学校概率论习题集答案
概率论与数理统计练习册答案
概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==，故365()1365rrP P A =-.12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3．0.3，0.5 解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。
概率论·课后答案(绝对详解)
i习题一3 设,,B A 为二事件，化简下列事件：B B B A B BA B A B A B A =⋃=⋃⋃=⋃⋃)()())()(1(B B A B B A A A B A B A =⋃⋃⋃=⋃⋃)())()(2(4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。
3024.010302410427210678910445==⋅=⋅⋅⋅⋅=p5 n 张奖券中有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
答案：.1k n k mn C C --6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？解；将这五双靴子分别编号分组},,,,{};,,,,{5432154321b b b b b B a a a a a A ==，则C 表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有.45C不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i 只，且编号不同，其可能选法为)0,1,2,3,4(;455=--i C C i i i41045341523251235451)(1)(C C C C C C C C C C P C P ++++-=-= 2113218177224161247720104060401011234789105453245224551=-=⋅⋅-=⋅++++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+-= 7在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过51的概率。
答案：518在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。
,0,0a y a x <<<<且a y x <+<0，又41222,,=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧--<---<--->+P ay a x a y x y x a x y y x a y x y x a y x 9在区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的积小于41的概率。
概率论_习题集(含答案)
《概率论》课程习题集一、计算题1. 10只产品中有2只次品, 在其中取两次, 每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）一只是正品，一只是次品；（3）第二次取出的是次品。
2. 一个学生接连参加同一课程的两次考试。
第一次及格的概率为p ，若第一次及格则第二次及格的概率也为p ；若第一次不及格则第二次及格的概率为.2/p 求 （1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率； （2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率3. 用某种方法普查肝癌，设：A ={ 检验反映呈阳性 }，C ={ 被检查者确实患有肝癌 }，已知()()5.C A P ,.C A P 90950==()5.C P 000=且现有一人用此法检验呈阳性，求此人真正患有肝癌的概率．4. 两台机床加工同样的零件，第一台出现次品的概率是0.03, 第二台出现次品的概率是0.02，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台的多一倍。
（1）求随意取出的零件是合格品的概率（2）如果随意取出的零件经检验是次品，求它是由第二台机床加工的概率5. 某人有5把钥匙,但忘了开房门的是哪一把,现逐把试开,求∶(1) 恰好第三次打开房门锁的概率(2) 三次内打开房门锁的概率(3) 如5把钥匙内有2把是开房门的,三次内打开房门锁的概率6. 设X 是连续型随机变量，其密度函数为()()⎩⎨⎧<<-=其它020242x x x c x f求：（1）；常数c （2）{}．1>X P7. 设X ～⎩⎨⎧≤≤=其他，02,)(x o cx x f 求（1）常数c ；（2）分布函数)(x F ；8. 一工厂生产的某种元件的寿命X （以小时计）服从参数为σμ,160= 的正态分布。
若要求,80.0)200120(≥≤<X P 允许σ最大为多少？9. 证明：指数分布有无记忆性（或称无后效性），即证：如果)(~λE X ，则有)()|(t X P s X t s X P >=>+>，0,0≥≥t s10. 对球的直径作测量，设测量值均匀地分布在],[b a 内，求球的体积的概率密度.11. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,021),11(2)(2x xx f ,求X 的分布函数。
西南大学概率论与数理统计习题集答案
1、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ已知，2σ未知，n X X X ,,,21 为其样本，2≥n ,则下列说法中正确的是（ D ）。
（A ）∑=-ni iXn122)(μσ是统计量 （B ）∑=ni iXn122σ是统计量（C ）∑=--ni i X n 122)(1μσ是统计量 （D ）∑=ni i X n12μ是统计量2、设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~2χY ，则YX 3服从（ C ）。
)(A )1,0(N )(B )3(t )(C )9(t )(D )9,1(F3、设两独立随机变量)1,0(~N X ，2~(16)Y χC ）。
)(A )1,0(N )(B (4)t )(C (16)t )(D (1,4)F4、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ A ）.)(A ∑-=-1111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=n i i X n 21 )(D ∑-=111n i i X n 5、设4321,,,X X X X 是总体2(0,)N σ的样本，2σ未知，则下列随机变量是统计量的是（ B ）.（A ）3/X σ； （B ）414ii X=∑； （C ）σ-1X ； （D ）4221/ii Xσ=∑6、设总体),(~2σμN X ，1,,n X X 为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，则下列正确的是（ C ）.2() ~(,)A X N μσ 2() ~(,)B nX N μσ22211()()~()ni i C X n μχσ=-∑(~()D t n7、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X ⋅⋅⋅是来自总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为（ C ）( A ) . 12X X +( B ){}max ,15i X i ≤≤( C ) 52X p +( D )()251X X -8、设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。
大学概率论考试题及答案
大学概率论考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设随机变量X服从标准正态分布，则P(X > 1.96)的值是：A. 0.025B. 0.05C. 0.975D. 0.95答案：C2. 若随机变量X和Y相互独立，则P(X > 2, Y > 2)等于：A. P(X > 2) + P(Y > 2)B. P(X > 2) * P(Y > 2)C. P(X > 2) - P(Y > 2)D. P(X > 2) / P(Y > 2)答案：B3. 某次实验中，成功的概率为0.5，重复进行n次独立实验，则恰好成功k次的概率为：A. C(n, k) * (0.5)^k * (1 - 0.5)^(n-k)B. C(n, k) * (0.5)^nC. C(n, k) * (0.5)^(n-k) * (1 - 0.5)^kD. C(n, k) * (0.5)^(n-k)答案：A4. 随机变量X的期望值E(X)为2，方差Var(X)为4，则E(2X)等于：A. 4B. 8C. 2D. 16答案：A5. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则P(X = 0)等于：A. e^(-λ)B. λ * e^(-λ)C. λ^2 * e^(-λ)D. λ^3 * e^(-λ)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若随机变量X的方差为9，则(2X - 3)的方差为______。
答案：362. 设随机变量X服从[0, 1]上的均匀分布，则P(X < 0.5) = ______。
答案：0.53. 抛一枚公正的硬币3次，出现正面向上的概率为______。
答案：1/24. 设随机变量X服从参数为4的指数分布，则P(X > 2) = ______。
答案：e^(-4)三、计算题（每题15分，共30分）1. 已知随机变量X服从参数为λ=2的泊松分布，求P(X=3)。
概率论试题及答案
概率论试题及答案一、选择题1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是：- A. 1/2- B. 3/8- C. 5/8- D. 1/82. 如果事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，那么P(A∪B)等于：- A. 0.7- B. 0.6- C. 0.4- D. 0.33. 抛掷一枚硬币两次，出现正面向上的概率是：- A. 1/4- B. 1/2- C. 3/4- D. 1二、填空题1. 概率论中，事件的全概率公式是 P(A) = ________，其中∑表示对所有互斥事件B_i的和。
2. 如果事件A和事件B是独立事件，那么P(A∩B) = ________。
三、计算题1. 一个工厂有3台机器，每台机器在一小时内发生故障的概率是0.01。
求在一小时内至少有一台机器发生故障的概率。
2. 一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。
如果随机选择一名学生，这名学生是男生的概率是0.6。
求这个班级中男生和女生的人数。
四、解答题1. 解释什么是条件概率，并给出计算条件概率的公式。
2. 一个袋子里有10个球，其中7个是红球，3个是蓝球。
如果从袋子中随机取出一个球，观察其颜色后放回，再取出一个球。
求第二次取出的球是蓝球的概率。
答案一、选择题1. C. 5/82. B. 0.63. B. 1/2二、填空题1. P(A) = ∑P(A∩B_i)2. P(A)P(B)三、计算题1. 首先计算没有机器发生故障的概率，即每台机器都不发生故障的概率，为(1-0.01)^3。
至少有一台机器发生故障的概率为1减去没有机器发生故障的概率，即1 - (1-0.01)^3。
2. 设男生人数为x，女生人数为y。
根据题意，x/(x+y) = 0.6，且x+y=50。
解得x=30，y=20。
四、解答题1. 条件概率是指在已知某个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
计算条件概率的公式是P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
概率论习题集答案
概率论习题集答案概率论是数学的一个分支，它研究随机事件的规律性。
在概率论习题集中，我们通常会解决一些与随机变量、概率分布、期望值、方差等概念相关的问题。
以下是一些概率论习题的答案示例：1. 随机变量的期望值：如果X是一个离散随机变量，其概率质量函数为P(X=x_i)=p_i，那么X的期望值E(X)可以通过以下公式计算：\[ E(X) = \sum_{i} x_i p_i \]2. 二项分布的概率：设随机变量X服从参数为n和p的二项分布，即X~B(n, p)，那么X等于k的概率可以通过以下公式计算：\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]其中，\(\binom{n}{k}\) 是组合数，表示从n个不同元素中选取k 个元素的组合方式数。
3. 正态分布的性质：如果随机变量X服从标准正态分布，即X~N(0,1)，那么X的取值在-1到1之间的概率可以通过标准正态分布表来查找。
4. 联合分布函数：如果有两个随机变量X和Y，它们的联合分布函数P(X≤x, Y≤y)可以通过它们的边缘分布和条件分布来计算。
5. 大数定律：根据大数定律，随着试验次数的增加，样本均值会趋近于总体均值。
6. 中心极限定理：中心极限定理指出，即使原始随机变量的分布不是正态分布，它们的和或平均值的分布随着样本量的增加会趋近于正态分布。
7. 协方差与相关系数：两个随机变量X和Y的协方差度量了它们之间线性关系的强度和方向，计算公式为：\[ \text{Cov}(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] \] 相关系数是协方差的标准化形式，计算公式为：\[ \rho_{X, Y} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X) \cdot \text{Var}(Y)}} \]8. 泊松分布的应用：泊松分布常用于描述在固定时间或空间内随机发生的事件数量，其概率质量函数为：\[ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] 其中，λ是单位时间或单位空间内事件发生的平均次数。
