矩形菱形判定定理
菱形矩形平行四边形和正方形的判定和定理
菱形矩形平行四边形和正方形的判定和定理好嘞，今天咱们来聊聊菱形、矩形、平行四边形和正方形这几个几何形状，听起来有点儿像数学课上那些晦涩的定义，但其实它们可有趣多了，就像一场几何的聚会，各有各的特色和风采。
先说说正方形吧，正方形简直是几何界的小可爱，四条边一样长，四个角都直得像刚刚打过铅笔的直角，真是一个方方正正的小家伙。
你想啊，正方形的每一边都能相互“打招呼”，彼此对称，简直就像是一个和谐的小家庭，里面的每个成员都能友好相处。
不仅如此，正方形的对角线也是超级好玩，长短一致，交点正好是中心，真是“家有一老，如有一宝”的感觉。
正方形总是给人一种稳稳当当的安全感，想象一下，你的书桌上放着一张正方形的桌子，摆放整齐，工作起来心里也踏实多了。
再说矩形，这家伙有点像正方形的哥哥，四条边也是直的，不过它就喜欢长得不一样，长边短边各有不同，像极了那种总是和朋友们比拼身高的家伙，长得高高瘦瘦的。
矩形的对角线同样是一对好兄弟，长度相等，分担着各自的职责。
不过呢，矩形也常常被调侃，毕竟它的角虽然直，但不如正方形的可爱。
就像学校里的风云人物，有点儿高冷，但其实心里藏着许多故事。
很多时候，矩形在日常生活中扮演着重要角色，像窗户、门这样大方的形状，给我们的生活带来了便利。
说到平行四边形，哎呀，这个家伙可有意思了，四条边也齐刷刷的，不过对边平行，不同于正方形和矩形。
它就像个爱运动的年轻人，灵活多变，斜斜的看着世界，像在向你展示它的独特风采。
平行四边形的对角线不一定相等，但它的面积可不低。
用一个简单的公式，就能算出它的大小。
平行四边形就像是一种风格，不在乎外表，内涵才是最重要的。
就像那些看似不拘一格的人，反而往往更有魅力。
最后得提提菱形，嘿，这可真是个神奇的家伙。
菱形的四条边都是一样长的，就像是个四面体的明星，爱闪闪发光。
对角线相互垂直交叉，这简直像在跳舞，动感十足。
菱形的形状有点像菱角，水中漂浮，别有一番风味。
很多时候，我们会看到它在装饰中闪现，或者在图案中点缀，仿佛在告诉我们，生活需要点儿花样，别太单调。
菱形、矩形、正方形
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有： △ABC △ DBC △ACD △ABD 直角三角形有：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
全等三角形有： Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA △ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
A
解：∵ ∴∠BAC＝600 又∵ AB ＝B C ∴ △ BAC是等边三角形 B ∴ AC ＝ 4cm ∴B O ＝ 2 √ 3 ∴B D ＝ 4√ 3 1 S AC BD＝ 8√ 3 2
∠BAD＝1200
D O C
变式：已知菱形ABCD中，E是BC的中点，且 AE⊥BC，AB＝4．
求：⑴∠ABC的度数 ⑵对角线AC的长
∴ ∠AOB=Rt∠， ∴AC⊥BD.
B
（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形.
例题解析：
例3、已知: ABCD的对角线AC的垂直平分线 与边AD 、BC分别交于E、F E A 求证：四边形AFCE是菱形。
O
D
分析: （1）利用定义判定 （2） 由已知可知
B
OA=OC,EF⊥AC.
X X X
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； X
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是 矩形；
例2、谁正确？ 一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟。一 天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四 边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人 都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形。 甲的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角， 发现它们都是直角。所以我这个四边形门就是矩形” 乙的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线， 发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩 形”。 根据它们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形。
矩形、正方形和菱形的判定方法
FC D 一、考点分析：矩形、正方形和菱形是特殊的平行四边形，是考试中重要的考点。
二、教学目标：1． 掌握矩形、正方形和菱形的判定方法三、教学内容正方形巩固练习例题1 如图,正方形ABCD 的边长为12,点E 是BC 上的一点,BE=5,点F 是BD 上一动点.（1）AF 与FC 相等吗?试说明理由.（2）设折线EFC 的长为y ，试求y 的最小值,并说明点F 此时的位置.【解】（1）AF 与FC 相等,其理由如下：可证：△ABF ≌△CBF ，∴AF=CF（2）连接AE,则AE 与BD 的交点就是此时F 点的位置 此时y 有最小值,13=.例题2 如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E 、F 小红同学发现：PD ⊥EF ，且PD=EF ，且矩形PEBF 的周长不变．不知小红的发现是否正确，请说说你的看法．【解】小红的发现是正确，其理由如下：连接BP,延长DP 交EF 于Q.（1）∵四边形ABCD 是正方形∴CB=CD,∠BCP=∠DCP=45°∴△BCP ≌△DCP ，∴PD=PB又∵PE ⊥AB ，PF ⊥BC ， ∴∠BEP=∠BFP=∠EBF=90°，∴四边形BEPF 是矩形∴PB=EF,∴PD=EF（2）∵PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，∴△AEP 和△CFP 均为等腰直角三角形∴AE=PE,CF=PF∴矩形PEBF 的周长=AB+BC=2AB （为定值）（3）∵PF ∥CD ，∴∠FPQ=∠PDC∵△BCP ≌△DCP ，∴∠PDC=∠PBF A B C D 第28题图 FE∵四边形PEBF 是矩形,∴∠PBF=∠PEF∴∠PEF=∠FPQ又∵∠PEF+∠PFE=90°，∴∠FPQ+∠PFE=90°∴∠PQF=90°，∴PD ⊥EF.【另证】延长EP 交CD 于点R,则CFPR 为正方形∴可证△PEF ≌△RDF∴∠PEF=∠PDR又∵∠DPR=∠EPQ而∠PDR+∠DPR=90°，∴∠PEF+∠EPQ=90°∴∠EQP=90°，∴PD ⊥EF.课堂练习1 如图1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =（1）如图2，延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点，试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（2）在图2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．梯形回顾梯形性质及判断定理 梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形． （1）一些基本概念（如图）：底、腰、高．底：平行的一组对边叫做梯形的底.（较短的底叫做上底，较长的底叫做下 底）腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰.高：两底间的距离叫做梯形的高.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形． （3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．结论：①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．②等腰梯形同一底上的两个角相等．③等腰梯形的两条对角线相等．解决梯形问题常用的方法：图1A D CB E 图2 BC ED A F P F（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5 综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．例1．如图，梯形ABC D中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．求CD的长．分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．其方法是：平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．解（略）．例2 （补充）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB ＝∠ABC， BE⊥AC于E．求证：BE＝C D．分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD．证明（略）另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可．例3：如图 4.9-4，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm,求CD的长.练习1已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.练习2 已知：如图4.9-5，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC.练习3：1、填空（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= .（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和 .（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= .4，（1）求梯形2、如图4.9-6，等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分∠DAB，A B＝3的各角.（2）求梯形的面积.3、（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= ．（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和．（3）等腰梯形ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= ．4．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，A B∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长．（AD=DC=BC=4，AB=8）课堂小结1、梯形的定义及分类2、等腰梯形的性质：（1）具有一般梯形的性质：AD∥BC.（2）两腰相等：AB=CD.（3）两底角相等：∠B=∠C，∠A=∠D.（4）是轴对称图形，对称轴是通过上、下底中点的直线.（5）两条对角线相等：AC=BD.两条对角线的交点在对称轴上.两腰延长线的交点在对称轴上.等腰梯形的判断例2（补充）证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．已知：如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形．在ΔABC和ΔDCB中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证ΔABC ≌ΔDCB得到AB=DC．