椭圆双曲线抛物线习题课.许兴华

合集下载

高三数学每周一测(抛物线).许兴华

高三数学每周一测(抛物线).许兴华(附注:答案详见《百度文库》PPT 课件.许兴华)班级学号姓名一、选择题（每小题10分，共60分）1．抛物线2y ax =的焦点与双曲线2213x y -=的左焦点重合，则这条抛物线的方程是（）A ．24y x =B ．24y x =-C ．2y =-D ．28y x =- 2．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值是（）A ．43B ．75C ．85D ．33．设12,,0,x x R a ∈>常数定义运算“*”：22121212()(),x x x x x x *=+--若0x ≥，则动点(P x 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 4．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 任作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ的长分别为p 、q ，则11p q+的值为（） A ．2aB ．12aC ．4aD ．4a 5．点M 是抛物线2y x =的动点，点N 是圆221:(1)(4)110C x y x y ++-=-+=关于直线对称曲线C 上的一点，则MN 的最小值是（）A ．12- B ．12- C ．2 D 1 6．已知抛物线21x y =+上一定点A （－1，0）和两动点P ，Q ，当PA PQ ⊥时，点Q的横坐标的取值范围是（）A ．(,3]-∞-B ．[1,)+∞C ．[－3，1]D ．(,3][1,)-∞-+∞二、填空题（每小题10分，共40分）7．设点P 是抛物线2x y =上到直线23y x =-的距离最短的点，F 是该抛物线的焦点，则PF = ．8．定点N （1，0），动点A 、B 分别在如图所示的抛物线x y 42=及椭圆22143x y +=的实线部分上运动，且AB //x 轴，则NAB l ∆的周长的取值范围是．9．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．能使此抛物线方程为210y x =的条件是．10．椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左准线为l ，左、右焦点分别为F 1、F 2，抛物线C 2的准线为l ，一个焦点为F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则12112F F PF PF PF -等于．三、解答题（共20分）11．已知抛物线C ：2y ax =，点P （1，－1）在抛物线C 上，过点P 作斜率为k 1、k 2的两条直线，分别交抛物线C 于异于点P 的两点112212(,),(,),0.A x y B x y k k +=且满足（1）求抛物线C 的焦点坐标；（2）若点M 满足BM MA = ，求点M 的轨迹方程．。

NNSZ圆锥曲线定值问题.许兴华

NNSZ 圆锥曲线定值问题.许兴华(附详细答案)例1：已知，椭圆C 经过点(1,3/2)A ，两个焦点为(1,0)(1,0).-（I ）求椭圆C 的方程；（II ）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.例2：已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>3,右准线方程为 3.x =（I ）求双曲线C 的方程；（II ）设直线l 是圆22:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A,B ，证明AOB ∠的大小为定值.例3：如图所示，过抛物线22(0)y px p =>上一定点000(,)(0)p x y y >作两条直线分别交抛物线于1122(,),(,).A x y B x y （1）求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求12y y y +的值，并证明：直线AB 的斜率是非零常数.例4：已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA λ= 2,,AF MB BF λ=求证12λλ+为定值.NNSZ 圆锥曲线定值问题参考答案1．解：（I ）由题意，1c =，可设椭圆方程为22221.1x y b b +=+因为A 在椭圆上，所以22191,14b b +=+解得223,3/4b b ==-（舍去）.所以椭圆方程为22 1.43x y += （II ）设直线AE 方程为：(1)3/2y k x =-+，代入22/4/31x y +=得：22(34)k x ++ 24(32)4(3/2)120.k k x k -+--=设(,),(,).E E F F E x y F x y 因为点(1,3/2)A 在椭圆上，所以224(3/2)12,3/2.34E E E k x y kx k k--==+-+又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以k-代,k 可得224(3/2)12,3/2.34F F F k x y kx k k+-==-+++所以直线EF 的斜率()21/2.F E E F EF F E F Ey y k x x kk x x x x --++===--即直线EF 的斜率为定值，其值为1/2.2．解：（I）由题意得2/3,/a c c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得1,a c ==所以222 2.b c a =-=所以双曲线C 的方程为22/2 1.x y -=（II ）点0000(,)(0)P x y x y ≠在圆222x y +=上，圆在点00(,)P x y 处的切线l 的方程为0000/()y y x y x x -=--，化简得00 2.x x y y +=由2200/212x y x x y y ⎧-=⎨+=⎩ 及22002,x y +=得222000(34)4820.x x x x x --+-=因为切线l 与双曲线C 交于不同的两点A,B 且 2002,x <<所以20340,x -≠且222000164(34)(82)0,x x x ∆=--->设A,B 两点的坐标分别为1122(,),(,),x y x y 则20012122200482,.3434x x x x x x x x -+==--因为c o s ,O A O BA OB O A O B⋅=⋅且2121212001021/(2)(2)OA OB x x y y x x y x x x x ⋅=+=+-- 12212x x x =+-+ 2200120122200821[42()]342x x x x x x x x x --++=+--22200022008(82)43434x x x x x --+-- 22002200822803434x x x x --=-=--.所以AOB ∠的大小为90.小结：定值通常是指在一定的情境下，不随其它因素的改变的量.定值问题可能以选择、填空题的形式出现，考查特殊与一般的转化思想，也可能以证明等解答题面目出现，着重考查逻辑推理能力.求定值的基本方法是：先将变动元素用参数表示，然后计算出所需结果与该参数无关；也可将变动元素置于特殊状态下，探求出定值，然后予以证明. 3．【思路点拨】两直线斜率存在且倾斜角互补，可知其斜率互为相反数.用作差法求 101010102()PA y y pk x x x x y y -==≠-+化简整理即可求解.[精析]（1）当2p y =时，8p x =.又抛物线22y px =的准线方程为.2p x =-由抛物线定义得，所求距离为5().828p p p--=（2）设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率PB k .由2211002,2y px y px ==，相减得，101010()()2(),y y y y p x x -+=-故101010102().PA y y pk x x x x y y -==≠-+同理可得20202().PB pk x x y y =≠+由PA 、PB 倾斜角互补知.PA PB k k =-即102022p py y y y =-++，所以1212002, 2.y y y y y y ++=-=-故证明：设直线AB的斜率为,AB k 由2211222,2,y px y px ==相减得212121()()2(),y y y y p x x -+=-所以211221122().AB y y p k x x x x y y -==≠-+将12002(0)y y y y +=->代入得1202,AB p pk y y y ==-+所以AB k 是非零常数.4．解析：（I ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则由题意知 1.b =22251251 5.55a a =-=∴=即 ∴椭圆C 的方程为22 1.5x y += （II ）方法一：设A 、B 、M 点的坐标分别为11220(,)(,)(0,).A x y B x y M y 、、易知F 点的坐标为（2，0）.1110111,(,)(2,).MA AF x y y x y λλ=∴-=--0111112,.11y x y λλλ∴==++将A点坐标代入到椭圆方程中，得22011121()() 1.511y λλλ+=++ 去分母整理得2211010550.y λλ++-=同理，由2MB BF λ=得2222010550.y λλ++-=12,λλ∴是方程22010550x x y ++-=的两个根，1210.λλ∴+=-方法二：设A 、B 、M 点的坐标分别11220(,)(,)(0,).A x y B x y M y 、、又易知F 点的坐标为（2，0）.显然直线l 斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是(2).y k x =-将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得2222(15)202050.k x k x k +-+-= 2212122220205,.1515k k x x x x k k-∴+==++ 又12,MA AF MB BF λλ==,将各点坐标代入得121212,.22x xx x λλ==-- 121212121212122()210.2242()x x x x x x x x x x x x λλ+-∴+=+===----++ 小结：利用向量相等的充要条件的坐标表示是沟通函数关系和构建参数方程的桥梁，要充分认识向量的坐标表示.。

