高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选(含答案)
高考数学最新真题专题解析—函数的图象及性质
高考数学最新真题专题解析—函数的图象及性质考向一 由函数图像求解析式【母题来源】2022年高考全国乙卷(文科)【母题题文】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像,则该函数是( )A. 3231x x y x -+=+B. 321x x y x -=+C. 22cos 1x x y x =+D.22sin 1x y x =+ 【答案】A【试题解析】设()321x x f x x -=+,则()10f =,故排除B; 设()22cos 1x x h x x =+,当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,0cos 1x <<,所以()222cos 2111x x x h x x x =<≤++,故排除C;设()22sin 1x g x x =+,则()2sin 33010g =>,故排除D.故选:A. 【命题意图】本类题主要考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等规律性质,属于中档题目.【命题方向】这类试题命题形式主要有由函数的性质及解析式选图,试题难度不大,多为中低档题,函数图像是历年高考的热点,其重点是基本初等函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现.常见的命题角度有:(1)由函数的图像来研究函数的性质;(2)由函数图像求解析式;(3)由解析式判断大致图像.【得分要点】函数图象的识辨可从以下方面入手:(1) 从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2) 从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3) 从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4) 从函数的周期性,判断图像的循环往复.(5) 从函数的特征点,排除不合要求的图象.考向二 由解析式判断图像【母题来源】2022年高考全国乙卷(文科)【母题题文】函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为( ) A. B. C. D.【答案】A【试题解析】令()()33cos ,,22x x f x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦, 则()()()()()33cos 33cos x x x x f x x x f x ---=--=--=-,所以()f x 为奇函数,排除BD ;又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,330,cos 0x x x -->>,所以()0f x >,排除C.故选:A. 【命题意图】本类题主要考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等规律性质,属于中档题目.【命题方向】这类试题命题形式主要有由函数的性质及解析式选图,试题难度不大,多为中低档题,函数图像是历年高考的热点,其重点是基本初等函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现.常见的命题角度有:(1)由函数的图像来研究函数的性质;(2)由函数图像求解析式;(3)由解析式判断大致图像.【得分要点】函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的周期性,判断图像的循环往复.(5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.真题汇总及解析1.函数()22cos6x x y x -=-的图像大致是( )A .B .C .D .【答案】C【解析】【分析】利用排除法求解,先判断函数的奇偶性,再利用函数的变化情况判断即可【详解】定义域为R ,因为()()()22cos(6)22cos6()x x x x f x x x f x ---=--=--=-,所以函数为奇函数,所以排除AB , 当012x π<<时,062x π<<,则cos60x >,因为当012x π<<时,220x x -->,所以当012x π<<时,()22cos60x x y x -=->,所以排除D ,故选:C 2.从函数y x =,2y x ,2x y -=,sin y x =,cos y x =中任选两个函数,记为()f x 和()g x ,若()()()h x f x g x =+或()()()h x f x g x =-的图象如图所示,则()h x =( )A .2sin x x -B .cos x x +C .2sin x x -+D .cos x x -【答案】C【解析】【分析】 根据图象可知函数()h x 过定点(0,1),当0x <时()1h x >,为减函数;当0x >时()0h x >或()0h x <交替出现,结合排除法和选项中函数的图象与性质,即可得出结果.【详解】由图象可知,函数()h x 过定点(0,1),当0x <时,()1h x >,为减函数;当0x >时,()0h x >或()0h x <交替出现.若2()sin h x x x =-,则()00h =,不符合题意,故A 错误;若()cos h x x x =+,则(0)1h =,即函数()h x 过定点(0,1),又1cos 1x -≤≤,当1x <-时,()cos 0h x x x =+<,不符合题意,故B 错误;若()cos h x x x =-,则(0)1h =-,不符合题意,故D 错误.故选:C3.函数()2cos sin ln 2cos x f x x x-=⋅+的部分图象大致为( ) A .B .C .D .【答案】C【解析】【分析】先判断函数的奇偶性得函数为奇函数,进而排除AB 选项,再根据0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时的函数符号排除D 选项得答案.【详解】解:由题意可知,函数()f x 的定义域为R ,因为2cos()2cos ()sin()ln sin ln ()2cos()2cos x x f x x x f x x x----=-=-⋅=-+-+, 所以()f x 为奇函数,图象关于原点对称,排除选项A ,B ;当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,sin 0,2cos 2cos 0x x x >+>->,所以2cos 012cos x x -<<+, 所以2cos ()sin ln02cos x f x x x-=⋅<+,排除D. 