2019中考数学专题复习 一元二次方程与二次函数的含参问题.doc
第四讲一元二次方程与二次函数(含解析)
第四讲一元二次方程与二次函数(含解析)第四讲 一元二次方程与二次函数【前言】前三讲，笔者要紧是和大伙探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。
几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。
相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，然而对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。
因此在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行认真的探讨和分析。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。
然而在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，因此我们接着通过真题来看看此类问题的一般解法。
第一部分 真题精讲【例1】2017，西城，一模：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=、 ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；⑵假设二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称、 ①求二次函数1y 的解析式；②一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，关于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；⑶在⑵条件下，假设二次函数23y ax bx c =++的图象通过点(50)-，，且在实数范围内，关于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数23=++y ax bx c 的解析式、【思路分析】此题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。
由于并未说明该方程是否是一元二次方程，因此需要讨论M=0和M ≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。
第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。
二次函数与一元二次方程、一次函数 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)
教学主题二次函数与一元二次方程、一次函数教学目标掌握二次函数与一元二次方程、一次函数重要知识点1.二次函数与一元二次方程2.二次函数与一次函数3.教学过程二次函数与一元二次方程知识点一：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac>0。
(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0.(4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。
抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。
练习1：已知：关于x 的函数772--=x kx y 的图象与x 轴总有交点，求k 的取值范围？练习2：已知关于x 的二次函数y ＝x 2－（2m －1）x ＋m 2＋3m ＋4.探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.题型二 一次函数图象和二次函数图象的交点问题【例2】已知抛物线C 经过（-5，0），（0，25），（1，6）三点,直线l 的函数表达式为32-=x y ；（1）求抛物线的表达式；（2）证明抛物线C 与直线l 无交点；（3）若与l 平行的直线m x y +=2与抛物线C 只有一个公共点P ，求点P 的坐标；练习1：已知二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b ，c 的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．题型三 关于二次函数图象交点的综合问题【例3】已知抛物线2234y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）．（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；（2）设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且1123ONOM-=，求k 的值．练习1：抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图所示，则方程02=++-c bx x 的两根为 .练习1：如图所示，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求D点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B、C两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）当自变量x为何值时，两函数的函数值都随x的增大而增大？（3）当自变量x为何值时，一次函数值大于二次函数值．（4）当自变量x为何值时，两函数的函数值的积小于0．练习3：一次函数y=2x+3与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且点B 是抛物线的顶点．（1）求一次函数和二次函数的表达式； （2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x 为何值时，两个函数的值都随x 的增大而增大，当x 为何值时，二次函数的值大于一次函数的值？类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。
(完整版)二次函数含参问题
二次函数含参问题本质：解决二次函数含参问题就是解决对称轴与定义域的问题。
课堂例题：1. 若函数a ax x x f --=2)(在区间[0,2]上的最大值为1，则实数=a ；2. 若函数x x x f 3)(2-=，在[]m ,0上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,49，则m 的取值范围为 ；当堂练习：1. 若函数)0(22≠-=a ax ax y 在区间]3,0[上有最大值3，则a 的值是 ；2. 已知函数22)(22++-=a ax x x f [])3,1(-∈x 有最大值18，则实数a 的值为 ；1. 若函数f(x)=4x−12−a ·2x +272在区间[]2,0上的最大值为9，求实数a 的值；当堂练习：1. 已知函数)0(49433)(22>++--=b b x x x f 在区间[－b, 1－b]上的最大值为25，求b 的值；2. 已知函数2244)(22+-+-=a a ax x x f 在区间[]2,0上有最小值3，求实数a 的值；家庭作业：1．函数432--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则实数m 的取值范围是__________. 2．若函数12)(2+-=x x x f 在区间[]2,+a a 上的最大值为4，则a 的值为 ；3．已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间[]m ,0上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为 ；4．若函数22422y x ax a a =-+-+在[0,2]的最小值是2，则a 的值为 ；5．若三条抛物线，，中至少有一条与轴有交点，则的取值范围是 ；3442+-+=a ax x y 22)1(a x a x y +-+=a ax x y 222-+=x a1.不等式(2−α)x2−2(a−2)x+4>0对于一切实数x都成立，求α的取值范围；2.若不等式x2−2αx+a2−a>0，当x∈[0,1]时恒成立，求 α的取值范围；当堂练习：1.求对于−1≤α≤1，不等式x2+(α−2)x+1−a>0恒成立的x的取值范围；)恒成立，则α的取值范围是多少；2. 若不等式 x2+αx+1≥0对于一切x∈(0，123.不等式αx2+2x+1>0在x∈[−2，1]上恒成立，求实数α的取值范围；4.设不等式αx2−2x−a+1<0对于满足|α|≤2的一切值都恒乘以，求x的取值范围；家庭作业：1.函数f(x)=αx2−2x+2 (a∈R)，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求实数α的取值范围；>0 对任意2.已知f(x)是定义在区间[−1,1]上的函数，且f(1)=1，若m，n∈[−1,1]，m+n≠0时，有f(m)+f(n)m+n x∈[−1,1]，f(−x)=−f(x)都成立。
二次函数与一元二次方程总结
二次函数与一元二次方程 知识要点梳理： 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。
抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根△=b 2-4ac>0。
(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，(3)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴没有公共点一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根△=b 2-4ac<0.(4)事实上，抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=h 的公共点情况方程ax 2+bx+c=h 的根的情况。
抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=mx+n 的公共点情况方程ax 2+bx+c=mx+n 的根的情况。
习题练习1.不论x 为何值，二次函数y=ax 2+bx+c 的值恒为负的条件（ ）。
A.a ＞0，b 2-4ac ＜0 B .a ＞0，b 2-4ac ＞0 C. a ＜0，b 2-4ac ＜0 D. a ＜0，b 2-4ac ＞02.已知关于x 的方程ax 2+bx+c=0的一个根为x1=1，且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（ ）。
3.抛物线2283y x x =--与x 轴有 个交点，因为其判别式24b ac -= 0，相应二次方程23280x x -+=的根的情况为 ．4.函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个5. （2008武汉）下列命题：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）．Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②6.关于二次函数2y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的图像开口向下时，方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a -；④当0b =时，函数的图像关于y 轴对称．其中正确命题的个数是（ ）Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个7、抛物线y=ax 2+bx+c 在x 轴的下方，则所要满足的条件是（ ）A 、a ＜0，b 2﹣4ac ＜0B 、a ＜0，b 2﹣4ac ＞0C 、a ＞0，b 2﹣4ac ＜0D 、a ＞0，b 2﹣4ac ＞08.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ）A 、ac ＜0B 、a ﹣b+c ＞0C 、b=﹣4aD 、关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1，x 2=59、已知：a ＞b ＞c ，且a+b+c=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象可能是下列图象中的（ ）A 、B 、C 、D 、10.关于x 的方程25mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数25y mx mx m =++-与x 轴必然相交于 点，此时m = ．11.关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（ ） Ａ．116m <- Ｂ．116m -≥且0m ≠ Ｃ．116m =- Ｄ．116m >-且0m ≠ 12.已知函数22y x mx m =-+-．（1）求证：不论m 为何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个不同交点； （2）若函数y 有最小值54-，求函数表达式． 13、（2010•镇江）已知二次函数y=x 2+2x+m 的图象C 1与x 轴有且只有一个公共点．（1）求C 1的顶点坐标；（2）将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x 轴的一个交点为A （﹣3，0），求C 2的函数关系式，并求C 2与x 轴的另一个交点坐标；。
九年级数学下册 1.4 二次函数与一元二次方程的联系《二次函数与一元二次方程》知识归纳素材 (新版)湘教版
《二次函数与一元二次方程》知识归纳二次函数、一元二次方程这二个“二次式”不仅是初中代数的重要内容，而且有着密切的联系，形成一个完整的知识体系，涉及知识面广，可带动初中数与式，方程与函数的知识联系，运用灵活性大，可强化解题方法、技巧的训练，形成能力．二次函数是主体，一元二次方程为二次函数函数值为零（零点）情况，一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程又要将其与相应的二次函数相联，通过二次函数图象揭示解（集）的几何特征．即1.1二次函数的几何特征：设二次函22224(0)424b ac by ax bx c a x a b aca a-⎛⎫=++=++≠∆=-⎪⎝⎭，，，则（1）二次函数的图象：（2）抛物线张口方向与极值：张口向上，有极小值，244ac b y a -=；张口向下，有极大值，244ac b y a-=；（3）对称轴：2b x a=-． 对称轴在原点左侧a b ⇔，同号；对称轴在原点右侧a b ⇔，异号；对称轴与y 轴重合0b ⇔=．（4）顶点2424b ac b M a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．M 在x 轴上方a ⇔∆，异号；在轴下方a ⇔∆，同号；M 在x 轴上0⇔∆=，M 在直线y kx t =+上2424kb ac b t a a-⇔+=． （5）图象过点()m n ，，图象过点2()m n am bm c n ⇔++=，， 特别地：0m c n =⇔=（为截距）；00m n c ==⇔=；100m n a b c =±=⇔±+=，．1.2、二次函数与一元二次方程：函数2(0)y ax bx c a =++≠，当0y =时，即为一元二次方程20ax bx c ++=，故一元二次方程的解又叫二次函数的零点．令方程0y =的根为12x x ，，则有：二次函数的零点⇔抛物线与x 轴的交点⇔方程0y =的根．（1）交点个数：有两个交点12(0)(0)x x ⇔，，，方程0y =有不等实根0⇔∆>； 有一个交点1(0)x ⇔，方程0y =有等实根0⇔∆=； 无交点⇔方程0y =无实根0⇔∆<． （2）交点位置：两交点在原点两侧⇔方程0y =有异号根0ac ∆>⎧⇔⎨<⎩；两交点在原点同侧⇔方程0y =有同号根0ac ∆>⎧⇔⎨>⎩；两交点在原点右侧⇔方程0y =有两正根000ac ab ∆>⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩；两交点在原点左侧⇔方程0y =有两负根000ac ab ∆>⎧⎪⇔>⎨⎪>⎩；两交点在两数αβ，之间或之外22()()0a b c a b c ααββ⇔++++>⇔方程1200()()0y x x αβ∆>⎧=⎨--<⎩；两交点一个在在两数αβ，之间22()()0a b c a b c ααββ⇔++++>⇔方程121200()()0()()y x x x x ααββ∆>⎧⎪=--⎨<⎪--⎩；两交点在数α的两侧2()0a a b c αα⇔++<⇔方程120()()0y x x αα∆>⎧=⎨--<⎩；两交点在数α的同侧2()0a a b c αα⇔++>⇔方程1200()()0y x x αα∆>⎧=⎨-->⎩；（3）两交点间距离12(0)d x x a⇔=-=∆≥． 例1已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示： （1）试判断a b c ，，及24b ac -的符号； （2）若|OA |＝|OB |，试证明．分析：解本题主要是应用抛物线的几何特性（张口方向，对称轴，截距，与x 轴交点个数）及函数零点（方程）的有关知识，即（1）由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与x 轴交点个数，立即可得：0a >，20040b c b ac <<->，，．（2）由方程202A A b x OA x ax bx c a OB c OA OB ⎧⎫--=⇒=⎪⎪++=⇔⇔⎨⎬⎪⎪=-=⎩⎭，结论．例2已知二次函数244y x x m =++的图象与x 轴两交点和对称轴的交点构成一个正三角形的三个顶点，求函数解析式．分析：求解析式，即求m ，主要是应用抛物线的顶点、对称轴与轴的交点（即解方程）和三角形的有关知识，即：由方程212121440(10)2x x m x m x x -±++=⇒-⇒-=，≥由抛物线顶点0A ⎫⎪⎪⎝⎭，由两点间距离公式求出0A ⎫⎪⎪⎝⎭和0A ⎫⎪⎪⎝⎭的距离： 1214AC x x m =-⇒=（1m =舍去）． 例3m 为何值时，关于x 的方程28(1)(7)0x m x m --+-=的两根： （1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根； （3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2； （5）两根在0，2之间．分析：关于方程根的讨论，结合二次函数图象与x 轴的交点位置的充要条件即可求：即设方程两根为12x x ，则（1）12120079250x x m m x x ∆⎧⎪+>⇒<⎨⎪>⎩或≥≤≥；（2）12120010x x m x x ∆>⎧⎪+<⇒<⎨⎪<⎩；（3）12120225(1)(2)0x x m x x ∆⎧⎪+>⇒⎨⎪-->⎩≥≥； （4）12027(2)(2)0m x x ∆>⎧⇒>⎨--<⎩；（5）121212007925270(2)(2)0x x m m x x x x ∆⎧⎪+>⎪⇒<<⎨>⎪⎪-->⎩或≥≤≤．例4证明关于的不等式2(32)210k x kx k -++-<与2211012k x kx ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭，当k 为任意实数时，至少有一个恒成立．分析：证明不等式恒成立，实质是证明对应抛物线恒在轴的上方或下方的问题，故只要求抛物线恒在轴上方或下方的充要条件即可．即由2(32)210k x kx k -++-<恒成立⇔对应抛物线恒在轴下方23201244(32)(1)0k k k k k -<⎧⇔⇒<⎨---<⎩；由2211012k x kx ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭恒成立⇔对应抛物线恒在轴上方 2221012111334012k k k k k ⎧->⎪⎪⇔⇒<->⎨⎛⎫⎪--< ⎪⎪⎝⎭⎩或．因此，当k 为任意实教时，上述两充要条件至少有一个成立，命题得证．例5已知关于x 的方程222460x mx m -+-=两根为αβ，，试求22(1)(1)αβ-+-的极值．分析：求22(1)(1)αβ-+-的极值，即应用方程根与系数的关系和判别式，求二次函数的条件极值的问题．即αβ，为方程的两根20246m m m αβαβ⎧∆>⎪⇒+=⇒⎨⎪=-⎩22221(1)(1)()2()22152n u m αβαβαβαβ⎛⎫=-+-=+-+-+⇒=-++ ⎪⎝⎭，又max min 156m u u ⇒==-，。