高中数学每周一测(圆锥曲线).许兴华

高中数学每周一测.圆锥曲线２０１２.１０.１２一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于 ( )A ．4B ．5C ．8D ．102．双曲线221102x y -=的焦距为 ( )A ．32B ．3C ．22D ． 23．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2-=x ，则抛物线的方程是 ( )A ．x y 82-=B ．x y 82=C ．x y 42-=D ．x y 42=4．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离是 ( )A ．18B ．14C ．116D ．15．已知点M (3，0)，椭圆x24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则ΔABM 的周长为( )A ．4B ．8C ．12D ．166．设椭圆x 2m 2＋y2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线x y 82=的焦点相同，离心率为21，则此椭圆的方程为 ( )A ．x 212＋y 216＝1B ．x 216＋y 212＝1C ．x 248＋y 264＝1D ．x 264＋y 248＝17．已知双曲线x 22－y 22＝1的准线经过椭圆x 24＋y 2b2＝1(b ＞0)的焦点，则b ＝( )A ．3 B. 5 C. 3 D. 28．已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 ( )A ．x 25－y 24＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 23－y 26＝1D ．x 26－y 23＝19．已知点P 是抛物线y 2＝－8x 上一点，设P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线x ＋y －10＝0的距离是d 2，则d 1＋d 2的最小值是 ( )A ． 3B ．2 3C ．6 2D ．310．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 ( )A ．95B ．3C ．977D ．9411．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝16xB ．y 2＝8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝42x12．已知双曲线x 29－y 216＝1，其右焦点为F ，P 为其上一点，点M 满足|MF →|＝1，MF →·MP →＝0，则|MP →|的最小值为 ( )A ． 3B ．3C ．2D . 2 ∵x 0≤－3或x 0≥3，∴|MP →|2min ＝3，∴|MP →|m i n ＝ 3.二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷对应横线上)13．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 2－y 23＝1的右焦点重合，则p 的值为________．14．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为________．15．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．16．设M 是椭圆x 24＋y 23＝1上的动点，A 1和A 2分别是椭圆的左、右顶点，则MA 1→·MA 2→的最小值等于________．三、解答题(本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．18．（本小题满分12分）已知椭圆C :2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)圆4322=+y x 的切线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求△AOB面积的最大值(O 为坐标原点).高中数学每周一测.圆锥曲线(参考答案)1．D 解析：∵a 2＝25，∴a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.2．B 解析：由双曲线方程得22210,212==∴=a b c ，于是2==c c B 3．B 解析：∵,22-=-p∴p ＝4，∴抛物线的方程x px y 822==. 4．A 解析：由y x 412=知，p ＝18，所以焦点到准线的距离为p ＝18.5．B 解析：M (3，0)是椭圆的焦点，而y ＝k (x ＋3)过椭圆的另一个焦点(－3，0)，所以ΔABM 的周长为4a ＝8.6．B 解析：抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝42m ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝16n 2＝12，7．C 解析：已知双曲线的准线方程为x ＝±a 2c ＝±22＋2＝±1，∴椭圆的焦点坐标为(±1,0)，即c ＝1. ∴b 2＝4－1＝3，∴b ＝ 3.故选C. 8．A 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，圆C 的圆心C (3,0)，半径r ＝2，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝93b a 2＋b2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝4a 2＝5.9．C 解析：抛物线y 2＝－8x 的焦点F (－2,0)，根据抛物线的定义知，d 1＋d 2＝|PF |＋d 2，显然当由点F 向直线x ＋y －10＝0作垂线与抛物线的交点为P 时，d 1＋d 2取到最小值，即|－2＋0－10|2＝6 2. 10．D 解析：设椭圆短轴的一个端点为M .由于a ＝4，b ＝3，∴c ＝7<b .∴∠F 1MF 2<90°，∴只能∠PF 1F 2＝90°或∠PF 2F 1＝90°. 令x ＝±7得y 2＝9⎝⎛⎭⎫1－716＝9216，∴|y |＝94. 即P 到x 轴的距离为94.11．C 解析：由AF →＝FB →及|AF →|＝|AC →|知在R t △ACB 中，∠CBF ＝30°，|DF |＝p 2＋p2＝p ，∴AC ＝2p ，BC ＝23p ，BA →·BC →＝4p ·23p ·c o s 30°＝48，∴p ＝2.抛物线方程为y 2＝4x .12．A 解析：∵|MF →|＝1，F 为定点，∴点M 在以F 为圆心，1为半径的圆上，又P 在双曲线上，设P (x 0，y 0)，则x 209－y 2016＝1，∴y 20＝169x 20－16，∵MF →·MP →＝0，∴MF ⊥MP ， ∴|MP →|2＝|PF |2－|MF |2＝(x 0－5)2＋y 20－1＝(x 0－5)2＋169x 20－17＝259x 20－10x 0＋8＝259(x 0－95)2－1，13．答案：4解析：双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为(2,0)，由题意，p2＝2，∴p ＝4.14．答案：2 解析：由于双曲线渐近线方程为bx ±ay ＝0，故点P 到直线的距离d ＝2ba 2＋b 2＝2,∴a ＝b ，即双曲线为等轴双曲线，故其离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.15．答案：22解析：因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22.16．答案：－1解析：设M (x 0，y 0)，则MA 1→＝(－2－x 0，－y 0)， MA 2→＝(2－x 0，－y 0)∴MA 1→·MA 2→＝x 20＋y 20－4＝x 20＋⎝⎛⎭⎫3－34x 20－4＝14x 20－1，显然当x 0＝0时，MA 1→·MA 2→取最小值为－1.17解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋bx 2＝4y得x 2－4x －4b ＝0(*)∵直线l 与抛物线相切, ∴△＝(－4)2－4×(－4b )＝0, ∴b ＝－1(2)由(1)知b ＝－1，方程(*)为x 2－4x ＋4＝0 解得x ＝2，代入x 2＝4y 中得，y ＝1，∴A (2,1) ∵圆A 与抛物线准线y ＝－1相切, ∴r ＝|1－(－1)|＝2. 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.18.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x ⊥轴时，AB = （2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+．2=，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=， 122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+． 22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤．当且仅当2219k k=，即3k =时等号成立．当0k =时，AB =，综上所述ma x2AB =．∴当AB 最大时，A O B △面积取最大值m a 132S A B =⨯=．。

椭圆,双曲线,抛物线练习题及答案

椭圆,双曲线,抛物线练习题及答案1、已知椭圆方程为 $x^2/23+y^2/32=1$，则这个椭圆的焦距为（） A．6 B．3 C．35 D．652、椭圆 $4x^2+2y^2=1$ 的焦点坐标是（） A．(-2,0),(2,0) B．(0,-2),(0,2) C．(0,-1/2),(0,1/2) D．(-2/2,0),(2/2,0)3、$F_1$，$F_2$ 是定点，且 $FF_{12}=6$，动点$M$ 满足 $MF_1+MF_2=6$，则 $M$ 点的轨迹方程是（）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段4、已知方程$x^2+my^2=1$ 表示焦点在$y$ 轴上的椭圆，则 $m$ 的取值范围是（） A．$m1$ D．$1<m<5$5、过点 $(3,-2)$ 且与椭圆 $4x^2+9y^2=36$ 有相同焦点的椭圆方程是（）A．$x^2y^2/15+10=1$ B．$x^2y^2/152+102=1$ C．$x^2/10+y^2/15=1$ D．$x^2y^2/102+152=1$6、若直线 $y=mx+1$ 与椭圆 $x^2+4y^2=1$ 只有一个公共点，那么 $m^2$ 的值是（）A．$1/2$ B．$3/4$ C．$2/3$ D．$4/5$7、已知椭圆 $C:x^2/9+y^2/2=1$，直线 $l:x/10+y=1$，点$P(2,-1)$，则（） A．点 $P$ 在 $C$ 内部，$l$ 与 $C$ 相交B．点 $P$ 在 $C$ 外部，$l$ 与 $C$ 相交 C．点 $P$ 在 $C$ 内部，$l$ 与 $C$ 相离 D．点 $P$ 在 $C$ 外部，$l$ 与 $C$ 相离8、过椭圆 $C:x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的焦点引垂直于 $x$ 轴的弦，则弦长为（） A。

$2b^2/a$ B。

$b^2/a$ C。

$b/a$ D。

$2b/a$9、抛物线 $x+2y^2=0$ 的准线方程是（） A。

圆锥曲线的习题课.许兴华

2 ( 1,0 ) ( 0 ,1). 2 故PEF能成为以EF为 k
E
M
F
o
兴 T 华
N S E 许E V课
x
底的等腰三角形此时k 2 . , 2
Firstpage首页 upward return next last 铃
件
3.
例 3.
y 2 2 px
[解](1) | PA | | PF || PA | | PN | | AH |, p (| PA | | PF |)min 4, 2 N
由 ( 4 2 k 2 )2 4 k 4 0 1 k 1且 k 0 .
由FP 1 (FA FB)知 : P( x p, y p)是AB的中点. 2 x1 x 2 2 2
xp 2 1 k
2
, y p k ( x p 1)
k
y
兴 T 华
N S E 许E V课
Firstpage首页 upward return next last 铃
件
兴 T 华
许E
N S
E
含义 : 中文许兴华 , 英文 Steven 代表双语教学
中间的S代表Steven, surpass , success .
最大的圆代表世界上最美好的图形 : 圆满成功 !
p 4 8, 即p 8, 2 2 抛物线方程为: y 16 x.
H
兴 T 华
N S E 许E V课
Firstpage首页 upward return next last 铃
件
y1 y2 (kx1 b)(kx2 b) k x1 x2 kb( x1 x2) b ...③

高三数学每周一测(抛物线)解答.许兴华

Firstpage首页 upward return next
y
y 10 x
2
A
M ( 2 ,1)
o
last
F
x
兴 T 华
许E
N S
E
B
铃
V
课
件
m 2ae m n 2a 1e 解 : 如图 , m e n 2a n 1e
N
n
F 1F 2 PF 1 2c m PF 1 PF 2 m n
upward
return
next
last
铃
许E
V
课
件
设 M (x , y ),所求 M MA , 则由 BM 的轨迹方程是 : 综上知 , x 1 x 2 2 (k 1 k 2 ) xx 1(y 1且 y 5 ). , 2 2 y1 y2 y 又 k 1 k 2 0, x 1 .
4t 3t 8 3 2 4 8 d t t 5 5 3 3
3 2 2 20 3 20 (t ) , 5 3 9 5 9 2 4 故当 t 时 ,d min . 3 3
Firstpage首页 upward return ne
last 铃
o
N
last 铃
许E
N S
x
兴 T 华
E
V
课
件
8.定点N(1,0) , 动点A, B分别在图中抛物线y 4x 2 2 y x 及椭圆 1的实线部分上运动, 且AB//x轴, 则 4 3 ΔNAB的周长L的取值范围是 .
2
10 ( ,4) 3y
A
B

椭圆双曲线抛物线大题训练题(含答案)

椭圆双曲线抛物线训练题一、解答题（共21题；共195分）1.已知椭圆Γ：的左，右焦点分别为F1( ，0)，F2( ，0)，椭圆的左，右顶点分别为A，B，已知椭圆Γ上一异于A，B的点P，PA，PB的斜率分别为k1，k2，满足.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若过椭圆Γ左顶点A作两条互相垂直的直线AM和AN，分别交椭圆Γ于M，N两点，问x轴上是否存在一定点Q，使得∠MQA=∠NQA成立，若存在，则求出该定点Q，否则说明理由.2.已知椭圆C：=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A（，）在椭圆C上，且△F1AF2的面积为。

（1）求椭圆C的方程。

（2）设直线y=kx+1和椭圆C交于B，D两点，O为坐标原点，判断在y轴上是否存在点E，使∠OEB=∠OED。

若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。

3.已知椭圆的离心率为，点椭圆的右顶点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线的斜率和为，求直线l的方程.4.设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.5.设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．（12分）（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．6.设椭圆的右焦点为，过得直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.7.已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（12分）（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．8.设椭圆的左焦点为，左顶点为，顶点为B.已知（为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.9.已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为（1）证明:（2）设为的右焦点，为上一点，且，证明:10.已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．11.设抛物线的焦点为F，过F点且斜率的直线与交于两点，. （1）求的方程。

