高中常见分段函数题型归纳
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分段函数常见题型及解法
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,非几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.
与分段函数有关的类型题的求解,在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型,并未作深入说明,因此,对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多,现举例说明其求解方法.
1.求分段函数的定义域和值域
例1.求函数
1
2
22[1,0];
()(0,2);
3[2,);
x x
f x x x
x
+∈-
⎧
⎪
=-∈
⎨
⎪∈+∞
⎩的定义域、值域.
解析:作图, 利用“数形结合”易知
()
f x
的定义域为
[1,)
-+∞
, 值
域为(-1,2]U{3}.
例2.求函数的值域.
解析:因为当x≥0时,x2+1≥1;当x<0时,-x2<0.所以,原函数的值域是[1,+∞)∪(-∞,0).
2.求分段函数的函数值
例1.已知函数
2
|1|2,(||1)
()1
,(||1)
1
x x
f x
x
x
--≤
⎧
⎪
=⎨
>
⎪+
⎩求12
[()]
f f
.
解析:因为
3
11
222
()|1|2
f=--=-
, 所以
3
1
222
3
2
14
[()]()
1()13
f f f
=-==
+-
.
例2.已知函数,求f{f[f(a)]} (a<0)的值.
分析: 求此函数值关键是由到外逐一求值,即由 a<0, f(a)=2a,又0<2a<1, ,
,所以,.
注:求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段.
练1.设
,0.
()
,0.
x
e x
g x
lnx x
⎧≤
=⎨
>
⎩则
1
(())
2
g g=
__________
练2.设
1
2
3
2(2),
()
(1)(2).
log
x x
f x
x
e
x
-
⎧<
⎪
=⎨
-≥
⎪⎩
则
[(2)]
f f=
__________
1
1
o
3
2
2
-1
y
x
-1
3.求分段函数的最值
例1.求函数
43(0)
()3(01)
5(1)
x x
f x x x
x x
+≤
⎧
⎪
=+<≤
⎨
⎪-+>
⎩的最大值.
解析:当0
x≤时, max()(0)3
f x f
==
, 当01
x
<≤时, max()(1)4
f x f
==
, 当1
x>时, 5154
x-+<-+=, 综上有max()4
f x=
.
例2.设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,求f(x)的最小值.
分析:因为原函数可化为
所以,只要分别求出其最小值,再取两者较小者即可.