证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，又AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC ．∵ AC=BD ，∴ DE=BD ∴∠1=∠E∵∠2=∠E ，∴∠1=∠2又 AC=DB，BC=CE，∴ΔABC≌ΔDCB．∴ AB=CD．∴梯形ABCD是等腰梯形．说明：如果AC、BD交于点O，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD ，即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路．问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，可证RtΔABC≌RtΔCAE，得∠1=∠2．例3（补充）已知：如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD 于G，F是垂足．求证：四边形ABGE是等腰梯形．分析：先证明OE＝OG，从而说明∠OEG＝45°，得出EG∥AB，由AE，BG延长交于O，显然EG≠AB．得出四边形ABGE是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形．例4 （补充）画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm、12cm，高为3cm，并计算这个等腰梯形的周长和面积．分析：梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形．如图，先算出AB长，可画等腰三角形ABE，然后完成AECD的画图．画法：①画ΔABE，使BE=12—4=8cm．.②延长BE到C使EC=4cm.③分别过A、C作AD∥BC ，CD∥AE，AD、CD交于点D．四边形ABCD就是所求的等腰梯形．解：梯形ABCD周长＝4＋12＋5×2＝26cm ．cm．答：梯形周长为26cm，面积为242例5：.如图4.9-4，已知等腰梯形ABCD的腰长为5cm，上、下底长分别是6cm和12cm，求梯形的面积. （方法一，过点C作CE∥AD，再作等腰三角形BCE的高CF，可知CF=4cm.然后用梯形面积公式求解；方法二，过点C和D分别作高CF、DG，可知，从而在Rt△AGD中求出高DG=4cm. ）课后练习1、填空（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= .（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和 .（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= .4，（1）求梯形2、如图4.9-6，等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分∠DAB，A B＝3的各角.（2）求梯形的面积.3、（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= ．（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和．（3）等腰梯形ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= ．4．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，A B∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长．（AD=DC=BC=4，AB=8）。
人教版八年级下册数学 18.2矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明 习题精选(含答案)
矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明习题精选矩形的性质和判定1．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的和为15，则短边的长是________。
2．如图32-3-1，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1____S2。
3．如果矩形一个角的平分线分一边为4 cm和3 cm两部分，那么矩形的周长为_______。
4．现有一张长为40cm, 宽为20 cm的长方形纸片（如图32-3-2所示），要从中剪出长为18 cm，宽为12 cm的长方形纸片，则最多能剪出___张。
5．矩形的一条较短边的长为5 c m，两条对角线的夹角为60°，则它的对角线的长等于_____ cm。
6．如图32-3-3，在矩形ABCD中，CE⊥BD于E，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE=____度。
7．下列说法中正确的是( )A．一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形。
B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形。
C．对角线互相垂直的平行四边开是矩形。
D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形。
8．四边形ABCD的对角线相交于O，在下列条件中，不能说明它为矩形的是（）A．AB=CD,AD=BC, BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°, ∠BAD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD, ∠ABC+∠ADC=180°★菱形的性质和判定9．己知菱形的锐角是60°，边长是20 cm，则较长对角线是_____。
10．菱形两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，它的高为______。
11．菱形的一个内角是120°，平分这个内角的一条对角钱长为13 cm，则菱形的周长是____。
12．菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是_____。
菱形的性质和判定定理教案
课题菱形的性质和判定定理时间教学目标1.掌握菱形的性质判定，并能用定义判定一个四边形是菱形使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题，提高能力。
2.通过教具的演示培养学生的观察能力并提高学生的学习兴趣。
3.通过把矩形和菱形的定义、性质、判定相互对比，将易混淆的知识点分清楚，并以此培养学生的辨正观点。
重难点重点：菱形的性质定理和判定定理的了解和运用难点：平行四边形，矩形，菱形的性质定理，判定定理的综合应用。
教学方法教学方法观察分析讨论相结合的方法。
（做一个短边可以运动的平行四边形）投影仪、透影胶片角色教师活动学生活动备注教学过程（一）引入新课我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，这时可将事先按课本中做成的一个短边也可以活动的教具进行演示，如，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，引出菱形概念。
（二）讲解新课1.1.菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.2.菱形的性质菱形的性质教师强调，菱形既然是特殊的平行四边形，因此它就具有平行四边形的一切性质，此外由于它比平行四边形多了“一组邻边相等”的条件，和矩形类似，也比平行四边形增加了一些特殊的性质。
菱形性质定理1：菱形的四条边都相等菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角师1：菱形ABCD被对角线分成的四个直角三角形有什么关系？师2：它们的底和高和两条对角线有什么关系？师3：如果设菱形的两条对角线分别为a、b，则菱形的面积是什么？S＝1/2ab1/2ab。
教师指出当不易求出对角线长时，就用平行四边形面积的一般计算方法计算菱形面积。
讲解这个定义时，要抓住概念的本质，应突出两条：（1）强调菱形是平行四边形。
（2）一组邻边相等。
教学过程例1已知：如图4－41，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F。
求证：四边形AEDF是菱形。
矩形、菱形的性质及判定
矩形、菱形的性质及判定一、矩形的性质和判定1.定义： 有一个角是直角的叫做矩形（通常也叫长方形）。
2.性质：矩形的性质：（从边、角、对角线三个方面总结出矩形的性质） （1）对边平行且相等； （2）每个角都是直角； （3）对角线相等且互相平分。
矩形是轴对称图形，它有条对称轴。
矩形是中心对称图形，是它的对称中心。
3.判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2）有三个角都是直角的四边形是矩形。
（3）对角线相等的平行四边形是矩形。
(也可以表述成“对角线互相平分且的四边形是矩形”)。
4、直角三角形的性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．逆定理：如果一个三角形的一条边上的中线等于它的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边所对的角为直角。
（会证明吗？）例：如图,在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，AC=3，BC=4，则CD=__________.在直角三角形中还有一个涉及“一半”的定理是：例1、矩形是面积的60，一边长为5，则它的一条对角线长等于。
例2、如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。
例3、如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，，AB=4cm，求此矩形的面积。
ABOCD例4、四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判别它是矩形的是（） A．AB=CD，AD=BC，∠BAD=90°B．AO=CO，BO=CO，AC=BD C．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180° D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°例5、如图，矩形ABCD中，DE=AB，，求证：EF=EB。
AEBCDF例6、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连结CF．(1)求证：D是BC的中点；(2)如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．二、菱形的性质和判定定义1、四条边都相等的四边形是菱形。
矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明
矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理及其证明一、知识概述1、矩形的性质定理定理1：矩形的四个角都是直角．说明：(1)矩形具有平行四边形的一切性质．(2)矩形的这一特性可用来证明两条线段互相垂直．定理2：矩形的对角线相等．说明：矩形的这一特性可用来证明两条线段相等．推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．说明：与中位线定理及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半一样，这一推论可用来证明线段之间的倍数关系．2、矩形的判定定理定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．3、菱形的性质定理定理：菱形的四条边都相等．说明：(1)菱形具有平行四边形的一切性质，并且具有它特殊的性质．(2)利用该特性可以证明线段相等．定理2：菱形的对角线互相垂直．并且每条对角线平分一组对角．说明：根据菱形的特性可知，其对角线将它分成四个全等的直角三角形，再由直角三角形的相关性质，证明线段或角的关系，这样就将四边形问题转化为三角形问题来处理．4、菱形的判定定理定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理2：四条边都相等的四边形是菱形．说明：菱形的两个判定定理起点不同，一个是平行四边形，一个是四边形，判定时的条件不同，一个是对角线互相垂直，一个是四条边都相等．5、正方形的性质普通性质：正方形有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．特有性质：(1)边：四条边都相等，邻边垂直，对边平行；(2)角：四个角都是直角；(3)对角线：①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角．说明：正方形这些性质根据定义可直接得出．特殊性质——正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°，正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．6、正方形的判定(1)判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两种：①先证它是矩形，再证有一组邻边相等；②先证它是菱形，再证有一个角为直角．(2)判定正方形的一般顺序；①先证明是平行四边形；②再证有一组邻边相等(有一个角是直角)；③最后证明有一个角是直角(有一组邻边相等)．说明：证明一个四边形是正方形的方法很多，但一定注意不要缺少条件．二、重难点知识归纳1、特殊的平行四边形知识结构三、典型例题讲解例1、如图所示，M，N分别是平行四边形ABCD的对边AD，BC的中点，且AD=2AB，求证四边形PMQN为矩形．错解：连接MN．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC．又∵M，N分别为AD，BC的中点，∴AM BN．∴四边形AMNB是平行四边形．又∵AB=AD，∴AB=AM，∴口AMNB是菱形．∴AN⊥BM，∴∠MPN=90°．同理∠MQN=90°，∴四边形PMQN为矩形．分析：错在由∠MPN=∠MQN=90°，就证得四边形PMQN是矩形这一步，还需证一个角是直角或证四边形PMQN是平行四边形，证四边形PMQN是平行四边形这种方法比较好．正解：连接MN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC．又∵DM=AD，BN=BC(线段中点定义)，∴四边形BNDM为平行四边形．∴BM DN，同理AN MC．∴四边形PMQN是平行四边形．∵AM BN，∴四边形ABNM是平行四边形．又∵AD=2AB，AD=2AM，∴AB=AM，∴四边形ABNM是菱形．∴AN⊥BM，即∠MPN=90°，∴四边形PMQN是矩形．例2、如图所示，4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD四个顶点同时出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动．(1)试判断四边形PQEF的形状，并证明；(2)PE是否总过某一定点?并说明理由；(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积有最大值和最小值?最大值和最小值各是多少?分析：(1)猜想四边形PQEF为正方形，先证它为菱形，再证有一直角即可；(2)此问是动态问题，紧紧抓住运动过程中的不变量，即AP CE，四边形APCE为平行四边形，易知PE与AC平分于点O；(3)此问中显然当点P，Q，E，F分别运动至与正方形ABCD各顶点重合时面积最大，分析最小值时的情形可根据S正=PE2，而PE最小时是PE⊥AB，此时PE=BC．解：(1)四边形PQEF为正方形，证明如下：在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，AP=BQ=CE=DF，∴BP=QC=ED=FA．又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB，∴∠FPQ=90°．∴四边形PQEF为正方形．(2)连接AC交PE于点O．∵AP EC，∴四边形APCE为平行四边形．又∵O为对角线AC的中点，∴对角线PE总过AC的中点．(3)当P运动至与B重合时，四边形PQEF面积最大，等于原正方形面积，当PE⊥AB时，四边形PQEF的面积最小，等于原正方形面积的一半．小结：探索动态问题，解答的关键是抓住它不动的一瞬间和运动中的不变量，即动中求静，这类题目是中考的热点考题．例3、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3，D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF//AB，交直线DE于F，设CD=x．(1)当x取何值时，四边形EACF是菱形?请说明理由；(2)当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？分析：本题考查菱形的判定、解直角三角形等知识的综合运用，有一定的探究性．解：(1)∵∠ACB=90°∴AC⊥BC．又∵DE⊥BC，∴EF//AC．∵AE//CF，∴四边形EACF是平行四边形．当CF=AC时，四边形ACFE是菱形．此时CF=AC=2，BD=3－x，tan B=，∴ED=BD·tan B=(3－x)．∴DF=EF－ED=2－(3－x)=x．在Rt△CDF中，CD2＋DF2=CF2，∴x2＋(x)2=22，∴(负值不合题意，舍去)．即当时，四边形ACFE是菱形．(2)由已知条件可知四边形EACD是直角梯形，例4、如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别是AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点．(1)求证四边形MENF是菱形；(2)若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．分析：由题中条件根据三角形中位线的性质可证明四边形MENF的四边相等．当四边形MENF是正方形时，则有NE⊥MB，NF⊥MC，所以需连接MN(梯形的高)进行探究．证明：(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠A=∠D．∵M为AD中点，∴AM=DM，∴△ABM≌△DCM，∴BM=CM．∵E，F，N分别为MB，MC，BC的中点，∴EN=MC，FN=MB，ME=MB，MF=MC，∴EN=FN=MF=ME，∴四边形ENFM是菱形．解：(2)结论：等腰梯形ABCD的高等于底边BC的一半．理由如下：连接MN，∵BM=CM．BN=CN，∴MN⊥BC．∵AD//BC，∴MN⊥AD，即MN为梯形ABCD的高，又∵四边形MENF是正方形，∴△BMC为等腰直角三角形，∵N为BC中点，∴MN=BC．小结：梯形的高是指端点在两底上并且与两底垂直的线段．例5、如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，M，N分别是AD，BC的中点，AC平分∠DCB，AB⊥AC，P为MN上的一个动点．若AD=3，则PD＋PC的最小值为_________．分析：本题综合考查等腰梯形的性质、轴对称图形和解直角三角形等知识．由M，N为AD，BC中点可知，直线MN为等腰梯形的对称轴，故点A与点D，点B与点C关于直线MN对称．所以连接BD，交MN于点P′，则PC＋PD的最小值为线段BD的长(由三角形三边的关系说明)．因为AC平分∠DCB，且AD//BC，所以AD=DC=AB=3，易知∠ACB=∠DCB=30°．又∠BAC=90°，所以BC=2AB=6，因此．答案：例6、用反证法证明：一个梯形中不能有三个角是钝角．分析：要用反证法证明文字叙述的命题，需写出已知、求证，根据命题要求画出图形，再经过推理论证，得出与所学过的知识相矛盾的结论．从而否定原来的假设．如图所示，已知梯形ABCD，AD//BC．求证：∠A，∠B，∠C，∠D中不能有三个角是钝角．证明：假设∠A，∠B，∠C，∠D中有三个角是钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，∠C>90°．∴∠A＋∠B>180°，∠B＋∠C>180°，∠A＋∠C>180°．又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B=180°．∴“∠A＋∠B>180°”与“∠A＋∠B=180°”矛盾．∴∠A＋∠B>180°不成立，即假设∠A>90°，∠B>90°不成立．∴梯形中不能有三个角是钝角．。
八年级数学竞赛例题专题讲解19：平行四边形、矩形、菱形
专题19 平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.熟悉以下基本图形：S 1S 2S 3S 4例题与求解【例l 】如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，∠CAE ＝15°，那么∠BOE ＝________.OD(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.【例2】下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（ ） A.1 B. 2 C. 3 D.4 (全国初中数学联赛试题)解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构例否定.【例3】如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点且满足AE +CF ＝2.（1）判断△BEF 的形状，并说明理由； （2）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.E DACBF(烟台中考试题)解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE 的取值范围.【例4】如图，设P 为等腰直角三角形ACB 斜边AB 上任意一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥EF 于点G ，延长GP 并在春延长线上取一点D ，使得PD ＝PC . 求证：BC ⊥BD ，BC ＝BD .R G FE CABP(全国初中数学联赛试题)解题思路：只需证明△CPB ≌△DPB ，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.【例5】在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F .图3图2图1DGDFDB BBC EC AEC A E（1）在图1中证明CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB ，DG （如图3），求∠BDG 的度数.(北京市中考试题)解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形； 对于（2），用测量的方法可得∠BDG =45°，进而想到等腰直角三角形，连CG ，BD ，只需证明△BGC ≌△DGF ，这对解决（3），有不同的解题思路. 对于（3）【例6】如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 与BN 相交于点P . 求证：∠BPM ＝45°.PNMBA(浙江省竞赛试题)解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN 或AC ，即作ME ⊥AN ，ME ＝AN ，构造平行四边形.，能力训练A 级1. 如图，□ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，∠EBF ＝60°，则□ABCD 的面积为________.