隐函数与参数方程求导法则

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2.4 隐函数求导法则

2
2015/10/15 14
dD dt
1 cm / min. D 10 20
例7 一质子沿曲线y 1 x 3 运动，当其在点(2,3)时，
纵坐标y以4 cm / s 的速率增加，问此时横坐标x的变化
率是多少？
1 dy 1 (1 x 3 ) 2 3 x 2 解： y 1 x3 dx 2 dy =4 dt
dy a sin t sin t dy dt 解： a a cos t 1 cos t dx dx dt sin dy 2 1 . t dx 2 1 cos 2 当 t 时, x a ( 1), y a . 2 2
所求切线方程为 y a x a( 2 1)
2015/10/15

即 y x a(2 ) 2
19
例7. 不计空气的阻力 , 以初速度 v0 , 发射角
发射炮弹 , 其运动方程为 x v 0 t cos , 1 2 y v 0 t si n gt , 2 求 (1)炮弹在时刻 t 0的运动方向 ; ( 2)炮弹在时刻 t 0的速度大小 .
2
4
2
1 点(1,1)处的切线方程 y 1 x 1， 2 即 x 2 y 3 0.
2015/10/15
1
2
5
例3 证明双曲线x y a (a 0)上任一点的切线与
2
两坐标轴围成的三角形的面积等于常数2a 2 .
证:在曲线xy a 2上任取一点( x0 , y0 ),
dy dx dy , , . dx dt dt
2015/10/15

隐函数与参数方程求导法则

值得注意的是，有些二元方程确定的隐函数并不能用代数方法从中解出来，换句话说，隐函数不是初等函数或不能化为显函数。关于隐函数的存在性、连续性和可微性等理论问题将在第十一章介绍。本节所讨论的隐函数都是存在的，可导的。直接对隐函数所满足的方程求导，往往更便利些。
由于二元方程确定的隐函数，有
.
应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：
解已知弹头关于时间的弹道曲线的参数方程是
其中是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有
设在时刻弹头的运动方向与地面的夹角为，有
或
， .
解得 .在点的切线斜率 .从而，切线方程是
或
.
因为点在双曲线上，所以 .于是，所求得切线方程是
.
当时，有 .过双曲线上点的切线方程是，也满足（1）式.
例4证明抛物线上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于 .
证明在抛物线上任取一点，即 .求抛物线在点的切线斜率 .由隐函数求导法则，有
定义设有两个非空数集A与B.若，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个，则称此对应关系（或写为y= （x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。
由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y= （x)（，）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此，，有
F[x，f(x)]=0 (或F[x，f(x)] 0）.
与，且
于是，二元方程F(x，y)=x +y -a =0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。
与。
这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间的上半圆周与下半圆周，如图5.5
由此可见，所谓隐函数就是对应关系不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系 “明显”的函数，例如，

隐函数与参变量函数求导法则

由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dy dt dx dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
即 dy dt dx dx
dt
dt
例6
求由参数方程
x y
t arctan ln(1 t 2 )
t
所表示的函数
y y( x)的导数.
dy
2t
解
dy dx
dt dx
dt
1 t2
四、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;
对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参变量函数求导: 实质上是利用复合函数求导法则.
dx |x0 x e y x0 1.
y0
例3 求由方程 x3 3xy y3 3所确定的曲线
y f ( x)在点M(1, 2)的切线方程.
解方程两边对x求导,
3x2 3 y 3xy 3 y2 y 0
y
y y
x2 2x
，y
(1,2)
1 3
所求切线方程为
y 2 1 ( x 1) 3
x 2t, x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
在方程
x y
(t )中, (t )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
2
上式两边对 x求导得
1 y
y
2x
1 2
1 x1
1 x2
1 x 3
y ex2 2

隐函数和参数方程求导、相关变化率

#
x＝ t t－1 例 6 求曲线在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解：令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合关系 y ＝， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝＝＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解：如图所示 dx 水平速度 v x ＝＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝＝＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ，求 y .

