数值分析课程设计积分方法的
数值分析课件第八章-数值积分
数值积分在金融学中用于计算金融工具的定价和风险管理。
计算机图形学
数值积分在计算机图形学中用于渲染算法，如光线跟踪和体积渲染。
数值积分的实际案例分析
我们将通过一些实际案例来展示数值积分的应用。从计算物体的表面积和体 积，到求解定积分的数值解，数值积分在各个领域都发挥着重要的作用。
数值积分的优缺点
数值分析课件第八章-数 值积分
欢迎来到数值分析课件第八章的演示！今天我们将学习数值积分，探讨其定 义、基本方法、误差分析、应用领域，以及优缺点。让我们一起深入了解这 个有趣而重要的主题吧！
数值积分的定义和概念
数值积分是一种计算数学中广泛应用的技术，通过离散化连续函数来估计曲线下的面积。它通过将曲线 划分为小矩形、小梯形或小区间，并计算其面积来实现。
数值积分的基本方法
1
矩形法
矩形法是最简单的数值积分方法之一，将曲线划分为多个小矩形，并计算每个小 矩形的面积后累加。
2
梯形法
梯形法将曲线划分为多个小梯形，并计算每个小梯形的面积后累加。它比矩形法 更精确，但仍然是一种近似方法。
3
辛普森法
辛普森法通过将曲线划分为多个小区间，并使用二次多项式拟合每个小区间的曲 线来计算积分。它比矩形法和梯形法更准确。
1 优点：快速准确
数值积分可以快速计算曲线下的面积，并提供较准确的结果。
2 缺点：近似误差
由于离散化和近似计算的原因，数值积分结果可能存在一定的误差。
总结和展望
通过本次课程，我们深入了解了数值积分的定义、基本方法、误差分析、应 用领域和优缺点。希望这些知识能够帮助您更好地理解和应用数值积分技术。
数值积分的误差分析
1 截断误差
数值积分的截断误差是由将连续函数离散化为小区间所引入的误差。它可以通过控制小 区间的大小来减小。
数值分析导论第三版课程设计
数值分析导论第三版课程设计介绍本文档是关于数值分析导论第三版课程设计的说明。
本课程设计旨在帮助学生初步掌握数值分析的基础知识和方法，并且能够通过程序实现对数值计算问题的求解。
本课程设计包括以下内容：1.基本数值方法的实现2.数值微积分的求解3.数值代数方程组的求解4.课程设计报告的撰写实验环境本课程设计需要使用以下软件：1.Python编程语言（版本3.6以上）2.Jupyter Notebook（版本4.0以上）实验基本要求1.课程设计可组队，每组不超过3人。
2.课程设计需要完成以下内容：–基本数值方法的实现•包括二分法、牛顿法、割线法等方法的实现•可以针对不同的数值计算问题，选择合适的数值方法进行实现–数值微积分的求解•包括梯形公式、辛普森公式等方法的实现•可以针对不同的数值微积分问题，选择合适的数值方法进行实现–数值代数方程组的求解•包括高斯消元法、LU分解法等方法的实现•可以针对不同的数值代数方程组问题，选择合适的数值方法进行实现–课程设计报告的撰写•报告需要包括以下内容：实验目的、实验方法、实验结果、代码清单实验题目1.二分法求根–实现二分法求方程f(x)=0的根。
–可以选择针对不同的目标函数进行求解。
2.牛顿法求根–实现牛顿法求方程f(x)=0的根。
–可以选择针对不同的目标函数进行求解。
3.割线法求根–实现割线法求方程f(x)=0的根。
–可以选择针对不同的目标函数进行求解。
4.梯形公式求积分–实现梯形公式求解目标函数f(x)的定积分。
–可以选择针对不同的目标函数进行求解。
5.辛普森公式求积分–实现辛普森公式求解目标函数f(x)的定积分。
–可以选择针对不同的目标函数进行求解。
6.高斯消元法求解线性方程组–实现高斯消元法求解线性方程组Ax=b。
–可以选择不同的系数矩阵A和方程组右侧的常向量b进行求解。
实验过程1.确定目标函数–根据实验要求选择合适的目标函数，或者自定义目标函数。
2.理解目标函数的性质–分析目标函数的连续性、可导性、多峰性、收敛性等性质，为选择合适的数值方法提供依据。
大学数值分析课程设计
大学数值分析课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解数值分析的基本概念，掌握数值计算方法及其数学原理；2. 掌握线性代数、微积分等基本数学工具在数值分析中的应用；3. 学会分析数值算法的稳定性和误差，评估数值结果的正确性。
技能目标：1. 能够运用数值分析方法解决实际工程和科学研究问题；2. 掌握常用数值分析软件的使用，提高数据处理和问题求解的效率；3. 培养编程实现数值算法的能力，提高解决复杂问题的技能。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数值分析的浓厚兴趣，激发学习积极性；2. 培养学生的团队合作精神，提高沟通与协作能力；3. 增强学生的数学素养，使其认识到数学在科学研究和社会发展中的重要性。
课程性质分析：本课程为大学数值分析课程，旨在教授学生数值计算的基本理论和方法，培养学生解决实际问题的能力。
学生特点分析：学生具备一定的高等数学基础，具有较强的逻辑思维能力和抽象思维能力。
教学要求：1. 注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力；2. 鼓励学生主动参与讨论，培养学生的创新意识和解决问题的能力；3. 结合实际案例，强化学生对数值分析在工程和科研中的应用认识。
二、教学内容1. 数值分析基本概念：包括误差分析、稳定性、收敛性等；教材章节：第一章 数值分析概述2. 数值线性代数：矩阵运算、线性方程组求解、特征值与特征向量计算等；教材章节：第二章 线性代数的数值方法3. 数值微积分：数值积分、数值微分、常微分方程数值解等；教材章节：第三章 微积分的数值方法4. 非线性方程与系统求解：迭代法、牛顿法、弦截法等；教材章节：第四章 非线性方程与系统的数值解法5. 优化问题的数值方法：线性规划、非线性规划、最小二乘法等；教材章节：第五章 优化问题的数值方法6. 数值模拟与数值实验：蒙特卡洛方法、有限元方法、差分方法等；教材章节：第六章 数值模拟与数值实验7. 数值软件应用：MATLAB、Python等数值计算软件在数值分析中的应用；教材章节：第七章 数值软件及其应用教学进度安排：第1-2周：数值分析基本概念第3-4周：数值线性代数第5-6周：数值微积分第7-8周：非线性方程与系统求解第9-10周：优化问题的数值方法第11-12周：数值模拟与数值实验第13-14周：数值软件应用及综合案例分析教学内容确保科学性和系统性，注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力。
数值分析积分实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。