第1题F E ABD2. 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，若△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为 ________.第2题MOBC A(浙江省中考试题)3. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝78°，过C 作CF ∥AB ，连结AF 与BC 相交于G ，若GF ＝2AC ，则∠BAG 的大小是________.第3题GFCB A(“希望杯”竞赛试题)4. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝20°，则∠CEF 的大小是________.第4题FBDC E(“希望杯”邀请赛试题)5. 四边形的四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足222222a b c d ab cd +++=+，则这个四边形一定是（ ）A.两组角分别相等的四边形B. 平行四边形C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线相等的四边形6.现有以下四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（ ）A. ①②B.③④C. ③D. ①②③④7. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD 3AF 平分∠DAB ，过点C 作CE ⊥BD于E ，延长AF ，EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED .正确的是（ ）A. ②③B.③④C. ①②④D. ②③④第7题HEFOD BC (齐齐哈尔中考试题)8. 如图，矩形ABCD 的长为a ，宽为b ，如果12341(S S )2S S ==+，则4S ＝（ ）A.38abB. 34abC. 23abD. 12abS 1S 3S 2S 4第8题AB DE F(“缙云杯”竞赛试题)9. 已知四边形ABCD ，现有条件：①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A ＝∠C ；⑥∠B ＝∠D .从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合.(江苏省竞赛试题)10. 如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ， 以AD为边作等边△ADE .（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF ＝30°，证明你的结论.E FABCD(江苏省南通市中考试题)11. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，点D 为BC 上任一点，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 中点，试判断△MEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论.FE ABC(河南省中考试题)12. 如图，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，求四边形AEFD 的面积.EA(山东省竞赛试题)B 级1. 如图，已知ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积为22cm ，则□ABCD 的面积是________.第1题FE BAC(“希望杯”竞赛试题)2. 如图，已知P 为矩形ABCD 内一点，P A ＝3，PD ＝4，PC ＝5，则PB ＝________.第2题BP C(山东省竞赛试题)3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 长为________.第3题F EB C(武汉市竞赛试题)4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D '处，CD '交AB 于点F ，则重叠部分△AFC 的面积为 ________.第4题F ABD(山东省竞赛试题)5. 如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，那么PE +PF 的值为________.第5题EFBCAP(全国初中数学联赛试题)6. 如图，菱形ABCD 的边长为4 cm ，且∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，P 点在BD上，则PE+PC 的最小值为________.第6题EDABC P(“希望杯”邀请赛试题)7. 如图，△ABC 的周长为24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是（ ）A. 30B. 24C.16D.12第7题MBCA(全国初中数学联赛试题)8. 如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED 的大小是（ ） A. 60° B. 65° C.70° D.75°第8题E FBAC9. 如图，已知∠A ＝∠B ，1AA ，1PP ，1BB 均垂直于11A B ，1AA ＝17，1PP＝16，1BB ＝20，11A B ＝12，则AP+PB 的值为（ ）A. 15B.14C. 13D.12第9题B A 1P 1PA(全国初中数学联赛试题)10. 如图1，△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图2）.图1图3EDBCAB CCBA解答问题：（1）设图2中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为1S ，2S ，则1S ________2S （填“＞”、“＝”或“＜”）.（2）如图3，△ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图3画出来.（3）如图4，△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图4画出来.（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？图4ABC(陕西中考试题)11.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAD ＝120°，M 为BC 上一点，N 为CD 上一点.求证：若△AMN 有一个内角等于60°，则△AMN 为等边三角形.12.如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED－AB＝AF－CD＞0.求证：该六边形的各角相等.FEB(全俄数学奥林匹克试题)。
初三总复习 矩形、菱形、正方形的性质与判定
矩形、菱形、正方形一、本部分知识重点：矩形、菱形、正方形的定义，性质和判定是重点。
这三种图形都是特殊的平行四边形，它们都具备平行四边形的性质。
二、知识要点：（一）矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
性质：1、具有平行四边形的性质；2、矩形的四个角都是直角；3、矩形的对角线相等。
4、矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定。
2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形。
（二）菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
性质：1、具有平行四边形的性质；2、菱形的四条边相等；3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
4、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定；2、四边都相等的四边形是菱形。
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（三）正方形：定义；有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
性质：正方形是特殊的菱形，又是特殊的矩形，所以它具备菱形和矩形的所有的性质。
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定；2、有一个角是直角的菱形是正方形；3、有一组邻边相等的矩形是正方形。
另外由矩形性质得到直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、例题：例1，判断正误：（要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可）1、有三个角相等的四边形是矩形。
（）分析：不正确。
反例：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=850，∠D=1050，显然此四边形不是矩形。
2、对角线相等的四边形是矩形。
分析：不正确。
因为对角线不平分，未必是平行四边形。
反例：如图，四边形ABCD中，对角线AC=BD，但它不是矩形。
3、四个角都相等的四边形是矩形。
分析：正确。
因为四边形内角和等于3600，又知这四个内角都相等，所以每个内角为900，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证。
4、对角线互相垂直的四边形是菱形。
平行四边形矩形菱形正方形的判定
第 1 页平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定一、判定定理二、平行四边形的判定例1：（定义）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成了一个四边形．线段AD 与BC 的长度有什么关系？例2：（一组对边平行且相等）已知：如图，AD ∥BC ，ED ∥BF ，且AF ＝CE ．求证：四边形ABCD 是平行四边形． 练习：如图, □ABCD 中,G 是CD 上一点,BG 交平行四边形 矩形菱形 正方形 边 两组对边平行四边都相等有1组邻边相等的矩形两组对边分别相等 一组对边平行且相等角 两组对角分别相等 有1个直角的平行四边形每条对角线都平分一组对角 有1个直角的菱形三个直角的四边形对角线互相平分 对角线相等的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形ABCDF EG第 2 页AD 延长线于E,AF=CG, 100=∠DGE ． (1)试说明DF=BG; (2)试求AFD ∠的度数．例3：（两组对边分别相等）已知如图所示，在四边形ABCD 中，AB CD BC AD E F ==，，、是对角线AC 上两点，且AE CF =．求证：BE DF =．练习：（1）、在平行四边形ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的三等分点。
求证：四边形AFCE 是平行四边形。