理学求导法则续课隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

解法二：方程两边对 x 求导，注意到 y 是 x 的函数
得： 1 3y2 dy 0 dx
即：
dy 1 dx 3y2
由此可以看出，不管是否化为显函数，求导结果都是一样的.
5
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例2 求由方程 ex e y xy3 (1 e) 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dx
dy dx
2t 3t
t3 t3
在t
0
处的切线方程和法线方程
解：
dy dy dt 3(1 t2 ) 3 (1 t)
dx dx 2(1 t) 2
dt
dy dx
t0
3 (1 0) 2
3 2
29
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当t 0时, x 0, y 0.
所求切线方程为
y 0 3 (x 0)
2
即
y3x 2
返回
二、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d 2 y ： dx 2
1、y 1 xe y ； 2、 y tan( x y)； 3、x y y x ( x 0，y 0) .
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2 ；
2、y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
25
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例9.
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t

隐函数与参数式函数的求导.ppt

y0
y
2(1
sin y) 2x c(1os ysinyy ) (1(1sisninyy)2)2
2(1 sin y) 2x cos y 2x
1 sin y (1 sin y)2
2(1
sin y)2 4x2 (1 sin y)3
cos
y
，
d2 y dx2
x1 2.
y0
8
例4 设 y y(x) 是由方程 x 2 y cos y 0 所确定的
上式两边对x求导得
y cos x ln tan x sin x 1 sec2 x
y
tan x
cos xln tan x sec x
y y (cos x ln tan x sec x)
(tan x)sin x (cos x ln tan x sec x).
18
作业
P97 2(2, 4,9),3(2, 4,5)
算所构成的复杂函数和幂指函数.
20
例9 设 x y y x , 求 dy . dx
解等式两边取对数得 y ln x x ln y ,
方程两边关于 x 求导,得
yln x y ln y x y ,
x
y
(ln x x ) y ln y y
y
x
y
xy ln y xy ln x
y2 x2
隐函数,求 d2 y dx2
x1 .
y0
另解原方程两边关于x求导，得
2x y sin y y 0
代入 x 1, y 0,可得y |x1 2.
y0
上式两边继续关于x求导，得
2 y cos y ( y)2 sin y y 0
代入 x 1, y 0, y |x1 2可得

隐函数及参数方程求导

隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。

在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。

1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。

设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。

要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。

2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。

1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。

根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。

将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。

2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。

参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。

2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。

设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。

1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。

2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。

2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。

隐函数和参数方程求导

隐函数和参数方程求导
隐函数求导：隐函数求导是指对于一个由两个或多个未知量的函数所组成的方程，通过对其中的一个未知量进行求导，得到关于该未知量的导数表达式。

常见的隐函数求导问题可以通过链式法则来解决。

考虑一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中x和y是两个未知量，我们希望对该方程进行求导，得到关于y的导数dy/dx。

首先，我们假设y是关于x的函数，即y=f(x)，那么原方程可以重写为F(x,f(x))=0。

然后，我们对该方程两边同时对x求导，根据链式法则，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。

最后，通过对这个方程关于y求导，我们可以解出dy/dx的表达式：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。

参数方程求导：参数方程是指将变量x和y都表示为一个参数t的函数形式，即x = f(t)和y = g(t)。

参数方程求导可以通过对这两个函数分别对t求导，然后利用导数的链式法则来得到关于t的导数dt/dx和
dt/dy。

假设x = f(t)和y = g(t)，我们希望求导dx/dt和dy/dt。

首先，对x = f(t)对t求导，得到dx/dt；
然后，对y = g(t)对t求导，得到dy/dt；
最后，通过利用导数的链式法则，我们可以得到dt/dx和dt/dy的表达式：
dt/dx = 1 / (dx/dt)；
dt/dy = 1 / (dy/dt)。

