中点画圆法的扫描转换算法

{实用}直线圆的各种插补算法

第四章、基本图形生成算法教学目的：1、知道图形生成中的基本问题；2、熟练掌握直线的扫描转换、圆与椭圆的扫描；3、掌握区域填充；4、了解线宽与线型的处理。

�在光栅显示器上显示的任何一种图形，实际上都是一些具有一种或多种颜色的象素的集合。

�生成算法即图形设备生成图形的方法，也叫光栅化或或图形的扫描转换，是确定一个象素集合及其颜色，用于显示一个图形的过程。

确定一个象素集合及其颜色，用于显示一个图形的过程，称为图形的扫描转换或光栅化。

�对图形的扫描转换分为两部分：先确定像素，再用图形的颜色或其他属性进行某种写操作。

绘图元素�构成图形的基本元素，主要有点、直线、圆和曲线等。

图形元素包含的信息：①图元的类型②图元的几何信息③图元的非几何信息；④图元的指针信息11、点22、位置33、像素44、直线55、曲线66、填充点、线图形基元包括：多边形、曲线、字符串实心图形（或称图形填充）一级图形元素二级图形元素第一节、扫描转换算法一、坐标系1．用户坐标系�在实际世界中用来描述物体的位置、形状等。

坐标单位任意，坐标值是实数、范围不限。

2．笛卡尔坐标系（直角坐标系）�在计算机图形学中使用用来描述物体。

3．设备坐标系�在某一特定设备上用来描述物体，如显示器的屏幕坐标系，绘图仪的绘图坐标系。

坐标单位为像素、步长，即设备的分辨率。

坐标值是整数，有固定的取值范围。

4．规范坐标系�在通用图形软件包中使用的用来描述物体数据所采用的坐标系。

�目的是为了使通用图形软件包摆脱对具体物理设备的依赖性，也为了便于在不同应用和不同系统之间交换图形信息。

�坐标单位任意取，坐标取值范围是［０，１］区间。

笛卡儿坐标系与屏幕坐标系的转换�屏幕（x，y）=（x笛卡儿+x最大分辨率/2，y最大分辨率/2- y笛卡儿）二、笛卡尔坐标系和设备坐标系中相关概念的区别（1）像素点�·在几何学中，点没有准数，没有大小，只表示了在坐标系统中的一个位置。

·在图形系统中，点要由数值坐标表示。

圆的扫描转换原理

确定当前点（ , ）后，可通过（ , ）的值来决定下一个点：
1）若（ , ）<0，说明点在圆内，则下一步应向圆外走，即取
= +1, = 。
2）若（ , ）>0，说明点在圆外，则下一步应向圆内走，即取
= , = -1。
3）若（ , ）=0，说明点在圆上，则下一步可以向圆外走，也可以向圆外走，这里规定取 = +1, = 。
设R为弧AB的半径，记点P到原点的距离的平方பைடு நூலகம்圆的半径的平方之差为D（P），即
D（P）=（ + -
根据D（P）定义，如果点Q在圆内，则D（Q）<0，如果Q在圆外，则D（Q）>0。假定为圆弧上的点，则D（）>0，D（）<0。令
=D（）+D（）=( +1)2+ - +( -1)2+( -1)2-
正负法：该方法主要用于笔试绘图仪中，由于笔试绘图仪只有水平或垂直方向的运动，绘图笔每次只能向正右方或正下方运动，因此相应地在画圆时，只能从当前像素移动到其正右方或正下方的像素。
圆心在原点、半径R的圆方程的函数表达式为：
F（x,y）= + - =0
对于圆上的点，F（x,y）=0；对于圆内的点，F（x,y）<0；对于圆外的点，F（x,y）>0。对于第一象限内四分之一圆弧AB的绘制方法，利用对称性很容易绘制圆的其他部分。这里顺时针方向生成圆弧，并假定圆心和起点均精确地落在像素上。设起点A为（ , ）,则有 =0， =R。
Bresenham算法：画第一象限内八分之一个圆AB，从A点开始，顺时针画点，其他7个对称点即可。
从点A开始向右下方逐点寻找显示弧AB要用的点，如果是已选中的一个表示圆弧上的点，由于圆弧在A、B两点之间斜率小于等于1，所以下一个点（ +1, ）或（ +1, -1），选还是选，取决于哪一个点更接近于弧AB。

