隐函数与参数方程求导法则
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由于二元方程 确定的隐函数 ，有
.
应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：
例1求方程 确定的隐函数 的导数。
解方程两端对 求导数，由复合函数的求导法则（注意， 是 的函数），有
，
，
，
解得隐函数的导数 .
例2求方程 确定的隐函数 的导数。
解方程两端对 求导数，由复合函数的求导法则（注意， 是 的函数），有
由此可见，所谓隐函数就是对应关系 不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系 “明显”的函数，例如，
， ， ，等等，就是显函数。在本节之前，所遇到的函数绝大多数都是显函数。
值得注意的是，有些二元方程 确定的隐函数 并不能用代数方法从中解出来，换句话说，隐函数不是初等函数或不能化为显函数。关于隐函数的存在性、连续性和可微性等理论问题将在第十一章介绍。本节所讨论的隐函数都是存在的，可导的。直接对隐函数所满足的方程求导，往往更便利些。
解已知弹头关于时间 的弹道曲线的参数方程是
其中 是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有
设在时刻 弹头的运动方向与地面的夹角为 ，有
或
例5求函数 的导数。
解等号两端取绝对值的对数，有
.
由隐函数的求导法则，有
，
即
.
例6求幂指函数 的导数。
解将幂指函数等号两端取对数，有
.
按隐函数求导法，对上式等号两端求导，有
，
由此得到
.
例7求函数 的导数.
解等号两端取绝对值的对数，有
由求导数法则，有
，
即
.
二、参数方程求导法则
参数方程的一般形式是
若 与 都可导，且 ，又 存在反函数 ，则 是 的复合函数，即
5.3隐函数与参数方程求导法则
一、隐函数求导法则
表示函数 （对应关系）有多种不同的方法，其中有这样一种方法，自变量x与因变量y的对应关系 是由二元方程F（x，y）=0所确定。
定义设有两个非空数集A与B.若 ，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个 ，则称此对应关系 （或写为y= （x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。
， .
由复合函数与反函数的求导法则，有
.
这就是参数方程的求导公式。
例8求椭圆 上一点 的切线斜率 .
解法一点 在上wenku.baidu.com椭圆上，从椭圆方程中解出上半椭圆方程是
， .
则
解法二由隐函数求导法，有
或 ，
则
.
解法三将椭圆化为参数方程
.
点 对应的参数 .由参数方程求导法，有
则
.
例9设炮弹的弹头初速度是 ，沿着与地面成 角的方向抛射出去，求在时刻 时弹头的运动方向（忽略空气阻力，风向等因素）.
二元方程F(x，y)=x +y -a =0(a>0)在A=[-a，a]确定两个连续的（B =[0，+ )与
B =（- ，0])隐函数。
事实上， ，由二元方程对应唯一一个 = ,且
与 ，且
于是，二元方程F(x，y)=x +y -a =0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。
与 。
这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间 的上半圆周与下半圆周，如图5.5
，
解得隐函数的导数
.
例3证明过双曲线 上一点 的切线方程是
.（1）
证明首先求过点 的切线斜率 ,即求双曲线确定的隐函数 的导数在点 的值.
， .
解得 .在点 的切线斜率 .从而，切线方程是
或
.
因为点 在双曲线上，所以 .于是，所求得切线方程是
.
当 时，有 .过双曲线 上点 的切线方程是 ，也满足（1）式.
由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y= （x)（ ， ）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此， ，有
F[x，f(x)]=0 (或F[x，f(x)] 0）.
例如，二元方程F(x，y)=2x-3y-1=0在R确定（从中解得）一个隐函数。
事实上， ，由二元方程对应唯一一个 ,且
F（x , )=2x-3 -1 0.
例4证明抛物线 上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于 .
证明在抛物线上任取一点 ，即 .求抛物线在点 的切线斜率 .由隐函数求导法则，有
或 .
从而斜率 .在点 的切线方程是
.
它在 轴与 轴上的截距分别是 与 .于是，二截距之和是
（ ）+（ ）
= = = = .
求某些显函数的导数，直接求它的导数比较繁琐，这时可将它化为隐函数，用隐函数的求导法则求其导数，比较简单些。将显函数化为隐函数常用的方法是在等号两端取绝对值再取对数，这就是对数求导法。适用于幂指函数以及其他一些函数.现举例如下：
.