（2）已知，如图所示，在□ABCD 中，BN DM =，BE DF =．求证：四边形MENF 是平行四边形．例4：（对角线互相平分）如图所示，□ABCD 中，AC BD 、相交于点O E F，、在对角线BD 上，且BE DF =．试说明四边形AECF 的形状．三、平行四边形判定综合1、如图，在□ABCD 中，E F G H 、、、各点分别在AB BC CD DA 、、、上，且AE BF CG DH ===，请说明：EG 与FH 互相平分．2、以ABC △的三边AB BC CA 、、在BC 的同侧作等边ABD BCE CAF △、△、△，请说明：四边形ADEF 为平行四边形．如图所示．3. 如图所示，四边形ABCD 中，AD BC CAD BCA E =∠=∠，，、中点，试说明OE OF AF CE =，∥．4、（定义与性质综合）如图，BD 平分∠ABC,DE//BC,EF//AC,试判断BE 与CF 是否相等？并简要说明．A EF BCDAE BC FDO Ｎ Ａ ＭＦＣＢＥＤＡ ＢＥＦ Ｃ ＨＧ Ｂ Ｃ ＦＡＣＤ ＥＢＡ ＥＣ Ｆ Ｂ Ｏ5. 如图，已知□ABCD中，E F、分别是对角线AC延长线上的点，且 ，四边形BFDE是平行四边形吗？说说你的理由．DE BF6、如图，在□ABCD中，E是AD的中点，CE交BA的延长线于点F．(1)你能证明CD=AF吗?(2)若BC＝2CD,则∠F=∠BCF．四、矩形的判定如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A 到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：（1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由．（2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由．【提示】证明△EAH≌△EAB，△FAH≌△FAD．第3 页。
几何公式定理：矩形,菱形、正方形
几何公式定理：矩形，菱形、正方形
几何公式定理：矩形
1、矩形性质定理1矩形的四个角都是直角
2、矩形性质定理2矩形的对角线相等
3、矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形
4、矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形
几何公式定理：菱形
5、菱形性质定理1菱形的四条边都相等
6、菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
7、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(ab)2
8、菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形
9、菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何公式定理：正方形
1、正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等
2、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
3、定理1关于中心对称的两个图形是全等的
4、定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
5、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
菱形的判定(5种题型)(解析版)
菱形的判定（5种题型）【知识梳理】一、菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形。
二．菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．【考点剖析】题型一：添加一个条件使四边形为菱形∥，例1．（2023·安徽·校联考一模）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB CD =，想要判断四边形ABCD是菱形，则可以添加一个条件是_____________．AO CO【答案】AB AD =（答案不唯一）【分析】根据菱形的判定方法进行解答即可．【详解】解：∵AB CD ∥，∴OAB OCD ∠=∠，OBA ODC ∠=∠，∵AO CO =，∴△≌△AO B C O D ， ∴AB CD =，∵AB CD ∥，∴四边形ABCD 为平行四边形，如果添加AB AD =，可以通过有一组邻边相等的平行四边形是菱形，判断四边形ABCD 为菱形； 故答案为：AB AD =．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．【变式】如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，请添加一个条件： ，使▱ABCD 是菱形．【分析】根据菱形的定义得出答案即可．【解答】解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴当AD ＝DC ，▱ABCD 为菱形；故答案为：AD ＝DC （答案不唯一）．【点评】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．题型二：证明四边形为菱形例2.如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE 是菱形．【分析】根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；【解答】证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵AC＝BC，∴DE＝DF，∴四边形DFCE是菱形；【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．例3.如图，四边形ABCD为平行四边形，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于E，F，且BE＝BP，求证：（1）∠E＝∠F；（2）四边形ABCD是菱形．【分析】（1）首先判定四边形BPFD是平行四边形，所以BP∥DF，利用平行线的性质可得∠F＝∠BPE，又因为BE＝BP，可得∠E＝∠F；（2）利用平行线的性质以及菱形的判定方法进而得出即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BP∥DF，∵EF∥BD，∴四边形BPFD是平行四边形，∴BP∥DF，∴∠F＝∠BPE，∵BE＝BP，∴∠E＝∠BPE，∴∠E＝∠F；（2）∵EF∥BD，∴∠E＝∠ABD，∠F＝∠ADB∴∠ABD＝∠ADB，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定等知识，得出四边形BPFD是平行四边形是解题关键．【变式】如图，已知平行四边形ABCD，点E在AC的延长线上，连接BE、DE，过点D作DF∥EB交CA的延长线于点F，连接FB（1）求证：△DAF≌△BCE；（2）如果四边形ABCD是菱形，求证：四边形BEDF是菱形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝CB，AD∥CB，证出∠DAF＝∠BCE，∠DFA＝∠BEC，由AAS证明△DAF≌△BCE即可；（2）先证明四边形BEDF是平行四边形，再由菱形的性质得出AC⊥BD，即可得出四边形BEDF是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠DAF＝∠BCE，∵DF∥EB，∴∠DFA＝∠BEC，在△DAF和△BCE中，，∴△DAF≌△BCE（AAS）；（2）证明：连接BD，如图所示：由（1）得：△DAF≌△BCE，∴DF＝BE，又∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．题型三：根据菱形的判定与性质求角度 例4．（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，在ABC 中，30ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC ，连接AE ．(1)求证：AB AE =；(2)若A ABC CB =∠∠，证明：直线AE 与BC 互相垂直．【分析】（1）由ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC ，可得60BCE ∠=︒，BC EC =，而30ACB ∠=︒，即得30ACE ACB ∠=︒=∠，可证()SAS ACB ACE △≌△，故AB AE =；（2）根据ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，AB AC =，可得AC DC DE AE ===，证明四边形ACDE 是菱形，得到DA CD ∥；又306090BCD ∠=︒+︒=︒，进而推导出AE BC ⊥．【详解】（1）证明：ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC ，60BCE ∴∠=︒，BC EC =，30ACB ∠=︒，30ACE ACB ∴∠=︒=∠，AC AC =，()SAS ACB ACE ∴≌，AB AE =∴； （2）解：ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，AC DC ∴=，AB DE =，由（1）可知AB AE =，AE DE ∴=，若AB AC =，则AC AE =，AC DC DE AE ∴===，∴四边形ACDE 是菱形，AE CD ∴∥；30ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC ，306090BCD ∴∠=︒+︒=︒，即CD BC ⊥，AE BC ∴⊥，即直线AE 与BC 互相垂直．【点睛】本题考查三角形的旋转问题，涉及菱形的判定及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质，证明ACB ACE △≌△． 模拟预测）如图，在正方形网格中，ABC 的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺 (1)在图1中，作45CAE ∠=︒．(2)在图2中，作ABC 的角平分线CF ．【分析】（1）如图，取格点E ，连接AE ，则CAE ∠即为所作；（2）如图，取格点F ，作射线CF ，则射线CF 即为所作；【详解】（1）解：如图，CAE ∠即为所作，由图可得：2AN CM ==，1CN EM ==，90ANC CME ∠=∠=︒，∴()SAS ANC CME ≌，∴CAN ECM ∠=∠，AC CE =，∵90CAN ACN ∠+∠=︒，∴90ECM ACN ∠∠=︒，∴90ACE ∠=︒，∵AC CE =，∴45CAE CEA ∠=∠=︒；（2）解：如图，射线CF 即为所作，由图可得：AC CG GF AF ===∴四边形ACGF 为菱形，∴CF 平分ACG ∠，即CF 是ABC 的角平分线【点睛】本题考查网格作图，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．题型四：根据菱形的判定与性质求线段长 例5.（2023·山西长治·校联考二模）如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE ，CE ．(1)实践与操作：利用尺规在线段OB 上作出点F ，使得四边形AFCE 为平行四边形，连接AF ，CF ；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)应用与求解：若4,60AB BC ABC ==∠=︒，求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用圆规在OB 上作OF OE =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形AFCE 为平行四边形；（2）先根据平行四边形的性质和已知条件证明EF OB =，再证ABC 是等边三角形，求出4AC =，再证四边形ABCD 是菱形，推出BO AC ⊥，最后根据勾股定理求出OB 即可．【详解】（1）解：如图所示：以点O 为圆心，OE 长为半径作弧，与线段OB 的交点即为点F ，连接AF ，CF ．（2）解：由（1）知OF OE =，ABCD Y 中，E 为OD 的中点，∴1122OE OD OB ==， ∴12OF OE OB ==，∴EF OB =，4,60AB BC ABC ==∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴4AC =，ABCD Y 中，AB BC =，∴四边形ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，即BO AC ⊥， ∴122AO AC ==，∴OB ==∴EF =【点睛】本题考查尺规作图，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握菱形、平行四边形、等腰三角形的性质．