第三讲多维随机变量及其分布

第三讲 多维随机变量及其分布考试要求1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 .4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.一、 各种分布与随机变量的独立性1. 各种分布（1）一般二维随机变量 F （x , y ）=P { X ≤ x , Y ≤ y }, x ∈ （−∞, +∞）, y ∈ （−∞, +∞）的性质F （x , y ）为联合分布函数 ⇔ 1） 0 ≤F （x , y ）≤1 , ∀x ∈ （−∞, +∞）,, y ∈ （−∞, +∞）;2） F （−∞, y ）= F （x , −∞）=0, F （+∞,+∞）=1;3） F （x , y ）关于x , y 均为单调不减函数； 4） F （x , y ）关于x , y 均分别右连续.（2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布联合概率分布律 P {X = x i , Y = y j } = p i j , i , j =1, 2 ,⋅⋅⋅ , p i j ≥ 0,1=∑∑ijji p.边缘分布律 p i • = P {X = x i }=∑jji p, i =1, 2 ,⋅⋅⋅ , p • j = P { Y = y j }=∑iji p, j =1, 2 ,⋅⋅⋅ ,条件分布律 P {X = x i |Y = y j } =jj i p p •, P { Y = y j | X = x i } =•i j i p p .二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度f （x , y ）为联合概率密度 ⇔ 1︒ f （x , y ）≥0,2︒1=⎰⎰∞+∞-∞+∞- ),(dxdy y x f .设（ X , Y ）~ f （x , y ）则 分布函数:⎰⎰∞-∞-=xydxdy y x f y x F ),(),(;边缘概率密度: ⎰∞+∞-=),()(dy y x f x f X , ⎰∞+∞-= ),()(dx y x f x f Y .条件概率密度: )(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =, )(),()|(|x f y x f x y f X X Y =.⎰⎰=∈Ddxdy y x f D Y X P ),(}),{(.),(),(yx y x F y x f ∂∂∂=22. 随机变量的独立性和相关性X 和Y 相互独立 ⇔ F （x , y ）= F X （x ）F Y （y ）;⇔ p i j = p i • ⨯ p • j （离散型）⇔ f （x , y ）= f X （x ）f Y （y ） （连续型）【注】 1︒ X 与Y 独立, f （x ）, g （x ）为连续函数 ⇒ f （X ）与g （Y ）也独立.2︒ 若X 1, ⋅⋅⋅⋅, X m , Y 1, ⋅⋅⋅⋅, Y n 相互独立, f , g 分别为m 元与 n 元连续函数 ⇒ f （X 1, ⋅⋅⋅⋅, X m ）与g （Y 1, ⋅⋅⋅⋅, Y n ）也独立. 3︒ 常数与任何随机变量独立. 3. 常见的二维分布（1）二维均匀分布 （X , Y ）~ U （D ）, D 为一平面区域. 联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,.),(,)(),(其他01D y x D S y x f （2）二维正态分布 （X , Y ）~ N （μ1 , μ2, σ12 ,σ22, ρ ）, −∞ <μ1, μ2 < +∞, σ1>0, σ2 > 0, | ρ| <1. 联合概率密度为221121ρσπσϕ-=),(y x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------22222121212122121σμσσμμρσμρ)())(()()(y y x x e性质:（ a ） X ~ N （μ1, σ12 ）, Y ~ N （μ2, σ22 ） （ b ） X 与Y 相互独立 ⇔ ρX Y =0 , 即 X 与Y 不相关.（ c ） C 1X +C 2Y ~ N （C 1 μ1+ C 2 μ2, C 12 σ12 + C 22σ22 +2C 1C 2 ρ σ1 σ2 ）. （ d ） X 关于Y=y 的条件分布为正态分布: )](),([22122111ρσμσσρμ--+y N 【 例1 】 设A ，B 为事件，且P （A ）＝41, P （B |A ）＝21, P （A |B ）＝12令 X ＝⎩⎨⎧否则发生若,0,1A , Y ＝⎩⎨⎧否则发生若,0B ,1（1） 试求（X , Y ）的联合分布律； （2）计算Cov （ X , Y ）； （3） 计算 22(2,43)Cov X Y +.【 例2 】设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X , Y ）联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.【 例3 】设随机变量X 与Y 独立同分布, 且X 的概率分布为313221PX 记{}{}Y X V Y X U ,m in ,,m ax ==.（I ）求（U , V ）的概率分布;（II ）求（U , V ）的协方差C ov （U , V ）. 