动量定理及应用

[高考命题解读]分析年份高考(全国卷)四年命题情况对照分析 1.考查方式从前几年命题规律来看，应用碰撞或反冲运动模型，以计算题的形式考查动量和能量观点的综合应用.2.命题趋势由于动量守恒定律作为必考内容，因此综合应用动量和能量观点解决碰撞模型问题将仍是今后命题的热点，既可以将动量与力学知识结合，也可将动量和电学知识结合，作为理综试卷压轴计算题进行命题.题号命题点2014年Ⅰ卷35题第(2)问计算题，考查了两物体的瞬时碰撞，应用动量和能量观点解决问题Ⅱ卷35题第(2)问计算题，考查了对碰撞问题的理解，应用动量和动量守恒定律解决问题2015年Ⅰ卷35题第(2)问计算题，考查了三物体的瞬时碰撞，应用动量和能量观点解决问题Ⅱ卷35题同2014年Ⅰ卷35题2016年Ⅰ卷35题第(2)问计算题，考查了动量定理的应用Ⅱ卷35题第(2)问计算题，考查了应用动量守恒定律和能量观点解决三物体碰撞问题Ⅲ卷35题同2014年Ⅰ卷35题2017年Ⅰ卷14题考查动量守恒定律的应用Ⅱ卷15题考查动量守恒定律的应用Ⅲ卷20题考查动量定理的应用第1讲动量定理及应用一、动量、动量变化、冲量1.动量(1)定义：物体的质量与速度的乘积.(2)表达式：p＝m v.(3)方向：动量的方向与速度的方向相同.2.动量的变化(1)因为动量是矢量，动量的变化量Δp也是矢量，其方向与速度的改变量Δv的方向相同.(2)动量的变化量Δp的大小，一般用末动量p′减去初动量p进行计算，也称为动量的增量.即Δp＝p′－p.3.冲量(1)定义：力与力的作用时间的乘积叫做力的冲量.(2)公式：I＝Ft.(3)单位：N·s.(4)方向：冲量是矢量，其方向与力的方向相同.自测1下列说法正确的是()A.速度大的物体，它的动量一定也大B.动量大的物体，它的速度一定也大C.只要物体的运动速度大小不变，物体的动量就保持不变D.物体的动量变化越大，则该物体的速度变化一定越大答案 D二、动量定理1.内容：物体在一个运动过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受合力的冲量.2.公式：m v′－m v＝F(t′－t)或p′－p＝I.3.动量定理的理解(1)动量定理反映了力的冲量与动量变化量之间的因果关系，即外力的冲量是原因，物体的动量变化量是结果.(2)动量定理中的冲量是合力的冲量，而不是某一个力的冲量，它可以是合力的冲量，可以是各力冲量的矢量和，也可以是外力在不同阶段冲量的矢量和.(3)动量定理表达式是矢量式，等号包含了大小相等、方向相同两方面的含义.自测2(多选)质量为m的物体以初速度v 0开始做平抛运动，经过时间t，下降的高度为h，速度变为v，在这段时间内物体动量变化量的大小为()A.m(v－v0)B.mgtC.m v2－v02D.m2gh答案BCD命题点一对动量和冲量的理解1.对动量的理解 (1)动量的两性①瞬时性：动量是描述物体运动状态的物理量，是针对某一时刻或位置而言的. ②相对性：动量的大小与参考系的选取有关，通常情况是指相对地面的动量. (2)动量与动能的比较动量动能物理意义 描述机械运动状态的物理量 定义式 p ＝m v E k ＝12m v 2标矢性 矢量 标量 变化因素 物体所受冲量 外力所做的功 大小关系p ＝2mE kE k ＝p 22m对于给定的物体，若动能发生了变化，动量一定也发生了变化；而动量发生变化，动能不一定发生变化.它们都是相对量，均与参考系的选取有关，高中阶段通常选取地面为参考系2.对冲量的理解 (1)冲量的两性①时间性：冲量不仅由力决定，还由力的作用时间决定，恒力的冲量等于该力与该力的作用时间的乘积.