故选:C.4.已知R α∈,则函数()e x x f x α=的图象不可能是( ) A . B .C .D .【答案】C【分析】 令12α=、2α=、1α=-,结合导数研究()f x 的单调性及值域判断可能的图象,即可得答案.【详解】 当12α=时,()e x x f x =且0x ≥,则12()e x x f x x-'=, 所以1(0,)2上 ()0f x '>,()f x 递增;1(,)2+∞上 ()0f x '<,()f x 递减,且(0)0f =, 所以A 图象可能;当2α=时,2()0ex x f x =≥且R x ∈,则(2)()e x x x f x '-=, 所以(,0)-∞上()0f x '<,()f x 递减,(0,2)上 ()0f x '>,()f x 递增,(2,)+∞上 ()0f x '<,()f x 递减,所以B 图象可能;当1α=-时,1()e xf x x =且0x ≠,则21()e x x f x x +'=-, 所以(,1)-∞-上()0f x '>,()f x 递增,(1,0)-上 ()0f x '<,()f x 递减,(0,)+∞上 ()0f x '>,()f x 递增,又0x <时()0f x <,而0x >时()0f x >,所以D 图象可能;综上,排除A 、B 、D.故选:C5.函数()2222x xx x f x -+=+的部分图象大致是( ) A . B . C . D .【答案】B【分析】先判断()f x 的奇偶性,可排除A ,再由单调性、特值点排除选项C 、D ,即可得出答案.【详解】函数的定义域为R ,因为()()2222x x x x f x f x -+-==+,所以()f x 是偶函数,排除选项A ;当x →+∞时,考虑到22y x x =+和22x x y -=+的变化速度,知x →+∞时,()0f x →,故排除选项C ,D .故选:B .6.函数()22x f x x -=⋅在区间[]22-,上的图象可能是( ) A . B .C .D .【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性,再根据特殊值判断即可;【详解】解:∵()()22x f x x f x --=⋅=,∴()f x 是偶函数,函数图象关于y 轴对称,排除A ,B 选项;∵()()122f f ==,∴()f x 在[0,2]上不单调,排除D 选项.故选:C7.下图中的函数图象所对应的解析式可能是( )A .112x y -=-B .112xy =-- C .12x y -=-D .21x y =--【答案】A【解析】【分析】 根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点,利用排除法即可求解.【详解】解:根据图象可知,函数关于1x =对称,且当1x =时,1y =-,故排除B 、D 两项; 当1x >时,函数图象单调递增,无限接近于0,对于C 项,当1x >时,12x y -=-单调递减,故排除C 项.故选:A.8.函数()x b f x a -=的图像如图所示,其中a ,b 为常数,则下列结论正确的是( )A .1a >,0b <B .1a >,0b >C .01a <<,0b >D .01a <<,0b <【答案】D【解析】【分析】 由函数的单调性得到a 的范围,再根据函数图像平移关系分析得到b 的范围.【详解】由函数()x b f x a -=的图像可知,函数()x b f x a -=在定义域上单调递减,01a ∴<<,排除AB 选项;分析可知:函数()x b f x a -=图像是由x y a =向左平移所得,0b ∴->,0b ∴<.故D 选项正确. 故选:D9.已知函数()f x ax b =+的图象如图所示,则函数()x g x a b =+的图象可能是( )A .B .C .D .【答案】B【解析】【分析】由函数()f x ax b =+的图象可得1a >,1b <-,从而可得()x g x a b =+的大致图象.【详解】由()f x ax b =+的图象可得(0)1f b =<-,(1)0f a b =+>,所以1a >,1b <-,故函数()x g x a b =+为增函数,相对x y a =向下平移大于1个单位故选:B10.设函数f (x )=2x ,则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( )A .y =f (|x )B .y =-|f (x )| )C .y =-f (-|x )D .y =f (-|x )【答案】C【解析】 由题意结合指数函数的图象及函数图象的变换可得函数图象对应的函数解析式,即可得解.【详解】由图象可知函数图象对应的函数解析式是||2x y -=-,所以函数图象对应的函数解析式是y =-f (-|x |).故选:C .【点睛】本题考查了指数函数的图象及函数图象变换的应用,属于基础题.11.函数()cos f x x x =的图像大致是( )A .B .C .D .【答案】A【解析】【分析】先根据函数奇偶性的概念可知()()f x f x -=-,即函数()f x 为奇函数,排除选项D ;再利用三角函数的性质排除BC 即得.【详解】()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-,∴函数()f x 为奇函数,排除选项D ; 当(0,)2x π∈时,0x >,0cos 1x <<, 0()f x x ∴<<,排除选项BC . 故选:A .12.下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为( )①||()e sin x f x x = ②()ln ||=-g x x x ③2()sin =t x x x ④2e ()xh x x =A .④②①③B .②④①③C .②④③①D .④②③①【答案】A【解析】【分析】先通过函数定义域和奇偶性进行判断,再利用导数对①求导,求其在()0,π上的最大值.【详解】()f x ,()t x 的定义域为R ,()g x ,()h x 的定义域为{}|0x x ≠2e ()0xh x x =>在定义域内恒成立,则前两个对应函数分别为④②当()0,πx ∈时,则()e sin x f x x =()π()e sin cos 2e sin 4x x f x x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭,令()0f x '>,则30π4x <<()f x 在30,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在3π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则3π432()(π)e 542f x f ≤=>①对应的为第三个函数故选:A .。