概率论课后习题答案
习题1解答1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果； （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为{|0,1,2,,100}ii n nΩ==.（2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为{10|0,1,2,}k k Ω=+=，或写成{10,11,12,}.Ω=（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.（3）取直角坐标系，则有22{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1)A 发生而B 与C 不发生； (2)A 、B 、C 中恰好发生一个； (3)A 、B 、C 中至少有一个发生； (4)A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5)A 、B 、C 中至少有两个发生； (6)A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.解：(1)ABC 或A B C --或()A B C -；(2)ABC ABC ABC ；(3)AB C 或ABCABCABCABCABCABCABC ；(4)ABC ABCABC .(5)AB AC BC 或ABC ABC ABCABC ；(6)ABCABCABCABC .3．设样本空间{|02}x x Ω=≤≤，事件{|0.51}A x x =≤≤，{|0.8 1.6}B x x =<≤，具体写出下列事件：(1)AB ；（2）A B -；（3）A B -；（4）A B .解：（1）{|0.81}AB x x =<≤； （2）{|0.50.8}A B x x -=≤≤；（3）{|00.50.82}A B x x x -=≤<<≤或； （4）{|00.5 1.62}AB x x x =≤<<≤或.4. 一个样本空间有三个样本点， 其对应的概率分别为22,,41p p p -， 求p 的值. 解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以2241 1.p p p ++-=解之得1233p p =-=-，又因为一个事件的概率总是大于0，所以3p =- 5. 已知()P A =0.3，()P B =0.5，()P A B =0.8，求(1)()P AB ；(2)()P A B -；(3)()P AB .解：(1)由()()()()P AB P A P B P AB =+-得()()()()030.50.80P AB P A P B P A B =+-=+-=.(2) ()()()0.300.3P A B P A P AB -=-=-=. (3) ()1()1()10.80.2.P AB P AB P AB =-=-=-=6. 设()P AB =()P AB ，且()P A p =，求()P B . 解：由()P AB =()1()1()1()()()P AB P AB P AB P A P B P AB =-=-=--+得()()1P A P B +=，从而()1.P B p =-7. 设3个事件A 、B 、C ，()0.4P A =，()0.5P B =，()0.6P C =，()0.2P AC =，()P BC =0.4且AB =Φ，求()P A B C .解：()()()()()()()()0.40.50.600.20.400.9.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 解：依题意可知，基本事件总数为34个.以,1,2,3i A i =表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，则1A 表示每个杯子最多放一个球，共有34A 种方法，故34136().416A P A ==2A 表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，放法总数为211343C C C 种，故211343239().416C C C P A == 3A 表示3个球放入同一个杯子中，共有14C 种放法，故14331().416C P A ==9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为4987487987411098790P ⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯. 10. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第三卷正好在正中.解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p .(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=⨯=p .(3)p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}2217551010=+-=. (4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P .(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P . 11. 把2，3，4，5诸数各写在一X 小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，所以 23342/1/2P A A =⨯=.12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79.事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”.所以包含79A 个样本点，于是7799)(A A P =.13. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次,求他(她)等待时间短于10分钟的概率.解:以分钟为单位, 记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在),60,0(记 “等待时间短于10分钟”为事件,A 则有(0,60),Ω=)60,50(=A ,⊂Ω于是)(A P 6010=.61= 14. 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。
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《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。
文正学院概率论练习册答案
文正学院概率论练习册答案一、选择题1. 某事件的概率为0.5，这意味着：A. 事件几乎不可能发生B. 事件一定发生C. 事件发生的可能性是50%D. 事件不可能发生正确答案：C2. 以下哪项不是概率论的基本公理？A. 概率的非负性B. 概率的规范性C. 概率的相加性D. 事件的互斥性正确答案：D3. 如果两个事件是互斥的，那么它们的并的概率是：A. 两个事件概率的和B. 两个事件概率的差C. 两个事件概率的乘积D. 两个事件概率的商正确答案：A二、填空题1. 一个随机试验的所有可能结果的集合称为________。
答案：样本空间2. 如果事件A和事件B是互斥的，那么P(A∪B) = P(A) + P(B)，其中P(A∪B)表示________。
答案：A和B至少一个发生的概率三、计算题1. 假设有一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
解：根据古典概型的概率计算公式，P(红球) = 红球数 / 总球数= 5 / (5 + 3) = 5 / 8。
2. 有一枚均匀的硬币，连续抛掷两次，求两次都是正面朝上的概率。
解：由于硬币是均匀的，每次抛掷正面和反面的概率都是0.5。
两次都是正面朝上的概率为0.5 * 0.5 = 0.25。
四、简答题1. 什么是条件概率？请给出一个例子。
答：条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，如果我们知道一个班级中50%的学生是男生，那么在随机选择一名学生是男生的条件下，这名学生的数学成绩超过90分的概率就是条件概率。
结束语：以上是文正学院概率论练习册的部分答案，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握概率论的基本概念和计算方法。
概率论是一门重要的数学分支，它在统计学、物理学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
希望同学们能够通过练习，不断提高自己的解题能力和理解力。
南昌大学概率论练习册答案
练习一一、1．BCD 2. ABC 3. CD 4. BD 5. D二.1. 88365365A 2. 41/90 3. 0.4 0.6 4. 25/42 三、已知：P (A )=0.45，P (B )=0.35，P (C )=0.3，P (AB )=0.1，P (AC )=0.08，P (BC )=0.05，P (ABC )=0.03(1)3.0)]()()([)()}({)()(=-+-=-=ABC P AC P AB P A P C B A P A P C B A P (2)07.0)()()(=-=ABC P AB P C AB P (3)3.0)(=C B A P23.0)]()()([)()}({)()(=-+-=-=ABC P BC P AB P B P C A B P B P C B A P 2.0)]()()([)()}({)()(=-+-=-=ABC P BC P AC P C P B A C P C P C B A P得73.0)()()(=++=C B A P C B A P C B A P P(4)14.0)()()()(=-+-+-==ABC BC P ABC AC P ABC AB P BC A C B A C AB P P (5)P (A ∪B ∪C )=0.73+0.14+0.03=0.9 (6)1.09.01)(=-=C B A P四、令x 、y 为所取两数，则Ω={(x ,y )|0<x <1, 0<y <1}； 令事件A ：“两数之积不大于2/9，之和不大于1”，则A ={(x ,y )| xy ≤2/9, x +y ≤1, 0<x <1, 0<y <1}S Ω=S OAED =1×1=1； 2ln 9231)9211121231+=---⨯⨯==⎰dx x x S S A 阴得2ln 9231+==ΩS S P A练习二一、1．ABCD 2. ABC 3. ABC 4. C二、Ω：“全厂的产品”；A 、B 、C 分别为：“甲、乙、丙各车间的产品”，S ：“次品”，则(1)由全概率公式，得 P (S )=P (A )P (S |A )+P (B )P (S |B )+P (C )P (S |C )=25%×5%+35%×4%+40%×2%=3.45%(2)由贝叶斯公式，得%23.366925345125%45.3%5%25)()|()()|(≈==⨯==S P A S P A P S A P三、Ω={(女,女,女),(女,女,男),(女,男,女),(男,女,女),(女,男,男),(男,女,男),(男,男,女)}有：P {至少有一男}=6/7或132333331C C C C P ++-= 四、101)(,157)(,154)(===AB P B P A P有：143157101)()()|(===B P AB P B A P 83154101)()()|(===A P AB P A B P 3019)()()()(=-+=AB P B P A P B A P五、bB A P b a B P B A P B P A P B P AB P B A P )()()()()()()()|( -+=-+==又P (A ∪B )≤1，则bb a B A P 1)|(-+≥练习三一、1．BD 2. ABCD 3. AD 4. B二、A 1、A 2、A 3分别“甲、乙、丙击中飞机”，则A 1、A 2、A 3相互独立 B i ：“有i 个人击中飞机”（i =1,2,3），有：Ω== 31i i B ；B ：“飞机被击落”由已知：P (A 1)=0.4，P (A 2)=0.5，P (A 3)=0.73213213211A A A A A A A A A B =36.0075.06.03.05.06.03.05.04.0 )()()()()()()()()()(3213213211=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P41.0)(23213213212=⇒=B P A A A A A A A A A BB 3=A 1A 2A 3⇒P (B 3)=0.14又P (B |B 1)=0.2，P (B |B 2)=0.6，P (B |B 3)=1 由全概率公式，得：458.0114.06.041.02.036.