【变式】如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点E ，点F 为四边形ABCD 外一点，DA 平分∠BDF ，∠ADF ＝∠BAD ，且AF ⊥AC ．（1）求证：四边形ABDF 是菱形；（2）若AB ＝5，求AC 的长．【分析】（1）首先证明四边形ABDF 是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．（2）在Rt △AFC 中，利用勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：∵∠ADF ＝∠BAD ，∴AB ∥DF ，∵AF ⊥AC ，BD ⊥AC ，∴AF ∥BD ，∴四边形ABDF 是平行四边形；∵DA 平分∠BDF ，∴∠ADF ＝∠BDA ，∴∠BAD ＝∠BDA ，∴BD ＝AB ，∴四边形ABDF 是菱形．（2）解：∵DA 平分∠BDF ，∴∠ADF ＝∠BDA ，∵BD垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADF，∵DA＝DF＝DC，∴∠DAF＝∠F，∠DAC＝∠DCA，∴∠ADC＝180°﹣2∠DAC，∠ADF＝180°﹣2∠DAF，∵∠DAF+∠DAC＝90°，∴∠ADF+∠ADC＝360°﹣2（∠DAC+∠DAF）＝180°，∴C，D，F三点共线，∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADF＝60°，∵FA＝FD，∴△ADF是等边三角形，∴AF＝DF＝CD＝5，∵∠FAC＝90°，∴AC＝＝5．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定、角平分线的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程，属于中考常考题型．题型五：根据菱形的判定与性质求面积例6.已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．（2）作FG⊥BC于G，根据S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，先求出FG即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，∴∠EBF＝∠AFB，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∵BO⊥AE，∴∠AOB＝∠EOB＝90°，∵BO＝BO，∴△BOA≌△BOE（ASA），∴AB＝BE，∴BE＝AF，BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF．∴四边形ABEF是菱形．（2）解：作FG⊥BC于G，∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，∴BE＝＝5，∵S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，∴GF＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝．【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用面积法求出高FG，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．【变式】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到F，使EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE为菱形；（2）若CE＝8，∠CFE＝60°，求四边形BCFE的面积．【分析】（1）证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，BC＝2DE，由已知条件得出EF ＝BC，证出四边形BCFE是平行四边形，再由EF＝BE，即可得出结论；（2）作CM⊥DF于M，由菱形的性质得出EF＝CF，证出△CEF是等边三角形，得出CF＝CE＝8，由三角函数求出CM，即可得出四边形BCFE的面积．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，BC＝2DE，∴EF∥BC，∵BE＝2DE，∴BC＝BE，∵EF＝BE，∴EF ＝BC ，∴四边形BCFE 是平行四边形，又∵EF ＝BE ，∴四边形BCFE 为菱形；（2）解：作CM ⊥DF 于M ，如图所示：由（1）得：四边形BCFE 为菱形，∴EF ＝CF ，∵∠CFE ＝60°，∴△CEF 是等边三角形，∴CF ＝CE ＝8，∴CM ＝CF •sin60°＝8×＝4，∴四边形BCFE 的面积＝EF •CM ＝8×4＝32．【点评】三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质，证明△CEF 是等边三角形是解决问题（2）的突破口．【过关检测】一、单选题 1．（2023·陕西西安·校考二模）在下列条件中，能判定平行四边形ABCD 为菱形的是（ ）A ．AB BC ⊥B ．AC BD = C ．AB BC = D ．AB AC =【答案】C【分析】根据菱形的判定定理，即可进行解答．【详解】解：A 、若AB BC ⊥，则平行四边形ABCD 为矩形；不符合题意；B 、若AC BD =，则平行四边形ABCD 为正方形；不符合题意； C 、若AB BC =，则平行四边形ABCD 为菱形；符合题意；D 、若AB BC =，则平行四边形不是特殊的平行四边形；不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，解题的关键是掌握有一组另邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． A ．点O 为ABCD Y 的对称中心C ．::ABE BDF S S AE ED =△△【答案】B 【分析】由作图知，EF 是线段BD 的垂直平分线，利用平行四边形的性质可判断选项A ；根据菱形的判定定理可判断选项C ；根据菱形的性质得到BDF BDE S S =△△，可判断选项D ；BE 不一定平分ABD ∠，选项B 不正确．【详解】解：由作图知，EF 是线段BD 的垂直平分线，即点O 为ABCD Y 的对称中心，故选项A 正确，不符合题意；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE BF ∥，∴DEF BFE ∠=∠，∵EF 是线段BD 的垂直平分线，∴BE ED =，BF FD =，BFE EFD ∠=∠，∴DEF EFD ∠=∠，∴DE DF =，∴DE DF BE BF ===，∴四边形BEDF 为菱形，故选项D 正确，不符合题意；∴BDF BDE S S =△△，∴:::ABE BDF ABE BDE S S S S AE ED ==△△△△，故选项C 正确，不符合题意；BE 不一定平分ABD ∠，故选项B 不正确，符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2023·陕西西安·校考一模）在平行四边形ABCD 中，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD 是菱形的是( )A ．AB AD =B ．AC BD = C ．90ABC ∠= D ．AB CD =【答案】A【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，又AB AD =， ∴平行四边形ABCD 是菱形，故选：A ．【点睛】本题考查菱形的判定，熟记菱形的判定是解题的关键． 4．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）春节期间，某广场布置了一个菱形花坛，两条对角线长分别为2310m ⨯和2410m ⨯，其面积用科学记数法表示为( )A ．42610m ⨯B ．421.210m ⨯C ．521.210m ⨯D ．22610m ⨯【答案】A 【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算，或者利用菱形对角线垂直的性质进行面积求解，最后化为科学记数法的形式即可．【详解】菱形的对角线相互垂直()2222ABD CBD ABCD BD AO OC BD AO BD CO BD AC S S S ⨯+⨯⨯⨯=+=+==四边形∴菱形的面积=对角线成绩的一半=224131********⨯⨯⨯⨯=⨯2m 【点睛】本题考查用对角线计算菱形的面积及科学记数法，也可以利用对角线垂直的性质进行面积的计算，注意所有对角线垂直的四边形面积均等于对角线乘积的一半．正确的使用公式和理解科学记数法的写法是解题的关键． 5．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在下列条件中，能够判定ABCD Y 为菱形的是（ ）A ．AB AC =B ．AC BD ⊥ C ．90A ∠=︒ D ．AC BD = 【答案】B【分析】由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、由AB AC =，不能判定ABCD Y 为菱形，故选项不符合题意；B 、由AC BD ⊥，能判定ABCD Y 为菱形，故选项符合题意；C 、由90A ∠=︒，不能判定ABCD Y 为菱形，故选项不符合题意；D 、由AC BD =，能判定ABCD Y 为矩形，不能判定ABCD Y 为菱形，故选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．二、填空题【答案】2【分析】由菱形的性质可得OA OD 、的长，则可求得AD 的长，再由三角形中位线定理即可求得结果．【详解】解：在菱形ABCD 中，114322OA AC OD OB BD =====、，AC BD ⊥，由勾股定理得：5AD ，∵H是AB的中点，∴OH是ABD△的中位线，∴1522 OH AD==，故答案为：5 2．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟悉这些性质与定理是解题的关键．7．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）如图，是小明作线段AB的垂直平分线的作法及作图痕迹，则四边形ADBC一定是______________．【答案】菱形【分析】根据作图方法可知AC BC AD BD===，再根据四条边相等的四边形是菱形即可得到答案．【详解】解：由作图方法可知，AC BC AD BD===，∴四边形ABCD是菱形，故答案为：菱形．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的尺规作图，熟知菱形的判定条件是解题的关键．8．（2023·广东广州·广州市育才中学校考一模）菱形的两个内角的度数比是1：3，一边上的高长是4，则菱形的面积是__________．【答案】【分析】根据菱形相邻的两个角度之比求出对应的角度，利用等腰直角三角形的性质求出菱形的边长，然后用菱形面积公式计算即可．【详解】如左图所示，∵菱形对角相等，互补，且两个内角的度数比是1：3，118045,1804513513A C B D ∴∠=∠=⨯︒=︒∠=∠=︒−︒=︒+，如图1所示，过点D 作BC 边上的高交BC 于点H ，则4DH =，90DHC ∠=︒，45C ∠=︒，∴△CDH 是等腰直角三角形，4CH DH ∴==，CD ∴=∵菱形四条边都相等，BC CD ∴==4ABCD S BC DH =⋅==菱如图2，当过点A 作CD 边上的高交CD 于点H ，同理可证△ADH 为等腰直角三角形，可求得CD AD ==4ABCD S CD AH =⋅==菱故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于求出菱形的边长． 