②矢量性：对于方向恒定的力来说，冲量的方向与力的方向一致；对于作用时间内方向变化的力来说，冲量的方向与相应时间内物体动量改变量的方向一致.(2)作用力和反作用力的冲量：一定等大、反向，但作用力和反作用力做的功之间并无必然联系. (3)冲量与功的比较冲量功定义 作用在物体上的力和力的作用时间的乘积作用在物体上的力和物体在力的方向上的位移的乘积单位N·sJ公式I＝Ft(F为恒力)W＝Fl cos α(F为恒力) 标矢性矢量标量意义①表示力对时间的累积②是动量变化的量度①表示力对空间的累积②是能量变化多少的量度都是过程量，都与力的作用过程相互联系例1如图1所示是我国女子短道速滑队训练中的情景，“接棒”的运动员甲提前站在“交棒”的运动员乙前面，并且开始向前滑行，待乙追上甲时，乙猛推甲一把，使甲获得更大的速度向前冲出.在乙推甲的过程中，忽略运动员与冰面间在水平方向上的相互作用，则()图1A.甲对乙的冲量一定等于乙对甲的冲量B.甲、乙的动量变化一定大小相等、方向相反C.甲的动能增加量一定等于乙的动能减少量D.甲对乙做多少负功，乙对甲就一定做多少正功答案 B变式1(多选)两个质量不同的物体，如果它们的()A.动能相等，则质量大的动量大B.动能相等，则动量大小也相等C.动量大小相等，则质量大的动能小D.动量大小相等，则动能也相等答案AC例2(2018·甘肃西峰调研)如图2所示，竖直面内有一个固定圆环，MN是它在竖直方向上的直径.两根光滑滑轨MP、QN的端点都在圆周上，MP>QN.将两个完全相同的小滑块a、b 分别从M、Q点无初速度释放，在它们各自沿MP、QN运动到圆周上的过程中，下列说法中正确的是()图2A.合力对两滑块的冲量大小相同B.重力对a 滑块的冲量较大C.弹力对a 滑块的冲量较小D.两滑块的动量变化大小相同 答案 C解析 这是“等时圆”，即两滑块同时到达滑轨底端.合力F ＝mg sin θ(θ为滑轨倾角)，F a >F b ，因此合力对a 滑块的冲量较大，a 滑块的动量变化也大；重力的冲量大小、方向都相同；弹力F N ＝mg cos θ，F N a <F N b ，因此弹力对a 滑块的冲量较小.选C.变式2 (多选)如图3所示，一个物体在与水平方向成θ角的拉力F 的作用下匀速前进了时间t ，则( )图3A.拉力对物体的冲量大小为FtB.拉力对物体的冲量大小为Ft sin θC.摩擦力对物体的冲量大小为Ft sin θD.合外力对物体的冲量大小为零 答案 AD解析 拉力F 对物体的冲量就是Ft ，所以A 项正确，B 项错误；物体受到的摩擦力F f ＝F cos θ，所以，摩擦力对物体的冲量大小为F f t ＝Ft cos θ，C 项错误；物体匀速运动，合外力为零，所以合外力对物体的冲量大小为零，D 项正确. 命题点二 动量定理的基本应用1.动量定理的理解(1)中学物理中，动量定理研究的对象通常是单个物体.(2)Ft ＝p ′－p 是矢量式，两边不仅大小相等，而且方向相同.式中Ft 是物体所受的合外力的冲量.(3)Ft ＝p ′－p 除表明两边大小、方向的关系外，还说明了两边的因果关系，即合外力的冲量是动量变化的原因.(4)由Ft ＝p ′－p ，得F ＝p ′－p t ＝Δp t，即物体所受的合外力等于物体的动量对时间的变化率.2.用动量定理解题的基本思路(1)确定研究对象.在中学阶段用动量定理讨论的问题，其研究对象一般仅限于单个物体. (2)对物体进行受力分析.可先求每个力的冲量，再求各力冲量的矢量和——合力的冲量；或先求合力，再求其冲量.(3)抓住过程的初、末状态，选好正方向，确定各动量和冲量的正负号. (4)根据动量定理列方程，如有必要还需要补充其他方程，最后代入数据求解.