2019编辑2019年全国中考数学真题分类汇编：一元二次方程和应用(含答案).doc
2019年全国中考数学真题分类汇编：一元二次方程及应用一、选择题1.（2019年山东省滨州市）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3【考点】解一元二次方程【解答】解：x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝﹣1+4，（x﹣2）2＝3，故选：D．2. （2019年四川省达州市）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500（1+x）2＝9100B．2500（1+x%）2＝9100C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．故选：D．3. （2019年广西贵港市）若α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，且+=-，则m等于（）A. B. C. 2 D. 3【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】解：α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，∴α+β=2，αβ=m，∵+===-，∴m=-3；故选：B．4. （2019年江苏省泰州市）方程2x2+6x－1=0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（）A ．－6B ．6C ．－3D ． 3 【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】试题分析：∵一元二次方程2x 2+6x －1=0的两个实根分别为x 1，x 2，由两根之和可得; ∴x 1+x 2=﹣26=3， 故答案为：C ．5. （2019年河南省）一元二次方程（x +1）（x ﹣1）＝2x +3的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：原方程可化为：x 2﹣2x ﹣4＝0， ∴a ＝1，b ＝﹣2，c ＝﹣4，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0， ∴方程由两个不相等的实数根． 故选：A ．6. （2019年甘肃省天水市）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿 线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区 居民年人均收入平均增长率为 ．（用百分数表示） 【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x ， 20000（1+x ）2＝39200，解得，x 1＝0.4，x 2＝﹣2.4（舍去），∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%， 故答案为：40%．7. （2019年甘肃省）若一元二次方程x 2﹣2kx +k 2＝0的一根为x ＝﹣1，则k 的值为（ ） A ．﹣1B ．0C ．1或﹣1D ．2或0【考点】一元二次方程的解【解答】解：把x ＝﹣1代入方程得：1+2k +k 2＝0， 解得：k ＝﹣1， 故选：A ．8. （2019年湖北省鄂州市）关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ＝0的两实数根分别为x 1、x 2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）A．B．C．D．0【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】解：∵x1+x2＝4，∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，∴x2＝，把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，解得：m＝，故选：A．9. （2019年湖北省荆州市）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，∴k＞0，b≤0，∴△＝k2﹣4b＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．10. （2019年黑龙江省伊春市）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意，得：1+x+x2＝43，解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．故选：C．11. （2019年内蒙古包头市）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或36【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】解：当a＝4时，b＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+b＝12，∴b＝8不符合；当b＝4时，a＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+a＝12，∴a＝8不符合；当a＝b时，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴12＝2a＝2b，∴a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34；故选：A．12. （2019年内蒙古赤峰市）某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为（）A．400（1+x2）＝900 B．400（1+2x）＝900C．900（1﹣x）2＝400 D．400（1+x）2＝900【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设月平均增长率为x，根据题意得：400（1+x）2＝900．故选：D．13. （2019年内蒙古呼和浩特市）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x22﹣4x12+17的值为（）A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，x12+x1＝3，∴x22﹣4x12+17＝x12+x22﹣5x12+17＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣5x12+17＝（﹣1）2﹣2×（﹣3）﹣5x12+17＝24﹣5x22＝24﹣5（﹣1﹣x1）2＝24﹣5（x12+x1+1）＝24﹣5（3+1）＝4，故选：D．14. （2019年内蒙古通辽市）一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（）A．48 B．24 C．24或40 D．48或80【考点】一元二次方程的应用【解答】解：（x﹣5）（x﹣3）＝0，所以x1＝5，x2＝3，∵菱形一条对角线长为8，∴菱形的边长为5，∴菱形的另一条对角线为2＝6，∴菱形的面积＝×6×8＝24．故选：B．15. （2019年新疆）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≤B．k＞C．k＜且k≠1D．k≤且k≠1【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，∴，解得：k≤且k≠1．故选：D．16.（2019年新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）A．x（x﹣1）＝36 B．x（x+1）＝36C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，故选：A．二、填空题1.（2019年上海市）如果关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：由题意知△＝1﹣4m＜0，∴m＞．故填空答案：m＞．2. （2019年山东省济宁市）已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是．【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解答】解：∵x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，∴x1x2＝＝﹣2，∴1×x2＝﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故答案为﹣2．3. （2019年山东省青岛市）若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：根据题意得：△＝1﹣4×2m＝0，整理得：1﹣8m＝0，解得：m＝，故答案为：．4. （2019年山东省枣庄市）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：由关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根得△＝b 2﹣4ac ＝4+4×3a ＞0， 解得a ＞ 则a ＞且a ≠0故答案为a ＞且a ≠05. （2019年四川省资阳市）a 是方程2x 2＝x +4的一个根，则代数式4a 2﹣2a 的值是 ． 【考点】一元二次方程的解【解答】解：∵a 是方程2x 2＝x +4的一个根， ∴2a 2﹣a ＝4，∴4a 2﹣2a ＝2（2a 2﹣a ）＝2×4＝8． 故答案为：8．6. （2019年江苏省泰州市）若关于x 的方程x 2+2x +m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】∵关于x 的方程x 2+2x +m ＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4﹣4m ＞0 解得：m ＜1，∴m 的取值范围是m ＜1. 故答案为：m ＜1.7. （2019年江苏省扬州市）一元二次方程()22-=-x x x 的根为___.【考点】一元二次方程的解法 【解答】解：()22-=-x x x()()021=--x x x 1=1， x 2=28. （2019年湖北省十堰市）对于实数a ，b ，定义运算“◎”如下：a ◎b ＝（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2．若（m +2）◎（m ﹣3）＝24，则m ＝ ．【考点】一元二次方程的解法【解答】解：根据题意得[（m +2）+（m ﹣3）]2﹣[（m +2）﹣（m ﹣3）]2＝24， （2m ﹣1）2﹣49＝0，（2m ﹣1+7）（2m ﹣1﹣7）＝0， 2m ﹣1+7＝0或2m ﹣1﹣7＝0，所以m 1＝﹣3，m 2＝4． 故答案为﹣3或4．9. （2019年甘肃省武威市）关于x 的一元二次方程x 2+x +1＝0有两个相等的实数根，则m 的取值为 ．【考点】一元二次方程根的判别式 【解答】解：由题意，△＝b 2﹣4ac ＝（）2﹣4＝0得m ＝4 故答案为410. （2019年辽宁省本溪市）如果关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +k ＝0有实数根，那么k 的取值范围是 ．【考点】一元二次方程根的判别式 【解答】解：根据题意得：△＝16﹣4k ≥0， 解得：k ≤4． 故答案为：k ≤4．11. （2019年西藏）一元二次方程x 2﹣x ﹣1＝0的根是 ． 【考点】一元二次方程的解法【解答】解：△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5， x ＝，所以x 1＝，x 2＝．故答案为x 1＝，x 2＝．三、解答题1.（2019年安徽省）解方程2x 1=4-（）【考点】一元二次方程的解法【解答】利用直接开平方法：x-1=2或x-1=-2 ∴ ， 2.（2019年北京市）关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．【考点】一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法【解答】∵01222=-+-m x x 有实数根，∴△≥0，即0)12(4)2(2≥---m ，∴1≤m∵m 为正整数，∴1=m ，故此时二次方程为,0122=+-x x 即0)1(2=-x∴121==x x ，∴1=m ，此时方程的根为121==x x3.（2019年乐山市）已知关于x 的一元二次方程04)4(2=++-k x k x . （1）求证：无论k 为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为1x 、2x ，满足431121=+x x ，求k 的值； （3）若Rt △ABC 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根1x 、2x ，求∆Rt ABC的内切圆半径.【考点】一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、一元二次方程根与系数关系、内切圆 【解答】（1）证明： 0)4(16816)4(222≥-=+-=-+=∆k k k k k ，∴无论k 为任何实数时，此方程总有两个实数根.（2）由题意得：421+=+k x x ，k x x 421=⋅， 431121=+x x，432121=⋅+∴x x x x ，即4344=+k k ， 解得：2=k ；（3）解方程得：41=x ，k x =2，根据题意得：22254=+k ，即3=k ， 设直角三角形ABC 的内切圆半径为r ，如图， 由切线长定理可得：5)4()3(=-+-r r ，∴直角三角形ABC 的内切圆半径r =12543=-+；4.（2019年重庆市）某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？ （2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，64月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少a%．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，求a的值．【考点】一元一次方程的应用与解法、一元二次方程的应用与解法【解答】（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，由题意得：2（50×2x+80x）＝90000，解得x＝250答：该小区共有250套80平方米的住宅．（2）参与活动一：50平方米住宅每户所交物管费为100元，有500×40%＝200户参与活动一，80平方米住宅每户所交物管费为160元，有250×20%＝50户参与活动一；参与活动二：50平方米住宅每户所交物管费为100（1﹣%）元，有200（1+2a%）户参与活动二；80平方米住宅每户所交物管费为160（1﹣%）元，有50（1+6a%）户参与活动二．由题意得100（1﹣%）•200（1+2a%）+160（1﹣%）•50（1+6a%）＝[200（1+2a%）×100+50（1+6a%）×160]（1﹣a%）令t＝a%，化简得t（2t﹣1）＝0∴t1＝0（舍），t2＝，∴a＝50．答：a的值为50．5. （2019年山东省德州市）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．【考点】一元二次方程的应用与解法【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：128+128（1+x ）+128（1+x ）2=608 化简得：4x 2+12x -7=0 ∴（2x -1）（2x +7）=0， ∴x =0.5=50%或x =-3.5（舍）答：进馆人次的月平均增长率为50%． （2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3=128×=432＜500答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．6. （2019年四川省攀枝花市）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚 熟芒果远销北上广等大城市。
2019初升高数学衔接第二讲 一元二次方程与二次函数的关系
2019初升高数学衔接第2讲 一元二次方程与二次函数的关系1. 一元二次方程根的判别式:对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 根与系数的关系（韦达定理）如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．✓ 巩固训练1. 方程0232=+-x kx 有两个相等的实数根，则必修满足（ ）89.89.0.0.=-=≥=k D k C k B k A 2. 已知1x 与2x 是0122=-+-m mx x 的两个根，且72221=+x x ，则()221x x -=（ ）25.13.12.1.D C B A3. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，则2112x x x x += . 4. 关于x 的方程()0422=+++kx k kx 有两个不相等的实数根. （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.2. 二次函数2y ax bx c =++的性质二次函数表达式一般式：()02≠++=a c bx ax y顶点式：()k h x a y +-=2交点式：()()21x x x x a y --=当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。
当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -。
当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。
2019年人教版中考数学《二次函数与一元二次方程的关系》复习课件
1 当y=b时,有 (x+1)2=b,即x2+2x+1-3b=0, 3
∴x1+x2=-2,x1x2=1-3b. ∵BC=6,∴x1-x2=6, ∴(x1-x2)2=36,即(x1+x2)2-4x1x2=36,则4-4(1-3b)=36,解得b=3.