实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。
高斯求积公式-数值分析课程设计2
一、 引言介绍高斯型求积公式，并使用其求积分⎰=1sin I xdx 。
要求：数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。
我们知道,求积公式⎰∑=≈bani i ix f Adx x f 0)()( （1.1）含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程mk dx x x A bakni ki i ,,2,1,0,==⎰∑= (1.2)精确成立。
作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度；另一方面,令)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式)()(21x x f n +=ω而言，(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(21x n +ω不准确成立。
但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出22+n 个独立条件,所以m最大取12+n 。
因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确度最小是n ,最大是12+n ．由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。
为解决上述问题，首先要先给出三个定理：定理一：以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即⎰=+ban dx x x P 0)()(1ω (1.3)定理二：高斯公式(1.1)的求积系数k A 全为正,且nk dx x l dx x l A bak bak k ,1,0,)()(2===⎰⎰(1.4)定理三：对于高斯公式(1.1),其余项为dxx fn f R ban n ⎰+++=)()()!22(1)(21)22(ωη (1.5)其中).())(()(],,[101n n x x x x x x x b a ---=∈+ ωη证明 以n x x x ,,,10 为节点构造)(x f 的埃尔米特插值多项式)(x H),()(i i x f x H = ni x f x H i i ,1,0),()(='='因为)(x H 是12+n 次多项式,而它的余项是)()()!22(1)()(21)22(x fn x H x f n n +++=-ωξ所以高斯公式(7.5.1)对)(x H 能准确成立,即∑∑⎰====ni i in i iibax f Ax H A dx x H 0)()()(从而dxx fn dxx H dx x f x f A dx x f f R n ban babani i i ba)()()!22(1)()()()()(21)22(0++=⎰⎰⎰∑⎰+=-=-=ωξ若)()22(x fn +在区间],[b a 上连续,由于)(21x n +ω在],[b a 上不变号,故应用积分中值定理可得],[,)()()!22(1)(21)22(b a dx x fn f R ban n ∈+=⎰++ηωη上述定理说明,与牛顿—科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。
数值分析方法课程设计
数值分析方法课程设计背景介绍数值分析是一门研究求解各种数学问题的有效数值计算方法的学科，其应用广泛，如科学计算、工程设计和金融计算等领域。
在数值分析中，许多方法依赖于计算机的计算能力。
此外，数值分析还需要对数学理论和计算机科学两方面的知识有较深的理解。
本课程设计旨在通过实践，帮助学生深入了解数值分析方法及其应用，并提高学生的计算机编程能力。
课程设计目标•熟练掌握数值分析中的基本算法和方法，如插值法、数值积分等•能够将所学算法应用于实际问题，并编写可靠的程序解决问题•加深对计算机编程的理解和掌握，增强编程实践和创新能力•提高对数值分析和计算机科学交叉领域的理解课程内容第一部分：基本算法和方法1.数值微积分基本概念和原理2.插值法及其在实际中的应用3.数值积分的基本方法和理论基础4.常微分方程常用数值解法第二部分：实践应用与编程实现1.利用插值法和数值积分求解实际问题2.实现数值微积分和常微分方程的求解程序3.利用现有的数值分析软件解决实际问题，如 MATLAB 和 Python 等课程设计方案1.向学生介绍数值分析基本算法和方法，并讲解其理论基础和实际应用。
2.向学生提供一些实际问题，引导学生根据所学算法和方法进行求解。
3.给予学生一定的编程实践机会，让他们能够将所学算法实现为程序，并运用到具体的问题中。
4.通过课程作业、仿真实验等形式对学生进行考核和评价，确保学生能够有效掌握所学知识和能力。
评价标准1.学生掌握数值分析基本算法和方法的程度2.学生在实际问题中应用所学算法的能力3.学生编程实践和创新能力的水平4.学生对数值分析和计算机科学交叉领域的理解总结本课程设计旨在培养学生的数值分析和计算机编程实践，通过课程作业和编程实践等形式将理论知识与实际问题相结合，提高学生的实践应用能力。
同时，本课程设计也为学生未来的研究和工作提供了一定的基础。
数学分析中的积分求解方法
数学分析中的积分求解方法在数学分析中，积分是一个重要的概念和工具。
它可以用来计算曲线下面的面积、求解定积分以及解决一些实际问题。
本文将介绍一些常见的积分求解方法，包括不定积分和定积分。
一、不定积分不定积分是指对一个函数进行积分，得到的结果是一个含有未知常数的函数。
不定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)是要求积分的函数。
不定积分的求解方法有很多，下面将介绍其中的几种常见方法。
1. 基本积分法基本积分法是指根据一些已知的基本积分公式，将要求积分的函数转化为基本积分公式中的形式，从而求解积分。
例如，对于函数f(x) = x^n，其中n为任意实数，其基本积分公式为∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中C为常数。
2. 分部积分法分部积分法是指将要求积分的函数进行分解，然后利用分部积分公式进行求解。
分部积分公式为∫u dv = uv - ∫v du，其中u和v是要求积分的函数。