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i B B P B P B P三、A i ：“C 发生时第i 只开关闭合”，由已知有：P (A i )=0.96 (1)P (A 1∪A 2)=P (A 1)+P (A 2)-P (A 1A 2)=0.96+0.96-0.96×0.96=0.9984 (2)设需k 只开关满足所需可靠性，在情况C 发生时，k 只开关中至少有一只闭合的概率为：39999.004.01)96.01(1)()()(1)(1)(1)(min 21212121=⇒≥-=--=-=-=-=k A P A P A P A A A P A A A P A A A P kkk k k k四、(1)3087.0)3.01(3.0)2(32255=-=C P(2)A ：“5个样品中至少有2个一级品”，有：47178.07.03.01)(1)()(15515525=-=-==∑∑∑=-==i i i i i i C i P i P A P练习四一、1. ABCD 2. D 3. A 4. AB 二、(1)任掷两骰子所得点数和i 有2→12共11种可能令ωi 表示和数为i 的样本点(i =2,3,…,12),则基本事件集Ω={ω2, ω3,…, ω12 }(2)由已知,得：∀ωi ∈Ω，有ξ(ωi )=2i (i =2,3,…,12）,则ξ的可能值为2i (i =2,3,…,12） (3){ξ<4}=φ； {ξ≤5.5}={ξ=4}={ω2}； {6≤ξ≤9}={ξ=6}∪{ξ=8}={ω3}∪{ω4}； {ξ>20}={ξ=22}∪{ξ=24}={ω11}∪{ω12}(4)P {ξ<4}=0；P {ξ≤5.5}=P {ω2}=1/36；P {6≤ξ≤9}=P {ω3}+P {ω4}=2/36+3/36=5/36； P {ξ>20}= P {ω11}+P {ω12}=2/36+1/36=3/36=1/12 三、(1) ξ的所有可能值为0，1，2P {ξ=0}=3522315313=C C ； P {ξ=1}=3512321312=C C C ； P {ξ=2}=35131511322=C C C 故ξ的分布律为： (2)F (x )=P {ξ≤x }当x <0时，{ξ≤x }为不可能事件，得F (x )=P {ξ≤x }=0当0≤x <1时，{ξ≤x }={ξ=0}，得F (x )=P {ξ≤x }=P {ξ=0}=22/35 当1≤x <2时，{ξ≤x }={ξ=0}∪{ξ=1}，又{ξ=0}与{ξ=1}是两互斥事件，得F (x )=P {ξ≤x }=P {ξ=0}+P {ξ=1}=22/35+12/35=34/35当x ≥2时，{ξ≤x }为必然事件，得F (x )=P {ξ≤x }=1 综合即得 四、五、(1)ππ11111)(112=⇒=⇒=-⇒=⎰⎰-+∞∞-A A dx x A dx x f(2)3111)2121(21212=-=<<-⎰-dx x P πξ(3)dt t f x F x⎰∞-=)()( 当x <－1时，00)(==⎰∞-dt x F x当－1≤x ≤1时，x dt x dt x F xarcsin 121110)(121ππ+=-+=⎰⎰--∞- 当x >1时, 10110)(11121=+-+=⎰⎰⎰--∞-dt dt x dt x F xπ 综合即得六、(1)P {2<ξ≤5}=Φ(235-)-Φ(232-)=Φ(1)-Φ(-0.5)=Φ(1)-[1-Φ(0.5)]=0.5328P {-4<ξ<10}=Φ(2310-)-Φ(234--)=Φ(3.5) -Φ(-3.5)= 2Φ(3.5) -1=0.9996 P {|ξ|>2}=1-P {-2≤ξ≤2}=1-Φ(232-)+Φ(232--)=1-Φ(-0.5)+Φ(-2.5)=0.6977P {ξ>3}=1-P {ξ≤3}=1-Φ(233-)=1-Φ(0)=1-0.5=0.5(2) P {ξ>C}=1-P {ξ≤C}=P {ξ≤C}⇒P {ξ≤C}=0.5⇒Φ(23-C )=0.5⇒23-C =0.5⇒练习五一、1．AB 2. BC 3. AC 4. BD 5. B 二、⎩⎨⎧∉∈=)1,0( ,0)1,0( ,1)(x x x f X(1)y =e x 在(0,1)严格单调增且可导，则x =ln y 在(1,e )上有：(ln y )'=y1∴⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它 ,01 |,1|)(ln )(e y y y f y f X Y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它 ,01 ,1)(e y y y f Y (2)y = -2ln x 在(0,1)严格单调减且可导，则2yex -=在(0,+∞)上有：2221)(yy e e---='∴⎪⎩⎪⎨⎧>-=--其它 ,00 |,21|)()(y e e f y f y y X Y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它 ,00,21)(y e y f y Y 三、⎩⎨⎧-∈=其它,0]2/ ,2/[ ,/1)(πππx x f Xy =cosx 在[-π/2,0]上严格单调增且可导，则x 1=h 1(y )= -arccosy 在[0,1]上有：x 1'=211y- y =cosx 在[0, π/2]上严格单调减且可导，则x 2=h 2(y )=arccosy 在[0,1]上有：x 2'=211y-- ∴⎪⎩⎪⎨⎧∈-='+'=其它 ,0]1,0[ ,12|)(|)]([|)(|)]([)(22211y y y h y h f y h y h f y f X X Y π四、五、(1)12112/1),(0403=⇒==⇒=⎰⎰⎰⎰+∞-+∞∞-+∞-+∞∞-k k dy e dx e k dxdy y x f y x(2)⎪⎩⎪⎨⎧>>--===--+-∞-∞-⎰⎰⎰⎰其它,00,0 ),1)(1(12),(),(4300)43(y x e e dxdy edxdy y x f y x F y x y xy x yx(3)P (0<X ≤1,0<Y ≤2)=F (1,2)-F (1,0)-F (0,2)+F (0,0)= (1-e -3)(1-e -8)六、(1)X 与Y 独立，则⎪⎩⎪⎨⎧>>⨯==+-其它，00,0 ,1021)()(),(26y x e y f x f y x f y x Y X(2)311021),()(02000206=⨯==>⎰⎰⎰⎰+-∞+>dy edx dxdy y x f Y X P x yx yx练习六1．(1)2211),(ππ=⇒==⎰⎰+∞∞-+∞∞-A A dxdy y x f (2) 161)1)(1(11010222=++=⎰⎰dxdy y x P π (3))1(1)1)(1(1)(2222x dy y x x f X +=++=⎰+∞∞-ππ，同理)1(1)(2y y f Y +=⇒π 有f (x ,y )=f X (x )f Y (y )，故X 与Y 独立2．X 与Y 独立，则P {X =x i ,Y =y j }=P {X =x i }P {Y =y j }有：3．(1)2,10)]3/()[2/(0),(0)2/)](2/([0),(1)2/)(2/(1),(2ππππππ===⇒⎪⎭⎪⎬⎫=+-⇒=-∞=-+⇒=-∞=++⇒=+∞+∞C B A y arctg C B A y F C x arctg B A x F C B A F (2))9)(4(6),(),())((1),(22222++=∂=⇒++=y x y x F y x f y arctg x arctg y x F ππππ (3)2121)22)(22(1),()(2x arctg x arctg x F x F X πππππ+=++=+∞=则有)4(2)(2+=x x f X π；同理得：3121)(yarctg y F Y π+=，)9(3)(2+=y y f Y π4．5．设第i 周需要量为X i （i =1,2,3）⎩⎨⎧≤>=⇒-0 ,00,)(i i x i i X x x e x x f i i (i =1,2,3)(1)令X =X 1+X 2，则⎩⎨⎧>>=+-其它 ,00,0 ,),(21)(212121x x e x x x x f x x⎪⎩⎪⎨⎧≤>+++-===--+-≤+⎰⎰⎰⎰0 ,00,)12161(1),()(2320)(2101212112121x x e x x x dx e x x dx dx dx x x f x F x x x x x x x x x X ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⇒-0,00 ,61)(3x x e x x f x X(2)令Y =X 1+X 2+X 3=X +X 3，则⎪⎩⎪⎨⎧>>=--其它,00,0 ,61),(33333x x e x e x x x f x x⎪⎩⎪⎨⎧≤>+++++-===----≤+⎰⎰⎰⎰0,00,)12624120(161),()(2345303303333y y e y y y y y dx e x e x dx dxdx x x f y F y x y x x y y x x Y ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⇒-0,00 ,1201)(5y y e y y f y Y6．dxdy y x f dxdy y x f z Z P z F zy x z yx Z ⎰⎰⎰⎰≤+≤+==≤=22),(),()()((1)z ≤0⇒F Z (z )=0； (2)z z xz y x zZ ze e dy e dx z F z 2220)(2021)(0---+---==⇒>⎰⎰故⎩⎨⎧≤>=⇒⎩⎨⎧≤>--=---0,00 ,4)(0 ,00 ,21)(222z z ze z f z z ze e z F zZ z z Z 练习七一、1. D 2. B 3. AD 4. D 5. BC 二、令Z 表示整数，则P {Z =i }=1/10=0.1 (i =1,2, (10)除的尽1的整数有且只有整数1这一个；除的尽2，3，5，7的有二个；除的尽4，9的有三个；除的尽6，8，10的有四个，则 P {X =1}=P {Z =1}=0.1； P {X =2}=P {Z =2}+P {Z =3}+P {Z =5}+P {Z =7}=0.4 P {X =3}=P {Z =4}+P {Z=8}+P {Z =10}=0.3 得X 的分布律为：E (X )=1×0.1+2×0.4+3×0.2+4×0.3=2.7三、E (X )=p q pq q p q p q p kqp kpqk k k kk k k k 1)1()1()()(2111111=-='-='='==∑∑∑∑∞=∞=∞=-∞=- E (X 2)=)()()(1111112112'='='==∑∑∑∑∑∞=-∞=∞=∞=-∞=-k k k kk kk k k k kq q p kq p kq p qk p pqk222])1([ppq q p -='-= D (X )=E (X 2)-E 2(X )=221p qp p =- 四、E (X )=0)(2||==⎰⎰∞+∞--∞+∞-dx xe dx x xf xD (X )=322)()]([02||22===-⎰⎰⎰∞+-∞+∞--∞+∞-dx e x dx ex dx x f X E x x x五、令搜索时间为T ，则T 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)( t t e t F t λ，得：⎩⎨⎧≤>=-0,00,)( t t e t f t λλ，则有E (T )=λλλ1)(0 ==⎰⎰+∞-+∞∞-dt e t dt t tf t六、b X E a b dx x bf dx x xf X E dx x af a ba b a b a ≤≤⇒=≤=≤=⎰⎰⎰)()()()()(E [(X -x )2]=E (X 2)-2xE (X )+x 2=E (X 2)+[x -E (X )]2-E 2(X )=[x -E (X )]2+D (X )可见，当x =E (X )时，E [(X -x )2]取最小值D (X )则当2b a x +=时，有：D (X )=E {[X -E (X )]2}2222)2(])2[(])2[(])2[(a b a b E b a b E b a X E -=-=+-≤+-≤练习八一、1. AD 2. AD 3. B 4. D 5. ABD 二、(1)2/112)sin(1),(0=⇒==+⇒=⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-A A dxdy y x A dxdy y x f ππ(2)4)sin(21)(0πππ=+=⎰⎰dxdy y x x X E228)sin(21)(22222-+=+=⎰⎰ππππdxdy y x x X E2216)()()(222-+=-=ππX E X E X D同理可得：2216)( ,4)(2-+==πππY D Y E(3)12)sin(21)(22-=+=⎰⎰πππdxdy y x xy XY E 1612)()()(),(2ππ--=-=Y E X E XY E Y X Cov 328168)()(),(22-+-+-==ππππρY D X D Y X Cov XY 三、(1)设X i 为第i 个加数取整后的误差，则X i ~U[-0.5,0.5] (i =1, (1500)总误差∑==15001i i X X ，且125211500)()(,0)()(1500115001=⨯====∑∑==i i i i X D X D X E X E由独立同分布的中心极限定理：P {|X |>15}=1-P {|X |≤15}1802.0)34.1(22)553(22)125015()125015(1=Φ-=Φ-=--Φ+-Φ-≈(2)在(1)的假设下，设∑==ni i X X 1，有E (X )=0，12)(n X D =则求最小自然数n ，使P {|X |≤10}≥0.90，即65.112/1095.0)12/10(9.01)12/10(2)12/010()12/010(≥⇒≥Φ⇒≥-Φ=--Φ--Φn n n n n ⇒n ≤440.77⇒n =440为所求四、E (X )=E (Y )=μ, D (X )=D (Y )=σ2E (Z 1)=αE (X )+βE (Y )=μ(α+β), E (Z 2)=αE (X )-βE (Y )=μ(α-β)E (Z 1Z 2)=E (α2X 2-β2Y 2)=α2E (X 2)-β2E (Y 2)=α2[D (X )+E 2(X )]-β2[D (Y )+E 2(Y )]=α2(σ2+μ2)-β2(σ2+μ2) =(σ2+μ2)(α2-β2)D (Z 1)=α2D (X )+β2D (Y )=σ2(α2+β2), D (Z 2)=α2D (X )+β2D (Y )=σ2(α2+β2)22222222222121212121)()()()()()()()()(),(21βαβαβασβασρ+-=+-=-==Z D Z D Z E Z E Z Z E Z D Z D Z Z Cov Z Z 阶段自测一一、1. D 2. A 3. B 4. A 5. B二、1. 0 3/4 5/8 1/8 2. 1/2 1/[π(1+x 2)] 3. 20 16 4. 41 41 5. 