大物例题 一

常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的
关系为
v
mg F
kt
(1 e m )
k
F
式中t为从沉降开始计算的时间
证明：取坐标，作受力图。
f
根据牛顿第二定律，有
mg kv F ma m dv dt
a x
mg
mg kv F ma m dv dt
初始条件：t=0 时 v=0
v
dv
t
0 ( mg kv F ) m 0 dt
m v d( mg kv F ) t
k 0 ( mg kv F ) 0 dt
ln( mg kv F ) v kt
0
m
v
mg
F
(1
kt
em
)
k
例4、水平面上有一质量为51kg的小车D，其上有一 定滑轮C，通过绳在滑轮两侧分别连有质量为m1=5kg 和m2=4kg的物体A 和B。其中物体A在小车的水平面 上，物体B被绳悬挂，系统处于静止瞬间，如图所示。 各接触面和滑轮轴均光滑，求以多大力作用在小车上， 才能使物体A与小车D之间无相对滑动。（滑轮和绳 的质量均不计，绳与滑轮间无滑动）
(2) vx v0,vy gt
y
v0
x
an
a
g
v v0 i gt j
v vx2 vy2 v02
dv g2t
at
dt
v02 g2t2
g2t2
an
tan
1
gt v0
g2at2
v0g v02g2t2
与速度同向
与切向加速度垂直
四、牛顿定律的应用 例1、在倾角为的圆锥体的侧面放一质量为m的小 物体，圆锥体以角速度绕竖直轴匀速转动。轴与 物体间的距离为R，为了使物体能在锥体该处保持 静止不动，物体与锥面间的静摩擦系数至少为多 少？并简单讨论所得到的结果。
例1、由楼窗口以水平初速度v0射出一发子 弹，取枪口为原点，沿v0为x轴，竖直向下 为y轴，并取发射时t=0.试求：
(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程；
(2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向 加速度。
解：(1) x v 0 t y 1 gt 2
o
1 x2g
y 2
v
2 0
2
x 0
3、若人以变速率运动， 上述结论如何？
o l 解：以人和车为研究
系统，取地面为参照
系。水平方向系统动
量守恒。
•
(M m)v0 Mv m(u v)
u M
x
m v0
•
v
(M m)v0 Mv m(u v)
1、
v
v0
m M
m
u
v0
m M
m
l t
2、
s
vt
(v0
m M
m
l t
)t
v0t
否则最大静摩擦力不足以维持m在
斜面上不动。
mg
g sin 2R cos g cos 2Rsin
讨论：由μ>0,可得：gcosθ-ω 2 Rsinθ>0
所以： tan
g
2R
当
tan
g
2R
时，物体不可能在锥 面上静止不动
例2、顶角为2的直圆锥体，底面固定在水平面上，
如图所示。质量为m的小球系在绳的一端，绳的另
y
求：x= -4m时（t>0)
x
粒子的速度、速率、 加速度。
解：
x t 2 (SI)
y t 4 2t 2 (SI)
dx
t2
vx dt 2t
vx 4 m s
vy
dy
dt
4t 3
4t
v 4i 24 j m / s
t2
v
v y 24 m s
v
2 x
v
2 y
4
37 m s
ax
dv x dt
b
a
Fxdx Fydy
F 2 yi 4 j(N )
Fzdz
4y
x
6
Y x2 4y
2.25 1
W1
x2 , y2 x1 , y1
(
Fx
dx
Fydy
)
2 x2 ydx
x1
y24dy 2
y1
O
3 x2
94
dx 4dy 10.8J
2 2
1
W2
x2 , y2 x1 , y1
m M
m
l
3、
m v v0 M m u
m
u
v0
M
ox
• s
t
vdt
0
t
0 (v0
mu )dt M m
•l
v
v0t
m M
m
l
例二、 质量为2.5g的乒乓球以 10m/s的速率飞来，被板推挡后，又 以20m/s的速率飞出。设两速度在垂 直于板面的同一平面内，且它们与 板面法线的夹角分别为45o和30o，求： （1）乒乓球得到的冲量；（2）若 撞击时间为0.01s，求板施于球的平 均冲力的大小和方向。
v v0
t
adt 0
0
tF dt
0m
t 12t dt 3t 2 02
W
3
12t
3t 2dt
3 36t 3dt 9t4 729J
0
0
例一、如图，车在光滑水平面上运动。已知m、M、l v0
人逆车运动方向从车头经t 到达车尾。