例3 (2015·重庆理综·3)高空作业须系安全带，如果质量为m 的高空作业人员不慎跌落，从开始跌落到安全带对人刚产生作用力前人下落的距离为h (可视为自由落体运动).此后经历时间t 安全带达到最大伸长，若在此过程中该作用力始终竖直向上，则该段时间安全带对人的平均作用力大小为( ) A.m 2gh t ＋mgB.m 2ght －mgC.m gh t ＋mgD.m gh t－mg答案 A解析 由自由落体运动公式得人下降h 距离时的速度为v ＝2gh ，在t 时间内对人由动量定理得(mg －F )t ＝0－m v ，解得安全带对人的平均作用力为F ＝m 2ght ＋mg ，A 项正确.变式3 篮球运动员通常伸出双手迎接传来的篮球.接球时，两手随球迅速收缩至胸前.这样做的目的是( ) A.减小球对手的冲量 B.减小球对手的冲击力 C.减小球的动量变化量 D.减小球的动能变化量 答案 B变式4 (2015·安徽理综·22)一质量为0.5 kg 的小物块放在水平地面上的A 点，距离A 点5 m 的位置B 处是一面墙，如图4所示.物块以v 0＝9 m /s 的初速度从A 点沿AB 方向运动，在与墙壁碰撞前瞬间的速度为7 m/s ，碰后以6 m /s 的速度反向运动直至静止，g 取10 m/s 2.图4(1)求物块与地面间的动摩擦因数μ；(2)若碰撞时间为0.05 s ，求碰撞过程中墙面对物块平均作用力的大小F ； (3)求物块在反向运动过程中克服摩擦力所做的功W . 答案 (1)0.32 (2)130 N (3)9 J解析 (1)对小物块从A 运动到B 处的过程，应用动能定理得－μmgs ＝12m v 2－12m v 02代入数值解得μ＝0.32(2)取向右为正方向，碰后物块速度v ′＝－6 m/s 由动量定理得：F Δt ＝m v ′－m v 解得F ＝－130 N其中“－”表示墙面对物块的平均作用力方向向左. (3)对物块反向运动过程，应用动能定理得 －W ＝0－12m v ′2解得W ＝9 J命题点三 动量定理在多过程问题中的应用应用动量定理解决多过程问题的方法与动能定理类似，有分段列式和全程列式两种思路. 例4 一高空作业的工人重为600 N ，系一条长为L ＝5 m 的安全带，若工人不慎跌落时安全带的缓冲时间t ＝1 s(工人最终悬挂在空中)，则缓冲过程中安全带受的平均冲力是多少？(g 取10 m/s 2，忽略空气阻力的影响) 答案 1 200 N ，方向竖直向下解析 解法一 分段列式法：依题意作图，如图所示，设工人刚要拉紧安全带时的速度为v 1，v 12＝2gL ，得 v 1＝2gL经缓冲时间t ＝1 s 后速度变为0，取向下为正方向，对工人由动量定理知，工人受两个力作用，即拉力F 和重力mg ，所以(mg －F )t ＝0－m v 1，F ＝mgt ＋m v 1t将数值代入得F ＝1 200 N.由牛顿第三定律，工人给安全带的平均冲力F ′为1 200 N ，方向竖直向下.解法二 全程列式法：在整个下落过程中对工人应用动量定理，重力的冲量大小为mg (2L g＋t )，拉力F 的冲量大小为Ft .初、末动量都是零，取向下为正方向，由动量定理知 mg (2Lg＋t )－Ft ＝0 解得F ＝mg (2L g＋t )t＝1 200 N由牛顿第三定律知工人给安全带的平均冲力F ′＝F ＝1 200 N ，方向竖直向下.变式5 一个质量为m ＝100 g 的小球从离厚软垫h ＝0.8 m 高处自由下落，落到厚软垫上，若从小球接触软垫到小球陷至最低点经历了t ＝0.2 s ，则在这段时间内，软垫对小球的冲量是多少？