通过适当选择u和dv，可以将原函数转化为更容易求解的形式。
3. 代换积分法代换积分法是指通过代换变量的方法将要求积分的函数转化为一个更容易求解的形式。
常见的代换变量有三角函数代换、指数函数代换和倒数代换等。
通过选择合适的代换变量，可以简化积分的计算过程。
二、定积分定积分是指对一个函数在给定区间上的积分，得到的结果是一个确定的数值。
定积分的符号表示为∫[a,b]f(x)dx，其中[a,b]表示积分区间。
定积分的求解方法有很多，下面将介绍其中的几种常见方法。
1. 几何解释法几何解释法是指将定积分的计算问题转化为几何问题，通过计算图形的面积或体积来求解定积分。
例如，对于一条曲线y=f(x)，其在区间[a,b]上的定积分∫[a,b]f(x)dx可以表示为该曲线下方的面积。
2. 分割求和法分割求和法是指将定积分的区间分割成若干小区间，然后对每个小区间内的函数进行求和，最后将这些求和结果相加得到定积分的近似值。
数值分析中的数值微分与数值积分
数值分析中的数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析领域中两个重要的概念。
它们在计算机科学、工程学和物理学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理以及一些常用的方法和技巧。
一、数值微分数值微分是通过数值方法来计算函数的导数。
导数是描述函数变化率的工具，它在物理学、经济学和生物学等领域中具有重要的作用。
1. 前向差分法（Forward Difference）前向差分法是一种简单而常用的计算导数的方法。
它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，h为步长，为了提高精度，需要选择足够小的步长。
2. 后向差分法（Backward Difference）后向差分法与前向差分法类似，不同之处在于它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h))/h同样地，步长h需要选择足够小。
3. 中心差分法（Central Difference）中心差分法是一种更加准确的数值微分方法，它利用函数在某一点上的前后两个点的值来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h))/(2h)中心差分法相对于前向差分法和后向差分法而言，具有更高的精度。
二、数值积分数值积分是通过数值方法来计算函数的积分。
积分在物理学、经济学和统计学等领域中起着重要的作用，它可以用来计算面积、体积以及概率等。
1. 矩形法（Rectangle Method）矩形法是一种简单的数值积分方法，它利用多个矩形来逼近曲线下的面积。
具体来说，将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间上选择一个点作为高度，从而构造出多个矩形。
最后，将各个矩形的面积相加，即可得到近似的积分值。
2. 梯形法（Trapezoidal Method）梯形法是一种更加准确的数值积分方法，它利用多个梯形来逼近曲线下的面积。
数值分析简明教程第二版课程设计
数值分析简明教程第二版课程设计背景本次课程设计是为数值分析课程的学生提供的，旨在提高学生的计算能力和编程能力，加深对数值分析内容的理解。
数值分析作为一门重要的数学基础课程，在各个领域都有广泛应用，从工程到科学、社会领域都涵盖了数值分析的知识。
本次课程设计将会涉及以下方面：•数值微积分•插值与逼近•数值解方程•数值积分与微分方程•非线性方程的求解目的通过本次课程设计，学生将学习到：•数值分析的基本方法和算法；•如何编写数值分析的程序和实现算法；•理解数值分析的应用场景和思考数值分析方法的正确运用；内容根据课程设计的要求，学生需要掌握以下几个教学点：数值微积分•数值微积分的基本概念•常用数值微积分算法的原理和实现•数值微积分的误差分析插值与逼近•插值与逼近的基本概念和区别•常用数值插值算法的原理和实现•插值与逼近的误差分析数值解方程•数值解方程的基本概念和分类•常用数值解方程算法的原理和实现•数值解方程的误差分析数值积分与微分方程•数值积分的基本概念和分类•常用数值积分算法的原理和实现•微分方程的数值解法和实现非线性方程的求解•非线性方程的基本概念和分类•常用非线性方程求解算法的原理和实现•非线性方程求解的误差分析要求根据上述教学点，学生需要完成以下几个任务：1.编写数值微积分的程序，并进行误差分析；2.完成插值与逼近的程序，并进行误差分析；3.实现数值解方程的算法，并进行误差分析；4.实现数值积分的算法，并进行误差分析；5.实现非线性方程求解的程序，并进行误差分析。
建议以下是一些建议，帮助学生顺利完成本次课程设计：1.提前了解各个教学点的基本概念和算法，有一个整体的感觉；2.仔细阅读本次课程设计的要求和指导，明确任务和目标；3.切实利用计算机和编程技能，提高效率和精度；4.不断进行实验和调试，及时发现和修复错误；5.在完成任务的过程中注重思考和总结，认真分析算法和结果的合理性。
结语数值分析是一个充满挑战和机遇的学科，希望学生们通过本次课程设计，掌握数值分析的基本方法和技能，为今后的研究和工作提供强有力的支持，也希望大家在学习过程中，勇于创新和探索，挖掘数值分析知识的潜力和应用价值。
合工大数值分析课程设计
合工大数值分析课程设计一、课程目标知识目标：1. 掌握数值分析的基本概念、原理及方法，如插值、数值微积分、常微分方程数值解等；2. 理解数值算法的稳定性、收敛性等性能指标，并能够分析给定数值问题的适用算法；3. 了解数值分析在工程、物理及计算机科学等领域的应用，并能运用所学知识解决实际问题。
技能目标：1. 能够运用数值分析方法解决实际工程问题，具备数值计算编程能力；2. 能够运用所学软件（如MATLAB等）进行数值实验，分析实验结果，优化算法；3. 能够对给定数值问题进行误差分析，提出改进措施，提高计算精度。
情感态度价值观目标：1. 培养学生严谨的科学态度，认识到数值分析在工程技术领域的重要性；2. 激发学生对数值分析的兴趣，培养其主动探索、创新的精神；3. 增强学生的团队协作意识，提高沟通与交流能力。
本课程针对合肥工业大学数值分析课程设计，结合大三年级学生特点，注重理论与实践相结合，培养学生的数值计算能力和实际应用能力。
课程目标旨在使学生在掌握基本理论知识的基础上，能够解决实际问题，提高学生的综合素质，为未来的学术研究或工程实践打下坚实基础。
通过对课程目标的分解，教师可以更好地进行教学设计和评估，确保学生达到预期学习成果。
二、教学内容本章节教学内容主要包括以下几部分：1. 数值分析基本概念：介绍数值分析的定义、研究内容及其在工程中的应用。