计算机图形学习题解答

当 b2 xi 0.5 p a2 yi 1 时转入上半部分。
初始值 d2用下半部分计算的最后像素点的坐标值来计算。
已知椭圆的长半轴a=12,b=8.用中点Bresenham画椭圆算法确定第二象限椭圆弧上的像素点的位置,初始点为(-12,0).
解: 根据题意,先绘制椭圆弧的下半部分. y是最大位移方向,每次走一步,在y方向上加1,x方向上加1或加0. 构造判别式:
(4)d的初始值
d0
F
R 0.5, 2
R 2
1
1.25
2R 2
5.9解: 根据题意,算法要从点(a,0)到(0,b)逆时针确定第一象限椭圆弧。
先绘制椭圆弧的下半部分.
y是最大位移方向,每次走一步,在y方向上加1,x方向上减1或0.
构造判别式:
d1 F (xi 0.5, yi 1) b2 (xi 0.5)2 a2 ( yi 1)2 a2b2
4 2 2
45 2 2
1 1
5-2 2 4-2 2 1
(2)
1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0
T2
0
1 0 • 1 0 0 • 0 1 0 1 0 0
5 4 1 0 0 1 5 4 1 9 -1 1
4 1 1
8 3 1
7 3 1 • T2= 6 6 1
7 7 1
2 6 1
当d1 0时 d1 F (xi 0.5, yi 2) b2 (xi 0.5)2 a2 ( yi 2)2 a2b2 d1 a2 (2 yi 3) d1 288yi 432
d1的初始值：d1 F 11.5,1 608
下面绘制椭圆弧的上半部分. x是最大位移方向,每次走一步,在x方向上加1,y方向上加1或加0. 构造判别式:

圆的扫描生成算法原理

圆的扫描转换一、算法原理本节主要讲解仅包含加减操作的顺时针绘制1/8圆的中点Bresenham 算法原理。

1、圆的特性圆心在原点、半径为R 的圆方程的隐函数表达式为：圆将平面划分成三个区域：对于圆上的点，F(x ，y)＝0；对于圆外的点，F （x ，y ）＞0；对于圆内的点，F （x ，y ）＜0。

事实上，考虑到圆在第一象限内的对称性，本算法可以进一步简化。

因为AC 段圆弧和CB 段圆弧以对称轴x ＝y 完全对称，如图3-6所示，所以可以用四条对称轴x ＝0，y ＝0， x ＝y,x ＝－y 把圆分成8等份。

只要绘制出第一象限内的1/8圆弧Ⅰ，根据对称性就可绘制出整圆，这称为八分法画圆算法。

假定第一象限内的任意点为P （x,y ），可以顺时针确定另外7个点：P （y ，x ）P （y ，－x ）,P （x,－ y ） ,P （－x ，－y ），P （－y ，－x ），P （－y ，x ），P （－x ，y ）。

),(222=-+=R y x y x F从P （xi ，yi ）开始，为了进行下一像素点的选取，需将Pu 和Pd 的中点M （x i ＋1，y i －0.5）代入隐函数，构造中点偏差判别式：当d<0时，中点M 在圆内，下一像素点应点亮Pu ，即y 方向不退步；当d>0时，中点M 在圆外，下一像素点应点亮Pd ，即y 方向退一步；当d ＝0时，中点M 在圆上， Pu 、Pd 和圆的距离相等，点亮Pu 或Pd 均可，约定取Pd 。

因此，2、递推公式1.中点偏差判别式的递推公式现在如果考虑主位移方向再走一步，应该选择哪个中点代入中点偏差判别式以决定下一步应该点亮的像素，分两种情况讨论。

222)5.0()1()5.0,1(),(R y x y x F y x F d i i i i M M --++=-+==⎩⎨⎧≥<=+)0( 1-)0( 1d y d y y i i i中点偏差判别式的递推2.中点偏差判别式的初始值圆的起点为P0（0，R ），x 为主位移方向。

圆弧扫描转换

P（Xp ，Yp ） P1 M P2
2 2 2
M=(Xp+1,Yp-0.5)
20
中点画圆法基本思想
d = F(M) = F(xp + 1, yp - 0.5) 2 2 2 =(xp + 1) + (yp - 0.5) - R 若d>=0, 则P2(xp + 1, yp – 1) 为下一个象素，那么： d1 = F(xp + 2, yp - 1.5) = d + （2xp + 3）+（-2 yp + 2）若d<0, 则P1(xp + 1, yp ) 为下一个象素，那么： d2 = F(xp + 2, yp - 0.5)= d + 2xp +3
F（M）< 0则M在圆内-> 取P1 F（M）>= 0 则M在圆外-> 取P2 P（Xp ，Yp ） P1 M P2
第一象限靠近y轴的八分之一圆
19
中点画圆法基本思想
F（X，Y）=X + Y - R ，有如下结论：
F（M）< 0 ->M在圆内-> 取P1 F（M）>= 0 ->M在圆外-> 取P2
= yi + 2 − k ( xi + 0.5) − b = di − k
5
复习：中点画线法步骤
1.输入直线的两端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)。 2.计算初始值△x、△y、d=0.5-k、x=x0、y=y0； 3.绘制点(x,y)。判断d的符号； 4.若d<0，则(x,y)更新为(x+1,y+1)，d更新为d+1k；否则(x,y)更新为(x+1,y)，d更新为d-k。 5.当直线没有画完时，重复步骤3。否则结束

计算机图形学之扫描转换线画图元的方法

扫描转换线画图元实验目的：通过上机实践，在C语言环境下实现扫描转换线画图元（直线、圆、椭圆）。

基本思想：利用计算出落在图元上或充分靠近它的一串像素，并以此像素集近似代替原连续图元在屏幕上的显示。

1、扫描转换直线段：（生成直线段的DDA算法）假设需扫描转换的直线段为P0（x0,y0）P1(x1,y1),再令∆x=x1-x0,∆y=y1-y0,斜率m=∆y/∆x,直线方程可以表示为：y=m*x+B ，求表示直线段P 0P1的像素集的最简单方法是利用直线方程直接计算。