9．（2023春·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考阶段练习）如图，在ABCD Y 中，尺规作图：以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧交AD 于点F ，分别以点B ，F 为圆心，以大于BF 的长为半径画弧交于点P ，作射线AP 交BC 与点E ，若12BF =，10AB =，则AE AB +的值为________．【答案】26【分析】证明四边形ABEF 是菱形，利用勾股定理求出OA 即可解决问题．【详解】解：由题意可知：AB AF =，AE BF ⊥，OB OF ∴=，BAE EAF ∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，EAF AEB ∴∠=∠，BAE AEB ∴∠=∠，AB BE AF \==，AF BE ∥，∴四边形ABEF 是平行四边形，AB AF =，∴四边形ABEF 是菱形，OA OE ∴=，162OB OF BF ===，在Rt AOB △中，8OA ，216AE OA ∴==，26AE AB ∴+=．故答案为：26．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边形ABEF 是菱形．【答案】8【分析】如图所示，连接EF ，设AE BF 、交于O ，由作图方法可知，AE 是线段BF 的垂直平分线，则BE FE =，OB OF =，证明OAF OEB △≌△，得到AF BE =，进而证明四边形ABEF 是菱形，则13902OB BF AE OA AOB ====︒，，∠ ，由勾股定理得4OA ==，则28AE OA ==．【详解】解：如图所示，连接EF ，设AE BF 、交于O ，由作图方法可知，AE 是线段BF 的垂直平分线，∴BE FE =，OB OF =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴OAF OEB OFA OBE ==∠∠，∠∠，∴()AAS OAF OEB △≌△，∴AF BE =，∴AF AB EF BE ===，∴四边形ABEF 是菱形，∴13902OB BF AE OA AOB ====︒，，∠ ，在Rt ABO △中，由勾股定理得4OA ==，∴28AE OA ==，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质和尺规作图，证明四边形ABEF 是菱形是解题的关键． 11．（2023春·四川成都·九年级专题练习）如图，在ABC 中，AB AC =，分别以C 、B 为圆心，取AB 的长为半径作弧，两弧交于点D ．连接BD 、AD ．若130ABD ∠=︒，则CAD ∠=__________．【答案】25︒/25度【分析】由题意和作法可知：AB AC BD CD ===，可得四边形ABDC 是菱形，再根据菱形及等腰三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图：连接CD ，由题意和作法可知：AB AC BD CD ===，∴四边形ABDC 是菱形，)()11180180130252BAD ABD ∠︒−∠=︒−︒=︒，25CAD BAD ∴∠=∠=︒，故答案为：25︒．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，证得四边形ABDC 是菱形是解决本题的关键．12．（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，在平行四边形ABCD 中，2AB BC ==，60BAD ∠=︒，点M 为CD 的中点，连接AM BE AM ⊥，于点E ，则BE 的长为 ___________．【答案】【分析】连接BD BM ，，由题意可得△BCD 是等边三角形，BM CD ⊥，利用勾股定理分别求出BM AM 、，再由等积法求BE 的长即可．【详解】解：连接BD BM ，，∵四边形ABCD 是平行四边形，2AB BC ==，∴四边形ABCD 是菱形，∴2AB BC CD DA ====，CD AB ∥∵60BAD ∠=︒，∴60C ∠=︒，∴BCD △是等边三角形，∵M 是CD 的中点，∴BM CD ⊥， ∴112CM DM CD ===，AB BM ⊥，∵21BC CM ==，，∴BM =在Rt ABM 中，AM ===∵BE AM ⊥，∴AB BM BE AM ⋅==，故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定及性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，等积法是解题的关键． 13．（2023·湖北襄阳·校考一模）如图，▱ABCD 中，AB AD =，点E 是AB 上一点，连接CE 、DE ，且BC CE =，若40BCE ∠=︒，则ADE ∠=______．【答案】15︒/15度【分析】首先证明四边形ABCD 是菱形，然后根据等腰三角形的性质可得()118040702CEB B ∠=∠=︒−︒=︒，利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：在▱ABCD 中，AB AD =， ∴四边形ABCD 是菱形，AB AD BC CD ∴===，//AB CD ，BC CE =，CD CE ∴=，CED CDE ∴∠=∠，40BCE ∠=︒，()118040702CEB B ∴∠=∠=︒−︒=︒，70ADC B ∴∠=∠=︒，70ECD BEC ∠=∠=︒，()118070552CDE CED ∴∠=∠=︒−︒=︒，705515ADE ∴∠=︒−︒=︒．故答案为：15︒．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．三、解答题 14．（2023·陕西榆林·统考二模）如图，在ABC 中，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．请利用尺规分别在AB 、AC 上求作点E 、F ，使得四边形AEDF 是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】作AD 的垂直平分线交,AC AB 于点,E F ，则点,E F 即为所求．【详解】解：如图所示，作AD 的垂直平分线交,AC AB 于点,E F ，则点,E F 即为所求理由如下，∵EF 是AD 的垂直平分线，∴,==EA ED FA FD ，∴EAD EDA ∠=∠，∵BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，∴∠∠E A D F A D =，∴EDA FAD ∠=∠，∴AF DE ∥，同理可得AE DF ∥，∴四边形AEDF 是平行四边形，∵EA ED =，∴四边形AEDF 是菱形．【点睛】本题考查了作垂直平分线，角平分线的定义，菱形的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键． (1)求证：ABC ADC ≅．(2)若EO CO =，试判断四边形【答案】(1)见解析(2)四边形BCDE 是菱形，理由见解析【分析】(1)根据SSS 定理推出即可；(2)先判断AC 为BD 的垂直平分线得到AC BD OB OD ⊥=，，再由EO CO =，可判断四边形BCDE 为平行四边形，然后利用AC BD ⊥可判断四边形BCDE 是菱形．【详解】（1）在ABC 与ADC △中，AB AD BC DCAC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()ΑSSS BC ADC ≅．（2）四边形BCDE 是菱形，理由如下：∵AB AD CB CD ==，，∴AC 垂直平分BD ，即AC BD ⊥且BO DO =．∵EO CO =，∴四边形BCDE 是平行四边形．∵AC BD ⊥，∴四边形BCDE 是菱形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，线段的垂直平分线的判定和性质及菱形的判定，解题的关键是了解菱形的判定方法，难度不大． 九年级专题练习）如图，在ABC 中，上的中点，将ABC 绕着点 【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据旋转的性质可得,AC BD AD BC ==，从而得到AC BD AD BC ===，即可求证；（2）过点A 作AE BC ⊥于点E ，先证明ABC 是等边三角形，可得112BE BC ==，2AB BC ==，再由勾股定理可得AE【详解】（1）证明：∵将ABC 绕着点O 旋转180︒得ABD △，∴,AC BD AD BC ==，∵AC BC =，∴AC BD AD BC ===，∴四边形AECD 是菱形；（2）解：如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，∵60,2B BC AC ∠=︒==，∴ABC 是等边三角形， ∴112BE BC ==，2AB BC ==，∴AE∴菱形AECD 的面积为AE BC ⨯=【点睛】等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 17．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，ABC 的顶点和点O 均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中画出DEF ，使DEF 和ABC 关于点O 对称（点A 、B 、C 的关于点O 的对称点分别为点D 、E 、F ）；(2)在方格纸中画出以线段EF 为一边的菱形EFMN ，且菱形EFMN 的面积为3，连接CN ．请直接写出线段CN 的长．【答案】(1)见解析(2)图见解析；CN =【分析】（1）作出点A 、B 、C 关于点O 的对称点D 、E 、F ，顺次连接即可得出DEF ；（2）找出格点M 、N ，连接MF 、MN 、NE ，即可得出菱形EFMN ，求出线段CN 的长即可．【详解】（1）解：如图，作出点A 、B 、C 关于点O 的对称点D 、E 、F ，顺次连接，则DEF 即为所求．（2）解：如图，找出格点M 、N ，连接MF 、MN 、NE 、CN ，则菱形EFMN 即为所求作的菱形；根据格点特点可知，EF MF MN EN ===，∴四边形EFMN 为菱形，1334211132EFMN S =⨯−⨯⨯⨯−−=菱形，CN【点睛】本题主要考查了作中心对称图形，菱形的判断，勾股定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握方格纸的特点．【答案】见解析【分析】先利用ABD BDC ∠=∠，证明AB DC ，进而证明四边形ABCD 为平行四边形，再有勾股定理逆定理证明AOB 为直角三角形，得到AC BD ⊥，则问题可证．【详解】证明：∵ABD BDC ∠=∠，∴AB DC ，∵AB CD =∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AB CD =2OA =，1OB =，∴22222221OA OB AB +=+==，∴AOB 为直角三角形，即AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和勾股定理逆定理，解答关键是熟练掌握菱形的判定方法． (1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若1BE =，4EC =，求EF 【答案】(1)见解析(2)EF 的长为【分析】（1）由D 是AC 的中点，可得AD CD =，由DF DE =，可证四边形AECF 是平行四边形，由DE AC ⊥，可证平行四边形AECF 是菱形；（2）由题意知4AE CE ==，在Rt ABE △中，由勾股定理，得AB =，计算求AB 的值，在Rt ABC△中，由勾股定理，得AC =AC 的值，根据12AECF S EF AC AB EC =⋅=⋅菱形，计算求解即可．