(g ＝10 m/s 2)答案 0.6 N·s ，方向竖直向上解析 设小球自由下落h ＝0.8 m 的时间为t 1，由 h ＝12gt 12得t 1＝2hg＝0.4 s. 设I 为软垫对小球的冲量，并令竖直向下的方向为正方向，则对小球整个运动过程运用动量定理得mg (t 1＋t )＋I ＝0，得I ＝－0.6 N·s.负号表示软垫对小球的冲量方向和规定的正方向相反，方向竖直向上.命题点四 应用动量定理处理“流体模型”的冲击力问题1.研究对象常常需要选取流体为研究对象，如水、空气等. 2.研究方法是隔离出一定形状的一部分流体作为研究对象，然后列式求解. 3.基本思路(1)在极短时间Δt 内，取一小柱体作为研究对象. (2)求小柱体的体积ΔV ＝v S Δt (3)求小柱体质量Δm ＝ρΔV ＝ρv S Δt (4)求小柱体的动量变化Δp ＝v Δm ＝ρv 2S Δt (5)应用动量定理F Δt ＝Δp例5 (2016·全国卷Ⅰ·35(2))某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M 的卡通玩具稳定地悬停在空中.为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S 的喷口持续以速度v 0竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于S )；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开.忽略空气阻力.已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g .求：(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量；(2)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度. 答案 (1)ρv 0S (2)v 022g －M 2g 2ρ2v 02S2解析 (1)在刚喷出一段很短的Δt 时间内，可认为喷出的水柱保持速度v 0不变. 该时间内，喷出水柱高度Δl ＝v 0Δt ① 喷出水柱质量Δm ＝ρΔV② 其中ΔV 为水柱体积，满足ΔV ＝ΔlS③由①②③可得：喷泉单位时间内喷出的水的质量为 ΔmΔt＝ρv 0S (2)设玩具底板相对于喷口的高度为h 由玩具受力平衡得F 冲＝Mg④其中，F 冲为水柱对玩具底板的作用力 由牛顿第三定律：F 压＝F 冲⑤其中，F 压为玩具底板对水柱的作用力，设v ′为水柱到达玩具底面时的速度 由运动学公式：v ′2－v 02＝－2gh⑥在很短Δt 时间内，冲击玩具的水柱的质量为Δm Δm ＝ρv 0S Δt⑦由题意可知，在竖直方向上，对该部分水柱应用动量定理 (F 压＋Δmg )Δt ＝Δm v ′⑧由于Δt 很小，Δmg 也很小，可以忽略，⑧式变为 F 压Δt ＝Δm v ′⑨由④⑤⑥⑦⑨可得h ＝v 022g －M 2g2ρ2v 02S2变式6 为估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强，小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得1小时内杯中水位上升了45 mm.查询得知，当时雨滴竖直下落速度约为12 m /s ，据此估算该压强约为(设雨滴撞击睡莲后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103 kg/m 3)( ) A.0.15 Pa B.0.54 Pa C.1.5 Pa D.5.4 Pa答案 A解析 设雨滴受到支持面的平均作用力为F .