以一个像素为单位分割区间[x0,x1],得到上的一个划分：x0,x1,…,x n,根据直线方程得到直线段上对应于横坐标xi的点的纵坐标为y i =m* x i +B，于是就得到了直线段上的点列{（x i,y i）},如图：利用公式：y i+1=mx i+1+B=m(x i+1)+B=mx i+B+m=y i+m得到直线。

2、扫描转换圆弧：该图元是利用圆的八对称性，扫描圆的八分之一弧而进行作图的。

利用函数CirclePoints（）显示圆弧上任意一点（x,y）及其七个对称点；如图所示：在作图过程中需要设置中心坐标，否则程序默认圆心（0，0），这样我们看到的将会是1/4圆弧。

关于算法课本中已经讲的很清楚了，这里就不赘述了；3、扫描转换椭圆弧：我们知道椭圆的方程为： X 2/a+y 2/b=1椭圆弧的画法类似于圆弧的画法，即只需要讨论第一象限内椭圆弧的生成。

进一步可以将椭圆弧分为上下两部分，其分界点为切线斜率为-1的点P ，再由公式：（yy x F x y x F ∂∂∂∂),(,),(）=（2b 2x,2a 2y ）因为（x,y ）点的切向与法向垂直，为（-2a 2y , 2b 2x ），从而切线斜率为-1的满足 2b 2x=2a 2y ⇔b 2x=a 2y 由此编程可以得到椭圆。

扫描转换直线段、圆、椭圆的程序如下：#include <stdio.h> #include<graphics.h> #include<math.h> #include<conio.h> /*----画线段----*/void LineDDA(int x0,int y0,int x1,int y1,int color) {int x;float dy ,dx,y ,m; dx=x1-x0; dy=y1-y0; m=dy/dx; y=y0;for(x=x0;x<=x1;x++){putpixel(x,(int)(y+0.5),color); y+=m; }}/*----画圆----*/void CirclePoints( int xo,int yo,int x,int y,int color){putpixel(x+xo,y+yo,color); /*在坐标x,y指定的位置上画一个点*/ putpixel(y+yo,x+xo,color);putpixel(-y+yo,x+xo,color);putpixel(-x+xo,y+yo,color);putpixel(y+yo,-x+xo,color);putpixel(x+xo,-y+yo,color);putpixel(-x+xo,-y+yo,color);putpixel(-y+yo,-x+xo,color);}void MidPointCircle(int xo,int yo,int radius,int color){int x,y,d,deltaE,deltaSE;x=0;y=radius;d=5-4*radius;deltaE=12;deltaSE=20-8*radius;CirclePoints(xo,yo,x,y,color);while(y>x){if(d<=0){d+=deltaE;deltaSE+=8;}else{d+=deltaSE;deltaSE+=16;y--;}deltaE+=8;x++;CirclePoints(xo,yo,x,y,color);}}/*----画椭圆----*/void EllipsePoints(int x_c,int y_c,int x,int y,int color){putpixel(x+x_c,y+y_c, color);putpixel(-x+x_c,y+y_c,color);putpixel(-x+x_c,-y+y_c,color);putpixel(x+x_c,-y+y_c,color);}void MidPointEllipse(int x_c,int y_c,int a,int b,int color) {long x,y,d,xP,yP,squarea,squareb;squarea=(long)a*a;squareb=(long)b*b;xP=(int)(0.5+(float)squarea/sqrt((float)(squarea+squareb))); yP=(int)(0.5+(float)squareb/sqrt((float)(squarea+squareb))); x=0;y=b;d=4*(squareb-squarea*b)+squarea; /*初始化*/ EllipsePoints(x_c,y_c,x,y,color);while(x<=xP){if(d<=0)d+=4*squareb*(2*x+3);else{d+=4*squareb*(2*x+3)-8*squarea*(y-1);y--;}x++;EllipsePoints(x_c,y_c,x,y,color);}x=a;y=0;d=4*(squarea-a*squareb)+squareb;EllipsePoints(x_c,y_c,x,y,color);while(y<=yP){if(d<=0)d+=4*squarea*(2*y+3);else{d+=4*squarea*(2*y+3)-8*squareb*(x-1);x--;}y++;EllipsePoints(x_c,y_c,x,y,color);}}void main(){int a0,b0,a1,b1,c_color;int p0,q0,r,c_color1;int m0,n0,m1,n1,c_color2;int graphdriver,graphmode;graphdriver=VGA;graphmode=VGAHI;initgraph(&graphdriver,&graphmode,"\\TC");cleardevice();printf("enter the line start:");scanf("%d,%d",&a0,&b0);printf("enter the line end:");scanf("%d,%d",&a1,&b1);printf("enter the color mumber:");scanf("%d",&c_color);cleardevice();LineDDA(a0,b0,a1,b1,c_color);getch();cleardevice();printf("enter the center :"); /*输入图圆中心*/scanf("%d,%d",&p0,&q0);printf("enter the radius:"); /*输入图圆半径*/scanf("%d",&r);printf("enter the color mumber:"); /* 输入颜色值*/scanf("%d",&c_color1);cleardevice();MidPointCircle(p0,q0,r,c_color1);getch();cleardevice();printf("enter the center :"); /*输入中心坐标*/scanf("%d,%d",&m0,&n0);printf("enter the chang duan zhou chang:"); /*输入长短轴长*/scanf("%d,%d",&m1,&n1);printf("enter the color mumber:");scanf("%d",&c_color2);cleardevice();MidPointEllipse(m0,n0,m1,n1,c_color2);getch();closegraph();}在程序运行过程中，当然也出现了不少错误，这里只举一两例加以说明（1）、程序在运行过程中，在画椭圆的时候，图象中只有四个点，而不是连续的曲线，经过查阅书籍以及请教同学发现在函数体中缺少了math.h头文件，所以加上文件包含命令#include<math.h>即可出现连续的椭圆图象。

