均对应线性趋势，移动平均拟合值有滞后性，可以采用二次移动平均加以改进：对移动平均值再做一次移动平均。

（3）指数平滑法指数平滑法是一种对过去观察值加权平均的特殊形式，观测值时间越远，其权数呈指数下降。

一次指数平滑法可用于对时间序列进行修匀，以消除随机波动。

预测公式为：1ˆˆ(1)t t t sx s αα-=+- 其中α∈(0, 1)为平滑常数，ˆt s 为第t 期平滑预测值，初始预测值0ˆs（通常取最初几个实测数据的均值）。

一般来说，时间序列有较大的随机波动时，宜选择较大的α值，以便能较快跟上近期的变化；也可以利用预测误差选择。

平稳性和非平稳时间序列分析

28
随机游走一直围绕最初出发点为中心前后左右移动，但随着游走时间次数增加，围绕最初出发点的来回的距离（方差）越来越远。
29

随机游走模型。它最早于1905年7月由卡尔〃皮尔逊(Karl Pearson)在《自然》杂志上作为一个问题提出：假如有一个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？

奖级
中奖条件红球蓝球
说明
单注奖金
一等奖
●●● ●●●
●
当奖池资金低于 1亿元时，奖金总额为当期高等选6+1中6+1 奖奖金的70%与奖池中累积的奖金之和。
---------时间序列的动态特性时间序列模型：时间序列各观测值之间的关系。
从系统的观点来看，某一时刻进入系统的输入对系统后继行为的影响
与t无关，与有关的有限值
60
ARMA(p,q)模型的平稳性条件
•
宽平稳时间序列（week stationary）—指序列的统计性质只要保证序列的二阶矩平稳就能保证序列的主要性质近似稳定。
5
时间序列的平稳性定义
如果在任取时间 t 、 s 和 k 时，时间序列 X t 满足如下三个条件：
EXt2
EX t
E( X t t )( X s s ) E( X k k )( X k st k st )
t 1 j t j

类似
阶数增加，越来越复杂!
53
一般情况？
cov( zt , zt ) E zt mt zt mt E zt zt
E (at 1at 1 j at j )(at 1at 1 j at j )

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