应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：
例1求方程 确定的隐函数 的导数。
解方程两端对 求导数，由复合函数的求导法则（注意， 是 的函数），有
，
，
，
解得隐函数的导数 .
例2求方程 确定的隐函数 的导数。
解方程两端对 求导数，由复合函数的求导法则（注意， 是 的函数），有
由此可见，所谓隐函数就是对应关系 不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系 “明显”的函数，例如，
， ， ，等等，就是显函数。在本节之前，所遇到的函数绝大多数都是显函数。
值得注意的是，有些二元方程 确定的隐函数 并不能用代数方法从中解出来，换句话说，隐函数不是初等函数或不能化为显函数。关于隐函数的存在性、连续性和可微性等理论问题将在第十一章介绍。本节所讨论的隐函数都是存在的，可导的。直接对隐函数所满足的方程求导，往往更便利些。
解已知弹头关于时间 的弹道曲线的参数方程是
其中 是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有
设在时刻 弹头的运动方向与地面的夹角为 ，有
或
例5求函数 的导数。
解等号两端取绝对值的对数，有
.
由隐函数的求导法则，有
，
即
.
例6求幂指函数 的导数。
解将幂指函数等号两端取对数，有
.
按隐函数求导法，对上式等号两端求导，有
，
由此得到
.
例7求函数 的导数.
解等号两端取绝对值的对数，有
由求导数法则，有
，
即
.
二、参数方程求导法则
参数方程的一般形式是
若 与 都可导，且 ，又 存在反函数 ，则 是 的复合函数，即
5.3隐函数与参数方程求导法则
一、隐函数求导法则
表示函数 （对应关系）有多种不同的方法，其中有这样一种方法，自变量x与因变量y的对应关系 是由二元方程F（x，y）=0所确定。
定义设有两个非空数集A与B.若 ，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个 ，则称此对应关系 （或写为y= （x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。
， .
由复合函数与反函数的求导法则，有
.
这就是参数方程的求导公式。
例8求椭圆 上一点 的切线斜率 .
解法一点 在上wenku.baidu.com椭圆上，从椭圆方程中解出上半椭圆方程是
， .
则
解法二由隐函数求导法，有
或 ，
则
.
解法三将椭圆化为参数方程
.
点 对应的参数 .由参数方程求导法，有
则
.
例9设炮弹的弹头初速度是 ，沿着与地面成 角的方向抛射出去，求在时刻 时弹头的运动方向（忽略空气阻力，风向等因素）.
二元方程F(x，y)=x +y -a =0(a>0)在A=[-a，a]确定两个连续的（B =[0，+ )与
B =（- ，0])隐函数。
事实上， ，由二元方程对应唯一一个 = ,且
与 ，且
于是，二元方程F(x，y)=x +y -a =0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。
与 。
这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间 的上半圆周与下半圆周，如图5.5
，
解得隐函数的导数
.
例3证明过双曲线 上一点 的切线方程是
.（1）
证明首先求过点 的切线斜率 ,即求双曲线确定的隐函数 的导数在点 的值.
， .
解得 .在点 的切线斜率 .从而，切线方程是
或
.
因为点 在双曲线上，所以 .于是，所求得切线方程是
.
当 时，有 .过双曲线 上点 的切线方程是 ，也满足（1）式.
由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y= （x)（ ， ）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此， ，有
F[x，f(x)]=0 (或F[x，f(x)] 0）.
例如，二元方程F(x，y)=2x-3y-1=0在R确定（从中解得）一个隐函数。
事实上， ，由二元方程对应唯一一个 ,且
F（x , )=2x-3 -1 0.
例4证明抛物线 上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于 .
证明在抛物线上任取一点 ，即 .求抛物线在点 的切线斜率 .由隐函数求导法则，有
或 .
从而斜率 .在点 的切线方程是
.
它在 轴与 轴上的截距分别是 与 .于是，二截距之和是
（ ）+（ ）
= = = = .
求某些显函数的导数，直接求它的导数比较繁琐，这时可将它化为隐函数，用隐函数的求导法则求其导数，比较简单些。将显函数化为隐函数常用的方法是在等号两端取绝对值再取对数，这就是对数求导法。适用于幂指函数以及其他一些函数.现举例如下：