设在Δt 时间内有质量为Δm 的雨水的速度由v ＝12 m/s 减为零.以向上为正方向，对这部分雨水应用动量定理：F Δt ＝0－(－Δm v )＝Δm v ，得到F ＝ΔmΔt v .设水杯横截面积为S ，对水杯里的雨水，在Δt 时间内水面上升Δh ，则有Δm ＝ρS Δh ，得F ＝ρS v Δh Δt .压强p ＝F S ＝ρv ΔhΔt ＝1×103×12×45×10－33 600Pa ＝0.15 Pa.变式7 如图5所示，由喷泉中喷出的水柱，把一个质量为M 的垃圾桶倒顶在空中，水以速率v 0、恒定的质量增率(即单位时间喷出的质量)ΔmΔt 从地下射向空中.求垃圾桶可停留的最大高度.(设水柱喷到桶底后以相同的速率反弹)图5答案 v 022g －M 2g 8(Δt Δm)2解析 设垃圾桶可停留的最大高度为h ，并设水柱到达h 高处的速度为v t ，则 v t 2－v 02＝－2gh 得v t 2＝v 02－2gh由动量定理得，在极短时间Δt 内，水受到的冲量为 F Δt ＝2(ΔmΔt·Δt )v t解得F ＝2Δm Δt ·v t ＝2ΔmΔt v 02－2gh据题意有F ＝Mg联立解得h ＝v 022g －M 2g 8(Δt Δm)21.物体的动量变化量的大小为5 kg·m/s ，则( ) A.物体的动量在减小 B.物体的动量在增大 C.物体的动量大小也可能不变 D.物体的动量大小一定变化 答案 C2.(多选)关于物体的动量，下列说法中正确的是( ) A.物体的动量越大，其惯性也越大 B.同一物体的动量越大，其速度一定越大 C.物体的加速度不变，其动量一定不变D.运动物体在任一时刻的动量方向一定是该时刻的速度方向 答案 BD3.质量为m 的钢球自高处落下，以速度v 1碰地，竖直向上弹回，碰撞时间极短，离地的速率为v 2.在碰撞过程中，地面对钢球的冲量的方向和大小为( ) A.向下，m (v 1－v 2) B.向下，m (v 1＋v 2) C.向上，m (v 1－v 2) D.向上，m (v 1＋v 2)答案 D4.质量为0.2 kg 的球竖直向下以6 m /s 的速度落至水平地面，再以4 m/s 的速度反向弹回.取竖直向上为正方向，在小球与地面接触的时间内，关于球动量变化量Δp 和合外力对小球做的功W ，下列说法正确的是( ) A.Δp ＝2 kg·m/s W ＝－2 J B.Δp ＝－2 kg·m/s W ＝2 J C.Δp ＝0.4 kg·m/s W ＝－2 J D.Δp ＝－0.4 kg·m/s W ＝2 J答案 A5.(多选)从同样高度静止落下的玻璃杯，掉在水泥地上容易打碎，而掉在草地上不容易打碎，其原因是()A.掉在水泥地上的玻璃杯动量大，而掉在草地上的玻璃杯动量小B.掉在水泥地上的玻璃杯动量改变大，掉在草地上的玻璃杯动量改变小C.掉在水泥地上的玻璃杯动量改变快，掉在草地上的玻璃杯动量改变慢D.掉在水泥地上的玻璃杯与地面接触时，相互作用力大，而掉在草地上的玻璃杯受地面的冲击力小答案CD6.如图1所示，质量为m的物体在水平外力F作用下以速度v沿水平面匀速运动，当物体运动到A点时撤去外力F，物体由A点继续向前滑行的过程中经过B点，则物体由A点到B点的过程中，下列说法正确的是()图1A.v越大，摩擦力对物体的冲量越大；摩擦力做功越多B.v越大，摩擦力对物体的冲量越大；摩擦力做功与v的大小无关C.v越大，摩擦力对物体的冲量越小；摩擦力做功越少D.v越大，摩擦力对物体的冲量越小；摩擦力做功与v的大小无关答案 D7.