2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)

2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)椭圆、双曲线、抛物线1.椭圆的定义椭圆是平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

椭圆的集合P={M|MF1+MF2=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数。

当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，P点的轨迹是线段；当2a<|F1F2|时，P点不存在。

2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)或y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)。

椭圆的范围为-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)。

椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b)或A1(0,-a)，A2(0,a)，B1(-b,0)，B2(b,0)。

椭圆的长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b，焦距为2c，离心率为e=c/a，其中c^2=a^2-b^2.3.应用题1) 2017·浙江高考题：椭圆x^2/9+y^2/4=1的离心率是5/3.解析：根据标准方程，a=3，b=2，则c=5，离心率e=c/a=5/3.2) 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(m>0)的焦距为8，则m的值为3或41.解析：根据椭圆的性质，c^2=a^2-b^2，焦距为2c=8，则c=4，a^2=16+b^2.代入m>0的条件，解得b=2√(m+1)，a=4，代入c^2=a^2-b^2，解得m=3或41.解析：当焦点在x轴上时，椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m^2}=1$，根据离心率的定义$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{m^2}{4}}$，所以$\frac{m^2}{4}=1-e^2$，代入得到 $m=\sqrt{4-4e^2}$。

圆锥曲线蝴蝶模型结论许兴华数学-概述说明以及解释

圆锥曲线蝴蝶模型结论许兴华数学-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以如下所示：1.1 概述圆锥曲线是数学中一个重要的研究领域，它涉及到各种曲线和直线在三维空间中的相互关系。

本文将探讨圆锥曲线与蝴蝶模型之间的联系，并介绍许兴华数学在这一领域的贡献。

圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线三种类型。

它们是由一个固定点（焦点）和一个动点（定点）组成的特殊曲线。

圆锥曲线在科学、工程和自然界中广泛应用，例如天文学中的行星轨道、物理学中的抛物线运动、通信技术中的反射和折射等。

蝴蝶模型是一种描述蝴蝶翅膀形状的数学模型。

它使用圆锥曲线来近似蝴蝶翅膀的形状，从而研究蝴蝶的飞行特性和稳定性。

蝴蝶模型的研究对于理解昆虫飞行的机理以及设计更有效的机器人飞行器具有重要意义。

许兴华是一位具有卓越数学才能的数学家，他在圆锥曲线和蝴蝶模型的研究中做出了重要贡献。

他提出了一种新的数学模型，通过改进圆锥曲线的参数化方法，使蝴蝶模型更加精确地描述了蝴蝶翅膀的形状和运动轨迹。

这一模型在生物力学、飞行力学等领域产生了广泛的应用和影响。

本文的目的是介绍圆锥曲线和蝴蝶模型的基本概念和特性，探讨许兴华数学在圆锥曲线蝴蝶模型研究中的贡献，并分析其对数学和应用科学的影响和启示。

通过深入探讨这一领域的研究成果，我们可以更好地理解数学在实际问题中的应用价值，以及如何利用数学方法来解决实际世界中的复杂问题。

在接下来的章节中，我们将首先介绍圆锥曲线的定义和特性，然后介绍蝴蝶模型的基本概念和应用，最后深入探讨许兴华数学的贡献，并分析其对圆锥曲线蝴蝶模型研究的重要性和启示。

最后，我们将总结本文的主要内容并展望未来的研究方向。

文章结构部分的内容可以参考以下写法：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述和讨论：第一部分为引言部分，介绍本文所涉及的主题，并对文章的结构和目的进行概述。

第二部分为正文部分，包括以下三个主要内容，分别是圆锥曲线的定义和特性、蝴蝶模型的介绍和应用、以及许兴华数学的贡献。

高二椭圆单元练习.许兴华

高二椭圆单元练习.许兴华一、选择题：1、已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离是3，则P 点到另一个焦点的距离是（）A ．2B ．3C ．5D ．72、方程2212516x y k k+=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的范围是（） A.1625k -<< B. 9162k -<<C. 9252k <<D.92k > 3、若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα⋅-⋅=所表示的曲线是椭圆，则方程22(cos )(sin )1x y αα+++=所表示的圆的圆心在第（）象限A.一B. 二C. 三D. 四4、已知点11(,)P x y 是椭圆2212516x y +=上的一点，12,F F 是焦点，若1230F PF ︒∠=，则12PF F ∆的面积是（）A.3B.16(23)C. 16(23)D.165、已知椭圆221:143x y C +=，椭圆2C 与椭圆1C 有相同的离心率且过点(A ，则椭圆2C 的方程为（）A ．2211612x y += B ．2211216x y += C ．221328x y +=D ．221832x y +=6、已知椭圆22:1164x y C +=，A B 、两点在椭圆上，且AB 的中点是()2,1，则AB 的方程是（） A ．042=-+y xB ．042=++y xC ．042=+-y xD ． 042=--y x7、已知椭圆221:318C x y +=，A 是椭圆上任一点，O 是坐标原点,则O A 、两点的最大距离是（）A ．22B ．23C ．2D ．68、已知椭圆221:12516x y C +=，A 为椭圆上一动点，O 为坐标原点，则OA 的中点的轨迹方程为-（）A ．116425422=+y xB ．1325022=+y x C ．16410022=+y x D ．116225222=+y x 9、已知椭圆方程是221124x y +=，12F F 、为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，若12PF PF ⊥，则这样的P 有几个？（）A ．2B ．3C ．4D ．010、已知椭圆方程221128x y +=，P 是椭圆上一点，F 为右焦点，直线l 方程为x=6，设P 到l 的距离为d ，则:PF d 等于（）A ．22 B ．41 C ．33 D ．31二、填空题：11、已知椭圆221:431C x y +=，则长轴长为 .12、椭圆221123x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1||PF 是2PF 的倍.13、椭圆方程2241x y +=，直线l ： 12y x =-，若l 与椭圆交于A B 、两点，则AB 的长等于 .14、已知椭圆方程为22221x y a b+=，若椭圆上存在一点P ，使12F PF ∠为直角，则离心率e 的范围是 .15、若椭圆方程是221189x y +=，直线AB 过椭圆右焦点，且OA OB ⊥，则AB 的方程为 .16、若椭圆方程为221169x y +=，则该椭圆的内接菱形的周长是 . 三、解答题：（本大题共6小题）17.如图，已知椭圆122-+m y m x =1(2≤m ≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A 、B 、C 、D ，设f (m )=||AB |－|CD ||(1)求f (m )的解析式；(2)求f (m )的最大最小值18、椭圆的中心在原点，它的短轴长是22，相应于焦点)0)(0,(>c c F 的直线ca x l 2:=与x 轴相交于点A ，FA OF 2=，过点A 的直线与椭圆相交于P,Q 两点. （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若,0=OP 求直线PQ 的方程.19、若椭圆221169x y +=，直线y x b =+与椭圆交于A B 、两点，若OA OB OC += ，且C 在椭圆上，求b 的值.20、已知椭圆22114425x y +=和直线:l y x m =+，若椭圆上存在点两点A,B 关于l 对称，求m 的范围.21、椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线1=+y x 交于点P,Q 两点，且,OQ OP ⊥其中O 为坐标原点. （1）求2211b a +的值；（2）若椭圆的离心率e 满足2233≤≤e ，求椭圆长轴的取值范围.22.如图、椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点.（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l绕点F 任意转动，值有,|| ||||222AB OB OA <+求a 的取值范围.椭圆单元练习题参考答案一、1．D 2.C 3.D 4.B 5.A 6.A 7.B 8.A 9.C 10.C 二、11．332 12.7 13.524 14.)1,22( 15.)3(22-±=x y 16.596或20三.17.解:(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a 、b 、c ，则a 2=m ,b 2=m －1,c 2=a 2－b 2=1∴椭圆的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0)故直线的方程为y =x +1,又椭圆的准线方程为x =±ca 2,即x =±m∴A (－m ,－m +1),D (m ,m +1)考虑方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=11122m y m x x y ,消去y 得(m －1)x 2+m (x +1)2=m (m －1) 整理得 (2m －1)x 2+2mx +2m －m 2=0 Δ=4m 2－4(2m －1)(2m －m 2)=8m (m －1)2∵2≤m ≤5,∴Δ＞0恒成立，x B +x C 122--m m又∵A 、B 、C 、D 都在直线y =x +1上∴|AB |=|x B －x A |=2=(x B －x A )·2,|CD |=2(x D －x C ) ∴||AB |－|CD ||=2|x B －x A +x D －x C |=2|(x B +x C )－(x A +x D )| 又∵x A =－m ,x D =m ,∴x A +x D =0 ∴||AB |－|CD ||=|x B +x C |·2=|mm212--|·2=m m 222 (2≤m ≤5)故f (m )=mm222，m ∈［2,5］ (2)由f (m )=mm 222，可知f (m )=m1222-又2－21≤2－m1≤2－51，∴f (m )∈［324,9210］故f (m )的最大值为324，此时m =2;f (m )的最小值为9210，此时m =518.解：（1）)0,(,22ca Ab =而FA OF 2=,)(22c ca c -=∴ ，即222b c =,42=∴c ,62=∴a∴椭圆方程为36,12622===+a c e y x . （2）设PQ 与椭圆交于()()2211,,,y x Q y x P ，PQ 方程为()3-=x k y , 0=⋅ , OQ OP ⊥∴,12211-=⋅∴x y x y 把()3-=x k y 代入06322=-+y x , ()0633222=--+x k x()062718312222=-+-+k x k x k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+=+22212221316273118k k x x k k x x ()()212133x x x k x k -=-⋅-, 222222231627)93118331627(kk k k k k k +--=++-+- 2222222312763192754627k k k k k k k +-=+++--⋅ ,222763k k -=,512=k ,55±=∴k . ∴ 直线PQ 的方程为()355-±=x y . 19.解：设),(),,(2211y x B y x A ,),(33y x C把直线b x y +=代入椭圆方程221169x y +=得144)(16922=++b x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+2514416253222121b x x b x x OC OB OA =+ ，∴OABC 是平行四边形.∴⎩⎨⎧+=+=213213y y y x x xC 在椭圆上，,1441692323=+∴y x 144)(16922123=++y y x , 144)(16253232922122=++++⨯⋅∴b x b x b , 144251816253232922222=⋅+⨯⋅∴b b ,2222221225181621816⨯=⨯+⨯⨯∴b b 16925)1832(1816222⨯⨯=+⨯b b 2225100=b4252=b ,25±=∴b , b ∴的值为25±. 20．解：设()()1122,,,A x y B x yA B 、在椭圆上，22112222114425114425x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩22221212014425x x y y --∴+=A B 、关于直线l 对称，1AB AB k ∴=-直线的斜率，即12121y y x x -=--，121214425x x y y ++∴=，而A,B 的中点在直线l 上，121222y y x x m ++∴=+， 1212144(2)25()x x m x x ∴++=+，即12288119()m x x =-+.121212,1212x x -<<-<< ，1191192424m ∴-<<. 而把直线y x m =+代入椭圆方程，得2225144()25144x x m ++=⨯.22228841442516941441690m m ∴∆=+⋅⋅⋅-⋅⋅>.即2169m <，1313m -<<.综上所述，1191192424m -<<. 21.解：（1）设1122(,),(,)P x y Q x y ，把直线1y x =-代入椭圆方程，得222222(1)b x a x a b +-=，即222222()20a b x ax a a b +-+-= 2122222212222a x x a b a a b x x a b ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OP OQ ⊥ ，12121y y x x ∴⋅=-. 1212(1)(1)x x x x ∴-⋅-=-，222222222210a a b a a b a b-∴-+=++.22222a b a b ∴+=，即22112a b +=. （2）得22221a b a =-，e ≤≤222232a c a c⎧≤⎪∴⎨≥⎪⎩，即222232a a ⎧≤⎪∴⎨≥⎪⎩22（a -b ）（a -b ）,231,1222a a a ≤≤∴≤≤≤≤∴椭圆的长轴的范围是⎡⎣.22. 解：(Ⅰ)设M ，N 为短轴的两个三等分点，因为△MNF 为正三角形，所以OF =,即132, 3.3b b 解得＝ 2214,a b =+=因此，椭圆方程为221.43x y += (Ⅱ)设1122(,),(,).A x y B x y(ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时，2222222222,4(1),.OA OB a AB a a OA OB AB +==>+<因此，恒有(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：22221,1,x y x my a b =++=代入整理得22222222()20,a b m y b my b a b +++-=所以222212122222222,b m b a b y y y y a b m a b m -+==++ 因为恒有222OA OB AB +<，所以∠AOB 恒为钝角. 即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ==+< 恒成立.2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++ 2222222222222222222222(1)()210.m b a b b m a b m a b m m a b b a b a a b m +-=-+++-+-+=<+ 又a 2+b 2m 2>0,所以-m 2a 2b 2+b 2-a 2b 2+a 2<0对m ∈R 恒成立，即a 2b 2m 2> a 2 -a 2b 2+b 2对m ∈R 恒成立.当m ∈R 时，a 2b 2m 2最小值为0，所以a 2- a 2b 2+b 2<0.a 2<a 2b 2- b 2, a 2<( a 2-1)b 2= b 4, 因为a >0,b >0,所以a <b 2,即a 2-a -1>0, 解得aa 15-舍去)，即a 15+综合（i ）(ii)，a 的取值范围为（152+,+).∞。