扫描转换算法——DDA、中点画线画圆、椭圆

扫描转换算法——DDA、中点画线画圆、椭圆我的理解：在光栅图形学中，由于每⼀个点的表⽰都只能是整数值，所以光栅图形学实际只是对对实际图形的近似表⽰。

数值微分法（DDA）：以下PPT截图来⾃北京化⼯⼤学李辉⽼师代码实现：import matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib.patches as patchesfrom pylab import *def init(ax):#将主标签设置为1的倍数majorLocator = MultipleLocator(1);#设置主刻度标签的位置,标签⽂本的格式ax.xaxis.set_major_locator(majorLocator);ax.yaxis.set_major_locator(majorLocator);ax.grid(True);if__name__ == '__main__':x0, y0, x1, y1 = map(int, input("请输⼊直线的起点与终点： ").split('')) ax = subplot(title='DDA');ax.plot([x0, x1], [y0, y1], 'r');delta_x = x1-x0;delta_y = y1-y0;#画坐标轴if x1>y1:ax.axis([x0-1, x1+1, y0-1, x1+1]);init(ax);else:ax.axis([x0-1, y1+1, y0-1, y1+1]);init(ax);#计算斜率k的值if delta_x == 0:k = 999999999;else:k = delta_y / delta_x;#如果|k|<=1if k>-1 and k<1:while x0<=x1:x = round(x0);y = round(y0);ax.plot(x, y, 'b.');x0 += 1;y0 = y0+k;else:while y0<=y1:x = round(x0);y = round(y0);ax.plot(x, y, 'b.');x0 += 1/k;y0 += 1;plt.show();运⾏截图：中点画线：以下PPT截图来⾃北京化⼯⼤学李辉⽼师代码实现：wimport matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib.patches as patchesfrom pylab import *def init(ax):#将主标签设置为1的倍数majorLocator = MultipleLocator(1);#设置主刻度标签的位置,标签⽂本的格式ax.xaxis.set_major_locator(majorLocator);ax.yaxis.set_major_locator(majorLocator);ax.grid(True);if__name__ == '__main__':x0, y0, x1, y1 = map(int, input("请输⼊直线的起点与终点： ").split('')) ax = subplot(title='Midpoint');ax.plot([x0, x1], [y0, y1], 'r');a = y0-y1;b = x1-x0;d = 2*a+b;d1 = 2*a;d2 = 2*(a+b);#画坐标轴if x1>y1:ax.axis([x0-1, x1+1, y0-1, x1+1]);init(ax);else:ax.axis([x0-1, y1+1, y0-1, y1+1]);init(ax);x = x0;y = y0;ax.plot(x, y, 'r.');while(x < x1):if d<0:x += 1;y += 1;d += d2;else:x += 1;d += d1;ax.plot(x, y, 'r.');plt.show()中点画圆法：以下PPT截图来⾃北京化⼯⼤学李辉⽼师import matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib.patches as patchesfrom pylab import *def init(ax):#将主标签设置为1的倍数majorLocator = MultipleLocator(1);#设置主刻度标签的位置,标签⽂本的格式ax.xaxis.set_major_locator(majorLocator);ax.yaxis.set_major_locator(majorLocator);ax.grid(True);if__name__ == '__main__':r = int(input("请输⼊半径： "));plt.figure(figsize=(r*0.1, r*0.1));ax = subplot(title='MidPointCircle');d = 1-r;ax.axis([-r-1, r+1, -r-1, r+1]);init(ax);x = 0;y = r;ax.plot(x, y, 'r.');while(x <= y):if d<0:d += 2*x+3;else:d += 2*(x-y)+5;y -= 1;x += 1;ax.plot(x, y, 'r.');ax.plot(y, x, 'r.');ax.plot(x, -y, 'r.');ax.plot(-y, x, 'r.');ax.plot(-x, y, 'r.');ax.plot(y, -x, 'r.');ax.plot(-x, -y, 'r.');ax.plot(-y, -x, 'r.');plt.show()椭圆的扫描转换：以下PPT截图来⾃北京化⼯⼤学李辉⽼师代码实现：import matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib.patches as patchesimport mpl_toolkits.axisartist as axisartistfrom pylab import *def init(ax):#设置x轴：空⼼箭头、数值在下⽅ax.axis["x"] = ax.new_floating_axis(0, 0);ax.axis["x"].set_axisline_style("->", size = 1.0);ax.axis["x"].set_axis_direction("bottom");#设置y轴：空⼼箭头、数值在右⽅ax.axis["y"] = ax.new_floating_axis(1, 0);ax.axis["y"].set_axisline_style("->", size = 1.0);ax.axis["y"].set_axis_direction("right");if__name__ == '__main__':a, b = map(int, input("请输⼊椭圆的长、短半径： ").split('')); fig = plt.figure(figsize=(5, 7))#初始化画布ax = axisartist.Subplot(fig, 111, title='MidpointElipse');#将绘图区对象添加到画布中fig.add_axes(ax)init(ax);x = 0;y = b;d1 = b*b+a*a*(-b+0.25); #增量初值ax.plot(x, y, 'r.');ax.plot(x, -y, 'r.');while(b*b*(x+1)<a*a*(y-0.5)): #法向量的x、y不⼀样⼤时if d1<0:d1 += b*b*(2*x+3);x += 1;else:d1 += b*b*(2*x+3)+a*a*(-2*y+2);x += 1;y -= 1;#画四个对称点ax.plot(x, y, 'r.');ax.plot(x, -y, 'r.');ax.plot(-x, y, 'r.');ax.plot(-x, -y, 'r.');#画到了法向量的x=y，即椭圆弧的下半部分d2 = b*b*(x+0.5)*(x+0.5)+a*a*(y-1)*(y-1)-a*a*b*b;while y>0: #终结条件y>0if d2<0:d2 += b*b*(2*x+2)+a*a*(-2*y+3);x += 1;y -= 1;else:d2 += a*a*(-2*y+3);y -= 1;ax.plot(x, y, 'r.');ax.plot(x, -y, 'r.');ax.plot(-x, y, 'r.');ax.plot(-x, -y, 'r.');plt.show()。