通过求导，我们可以得到参数方程对应的隐函数的导数关系。

在实际问题中，求导可以帮助我们分析函数的变化趋势、求解最值问题等，具有非常重要的应用价值。

隐函数及参数方程确定函数求导法则

1
=
c
o
s
y
•
y
/ x
y
/ x
1 cos
y
cos y 1 sin 2 y 1 x 2
y
/ x
1 1 x2
( y )
2
2
类似可证明（ arccos x)/ 1 1 x2
(arv
tan
x)/
1
1 x2
(arc
cot
x)/
1 1 x2
例6. 求下列导数:
(1 )(x); (2 )(xx);
(t) (t)
(t)0时, 有
dt
dx dy
dx d t dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
若上述参数方程中(t),(t)二阶可导, 且 (t)0,
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: F(x,y)0
两边对 x 求导
d F(x, y) 0 (含导数 y 的方程)
dx
例1 求由方程 x 2 y 2 R 2 所确定的隐函数的导数
解将方程的两边同时对 x 求导，这里 y 是 x 的函数，y2 是 x 的复合函数，根据复合函数求导法则得
dt
dt
dy
dy dx
dt dx
b cos t a sin t
b cot t a
dt
例11 求曲线
x y

隐函数与参数方程的求导法则

隐函数与参数方程的求导法则在微积分中，求导是求函数在某一点的变化率的操作。

当我们面对的函数是显式函数时，也就是可以通过直接表示成y=f(x)的形式，求导问题相对较为简单。

但在一些情况下，我们会遇到隐式函数或参数方程，这就需要用到隐函数与参数方程的求导法则。

一、隐函数的求导法则隐函数是指通过x和y之间的关系式来定义的函数，其中y不能用x的表达式直接表示出来。

在求解隐函数的导数时，我们需要运用到隐函数的求导法则，具体步骤如下：1.对于隐函数关系式进行求导，将dy/dx表示为f(x, y)。

2.将dx移到方程的一侧，得到f(x, y)dx+(-1)dy=0。

3.根据链式法则，乘得dy/dx=-(f(x, y)dx/dy)。

4.将方程中的dy/dx替换成-dy/dx，便可得到所求的导数。

举个例子来进行说明。

假设我们有一个方程x^2+y^2=R^2表示一个圆的形状，其中R是一个常数。

如果我们想要求解这个圆的切线斜率，就需要使用隐函数的求导法则。

首先对方程两边求导，得到2xdx+2ydy=0。

将dy/dx替换成-dy/dx，得到2xdx-2ydy=0。

然后将式子整理为dy/dx的形式，即dy/dx=-(2x/2y)=-x/y。

这就是所求的切线斜率。

二、参数方程的求导法则参数方程是指通过t来表示x和y，即x=f(t)，y=g(t)，其中t是一个独立变量。

求解参数方程的导数时，我们同样需要运用到参数方程的求导法则，具体步骤如下：1.对于参数方程中的每一个方程分别求导，得到dx/dt和dy/dt。

2.将两个式子相除，得到dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。

接下来，让我们通过一个例子来进一步说明参数方程的求导法则。

假设我们有一个参数方程x=cos(t)，y=sin(t)，其中0≤t≤2π。

我们想求解在该参数方程下的切线斜率。

首先对参数方程x=cos(t)和y=sin(t)分别求导，得到dx/dt=-sin(t)和dy/dt=cos(t)。

隐函数与参数方程确定的函数的求导法则-PPT模板

1.2 由参数方程确定的函数的导数
设由参数方程
x y
(t) ，确定 (t)
y
是
x
的函数，
(t)
，
(t
)
可导，且
(t)
0
，
x (t) 是单调连续的，其反函数为 t 1(x) ．在上述条件下， y (t) ( 1(x)) ，由复合函数求导与反函数求导法则可
得
dy
dy dx
dy dt
1.1 隐函数的导数
例 1 求由方程 x y3 1 0 确定的隐函数的导数．
解
即解得
y 是 x 的函数，将方程 x y3 1 0 两边同时对 x 求导得
d (x y3 1) 0 ，
dx
1 3y2 dy 0 1 3y2 dy 0 ，
dx
dx
dy dx
1 3y2
1.1 隐函数的导数
dt dx
dy dt
1 dx
dt dx
．
dt dt
1.2 由参数方程确定的函数的导数
所以，由参数方程
x
y
(t)
，确定的函数
(t)
y
y(x)
的导数为
dy
dy dx
dt dx
(t) (t)
．
dt
1.2 由参数方程确定的函数的导数
例6
解已知当椭t 圆4ax时22 ，设by22椭圆1 的上的参对数应方点程为为M0xy(x0 ，abycs0io)ns，tt，，则求椭圆在
t
4
相应点处的切线方程．
x0
a cos
4
2 2
a
，
y0
b sin
4