南宁三中数学培优双曲线.许兴华

南宁三中高二数学培优双曲线.许兴华2012.10.16一、选择与填空题1．已知12F F 、为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=,则P 到x 轴的距离为（）A ．2B ． 2C D2．已知双曲线E 的中心为原点，F （3，0）是E 的焦点，过F 的直线l 与 E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --，则E 的方程为（）A ．22136xy-= B ．22145xy-= C ．22163xy-= D ．22154xy-=3．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为（）A ．22136108xy-= B ．221927xy-= C ．22110836xy-= D ．221279xy-=4．设1a >，则双曲线22221(1)x yaa -=+的离心率e 的取值范围是（）A ．2)B ．C ．(2,5)D ．5．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．340x y ±=B ．350x y ±=C ．430x y ±=D ．540x y ±=6．设双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点A 、B 则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 .7．若点O 和点F （-2，0）分别为双曲线2221(0)x y a a-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP ⋅的取值范围为（）A ．)3⎡-+∞⎣ B ．)33,⎡++∞⎣C ．7,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A B 3C ．215.213++D9．点00(,)A x y 在双曲线221432xy-=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x = .10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线112422=-y x 上一点M 的横坐标是3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为11．如图所示，直线2x =与双曲线22:14xy Γ-=的渐近线交于12E E 、两点.记1122,.OE e OE e == 任取双曲线Γ上的点P ，若12()OP ae be a b R =+∈ 、，则a b 、满足的一个等式是 .二、解答题12．已知定点(1,0),(2,0)A F -，定直线1:2l x =.不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍.设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N. （1）求E 的方程；（2）以线段MN 为直径的圆是否过点F ？说明理由.13．如图6，动点M 与两定点(1,0)(2,0)A B -、构成,MAB ∆且2M BA M AB ∠=∠，设动点M 的轨迹为C. （1）求轨迹C 的方程；（2）设直线2y x m =-+与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q R 、，且PQ PR <，求P R P Q的取值范围.14．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22C x y-=:2 1.（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点.若M F=，求M点的坐标；（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为(k k<的直线l交C于P、Q两点，若l与圆221+=相切，x y求证：;⊥OP OQ。

专题53 椭圆、双曲线、抛物线综合练习(新高考地区专用)(原卷版)

专题53 椭圆、双曲线、抛物线综合练习一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若双曲线122=-m y x 的一个焦点为)03(，-，则=m ( )。

A 、22 B 、8 C 、9 D 、122．已知双曲线C ：12222=-by a x (0>a ，0>b )的焦距为10，点)12(，P 在C 的渐近线上，则C 的方程为( )。

A 、152022=-y x B 、120522=-y x C 、1208022=-y x D 、1802022=-y x 3．如图，从双曲线15322=-y x 的左焦点F 引圆322=+y x 的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则=-||||MT MO ( )。

A 、35-B 、3C 、5D 、35+4．已知椭圆12222=+by a x (0>>b a )的两焦点分别为1F 、2F 。

若椭圆上有一点P ，使21PF PF ⊥，则a b 的取值范围是( )。

A 、]210(， B 、]220(， C 、]2221[， D 、)122[， 5．已知抛物线y x 542-=的焦点与双曲线1422=+y a x (R a ∈)的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )。

A 、x y 41±= B 、x y 21±= C 、x y 2±= D 、x y 4±= 6．设双曲线116922=-y x 的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则AFB ∆的面积为( )。

A 、1532B 、1534C 、517D 、519 7．已知直线)2(+=x k y (0>k )与抛物线C ：x y 82=相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若||2||FB FA =，则=k ( )。

椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案.

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分）1. 椭圆221259x y +=的焦距为。

（） A ． 5 B. 3 C. 4 D 82．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为（）A ．221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 221610x y -= 3．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于（） A ．67 B. 37 C. 185 D 1654.椭圆22143x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为（） A ． 1 B. 2 C. 3 D 45．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。

（）A ．22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ︒∠=且123AF AF =,则双曲线的离心率为（）A ．52B. 102C. 152 D 57.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4B ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.37169．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8二．填空题。