中点画圆法的扫描转换算法

实验报告
专业：软件工程班级：学号：姓名：
课程名称：计算机图形图像处理基础2016– 2017年度第2学期
课程类别：专业必修实验时间：2017年月日
实验名称：中点画圆法的扫描转换算法
实验软硬件要求：Windows7 , Windows XP等都可，
使用MyEclipse做实验。
实验目的和要求：
编写中点画圆法的扫描转换程序
实验内容：见附页
实验总结以及心得体会：通过这次自己动手作程序，加深了对以往所学知识的了解和应用。把老师讲的东西，通过自己的努力和探索并加以研究，变成自己所能理解的东西截图如下：
主要代码：
1.编写主界面程序，且确定原点的坐标和半径
2.赋值x0.y0，x，y，r
3.编写中点画圆法的扫描转换算法画圆

计算机图形学实验报告模板圆的扫描转换

北京联合大学应用文理学院实验报告课程名称计算机图形学实验（实训）名称圆的扫描转换班级信息与计算科学2009级姓名学号同组者实验（实训）日期完成日期本实验（实训）所用学时统计预习实验（实训）报告总计评阅意见：成绩北京联合大学应用文理学院实验报告一、实验目的1、掌握用中点画圆法进行圆的扫描转换方法；2、掌握用Bresenham画圆法进行圆的扫描转换方法；3、理解中点画圆法与Bresenham画圆法的区别；二、算法原理介绍1、中点画圆算法假设x坐标为xp的各像素点中，与该圆弧最近者已确定，为P（xp,yp），那么，下一个与圆弧最近的像素只能是正右方的P1(xp+1,yp)，或右下方的P2（xp+1,yp-1）两者之一。

令M为P1和P2的中点，易知M的坐标为（xp+1,yp-0.5）。

显然，若M在圆内，则P1离圆弧近，应取为下一个像素；否则应取P2。

判别式d：d = F(M)=F(xp+1,yp-0.5)=(xp+1)^2+(yp-0.5)^2-R^2d的初始值为：d0 = F(1,R-0.5)=1+(R-0.5)^2-R^2=1.25-R在d≥0的情况下，取右下方像素P2，d = F(xp+2,yp-1.5)=(xp+2)^2+(yp-1.5)^2-R^2=d+2(xp-yp)+5在d<0的情况下，取正右方像素P1，d = F(xp+2,yp-0.5)=(xp+2)^2+(yp-0.5)^2-R^2=d+2xp+32、 Bresenham画圆算法假设生成圆心在坐标原点，半径为r，从x=0到x=y的1/8圆弧。

xi+1=xi +1相应的y则在两种可能中选择：y=yi，或者y=yi-1选择的原则是考察理想的y值是靠近yi还是靠近yi-1判别式：d i+1=2(xi+1)2+yi2+(yi-1)2-2r2判断式d的初始值为：d0= 3-2r。