53隐函数与参数方程的求导法则

关于隐函数的求导，只要应用复合函数的求导法则对方程两端求导数即可。下举例说明：
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第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
dy 例1. 设y( x )是由方程 y r 确定的隐函数，求 . x dx
2 2 2
解法一：由方程 2 y 2 r 2解得y r 2 x 2，于是 x
此方法称为对数求导法。
对数求导法是将 y = f (x) 两端取自然对数后再求导，这里如有必要，可先将 y = f (x) 两端取绝对值。此方法常用于若干因式的积、商或根式组成的函数和幂指函数的求导，其好处在于把积变成和、商变成差、幂指变成乘积。
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第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
2x 2 y 7x 0，即 k y y . 2 7 2y
1 由已知 l ，所求切线的斜率 2. k k 2
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第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
当k 2时，双曲线与所求直线相切，故
7x 2，即 7 x 4 y . 2y
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第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
x2 y2 练习：求垂直于直线 2 x 4 y 3 0并与双曲线 l: 1 2 7 相切的直线方程。
解：
设双曲线上一点 , y )的切线斜率为，则由隐函数求 (x k 导法，有
这即是参数方程所表示函数的求导法。
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第五章：导数与微分
例.
5.3隐函数与参数方程求导法则

三个求导法则.

及y
(7)
。
y ( 7) 0 。
2、由参数方程所确定的函数的二阶导数
2 x a cost , d y 例 5、设函数。 (0 t 2 ) ，求 y （或 2 ） dx y b sin t
d y d dy dx ( )/ 2 dt dx dt dx
2
解： (a cost ) a sin t ， (b sin t ) a cost ，
2、隐函数的显化
由 x y 3 1 0 ，解得 y 3 1 x 。
有些隐函数不可能显化： e y xy 0 。
3、隐函数的求导法
由于由方程 F(x，y)＝0 所确定的函数 y＝y(x)，能使 F(x，y(x)) 0 成为关于 x 的恒等式。因此，由方程 F(x，y)＝0 求 y 对 x 的导数时，只要把其中的 y 看成是 x 的函数 y( x ) ，同时利用复合函数的求导法则，对等式两端求对 x 的导数，然后由得出的含 x、y、 y 的等式中解出 y 就可以了。
d2y 记作 f (x)， y ，或 2 ， dx
f ( x x ) f ( x ) 即 f (x)＝ lim 。 x 0 x
y =(y)，
f (x)＝[f(x)]，
类似的，y＝f(x)的二阶导数的导数叫做y＝f(x)的三阶导数；
y＝f(x)的三阶导数的导数叫做y＝f(x)的四阶导数； … y＝f(x)的(n-1)阶导数的导数叫做y＝f(x)的n阶导数，
它们分别记作
d dy ＝ ( )。 dx 2 dx dx
d2y
y ，
或 f (x) ，
y(4) ，
… ， … ，
y (n) ；