1 三、X 的可能值为：2，3，4，5P {X =2}=101125=C =0.1 P {X =3}=104251212=C C =0.4 P {X =4}=103)1(2512=+C C =0.3 P {X =5}=1022512=C =0.2 得X 的分布律：E (X )=2×0.1+3×0.4+4×0.3+5×0.2=3.6E (X 2)=22×0.1+32×0.4+42×0.3+52×0.2=13.8 D (X )=E (X 2)-E 2(X )=0.84 四、令A i ：第i 台车床加工的零件；B ：废品，则A 1与A 2不相容 由已知：P (B |A 1)=0.03, P (B |A 2)=0.02, P (A 1)=2/3, P (A 2)=1/3由贝叶斯公式：25.0413/203.03/102.03/102.0)()|()()|()|(21222==⨯+⨯⨯==∑=i ii A P A B P A P A B P B A P 五、(1)1)(2)arcsin (lim )(lim ==+=+=--→→a F B A a x B A x F a x a x π0)(2)(lim )(=-=-=+-→a F B A x F a x π，则得：A =1/2, B =1/π(2)31)21arcsin 121()21arcsin 121()2()2(}22{=--+=--=<<-ππa F a F a X a P(3)⎪⎩⎪⎨⎧<-='=其它 ,0|| ,1)()(22a x x a x F x f π六、⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≤==⎰⎰---∞+∞-其它其它 ,01|| ,12,01|| ,1),()(21122x x x dy dy y x f x f x x X ππ同理：⎪⎩⎪⎨⎧≤-=其它,01|| ,12)(2y y y f Y πf (x ,y )≠f X (x )f Y (y )，则X 和Y 不独立012)()(112=-==⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E Xπ，同理：E (Y )=001),()0)(0(),(122==--=⎰⎰⎰⎰≤++∞∞-+∞∞-dxdy xy dxdy y x f y x Y X Cov y x , 则X 和Y 不相关七、设A i ：第i 次误差的绝对值不超过30米 , ξ~N (20,402)所求为：3321321)](1[1)()()(1)(i A P A P A P A P A A A P --=-=8698.0)]402030()402030(1[1}]30|{|1[133=--Φ+-Φ--=≤--=ξP八、⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-≤≤===≤dy dx x f y f dxdy y f x f dxdy y x f Y X P yyx Y X yx ])()([)()(),(}{21)]()([21)(21)()()()(222=-∞-+∞====+∞∞-+∞∞-+∞∞-⎰⎰F F y F y dF y F dy y F y f练习九一、1. C 2. A 3. C 4. C 5. A 二、(1)∵)1,0(~/N nX σμ- ∴}05.02)(05.0{}/21.0/2||{}1.0|{|n X n n P nn X P X P ≤-≤-=≤-=≤-μμμ153764.153695.01)05.0(2)05.0()05.0(≥⇒≥⇒≥-Φ=-Φ-Φ=n n n n n(2)n p p p np n X n D X D p np n X n E X E ni i n i i )1()1(1)1()( ,1)1()(211-=-=====∑∑==p (1-p )在p =1/2处取得最大值1/4,nX D X E X E p X E 41)(|)(|||22≤=-=-要使01.0||2≤-p X E ，只需1/4n ≤0.01，即n ≥25三、X 1,X 2,X 3,X 4~N (μ,σ2)，且相互独立⇒X 1-X 2~N (0,2σ2), X 3-X 4~N (0,2σ2)，且X 1-X 2与X 3-X 4相互独立则)1(~)2();1(~)2()1,0(~2);1,0(~2224322214321χσχσσσX X X X N X X N X X --⇒--)1,1(~)()()1,1(~)2()2(243221243221F X X X X F X X X X --⇒--⇒σσ 05.095.01)()(1)()(243221243221=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>--a X X X X P a X X X X P ⇒a =F 0.05(1,1)=161.4四、由题意知：)1,0(~)(212N X X C i i +- (i =1,2,3)22222122112)()]([σσσσ=⇒==+=+⇒-C C C X X C D i i又σ2212i i X X +- (i =1,2,3)是相互独立的，得Y ~χ2(3)，即自由度为3五、X 1,X 2,...,X 16相互独立，且)16(~)()1,0(~21612χσμσμ∑=-⇒-i i i X N X}32)({}8)({}32)(8{161216121612>--≥-=≤-≤=∑∑∑===i i i i i i X P X P X P P σμσμσμ=0.95-0.01=0.94六、X 1,X 2,...,X n 相互独立，且E (X i )=D (X i )=λn n nX n D X D n n X n E X E ni i n i i λλλλ======∑∑==2111)1()( ;1)1()()(112122X n X n S ni i --=∑=E (X i 2)=D (X i )+E 2(X i )=λ+λ2, 222)()()(λλ+=+=nX E X D X Eλλλλλ=--+-=)(11)(222n n n n S E练习十一、1. A 2. D 3. A 4. B 5. B 二、矩估计量:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++===+===⎰⎰∞+--∞+--22222122)()(θμθμθμθμθμμθμμμdx e x X E dx e x X E x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∑∑==ni i ni i X n A X X n A 1221111 令⎩⎨⎧==2211A A μμ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+∑=n i i X n X1222122θμθμθμ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==2122121ˆ1ˆX X n X X n X ni in i i θμ极大似然估计量:设x 1, x 2,..., x n 是相应于样本X 1, X 2,..., X n 的一个样本值 似然函数L (x 1, x 2,..., x n , μ, θ )=∑==--=--∏ni i i x n ni x ee1)(1111μθθμθθ(x i ≥μ, i =1,2,..., n )⇒ln L = -n ln θ -∑=-n i i x 1)(1μθ,令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=∂∂==∂∂∑=0)(1ln 0ln 12ni ixn L n L μθθθ⇒μ和θ无解∵x i ≥μ,取k nk x ≤≤=1min ˆμ,有 L =∑=--ni i x n e 1)(11μθθ≤∑=≤≤--ni k nk i x x n e 11)min (11θθ=∑=--ni i x n e 1)ˆ(11μθθ令g (θ )=∑=≤≤--ni k n k i x x n e 11)min (11θθ令0)(=∂∂θθg ⇒0)min (1112=-+-∑=≤≤ni k n k i x x n θ,得⎪⎩⎪⎨⎧-==≤≤=≤≤∑)min (1ˆmin ˆ111k nk n i i k nk x x n x θμ 三、似然函数L (x 1, x 2,..., x n , σ )=∑==-=-∏ni ii x nni x ee1||1||)2(121σσσ⇒ln L = -n ln(2σ) -∑=ni i x 1||σ= -n ln(2σ) -∑=ni ix1||1σ令0ln =∂∂L ⇒0||112=+-∑=n i i x n σσ⇒∑==n i i X n1||1ˆσ由大数定律,有: ∑∑==−→−ni iPn i i X E n X n 11||1||1 E |X i |=E |X |=dx e x dx e x dx e x xxx ⎰⎰⎰∞+-∞-∞+∞--⋅+⋅-=⋅00||2121)(21||σσσ=22σσ+=σ⇒σn n X E n ni i 1||11=∑==σ, 即σ−→−∑=P ni i X n 1||1⇒σˆ为σ的一致估计量 四、E (X )=2β, D (X )=122β⇒βˆ21)(ˆ=X E,2ˆ121)(ˆβ=X D 似然函数L (x 1, x 2,..., x n , β )=n ni ββ111=∏= (0≤x 1,..., x n ≤β)⇒ln L = -n ln β令0ln =∂∂βL ⇒0=-βn ⇒β无解∵L =n β1≤nn x )(1* (x n *=max(x 1,..., x n ))∴取*ˆn x =β时,有L (x 1, x 2,..., x n , β )≤L (x 1, x 2,..., x n ,βˆ) ∴21)(ˆ=X Emax(x 1,..., x n ), 121)(ˆ=X D [max(x 1,..., x n )]2 X 的观察值为1.3, 0.6, 1.7, 2.2, 0.3, 1.1时,最大值为2.2∴2.221)(ˆ⨯=X E=1.1, 22.2121)(ˆ⨯=X D =0.403 五、(1)证明连续型的情形: 设f (x )为X 的概率密度,则 P {|X -μ|≥ε}=dx x f y x ⎰≥-ε||)(≤dx x f x y x )()(||22⎰≥--εεμ≤dx x f x ⎰∞+∞--)()(22εμ=21εE (X -μ)2(2)∀ε >0, P {|t n -θ |<ε}=1-P {|t n -θ |≥ε}≥1-22)(1θε-n t E22)(1θε-n t E =)]()([122θθε-+-n n t E t D =}])([)({122θε-+n n t E t D=])([122n n K t D +ε=0)(1222−−→−+∞→n n n K σε∴1}|{|lim =<-∞→εθn n t P , 即t n 是θ的一致估计量 练习十一一、n =16, 1-α =0.95⇒α =0.05, σ2未知)1(-n t α=t 0.025(15)=2.131516029.01315.2705.2)1(2⨯-=--n t n s x α=2.6916029.01315.2705.2)1(⨯+=-+n t n s x α=2.72∴μ的置信度为0.95的置信区间为(2.69, 2.72) 二、n =9, 1-α =0.95⇒α =0.05)8()1(2025.022χχα=-n =17.535, )8()1(2975.0221χχα=--n =2.180 535.171218)1()1(222⨯=--n s n αχ=55.20, 180.21218)1()1(2212⨯=---n s n αχ=444.04 ∴σ2的置信度为0.95的置信区间为(55.20, 444.04) 三、μ1, μ2分别为一号方案和二号方案的平均产量n 1= n 2=8, α =0.05, x =81.63, 21s =145.70, y =75.88, 22s =101.98)2(212-+n n t α=t 0.025(14)=2.14, 2)1()1(21222211-+-+-=n n s n s n s ω=11.13212111)2(n n s n n t y x +-+--ωα= -6.162121211)2(n n s n n t y x +-++-ωα=17.66 ∴μ1-μ2的置信度为0.95的置信区间为(-6.16, 17.66)四、n 1= n 2=10, α =0.05, )1,1()1,1(122212--=--n n F n n F αα=F 0.05(9, 9)=4.0303.416065.05419.0)1,1(121222⋅=--n n F S S BA α=0.222 )1,1()1,1(11)1,1(112221222212122--=--=---n n F S S n n F S S n n F S S B ABA B A ααα 03.46065.05419.0⋅==3.601 ∴22BAσσ的置信度为0.95的置信区间为(0.222, 3.601) 五、∵212111)()(n n S Y X +---ωμμ~t (n 1+n 2-2)∴P {212111)()(n n S Y X +---ωμμ< t α(n 1+n 2-2)}=1-α∴P {2111n n S Y X +--ωt α(n 1+n 2-2)<μ1-μ2}=1-α∴μ1-μ2的置信度为1-α的置信下限为2111n n S Y X +--ωt α(n 1+n 2-2)x=0.14125, s 12=0.0000083, y =0.1392, s 22=0.0000052,7432221s s s +=ω=0.0025495 2111n n s y x +--ωt α(n 1+n 2-2)=0.14125-0.1392-0.00254955141+t 0.05(7)= -0.0011901≈ -0.0012 ∴μ1-μ2的置信度为0.95的置信下限为-0.0012六、∵S nX )(μ-~t (n -1), 且P {)1(|)(|2-<-n t S n X αμ}=1-α ∴P {nS n t X nS n t X )1()1(22-+<<--ααμ}=1-α∴μ的置信度为1-α的置信区间为(n S n t X )1(2--α,n S n t X )1(2-+α)此时n S n t L )1(2-=α⇒22222)]1([4)()]1([4)(-=-=n t n S E n t n L E αασ 阶段自测二一、1. 1 2. 21σnn - 11--n 3. F (1, n -1) 4. 11-n 5.二、1. AD 2. AC 3. CD 4. 