【详解】（1）证明：∵D 是AC 的中点，∴AD CD =，∵DF DE =，∴四边形AECF 是平行四边形，又∵DE AC ⊥，∴平行四边形AECF 是菱形；（2）解：∵1BE =，4EC =，四边形AECF 是菱形，∴4AE CE ==，∴在Rt ABE △中，由勾股定理，得AB =∴在Rt ABC △中，由勾股定理，得AC = ∵12AECF S EF AC AB EC =⋅=⋅菱形，∴EF =∴EF 的长为【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 20．（2023春·辽宁本溪·九年级统考开学考试）如图，ABCD Y 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点O 作AC 的垂线，与AD ，BC 分别相文于点E ，F ，连接EC ，AF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若4=EC ED ，DOE 的面积是2，求ABCD Y 的面积．【答案】(1)见解析(2)40【分析】（1）由平行四边形的性质得到OA OC =，AD BC ∥，进一步证明()AAS AOE COF △≌△，则AE CF =，即可证明四边形AECF 是平行四边形，由EF AC ⊥即可得到结论；（2）由菱形的性质得到AE CE =，进一步得到4AE EC ED ==，则48==AOE DOE S S △△，即可得到10=+=AOD AOE DOE S S S △△△，由平行四边形的性质即可得到ABCD Y 的面积．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OA OC =，AD BC ∥，∴DAC ACF ∠=∠，AEF EFC ∠=∠，∴()AAS AOE COF △≌△，∴AE CF =，∵AE CF ∥，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形；（2）解：∵四边形AECF 是菱形，∴AE CE =，∵4=EC ED ，∴4AE EC ED ==，∴48==AOE DOE S S △△，∴10=+=AOD AOE DOE S S S △△△，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 与BD 互相平分，∴AOD COD BOC AOB S S S S ===△△△△， ∴4=ABCD AOD S S △， ∴40=ABCDS 答：ABCD Y 的面积为40．【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关判定和性质是关键． 21．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在四边形ABCD 中，AB CD =，过A 作AE BD ⊥交BD 于点E ，过C 作CF BD ⊥交BD 于F ，且AE CF =．请你在不添加辅助线的情况下，添一个条件______，使得四边形ABCD 是菱形，并说明理由．【答案】答案不唯一，见解析【分析】添加条件AB AD =，根据HL 证明Rt Rt ABE CDF ≌△△，从而得到ABE CDF ∠=∠，再根据平等线的判断得到AB CD =，从而得到结论．【详解】解：AB AD =．理由：∵AE BD ⊥，CF BD ⊥，∴90AEB CFD ∠=∠=︒，在Rt ABE △和Rt CDF △中，AB CD AE CF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ABE CDF ≌△△，∴ABE CDF ∠=∠，∴AB CD ∥，∵AB CD =，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形．（注：答案不唯一）【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定和菱形的判定是解题的关键． 的交点．若将BED 沿直线 (1)求证：四边形BEDF 是菱形；(2)若::1:3:22AE DE AB =【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由平行四边形的性质可得DE BF ∥，则EDB FBD ∠=∠，由折叠的性质可得DE DF =，EDB FDB ∠=∠，则FBD FDB ∠=∠，BF DF DE ==，进而结论得证；（2）设AE a =，则3DE a =，AB =，3BE a =，4AD a =，由()()222293a a a +==，即222AE AB BE +=，可得ABE 是直角三角形，且90BAE ∠=︒，则四边形ABCD 是矩形，由平行四边形ABCD的面积为可得AD AB ⨯=即4a ⨯=解得22a =，根据2BEDF BD EF S DE AB ⋅=⋅=菱形 ，计算求解即可得EF BD ⋅的值．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE BF ∥，∴EDB FBD ∠=∠，。
矩形、菱形、正方形的定义、性质及判定定理-知识梳理总结
模块一矩形的定义、性质及判定知识导航定义示例剖析有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．90ABCD ABCDB ⎫⇒⎬∠=︒⎭平行四边形矩形性质示例剖析矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．①对边平行且相等；②四个角都是直角；③对角线互相平分且相等；④是中心对称图形、轴对称图形．除平行四边形性质外：①ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠=90°；②AC=BD ．重要结论示例剖析①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．②在直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半．①O 是AC 的中点，则12BO AC =．②在直角三角形中，30B ∠=︒，则12AC AB =．判定①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．模块二菱形的定义、性质及判定知识导航定义示例剖析有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．ABCD ABCDAB BC ⎫⇒⎬=⎭平行四边形菱形性质示例剖析菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．①对边平行且四边都相等；②邻角互补，对角相等；③对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角；④是中心对称图形、轴对称图形．除拥有平行四边形性质外：①AB=BC=CD =AD ；②AC ⊥BD 且AC 、BD 分别为DAB ∠、ABC ∠的角平分线．①菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．②推广：对角线互相垂直的四边形，其面积就等于对角线乘积的一半．（注：不能直接使用）①12ABCD S AC BD =⋅菱形②12ABCD S AC BD =⋅四边形判定1一组邻边相等的平行四边形是菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．③四边相等的四边形是菱形．模块三正方形的定义、性质及判定知识导航定义示例剖析有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．90ABCD AB BC ABCDB ⎫⎪=⇒⎬⎪∠=︒⎭平行四边形正方形性质示例剖析正方形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．①对边平行且四边都相等；②四个角都是直角；③两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；④是中心对称图形、轴对称图形．除平行四边形性质外：①AB=BC=CD =AD ；②ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠=90°；③AC=BD ，AC ⊥BD ，AC 、BD 分别为DAB ∠、ABC ∠的角平分线．正方形轴对称性质（用时需证明）．正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上任一点．结论：①AP =CP②△ADP ≌△CDP ③△ABP ≌△CBP判定①有一组邻边相等的矩形是正方形．②有一个角是直角的菱形是正方形．。
菱形判定的5个方法
菱形判定的5个方法菱形是在几何中最为常见的图形之一，广泛应用于数学分析、图形学以及三角学的研究当中。
究竟如何判断一个几何图形是否为菱形？目前，有以下五种方法可以用来检验几何图形是否为菱形：一、面积的方法首先，对待检验的几何图形，可以计算其表面积，若该图形的表面积能够被其四条边长整除，且其结果为4，则该图形即为菱形。
二、垂直直角定理检验几何图形是否为菱形，也可以采用垂直直角定理。
垂直直角定理主要用来检验两个夹角是否分别为90°.果图形内部有四个夹角，其中有两个夹角分别为90°，而其余两个夹角均小于90°，则该图形即为菱形。
三、构成矩形的定理四边形的两条对角线能够组成一个矩形，即，其两条对角线的边长相等。
那么，若一个四边形，其两条对角线的边长相等，则可以断定该图形即为菱形。
四、高等三角函数高等三角函数是指利用三角函数求解复杂的几何问题的方法。
可以将几何图形的每个点的坐标表示成极坐标的形式，并利用三角函数确定其关于某点的斜率，如果每个点的斜率都相等，即可断定该图形为菱形。
五、菱形的性质菱形的性质很容易观察，如果四个角均为直角，一共有四条边，每两条边均为对称，则可以确定该图形即为菱形。
由以上内容可以看出，判断几何图形是否为菱形，有多种方法可以供选择。
不同的方法各有优劣，在使用时，根据实际情况分析，选择最合适的方法，进行判断。
从实际应用来看，利用菱形来分析几何图形等问题，可以使用上述五种方法中的任何一种来判定一个几何图形是否为菱形。
如果使用面积的方法，需要计算几何图形的表面积，然后按照公式计算。
如果检验图形是否符合垂直直角定理，可以使用电子计算器的三角函数功能，以角度的形式求得夹角，来进行判断。
如果是利用构成矩形的定理，可以画出矩形四条边，利用尺子来进行测量，看看边长是否相等，以判断是否构成矩形。
若是使用高等三角函数，可以使用电子计算器求取各点的极坐标，并利用三角函数进行分析。
人教版菱形的判定定理
C
证明： ∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
A
又∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形
B
∴四条边相等的四边形是菱形
探索新知：
u菱形的判定方法（三）：
A
D
A
D
AB=BC=CD=DA
B
C
B
C
四边形ABCD
菱形ABCD
AB=BC=CD=DA
四边形ABCD是菱形
判定定理归纳： u菱形常用的判定方法：
总结反思
• 1 .本节课复习了哪些数学知识？ 2. 在解决问题的过程中突出的 数学思想方法是什么？
平行四边形的问题往往转化为三 角形来解决，同时平行四边形又 为三角形全等提供边等和角等.
3.畅所欲言：本节课中你有什么收 获？还有什么疑惑呢?
u那么你知道如何判定一个四边形是菱 形吗？
学习目标：
1：理解并掌握菱形的判定定理
2：会运用菱形的判定定理解决有 关问题
探索新知
u菱形的判定方法（一）：
一组邻边相等的平行四边形是菱形；
A
D
A
D
AB=BC
B
C
□ABCD
AB=BC
□ABCD
B
C
菱形ABCD
四边形ABCD是菱形
探索新知
菱形的判定方法（二）：
巩固新知
1老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?5Βιβλιοθήκη 34435
图1
┍
3 44
3
图2
5
5 5
5
图3
要证明一个四边形是菱形有以下几种方法
方法一：先证明四边形是平行四边形，再证明有一组邻边 相等（如图1） 方法二：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直 （如图2） 方法三：证明四条边相等的四边形（如图3）