如果d i+1>=0，则y=yi-1，di+2 =d i+1 + 4(xi- yi)+10如果d i+1<0，则y=yi，d i+2 =d i+1+ 4x i+6三、程序源代码1、中点画圆算法#include"graphics.h"#include"math.h"#include"conio.h"main(){void MidPointCircle(int,int);/*定义主函数变量，MidPointCircle中点画圆算法函数*/int gdriver,gmode; /*gdriver和gmode分别表示图形驱动器和模式*/gdriver=DETECT; /*DETECT是自动选择显示模式*/initgraph(&gdriver,&gmode,"c:\\tc3.0\\BGI");/*图形驱动文件的路径*/ MidPointCircle(200,YELLOW); /*定义圆的半径和颜色*/getch();/*getch();会等待你按下任意键，再继续执行下面的语句*/closegraph();/*关闭图形系统*/return(0); /*返回值为0*/}void MidPointCircle(int r,int color) /*定义函数变量半径和颜色*/{ int x,y;float d; /*float类型中小数位数为7位，即可精确到小数点后7位 */x=0; y=r; d=1.25-r;while(x<y) /*满足条件x<y时进入循环，不满足跳出*/{ if(d<0){d+=2*x+3; x++;}else { d+=2*(x-y)+5; x++; y--;}putpixel(x+200,y+200,color); putpixel(y+200,x+200,color);putpixel(200-x,y+200,color); putpixel(y+200,200-x,color);putpixel(200+x,200-y,color); putpixel(200-y,x+200,color);putpixel(200-x,200-y,color); putpixel(200-y,200-x,color);/* putpixel 在指定位置画一像素*/}}2、 Bresenham画圆算法#include"graphics.h"#include"math.h"#include"conio.h"main(){void Bresenham_Circle(int,int);/* Bresenham_Circle为 Bresenham画圆算法函数*/int gdriver,gmode;gdriver=DETECT;initgraph(&gdriver,&gmode,"c:\\tc3.0\\BGI");Bresenham_Circle(200,YELLOW); /*定义圆的半径和颜色*/getch();closegraph();return(0);}void Bresenham_Circle(int R,int color){ int x,y,delta,delta1,delta2,direction;x=0;y=R;delta=2*(1-R);while(y>=0) /*满足条件y>=0时进入循环，不满足跳出*/{putpixel(x+200,y+200,color); putpixel(y+200,x+200,color);putpixel(200-x,y+200,color); putpixel(y+200,200-x,color);putpixel(200+x,200-y,color); putpixel(200-y,x+200,color);putpixel(200-x,200-y,color); putpixel(200-y,200-x,color);if(delta<0){delta1=2*(delta+y)-1;if(delta1<=0)direction=1;else direction=2;}else if(delta>0){delta2=2*(delta-x)-1;if(delta2<=0) direction=2;else direction=3;}elsedirection=2;switch (direction)/*switch语句，即“切换”语句；case即“情况*/ {case 1:x++;delta+=2*x+1;break;/*执行 break 语句会退出当前循环或语句*/case 2:x++;y--;delta+=2*(x-y+1);break;case 3: y--;delta+=(-2*y+1);break;}}}四、实验结果图1中点画圆算法生成的圆半径r=200，颜色为黄色图2 Bresenham画圆算法生成的圆半径R=200，颜色为黄色五、总结与体会通过运用 C 语言环境下的图像显示设置，本次实验我学会了用中点画圆法、Bresenham 画圆法进行圆的扫描转换，更加深刻的理解了中点画圆法、Bresenham 画圆法进行圆的扫描转换的生成原理。

计算机图形学(圆弧的扫描转换II)

椭圆弧的生成
xi 1 a cos( i ) , yi 1 b sin( i )
由此可得
xi 1 xi y M y i 1 i
cos 其中 M b sin a
a sin b cos
P(xi,yi) P (x +1,y ) u i i M(xi+1,yi-0.5) Pd(xi+1,yi-1)
如果d1i >0,中点在椭圆外，应取右下方像素Pd(xi+1,yi-1) 判别式更新为：d1(i+1)=F(xi+2,yi-1.5)=d1i+b2(2xi+3)+2a2(-yi+1) 如果d1i ≤0,中点在椭圆内，应取正右方像素Pu(xi+1,yi) 判别式更新为：d1(i+1)=F(xi+2,yi-0.5)=d1i+b2(2xi+3) 判别式初值为：d10=F(1,b-0.5)=b2+a2(-b+0.25)
■ 圆穿越⑤区域时，D(Hi) > 0，D(Li) = 0，有 Di = | D(Hi) |-| D(Li) | = D(Hi) = di
结论： di的符号与Di的符号是否一致
2009-2010-2:CG:SCUEC
6
判别式di的增量计算
di = D(Hi)+D(Li) = [(xi-1+1)2+yi-12-R2]+[(xi-1+1)2+(yi-1-1)2-R2] 若di<0，表示Hi点更接近圆周，
2009-2010-2:CG:SCUEC
3
判别式的改进

