高中常见分段函数题型归纳

分段函数常见题型及解法

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围，有不同的对应法则的函数，它是一个函数，非几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.

与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明，因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法．

1．求分段函数的定义域和值域

例1.求函数

1

2

22[1,0];

()(0,2);

3[2,);

x x

f x x x

x

+∈-

⎧

⎪

=-∈

⎨

⎪∈+∞

⎩的定义域、值域.

解析：作图, 利用“数形结合”易知

()

f x

的定义域为

[1,)

-+∞

, 值

域为（-1，2]U｛3｝.

例2.求函数的值域.

解析：因为当x≥0时，x2+1≥1；当x<0时，-x2<0.所以，原函数的值域是[1,+∞)∪(-∞,0).

2．求分段函数的函数值

例1.已知函数

2

|1|2,(||1)

()1

,(||1)

1

x x

f x

x

x

--≤

⎧

⎪

=⎨

>

⎪+

⎩求12

[()]

f f

.

解析：因为

3

11

222

()|1|2

f=--=-

, 所以

3

1

222

3

2

14

[()]()

1()13

f f f

=-==

+-

.

例2.已知函数，求f{f[f(a)]} (a<0)的值.

分析: 求此函数值关键是由到外逐一求值，即由 a<0, f(a)=2a，又0<2a<1, ,

，所以，.

注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段．

练1.设

,0.

()

,0.

x

e x

g x

lnx x

⎧≤

=⎨

>

⎩则

1

(())

2

g g=

__________

练2.设

1

2

3

2(2),

()

(1)(2).

log

x x

f x

x

e

x

-

⎧<

⎪

=⎨

-≥

⎪⎩

则

[(2)]

f f=

__________

1

1

o

3

2

2

-1

y

x

-1

3．求分段函数的最值

例1.求函数

43(0)

()3(01)

5(1)

x x

f x x x

x x

+≤

⎧

⎪

=+<≤

⎨

⎪-+>

⎩的最大值.

解析：当0

x≤时, max()(0)3

f x f

==

, 当01

x

<≤时, max()(1)4

f x f

==

, 当1

x>时, 5154

x-+<-+=, 综上有max()4

f x=

.

例2.设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,求f(x)的最小值.

分析：因为原函数可化为

所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可.

解：当x

所以若，则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减，从而f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1. 若，则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为，且；

当x≥a时，函数；

若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为，且.

若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.

综上，当时，函数f(x)的最小值是；

当时，函数f(x)的最小值是a2+1；

当时，函数f(x)的最小值是.

注：分段函数最值求解方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比较，从而达到求解的目的. 4．求分段函数的解析式

例1.在同一平面直角坐标系中, 函数

()

y f x

=

和

()

y g x

=

的图象关于直线

y x

=对称, 现将

()

y g x

=

的图象沿x轴向左平移

2个单位, 再沿

y轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数

()

f x

的表达式为（）

2

22(10)

.()

2(02)

x

x x

A f x

x

+-≤≤

⎧

=⎨

+<≤

⎩

2

22(10)

.()

2(02)

x

x x

B f x

x

--≤≤

⎧

=⎨

-<≤

⎩

2

22(12)

.()

1(24)

x

x x

C f x

x

-≤≤

⎧

=⎨

+<≤

⎩

2

26(12)

.()

3(24)

x

x x

D f x

x

-≤≤

⎧

=⎨

-<≤

⎩

解析：当

[2,0]

x∈-

时,

1

2

1

y x

=+

, 将其图象沿x轴向右平移2个单位, 再沿y轴向下平移1个单位, 得解析式为

11

22

(2)111

y x x

=-+-=-

, 所以

()22([1,0])

f x x x

=+∈-

, 当

[0,1]

x∈

时, 21

y x

=+

, 将其图象沿x轴向右平移2个单位, 再沿y轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124

y x x

=-+-=-

, 所以

1

2

()2([0,2])

f x x x

=+∈

, 综上可得

2

22(10)

()

2(02)

x

x x

f x

x

+-≤≤

⎧

=⎨

+<≤

⎩, 故选A.

例2.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天，西红柿售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示：

(I)写出图l表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t)； (II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?

解析：

(I)由图l可得市场售价与时间的关系为

由图2可得种植成本与时间的函数关系为

-1

2

1

3

1

o

-2

y

x