三、(1)∵22)1(σnS n -~χ 2(n -1)∴P {22σn S ≤1.5}=P {22)1(σnS n -≤1.5(n -1)}≥0.95 ⇒P {22)1(σnS n ->1.5(n -1)}≤0.05⇒1.5(n -1)≥)1(205.0-n χ查χ 2分布表得满足上式的最小的n 为27 (2)∵n X σμ-~N (0,1), n n X E X E σσμμ⋅-=-||||, 令Y =nX σμ- ∴E |Y |=ππ22||2122=⎰∞+∞--dy ey y ∴nn X E ππμ24222||=⋅=-≤0.1⇒n ≥255 四、(1)矩估计量: μ1=E (X )=dx xe x ⎰+∞--θθ)(=1+θ, A 1=X令μ1=A 1⇒θ+1=X ⇒1ˆ-=X θ⇒∑∑==-=-=ni i ni i X n X n 111)1(111ˆθ 极大似然估计量: L (x 1,..., x n ,θ )=∑=--ni i x e1)(θ (x i ≥θ )⇒ln L = -∑=-n i i x 1)(θ, 令0ln =∂∂L ⇒θ无解∵x i ≥θ时L 非零 ∴当θ =i ni x ≤≤1min 时, L 有最大值⇒i n i X ≤≤=12min ˆθ (2))()1()ˆ(1X E X E E =-=θ-1=E (X )-1=θ+1-1=θ⇒1ˆθ是θ的无偏估计量 2ˆθ的分布函数G (y )=P {i ni x ≤≤1min ≤y }=1-P {ini x ≤≤1min >y } =1-P {X 1>y , X 2>y ,..., X n >y }=1-[1-F (y )]nX 的分布函数F (x )=⎩⎨⎧<≥---θθθx x e x,0 ,1)(⇒G (y )=⎩⎨⎧<≥---θθθy y e y n ,0 ,1)(⇒g (y )=G ' (y )=⎩⎨⎧<≥--θθθy y ne y n ,0 ,)(⇒ndy yne E y n 1)ˆ()(2+==⎰+∞--θθθθ⇒2ˆθ不是θ的无偏估计量 五、n 1=5, n 2=7, α=0.01103262842)1()1(22212221⨯+⨯=-+-+-=n n S n S n S B A ω=30.46 )2(212-+n n t α=t 0.05(10)=3.1693212111)2(n n s n n t x x B A +-+--ωα=63.47,212111)2(n n s n n t x x B A +-++-ωα=176.52 ∴所求置信区间为(63.47, 176.52) 六、七、E (T )=)()(21X bE X aE +=a μ+b μ=(a +b )μ=μ⇒T 是μ的无偏估计 T =21)1(X a X a -+ ∵1X 与2X 相互独立∴D (T )=222122221222212])1([)1()()1()(σσσn a n a n a n a X D a X D a -+=-+=-+则问题归结为求2212)1(n a n a -+的最小值, 令f (a )=2212)1(n a n a -+令0)(=da a df ⇒0)1(2221=--n a n a ⇒a =211n n n + )()(2)(2112121n n n a n n n n a f +-+='⇒a >211n n n +时, f '(a )>0; a <211n n n+时, f '(a )<0 ⇒f (a )在点211n n n +处取得最小值 ∴使D (T )达到最小值的a =211n n n +, b =212n n n+。
概率论课后习题解答
一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i(5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
概率论习题册答案中国地质大学
概率论习题册答案第一章 随机事件及其概率§1.1 样本空间与随机事件一、计算下列各题1.写出下列随机实验样本空间：(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；(3) 一只口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中抽取4只，观察它们具有哪种颜色；(4) 有C B A ,,三只盒子，c b a ,,三只球，将三只球，装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球情况；(5) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。
解 1（1）}18,,5,4,3{ ； （2）}10,,5,4,3{ ；（3）},,,,,,{RW BW B RB RW B W R ；其中B W R ,,分别表示红色，白色和蓝色； （4）{,,;,,;,,;,,;,,,,,}Aa Bb Cc Aa Bc Cb Ab Ba Cc Ab Bc Ca Ac Bb Ca Ac Ba Cb 其中Aa 表示a 求放在盒子A 中，可类推；（5）}1,0,0,0|),,{(=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示三段之长。
2. 设C B A ,,为三事件，用C B A ,,运算关系表示下列事件：（1）A 发生,B 和C 不发生； （2）A 与B 都发生, 而C 不发生； （3）C B A ,,均发生； （4）C B A ,,至少一个不发生； （5）C B A ,,都不发生； （6）C B A ,,最多一个发生； （7）C B A ,,中不多于二个发生； （8）C B A ,,中至少二个发生。
解 （1）C B A ；（2）C AB ；（3）ABC ；（4）A B C ++；（5）C B A ； （6）C B A C B A C B A C B A +++；（7）ABC ；（8）BC AC AB ++3．下面各式说明什么包含关系？(1) A AB = ； (2) A B A =+； (3) A C B A =++ 解 （1）B A ⊂； （2）B A ⊃； （3）C B A +⊃4. 设}7,6,5{ },5,4,3{ },4,3,2{A },10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{====ΩC B 具体写出下列各事件： (1) B A ， (2) B A +， (3) B A ， (4) BC A ， (5))(C B A +. 解 （1）{5}； (2) {1,3,4,5,6,7,8,9,10}； (3) {2,3,4,5}；(4) {1,5,6,7,8,9,10}； (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}。
概率论课后习题答案学版
概率论课后习题答案学版概率作业答案：第一章1―5节一(1) 仅A 发生; AB C (2) A、B、C都发生; ABC (4) A、B、C 不都发生; ABC(3) A、B、C都不发生; A B C(5) A不发生，且B、C中至少有一发生; A( B C )(6) A、B、C中至少有一个发生；A B C(7) A、B、C中恰有一个发生；AB C A BC A B C (8) A、B、C中至少有两个发生；ABC A BC AB C ABC 或AB BC AC(9) A、B、C中最多有一个发生。
A B C AB C A BC A B C 或AB BC AC 或A B B C A C概率作业答案：第一章1―5节二、单项选择题1.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件A 为( ) (A “甲种产品滞销，乙种) 产品畅销”; (B “甲、乙两种产品均畅) 销”; (C“甲、乙两种产品均滞) 销”; (D “甲种产品滞销或乙种) 产品畅销” 答案：A2.对事件A、B有B A, 则下述结论正确的是( ) ( A) A与B必同时发生；( B ) A发生，B必发生；(C ) B发生，A必发生；( D ) B 不发生，A必不发生。
答案：C3.对于任意两个事件A、B,与A B B不等价的是( ) ( A)A B;( B)B A;(C ) AB ;( D) A B .概率作业答案：第一章1―5节3.对于任意两个事件A、B,与A B B不等价的是( ) ( A) A B;( B) B A;(C ) AB ;( D) A B .A AB B, B A , AB AA , B B A B, 推不出A B= , 答案选D4.设A、B为任意两个事件，则下列各选项中错误的是( ) ( A)若AB , 则A ,B 可能不相容;( B )若AB , 则A , B 也可能相容; (C )若AB , 则A , B 也可能相容;(D )若AB , 则A , B一定不相容;.( A) AB , B A , A A B , 令B A , A B A A , A正确(B )若B A,AB , 则A B A A B , A B A B A , B 也对.__________概率作业答案：第一章1―5节对(C)令B A , 则AB , 但A B A A A .C也对正确答案; D。
概率论习题集与答案
概率论习题一、填空题1、掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是 .2、把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率.3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率 .4、()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则().P AB =5、()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P AB === 则(|).P B A B ⋃=6、掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为..7、设()0.4,()0.7,P A P A B =⋃= 假设,A B 独立，则().P B =8、设,A B 为两事件，11()(),(|),36P A P B P A B === 则(|).P A B = 9、设123,,A A A 相互独立，且2(),1,2,3,3i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概率是.10、某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为 .11、一枚硬币独立的投3次，记事件A =“第一次掷出正面〞，事件B =“第二次掷出反面〞，事件C =“正面最多掷出一次〞。
那么(|)P C AB = 。
12、男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的表示为互不相容事件的和是 。
15、,,A B C 中不多于两个发生可表示为 。
二、选择题1、下面四个结论成立的是〔 〕2、设()0,P AB =则以下说法正确的选项是〔 〕3、掷21n +次硬币，正面次数多于反面次数的概率为〔 〕4、设,A B 为随机事件，()0,(|)1,P B P A B >= 则必有〔 〕5、设A 、B 相互独立，且P (A )>0，P (B )>0，则以下等式成立的是〔 〕.A P (AB )=0.B P (A -B )=P (A )P (B ).C P (A )+P (B )=1 .D P (A |B )=06、设事件A 与B 互不相容，且P (A )>0，P (B ) >0，则有〔 〕.A P (AB )=l.B P (A )=1-P (B ) .C P (AB )=P (A )P (B ) .D P (A ∪B )=17、()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A B +=，则(|)P A B =〔 〕.A 0.2 .B 0.45 .C 0.6 .D8、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为〔 〕.A 0.125 .B 0.25.C 0.375 .D 0.509、设事件,A B 互不相容，()0.4P A =，()0.5P B =，则()P AB =〔 〕.A .B .C .D 110、事件A ，B 相互独立，且()0P A >，()0P B >，则以下等式成立的是〔 〕11、设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，1)|()|(=+B A P B A P ，则〔 〕．.A 事件A 与B 互不相容.B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立12、对于任意两事件A 和B ，)(B A P -=〔 〕．13、设A 、B 是两事件，且P 〔A 〕=0.6,P(B)=0.7则P 〔AB 〕取到最大值时是〔 〕.A 0.6 .B 0.7 .C 1 .D14、某人忘记了 号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。
概率论课后习题解答