题型二
利用二次函数求一元二次方程的近似根
这类问题主要考查利用二次函数的图象和性质求一元二次方程的近似根,由 于这类问题的计算量较大,因此需要借助于计算器,并在估根时尽量减小误 差.
变式训练1 (2018邯郸一模)如图,在平面直角坐标系中,过点A与x轴平行的
1 直线交抛物线y= (x+1)2于点B,C,线段BC的长度为6,抛物线y=-2x2+b与y轴交 3
于点A,则b的值为 (
C )
A.1
B.4.5
C.3
D.6
答案 C
根据题意,知点A的坐标为(0,b),设C(x1,b),B(x2,b).
答案 (1)证明:∵Δ=(k-5)2-4(1-k)=k2-6k+21=(k-3)2+12>0,
∴无论k为何值,方程总有两个不相等的实数根. (2)∵y=x2+(k-5)x+1-k的二次项系数a=1, ∴抛物线开口方向向上. ∵Δ=(k-3)2+12>0, ∴抛物线与x轴有两个交点. 设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2. ∵二次函数y=x2+(k-5)x+1-k的图象不经过第三象限,
典例1 (2017湖北荆州中考)已知关于x的一元二次方程x2+(k-5)x+1-k=0,其中
k为常数. (1)求证:无论k为何值,方程总有两个不相等的实数根; (2)已知函数y=x2+(k-5)x+1-k的图象不经过第三象限,求k的取值范围; (3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k的最大整数值.
二次函数与一元二次方程知识点及经典例题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的关系1、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的根是二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标，反之y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的根；2、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x ②直接看方程③平移例1：抛物线y=ax 2＋bx ＋c 图像如下， ① ax 2＋bx ＋c =0的根有 （ ②ax 2＋bx ＋c+3＝0的根有（ ）个③ax 2＋bx ＋c －4＝0的根有（ ）个x 3-≥a例2：若关于x 的不等式组 无解，则二次函数y=（a-2）x 2-x ＋41与Xx a 515-≤轴交点有（ ）个；例3：一元二次方程22717)83(2-=-x y 与X 轴的交点个数为（ ）个；例4：二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：（1） 写出方程ax 2＋bx ＋c =0的两个根；（2） 写出不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集；（3） 写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范值；（4） 若方程ax 2＋bx ＋c =k 有两个不相等的实数根，求k的取什范围。
3、 韦达定理在二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0）中的应用（a c a b x x x x =-=+2121，）① 已知其中一个交点，求另一个交点：例5：若抛物线m x y x +-=22与X 轴的一个交点是（－2，0）则另一个交点是（ ）；② 求两交点A,B 线段的长度x x x x AB 212421)(-=+例6：若抛物线32-+=ax y x 与X 轴的交点为A ，B ，且AB 的长度为10，求a③ 利用韦达定理求面积：例7：抛物线m x y x ++=-22与X 轴的一个交点是A(3，0），另一个交点是B ，且与y 轴交于点C ，（1）求m 的值；（2）求点B 的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D （x ，y ）（其中x>0，y>0），使s s ABC ABD ∆∆=，求点D 的坐标。
九年级数学下册14二次函数与一元二次方程的联系二次函数与一元二次方程例题讲析素材湘教版
《二次函数与一元二次方程》[例1]利用二次函数的图象求一元二次方程-2238x x +-=-的近似解.[点拨] 由于223y x x =-+-的函数值为8-时，对应点的横坐标即为一元二次方程2238x x -+-=-的解，故可通过作出函数图象来估算方程的近似解.解：在平面直角坐标系内作出函数223y x x =-+-的图象，如下图由图象可知方程2238x x -+-=-的根是抛物线223y x x =-+-与直线8y =-的交点.左侧的交点横坐标在1-与2-之间，另一个交点的横坐标在3与4之间.（1）先求交点横坐标在1-与2-之间的根，用计算器进行探讨. x 1.1-1.2- 1.3- 1.4- 1.5- y 6.41-6.84-7.29- 7.76-8.25- 因此， 1.4x =-是方程2238x x -+-=-的一个近似解.（2）另一个解也可类似地求出.x 3.13.2 3.3 3.4 3.5 y 6.41-6.8-7.29- 7.76-8.25- 因此， 3.4x =是方程2238x x -+-=-的另一个近似解.故一元二次方程2238x x -+-=-的解为121.4, 3.4x x =-=.此刻咱们用求根公式来验证一下.关于方程2238x x -+-=-整理得2250x x --=. 242022416x ±+±∴===±. 123.449 3.4, 1.449 1.4x x ∴=≈=-≈-因此利用图象法求得方程2238x x -+-=-的近似解121.4, 3.4x x =-=是完全正确的.[例2]已知函数24 3.y x x =-+（1）该函数图象与x 轴有几个交点?请作图予以验证;（2）试说明一元二次方程2432x x -+=的根与函数243y x x =-+的图象的关系,并将方程的根在图象上表示出来;（3）试问当x 为何值时,函数y 的值为15?[点拨]（1）可通过解方程,求出方程的解,即可明白图象与x 轴有几个交点;（2）方程2432x x -+=的根能够看做是函数243y x x =-+的值为2时x 的值,现在可依据图象来确信方程的解;（3）要使函数y 的值为15,即是确信24315x x -+=的解,这时既可观看图象估算出x 的值,也可直接解方程确信相应x 的值.解 ： （1）24161242430,2 1.2x x x ±-±-+=∴===± 123,1,x x ∴==即方程有两个实数解.∴ 函数243y x x =-+与x 轴必交于两点,且两点的横坐标为1和3,如下图.（2）由图可知,一元二次方程2432x x -+=的解正是函数243y x x =-+的函数值2y =时对应图象上点的横坐标,现在方程的解为x a =和x b =,,a b 在x 轴上的对应点如下图;（3）利用24315x x -+=得24120x x --=.解得122,6x x =-=即当2x =-或6x =时,函数243y x x =-+的值为15.[例3]已知抛物线221(6)32y x m x m =-++-与x 轴有A,B 两个交点,且A,B 关于y 轴对称. （1）求m 的值;（2）写出抛物线的解析式及极点坐标;（3）依照二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.[点拨]:关于抛物线221(6)32y x m x m =-+-+-给出了两个条件（1）抛物线与x 轴有两个交点;（2）两交点关于y 轴对称,关于条件（1）,由于二次项系数为负（12-）,因此抛物线开口向下.抛物线与x 轴有两个交点意味着其极点在x 轴上方，即极点纵坐标大于零；这两交点关于y 轴对称，意味着 抛物线的对称轴为y 轴，即极点横坐标为零，由此，能够确信m 的值.解：（1）设A （1x ，0），B （2x ，0），因为A ，B 关于y 轴对称，因此12120,0.x x x x +=⎧⎨<⎩ 020b a c a⎧-=⎪⎪∴⎨⎪<⎪⎩ 即()()22(6)0,12(3)0,2m m ⎧-=⎪⎨--<⎪⎩ 由（1）得6,6,m m ==±代入（2）验证6m =-不全合题意，6.m ∴=（2）把6m =代入解析式：213,2y x =-+极点坐标为(),3o . （3）方程221(6)302x m x m -+-+-=两个不等实根互为相反数或两个不等实根之和为零.[例4]已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过（－1，7），且在x 轴上截取长为3的线段，对称轴方程是x －1＝0，求那个二次函数的解析式. 分析 按通常的解法，此题应列方程组来解，但假设能深刻试探“在x 轴”上截取长为3的线段，对称轴方程是“x －1＝0”的深层含义，充分利用抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的两交点的坐标别为（2.5，0），（－0.5，0），且2.5和－1.5是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，假设利用这些信息求解析式，那么变得十分简单，方式也更为轻巧.解：抛物线的对称轴方程是x ＝1，且在x 轴上截取的线段为3，因此抛物线与x 轴交点坐标别离为（2.5，0）（－0.5，0）.设此函数解析式为y＝a（x－2.5）（x＋0.5），把（－1，7）代入，解得a＝4；因此所求的二次函数解析式为y＝4x2－8x－5.由于二次函数的解析式中有三个参数a，b，c；运用待定系数法求a，b，c时，那么需3个独立条件，已知3个点的坐标是最大体的条件，但如果是已知对称轴方程，或抛物线与x轴的一个交点坐标，或截得线段的长时，仍可利用抛物线的对称性，转化为那个大体条件，只需把握那个转化就能够够了，那个地址确实是一例.。
【特荐】九年级上册数学 人教版 二次函数与一元二次方程的关系(知识点+练习题)
课题：二次函数与一元二次方程的关系（一）二次函数与坐标轴的交点 环节一、求函数与坐标轴的交点坐标1、求一次函数36y x =+与x 轴、y 轴的交点坐标. 解：当x=0时，y=∴函数36y x =+与 轴的交点坐标是（ ， ） 当y=0时，得方程 解得∴函数36y x =+与 轴的交点坐标是（ ， ） 2、求二次函数y=x 2-4x+3与x 轴，y 轴的交点坐标. 解：当x=0时，y=∴函数与 轴的交点坐标是（ ， ）； 当y=0时，得方程 解得∴函数与 轴的交点坐标是（ ， ）与（ ， ）.3、求二次函数962++=x x y 与x 轴，y 轴的交点坐标解：4、求二次函数322+-=x x y 与x 轴，y 轴的交点坐标解：环节二：两个函数的交点坐标1、如图，已知直线x y =与直线3+-=x y 相交 于点A ， 则交点A 的坐标是即方程组⎩⎨⎧+-==3x y xy 的解是直线x y =与直线3+-=x y 的交点坐标（x ，y ）是方程组⎩⎨⎧+-==3x y xy 的 .5、求二次函数y=x 2和y=21x+3的交点坐标. 解：依题意，得方程组⎩⎨⎧解得⎩⎨⎧∴二次函数y=x 2和y=21x+3的交点坐标是 . 3、由上题还可知：方程x 2=21x+3的解是 .归纳总结：1、二次函数与一元二次方程的关系：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点的横坐标12,x x 是一元二次方程 的根.2、（1）当24b ac - 0 时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴有 个不同的交点；（2）当24b ac -=0 时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有 根，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴有 个交点；（3）当24b ac - 0 时，方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴 交点；环节三、巩固练习 A 组1、抛物线y=x 2-5x-6 与y 轴的交点坐标（ ， ）；与x 轴交点的坐标（ ， ）和（ ， ）.2、抛物线y=--2x 2+3x+2 与y 轴的交点坐标（ ， ）；与x 轴交点的坐标（ ， ）和（ ， ）.3、已知方程2x 2-3x+5=0的两个根是25，-1，则二次函数y=2x 2-3x-5与x 轴两个交点坐标（ ， ）和（ ， ），两交点间距离为 .4、不论m 为何实数时，抛物线y=x 2－mx －1与x 轴的交点（ ）.A.有0个B.有1个C.有2个D.无法确定5、已知直线y=－2x+3与抛物线y=x 2相交于A 、B 两点，求A 、B 两点的坐标.6、已知：二次函数y=2x 2-4x-6，求：（1）函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，（2）求函数图象与y 轴交点、与x 轴交点坐标，并画出草图 ※（3）以此函数与x 轴，y 轴交点为顶点的三角形的面积 解：（二）、二次函数与一元二次不等式之间的关系 环节一、例题学习例1、已知：二次函数y=x 2-3x-4的图象（如图）（1）方程x 2-3x-4=0的解是 ，则二次函数与x 轴交点的坐标是（ ， ）和（ ， ）；图象与y 轴交点坐标是（ ， ）；（2）看图得：当x 或x 时，y>0；此时不等式x 2-3x-4>0 的解集为（3）看图得：当 <x< 时，y<0；此时不等式x 2-3x-4<0的解集为 例2、已知y=x 2+4x-12,当x 取何值时y>0, 当x 取何值时y ＜0?解：函数2412y x x =+-，开口向 ，对称轴 ，顶点坐标 ；函数y= x 2+4x-12与x 轴交点坐标（ ， ）和（ ， ） 根据开口方向、顶点坐标和对称轴与x 轴交点坐标，画出函数草图： 看图回答：不等式x 2+4x-12>0的解集由上图，可得，不等式x 2+4x-12<0的解集是 .小结：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为()()0,0,21x x ： ① 0＞a当 时，0＞y 即ax 2+bx+c>0；当 时，0＜y 即ax 2+bx+c<0； ② 0＜a当 时，0＞y 即ax 2+bx+c>0；当 时，0＜y 即ax 2+bx+c<0. 环节二、巩固练习 A 组1、抛物线如图所示：①当x 时，y=0； ②当x= 时，y 有最 值.③当x<－1或x>3时，y 0；当－1<x<3时，y 0； -11 2 3xyO —1 —22、抛物线y=x 2-2x-8开口 ，对称轴 ，顶点坐标 ， 与y 轴的交点坐标（ ， ）与x 轴交点的坐标（ ， ）和（ ， ）。
专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质(解析版)