2019高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线练习

地地道道的达到第 2 讲椭圆、双曲线、抛物线高考定位1. 圆锥曲线的方程与几何性质是高考的要点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题； 2 直线与圆锥曲线的地点关系是命题的热门，特别是相关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转变化归与分类议论思想方法的考察 .真题感悟1.(2018 ·全国Ⅱ卷 ) 双曲线x 222－y2＝ 1( >0， >0) 的离心率为3，则其渐近线方程为 ( )ababA. y ＝± 2xB. y ＝± 3x23C.y ＝± 2 xD. y ＝± 2 xc22b分析法一由题意知， e ＝a ＝ 3 ，所以 c ＝ 3 a ，所以 b ＝ c － a ＝ 2a ，即 a ＝ 2，所b以该双曲线的渐近线方程为y ＝± a x ＝± 2x .cb 2bb法二由 e ＝ a ＝ 1＋ a ＝ 3，得 a ＝ 2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝± a x ＝± 2x .答案 A222.(2018 ·全国Ⅰ卷 ) 设抛物线 C ： y ＝ 4x 的焦点为 F ，过点 ( －2， 0) 且斜率为 3的直线与 C → → )交于 M ， N 两点，则 FM · FN ＝ ( A.5B.6C.7D.8( x ＋2) ，由 y 2x ＋ 2），过点 ( － 2， 0) 且斜率为2 的直线的方程为 y ＝ 2 ＝（分析 3得 x 2－ 5x33 y2＝4 ，x＋4＝ 0. 设 M ( x ， y ) ， N ( x， y ) ，则 y>0， y >0，依据根与系数的关系，得x ＋x ＝ 5， x x2112212121＝4. 易知 (1 ， 0) ，所以 →＝ (x 1－ 1， 1) ，→＝(x 2－1， 2) ，所以 → · → ＝(x 1－ 1)(2－ 1)F FM y FNyFM FN x＋y 1y 2＝ x 1x 2－ ( x 1＋ x 2 ) ＋ 1＋ 4 x 1x 2＝ 4－ 5＋ 1＋ 8＝ 8.答案Dx 2 y 23.(2018 ·全国Ⅱ卷 ) 已知 F 1，F 2 是椭圆 C ：a 2＋b 2＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点， A 是 C 的左极点，呵呵复生复生复生3点 P 在过 A 且斜率为 6 的直线上， △PF 1F 2 为等腰三角形， ∠ F 1F 2P ＝120°，则 C 的离心率为()2 1 1 1 A.B.C.D.3234分析由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上，以下图，设| F 1F 2| ＝ 2c ，∵△ PF 1F 2 为等腰三角形，且∠ F 1F 2P ＝120°，∴ | PF 2| ＝ | F 1F 2| ＝ 2c .∵| OF 2| ＝ c ，过 P 作 PE 垂直 x 轴，则∠ PF 2E ＝60°，所以 F 2E ＝c ，PE ＝ 3 c ，即点 P (2 c ， 3c ). ∵点 P 在过点 A ，且斜率为 33c3 6的直线上，∴ 2c ＋ a ＝6 ，解得c 1 1＝，∴＝.a 4e 4答案D2x24.(2018 ·全国Ⅰ卷 ) 设椭圆 C ：＋ y ＝ 1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，点 M 的坐标为 (2 ， 0).(1) 当 l 与 x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2) 设 O 为坐标原点，证明：∠ OMA ＝∠ OMB .(1) 解由已知得 F (1 ， 0) ， l 的方程为 x ＝ 1.把 x ＝ 1 代入椭圆方程x 2y 2A 的坐标为2 2＋＝ 1，可得点1，或 1，－ .22 222又 M (2 ， 0) ，所以 AM 的方程为 y ＝－ 2 x ＋2或 y ＝ 2 x － 2.(2) 证明当 l 与 x 轴重合时，∠ OMA ＝∠ OMB ＝0°.当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直均分线，所以∠ OMA ＝∠ OMB .当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y＝ ( － 1)( k ≠0)， (， y ) ， ( ， y ) ，12 2 1则 x < 2，x< 2，直线 MA ， MB 的斜率之和为y 1y 2k ＋ k ＝x －2＋ x － 2.12MAMB由 y 1＝ k ( x 1－ 1) ， y 2＝ k ( x 2－1) 得2kx x － 3k （x ＋ x ）＋ 4kk MA ＋ k MB ＝ 1 21 2.（ x 1－ 2）（ x 2－ 2）将 y＝ ( －1)代入x 2 ＋ y 2＝1 得k x2呵呵复生复生复生(2 k 2＋ 1) x 2－ 4k 2x ＋ 2k 2－ 2＝0.4k 22k 2－ 2所以， x 1 ＋ x 2＝2k 2＋ 1， x 1x 2＝2k 2＋ 1.则 2 1 x 2 －3(1＋ 2) ＋4k 4k 3－ 4k － 12k 3＋ 8k 3＋ 4k kxk x x2k ＋1进而 k MA ＋ k MB ＝ 0，故 MA ， MB 的倾斜角互补 .所以∠ OMA ＝∠ OMB .综上，∠ OMA ＝∠ OMB .考点整合1. 圆锥曲线的定义(1) 椭圆： | MF 1| ＋ | MF 2| ＝2a (2 a ＞| F 1F 2|) ；(2) 双曲线： || MF 1| － | MF 2|| ＝ 2a (2 a ＜ | F 1F 2|) ；(3) 抛物线： | MF | ＝ d ( d 为 M 点到准线的距离 ).温馨提示应用圆锥曲线定义解题时，易忽略定义中隐含条件致使错误 .2. 圆锥曲线的标准方程x 2 y 2 y 2 x 2(1) 椭圆： a 2＋b 2＝ 1( a ＞ b ＞ 0)( 焦点在 x 轴上 ) 或 a 2＋ b 2＝ 1( a ＞ b ＞ 0)( 焦点在 y 轴上 ) ；x 2 y 2y 2 x 2(2) 双曲线：a 2－ b 2＝ 1( a ＞0，b ＞ 0)( 焦点在 x 轴上 ) 或 a 2－ b 2＝1( a ＞ 0，b ＞ 0)( 焦点在 y 轴上 ) ；(3) 抛物线： y 2＝ 2px ，y 2＝－ 2px ， x 2＝ 2py ，x 2＝－ 2py ( p ＞ 0). 3. 圆锥曲线的重要性质(1) 椭圆、双曲线中 a ， b ， c 之间的关系222cb 2①在椭圆中： a ＝ b ＋ c ；离心率为 e ＝ a ＝ 1－ a 2.②在双曲线中：2 22c ＝b 2c ＝ a ＋ b ；离心率为 e ＝1＋2.aa (2) 双曲线的渐近线方程与焦点坐标x 2 y 2b①双曲线 a－b ＝ 1( a>0，b>0) 的渐近线方程为 y ＝± a x ；焦点坐标 F ( － c ， 0) ， F ( c ， 0).2212y 2 x 2a②双曲线 a 2 －b 2 ＝ 1( a >0，b >0) 的渐近线方程为 y ＝± b x ，焦点坐标 F 1(0 ，－ c ) ， F 2(0 ， c ). (3) 抛物线的焦点坐标与准线方程2pp ①抛物线 y ＝2px ( p >0) 的焦点 F 2， 0 ，准线方程 x ＝－ 2.2pp②抛物线 x ＝2 py ( p >0) 的焦点 F 0， 2 ，准线方程 y ＝－ 2.4. 弦长问题呵呵复生复生复生(1) 直线与圆锥曲线订交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入. 即当斜率为 k ，直线与圆锥曲线交于 A ( x 1，y 1) ，B ( x 2， y 2) 时， | AB | ＝ 1＋ k 2| x 1－x 2| ＝ 1＋ k 2 （x 1＋ x 2） 2－ 4x 1x 2.(2) 过抛物线焦点的弦长2112212 p21 2 2抛物线 y ＝ 2px ( p >0) 过焦点 F 的弦 AB ，若 A ( x ， y ) ， B ( x ， y ) ，则 x x ＝ 4 ， y y ＝－ p ，弦长 | AB | ＝x 1＋ x 2＋ p .热门一圆锥曲线的定义及标准方程x 2 y 2【例 1】 (1)(2018 ·天津卷 ) 已知双曲线 a 2 －b 2＝ 1( a >0，b >0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A ，B 两点 . 设 A ， B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1 和 2 ，且 d 1＋ 2＝ 6，则双曲线的方程为()ddx 2 y 2 x 2 y 2A. 4－ 12＝ 1B. 12－ 4＝1x 2 y 2x 2 y 2C. 3－ 9＝1D. 9－ 3＝1(2)(2018 ·烟台二模 ) 已知抛物线 C ： x 2＝ 4 y 的焦点为 F ，M 是抛物线 C 上一点，若 FM 的延长线交 x 轴的正半轴于点 N ，交抛物线 C 的准线 l→ →NT | ＝ ________.于点 T ，且 FM ＝ MN ，则 | 分析12x 2(1) 由 d ＋ d ＝ 6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以 b ＝ 3. 因为双曲线 a 2－ y 2 c a 2＋ b 2a 2＋ 9 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以 a ＝2，所以 a 2 ＝ 4，所以a2＝ 4，解得 a ＝ 3，所x 2 y 2以双曲线的方程为3－ 9＝1.(2) 由 x 2＝ 4y ，知 F (0 ，1) ，准线 l ： y ＝－ 1.设点 M ( x 0， y 0) ，且 x 0>0，y 0>0.→ → FN 的中点， N 是 FT 中点，利用抛物线由FM ＝ MN ，知点 M 是线段定义，| |＝| ′| ＝ 0 ＋1，且 | ′|＝2| ′| ＝2. 又 2( y 0＋1) ＝|′|＋| ′|＝3，MFMMyFFNNFFNN113知 y 0＝ 2. ∴ | MF | ＝ 2＋ 1＝ 2，进而 | NT | ＝ | FN | ＝ 2| MF | ＝ 3.答案(1)C (2)3研究提升1. 凡波及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转变成到准线的距离办理. 如本例 (2) 中充分运用抛物线定义实行转变，使解答简捷、明快.呵呵复生复生复生2. 求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算” . 所谓“定型”，就是指确定种类，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a 2， b 2， p 的值，最后辈入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程 .x 2 y 2【训练 1】 (1)(2017 ·全国Ⅲ卷 ) 已知双曲线 C ： a 2－ b 2＝ 1( a >0， b >0) 的一条渐近线方程为5 x 2 y 2y ＝ 2 x ，且与椭圆 12＋ 3 ＝ 1 有公共焦点，则 C 的方程为 ()A. x 2 y 2 x 2y 2－＝ 1B. －＝18 10 45 C. x 2 y 2x 2y 2－＝ 1D. －＝15 443(2)(2018 ·衡水中学调研x 2212) P 为椭圆 C ： 2 ＋y＝ 1 上一动点， F ，F 分别为左、右焦点，延伸1 至点，使得 || ＝| 2| ，记动点 Q 的轨迹为 Ω ，设点 B 为椭圆 C 短轴上一极点，直线F P Q PQ PFBF 2 与 Ω 交于 M ， N 两点，则 | MN |＝ ________.b5分析 (1) 由题设知 a ＝ 2 ，①x 2 y 2又由椭圆 12＋ 3 ＝ 1 与双曲线有公共焦点，易知 a 2＋ b 2＝ c 2＝ 9，②由①②解得 a ＝ 2， b ＝ 5，则双曲线 C 的方程为x 2 y 24－ 5＝ 1. (2) ∵ | PF | ＋| PF | ＝ 2a ＝2 2，且 | PQ | ＝| PF | ，122∴| F 1Q | ＝ | F 1P | ＋ | PF 2| ＝ 2 2.∴Ω 为以 F 1( － 1， 0) 为圆心， 2 2为半径的圆 .∵ | BF 1| ＝ | BF 2| ＝ 2， | F 1F 2| ＝ 2，∴ BF 1⊥ BF 2，故| MN |＝ 2 | F 1M | 2－ | BF 1| 2＝ 2 （2 2）2－（ 2） 2＝2 6. 答案 (1)B (2)2 6 热门二圆锥曲线的几何性质x 2 y 2【例 2】 (1)(2018 ·全国Ⅲ卷 ) 已知双曲线 C ：a 2－b 2＝ 1( a >0，b >0) 的离心率为 2，则点 (4 ，0) 到 C 的渐近线的距离为 ()A. 2B.23 2 D.22C.2x 2 y 2x 2y 2若双曲线 N(2)(2018 ·北京卷改编 ) 已知椭圆 M ： 2＋2＝ 1( a >b >0) ，双曲线 N ： 2－ 2＝1.a bm n的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的极点，则椭圆 M呵呵复生复生复生地地道道的达到的离心率为 ________.