求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；
2、车的运动路程；
t内位移为x 8t 8tt 4(t)2
vt1t2
x t
8 8t
4t
v01 8 0 4 4(m s) 方向与x轴正向相同
v12 8 8 4 4(m s) 方向与 x轴正向相反
x=10+8t-4t2
（2）质点在t=0、1、2秒时的速度。
vt
dx dt
8 8t
代入 t = 0 , 1 , 2 得：
A D
C B
解：建立坐标系并作受力分析图： Y
N2
F
D
T
T
O N1
T A
X T
B
Mg 列方程：
m1g 解出：
m2g
T＝m1ax
T sin m2ax
ax
m2 g m12 m22
T cos m2 g
F (m1 m2 M )m2 g =784N
F T T sin Max
m12 m22
2
为v2与x轴的夹角
练习.一质点沿x轴作直线运动，其位置坐标与时间的
关系为 x=10+8t-4t2,求：
（1）质点在第一秒第二秒内的平均速度。
（2）质点在t=0、1、2秒时的速度。
解：（1）t时刻 x 10 8t 4t 2
t t时刻 ( x x) 10 8(t t) 4(t t)2
1 2
a
at
2
为常矢v 量dr dt
v0
at
(r0,v0) 抛体运动
初始条件给定.
典型的匀加速运 动，a
g
运动平面在 (v0 , g) 内
运动叠加和运动的独立性
y
x0 y0 0 ax 0 ay g
v0
v0x v0 cos v0y v0 sin
0
x
y
v0
0
x0 y0 0
v0x v0 cos
3.设质点做二维运动： r 2ti (2 t 2 ) j
求t=0秒及t=2秒时质点的速度，并求后者的
大小和方向。
解：v d r 2i 2t j dt
t 0 v0 2i
t 2 v2 2i 4 j
大小： 方向：
v2 22 42 4.47m / s
arctan 4 6326
v0 8m s v1 0 v2 8 m s
与x轴正向相同 此时转向 与x轴正向相反
练习 1.一质点由静止开始作直线运动，初始加速度
为a0，以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加a0，
求经过t秒后质点的速度和运动的距离。
解：据题意知，加速度和时间的关系为：
a
a0
a0
t
a dv dv adt dt
一端系在圆锥的顶点，绳长为l，且不能伸长，质
量不计。圆锥面是光滑的，今使小球在圆锥面上
以角速度绕OH轴匀速转动，求：
(1)、锥面对小球的支持力N和细绳的张力T； (2)、
当 增大到某一值 c 时，小球将离开锥面，这时
c 及T又各是多少？
O
l
H
解：设小球所在处圆锥体的水平截面半径为r
T sin N cos ma m 2r
r 与 r 的区别
a ) r为标量，r为矢量
b ) r r2 r1
r r
r r2 r1
Δr A
B
r1
C Δr
o r2
z
s 与 r 的区别
路程 s 为质点运动的轨道长度
A· ΔS
Δr
·B
s
t 0
r dr
ds
r1
r2
o
y
x
元位移的大小
元路程
例：一质点运动轨迹为抛物线
x t 2 (SI) y t 4 2t 2 (SI)
O
T cos N sin mg 0
l
r l sin
(1)N mg sin m 2l sin cos
H
T mg cos m2l sin 2
(2) c N 0 c g / l cos T mg / cos
例3. 质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F，当
它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=kv(k为
x
ax 0 ay g
v0y v0 sin
v x v0 cos v y v0 sin gt
x v0t cos
y
v0t
sin
1 2
gt 2
r
xi
yj
v0t
cosi
(v0t
sin
1 2
gt 2 ) j
v vxi v y j v0 cosi (v0 sin gt) j
v dv
0
t 0
(a0
a0
t )dt
x dx
0
t
0 (a0t
a0
2
t 2 )dt
v
a0t
a0
2
t2
x a0 t 2 a0 t 3
2 6
补充练习
2、某物体沿经x轴作直线运动，其速度v=-kx，式 中k为正常量；已知t =0时x=x0 。求：(1)运动方程;
(2)物体自x0运动到x=x0/2处，所需时间t.