专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质【知识点梳理】 知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a-+=．① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =， 则有1222b bx x a a-+===-；221222(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a-+---=⋅===．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知 x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 知识点3：二次函数图像的伸缩变换问题 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系． 先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 先列表：再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到． 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0) 知识点4：二次函数图像的平移变换函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋bx a＋224b a )＋c －24b a224()24b b aca x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．【题型归纳目录】 题型1：根的判别式题型2：根与系数的关系（韦达定理） 题型3：二次函数图像的伸缩变换 题型4：二次函数图像的平移变换【典型例题】 题型1：根的判别式例1．已知关于x 的一元二次方程(k -2)x 2-2kx +k +1=0，若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 【答案】2k -＞且2k ≠ 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式大于0即可求解． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22210()k x kx k --++=有两个不相等的实数根， ∴224(2)4(2)(1)480b ac k k k k ∆=-=---+=+>，且20k -≠； 解得，2k -＞且2k ≠． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 例2．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2-4mx +4m 2-9＝0的两实数根． (1)若这个方程有一个根为-1，求m 的值；(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m 的取值范围；(3)已知Rt △ABC 的一边长为7，x 1，x 2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m 的值．【答案】(1)m的值为1或-2 (2)-2＜m＜1(3)m m＝49 24【解析】【分析】（1）把x=-1代入方程，列出m的一元二次方程，求出m的值；（2）首先用m表示出方程的两根，然后列出m的不等式组，求出m的取值范围；（3）首先用m表示出方程的两根，分直角△ABC的斜边长为7或2m+3,根据勾股定理求出m的值.(1)解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根，这个方程有一个根为-1，∴将x＝-1代入方程x2-4mx+4m2-9＝0，得1+4m+4m2-9＝0．解得m＝1或m＝-2．∴m的值为1或-2．(2)解：∵x2-4mx+4m2＝9，∴(x-2m)2＝9，即x-2m＝±3．∴x1＝2m+3，x2＝2m-3．∵2m+3＞2m-3，∴231 231 mm+-⎧⎨--⎩＞＜解得-2＜m＜1．∴m的取值范围是-2＜m＜1．(3)解：由(2)可知方程x2-4mx+4m2-9＝0的两根分别为2m+3，2m-3．若Rt△ABC的斜边长为7，则有49＝(2m+3)2+(2m-3)2．解得m＝∵边长必须是正数，∴m若斜边为2m+3，则(2m+3)2＝(2m-3)2+72．解得m＝49 24．综上所述，m m ＝4924．【点睛】本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般.例3．关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有实数根． (1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根，求此时m 的值． 【答案】(1)94k ≤ (2)32m =【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；（2）根据（1）确定2k =，从而求出方程2320x x -+=的解为121=2x x =，，然后分相同的根为1x =时和2x =时，两种情况讨论求解即可． (1)解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有实数根， ∴()22=4=340b ac k ∆---≥， ∴94k ≤； (2) 解：∵94k ≤， k 是符合条件的最大整数， ∴2k =，∴方程230x x k -+=即为2320x x -+=， 解方程2320x x -+=得：121=2x x =，，∵一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根 当这个相同的根为1x =时， ∴1130m m -++-=， ∴32m =； 当这个相同的根为2x =时，∴()4123m m -++-， ∴1m =，∵当1m =时，方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0即为20x -=不是一元二次方程， ∴32m =． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解等等，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．例4．已知关于x 的一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若方程有一个根是0，求方程的另一个根． 【答案】(1)14m ＞ 且0m ≠ (2)另一个根为32【解析】 【分析】（1）由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可． （2）将x =0代入原方程，求出m ，再解方程即可． (1)解：∵2(21)20mx m x m --+-=是一元二次方程， 0m ∴≠ ，∵一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数，240b ac ＞ ，即：2(21)4(2)0m m m ＞ ，整理得：410m ＞ ， 14m ＞， 综上所述：14m ＞ 且0m ≠． (2)∵方程有一个根是0，将x =0代入方程得：20m -= ，2m ∴= ，则原方程为：2230x x -= ，解得：1230,2x x ==， ∴方程的另一个根为32．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式与根的关系：0＞方程有两个不相等的实数根 ， =0方程有两个相等的实数根，0＜方程没有实数根，方程有实数根．熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键，一元二次方程的二次项系数不能为0是易错点． 例5．已知关于x 的一元二次方程2240x mx m -+-=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)2x =是方程的一个根吗？若方程有一个实数根为负数，求正整数m 的值． 【答案】(1)见解析(2)x =2是方程的一个根，1m = 【解析】 【分析】（1）证明Δ≥0即可；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可． (1)证明：∵Δ=（-m ）2-4×（2m -4） =m 2-8m +16 =（m -4）2， ∵（m -4）2≥0，∴方程总有两个实数根． (2)解：把x =2代入方程左边，得左边=22-2m +2m -4=0=右边， ∴x =2是方程x 2-mx +2m -4=0的一个根； 用因式分解法解此方程x 2-mx +2m -4=0， 可得（x -2）（x -m +2）=0， 解得x 1=2，x 2=m -2，若方程有一个根为负数，则m -2＜0， 故m ＜2， ∴正整数m =1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．题型2：根与系数的关系（韦达定理）例6．已知关于x 的一元二次方程()22120mx m x m ++++=有两个不相等的实数根1x ，2x ．(1)求m 的取值范围；(2)若120x x ⋅=，求方程的两个根． 【答案】(1)14m <且0m ≠ (2)10x =，232x =-【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，从而到关于m 的不等式，求出m 的范围即可；（2）利用根与系数的关系可得122m x x m+⋅=，根据120x x ⋅=可得关于m 的方程，整理后即可解出m 的值，最后求出方程的根． (1)解：∵关于x 的一元二次方程()22120mx m x m ++++=有两个不相等的实数根，∴0>且0m ≠，即()()221420m m m +-⨯⨯+>且0m ≠， 解得：14m <且0m ≠． (2)∵关于x 的一元二次方程()22120mx m x m ++++=有两个不相等的实数根1x ，2x ，∴122m x x m+⋅=， ∵120x x ⋅=， ∴20m m+=， 解得：2m =-，经检验：2m =-是分式方程的解， ∴当2m =-时，方程为：2230x x --=， 解得：10x =，232x =-．【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程以及分式方程等知识．关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：⑴0>⇔方程有两个不相等的实数根；⑵0=⇔方程有两个相等的实数根；⑶0<⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：1x ，2x 是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的两根时，12b x x a +=-，12c x x a⋅=． 例7．已知关于x 的一元二次方程2(31)210ax a x a -+++=． (1)求证：无论a 为任何非零实数，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根分别为1x 、2x ，且212x x -=，求a 的值． 【答案】(1)见解析；(2)11a =，213a =-【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式的变形求值即可． (1)解：∵一元二次方程2(31)210ax a x a -+++=，2(31)4(21)a a a ∆=+-+，221a a =++2(1)0a =+≥∴无论a 为任何非零实数，此方程总有两个实数根； (2)解：依题意得，1231a a x x ++=，1221a ax x +=， ∵212x x -=，∴21212()44x x x x +-=，∴2314(21)()4a a a a++-=，即23210a a --=， （3a +1）（a -1）=0，解得11a =，213a =-；【点睛】本题考查了一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-及根与系数的关系12b x x a+=-，12c x x a=．例8．若α=20x x t -+=的根；(1)则方程的另外一个根β=______，t =______；(2)求()()323211ααββ-+-+的值．【答案】1- (2)1【解析】【分析】 （1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）根据,αβ是为一元二次方程210x x --=的根，可得3232αααβββ-=-=，，代入代数式化简，进而根据一元二次方程根与系数的关系代入求解即可．(1)解：∵α=20x x t -+=的根，设方程的另外一个根为β， ∴1βα+=1β∴==1t αβ∴=⋅==-1-； (2) ,αβ是为一元二次方程210x x --=的根210αα∴--=，210ββ--=21αα∴-=，21ββ-=，0α≠，0β≠，32ααα∴-=，32βββ-=，∴()()323211ααββ-+-+()()11αβ=++1αβαβ=+++1αβ+=，1αβ=-，∴原式1111=-+=【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的意义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．例9．已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m --+=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)若此方程的两实数根12,x x 满足()()12117x x --=，求m 的值．【答案】(1)34m <(2)1m =-【解析】【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则0∆>，由此求得m 的取值范围；（2）由12(1)(1)7x x --=得1212()17x x x x -++=，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解．(1) 解：关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m --+=有两个不相等的实数根， ∴22(23)40m m ∆=-->， 解得34m <． (2)解：根据题意得，212x x m =，1223x x m +=-．12(1)(1)7x x --=，∴1212()17x x x x -++=，即2(23)17m m --+=，解得1m =-或3m =， 又34m <， ∴1m =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握两根之和与两根之积的表达式是解决本题的关键．例10．已知关于x 的一元二次方程22430x kx k -+=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若0k >，且该方程的两个实数根的差为3，求k 的值．【答案】(1)见解析 (2)32【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出24=b ac ∆-结合偶次方的非负性可得出Δ≥0，进而可证出：无论k 为何实数，方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=4k ，x 1x 2=3k 2，结合（x 1-x 2）2=9，即可得出关于k 的方程，解之即可得出结论．