隐函数及参数方程所确定的函数的求导法

谢谢聆听
一、隐函数的导数
把一个隐函数化成显函数，叫作隐函数的显化．例如，从方程3x＋y2＋5=0解出y=± √ -5-3x，就把隐函数化成显函数．隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的．例如， ey=y＋x在x的一定变化范围内虽然也能确定一个隐函数y=f （x），却无法将它显化.因此有必要介绍隐函数的求导方法.
设y=f（x）是由F（x，y）=0所确定的隐函数，则F（x， f（x））=0．由于此式左端是将y=f（x）代入F（x，y）所得到的复合函数，因此，根据链式法则将等式两边对x求导，便可得到所求的导数．
我们通过几个例子来说明这种方法．
一、隐函数的导数
【例1】
求方程xy-ex＋ey=0所确定的隐函数y=f（x）的导数．解方程两端同时对x求导，并注意到y是x的函数，得
下面举几个例子.
一、隐函数的导数
【例4】
求函数y=xx（x>0）的导数．解这是幂指函数，求导数时，既不能用幂函数的导数公式，也不能用指数函数的导数公式. 对等式两边取对数，得
lny=xlnx，两边对x求导，得
一、隐函数的导数
【例5】
二、由参数方程所确定的函数的导数
函数关系除了用显式和隐式表示外，还可以用参数方程来表示．
一般的，如果参数方程x=φ（t），确定y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数．
对于参数方程所确定的函数的求导，通常不需要由参数方程消去参数t化为y与x之间的直接函数关系后再求导．
二、由参数方程所确定的函数的导数
如果函数φ（t）和ψ（t）都可导，φ′（t）≠0且x=φ（t）存在反函数t=φ-1（x），则y为x的复合函数．根据复合函数求导法则，得

23隐函数、参数方程求导法则

第三节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数教学目的：教学重点：教学过程：一、隐函数的导数以前，我们所接触的函数，其因变量大多是由其自变量的某个算式来表示的，比如：x e y x z e xx y x y y x sin ln ,2sin ,52+=+=+=等等，象这样一类的函数称为显函数。

但在实际问题中，函数并不全是如此，设),(y x F 是定义在区域2R D ⊂上的二元函数，若存在一个区域I ，对于I 中的每一个x 的值，恒有区间J 上唯一的一个值y ，使之与x 一起满足方程：0),(=y x F ……（1）就称方程（1）确定了一个定义域为I ，值域含于J 中的函数，这个函数就称为由方程（1）所确定的隐函数，若将它记为I x x f y ∈=),(，则有：在I 上，0))(,(≡x f x F 。

【例1】01452=-+y x 确定了隐函数：4512x y -=。

【例2】122=+y x 能确定出定义在]1,1[-上的函数值不小于0的隐函数21x y -=，也能确定出定义在]1,1[-上的函数值不大于0的隐函数21x y --=。

上面求)(x f 的过程是将一个隐函数转化为显函数，也称为隐函数的显化。

注 1：在不产生误解的情况下，其取值范围可不必一一指明；2：并不是任一方程（1）都能确定出隐函数，比如：0122=++y x ，不可能找到)(x f y =，使得01)]([22=++x f x ；3：即使方程（1）能确定一个隐函数，但未必能象上二例一样从方程中解出y ，如：0sin 21=--y x y ，我们可证明它确实能确定一个隐函数，但无法表示成)(x f y =的形式，即不能显化。

实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，如果隐函数可显化，则求导没什么问题，同前一样，若隐函数不能显化，我们就直接从（1）算出其隐函数的导数。

（以后我们还将介绍更一般的方法）。

【例3】01452=-+y x ，求dxdy 。

5.3隐函数与参数方程求导法则

即
3x + 4 y − 8 3 = 0
例3 求由方程 e
函数 y′( x ) 。
解对方程
x + y − xy − e = 0 确定的隐函数 y = y ( x) 的导
e x + y − xy − e = 0
的两边关于 x 求导，注意到 y 是 x 的函数，由复合函数的求导法则
(e x + y − xy − e)′ = (e x + y )( x + y )′ − ( xy )′
x = v1t 例8 抛射体运动轨迹的参数方程为 2 y = v2 t − 1 g t 2 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.
解先求速度大小:
dx dy = v1 , 垂直分量为 = v2 − g t , 速度的水平分量为 dt dt
dx 2 d y 2 2 2 v = ( ) + ( ) = v + ( v − gt ) 故抛射体速度大小 1 2 dt dt
F ( x , y1 ) = F ( x , a 2 − x 2 ) ≡ 0
y2 = − a 2 − x 2 ∈ B = ( −∞, 0], F ( x , y2 ) = F ( x , − a 2 − x 2 ) ≡ 0
例如方程 e xy + x 2 y − 1 = 0 所决定的隐函数就无法将它化成显函数 y = f ( x ) 形式。
由此解得
= e x + y (1 + y ′) − y − xy ′ = 0 ，
y′ =
ex+ y − x
y − ex+ y
例4
例5
a a b x 例如, y = ( x > 0, a > 0 , b > 0 , ≠ 1 ) b b x a