一、习题详解：写出下列随机试验的样本空间：1某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中,至少要投5次以上,故}{ ,7,6,51=Ω；2掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；3观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷,所以}{ ,2,1,03=Ω； 4从编号为1,2,3,4,5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样,故两件产品不会相同,编号必是一大一小,故： 5检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格,则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；6观察某地一天内的最高气温和最低气温假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2;解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间,故：()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；7在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；8在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；设A,B,C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；6 A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；7 A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；8 A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一,有不同的表示方式;设样本空间}{20≤≤=Ωx x , 事件A =}{15.0≤≤x x ,}{6.18.0≤=x x B具体写出下列各事件：1AB ; 2 B A - ; 3 B A -; 4 B A ⋃（1）AB }{18.0≤=x x ；2 B A -=}{8.05.0≤≤x x ；3 B A -=}{28.05.00≤⋃≤≤x x x ;4 B A ⋃=}{26.15.00≤⋃≤≤x x x用作图法说明下列各命题成立：略用作图法说明下列各命题成立：略按从小到大次序排列)()(),(),(),(B P A P AB P B A P A P +⋃, 并说明理由.解：由于),(,B A A A AB ⋃⊆⊆故)()()(B A P A P AB P ⋃≤≤,而由加法公式,有：)()()(B P A P B A P +≤⋃若W 表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛, 且PW = ; PE = ,PWE = , 求下列事件的概率：1 昆虫出现残翅或退化性眼睛;2 昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛;3 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛.解：1 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：175.0)()()()(=-+=⋃WE P E P W P E W P(2) 由于事件W 可以分解为互斥事件E W WE ,,昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：1.0)()()(=-=WE P W P E W P3 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：825.0)(1)(=⋃-=E W P E W P . 设A 与B 是两个事件, PA = ; PB = ;试问：1 在什么条件下PAB 取到最大值 最大值是多少2 在什么条件下PAB 取到最小值 最小值是多少解：1 由于B AB A AB ⊆⊆,,故),()(),()(B P AB P A P AB P ≤≤显然当B A ⊆时PAB 取到最大值; 最大值是.2 由于)()()()(B A P B P A P AB P ⋃-+=;显然当1)(=⋃B A P 时PAB 取到最小值,最小值是.设PA = , PB = , PC = , PAB = 0, PAC = , PBC = , 求事件A,B,C 中至少有一个发生的概率.解：因为 PAB = 0,故 PABC = 0.C B A ,,至少有一个发生的概率为：7.0)()()()()()()()(=+---++=⋃⋃ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P计算下列各题：1 设PA = , PB = , PA ⋃B = , 求PAB;2 设PA = , PA ⋃B = , 求PAB;3 设PAB = PA B; PA = , 求PB;解：（1）通过作图,可以知道,3.0)()()(=-⋃=B P B A P B A P把3个球随机地放入4个杯子中,求有球最多的杯子中球数是1,2,3 概率各为多少解：用i A 表示事件“杯中球的最大个数为i 个” i =1,2,3;三只球放入四只杯中,放法有44464⨯⨯=种,每种放法等可能;对事件1A ：必须三球放入三杯中,每杯只放一球;放法4×3×2种,故83)(1=A P 选排列：好比3个球在4个位置做排列;对事件3A ：必须三球都放入一杯中;放法有4种;只需从4个杯中选1个杯子,放入此3个球,选法有4种,故161)(3=A P ;169161831)(2=--=A P 掷一颗匀称的骰子两次, 求前后两次出现的点数之和为3; 4; 5 的概率各是多少 解：此题为典型的古典概型,掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36;.出现点数和为“3”对应两个基本事件1,2,2,1;故前后两次出现的点数之和为3的概率为181; 同理可以求得前后两次出现的点数之和为4,5 的概率各是91,121; 在整数9,2,1,0 中任取三个数, 求下列事件的概率：(1) 三个数中最小的一个是5; 2 三个数中最大的一个是5.解：从10个数中任取三个数,共有120310=C 种取法,亦即基本事件总数为120;(1) 若要三个数中最小的一个是5,先要保证取得5,再从大于5的四个数里取两个,取法有624=C 种,故所求概率为201; 2 若要三个数中最大的一个是5,先要保证取得5,再从小于5的五个数里取两个,取法有1025=C 种,故所求概率为121; 12只乒乓球中有4 只是白色球, 8 只是黄色球;现从这12 只乒乓球中随机地取出两只, 求下列事件的概率：1 取到两只黄球;2 取到两只白球;3 取到一只白球, 一只黄球.解：分别用321,,A A A 表示事件：1 取到两只黄球;2 取到两只白球;3 取到一只白球, 一只黄球.则,111666)(,33146628)(212242212281======C C A P C C A P 3316)()(1)(213=--=A P A P A P ; 已知4.0)(,7.0)(==B P A P ,5.0)(=B A P , 求).)((B B A P ⋃ 解：)())()(()())(())((B P B B AB P B P B B A P B B A P ⋃=⋂⋃=⋃ 由于0)(=B B P ,故5.0)()()()()())((=-==⋃B P B A P A P B P AB P B B A P 已知4.0)(,6.0)(==B P A P ,5.0)(=B A P ; 计算下列二式：1);(B A P ⋃2);(B A P ⋃解：1;8.05.04.01)()(1)()()()(=⨯-=-=-+=⋃B A P B P AB P B P A P B A P 2;6.05.04.01)()(1)()()()(=⨯-=-=-+=⋃B A P B P B A P B P A P B A P 注意：因为5.0)(=B A P ,所以5.0)(1)(=-=B A P B A P ;一批产品共20 件, 其中有5 件是次品, 其余为正品;现从这20 件产品中不放回地任 意抽取三次, 每次只取一件, 求下列事件的概率：1 在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品;2 第三次才取到次品;3 第三次取到次品.解：用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”3,2,1=i ,则i A 表示事件“第i 次取到的是次品”3,2,1=i ;11212115331421(),()()()20441938P A P A A P A P A A ====⨯= (1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为： 3125()18P A A A =;2 事件“第三次才取到次品”的概率为：（3）事件“第三次取到次品”的概率为：41此题要注意区分事件1、2的区别,一个是求条件概率,一个是一般的概率;再例如,设有两个产品,一个为正品,一个为次品;用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”2,1=i , 则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：1)(12=A A P ；而事件“第二次才取到次品”的概率为：21)()()(12121==A A P A P A A P ;区别是显然的; 有两批相同的产品, 第一批产品共14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二批有10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中;今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中, 然后再从第二箱中任取一件, 求从第二箱中取到的是次品的概率;解：用)2,1,0(=i A i 表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i ”;用B 表示事件“从第二箱中取到的是次品”;则211212122201222214141466241(),(),(),919191C C C C P A P A P A C C C ⨯====== 01()12P B A =,12()12P B A =,23()12P B A =,根据全概率公式,有：一等小麦种子中混有5%的二等种子和3%的三等种子;已知一、二、三等种子将来长出的穗有50 颗以上麦粒的概率分别为50%, 15% 和10%;假设一、二、三等种子的发芽率相同,求用上述的小麦种子播种后, 这批种子所结的穗有50 颗以上麦粒的概率.解：设)3,2,1(=i A i 表示事件“所用小麦种子为i 等种子”,B 表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”;则123()0.92,()0.05,()0.03,P A P A P A ===1()0.5P B A =,2()0.15P B A =,3()0.1P B A =,根据全概率公式,有：设男女两性人口之比为51 : 49, 男性中的5% 是色盲患者, 女性中的% 是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人, 恰好是色盲患者, 求此人为男性的概率; 解：用B 表示色盲,A 表示男性,则A 表示女性,由已知条件,显然有：,025.0)(,05.0)(,49.0)(,51.0)(====A B P A B P A P A P 因此：根据贝叶斯公式,所求概率为：151102)()()()()()()()()()()()(=+=+==A B P A P A B P A P A B P A P B A P AB P AB P B P AB P B A P 根据以往的临床记录, 知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为, 非癌症患者因对这试验呈阳性反应的概率为, 被试验者患有癌症的概率为;若某人对试验呈阳性反应, 求此人患有癌症的概率解：用B 表示对试验呈阳性反应,A 表示癌症患者,则A 表示非癌症患者,显然有：,01.0)(,95.0)(,995.0)(,005.0)(====A B P A B P A P A P因此根据贝叶斯公式,所求概率为：仓库中有10 箱同一规格的产品, 其中2 箱由甲厂生产, 3 箱由乙厂生产, 5 箱由丙厂生产, 三厂产品的合格率分别为95%; 90% 和96%.1 求该批产品的合格率;2 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率各是多少解：设,},{},{},{321产品为丙厂生产产品为乙厂生产产品为甲厂生产===B B B}{产品为合格品=A ,则1根据全概率公式,94.0)()()()()()()(332211=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P ,该批产品的合格率为.2根据贝叶斯公式,9419)()()()()()()()()(332211111=++=B A P B P B A P B P B A P B P B A P B P A B P 同理可以求得4724)(,9427)(32==A B P A B P ,因此,从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：4724,9427,9419; 甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次, 他们击中目标的概率分别为, 和 ,求目标被击中的概率;解：记A ={目标被击中},则994.0)7.01)(8.01)(9.01(1)(1)(=----=-=A P A P在四次独立试验中, 事件 A 至少发生一次的概率为, 求在三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率.解：记4A ={四次独立试验,事件A 至少发生一次},4A ={四次独立试验,事件A 一次也不发生};而5904.0)(4=A P ,因此4096.0)()()(1)(444===-=A P A A A A P A P A P ;所以2.08.01)(,8.0)(1=-==A P A P三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为：384.064.02.03))(1)((213=⨯⨯=-A P A P C ;。
概率论部分习题及答案