分析 (1) 法一由离心率 e ＝ c＝ 2，得 c ＝ 2a ，又 b 2＝ c 2－ a 2，得 b ＝a ，所以双曲线 Ca的渐近线方程为4＝y ＝± x . 由点到直线的距离公式，得点 (4 ，0) 到 C 的渐近线的距离为1＋ 12 2.法二离心率 e ＝ 2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是 y ＝± x ，∴点 (4 ， 0) 到 C 的渐近线的距离为4＝2 2.1＋ 1(2) 设椭圆的右焦点为 F ( c ， 0) ，双曲线 N 的渐近线与椭圆 M 在第一象限内的交点为 A ，由题意可知A c ， 3c，22c 23c 2 2 22222由点 A 在椭圆 M 上得， 4a2＋4b 2＝ 1，∴ b c ＋ 3a c ＝ 4a b ，∵b 2＝ a 2－c 2，∴ ( a 2－ c 2) c 2＋ 3a 2c 2＝ 4a 2( a 2－ c 2) ，则 4a 4－ 8a 2c 2＋ c 4＝ 0，e 4－8 2 ＋ 4＝ 0，∴ e 2＝4＋2 3( 舍)，2＝ 4－2 3. 由 0< <1，得＝ 3－1.eeee答案 (1)D (2) 3－ 1研究提升 1. 剖析圆锥曲线中 a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性责问题的要点.2. 确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其要点就是确定一个对于a ，b ，c 的方程 ( 组 )或不等式 ( 组 ) ，再依据 a ，b ，c 的关系消掉 b 获得 a ，c 的关系式 . 成立对于 a ，b ，c 的方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ) ，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3. 求双曲线渐近线方程要点在于求 b a1”变成“ 0”，然a 或b 的值，也可将双曲线等号右侧的“后因式分解获得 .x 2 y 2【训练 2】 (1)(2018 ·成都质检 ) 设椭圆 C ： a 2＋b 2＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点分别为 F 1， F 2，点 E (0 ， t )(0< t <b ). 已知动点 P 在椭圆上，且点 P ，E ，F 2 不共线，若△ PEF 2 的周长的最小值为 4 ，则椭圆C 的离心率为 ()b3213 A. 2B. 2C. 2D. 32 2(2) 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 x2－ y2＝ 1( a＞ 0，＞ 0) 的右支与焦点为F 的抛物线x 2a bb＝2py ( p ＞ 0) 交于 A ，B 两点，若 | AF | ＋ | BF | ＝ 4| OF | ，则该双曲线的渐近线方程为 ________.分析(1) 由椭圆的定义及对称性，△ PEF 的周长的最小值为 2a . ∴ 2a ＝ 4b ， a ＝ 2b ，则 c ＝2呵呵复生复生复生22c 3a －b ＝ 3b ，则椭圆 C 的离心率 e ＝ a ＝ 2 . (2) 设 A ( x 1， y 1 ) ， B ( x 2， y 2) ，x 2 y 2＝ 1，消去 x 得 a 2y 2－ 2pb 2y ＋ a 2b 2 ＝0，联立方程：a 2－b2x 2 ＝2py ，2b 2由根与系数的关系得y 1＋ y 2＝ a 2 p ，又∵ | AF | ＋| BF | ＝ 4| OF | ，∴ y1＋ p ＋ 2＋p ＝4× p，即 y 1 ＋ 2 ＝，y22y p22b 2 b 21 b 2∴ a 2 p ＝ p ，即 a 2＝ 2 a ＝2.2∴双曲线渐近线方程为y ＝± 2 x .2答案(1)A(2) y ＝± 2 x热门三直线与圆锥曲线考法 1直线与圆锥曲线的地点关系【例 3－1】 (2016 ·全国Ⅰ卷 ) 在直角坐标系 xOy 中，直线 l ： y ＝ t ( t ≠0) 交 y 轴于点 M ，交抛物线 C ： y 2＝ 2px ( p >0) 于点 P ， M 对于点 P 的对称点为 N ，连结 ON 并延伸交 C 于点 H .| OH |(1) 求| ON |；(2) 除 H 之外，直线 MH 与 C 能否有其余公共点？说明原因 .t 2解 (1) 如图，由已知得 M (0 ，t ) ， P 2p ， t ，t 2又 N 为 M 对于点 P 的对称点，故 N p ， t ，p故直线 ON 的方程为 y ＝ t x ，将其代入 y 2＝2px 整理得 px 2－ 2t 2x ＝ 0，2t 22t 2解得 x 1＝ 0， x 2 ＝ p ，所以 Hp ， 2t .| OH |所以 N 为 OH 的中点，即 | ON |＝ 2.(2) 直线 MH 与 C 除 H 之外没有其余公共点，原因以下：直线的方程为y －＝ p ，即x ＝ 2t ( y － ).MH t 2t xp t代入 y 2＝ 2px 得 y 2－ 4ty ＋4t 2＝ 0，呵呵复生复生复生解得 y 1＝ y 2＝ 2t ，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 之外，直线 MH 与 C 没有其余公共点 .研究提升1. 此题第 (1) 问求解的要点是求点， H 的坐标 . 而第 (2) 问的要点是将直线的NMH方程与曲线 C 联立，依据方程组的解的个数进行判断 .2. 判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组获得交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的鉴别式来确定，需注意利用鉴别式的前提是二次项系数不为 0. 而且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.【训练 3】 (2018 ·潍坊三模 ) 已知 M 为圆 O ： x 2＋ y 2＝1 上一动点，过点 M 作 x 轴， y 轴的垂线，垂足分别为 A ，B ，连结 BA 延伸至点 P ，使得 | PA | ＝2，记点 P 的轨迹为曲线 C . (1) 求曲线 C 的方程；(2) 直线 l：＝ kx ＋与圆 O 相切，且与曲线 C交于，两点，直线 l 1 平行于 l 且与曲线Cy mD ES2相切于点 Q ( O ， Q 位于 l 双侧 ) ， △ ODE＝，求 k 的值 .S △ QDE 322解 (1) 设 P ( x ， y ) ， A ( x 0， 0) ，B (0 ， y 0) ，则 M ( x 0， y 0) 且 x 0＋ y 0＝ 1，由题意知 OAMB 为矩形，∴ | AB | ＝ | OM |＝ 1，→ →y ) ＝ 2( x 0，－ y 0) ，∴AP ＝ 2BA ，即 ( x － x 0， x－ yx 2y 2∴x 0＝ 3， y 0＝ 2 ，则 9 ＋ 4 ＝ 1，x 2 y 2故曲线 C 的方程为＋＝ 1.94(2) 设 l 1： y ＝kx ＋ n ，∵ l 与圆 O 相切，||∴圆心 O 到 l1m22＋ 1，①的距离 d ＝＝ 1，得 m ＝ kk 2＋ 1∵ l 1 与 l 距离d | m － n |，②2＝k 2＋ 11| · 1|△ ODE 2 DE d 1 | m| ＝2，∵S ＝＝d ＝ S △ QDE 1d 2 | m － n | 32| DE | · d 22∴m ＝－ 2n 或 m ＝ 5n ，又，位于 l 双侧，∴ ＝2 ，③O Qm 5n呵呵复生复生复生x 2 y 2联立 9 ＋ 4＝1，消去 y 整理得 y ＝kx ＋ n ，(9 k 2＋ 4) x 2＋ 18knx ＋ 9n 2－36＝ 0，由＝ 0，得 n 2＝ 9k 2＋ 4，④3 11 由①③④得k ＝±.11考法 2相关弦的中点、弦长问题x 2 y 2【例 3－ 2】 (2018 ·全国Ⅲ卷 ) 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C ： 4 ＋ 3 ＝ 1 交于 A ，B 两点，线段 AB 的中点为 M (1 ， m )( m >0).1(1) 证明： k <－ 2；→ → → → → →(2) 设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 FP ＋FA ＋ FB ＝ 0. 证明： | FA | ， | FP | ， | FB | 成等差数列，并求该数列的公差.(1) 证明设 A ( x 1， y 1) ，B ( x 2， y 2) ，2222x 1y 1 x 2y 2则 4＋ 3＝1， 4＋3＝1.两式相减，并由 y 1－ y 2得x 1＋ x 2 y 1＋y 2＝ 0.＝＋·12k43kx － xx 1 ＋x 2＝ 1， y 1＋ y 23 . ①由题设知 22 ＝m ，于是 k ＝－4mx 2 y 2因为点 M (1 ， m )( m >0) 在椭圆 4 ＋ 3 ＝ 1 内，123 1m∴ 4＋ 3 <1，解得 0<m <2，故 k <－2. (2) 解由题意得 F (1 ， 0). 设 P ( x 3， y 3) ，则( x 3－ 1， y 3) ＋( x 1－ 1， y 1) ＋ ( x 2－ 1， y 2) ＝ (0 ，0).由(1) 及题设得x ＝3－ ( x ＋ x) ＝ 1， y ＝－ ( y ＋ y ) ＝－ 2m <0.3123123又点 P 在 C 上，所以 m ＝ 4，1，－ 3→3进而 P 2 ，| FP | ＝2.→2x 1于是 | | ＝（ 2 y 2（2x 1 1－1）＋ 1＝1－1）＋3 1－＝2－ .FAxx42同理 | →| ＝ 2－ x 2.FB2所以 |→| ＋| →| ＝ 4－1(x1＋ 2) ＝3.FAFB 2 x故 2|→| ＝|→| ＋| →|，FP FA FB→ → →即| FA | ， | FP | ， | FB | 成等差数列 .设该数列的公差为d ，则→ →12| d | ＝ || FB | － | FA || ＝2| x 1－ x 2|11221 2② ＝ 2 （ x ＋x ）－ 4x x . 3将 m ＝ 4代入①得 k ＝－ 1.所以 l 的方程为 y ＝－ x ＋ 7，代入 C 的方程，并整理得 7 2－14 x ＋ 1＝0.4x 41 3 21故 x 1＋ x 2＝ 2， x 1x 2＝ 28，代入②解得 | d | ＝ 28 .3 21 3 21 所以该数列的公差为 28或－28.研究提升1. 在波及弦长的问题中，应娴熟地利用根与系数关系与弦长公式|AB |＝ 1＋ k 2| x 2 －x 1| ，设而不求计算弦长；波及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算 .2. 对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件>0，在用“点差法”时，要查验直线与圆锥曲线能否订交 .22【训练 4】 (2018 ·天津卷 ) 设椭圆x2＋ y2＝ 1(> >0) 的左焦点为，上极点为，已知椭圆a ba bF B5的离心率为 3 ，点 A 的坐标为 ( b ， 0) ，且 | FB | ·|AB | ＝ 6 2.(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线 l ：y ＝ kx ( k >0) 与椭圆在第一象限的交点为| AQ | P ，且 l 与直线 AB 交于点 Q . 若||＝PQ5 2 k 的值 .sin ∠( 为原点 ) ，求4 AOQOc 2 5解 (1) 设椭圆的焦距为 2c ，由已知有 a 2＝ 9，又由 a 2＝ b 2＋ c 2，可得 2a ＝ 3b .由已知可得， | FB | ＝a ， | AB | ＝ 2b ，由| FB | ·|AB | ＝ 6 2，可得 ab ＝ 6，进而 a ＝ 3， b ＝2.x2y2所以，椭圆的方程为＋＝1.9 4(2)设点 P的坐标为( x1， y1)，点 Q的坐标为( x2， y2). 由已知有 y1>y2>0，故| PQ|sin ∠AOQ＝y1－y2.又因为 | AQ| ＝y2 π，而∠ OAB＝4，sin ∠OAB故| AQ| ＝ 2y .2| AQ| 5 2sin 1 2由| |＝ 4 ∠ AOQ，可得5y ＝ 9y .PQy＝ kx，6k由方程组 2 y 2 1x 消去 x，可得 y ＝ 2 .9＋4＝ 1，9k ＋ 4 易知直线 AB的方程为 x＋ y－2＝0，y＝ kx， 2k由方程组x＋y－2＝0，消去x，可得y2＝k＋1.代入 5y1＝ 9y2，可得 5( k＋ 1) ＝ 3 9k2＋ 4，将等式两边平方，整理得56k2－50k＋ 11＝ 0，111解得 k＝2或 k＝28.111所以， k 的值为2或28.1.