隐函数和参数方程求导法

隐函数和参数方程求导法1.隐函数求导法隐函数求导法用于求解包含隐函数的导数。

一般来说，我们可以将隐函数表示为两个变量之间的关系式，例如y=f(x)。

在一些情况下，这个关系式无法直接解出y关于x的显式表达式。

这时，我们可以使用隐函数求导法来找到y关于x的导数。

假设有一个含有两个变量x和y的隐函数关系式F(x,y)=0。

要求这个隐函数关于x的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：对关系式两边同时求导，并得到导数关系式dF/dx = 0；步骤2：根据导数关系式，将dF/dx中的y'用y和x表示出来；步骤3：解出y'，即为所求的导数。

举例说明：假设有一个隐函数关系式x^2+y^2=1、我们要求这个隐函数关于x的导数。

按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：对关系式两边同时求导，得到2x + 2yy' = 0；步骤2：将dF/dx中的y'用y和x表示出来，得到y' = -x/y；步骤3：解出y'，即为所求的导数。

通过以上计算，我们得到了这个隐函数关于x的导数为y'=-x/y。

参数方程求导法用于求解包含参数方程的导数。

参数方程是用参数表示的轨迹方程，常用形式为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是关于参数t 的函数。

要求参数方程的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt和dy/dt；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到y关于x的导数dy/dx；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数。

举例说明：假设有一个参数方程x=2t，y=t^2、我们要求这个参数方程的导数。

按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt = 2 和dy/dt = 2t；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到dy/dx =(dy/dt)/(dx/dt) = (2t)/(2) = t；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数，例如二阶导数d^2y/dx^2 = d(dy/dx)/dx = d(t)/dx = 0。

隐函数及其参变量函数的求导方法

2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法:求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式
思考题
设xy((tt))，由yx
(t) (t)
2
4
问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
平面曲线参数方程的一般形式
x (t ),

y

(t
),
t[,]为参数 .
这 x 里 (t)与 y (t)都可 (t)导 2 (t)， 2 0 . 且
由于 (t)与 (t)至少有一个不妨为设 (t)零 0,，
隐函数和参数方程求导相关变化率
张世涛
主要内容：
一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数三、相关变化率
一、隐函数的导数
由方 Fx ,(y程 )0所确定 yy(x 的 )称函为 .数隐
y f (x) 形式的函数称为显函 . 数
F(x,y)0 yf(x) 隐函数的显化
例如：xy310可确定显函数 y 3 1 x 例如：y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 ,
(2) 含有较多的乘、方除、、开乘方运算的
例4 设 y x sixn (x 0 ),求 y .
解等式两边取对数, 得 ln ysix n ln x,
上式两边 x求对导 , 得
1ycoxslnxsix n1,
y
x
yy(cx olsn xsixn 1) x
xs ixn(cx olsn xsixn). x
可知yx ((tt))，对吗？

隐函数及参数方程求导

例如消去参数问题消去参数困难或无法消去时，应如何求导?
由复合函数及反函数的求导法则得
例7 已知椭圆的参数方程为求解
例8
解
所求切线方程为
例9
解
四、相关变化率
相关变化率问题
已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
例11
解
仰角增加率
例12
解水面上升之速率 4000m
五、小结
思考题
思考题解答不对．
练习题
练习题答案
感谢各位的观看
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三、参数方程求导
一、隐函数的导数
定义
隐函数的显化
问题隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1
解解得
例2
解故所求切线方程为显然通过原点.
例4
解
二、对数求导法
等式两边取对数得
例5
解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ例6
解
等式两边取对数得
三、由参数方程所确定的函数的导数