- 教材章节：第1章 数值分析引论2. 插值法：讲解拉格朗日插值、牛顿插值、样条插值等方法。
- 教材章节：第2章 插值法3. 数值微积分：介绍数值积分和数值微分的基本原理及方法。
- 教材章节：第3章 数值微积分4. 常微分方程数值解：讲解初值问题和边值问题的数值解法。
- 教材章节：第4章 常微分方程数值解5. 线性方程组的迭代法：介绍雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等方法。
- 教材章节：第5章 线性方程组迭代法6. 数值算法性能分析：分析算法的稳定性、收敛性等性能指标。
高斯求积公式-数值分析课程设计1
高斯求积公式（2）摘要数值积分一直都是数值计算领域一个重要的分支，很多工程问题都要运用数值积分的相关知识，而高斯求积公式是又是一种重要的数值积分的方法，对比于牛顿-科特斯公式，高斯公式不但是高精度的，而且是数值稳定的、收敛的。
高斯-勒让德求积公式又是在高斯公式的基础上发展而来的，是高斯公式的补充与完善。
本文就重点介绍基于MATLAB软件下高斯求积公式的求解,通过MATLAB数学软件我们不仅能够比较精确的解决高斯公式的求积问题,还可以比较形象易懂地反映出随着高斯点的增加误差的变化。
关键字：数值积分高斯公式稳定精确度MATLABGAUSSIAN QUADRATURE FORMULAABSTRACTNumerical integration is always a very important branch of Numerical calculus fileds,many projects problem need use the related knowledge of Numerical calculus,and , the Gaussian quadrature formula is an important way of Numerical Cauculus, Contrast in the Newton – Ctoes Tess formula, Gaussian quadrature formula is not only high accuracy,but also the value is stable and restraining. Gauss - Legendre quadrature formula develops in the function of the Gaussian quadrature formula,and it is the supplement and consummation Gaussian quadrature formula. This article introduced on the key point of based on the MATLAB Gaussian quadrature formula solution,Through the mathematics software of MAMTLAB,we ont only can compared with precisely the problem of Gaussian quadrature formula,but also can understand easily reflect the change with the increase of the Gauss node.The key words: Numerical integration Gaussian quadrature formula Stable Precision MATLAB目录一、引言 (1)二、方法描述 (2)2.1、高斯—勒让德（Gauss-Legendre）公式………………………………2.2、高斯-切比雪夫（Gauss-Chebyshev）求积公式………………………三、数值实验 (3)四、参考文献……………………………………………………………………. 附录:…………………………………………………………………………………。
数值分析高斯求积课程设计
数值分析高斯求积课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解数值分析中数值积分的基本概念，掌握高斯求积公式的原理及其数学背景；2. 掌握高斯-勒让德求积公式及其在数值积分中的应用，能够准确计算出给定函数的数值积分；3. 了解高斯求积的误差分析，掌握误差估计的方法，并能够分析其收敛性。
技能目标：1. 能够运用高斯求积方法解决实际问题中的数值积分问题，提高计算精度和效率；2. 学会使用计算工具（如数学软件）实现高斯求积算法，进行数据分析和处理；3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学建模和数值计算技巧。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数值分析的兴趣，激发其探索数值计算领域的热情；2. 增强学生的团队协作意识，培养在小组讨论和合作中主动分享、倾听他人意见的习惯；3. 培养学生严谨的科学态度，使其认识到数值方法在科学研究和技术应用中的重要性。
本课程设计针对高年级本科生或研究生，学生在具备一定的高等数学和数值分析基础之上，通过本课程的学习，能够深入理解并掌握高斯求积方法。
课程强调理论与实践相结合，注重培养学生的实际操作能力和解决复杂问题的能力。
通过具体案例的分析，让学生在实际应用中感受数值分析的魅力，从而提高其学习的积极性和主动性。
二、教学内容1. 数值积分基本概念：回顾数值积分的定义、特点和分类，重点介绍高斯求积方法；教材章节：第二章 数值积分，第三节 高斯求积方法。
2. 高斯-勒让德求积公式：讲解高斯-勒让德求积公式的推导过程，以及其在数值积分中的应用；教材章节：第二章 数值积分，第四节 高斯-勒让德求积公式。
3. 高斯求积的误差分析：分析高斯求积的误差来源，探讨误差估计方法及其收敛性；教材章节：第二章 数值积分，第五节 高斯求积误差分析。
4. 实际应用案例：结合实际问题，展示高斯求积方法在数值分析中的应用，如求解常微分方程初值问题、计算积分变换等；教材章节：第二章 数值积分，第六节 高斯求积应用实例。
数学分析求积分的方法
数学分析求积分的方法数学分析求积分法：①微分求积分法：该方法利用微积分中函数微分与函数积分之间的关系，分别从函数及它在 finite 時間内微分的结果，求出某个区间内函数的定积分，从而实现积分求解的目的。