简述中点画圆算法的原理与特点

简述中点画圆算法的原理与特点中点画圆算法是一种用于绘制圆形的计算机图形学算法，它通过计算圆弧上的点坐标来进行绘制。

该算法的原理是从圆弧的一个起始点开始，按照顺时针或逆时针方向依次计算下一个点的坐标，直到绘制完整的圆弧。

中点画圆算法的原理如下：1.获得圆的半径r和圆心坐标(h,k)。

2.设置初始点(x0,y0)为(0,r)。

3.计算初始决策参数d=1/4-r。

4.在每条径向的切点上绘制像素，每次转变d的符号。

5.根据决策参数的变化情况选择8个可能的下一个点中的一个，并将d根据选择情况进行相应的更新。

特点：1.中点画圆算法具有高效性，相较于传统的连续采样和扫描线算法，中点画圆算法具有更低的运算成本，绘制速度更快。

2.算法能够绘制出较为平滑的圆弧，不会产生明显的锯齿状边缘。

3.算法适用于绘制任意大小的圆，且绘制结果与圆的大小无关。

4.算法实现简单，仅需要基本的数学运算，可以在计算机图形学中广泛应用。

具体步骤及示例说明：假设要绘制一个圆的半径r为8个像素，圆心坐标为(20,20)。

1.设置初始点(x0,y0)为(0,r)。

2.计算初始决策参数d=1/4-r。

在此例中，初始决策参数d=1/4-8=-73.根据初始决策参数d的值选择下一个点的坐标。

由于d<0，所以选择坐标(x1,y1)为(x0+1,y0)=(1,8)。

更新决策参数d=d+(2x1+1)-(2y1-1)=-7+3-16=-20。

4.绘制点(x1,y1)，即第一个点(1,8)。

5.重复以上步骤，直到决策参数d>0。

下一个点的坐标(x2,y2)根据决策参数的值选择。

由于d<0，所以选择坐标(x2,y2)为(x1+1,y1-1)=(2,7)。

更新决策参数d=d+(2x2+1)-(2y2-1)=-20+5-14=-296.绘制点(x2,y2)。

以此类推，直到决策参数d>0，产生了一个完整的圆。

通过上述步骤，可以得到以半径r为8的圆的像素坐标集合，绘制出了一个圆。

计算机图形学圆的扫描转换

② 误差项的递推
d≤0：
d = F ( x i + 2 , y i 0 .5) = ( x i + 2 ) 2 + ( y i 0 .5 ) 2 R 2 = ( x i + 1) 2 + ( y i 0 .5 ) 2 R 2 + 2 x i + 3 = d + 2 xi + 3
yi
P
② 误差项的递推
③
判别式的初始值
d
0
= F (1 , R 0 . 5 ) = 1 + ( R 0 .5 ) 2 R = 1 .2 5 R
2
判别式的递推
d i +1 = d i + 2 x i + 3 d i +1 = d i + 2( x i y i ) + 5 d i <= 0 di > 0
x与y的更新
构造函数F(x,y)=x2+y2-R2 对于圆上的点，有F(x,y)=0
y
x
3.中点Bresenham画圆 3.中点Bresenham画圆中点Bresenham
构造函数F(x,y)=x2-y2-R2 对于圆上的点，有F(x,y)=0 对于圆内的点，F(x,y)<0
y
x
3.中点Bresenham画圆 3.中点Bresenham画圆中点Bresenham
实例
初始值
d0 =1 R =11
初始点（0，12）
结束点
x >= y
R=12 的1/8 圆弧段的判别式及坐标值
1/8 圆弧离散点的产生
画出对称象素点
离散点对连续点的逼近
Thank you!

计算机图形学习题解答

中点Bresenham算法解: (1)根据题意斜率 k 3 p 1 ,因此x是最大位移方向，每
次在x方向上加1，y方向4上加1或加0。
(2)构造判别式：
d F(xM , yM ) F(xi 1, yi 0.5) yi 0.5 k(xi 1)
y
y y
1
(d 0) (d 0)
(3)误差项递推：
4 2 2
45 2 2
1 1
5-2 2 4-2 2 1
(2)
1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0
T2
0
1 0 • 1 0 0 • 0 1 0 1 0 0
5 4 1 0 0 1 5 4 1 9 -1 1
4 1 1
8 3 1
7 3 1 • T2= 6 6 1
7 7 1
2 6 1
d1的初始值：d1 F a 0.5,1 a2 b2 0.25 a
下面绘制椭圆弧的上半部分. x是最大位移方向,每次走一步,在x方向上减1,y方向上加1或0. 构造判别式:
d2 F (xi 1, yi 0.5) b2 (xi 1)2 a2 ( yi 0.5)2 a2b2
yi1
解：（1）先将p1(x1,y1)平移到原点；
（2）顺时针旋转；
1 0 0 cos -sin 0 cos
-sin
0
T
0
1
0
•
sin
cos
0
sin
cos
0
x1 y1 1 0
0 1 -x1cos y1sin x1cos y1sin 1
其中：
arctg
y2 x2
y1 x1
6.7如图所示四边形 ABCD，求绕P（5，4)点分别旋转45和90 的变换矩阵，并求出各端点坐标，画出变换后的图形。

Bresenham画圆算法与中点画圆法

Bresenham画圆算法与中点画圆法Bresenham画圆算法不失⼀般性，假设圆的圆⼼位于坐标原点（如果圆⼼不在原点，可以通过坐标平移使其与原点重合），半径为R。