(1)∵222(4)4134k k k ∆=-⨯⨯=，且无论k 为何实数，240k ≥∴Δ≥0∴该方程总有两个实数根；(2)方法一：设该方程两个实数根分别为()1212,x x x x ≥，则有124x x k +=，1223x x k ⋅=123x x -=则()2129x x -= ()2121249x x x x ⋅+-= 2216129k k -=294k = 解得：32k =± ∵0k >． ∴32k 方法二：()()30x k x k --=解得：1x k =，23x k = 由题意得：123x x -=33k k -=，解得：32k =± ∵0k >．∴32k 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ=0时，一元二次方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系结合（x 1-x 2）2=1，找出关于k 的方程．题型3：二次函数图像的伸缩变换例11．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．(1)若点A 的坐标为（4，0）、点B 的坐标为（﹣1，0），求a +b 的值；(2)若y ＝ax 2+bx ﹣2的图象的顶点在第四象限，且点B 的坐标为（﹣1，0），当a +b 为整数时，求a 的值．【答案】(1)1a b +=- (2)13,1,22a = 【解析】【分析】（1）代入A 、B 坐标，求出a 、b 的值即可得解；（2）根据抛物线顶点在第四象限，又与x 轴有两个交点，得到抛物线的开口向上，即a ＞0，根据顶点在第四象限得出02b a-＞，求出a 的取值范围，进而得出a +b 的取值范围，即可求解． (1)代入A 、B 坐标，可得： 1642020a b a b +-=⎧⎨--=⎩， 解得1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 则a +b =-1；(2)∵抛物线顶点在第四象限，又与x 轴有两个交点，∴抛物线的开口向上，即a ＞0，且抛物线对称轴02b xa＞， ∵抛物线过B 点(-1,0)，∴代入B 点坐标可得：a -b -2=0，则有b =a -2，∴2022b a a a --=-＞， 解得a ＜2，∴02a ＜＜，∵a +b =a +a -2=2a -2，∴2222a --＜＜，∵a +b 是整数，∴a +b =a +a -2=2a -2为整数，∴2a -2可以为-1,0,1，∴a 可以为12，1，32． 【点睛】本题考查了求解抛物线与x 轴的交点、抛物线函数图象的坐标特征等知识，根据抛物线顶点在第四象限，又与x 轴有两个交点，得到抛物线的开口向上，即a ＞0，是解答本题的关键．例12．抛物线212y x bx c =-++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于点C ，对称轴为直线32x =-．(1)如图1，若点C 坐标为(0,2)，则b =_______，c =_________；(2)若点P 为第二象限抛物线上一动点，在（1）的条件下，求四边形ABCP 面积最大时，点P 坐标和四边形ABCP 的最大面积；(3)如图2，点D 为抛物线的顶点，过点O 作MN CD ∥别交抛物线于点M ，N ，当3MN CD =时，求c 的值．【答案】(1)32-，2； (2)点P （-2，3），四边形ABCP 的最大面积为9； (3)94． 【解析】【分析】（1）根据解析式和对称轴可求出b ，根据C 点坐标即可求出ｃ；（2）求出1:22AC l y x =+，过点P 作x 轴的垂线，交AC 于点Q ，设点213(,2)22P x x x --+，(0)x <，求出24(0)APC S x x x =--<△，进一步求出S 四边形ABCP 22=45(2)9APC ABC S S x x x +=--+=-++△△，即可求出结果；（3）求出直线CD 的解析式为：34y x c =-+，进一步可得直线MN 的解析式为：34y x =-，分别过C ，N 作x 轴的平行线，过D ，M 作y 轴的平行线交于点G ，H ，证明MHN DGC ∽△△，即可求出结果． (1)解：由题意可知：∵322b x a =-=-，∴32b =-， ∵点C 坐标为(0,2)，∴2c =；(2) 解：令2130222y x x ==--+，整理得(1)(4)0x x -+=， 解得1x =或4x =-，∴(4,0)A -，(1,0)B ，∵(0,2)C ，∴5AB =，2OC =， ∴152ABC S AB OC =⨯=△， ∵(4,0)A -，(0,2)C ， ∴1:22AC l y x =+， 过点P 作x 轴的垂线，交AC 于点Q ，设点213(,2)22P x x x --+，(0)x <则点1(,2)2Q x x +， 2213112(2)22222PQ x x x x x =--+-+=--，∴21()4(0)2APC APQ PCQ C A S S S PQ x x x x x =+=⨯-=--<△△△， ∴S 四边形ABCP 22=45(2)9APC ABC S S x x x +=--+=-++△△，∵10-<，函数图象开口向下，又0x <，∴当2x =-时，S 四边形ABCP 最大 = 9，此时点(2,3)P -，∴当点(2,3)P -时，四边形ABCP 的最大面积，最大面积为9；(3) 解：∵221313()222298y x x c x c =--+=-+++， ∴39,28D c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－， 又∵(0,)C c ，∴设直线CD 的解析式为1y kx b =+（k≠0） ，代入点D ，C 的坐标得119382c b c k b =⎧⎪⎨+=-+⎪⎩， 解得134k b c⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线CD 的解析式为：34y x c =-+， ∵MN CD ∥，∴直线MN 的解析式为：34y x =-， 由题意，联立2132234y x x c y x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 得：213024x x c +-=，解得：x =932c ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，由题意，N xM x ，M N x x -= 分别过C ，N 作x 轴的平行线，过D ，M 作y 轴的平行线交于点G ，H ，∴G H ∠=∠，DCG MOA MNH ∠=∠=∠，∴MHN DGC ∽△△， ∴CG CD NH MN=， ∵ MN ＝3CD ， ∴13CG CD NH MN ==， ∵39(,)28D c -+，(0,)C c ， ∴32CG = ， ∴39322NH =⨯= ，又∵M N NH x x =- ∴94c =． 【点睛】本题考查二次函数综合，难度较大，解题的关键是熟练掌握二次函数图象及性质，一次函数，相似三角形的判定及性质知识点．例13．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0ab ≠）．当2b x a=-时，函数y 有最小值1-．(1)若该函数图象的对称轴为直线1x =，并且经过()0,0点，求该函数的表达式．(2)若一次函数y ax c =+的图象经过二次函数2y ax bx c =++图象的顶点．①求该二次函数图象的顶点坐标．②若()(),,,a p c q 是该二次函数图象上的两点，求证：p q >．【答案】(1)22y x x =-(2)①顶点坐标为（-1，-1）；②证明见解析【解析】【分析】（1）先确定顶点坐标，再设出该函数的顶点式解析式，将点（0,0）的坐标代入解析式中求出a ，即可求解；（2）①将顶点1),2(b a --代入y ax c =+，再利用2414ac b a-=-，进行转化后，求出12b a -=-即可求解； ②设函数表达式为()211y a x =+-，代入两点坐标后得到p 和q 的表达式，利用作差法比较大小即可．(1)解：由题意，得函数图象的顶点坐标为()1,1-，所以可设函数表达式为()211y a x =--，把()0,0代入，解得1a =，所求函数的表达式为22y x x =-．(2) ①由题意，将顶点1),2(b a --代入y ax c =+， 化简，得12b c =+． 又因为2414ac b a-=-， 所以2b a =，1c a =-．所以12b a-=-， 所以顶点坐标为()1,1--． ②由①可知，函数顶点坐标为()1,1--，1c a =-，所以可设函数表达式为()211y a x =+-．所以()()22311,1111p a a q a a a =+-=-+-=-． ()()2321112p q a a a a a -=+---=+． 因为函数有最小值，所以0a >，所以0p q ->，所以p q >．本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数及其图象、作差法比较大小等，解题的关键是牢记函数的顶点式解析式和顶点坐标公式等．例14．已知点P 是二次函数()22111y x m m m =--++--图像的顶点．(1)小明发现，对m 取不同的值时，点P 的位置也不同，但是这些点都在某一个函数的图像上，请协助小明完成对这个函数的表达式的探究：①将下表填写完整：②描出表格中的五个点，猜想这些点在哪个函数的图像上？求出这个图像对应的函数表达式，并加以验证，(2)若过点（0，2），且平行于x 轴的直线与()22111y x m m m =--++--的图像有两个交点A 和B ，与②中得到的函数的图像有两个交点C 和D ，当AB CD =时，直接写出m 的值等于________；(3)若2m ≥，点Q 在二次函数()22111y x m m m =--++--的图像上，横坐标为m ，点E 在②中得到的函数的图像上，当90EPQ ∠=︒时，求出E 点的横坐标（用含m 的代数式表示）．【答案】(1)①（0，﹣1），（1，1），（2，5），表格见解析，②在二次函数图像上，二次函数表达式是21y x x =+-，验证见解析；； (3)2322m m -+【解析】（1）点P 是二次函数()22111y x m m m =--++--[]2(1)x m =---21m m +--图像的顶点，得到点P 的坐标表示为（m －1，21m m --），分别带入m 的值求解P 点的坐标，描出表格中的五个点，猜想这些点在一个二次函数图像上，设二次函数的表示为2y ax bx c =++，把（0，﹣1），（1，1），（2，5）分别代入，利用待定系数法求出函数表达式，把x ＝m －1代入函数表达式验证即可；（2）根据题意求出AB 和CD 的长度，利用AB ＝CD ，列出方程并解方程即可求得m 的值；（3）求出点Q 的坐标，设点E 的坐标为（t ，21t t +-），利用两点间距离公式表示出2PE 、2PQ 、2QE ，由勾股定理得到2PE ＋2PQ ＝2QE ，整理后即可表示出点E 的横坐标(1)解：∵点P 是二次函数()22111y x m m m =--++--[]2(1)x m =---21m m +--图像的顶点 ，∴点P 的坐标表示为（m －1，21m m --）当m ＝1时，m －1＝0，21m m --＝21111--=-，此时P 点坐标是（0，﹣1）；当m ＝2时，m －1＝1，21m m --＝22211--=，此时P 点坐标是（1,1）；当m ＝3时，m －1＝2，21m m --＝23315--=，此时P 点坐标是（2,5）；填写表格如下：故答案为：（0，﹣1），（1，1），（2，5）；②描出表格中的五个点，如图所示，猜想这些点在一个二次函数图像上，设二次函数的表示为2y ax bx c =++，把（0，﹣1），（1，1），（2，5）分别代入得11425c a b c a a c =-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得111a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴函数表达式为21y x x =+-当x ＝m －1时，2221(1)111y x x m m m m =+-=-+--=--，∴点P 在二次函数21y x x =+-的图像上，猜想成立．(2)解：∵过点（0，2），且平行于x 轴的直线与()22111y x m m m =--++--的图像有两个交点A 和B ， ∴当y ＝2时，()22211x m m m =--++--，方程整理得()2213x m m m -+=--解得11x m =-21x m =-∴AB ＝｜12x x -｜＝∵过点（0，2），且平行于x 轴的直线与抛物线21y x x =+-有两个交点C 和D ，∴当y ＝2时，221x x =+-，解得1x =，2x CD ＝｜12x x -∵AB ＝CD∴整理得244250m m --=解得1m =2m =； (3)解：∵点Q 在二次函数()22111y x m m m =--++--的图像上，横坐标为m ，∴当x ＝m 时，y ＝()222112m m m m m m --++--=--，∴点Q 的坐标是（m ，22m m --），∵点E 在②中得到的函数的图像上，∴可设点E 的坐标为（t ，21t t +-）由（1）知点P 的坐标表示为（m －1，21m m --），则22222(1)[(1)(1)]PE m t m m t t =--+---+-，22222(1)[(1)(2)]2PQ m m m m m m =--+-----=，22222()[(2)(1)]QE m t m m t t =-+---+-，∵90EPQ ∠=︒∴△EPQ 是QE 为斜边的直角三角形，由勾股定理得2PE ＋2PQ ＝2QE ，∴2222(1)[(1)(1)]m t m m t t --+---+-＋2＝2222()[(2)(1)]m t m m t t -+---+-解得t ＝2322m m -+． ∴点E 的横坐标是2322m m -+． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的顶点式、待定系数法求二次函数解析式、一元二次方程的解法、坐标系中两点间距离、勾股定理等知识，运算量较大，具备良好的计算能力是解答此题的关键． 题型4：二次函数图像的平移变换例15．已知关于x 的方程ax 2+（3a +1）x +3＝0．(1)求证：无论a 取任何实数时，该方程总有实数根；(2)若抛物线y ＝ax 2+（3a +1）x +3的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且a 为正整数，求a 值以及此时抛物线的顶点H 的坐标；(3)在（2）的条件下，直线y ＝﹣x +5与y 轴交于点C ，与直线OH 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h 的值或取值范围．【答案】(1)证明过程见详解．(2)a ＝1，(﹣2，﹣1)(3)h ＝72或﹣52≤h<2 【解析】【分析】（1）分别讨论当a ＝0和a ≠0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断； （2）令y ＝0，则 ax 2+（3a +1）x +3＝0，求出两根，再根据抛物线y ＝ax 2+（3a +1）x +3的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且a 为正整数，求出a 的值，即可求顶点坐标；（3）分两种情况讨论，通过特殊位置可求h 的范围，由平移的抛物线与直线CD （含端点C ）只有一个公共点，联立方程组可求h 的值，即可求解．(1)解：当a ＝0时，原方程化为x +3＝0，此时方程有实数根 x ＝﹣3．当a ≠0时，原方程为一元二次方程．