椭圆、双曲线的方程形式上可一致为Ax2＋ By2＝1，此中 A，B 是不等的常数， A＞ B＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆； B＞ A＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆； AB＜0时表示双曲线.2. 对波及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰入采用定义解题，会成效显然，定义中的定值是标准方程的基础.c3. 求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a， c，计算 e＝a；法二：依据已知条c件确定 a，b， c 的等量关系，而后把 b 用 a， c 代换，求a.4.弦长公式对于直线与椭圆的订交、直线与双曲线的订交、直线与抛物线的订交都是通用的，此公式能够记忆，也能够在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.5.求中点弦的直线方程的常用方法(1) 点差法，设弦的两头点坐标分别为( x1，y1) ， ( x2，y2) ，分别代入圆锥曲线方程，两式作y 1－ y 2差，式中含有x 1＋ x 2，y 1＋y 2，三个量，则成立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直x 1－ x 2线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2) 根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.一、选择题2 21.(2018 ·合肥调研 ) 已知双曲线： y2－ x 2＝ 1( >0， b >0) 的一条渐近线与直线2 x －＋1＝0C ab ay垂直，则双曲线 C 的离心率为 ()A.2B. 2C.3D. 5ab 22分析依题意， 2· － b ＝－ 1，∴ b ＝ 2a . 则 e ＝ 1＋ a ＝ 5，∴ e ＝ 5. 答案 D2.(2018 ·南昌质检 ) 已知抛物线： 2＝ 4 y ，过抛物线C 上两点， B 分别作抛物线的两条切C xA线 PA ， PB ， P 为两切线的交点，→ →O 为坐标原点，若 PA · PB ＝0，则直线 OA 与 OB 的斜率之积为()11A.－ 4B. －3C. －8D.－ 422分析设x A，x B ， x B，由 2＝，得 ′＝ x 所以 AP ＝ A B→·→＝，A x A ，B 4 x 4y y k x ， BP ＝ x，由4 2. 2 k2PAPB 0得 ⊥ . ∴x·x＝－ 1，则 A · B ＝－ 4，又 OA · OB ＝ x22＝－1.·x＝x xPA PBABx xkk A BA B2 24x A 4x B16 4答案A22y3.(2017 ·全国Ⅰ卷 ) 已知 F 是双曲线 C ： x －＝ 1 的右焦点， P 是 C 上一点，且PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是 (1 ， 3) ，则△ APF 的面积为 ()1 123 A.B.C.D.3232分析由 c 2＝a 2＋ b 2＝ 4 得 c ＝ 2，所以 F (2 ，0) ，2y 2将 x ＝ 2 代入 x － 3 ＝ 1，得 y ＝± 3，所以 | PF | ＝ 3.又 A 的坐标是 (1 ，3)，故△ APF 的面积为1×3×(2 － 1) ＝ 3 . 2 2答案D地地道道的达到：x224. 已知椭圆 2＋y2＝ 1( > >0) 的左、右焦点分别为 1， 2， O 为坐标原点， A 为椭圆上一C aba bF F点，∠ F AF ＝，连结 AF 交 y 轴于点，若 3| |＝ | | ，则该椭圆的离心率为()12π 2221 3510 A. 3B. 3C. 8D. 4分析设 | AF 1| ＝ m ， | AF 2| ＝ n .以下图，由题意可得∵ R t △ F 1AF 2∽ Rt △ MOF 2.∴ |AF 1|＝ | OM |＝ 1，则 n ＝ 3m . 又 | AF 1| ＋ | AF 2| ＝m ＋n ＝ 2a ， AF 2| | OF 2| 3|a 3 ∴m ＝ 2， n ＝ 2a .22 210 22在 Rt △ F 1AF 2 中， m ＋ n ＝ 4c ，即 4 a ＝ 4c ，2 c 2 10 10 ∴e ＝ a 2＝ 16，故 e ＝ 4 . 答案 D1， 2 分别为双曲线x225.(2018 ·石家庄调研 ) 已知 2－y2＝ 1( a >0， >0) 的左、右焦点，P 为双FFabb曲线上一点， PF 与 x 轴垂直，∠PFF ＝30°，且虚轴长为 2 2，则双曲线的标准方程为()21 2A. x 2－ y 2＝ 1B. x 2－ y 2 ＝14232222C.x－ y＝ 1D. x 2－ y＝14 8 2 分析如图，不如设点 P ( x ， y ) 在第一象限，则 PF ⊥ x 轴，2在 Rt △ PF 1F 2 中，∠ PF 1F 2＝30°， | F 1F 2| ＝ 2c ，2 34 3c2c13 ，则| PF | ＝3 ，| PF | ＝2 3又因为 | PF 1| －| PF 2| ＝ c ＝ 2a ，即 c ＝ 3a .3又 2b ＝ 2 2，知 b ＝ 2，且 c 2－ a 2＝ 2，进而得 a 2＝1， c 2＝ 3.x 2y 2故双曲线的标准方程为－ 2＝1.答案 D 二、填空题6.(2018 ·北京卷 ) 已知直线 l 过点 (1 ， 0) 且垂直于 x 轴 . 若 l 被抛物线 y 2＝ 4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为 ________.分析由题意知， a >0，对于 y 2 ＝4ax ，当 x ＝ 1 时， y ＝±2 a ，因为 l 被抛物线 y 2＝ 4ax 截得的线段长为 4，所以 4 a ＝4，所以 a ＝ 1，所以抛物线的焦点坐标为(1 ，0).答案 (1 ，0)x 2 y 27.(2018 ·江苏卷 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 a 2 － b 2＝ 1( a >0， b >0) 的右焦点 F ( c ，0) 到一条渐近线的距离为 3 ，则其离心率的值是 ________.2 cb分析不如设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ a x ，| bc |32223 2所以 a 2＋ b 2 ＝ b ＝ 2 c ，所以 b ＝ c － a ＝ 4c ，得 c ＝ 2a ，c所以双曲线的离心率e ＝ a ＝ 2.答案 28. 设抛物线 x 2＝ 4y 的焦点为 F ， A 为抛物线上第一象限内一点，知足| AF | ＝ 2；已知 P 为抛物线准线上任一点，当 | PA | ＋| PF | 获得最小值时，△ PAF 的外接圆半径为 ________. 分析由 x 2＝4 y ，知＝ 2，∴焦点 (0 ，1) ，准线 y ＝－ 1.pF依题意，设 A ( x 0， y 0)( x 0>0) ，p由定义，得 | AF | ＝ y 0＋2，则 y 0＝ 2－ 1＝ 1，∴ AF ⊥ y 轴 .易知当 P (1 ，－ 1) 时， | PA | ＋| PF | 最小，∴ | PF | ＝ 12＋（－ 1－ 1） 2＝ 5. 由正弦定理， 2 ＝ |PF |＝ 5 ＝ 5， R sin A 2 255所以△ PAF 的外接圆半径R ＝4.答案54三、解答题9.(2018 ·全国Ⅱ卷 ) 设抛物线 C ：y 2＝ 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k ( k >0) 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点， | AB | ＝8.(1) 求 l 的方程；(2) 求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程 .解(1) 由题意得 F (1 ， 0) ， l 的方程为 y ＝ k ( x －1)( k >0).设 A ( x 1， y 1) ， B ( x 2， y 2).y ＝ k （x －），由y 2＝ 4x1得 k 2x 2－ (2 k 2＋4) x ＋ k 2＝ 0.2 2＋4＝ 16k 2＋ 16>0，故 x 1＋x 2＝k2.k所以 | AB | ＝| AF | ＋ | BF | ＝ ( x ＋ 1) ＋ ( x ＋ 1) ＝4k 2＋ 4 .212k由题设知 4k 2＋4k 2 ＝ 8，解得 k ＝－ 1( 舍去 ) ， k ＝ 1.所以 l 的方程为 y ＝x － 1.(2) 由 (1) 得 AB 的中点坐标为 (3 ， 2) ，所以 AB 的垂直均分线方程为 y － 2＝－ ( x － 3) ，即 y ＝－ x ＋ 5.设所求圆的圆心坐标为( x 0， y 0) ，则0 ＝－ x 0y ＋ 5，2（ x 0＋ 1） 2＝（y － x ＋1）＋16.2x 0＝ 3， x 0＝11，解得或y 0＝ 2y 0＝－ 6.所以所求圆的方程为 ( x － 3) 2＋ ( y － 2) 2＝ 16 或 ( x － 11) 2＋ ( y ＋ 6) 2＝144.10.(2017 ·北京卷) 已知椭圆 C 的两个极点分别为 A ( － 2， 0) ， B (2 ，0) ，焦点在 x 轴上，离3心率为2.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不一样的两点 M ， N ，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E . 求证：△ BDE 与△ BDN 的面积之比为 4∶ 5.(1) 解设椭圆C 的方程为 x2y 2＝ 1( > >0).2＋ 2a b a ba ＝ 2，由题意得 c3 解得 c ＝ 3. 所以 b 2＝ a 2－ c 2＝ 1. a＝2，x 22所以椭圆 C 的方程为 4＋ y ＝ 1.(2) 证明设 ( ，)，则 ( ，0)， ( ，－ ).M m nD m N mn由题设知 ≠± 2，且n ≠0.m地地道道的达到n直线 AM 的斜率 k AM ＝，m ＋ 2故直线 DE 的斜率 k DE ＝－n .m ＋ 2所以直线 DE 的方程为 y ＝－ n( x － m ).直线 BN 的方程为 y ＝n( x －2).2－ mm ＋ 2 y ＝－n（ x － m ），联立ny ＝（ x － 2），2－ m2n （ 4－m ）解得点 E 的纵坐标 y E ＝－2 2.4－ m ＋ n22由点 M 在椭圆 C 上，得 4－ m ＝ 4n ，4En .所以 y ＝－5 12又 S △ BDE ＝2| BD | ·|y E | ＝ 5| BD | ·|n | ，1S △ BDN ＝ 2| BD | ·|n |.所以△与△ 的面积之比为 4∶ 5.BDE BDN11. 设 F ，F 分别是椭圆 C ：a22＋ b＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点， M 是椭圆 C 上一点，且 MF 与 x12x 2y223 3轴垂直，直线 MF 1 在 y 轴上的截距为 4 ，且 | MF 2| ＝ 5| MF 1|. (1) 求椭圆 C 的方程；22→ →(2) 已知直线 l ：y ＝ kx ＋t 与椭圆 C 交于 E 、F 两点，且直线 l 与圆 7x ＋ 7y ＝12 相切，求OE · OF 的值 ( O 为坐标原点 ). 解 (1) 设直线1与 y 轴的交点为，则 || ＝ 3 .MFNON 4∵MF 2⊥ x 轴，∴在△ F 1F 2M 中， ON 綉1MF 2，23则| MF 2| ＝ 2.3又| MF 2| ＋ | MF 1| ＝ 2a ， | MF 2| ＝ 5| MF 1| ，33∴ | MF 2| ＝ 4a ＝2，∴ a ＝2.2又| MF 2| ＝ b，∴ b 2＝ 3.a地地道道的达到∴椭圆 C 的标准方程为x 2＋ y 2＝ 1.4 3(2) 设 E ( x 1， y 1 ) ， F ( x 2， y 2) ，y ＝ kx ＋ t ，联立 x 2 y 2 消 y 得(3 ＋ 4k 2) x 2＋ 8ktx ＋ 4t 2 －12＝ 0.＋＝ 1，438kt4t 2－ 12∴x 1＋ x 2＝－ 3＋ 4k 2， x 1x 2＝ 3＋ 4k 2 ，＝ (8 kt ) 2－4(3＋ k2t 2－12)>0 ，得 t2＋ k 2，(*)4 )(4<34→ →x ＋ y y ＝ xx ＋ ( kx ＋t )( kx ＋ t )则OE · OF ＝ x1 1 21 21 22＝ (1 ＋ k 2) x 1x 2＋ kt ( x 1＋ x 2) ＋ t 2（ 1＋ k 2）（ 4t 2－ 12） 8k 2t 2 t 2（ 3＋ 4k 2）＝3＋4k 2 － 3＋ 4k 2＋ 3＋ 4k 2 7t 2－ 12（ 1＋ k 2）＝ 3＋ 4k 2. 又直线 l 与圆 7x 2＋ 7y 2＝12 相切，| t |1227 2∴ 1＋ k2＝7 ，则 1＋ k ＝12t 知足 (*) 式，7t 2 －12× 7 t 2→ → 12 故OE · OF ＝ 3＋4 2 ＝ 0.k呵呵复生复生复生。