7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,1)(x x x f 于是有.6.053)()30(3===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321≈=-==>===-∞+-∞+-⎰e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800≈=-==>-∞+-∞+-⎰ee dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45≈-=>-=≤-eX P X P ，进一步有638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上的概率． 解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈∀，有xex F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ⊂，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥====≥+≥tst s e e e λλλ--+-=----=]1[1]1[1)(． 另一方面，我们有t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．（２）由题设，知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-．，；，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰⎰e e dx e dx xf X P s X s X P xx ．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211-=；（2）2)3(2X X Y -=． 解：X 的分布律为（1）X Y 211-=的分布律为（2）2)3(2X XY -=的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)1(2)(2x x x x f π求随机变量函数X Y ln =的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yX yY e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<=所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为)( )1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f y yyyyyXYY π，即)( )1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f yyY π． ８ 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布． 解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan(),(y C x B A y x F ++=． 求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度．解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞+=∞+-∞F F F ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA =（2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2y x y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy ++==π （3）X 及Y 的边缘分布函数分别为 xxxX xdx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2arctan1)4(2),()(2ππ2arctan 121x π+=yxyY ydy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3arctan1)9(3),()(2ππ3arctan 121y π+=X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ )4(2)3arctan 31()4(1122022x y x +=+⋅=∞+ππ ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dx x y dx y x dx y x f y f Y ππ)9(3)2arctan 21()9(122022y x y +=+=∞+ππ三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f 求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率． 解：（1）由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ，有16132==⎰⎰∞+∞+--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x xy⎩⎨⎧>>--=--其它0,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰00020006),()(2032x x ex x dye e dy y xf x f xy x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰0030006),()(3032y y ex x dxe e dx y xf y f yy x Y（4）⎰⎰⎰⎰---==∈x y xRdy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(636271)(2---⎰-=-=e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰Cx x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92=C ．故有 ⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx2713)322(92922132102=-++=x x x x ．13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(<-≤-=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ (2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---= .0402.09973.09625.02=--二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯= 故0456.09544.01=-=p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--= 于是有86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．四、设随机变量),(~2σμN X ，求随机变量函数Xe Y =的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f x X σμσπ从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y ． 当0>y 时，有dx ey X P y F yx Y ⎰∞---=≤=ln 2)(2221)ln ()(σμσπ．此时亦有222)(ln 21)(σμσπ--='y Y eyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=--.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y σμσπ五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z =2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=； 222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=． (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++=212222212221μσμσσσ++=．四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求：（1） 任一时刻有70至86台车床在工作的概率； （2） 任一时刻有不少于80台车床在工作的概率． 解：设ξ表示“任一时刻正在工作的车床数”，则)8.0,100(~B ξ．808.0100=⨯=ξE ． 16)8.01(8.0100=-⨯⨯=ξD ．（1）)5.2()5.1()168070()168086()8670(1,01,01,01,0-Φ-Φ=-Φ--Φ≈<<ξP 927.019938.09332.0)]5.2(1[)5.1(1,01,0=-+=Φ--Φ=（2）)16800()168080([1)800(1)80(1,01,0-Φ--Φ-≈<<-=≥ξξP P )20()0(2)20()0(11,01,01,01,0Φ-Φ-=-Φ+Φ-=5.015.02=--=．五、在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费．在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元．问： （1） 保险公司亏本的可能性是多大？（2） 保险公司一年的利润不少于50000元的概率是多少？ 解：设X 表示“一年内死亡的人数”，则)006.0,10000(~B X ．60006.010000=⨯=EX ． 84.59)006.01(006.010000=-⨯⨯=DX ．（1）)84.596012084.596084.59600(1)1200(1)12100001000(-≤-≤--≈≤≤-=⨯>ξP X P X P 0)7.7(22)]7.7()7.7([11,01,01,0=-=---≈ΦΦΦ．即保险公司不可能亏本．（2）)84.591084.596084.5960()700()5000010001210000(≤-≤-=≤≤=≥-⨯X P X P X P9032.01)756.7()293.1()756.7()293.1(≈-Φ+Φ=-Φ-Φ≈． 即保险公司一年利润不少于50000元的概率为9032.0．。
最新太原理工大学概率论习题册答案解析
i 1,2,3 则
1 须检修 ，其分布列为： Xi 0 不须检修
X1 0 1 p 0.6 0.4
X2 p
0 1 0.5 0.5
X3 p
0 1 0.4 0.6
所以 E ( X1 X 2 X 3 ) 0.4 0.5 0.6 1.5
五、设随机变量 X 的概率密度为 x , 1 0 x cos f x 2 2 , 其它 0 对X独立地重复观察4次， Y表示观察值大于 2 的次数，求 E (Y )。 3
七、设随机变量 X 与 独立，且均服从正态 Y 1 分布 N (0，求 及 , ) E (min( X , Y )) E (、 X Y )
2 E (max( X , Y ))
解：因为 X Y ~，所以 N (0,1)
E( X Y )
又
1 max X , Y ( X Y X Y ) 2 1 min X , Y ( X Y X Y ) 2
2 使 cY 服从 分布。
解：因为 ( X1 X 2 X 3 ) ~ N (0,3)
( X 4 X 5 X 6 ) ~ N (0,3) 所以
X1 X 2 X 3 2 X 4 X 5 X 6 2 ( ) ( ) ~ 2 (2) 3 3 1 故 c。 3 五． 的简单随机样本， n 16 X ~ N (，抽取样本容量 , 2 )
2 2 2 X2 X4 X 2 2 n ~ ( n) 2
2 X 12 X 32 X 2 n ~ F ( n, n ) n 1 Y1 2 2 2 2 2 2 X2 X4 X 2 X X X n 2 4 2n n
2 X 12 X 32 X 2 n 1
概率论与数理统计练习册参考答案
概率论与数理统计练习册 参考答案第1章 概率论的基本概念 基础练习 1.11、C2、C3、D4、A B C ++5、13{|02}42x x x ≤<≤<或，{}12/1|<<x x ，Ω6、{3}，{1,2,4,5,6,7,8,9,10}，{1,2,6,7,8,9,10}，{1,2,3,6,7,8,9,10}7、（1) Ω={正，正，正，正，正，次}，A ={次，正}（2）Ω={正正，正反，反正，反反}，A ={正正，反反}，B={正正，正反}（3） 22{(,)|1}x y x y Ω=+≤,22{(,)|10}A x y x y x =+<<且 （4）Ω={白，白，黑，黑，黑，红，红，红，红}，A={白}，B={黑} 8、（1)123A A A (2) 123123123A A A A A A A A A ++ (3)123A A A ++ (4) 123123123123A A A A A A A A A A A A +++ (5) 123123A A A A A A +9、（1）不正确 （2）不正确 （3）不正确 （4）正确 （5） 正确 （6）正确（7）正确 （8）正确10、（1）原式=()()()A B AB A B AB A B A B B -==+= （2）原式=()()A A B B A B A AB BA BB A +++=+++= （3）原式=()AB AB =∅11、证明：左边=()AAB B A A B B AB B A B +=++=+=+=右边 1.21、C2、B3、B4、0.85、0.256、0.37、2226C C 8、0.081 9、2628C C10、3()()()()()()()()4P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+=11、解：设,,A B C 分别表示“100人中数学，物理，化学不及格的人数” 则{10},{9},{8}A B C ===，{5},{4},{4},{2}AB AC BC ABC ====100()84ABC A B C =-++=12、解：设A 表示“抽取3个球中至少有2个白球”21343437()C C C P A C +=13、解：（1）设A 表示“10件全是合格品”，则109510100()C P A C = (2) 设B 表示“10件中恰有2件次品”，则8295510100()C C P B C = 14、解：（1）设A 表示“五人生日都在星期日”，51()7P A =（2）设B 表示“五人生日都不在星期日”， 556()7P B = （3）设C 表示“五人生日不都在星期日”，55516()177P C =-- 15、解：{(,)|01,01}x y x y Ω=≤≤≤≤设A 表示“两人能会到面”，则1{(,)|}3A x y x y =-≤， 所以5()9P A =1.31、0.8，0.252、0.63、0.074、23 5、0.56、注：加入条件()0.4P B =解：()()0.1P AB P A ==，()()0.4P A B P B +==()()0.9P A B P AB +==，()(|)0.25()P AB P A B P B ==7、解：设A 表示"13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”则5332131313131352()C C C C P A C =，8、解：设123,,A A A 分别表示“零件由甲，乙，丙厂生产”，B 表示“零件时次品” 则112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.20.050.40.040.40.030.036=⋅+⋅+⋅=9、解：设123,,A A A 分别表示“甲，乙，丙炮射中敌机”， 123,,B B B 分别表示“飞机中一门，二门，三门炮”，C 表示“飞机坠毁”。