∵∆＝（3a +1）2﹣12a ＝9a 2﹣6a +1＝（3a ﹣1）2≥0．∴此时方程有两个实数根．综上，不论a 为任何实数时，方程 ax 2+（3a +1）x +3＝0总有实数根．(2)∵令y ＝0，则 ax 2+（3a +1）x +3＝0．解得 x 1＝﹣3，x 2＝﹣1a ．∵抛物线y ＝ax 2+（3a +1）x +3的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且a 为正整数，∴a ＝1．∴抛物线的解析式为y ＝x 2+4x +3＝（x +2）2﹣1．∴顶点H 坐标为（﹣2，﹣1）；(3)∵点O （0，0），点H （﹣2，﹣1）∴直线OH 的解析式为：y ＝12x ，∵现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．∴设平移后的抛物线顶点坐标为（h ，12h ），∴解析式为：y ＝（x ﹣h ）2+12h ，∵直线y ＝﹣x +5与y 轴交于点C ，∴点C 坐标为（0，5）当抛物线经过点C 时，∴5＝（0﹣h ）2+12h ，∴h 1＝﹣52，h 2＝2， ∴当﹣52≤h<2时，平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点； 当平移的抛物线与直线CD （含端点C ）只有一个公共点， 联立方程组可得251()2y x y x h h =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，∴x 2+（1﹣2h ）x +h 2+12h ﹣5＝0，∴∆＝（1﹣2h ）2﹣4（h 2+12h ﹣5）＝0， ∴h ＝72， ∴抛物线y ＝（x ﹣72）2+74与射线CD 的唯一交点为（3，2），符合题意； 综上所述：平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，顶点横坐标h ＝72或﹣52≤h<2． 【点睛】此题考查了根的判别式、二次函数与x 轴的交点问题、二次函数与不等式的关系；解题的关键是第（3）题要根据CD 是射线，分情况讨论．例16．已知抛物线()2430y ax ax a =-+≠的图象经过点()2,0A -，过点A 作直线l 交抛物线于点()4,B m ．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)将抛物线向下平移()0n n >个单位，使顶点落在直线l 上，求m ，n 的值．【答案】(1)2134y x x =-++；()2,4(2)3；2【解析】【分析】（1）把点()2,0A -代入()2430y ax ax a =-+≠，求出a 的值即可；再运用顶点坐标公式求出顶点坐标即可； （2）把C ()4,m 代入2134y x x =-++可求出m 的值；再运用待定系数法求出直线AB 的解析式，从而可求出平移后押物线的顶点坐标，进一步可得结论．(1)将()2,0A -代入243y ax ax =-+得：0483a a =++，解得14a =-， ∴抛物线的函数表达式为2134y x x =-++， ∵121224b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，2214314441444ac b a ⎛⎫⨯-⨯- ⎪-⎝⎭==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， ∴顶点坐标为()2,4；(2)把C ()4,m 代入2134y x x =-++得， 4433m =-++=，设直线AB 的解析式为y kx b =+，将()2,0A -，()4,3B 代入y kx b =+得0234k b k b =-+⎧⎨=+⎩， 解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AB 的解析式为112y x =+， ∵顶点的横坐标为2，∴把2x =代入112y x =+得：2y =， ∴422n =-=．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及二次函数图象的平移，正确理解题意是解答本题的关键．例17．将抛物线2(0)y ax a =≠向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+．抛物线H 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．已知(3,0)A -，点P 是抛物线H 上的一个动点．(1)求抛物线H 的表达式；(2)如图1，点P 在线段AC 上方的抛物线H 上运动（不与A ，C 重合），过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，PD 交AC 于点E ．作PF AC ⊥，垂足为F ，求PEF 的面积的最大值；(3)如图，点M 是抛物线H 的对称轴L 上的一个动点，是否存在点M ，使得以点A ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)2(1)4y x =-++ (2)8164(3)存在点1M ⎛- ⎝⎭，2M ⎛- ⎝⎭，3(1,2)M --，4(1,4)M - 【解析】【分析】（1）根据题意设抛物线2:(1)4H y a x =++，根据点A 的坐标，待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据题意求得直线AC 的解析式为3y x ，设()2,23P m m m --+，则(,3)E m m +，进而根据二次函数的性质求得PE 的最大值，进而根据21124PEF S PF EF PE =⋅=即可求解； （3）设(1,)M m -，(3,0)A -，(0,3)C ，则224MA m =+，221(3)MC m =+-，218AC =，分①当90AMC ∠=︒时，222MA MC AC +=，即2241(3)18m m +++-=，②当90MAC ∠=︒时，222MA AC MC +=，即224181(3)m m ++=+-，③当90MCA ∠=︒时，222MA MC AC =+即224181(3)m m +=++-，解方程求解即可．(1)解：由题意得抛物线的顶点坐标为(1,4)-，∴抛物线2:(1)4H y a x =++，将(3,0)A -代入，得：2(31)40a -++=，解得：1a =-，∴抛物线H 的表达式为2(1)4y x =-++；(2)如图1，由（1）知：223y x x =--+，令0x =，得3y =，∴(0,3)C ，设直线AC 的解析式为y mx n =+，∵(3,0),(0,3)A c -，∴303m n n -+=⎧⎨=⎩， 解得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为3y x ，设()2,23P m m m --+，则(,3)E m m +， ∴2223923(3)324PE m m m m m m ⎛⎫=--+-+=--=-++ ⎪⎝⎭， ∵10-<， ∴当32m =-时，PE 有最大值94， ∵3,90OA OC AOC ==∠=︒，∴AOC △是等腰直角三角形，∴45ACO ∠=︒，∵PD AB ⊥，∴90ADP ∠=︒，∴ADP AOC ∠=∠，∴PD //OC ，∴45PEF ACO ∠=∠=︒，∵PF AC ⊥，∴PEF 是等腰直角三角形，∴PF EF ==， ∴21124PEF S PF EF PE =⋅=， ∴当32m =-时，219814464PEF S ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭最大值； (3)∵2y x 2x 3=-++．∴设(1,)M m -，(3,0)A -，(0,3)C ∴224MA m =+，221(3)MC m =+-，218AC = ①当90AMC ∠=︒时，222MA MC AC += 即2241(3)18m m +++-=，解得m =∴1M ⎛- ⎝⎭，2M ⎛- ⎝⎭②当90MAC ∠=︒时，222MA AC MC +=，即224181(3)m m ++=+- 解得2m =-，即3(1,2)M --③当90MCA ∠=︒时，222MA MC AC =+即224181(3)m m +=++- 解得4m =，即4(1,4)M -综上所述：在抛物线的对称轴上存在点1M ⎛- ⎝⎭，2M ⎛- ⎝⎭，3(1,2)M --，4(1,4)M -，使以A 、M 、C 为顶点的三角形为直角三角形．【点睛】本题考查了二次函数综合，面积问题，直角三角形问题，勾股定理，解一元二次方程，掌握二次函数的性质，一次函数的性质，勾股定理，并能分类讨是解题的关键．例18．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点(0,3)C ，且3OC OA =．点E 是对称轴左侧的抛物线上一点，过点E 作EF x ∥轴，交抛物线于点F ．(1)若3EF =，求抛物线的解析式以及点E 的坐标；(2)若点E 沿抛物线向下移动，使得对应的EF 的取值范围为1213EF ≤≤，求移动过程中点F 的纵坐标F y 的取值范围．【答案】(1)2y x 2x 3=-++；17,24E ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)153324F y -≤≤- 【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出A 的坐标，用待定系数法即可求出抛物线解析式；设点()()12,,,E x n F x n ，利用E 是对称轴左侧的抛物线上一点，EF =3，得到213x x -=，利用抛物线的对称轴为直线x =1，得到1212x x +=，联立即可求得1x 的值，再代入抛物线即可求出答案；（2）设点()()12,,,F F E x y F x y ，利用E 是对称轴左侧的抛物线上一点，得到EF =21x x -，利用抛物线的对称轴为直线x =1，得到1212x x +=，则122x x =-，可得222EF x =-，利用已知条件求出2x 的取值范围，结合图象，再利用抛物线解析式即可得出结论． (1)解：点(0,3)C ，3OC ∴=，3OC OA =，1OA ∴=， ∴点(1,0)A -，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点(1,0)A -，与y 轴交于点(0,3)C ，230(1)(1)c b c =⎧⎨=--+⨯-+⎩解得：23b c =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++， EF x ∥轴，∴设点()()12,,,E x n F x n ，点E 是对称轴左侧的抛物线上一点，3EF =， 213x x ∴-=，2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴：直线1x =，1212x x +∴=， ∴2112312x x x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：121252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当112x =-时，211723224n ⎛⎫⎛⎫=--+⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴点17,24E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)EF x ∥轴，∴设点()()12,,,F F E x y F x y ，2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴：直线1x =， 1212x x +∴=， 122x x ∴=-，()21222222EF x x x x x ∴=-=--=-， 1213EF ≤≤，2122213x ∴≤-≤，21572x ∴≤，当7x =时，2F 727332y =-+⨯+=-，当152x =时，2F 151515323224y ⎛⎫=-+⨯+=- ⎪⎝⎭，∴移动过程中点F 的纵坐标F y 的取值范围：153324F y -≤≤-．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法确定二次函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与x 轴的交点，配方法求得抛物线的对称轴，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 例19．已知抛物线2:=++l y x bx c 与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧，其对称轴为直线26x AB ==，． (1)抛物线l 的函数表达式为__________．(2)设抛物线l 与y 轴交于点C ，直线2x =与BC 的交点为M ．将抛物线l 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线l '，l '与直线2x =交于点N ．当点N 在点M 下方时，m 的取值范围是___________．【答案】(1)245y x x =--(2)0m << 【解析】 【分析】（1）由对称轴为直线2x =，6AB =，可得,A B 坐标，将,A B 坐标代入2y x bx c =++，求出,b c 的值，进而可得抛物线l 的函数表达式；（2）如图，将0x =代入245y x x =--，求出C 点坐标，设直线BC 的解析式为y kx b =+，待定系数法求解析式为5y x =-，将2x =代入求出M 的点坐标，平移后的l '的解析式为()229y x m =-+-，设()2,N a ，3a <-，。
二次函数与一元二次方程、一次函数 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)
教学主题二次函数与一元二次方程、一次函数教学目标掌握二次函数与一元二次方程、一次函数重要知识点1.二次函数与一元二次方程2.二次函数与一次函数3.教学过程二次函数与一元二次方程知识点一：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac>0。
(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0.(4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。
抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。