椭圆、双曲线、抛物线习题(有答案)

1．双曲线222x y -=的焦距为（）A. 1B. 4C. 2D. 2．抛物线22y x =的焦点坐标是（）A. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C. 108⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 108⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 3．椭圆22143x y +=的焦距为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．双曲线2214x y -=的渐近线方程为（）A. 2xy =±B. 2y x =±C. 2y x =±D. y = 5．方程22121x y m m +=-为椭圆方程的一个充分不必要条件是（） A. 12m >B. 12m >且1m ≠ C. 1m > D. 0m >6且过点()2,0的椭圆的标准方程是( ) A. 2214x y += B. 2214x y +=或2214y x += C. 2241x y += D.2214x y +=或221416x y +=7．若点(P m 为椭圆22:12516x y C +=上一点，则m =（） A. 1± B. 12±C. 32±D. 52± 8．若坐标原点到抛物线2y mx = 的准线的距离为2 ，则m = （） A. 1+8 B. 1+4C. 4±D. 8±9．【2018届福建省福州市高三3月质量检测】已知双曲线的两顶点间的距离为4，则的渐近线方程为( ) A.B.C.D.10．已知m 是2，8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（） A.32或52 B. 32 C. 5 D. 32或5 11．若圆22:2210M x y x y +-++=与x 轴的交点是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，则p =（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 812．已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最大值为（）A.B. 9C.D. 1013.【2018届山东省泰安市高三上学期期末】若抛物线24x y =上的点A 到焦点的距离为10，则A 到x 轴的距离是_________.14．已知椭圆的两焦点坐标分别是()20-，、()20，，并且过点(233，，则该椭圆的标准方程是__________．15．【2018届河北省武邑中学高三上学期期末】已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．16．【2018届北京市朝阳区高三第一学期期末】已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线方程为0x y +=，则双曲线C 的方程是________． 1.【答案】B【解析】双曲线的标准方程即： 22122x y -=，则：222222,4,2a b c a b c ==∴=+==，双曲线的焦距为： 24c =. 本题选择B 选项. 2．【答案】D【解析】转化为标准方程， 212x y =，所以焦点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选D.3．【答案】B【解析】在椭圆22143x y +=中， 224,3a b ==，所以21,1c c == ，故焦距22c =，选B.4．【答案】A【解析】Q 双曲线2214x y -=∴渐近线方程为2204x y -=，即2x y =±故选A . 5．【答案】C【解析】方程22121x y m m +=-表示椭圆的充要条件是0{210 21m m m m >->≠-，即12m >且1m ≠，所以方程22121x y m m +=-为椭圆方程的一个充分不必要条件是1m >，故选C.6．【答案】D【解析】当椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由离心率为3，∴222214b a c a =-=∵椭圆过点（2，0），∴2222201a b +=，∴a2=4，∴b2=1，∴椭圆标准方程为2214x y += 当椭圆的焦点在y 轴上，同理易得： 221416x y += 故选D.7．【答案】D【解析】由题意可得： (22312516m+=，则： 22125,2544m m ==，据此可得： 52m =±. 本题选择D 选项. 8．【答案】A9．【答案】B【解析】由双曲线的方程可知：，即，∴，解得：令，得到故选：B.10．【答案】D【解析】由m 是2，8的等比中项得2264m m =⨯∴=±因此当4m =时,342,413,,c a c e a ===-===当4m =-时, 1,415,5,ca c e a ==+===所以离心率是3或5,选D.11．【答案】B【解析】圆M 的方程中，令0y =有： 2210,1x x x -+=∴=，据此可得抛物线的焦点坐标为()1,0，则： 1,22pp =∴=. 本题选择B 选项.12．【答案】A【解析】连接P 点和另一个焦点即为E ，=. 故答案为：A.13.【答案】9【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为()0,1，准线方程为1y =-∵抛物线24x y =上的点A 到焦点的距离为10 ∴点A 到x 轴的距离是1019-= 故答案为9.14．【答案】2211612x y +=15．【答案】2【解析】抛物线的准线为2p x =-，与圆相切，则342p+=， 2p =．16．【答案】22122x y -=【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为20（，），所以双曲线C 的右焦点坐标为20（，），因为双曲线的一条渐近线方程为0x y +=，所以a b = ，所以224a a += ，所以22a = ，所以双曲线方程为22122x y -=．。