(2018·广东珠海调研)将质量为0.5 kg的小球以20 m/s的初速度竖直向上抛出，不计空气阻力，g取10 m/s2，以下判断正确的是()A.小球从被抛出至到达最高点受到的冲量大小为10 N·sB.小球从被抛出至落回出发点动量的变化量大小为零C.小球从被抛出至落回出发点受到的冲量大小为10 N·sD.小球从被抛出至落回出发点动量的变化量大小为10 N·s答案 A8.质量为1 kg的物体做直线运动，其速度图象如图2所示，则物体在前10 s内和后10 s内所受外力的冲量分别是()图2A.10 N·s 10 N·sB.10 N·s －10 N·sC.0 10 N·sD.0 －10 N·s 答案 D9.物体在恒定的合力作用下做直线运动，在时间t 1内动能由零增大到E 1，在时间t 2内动能由E 1增加到2E 1，设合力在时间t 1内做的功为W 1，冲量为I 1，在时间t 2内做的功是W 2，冲量为I 2，则( ) A.I 1＜I 2，W 1＝W 2 B.I 1＞I 2，W 1＝W 2 C.I 1＞I 2，W 1＜W 2 D.I 1＝I 2，W 1＜W 2答案 B10.(2018·河南邢台质检)一位质量为m 的运动员从下蹲状态向上起跳，经Δt 时间，身体伸直并刚好离开地面，速度为v .在此过程中( )A.地面对他的冲量为m v ＋mg Δt ，地面对他做的功为12m v 2B.地面对他的冲量为m v ＋mg Δt ，地面对他做的功为零C.地面对他的冲量为m v ，地面对他做的功为12m v 2D.地面对他的冲量为m v －mg Δt ，地面对他做的功为零 答案 B11.如图3所示，一质量为M 的长木板在光滑水平面上以速度v 0向右运动，一质量为m 的小铁块在木板上以速度v 0向左运动，铁块与木板间存在摩擦，为使木板能保持速度v 0向右匀速运动，必须对木板施加一水平力，直至铁块与木板达到共同速度v 0.设木板足够长，求此过程中水平力的冲量大小.图3答案 2m v 0解析 考虑M 、m 组成的系统，设M 运动的方向为正方向，根据动量定理有Ft ＝(M ＋m )v 0－(M v 0－m v 0)＝2m v 0则水平力的冲量I ＝Ft ＝2m v 0.12.质量为1 kg 的物体静止放在足够大的水平桌面上，物体与桌面间的动摩擦因数为μ＝0.4.有一大小为5 N 的水平恒力F 作用于物体上，使之加速前进，经3 s 后撤去F .求物体运动的总时间(g 取10 m/s 2). 答案 3.75 s解析 物体由开始运动到停止运动的全过程中，F 的冲量为Ft 1，摩擦力的冲量为F f t .选水平恒力F 的方向为正方向，根据动量定理有 Ft 1－F f t ＝0 ① 又F f ＝μmg②联立①②式解得t ＝Ft 1μmg，代入数据解得t ＝3.75 s.13.一辆轿车强行超车时，与另一辆迎面驶来的轿车相撞，两车相撞后，两车车身因相互挤压，皆缩短了0.5 m ，据测算两车相撞前速度约为30 m/s. (1)试求车祸中车内质量约60 kg 的人受到的平均冲力.(2)若此人系有安全带，安全带在车祸过程中与人体的作用时间是1 s ，求这时人体受到的平均冲力.答案 (1)5.4×104 N (2)1.8×103 N解析 (1)两车相撞时认为人与车一起做匀减速运动直到停止，位移为0.5 m. 设运动的时间为t ，根据x ＝v 02t ，得t ＝2x v 0＝130 s ，根据动量定理Ft ＝Δp ＝m v 0 得F ＝m v 0t ＝60×30130N ＝5.4×104 N.(2)若人系有安全带，则F ′＝m v 0t ′＝60×301 N ＝1.8×103 N.。