常用的公式包括：利用导数、雅可比变换、级数等；②数值积分法：是指利用给定的原函数及其积分结果，通过分段来计算积分值，它的方法有牛顿切线求积分(Newton-Cotes Formula)、 Gauss?Legendre 积分规则、Runge-Kutta 法等。
这类方法中牛顿切线求积分是最普遍使用的，它把区间[a,b]划分为 n 个子区间，取每个子区间上一点近似作区间值，计算出这 n 个点的积分值之和，就是原区间的积分值；③崇拜子积分法：该法利用积分变换的思想，将积分的求解分解成多次子区间积分之和，这样就能明显减少求解积分时使用的计算量，从而达到降低积分计算复杂性的目的，而常见的崇拜子积分法有高斯求积分法、Trapezoidal 求积分法、Simpson 求积分法等。
④椭圆积分法：该法是一类新兴积分法，它利用椭圆函数将定积分区间划分为 m 个等分，取每个等分内的椭圆函数最大值近似作整个等分的积分值，求出 m 个等分的积分值之和，就是积分的值，其主要的特点是计算量较小，适用于定积分的求解；⑤柯西积分法：柯西积分法是一种积分法，它是在半变换的基础上，用柯西函数的复性与半变换的组合，能够很轻松地计算出定积分。
其最大的特点就是无变换与微分，求出定积分必须通过正确把握它的特点和运用二阶导数与三阶导数来实现；⑥代换法（置换法）：这是一种经典的求解积分方法，它利用不同类型函数的特性，将某些复杂积分变成简单积分，从而使积分变得容易求解。
其特点是变和不变的特性很强，可以利用代换法将函数的n阶积分改写成更所的几阶导数的积分，进而求出区间 [a,b] 内函数的定积分。
数值分析课程设计报告求积公式的实际应用
数值分析课程设计报告求积公式的实际应用数值分析课程设计报告：求积公式的实际应用一、引言求积公式是数值分析中的一种核心算法，用于计算函数的定积分近似值。
在实际应用中，求积公式有着广泛的应用，比如在物理、工程、金融等领域中求解积分问题。
本文将介绍求积公式的基本概念及其实际应用。
二、求积公式的基本概念1. 求积公式的定义求积公式是将函数f(x)在一定区间上的积分表示为一组有限个数的和的公式。
常见的求积公式有梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。
2. 梯形公式梯形公式是一种最简单的求积公式。
其基本思想是将区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为(h = b - a) / n。
设xi = a + ih (i = 0,1,...,n)，则在小区间[i-1,i]上的积分近似为∫i-1,i f(x)dx ≈ (f(xi-1) + f(xi)) * h/2整个区间[a,b]上的积分近似为∫a,b f(x)dx ≈ h/2 [f(a) + 2∑f(xi) + f(b)]3. 辛普森公式辛普森公式是一种更加精确的求积公式。
它的基本思想是将区间[a,b]平均分成n个小区间，每个小区间的长度为(h = b - a) / n。
然后，在每个小区间中选取两个等距的点，并在它们之间插入一个新的点，这样就得到了n个等距的点，即x0=a,xn=b,xi=a+ih(i=1,2,...,n)。
在每三个点上，使用2次插值多项式，将区间[i-1,i]上的积分f(x)dx表示为∫i-1,i f(x)dx ≈ h / 3 [f(xi-1) + 4f(xi-1 + xi) + f(xi)]整个区间[a,b]上的积分近似为∫a,b f(x)dx ≈ h / 3 [f(a) + 4∑f(xi-1 + xi) + 2∑f(xi) + f(b)]4. 龙贝格公式龙贝格公式是一种数值积分方法，是一种递归算法。
它的基本思想是通过对梯形公式和辛普森公式的迭代计算，得到更高精度的积分值。
数值积分常用算法设计与实现
数值积分是一种近似计算定积分的方法，常用于在实际问题中求解无法通过解析方法得到精确结果的积分。
下面介绍几种常见的数值积分算法设计与实现。
1. 矩形法（矩形规则）：
- 基本思想：将积分区间等分为若干小区间，然后用每个小区间的函数值乘以该小区间的宽度来近似计算积分。
- 实现步骤：选择适当的步长（小区间的宽度），计算每个小区间的函数值，再将这些函数值乘以对应的宽度，最后将所有小区间的计算结果相加即得到近似的积分值。
2. 梯形法（梯形规则）：
- 基本思想：将积分区间划分为若干小区间，每个小区间近似为一个梯形，并计算每个梯形的面积，将这些面积相加得到近似积分值。
- 实现步骤：选择适当的步长，计算每个小区间两个端点的函数值，然后使用梯形面积公式计算每个小区间的面积，最后将所有小区间的面积相加即可得到近似的积分值。
3. 辛普森法（辛普森规则）：
- 基本思想：将积分区间划分为若干小区间，每个小区间近似为一个二次函数，并通过拟合这些二次函数来计算积分。
- 实现步骤：选择适当的步长，将每两个相邻的小区间作为一个整体进行拟合，使用辛普森公式计算每个整体的积分值，最后将所有整体的积分值相加即得到近似的积分值。
以上仅是数值积分的几种常见算法，实际应用中还有其他更复杂的方法，如高斯求积法、龙贝格积分法等。
在实现时，需要根据具体问题选择合适的算法，并注意步长的选择和积分误差的控制。
此外，编程语言中也提供了一些库函数或工具包，可以方便地进行数值积分的计算。
1。
数值分析高斯—勒让德积分公式
高斯—勒让德积分公式摘要：高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果,是现在现实生活中经常运用到的数值积分法。
然而，当积分区间较大时，积分精度并不理想。
T he adva ntage of Gauss-Legendre integral formula is tend to get high-precision calculational result by using fewer Gauss-points, real life is now often applied numerical integration method. But the precision is not good when the length of integral interval is longer.关键字：积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLABKeyword:Integral Calculation , Integral formula ,Gauss-Legendre integral formula, Matlab 引言：众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。