d2x dt 2
2ms 2
练习 a y ? ay 12t 2 4 44(ms 2 )
例
v0
l
h
求：船的速率
s
解： s l 2 h2
dl dt v0
ds v
dt
l dl dt
l 2 h2
l s v0
v0 cos
v0
v0
v
h
? l v0
s
v
v v0 cos
v v0 cos
30o
45o x n
Fyt
v1
t 0.01s
v1 10m/s
vx ky
x
v0 2v0
d
因此可得 y
k vx 2v0 yd
t
t
y
0 vydt
udt ut
0
则
vx
2v0 d
ut
x t 2v0ut dt v0u t 2
0d
d
运动方程为 x v0u t 2
y
d
y ut
d
轨道方程为 x v0 y2 ud
v0
u
o
x
匀加速运动
r r0 v0t
R
ω
x : N cos N sin m 2R
y : N sin N cos mg 0
R
cos sin 2R sin cos g
ω
g cos g sin 2Rcos 2Rsin
g sin 2R cos g cos 2Rsin
N
y fs
x
对给定的ω、R和θ，μ不能小于此值
W
R
F •dr
Rh
R
Mm
G
Rh
r2
dr
R o
GMm
R dr r Rh 2
GMm 1 1 R Rh
GMmh R( R h)
例3、质量为2kg的质点在力F＝12t i (SI)
的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。 求前三秒内该力所作的功。
解：（一维运动可以用标量）
W＝ F • d r 12tvdt
(直线运动中可用标量代替矢量）
v
adt
(a0
a0
t )dt
a0t
a0
2
t2
c1
t 0时v 0c1 0
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v
a0t
a0
2
t2
v dx dx vdt dt
x
vdt
(a0t
a0
2
t2 )dt
a0 2
t2
a0
6
t3
c2
t 0时x 0c2 0
x a0 t2 a0 t3
2 6
例1 作用在质点上的力为 F 2 yi 4 j(N ) 在下列情况下求质点从 x1 2(m)处运动到 x2 3(m) 处该力作的功： 1. 质点的运动轨道为抛物线 x2 4 y
2. 质点的运动轨道为直线 4 y x 6
Y x2 4y
2.25
4y x6
1
2 O 3 X
B
W A F • dr
( Fx dx
Fydy)
2 x2 ydx
x1
y24dy
y1
31
94
( x 6)dx 4dy 21.25J
2 2
1
3X 做 功 与 路 径 有 关
例2、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面， 忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功 是多少？
a 解：取地心为原点，引力与矢径方向相反 h b
v2
30o
45o
n
v1
解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，
忽略重力影响。设挡板对球的冲力为 F 则有：
I F dt mv2 mv1
取坐标系，将上式投影，有：
I x Fxdt mv2 cos 30 (mv1 cos 45 )
y v2
Fxt
O
I y Fydt mv 2 sin 30 mv1 sin 45
3、河宽为d，岸边处水流速度为零。设中间流速 为v0，从岸边到河心，流速按正比增大。某人划船 以不变的划速u垂直于水流方向从岸边划到河心， 求：(1)船的运动方程； (2)船的轨道方程。
x v0u t2 d
y ut
x v0 y2
d
ud
y
v0
u
o
x
vx ky
vy u
y d 2
则有
时， v