函数模块5年高考真题汇总通用版(含答案)
答案解释考点01函数概念与单调性考点02函数周期性与奇偶性应用又因为x 不恒为0,可得()1e e 0a x x --=,即()1e e a x x -=,则()1x a x =-,即11a =-,解得2a =.故选:D.5.(2022·全国·统考高考真题)已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ,且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=.若()y g x =的图像关于直线2x =对称,(2)4g =,则()221k f k ==∑()A .21-B .22-C .23-D .24-【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-,从而得到()()()352110f f f +++=- ,()()()462210f f f +++=- ,然后根据条件得到(2)f 的值,再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称,所以()()22g x g x -=+,因为()(4)7g x f x --=,所以(2)(2)7g x f x +--=,即(2)7(2)g x f x +=+-,因为()(2)5f x g x +-=,所以()(2)5f x g x ++=,代入得[]()7(2)5f x f x ++-=,即()(2)2f x f x +-=-,所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ,()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=,所以(0)(2)5f g +=,即()01f =,所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=,所以(4)()7g x f x +-=,又因为()(2)5f x g x +-=,联立得,()()2412g x g x -++=,所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称,因为函数()g x 的定义域为R ,所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=,所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选:D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽,考生需要根据已知条件进行恰当的转化,然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.6.(2022·全国·统考高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==,则221()k f k ==∑()A .3-B .2-C .0D .1【答案】A【分析】法一:根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6,求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值,即可解出.【详解】[方法一]:赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=,令1,0x y ==可得,()()()2110f f f =,所以()02f =,令0x =可得,()()()2f y f y f y +-=,即()()f y f y =-,所以函数()f x 为偶函数,令1y =得,()()()()()111f x f x f x f f x ++-==,即有()()()21f x f x f x ++=+,从而可知()()21f x f x +=--,()()14f x f x -=--,故()()24f x f x +=-,即()()6f x f x =+,所以函数()f x 的一个周期为6.因为()()()210121f f f =-=-=-,()()()321112f f f =-=--=-,()()()4221f f f =-==-,()()()5111f f f =-==,()()602f f ==,所以一个周期内的()()()1260f f f +++= .由于22除以6余4,所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑.故选:A .[方法二]:【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=,联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=,可设()cos f x a x ω=,则由方法一中()()02,11f f ==知二、填空题考点03函数图像应用一、单选题-的大致图像,1.(2022·全国·统考高考真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]则该函数是()A .3231x xy x -+=+B .321x xy x -=+C .2y =【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解【详解】设()321x x f xx -=+,则()10f =,故排除B;设()22cos 1x x h x x =+,当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,0cos 1x <<,....A.10π9BC.4π3D【答案】C【分析】由图可得:函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭,即可得到....【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性,得是奇函数,排除A,再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案.....【答案】B【分析】由分子、分母的奇偶性,易于确定函数为奇函数,由(4)f 的近似值即可得出结果.【详解】设32()22x x y f x ==+32()22x x x f x -=-=-+,344240,2-⨯>+排除选项D ;考点04函数性质综合应用一、单选题1.(2022·全国·统考高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==,则221()k f k ==∑()A .3-B .2-C .0D .1【答案】A【分析】法一:根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6,求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值,即可解出.