微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。
所以，微分与积分互为逆运算。
实际上，积分还可以分为两部分。
第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。
相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。
计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。
高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。
而高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到。
高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。
他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。
数值分析中的蒙特卡洛积分法-教案
数值分析中的蒙特卡洛积分法-教案一、引言1.1背景介绍1.1.1数值分析在工程和科学领域的重要性1.1.2蒙特卡洛方法作为数值分析的一种随机方法1.1.3蒙特卡洛积分法在复杂积分计算中的应用1.1.4教学目的：理解和掌握蒙特卡洛积分法的原理和应用1.2教学目标和预期效果1.2.1理解蒙特卡洛积分法的基本原理1.2.2掌握蒙特卡洛积分法的实施步骤1.2.3能够应用蒙特卡洛积分法解决实际问题1.2.4培养学生的计算思维和解决问题的能力1.3教学方法1.3.1采用理论讲解与实际操作相结合的方式1.3.2利用计算机软件进行蒙特卡洛积分法的模拟实验1.3.3通过案例分析和讨论加深理解1.3.4鼓励学生主动探索和自主学习二、知识点讲解2.1蒙特卡洛积分法的基本原理2.1.1随机抽样和统计实验的基本概念2.1.2利用随机变量估计积分值的方法2.1.3蒙特卡洛积分法的基本步骤2.1.4蒙特卡洛积分法的数学基础和理论支持2.2蒙特卡洛积分法的实施步骤2.2.1确定积分区域和被积函数2.2.2随机样本点2.2.3计算函数值并求和2.2.4估计积分值并分析误差2.3蒙特卡洛积分法的应用2.3.1高维积分问题的解决2.3.2复杂或不连续函数的积分2.3.3金融工程中的风险评估2.3.4物理科学中的粒子输运问题三、教学内容3.1蒙特卡洛积分法的理论教学3.1.1讲解蒙特卡洛积分法的基本原理和步骤3.1.2通过数学公式和示例演示蒙特卡洛积分法的应用3.1.3分析蒙特卡洛积分法的优缺点和适用范围3.1.4讨论蒙特卡洛积分法在不同领域的应用案例3.2蒙特卡洛积分法的实验教学3.2.1使用计算机软件进行蒙特卡洛积分法的模拟实验3.2.2通过实际操作加深对蒙特卡洛积分法的理解3.2.3分析实验结果并讨论影响积分精度的因素3.2.4培养学生的实际操作能力和数据分析能力3.3蒙特卡洛积分法的综合应用3.3.1结合实际案例进行蒙特卡洛积分法的应用分析3.3.2讨论蒙特卡洛积分法在解决实际问题中的优势3.3.3引导学生进行自主探索和问题解决3.3.4培养学生的创新思维和综合应用能力四、教学目标4.1知识与技能目标4.1.1学生能够理解蒙特卡洛积分法的基本原理和步骤4.1.2学生能够运用蒙特卡洛积分法解决简单的积分问题4.1.3学生能够分析蒙特卡洛积分法的误差来源和提高精度的方法4.1.4学生能够运用计算机软件进行蒙特卡洛积分法的模拟实验4.2过程与方法目标4.2.1学生能够通过案例分析和讨论加深对蒙特卡洛积分法的理解4.2.2学生能够通过实际操作培养计算思维和解决问题的能力4.2.3学生能够通过自主探索和合作交流提高学习效率4.2.4学生能够通过实验设计和数据分析培养科学探究的能力4.3情感态度与价值观目标4.3.1学生能够认识到蒙特卡洛积分法在工程和科学领域的重要性4.3.2学生能够体会到数学方法在解决实际问题中的应用价值4.3.3学生能够培养对数学学习的兴趣和自信心4.3.4学生能够形成积极的学习态度和合作精神五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1蒙特卡洛积分法的基本原理和步骤的理解5.1.2蒙特卡洛积分法的误差分析和精度提高的方法5.1.3计算机软件的使用和模拟实验的操作5.1.4蒙特卡洛积分法在不同领域的应用案例分析5.2教学重点5.2.1蒙特卡洛积分法的基本原理和步骤的掌握5.2.2蒙特卡洛积分法的应用和实际操作能力的培养5.2.3蒙特卡洛积分法的优缺点和适用范围的分析5.2.4蒙特卡洛积分法在解决实际问题中的优势和应用案例的讨论六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1讲义和教材6.1.2投影仪和计算机6.1.3白板和马克笔6.1.4教学软件和模拟实验工具6.2学具准备6.2.1笔记本和计算器6.2.2教学软件和模拟实验工具6.2.3学习资料和参考书籍6.2.4小组和合作学习的工具七、教学过程7.1导入新课7.1.1引入数值分析中的积分问题7.1.2介绍蒙特卡洛积分法的基本原理和步骤7.1.3展示蒙特卡洛积分法在实际问题中的应用案例7.1.4引发学生对蒙特卡洛积分法的兴趣和思考7.2理论讲解与案例分析7.2.1讲解蒙特卡洛积分法的基本原理和步骤7.2.2通过数学公式和示例演示蒙特卡洛积分法的应用7.2.3分析蒙特卡洛积分法的优缺点和适用范围7.2.4讨论蒙特卡洛积分法在不同领域的应用案例7.3实验教学与实际操作7.3.1使用计算机软件进行蒙特卡洛积分法的模拟实验7.3.2通过实际操作加深对蒙特卡洛积分法的理解7.3.3分析实验结果并讨论影响积分精度的因素7.3.4培养学生的实际操作能力和数据分析能力7.4.2引导学生进行自主探索和问题解决7.4.3鼓励学生提出问题并展开讨论7.4.4培养学生的创新思维和综合应用能力八、板书设计8.1章节和关键词8.1.1板书蒙特卡洛积分法8.1.2关键词：数值分析、随机抽样、统计实验、积分估计8.2教学内容和步骤8.2.1蒙特卡洛积分法的基本原理和步骤8.2.2蒙特卡洛积分法的实施步骤和要点8.2.3蒙特卡洛积分法的应用案例和讨论8.3图表和示例8.3.1积分区域的示意图8.3.2随机样本点的和分布图8.3.3蒙特卡洛积分法的计算过程示例九、作业设计9.1基础练习题9.1.1计算给定函数的蒙特卡洛积分估计值9.1.2分析蒙特卡洛积分法的误差来源和提高精度的方法9.1.3应用蒙特卡洛积分法解决实际问题9.2拓展练习题9.2.1研究蒙特卡洛积分法在不同积分区域和函数类型中的应用9.2.2探索蒙特卡洛积分法在高维积分问题中的应用9.2.3分析蒙特卡洛积分法在金融工程和物理科学中的应用案例9.3实验报告9.3.1设计蒙特卡洛积分法的模拟实验9.3.2记录实验数据和结果十、课后反思及拓展延伸10.1教学反思10.1.1反思蒙特卡洛积分法的讲解和实验教学的效果10.1.2分析学生的学习情况和掌握程度10.1.3思考如何提高蒙特卡洛积分法的教学效果10.2拓展延伸10.2.1引导学生深入研究蒙特卡洛积分法的理论基础10.2.2探索蒙特卡洛积分法在其他数学和科学领域的应用10.2.3鼓励学生参加相关的学术研究和实践活动重点环节补充和说明：1.蒙特卡洛积分法的原理和步骤讲解：这是教学中的重点环节，需要通过详细的讲解和示例演示，使学生理解蒙特卡洛积分法的基本原理和步骤。