以原点为圆⼼的圆C有四条对称轴：x = 0, y = 0, x = y和x = -y。

若已知圆弧上⼀点P1＝C（x, y），利⽤其对称性便可以得到关于四条对称轴的其它7个点，即： P2＝C（x,－y）， P3＝C（－x, y）， P4＝C（－x,－y）， P5＝C（y，x）， P6＝C（－y，x）， P7＝C（y，－x）， P8＝C（－y，－x）。

这种性质称为⼋对称性。

因此，只要扫描转换⼋分之⼀圆弧，就可以通过圆弧的⼋对称性得到整个圆。

【Bresenham算法】简单图形的扫描转换常⽤算法是Bresenham算法。

它的思想在于⽤误差量来衡量点选取的逼近程度。

其过程如下：以平⾯⼆维图形的扫描转换为例，设要画的图形⽅程为F(x, y)=0，要画的区域为[x0, x]（不妨设x⽅向是最⼤位移⽅向，即△x > △y），则Ｆ(x,y) 也是⼀个误差度量函数，我们拿离散的点值代⼊如果⼤于0则正向偏离，否则负向偏离，等于0的情况⽐较少，它表⽰的是不偏离即恰好与真实点重合。

既然x是最⼤位移⽅向，那每次对x⾃增1，相应的y可以选择不增或增1(或-1，具体问题具体分析)，选择的⽅法就是d = F(x + 1, y ± 0.5)的正负情况进⾏判断从⽽选择y的值。

实际情况中还要考虑到浮点数的计算问题，因为基本的图形扫描转换算法最好能够硬件实现，所以摆脱浮点数是最好的，常⽤的⽅法是对d 进⾏递推，⽽不是直接由Ｆ(x,y)给出(直接给出速度会慢)。

【圆的扫描转换算法】以画圆为例，给出圆⼼的坐标(0, 0)和半径Ｒ，求圆图像的最佳逼近点。

圆是中⼼对称的特殊图形，所以可以将圆⼋等分，则只须对⼋分之⼀圆孤求解，其它圆孤可以由对称变换得到，我们求的⼋分之⼀圆孤为(0, R) -(R√2,R√2)，可知最⼤位移⽅向是x⽅向，x0 = 0, y0 = R，每次对x⾃增，然后判断y是否减1，直到x >= y为⽌(从点(0, R)到圆的⼋分之⼀处就有这种情况)。

中点算法画圆

为了能以任意点为圆心画圆，我们可以把圆心先设为视点（相当于于将其平移到坐标原点），然后通过中点法扫描转换后，再恢复原来的视点（相当于将圆心平移回原来的位置）。

圆心位于原点的圆有四条对称轴x=0,y=0,x=y和x=-y,从而圆上一点(x,y),可得到其关于四条对称轴的七个对称点，这称为八对称性，下面的函数就用来显示(x,y)及其七个对称点.void CirclePoints(int x,int y,long color,CDC *pDC){//第1象限pDC->SetPixel(x,y,color);pDC->SetPixel(y,x,color);//第2象限pDC->SetPixel(-x,y,color);pDC->SetPixel(-y,x,color);//第3象限pDC->SetPixel(-y,-x,color);pDC->SetPixel(-x,-y,color);//第4象限pDC->SetPixel(x,-y,color);pDC->SetPixel(y,-x,color);}中点画圆算法就是每部单位间隔取样并且计算离圆最近的位置。

在继续之前，我这里补充一个关于圆对称性的知识点，通过在圆中计算考虑使用对称性计算开销可以减小到原来的1/8。

对称性质原理：（1）圆是满足x轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置；（2）圆是满足y轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置；（3）圆是满足y = x or y = -x轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置；通过上面三个性质分析得知，对于元的计算只需要分析其中1/8的点即可。

例如：分析出来目标点(x,y)必然存在(x,-y),(-x,y),(-x,-y),(y,x),(y,-x),(-y,x),(-y,-x)的另外7个点。

关于中心画圆算法，通过计算x = 0到 x = y的1/8圆的范围，然后通过对称原理得到其他7/8个点的信息。

中点圆生成算法

中点圆生成算法
中点圆生成算法是一种用于绘制圆形的算法，其基本原理是利用对称性和计算机的离散化特性，通过逐步绘制圆弧上的点来构建整个圆形。

具体而言，该算法的步骤如下：
1. 首先确定圆心和半径，以及绘制圆形时所用的像素点的大小。

2. 将圆心作为起始点，并将其赋值为圆弧上的第一个像素点。

3. 然后，从圆弧的起点开始向右绘制像素点，每次绘制一个像素点并计算下一个像素点的位置，直至到达圆弧的右侧。

4. 在绘制像素点时，需要利用对称性来减少计算量。

具体而言，可以根据圆弧的8个象限中的对称性来确定每个像素点的位置和颜色。

5. 绘制完右侧的像素点后，再从圆弧的顶端开始向下绘制像素点，直到绘制完整个圆形。

6. 在绘制像素点的同时，还要记录下对称点的位置，并在下一次绘制时利用这些点来减少计算量。

总之，中点圆生成算法是一种相对简单而且高效的算法，可以用于在计算机屏幕上绘制各种大小的圆形。

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