南通大学概率论习题集答案
南通大学概率论习题集答案南通大学概率论习题集答案概率论是一门研究随机现象的数学学科，它在现代科学和工程领域中起着重要的作用。
南通大学概率论习题集是一本经典的教材，其中包含了丰富的习题，涵盖了概率论的各个方面。
本文将为大家提供南通大学概率论习题集的答案，并对其中一些重要的概念和问题进行解析。
第一章：概率论基础第一章主要介绍了概率论的基本概念和性质。
在这一章中，我们学习了事件、样本空间、概率的定义和性质等内容。
在习题集中，有很多关于概率的计算和性质证明的题目。
例如，习题1.1要求计算一个骰子抛掷两次，两次点数之和为7的概率是多少。
答案是1/6，因为在两次抛掷中，点数之和为7的情况只有一种，即第一次抛掷得到4点，第二次抛掷得到3点。
第二章：条件概率和独立性第二章介绍了条件概率和独立性的概念。
条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
独立性是指两个事件之间的发生与否互不影响。
在习题集中，有很多关于条件概率和独立性的计算和证明题目。
例如，习题2.1要求计算从一副扑克牌中抽取两张牌，第一张是红桃的概率。
答案是1/2，因为一副扑克牌中有52张牌，其中有26张红桃，所以第一张是红桃的概率是26/52=1/2。
第三章：随机变量及其分布第三章介绍了随机变量的概念和分布的性质。
随机变量是指在随机试验中的每个结果都对应一个实数的变量。
分布是指随机变量取各个值的概率分布情况。
在习题集中，有很多关于随机变量和分布的计算和证明题目。
例如，习题3.1要求计算一个骰子抛掷一次，点数为奇数的概率。
答案是1/2，因为在六个可能的点数中，有三个是奇数，所以点数为奇数的概率是3/6=1/2。
第四章：随机变量的数字特征第四章介绍了随机变量的数字特征，包括数学期望、方差和协方差等。
数学期望是指随机变量的平均值，方差是指随机变量离其数学期望的平均偏差的平方。
协方差是指两个随机变量之间的线性相关性。
在习题集中，有很多关于数字特征的计算和证明题目。
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概率练习答案第一章练习一一、填空：1、b 表示不中，z 表示中（1） zzz,zzb,zbz,bzz,zbb,bzb,bbz,bbb （2）0,1,2,3,4,5 （3）1,2,3,4,5,（4）z,bz,bbz,bbbz,bbbbz. …2、（1）A B ⋃（2）AB （3）AB AB ⋃（4）AB （5）__B A AB ⋃ 3、（1）A B C ⋃⋃ （2）ABC ABC ABC ABC ⋃⋃⋃ 4、（1）成立（2）不成立（3）不成立（4）成立5、（1）∅（2）]2,5.1[)1,5.0()25.0,0[⋃⋃（3）B （4） A6、（1）11,279 （2）121二、解答题：1、不相容A 与D ，B 与D ，C 与D 。
相容B 与C ， 对立事件B 与D2、（1）{奇奇，奇偶，偶奇，偶偶} （2）1C AB AB =⋃、2C AB AB =⋃3、a/a+b 第一章练习二一、1-5 1、 ( A ) 2、(C ) 3、 ( B) 4、 ( B ) 二、1、p -1， 2、0.82 3、1-p-q 4、c-b,(c-b)/(1-b) 三、1、（1）0.4 （2）0.2 2、0.99 3、52.0)(,7.0)/(,7.0)/(=⋃==B A P A B P B A P第一章练习三一、1、132、0.843、31P -4、0.684二、1、0.55 2、0.18；49 3、 474、 (1) 0.0125 (2) 0.645、05.0)99.0(95.0)99.0(1≤⇒≥-x x三、事件A 、B 独立，当且仅当()()()()P AB P AB P AB P AB = 必要性易证充分性：[()()][()()]()[1()()()]P B P AB P A P AB P AB P A P B P AB --=--+化简可得()()()P A P B P AB =第一章练习四（小结）一、1、 ( C ) 2、( B ) 3、 (A) 4、 （B ）5、（B ）二、1、0.6 2、（1-p ）(1-q ) 3、0.243 4、0.7，0； 0.58，0.12； 0.4，0.3；5、31 三、1、68117, 2、2021 3、(1)n nnk k N --4、0.935、0.0077；6、4ln 4143- 四、1、A,B 独立 ，A 、C 独立，但A 与C B 可能不独立2、由1)(=A P 易知，且)()(B P AB P =,)()()(B P B P A P =故有)()()(B P A P AB P =所以事件A 与事件B 必定相互独立 五、证明：A 与B 独立⇒A 与B 独立⇒)()/(),()/(B P A B P B P A B P ==⇒)/()/(A B P A B P =)/()/(A B P A B P =⇒)(1)()()()()(A P AB P B P AAB P A P AB P --== ⇒)]()([)](1)[(AB P B P P A P AB P -=-⇒)()()(B P A P AB P =第二章练习一一、 1、01230.0010.0270.2430.729X P 2、)2,1,0(!}{ ===-k k e k X P k λλ3、1{}(1),1,2k P X k p p k -==-= 4、2411,,,3533 5、12二、1、234567*********23456543213636363636363636363636X P2、（1）22325334333366661342X C C C C PC C C C 即234133111020202XP(2)345613312020102Y P3、（1）123477711030120120XP（2）137{}()(),1,21010k P X k k -==⨯= 4、因!22λλλλ--=e e，得2=λ， 所以22432!42}4{--===e e X P 5、因95)1(1}0{1}1{2=--==-=≥p X P X P ，所以31=p 故2719)1(1}0{1}1{3=--==-=≥p Y P Y P 第二章练习二一、1、C ，2、A ，3、B ，4、D二、1、1()F a -，()()F b F a -，0 2、π21 3、12e -4、1120.30.30.4Y P - 5、14三、1、（1）因1)22(4330=-+⎰⎰dx x kxdx ，得61=k （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><≤-+-<≤<==⎰∞-3143324301200)()(22x x x x x x x dx x f x F x2、54}4{2=≥Z P 3、证：当12x x <，2112112221()()(()())(()())0F x F x a F x F x b F x F x -=-+->； 120()()()1,(0,0)F x aF x bF x a b a b ≤=+≤+=>>； 1212(0)(0)(0)()()()F x aF x bF x aF x bF x F x +=+++=+=.第二章练习三答案一、1、B ，2、A ，3、C ，4、D ，5、D 二、1、014911711530530Y P2、1()a μσ--Φ，2()1a μσ-Φ-，22()a μσ--Φ3、0.34134、当)()(,0a b x F y F a X Y -=>； 当)(1)(,0abx F y F a X Y --=< 5、(0,1)N三、1、（1）2(3)433()20x Y x e x f x --⎧-⎪≥-=⎨⎪⎩其它，（2）0()0xY e x f x -⎧>=⎨⎩其它，（3）22()2,xx e Y f x e x R -=∈ 2、由()y bx h y a-==，有22[()]2()()[()]()()y a b a Y X f y f h y h y y μσ-+-'==-∞<<+∞故2(,())Y aX b N a b a μσ=++ . 第二章练习四答案一、1、D ，2、C ，3、D ，4、C 5、A 二、1、1， 2、21)0(1=Φ-， 3、0.5， 4三、1、(1)因1}{1==∑+∞=k k X P ,所以可得C =1(2)43431321211}3{=⨯+⨯+⨯=≤X P , ))1(1)1(1)1(1}{2112221121+-+=+⨯++⨯+=≤≤n n n n n n n n n X n P 2、 由2()2{0}xX f x eI x -=≥与1()ln 2x h y y ==-，(0,1]y ∈可得：1()[()](){01}2{01}{01}2Y X f y f h y h y I y y Iy I y y'=<≤=-<≤=<≤，故：2(0,1)x Y e U -= . 3、（1）因1}{1==∑+∞=k k X P ,所以可得101=a ， （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=4,143,6.032,3.0211.01,0)(x x x x x x F ， （3）04、因222{24}{0}()(0)0.3X P X P σσσ-<<=<<=Φ-Φ=，故222{0}{}()0.2X P X P σσσ-<=<-=Φ-=.5、47,23=-=b a 6、（1）A=1，B=1- （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00)(22x x xex f x（3）212}21{--+-=<<e e X P第三章练习一答案2、10，3、⎩⎨⎧∉∈=G y x Gy x y x ),(0),(6),(ϕ，4、2122)(1121)(σσπϕa x ex --=，2222)(2221)(σσπϕb y ey --=（其中x,y 为一切实数）二、1、 Y X 0 10 212210P P 21212110P C C 1 21212110P C C 21222P P即 Y X 0 12215 335 1 335 6612、因⎩⎨⎧∉∈=G y x Gy x y x f ),(0),(1),(，所以有⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰-∞+∞-其它01021),()(x x dy dy y x f x f xxX ， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-=≤≤-+===⎰⎰⎰-∞+∞-其它010110111),()(11y y dx y y dx dx y x f y f yy Y3、因1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，得111--=eb ⎪⎩⎪⎨⎧<<-===--∞+--∞+∞-⎰⎰其它0101),()(10x e e dy be dy y x f x f xy x X4、1220165{1}()372xxy P X Y x dxdy -+≥=+=⎰⎰第三章练习二答案一、1、0.34，2、85，3、21，4、55,2128，5、⎩⎨⎧≥≥=+-其它00,0),()(y x e y x f y x二、1、因为对所有的i,j ，都有}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====2、(1)因⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤--=其它0,))((),(1d y c b x a c d a b y x f得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它0,)()(1b x a a b x f X ，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它0)()(1dy c c d y f Y ，所以对任意的实数x,y ，都有)()(),(y f x f y x f Y X =成立，故x 与y 是独立的。
(2)因22221(,)0 x y rf x y r π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它，得,()0X r x r f x -≤≤=⎪⎩其它,()0Y r y r f y -≤≤=⎪⎩其它所以不是对任意的实数x,y ，都有)()(),(y f x f y x f Y X =成立，故x 与y 不是独立的。
3、由已知得⎩⎨⎧≤≤-=其它,10)2(4.2)(2x x x x f X ⎩⎨⎧≤≤+-=其它0,10)43(4.2)(2y y y y y f Y所以不是对任意的实数x,y ，都有)()(),(y f x f y x f Y X =成立，故x 与y 不是独立的。
第三章练习三答案一、1、0.5， 2、)1,(2σμn N ， 3、⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-=--其它01)1(101)(z e e z e z f z z Z4、因⎩⎨⎧>-=-其它,00,1)(2min z e z F z ，所以服从参数为21的指数分布。