数值分析教学大纲
数值分析教学大纲
（一）课程名称、学分
数值分析，2.0学分
（二）课程性质
本课程属于通识性课程，是数学专业和计算机科学专业的基础课程，
主要面向本科生，也可以拓展到研究生层次。
（三）授课对象
本科生及其他有兴趣学习数值分析的同学。
（四）授课目标、要求
1.了解数值分析的基本概念和基本原理，如数值近似度、计算机模拟等；
2.掌握数值分析的基本方法，如数值积分、解线性方程组的数值解法、牛顿-拉夫逊迭代法等；
3.掌握数值分析常用软件；
4.掌握常用数学软件Matlab的应用；
5.能够分析和解决数值分析相关的实际问题。
（五）课程内容
1.数值分析的基本概念；
2.数值近似度；
3.数值积分的方法；
4.解线性方程组的数值解法；
5.牛顿-拉夫逊迭代法；
6.数值解析法；
7.Matlab应用：离散变换、绘图和可视化、数值计算等；
8.实例分析：求解抛物线方程、求解积分方程等；
9.数值解析软件的使用；
10.实际问题模拟与设计。
（六）课程考核
1.平时考核：读书报告、课外作业等；
2.期末考核：期末测验、课程设计和综合评价等；。
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数值分析课程设计积分方法的实际应用数值分析课程设计报告求积公式的实际应用学院数学与统计学院专业信息与计算科学学号 __________________________________姓名 _________________________________指导教师成绩教师评语:指导教师签字:2018年1月8日1 绪论数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值检索方其理论与软件的实现。
随着计算机和计算方法的飞速发展，几乎所有学科都走向定量化和精确化，从而产生了一系列计算性的学科分支，如计算物理、计算化学、计算生物学、计算地质学、计算气象学和计算材料学等，计算数学中的数值计算方法则是解决“计算”问题的桥梁和工具。
我们知道，计算能力是计算工具和计算方法的效率的乘积，提高计算方法的效率与提高计算机硬件的效率同样重要。
科学计算已用到科学技术和社会生活的各个领域中。
数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法，简称计算方法。
在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。
例如，在航天航空、地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字字样设计中都有计算方法的踪影。
计算方法既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和亚丁实验性的技术特征，计算方法是一门理论性和实践性都很强的学科。
在70年代，大多数学校仅在数学系的计算数学专业和计算机系开设计算方法这门课程。
随着计算机技术的迅速发展和普及，现在计算方法课程几乎已成为所有理工科学生的必修课程。
计算方法的计算对象是微积分，线性代数，常微分方程中的数学问题。
内容包括：插值和拟合、数值微分和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、计算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等问题。
2 Gauss求积公式2.1基本原理求积公式nbf (x)d x A k f(xQ (2.1)ak 0含有2n+2个待定参数，X k，A k（k 0,1,L , n）.当X k为等距节点时得到的插值求积公其代数精度至少为n次，如果适当选取x k（k 0,1丄，n），有可能使求积公式（2.1）具有2n+1X k 及A k ，使(2.2)具有2n+1次代数精度。
当给定权函数(x)，求出右端积分，则可由(2.3)式解得X k (k 0,1L , n)及A k (k 0,1,L , n)2.2程序实现建立gaussl.m 文件，写入如下内容：function s=gaussl(a,b ,n) h=(b-a)/n; s=0.0; for m=0:(1* n/2-1)s=s+h*(gaussf(a+h*((1-1/sqrt(3))+2*m))+gaussf(a+h*((1+1/sqrt(3))+2*m))); end2.3实例分析例 计算积分o --xlogxdx解 建立gaussf.m 文件以调用gaussl.m 文件中的函数，再写入如下内容：function y=gaussf(x) y=sqrt(x)*log(x);再在命令行中输入：>> s=gaussl(0,1,20)得出如下结果：-0.4456次代数精度，这类求积公式称为高斯求积公式为具有一般性，研究带权积分Ibf(x) (x)d x ，这里(X)为权函数，求积公式为 abf (x) (x)d x anA k f(X k )k 0(2.2)A k (k 0,1,L , n)为不依赖于f(x)的求积系数,X k (k 0,1,L , n)为求积节点，可适当选取如果求积公式(2.2)具有2n+1次代数精度,则称其节点X k (k 0,1,L , n)为高斯点，相应求积公式(2.2)称为高斯求积公式。
根据定义要使(2.2)式具有2n+1次代数精度，只要对f(x) x m ， (m 0,1,L 2n 1 )，令(2.2)式精确成立，即nmA k Xkk 0b x m (x)dx m 0,1,L 2na(2.3)3 高斯- 勒让德求积公式3.1 基本原理在高斯求积公式(2.1)中，若取权函数(x) 1 ，区间为-1，1 ，则得公式1n-1 f(x)dx A k f(x k). (3.1)-1k0 由于勒让德多项式是区间-1，1 上的正交多项式，因此，勒让德多项式P n 1(x) 的零点就是求积公式(3.1)的高斯点。