练习1：已知：关于x 的函数772--=x kx y 的图象与x 轴总有交点，求k 的取值范围？练习2：已知关于x 的二次函数y ＝x 2－（2m －1）x ＋m 2＋3m ＋4.探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.题型二 一次函数图象和二次函数图象的交点问题【例2】已知抛物线C 经过（-5，0），（0，25），（1，6）三点,直线l 的函数表达式为32-=x y ；（1）求抛物线的表达式；（2）证明抛物线C 与直线l 无交点；（3）若与l 平行的直线m x y +=2与抛物线C 只有一个公共点P ，求点P 的坐标；练习1：已知二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b ，c 的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．题型三 关于二次函数图象交点的综合问题【例3】已知抛物线2234y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）．（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；（2）设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且1123ONOM-=，求k 的值．练习1：抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图所示，则方程02=++-c bx x 的两根为 .练习1：如图所示，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求D点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B、C两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）当自变量x为何值时，两函数的函数值都随x的增大而增大？（3）当自变量x为何值时，一次函数值大于二次函数值．（4）当自变量x为何值时，两函数的函数值的积小于0．练习3：一次函数y=2x+3与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且点B 是抛物线的顶点．（1）求一次函数和二次函数的表达式； （2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x 为何值时，两个函数的值都随x 的增大而增大，当x 为何值时，二次函数的值大于一次函数的值？类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。
九年级数学下册丨26.3第2课时二次函数与一元二次方程(不等式)的关系【2019版】
例3:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，
则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为( B ) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1
解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称
轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的
不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.
(-2,2)
2
(4,2)
-1 O
3
x
问题2：如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2 的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有 _1___ 个交点，坐标是_(_2_,0_)__.方程ax2+bx+c=0的根是 _x_=_2___.
利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).
解：作y=x2-2x-2的图象(如右图 所示)，它与x轴的公共点的横坐 标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7，x2≈2.7.
8 6 4 2
-4 -2 -2 -4
y = x2－2x－2 24
说一说
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的 范围是（ C ）
A. 3< x < 3.23
B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26
二次函数与一元二次方程专题知识点 常考(典型)题型 重难点题型(含详细答案)
二次函数与一元二次方程基本性质专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (2)1.二次函数图像与一元二次方程的关系 (2)2.二次函数a、b、c的几何意义 (4)3.利用交点式求二次函数 (6)4.用函数图像解一元二次方程（不等式） (7)5.二次函数常用解题方法总结 (8)三、重难点题型 (10)1.判别式的应用 (10)3.图像信息题 (11)3.抛物线与直线交点问题 (13)4.抛物线与三角形面积 (16)二、基础知识点1.二次函数图像与一元二次方程的关系（1）二次函数：一元二次方程：当y=0时，二次函数即化为一元二次方程。
即二次函数y=0时，x的值（与x轴的交点）为一元二次方程的解。
（2）利用配方法可转化为：y=a（）当y＝ax2＋bx＋c中，y＝0时，即得到二次方程ax2＋bx＋c＝0其解的几何意义即为二次函数的图象与x轴的交点横坐标.令=当＞0时，函数与x轴有两个交点，即一元二次方程有2解；当=0时，函数与x轴有一个交点，即一元二次方程有1解；＜0时，函数与x轴无交点，即一元二次方程无解。
例 1.同一坐标系中有函数，及，请填写下表。
答案：如下表所示例2.如图，一次函数与二次函数ax2＋bx＋c的图像相交于两点，则函数y=ax2＋（b－1）x＋c的图像可能为（）A B C D答案：由ax2＋bx＋c图像知：＞＞＞，即＞＜＞则函数y=ax2＋（b－1）x＋c中，＞＞＞所以函数y=ax2＋（b－1）x＋c开口向上，且与对称轴在x轴正半轴，与y轴的交点在y轴正半轴所以答案在A，C中选择因为一次函数与二次函数ax2＋bx＋c的图像相交于两点联立得：ax2＋（b－1）x＋c=0有两解即y=ax2＋（b－1）x＋c的图像与x轴有两个交点所以答案为A2.二次函数a、b、c的几何意义（1）a>0，开口向上；a<0，开口向下；（2）图像关于x=对称（3）顶点坐标（-，）（4）抛物线与y轴的交点（0，c）（5）当>0，与x轴有2个交点；当=0，与x轴有1个交点；当<0，与x轴无交点（6）两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），关于x=对称，（）例1.二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，则下列关系式成立的是（）A.abc＞0B. a+b+c＜0C. D. 4ac－＞答案：因为抛物线开口向下所以a＜0抛物线与y轴交点在y轴正半轴所以c＞0抛物线对称轴为x=1＞0所以＞，即b＞0综上得：abc＜0，A错误令x=1得：a+b+c=y因为x=1与抛物线交点在y轴上半部分所以a+b+c＞0，即B错误令x=－1得：a－b+c＜0两边同时乘a得：＞，即C正确抛物线与x轴有两个交点，则＞0，即D错误例2.如图，二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，且OA=OC。
初中二次函数含参问题总结归纳
初中二次函数含参问题总结归纳在初中数学中,二次函数是一个非常重要的知识点,其中含参问题也是二次函数中比较典型的问题之一。
下面我们对二次函数含参问题进行总结归纳:1. 已知函数图像和顶点位置,求函数的解析式和参数值。
这是含参问题的第一个要求,需要画出函数的图像,并确定函数的顶点位置和参数值。
具体而言,可以通过函数顶点的位置来确定参数值,通过函数图像的斜率来确定参数位置。
2. 已知函数图像和一次函数的关系,求二次函数的解析式和参数值。
含参问题的第二个要求,需要确定函数与一次函数的关系。
例如,如果二次函数的系数是-2,而一次函数的系数是x^2,那么可以确定这是一种特殊的二元一次函数,其图像为抛物线。
此时,需要确定抛物线的解析式和参数值。
3. 已知函数图像和一次函数、二次函数的关系,求三者的解析式和参数值。
这是含参问题的三个要求,需要确定一次函数、二次函数和函数之间的关系。
例如,如果一次函数的系数是-2,二次函数的系数是-1,且一次函数和二次函数的交点在函数图像的左侧,那么可以确定这是一种特殊的二元一次函数,其图像为抛物线,且抛物线的解析式为x^2+2x-3。
此时,需要确定抛物线的解析式、参数值和一次函数的参数值。
4. 已知函数图像和二次函数的解析式,求函数的值域和周期。
含参问题的第四项要求,需要确定函数的值域。
例如,如果函数的解析式是y=x^2+2x-3,且-1<=x<=3,那么可以确定函数的值域为[-3,3]。
此外,还需要确定函数的周期,即函数图像在x轴上循环的次数。
综上所述,二次函数含参问题需要通过函数图像和参数值来确定解析式和参数值,同时还需要确定函数的值域和周期。
专题23二次函数与一元二次方程不等式(5类必考点)(人教A版2019)(原卷版)
专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【考点1：三个“二次”之间的关系】 ................................................................................................................... 1 【考点2：解不含参的一元二次不等式】 ............................................................................................................... 2 【考点3：解含参的一元二次不等式】 ................................................................................................................... 2 【考点4：一元二次不等式存在性或恒成立问题】 ................................................................................................ 3 【考点5：利用一元二次不等式解决实际问题】 . (4)【考点1：三个“二次”之间的关系】 【知识点：三个“二次”之间的关系】有两个相等实根x ＝x1．（2022春•甘孜州期末）若不等式ax 2+bx ﹣2＜0的解集为{x |﹣2＜x ＜1}，则a +b ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．1D ．22．（2022春•让胡路区校级期末）若不等式ax 2+bx +2＞0的解集是{x|−12＜x ＜13}，则ax +b ＞0的解集为（ ） A ．(−∞，−16)B ．(−∞，16)C ．(−16，+∞)D ．(16，+∞)3．（2021秋•威宁县期末）已知不等式ax 2+bx +1＞0的解集为{x|−12＜x ＜13}，则a ，b 的值是（ ） A ．﹣3，﹣6B ．﹣6，﹣1C ．6，3D ．3，64．（2022春•双鸭山期末）已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |−2＜x ＜4}，则不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集是（ ） A ．{x |x ＜−12或x ＞14} B ．{x |−14＜x ＜12} C ．{x |x ＜−14或x ＞12}D ．{x |−12＜x ＜14}5．（2021秋•许昌期末）已知{x |a ＜x ＜b }是关于x 的一元二次不等式nx 2﹣2x +1＜0的解集，则4a +3b 的最小值为（ ） A ．52+2√6B ．5+2√6C ．72+2√3D ．7+2√36．（2021秋•金水区校级期末）已知关于x 的不等式ax 2﹣bx +c ＜0的解集为{x|−13＜x ＜12}，则不等式bx 2+cx ﹣a ＞0的解集为（ ） A ．{x |x ＞3或x ＜﹣2} B ．{x |﹣2＜x ＜3} C ．{x |x ＞2或x ＜﹣3} D ．{x |﹣3＜x ＜2}7．（2021秋•河南期末）已知方程x 2+px +q ＝0的两根为﹣3和5，则不等式x 2+px +q ＞0的解集是 ． 8．（2022春•赤峰期末）若关于x 的不等式−12x 2+2x −mx ＞0的解集为{x |0＜x ＜2}，则m ＝ ． 9．（2022•和平区校级二模）已知不等式x 2﹣8x +a （8﹣a ）＜0的解集中恰有五个整数，则实数a 的取值范围为 ．【考点2：解不含参的一元二次不等式】 【知识点：解不含参的一元二次不等式】1．（2022春•凉州区期末）不等式3x 2﹣x ﹣2≥0的解集是（ ） A ．{x|−23≤x ≤1} B ．{x|−1≤x ≤23} C ．{x|x ≤−23或x ≥1}D ．{x|x ≤−1或x ≥23}2．（2022春•昭阳区校级期末）已知不等式﹣x 2﹣x +6＞0，则该不等式的解集是（ ） A ．{x |﹣2＜x ＜3}B ．{x |x ＜﹣2或x ＞3}C ．{x |x ＜﹣3或x ＞2}D ．{x |﹣3＜x ＜2}3．（2021秋•阳春市校级月考）解下列不等式． （1）﹣x 2+2x ﹣3＜0； （2）﹣3x 2+5x ﹣2＞0．【考点3：解含参的一元二次不等式】【知识点：解含参的一元二次不等式】①二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；②当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系；③确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．1．（2021秋•南阳期末）设m+n＞0，则关于x的不等式（m﹣x）（n+x）＞0的解集是（）A．{x|x＜﹣n或x＞m}B．{x|﹣n＜x＜m}C．{x|x＜﹣m或x＞n}D．{x|﹣m ＜x＜n}2．（2022春•南充期末）当a≤0时，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0．3．（2022春•东城区校级月考）请回答下列问题：（1）若关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值．（2）求关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）的解集．4．（2021秋•罗庄区校级月考）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．（1）当a＝2时，解关于x的不等式；（2）当a＞0时，解关于x的不等式．【考点4：一元二次不等式存在性或恒成立问题】【知识点：一元二次不等式存在性或恒成立问题】方法一：①不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.②不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.方法二：将一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题.1．（2022春•吉安期末）若关于x 的不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[﹣2，0] B ．（﹣2，0]C ．（﹣2，0）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）2．