【详解】（I ）易知U , V 的可能取值均为: 1, 2. 且{}{}})1,m in ,1,(m ax )1,1(=====Y X Y X P V U P)1,1(===Y X P 94)1()1(====Y P X P , {}{}0})2,m in ,1,(m ax )2,1(======Y X Y X P V U P , {}{}})1,m in ,2,(m ax )1,2(=====Y X Y X P V U P)2,1()1,2(==+===Y X P Y X P)2()1()1()2(==+===Y P X P Y P X P 94=, {}{}})2,m in ,2,(m ax )2,2(=====Y X Y X P V U P)2()2()2,2(======Y P X P Y X P 91=, 故（U , V ）的概率分布为:（II ） 9122941209411)(⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=UV E 916=, 而 914952941)(=⨯+⨯=U E , 910912981)(=⨯+⨯=V E .故 814910914916)()()(),(=⨯-=-=V E U E UV E V U Cov .【 例4】 设随机变量X 在区间（0, 1）上服从均匀分布, 在)10(<<=x x X 的条件下,随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布, 求（Ⅰ）随机变量X 和Y 的联合概率密度;（Ⅱ）Y 的概率密度; （Ⅲ）概率}1{>+Y X P .二、 二维（或两个）随机变量函数的分布1．分布的可加性（1）若X ~B （m, p ）, Y ~B （n, p ）, 且X 与Y 相互独立，则 X +Y ~ B （m +n , p ）. （2）若X ~P （λ1）, Y ~P （λ2）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ P （λ1+λ2）.（3）若X ~N （211,μσ）, Y ~P （222,μσ）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ N （221212,μμσσ++）.一般地，若X i ~N （2,i i μσ）, i =1, 2, …, n , 且X 1，X 2，…，X n 相互独立，则Y =C 1X 1+C 2X 2+…+C n X n +C 仍服从正态分布，且此正态分布为2211(,),n ni i i i i i N C C Cμσ==+∑∑ 其中C 1，…，C n 为不全为零的常数.2. 两个随机变量函数的分布. 【例5】 设X与Y相互独立, 且~(1),~(2),X P Y P 则{max(,)0}______;P X Y ≠={min(,)0}__________.P X Y ≠=【 例6】 设X 与Y 相互独立, 其密度函数分别为:1,01,()X x f x <<⎧=⎨⎩0,其他. ,0,()y Y e y f x -⎧>=⎨⎩0,其他.求Z ＝2X ＋Y 的概率密度.【 例7】设二维随机变量（X , Y ）的概率密度为2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它.（I ）求{}Y X P 2>；（II ）求Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z . 【详解】（I ）{}Y X P 2>⎰⎰>=yx dxdy y x f 2),(⎰⎰--=1221)2(ydx y x dy 247=. （II ）方法一： 先求Z 的分布函数: ⎰⎰≤+=≤+=zy x Z dxdy y x f Z Y X P z F ),()()(当z <0时, 0)(=z F Z ; 当10<≤z 时, ⎰⎰=1),()(D Z dxdy y x f z F ⎰⎰---=yz zdx y x dy 0)2(3231z z -=； 当21<≤z 时, ⎰⎰-=2),(1)(D Z dxdy y x f z F ⎰⎰-----=111)2(1yz z dx y x dy3)2(311z --=；当2≥z 时, 1)(=z F Z . 故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z =)(z F Z '⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z方法二： ⎰∞+∞--=dx x z x f z f Z ),()(，⎩⎨⎧<-<<<---=-.,0,10,10),(2),(其他x z x x z x x z x f ⎩⎨⎧+<<<<-=.,0,1,10,2其他x z x x z 当z ≤0 或z ≥ 2时, 0)(=z f Z ; 当01z <<时, ⎰-=zZ dx z z f 0)2()()2(z z -=；当21<≤z 时, ⎰--=11)2()(z Z dx z z f 2)2(z -=；故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z ⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z【例8】 设随机变量X 与Y 相互独立, X 有密度函数f （x ）, Y 的分布律为()i i P Y a p ==,　i =1,2. 试求Z ＝X ＋Y 的概率分布.。