形如(3.1)式的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式。
3.2 程序实现建立guasslegendre.m 文件，写入如下内容：function [ql,Ak,xk]=guasslegendre(fun,a,b,n,tol)if nargin==1 a=-1;b=1;n=7;tol=1e-8;elseif nargin==3 n=7;tol=1e-8;elseif nargin==4tol=1e-8;elseif nargin==2|nargin>5error('The Number of Input Arguments Is Wrong!');end% 计算求积节点syms xp=sym2poly(diff((xA2-1F( n+1),门+1))/(2八 n*factorial( n));tk=roots(p); % 求积节点% 计算求积系数Ak=zeros(n+1,1);for i=1: n+1xkt=tk;xkt(i)=[];pn=poly(xkt);fp=@(x)polyval(p n, x)/polyval(p n,tk(i));Ak(i)=quadl(fp,-1,1,tol); % 求积系数end%积分变量代换，将[a,b]变换到[-1,1]xk=(b-a)/2*tk+(b+a)/2;% 检验积分函数fun的有效性fun=fcn chk(f un ,'vectorize');%计算变量代换之后积分函数的值fx=fu n(xk)*(b-a)/2;%计算积分值ql=sum(Ak.*fx);参数说明：fun：积分表达式，可以是函数句柄a,b：积分上下限n：积分阶数tol :积分精度，默认1e-6ql :积分结果Ak:积分系数xk :求积节点，满足ql=sum(Ak.*fun(xk))3.3实例分析例用4点的高斯-勒让德公式求解定积分2x2cos x dx的近似值解：打开guasslegendre.m文件，并在命令行中输入如下内容>> syms x;>> fun=i nli ne(cos(x)*x^2);>> [ql,Ak,xk]=guasslege ndre(fu n,0,pi/2,4)得出结果:qi =0.4674Ak =0.56890.23690.47860.23690.4786xk =0.78540.07370.36251.49711.2083即2x2cos x dx的4点的高斯-勒让德积分结果为ql=0.46744 复化Simpson求积公式4.1基本原理复化Simpson公式是一种比较实用的积分方法，可以给出误差估计。
首先将区间[a,b] N等分，子区间的长度为(4.1)h n在每个子区间上采用Simps on公式，在用Simps on公式时，还要将子区间再二等分,因此有2N+1个分点。
即经推导得到,称为S N 为复化Simpson 值，称（4.3）式为复化Simpson 公式。
4.2程序实现编写复化Simpson 求积函数(函数名：s_quad.m )Function l=S_quad(x,y) % 复化求积公式% x 为被积函数自变量的等距节点；y 为被积函数在节点处的函数值。
n=len gth(x);m=length(y); %积分自变量的节点数应与它的函数值个数相同； if n 〜=merror ('The len gth of X and Y must be equa l'); return; endif rem(n-1,2)〜=0 %如果n-1不能被2整除，则调用复化公式error ('节点数不满足要求'); return; end N=( n-1)/2; h=(x( n)-x(1))/N; a=zeros (1, n); for k=1:Na(2*k-1)=a(2*k-1)+1; a(2*k)=a(2*k)+4; a(2*k+1)=a(2*k+1)+1; endl=h/6*sum(a.*y);hXk x k^T ，k 0,1，L ，2N ，Xo a.(4.2)defhS N；f(x)dx -N [f(a)6f(b)N 1 2 f(X 2k )k 1N4f (X 2k 1)] k 1(4.3)然后调用s_quad函数，来实现复化Simpson公式法。
建立一个文件SPS,内容如下:clearx=input('请输入积分上下限及点间的间隔(例如-1:0.1:1):');y=i nput('请输入被积公式：y=');匸S_quad(x,y);disp('得出积分值1=')disp(I);4.3实例分析1 2例1用复化Simpson公式求积分1e x dx，在积分区间中点与点之间的间隔取为0.1。
解：运行程序，按照提示输入积分上下限、点间的间隔及被积公式，如下所示:请输入积分上下限及点间的间隔(例如-1:0.1:1): -1:0.1:1请输入被积公式：y=exp(-x.A2)得出积分值匸1.4936真值为：1.4937例2计算积分1」^dx，将区间8等分。
04 x2解：运行程序，按照提示输入积分上下限、等分后的区间长度及被积公式，如下所示：请输入积分上下限及点间的间隔(例如-1:0.1:1)：0:0.125:1请输入被积公式：y=x./(4+x.A2)得出积分值匸0.1116真值为：0.1115724.4结果分析复化Simps on 计算所得的结果误差较小，精度较高，更适合科学计算与应用，且 公式具有收敛性，稳定性良好。
5数值方法的实际应用在实际问题中，往往会遇到一些困难。
有些函数找不到用初等函数表示的原函数, 例如，对于积分而言，不存在用初等函数表示的原函数。
而有些函数虽然能找到原函数，但计算过于复 杂，例如，椭圆型积分2ax 2 bx cdxx1而有些情况下，只能知道某些点处的函数值，并没有函数的具体表达式。
这些情况, 使我们有必要研究积分的数值计算问题。
下面我们就以梯形公式为例做以说明。
所谓梯形求积公式就是用梯形面积来近似曲边梯形面积，利用梯形公式和连续增加[a,b]的区间数来逼近:第j 次循环在2j 1个等距节点处对f x 采样5.1实例分析卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长计算公式是S 4a 02 J 1- (—)2sin 2 d这里a 是椭圆半长轴，c 是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记 h 为近地点距 离， H 为远地点距离， R=637km 为地球半径，则a (2R H h)/2,c (H h)/2,我国第一颗人造卫星近地点距离h=439km ,远地点距离H=2384,试求卫星轨道的周长。