（2021秋•廊坊期末）关于x 的一元二次不等式2x 2−kx +38＞0对于一切实数x 都成立，则实数k 满足（ ） A ．{k|k ＜√3}B ．{k|k ＜−√3}C ．{k|−√3＜k ＜√3}D ．{k|k ＞√3}3．（2022春•南充期末）不等式（a ﹣2）x 2+4（a ﹣2）x ﹣12＜0的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{}|12a a -≤< B ．{}|12a a -<≤ C ．{}|12a a -<<D ．{}|12a a -≤≤4．（2022春•汉中期末）若关于x 的一元二次不等式2x 2−kx +38＞0对于一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围为 ．5．（2021秋•惠州期末）已知不等式（1﹣a ）x 2﹣4x +6＞0的解集是{x |﹣3＜x ＜1}． （1）求常数a 的值；（2）若关于x 的不等式ax 2+mx +3≥0的解集为R ，求m 的取值范围．【考点5：利用一元二次不等式解决实际问题】 【知识点：利用一元二次不等式解决实际问题】1.汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/ℎ的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了．事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/ℎ)的关系大致如下：s甲=1100x2+1 10x，s乙=1200x2+120x.由此可以推测( )A. 甲车超速B. 乙车超速C. 两车都超速D. 两车都未超速2.(本小题12.0分)某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N∗)名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为10(a−3x500)万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？3.(本小题12.0分)某厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进先进设备，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.请你根据以上数据，解决下列问题：(1)引进该设备多少年后，开始盈利?(2)引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出;第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，哪种方案较为合算?请说明理由．4.(本小题12.0分)北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革(x2−600)万作为技改费用，投入(50+2x)万元新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入16作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．5.(本小题12.0分)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25−x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润=累计收入+销售收入−总支出)6.(本小题12.0分)南京六合为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围(斜线部分)均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米．(1)若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；(2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．。
中考数学专题复习一元二次方程与二次函数的含参问题试题
卜人入州八九几市潮王学校一元二次方程与二次函数的含参问题一，堂前测1.假设关于x 的方程(m+2)x 2-2(m+1)x+m=0有且只有一个实数根，那么关于x 的方程(m+1)x 2-2mx+m-1=0的根为〔〕A.－1或者－3B.1或者３C.－1或者３D.1或者－3 2.关于x 的方程2(12)2110k x k x --+-=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。
3.当m 取何值时，关于x 的方程22210xmx m m ++--=有两个小于1的根4.函数y=x 2x+4-2m 在1≤x≤1时与x 轴有交点，务实数m 的取值范围。
5，关于x 的方程.220 (0)kx x k k--=≠ 〔1〕求证：方程总有两个不相等的实数根；〔2〕假设方程的两个实数根都是整数，求整数k 的值。
6关于x 的方程x 2-(m+1)x+=0的两根是一矩形的两邻边长，当矩形的对角线长为时，求m 的值 7函数y=x 2-6x+m+4与x 轴有两个交点〔x1,0〕,(x2,0),假设x1,x2满足3x1=|x2|+2,求m 的值。
二，例题1，关于x 的一元二次方程x 2﹣〔m +1〕x +=0有实根。
〔1〕求m 的值〔2〕先作函数的图像关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位，再向上平移2个单位，写出变化后的图像解析式。
〔3〕在〔2〕的条件下，第直线y=2x+n(n>m)与变化后的图像有公一共点时，求n2-4n 的最大值和最小值。
2，：关于x 的一元二次方程mx 2﹣〔3m +1〕x +2m +2=0〔m ＞1〕。
〔1〕求证：方程有两个不相等的实数根；〔2〕设方程的两个实数根分别为x 1，x 2〔其中x 1＞x 2〕，假设y 是关于m 的函数，且y =m x 2﹣2x 1，求这个函数的解析式；〔3〕将〔2〕中所得的函数的图象在直线m =2的左侧局部沿直线m =2翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象答复：当关于m 的函数y =2m +b 的图象与此图象有两个公一共点时，求b 的取值范围。
初三年级数学期中考试知识点二次函数与一元二次方程
初三年级数学期中考试知识点二次函数与一元二次方程多积聚，可以添加自身修养性和素质，以及思想境界，思想和逻辑才干。
鉴于此，小编为大家预备了这篇初三年级数学期中考试知识点，欢迎阅读!特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a0)的图象外形相反，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：当h0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位失掉，当h0时，那么向左平行移动|h|个单位失掉.当h0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以失掉y=a(x-h)^2+k的图象;当h0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可失掉y=a(x-h)^2+k的图象;当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k 个单位可失掉y=a(x-h)^2+k的图象;当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可失掉y=a(x-h)^2+k的图象;因此，研讨抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象，经过配方，将普通式化为y=a(x-h)^2+k的方式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象：当a0时，启齿向上，当a0时启齿向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).3.抛物线y=ax^2+bx+c(a0)，假定a0，当x-b/2a时，y随x 的增大而减小;当x-b/2a时，y随x的增大而增大.假定a0，当x-b/2a时，y随x的增大而增大;当x-b/2a时，y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b^2-4ac0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a0)的两根.这两点间的距离AB=|x-x|当△=0.图象与x轴只要一个交点;当△0.图象与x轴没有交点.当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y当a0时，图象落在x轴的下方，x 为任何实数时，都有y0.5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：假设a0)，那么当x=-b/2a 时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.欢迎大家去阅读由小编为大家提供的初三年级数学期中考试知识点大家好好去品味了吗?希望可以协助到大家，加油哦!。
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2019中考数学专题复习 一元二次方程与二次函数的含参问题 一，堂前测
1.如果关于x 的方程(m+2)x 2-2(m+1)x+m=0有且只有一个实数根，那么关于x 的 方程(m+1)x 2-2mx+m-1=0的根为（ ）
A. －1或－3
B. 1或３
C. －1或３
D. 1或－3
2. 已知关于x 的方程2(12)10k x
---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。
3. 当m 取何值时，关于x 的方程22210x mx m m ++--=有两个小于1的根?
4. 已知函数y=x 2-x+4-2m 在-1≤x≤1时与x 轴有交点，求实数m 的取值范围。
5，已知关于x 的方程. 220 (0)kx x k k
--=≠ （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k 的值。
6已知关于 x 的方程x 2
-(m+1)x+ =0 的两根是一矩形的两邻边长，当矩形的对角线长为 时，求m 的值
7已知函数y= x 2-6x+m+4与x 轴有两个交点（x1,0）,(x2,0),若x1,x2满足3x1=|x2|+2,求m 的值。
二，例题
1，已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m +1）x + =0有实根。
（1）求m 的值
（2）先作函数 的图像关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位，再向上平移2个单位，写出变化后的图像解析式。
（3）在（2）的条件下，第直线y=2x+n(n>m)与变化后的图像有公共点时，求n2-4n 的最大值和最小值。
2， 已知：关于x 的一元二次方程mx 2
﹣（3m +1）x +2m +2=0 （m ＞1）。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＞x 2），若y 是关于m 的函数，且y =m x 2﹣2x 1，求这个函数的解析式；
（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m =2的左侧部分沿直线m =2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当关于m 的函数y =2m +b 的图象与此图象有两个公共点时，求b 的取值范围。
3， 已知抛物线22
21y x mx m =-+-+与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C 。
（1）试用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标；
（2）当点B 在原点的右侧，点C 在原点的下方时，若BOC △是等腰三角形，求抛物线的解析式；
（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P 作垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交抛物线2221y x mx m =-+-+于点N ，若只有当14n <<时，点M 位于点N 的下方，求这个一次函数的解析式。
三，作业
1. 关于x 的一元二次方程()2
121=0m x mx m --++有两个实数根。
（1）求m 的取值范围；
（2）当m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数。
2. 当m 取何值时，关于x 的方程2350x x m -+=的一根大于2-且小于0，另一根大于1而小于3？
3. 已知关于x 的方程mx 2
+（3m +1）x +3=0（m ≠0）。
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值；
（3）在（2）的条件下，将关于x 的二次函数y = mx 2+（3m +1）x +3的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请结合这个新的图象回答：当直线y =x +b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围。
4，已知二次函数y=x 2+2mx+2，当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，则实数m 的取值范
围是 ．
5．若抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴只有一个交点，且过点A （m ，n ），B （m+6，n ），则n= ．
6，设函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1(k 为实数)．
（1）．写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中用描点法画出这两个特殊函数的图象
（2）．根据所画图象，猜想出：对任意实数k ，函数的图象都具有的特征，并给予证明
（3）．对任意负实数k ，当x<m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值
7，如图，一段抛物线：y ＝－x(x －3)（0≤x ≤3），记为C1，它与x 轴交于点O ，A1；将C1
绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；……如此进行下去，直至得C13．若P （37，m ）在第13段抛物线C13上，则m =_________．
8，如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，2
3-），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．。