【详解】[方法一]:赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=,令1,0x y ==可得,()()()2110f f f =,所以()02f =,令0x =可得,()()()2f y f y f y +-=,即()()f y f y =-,所以函数()f x 为偶函数,令1y =得,()221k f k ==∑()A .21-B .22-C .23-D .24-【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-,从而得到()()()352110f f f +++=- ,()()()462210f f f +++=- ,然后根据条件得到(2)f 的值,再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称,所以()()22g x g x -=+,因为()(4)7g x f x --=,所以(2)(2)7g x f x +--=,即(2)7(2)g x f x +=+-,因为()(2)5f x g x +-=,所以()(2)5f x g x ++=,代入得[]()7(2)5f x f x ++-=,即()(2)2f x f x +-=-,所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ,()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=,所以(0)(2)5f g +=,即()01f =,所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=,所以(4)()7g x f x +-=,又因为()(2)5f x g x +-=,联立得,()()2412g x g x -++=,所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称,因为函数()g x 的定义域为R ,所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=,所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选:D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽,考生需要根据已知条件进行恰当的转化,然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.3.(2021·全国·统考高考真题)设0a ≠,若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点,则()A .a b <B .a b>C .2ab a <D .2ab a >【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况,注意零点左右附近函数值是否变号,结合极大值点的性质,对进行分类讨论,画出图象,即可得到,a b 所满足的关系,由此确定正确选项.【详解】若a b =,则()()3f x a x a =-为单调函数,无极值点,不符合题意,故a b ¹.()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点,且在x a =左右附近是不变号,在x b =左右附近是变号的.依题意,为函数的极大值点,∴在x a =左右附近都是小于零的.当a<0时,由x b >,()0f x ≤,画出()f x 的图象如下图所示:由图可知b a <,a<0,故2ab a >.当0a >时,由x b >时,()0f x >,画出()f x 的图象如下图所示:由图可知b a >,0a >,故2ab a >.综上所述,2ab a >成立.故选:D933⎝⎦。
高三数学函数及其表示试题答案及解析
高三数学函数及其表示试题答案及解析1.下了函数中,满足“”的单调递增函数是()A.B.C.D.【答案】B【解析】A选项:由,,得,所以A错误;B选项:由,,得;又函数是定义在上增函数,所以B正确;C选项:由,,得,所以C错误;D选项:函数是定义在上减函数,所以D错误;故选B.【考点】函数求值;函数的单调性.2.在函数y=|x|(x∈[-1,1])的图象上有一点P(t,|t|),此函数与x轴、直线x=-1及x=t围成图形(如图阴影部分)的面积为S,则S与t的函数关系图象可表示为()【答案】B【解析】当t∈[-1,0]时,S增速越来越平缓,当t∈[0,1]时,S增速越来越快,选B项.3.二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.则f(x)=________.【答案】x2-x+1【解析】设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).∵f(0)=1,∴c=1.把f(x)的表达式代入f(x+1)-f(x)=2x,有a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.∴2ax+a+b=2x.∴a=1,b=-1.∴f(x)=x2-x+1.4.设为不小于2的正整数,对任意,若(其中,,且),则记,如,.下列关于该映射的命题中,正确的是.①若,,则②若,,,且,则③若,,,,且,,则④若,,,,且,,则.【答案】②③④【解析】当时,所以,.所以不成立;由即设,所以即即②正确;由设,可得.所以,所以可得即③正确.同理根据的含义,可得④正确.【考点】1.新定义问题.2.整数的余式定理.3.分类的思想.4.建立数式运算解决数学问题.5.下列图象表示函数关系y=f(x)的有________.(填序号)【答案】①④【解析】根据函数定义,定义域内任意的一个自变量x的值都有唯一一个y与之对应.6.设函数f(x)=其中b>0,c∈R.当且仅当x=-2时,函数f(x)取得最小值-2.(1)求函数f(x)的表达式;(2)若方程f(x)=x+a(a∈R)至少有两个不相同的实数根,求a取值的集合.【答案】(1)f(x)=(2)【解析】(1)∵当且仅当x=-2时,函数f(x)取得最小值-2.∴二次函数y=x2+bx+c的对称轴是x=-=-2.且有f(-2)=(-2)2-2b+c=-2,即2b-c=6.∴b=4,c=2.∴f(x)=(2)记方程①:2=x+a(x>0),方程②:x2+4x+2=x+a(x≤0).分别研究方程①和方程②的根的情况:(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根a<2,方程①没有实数根a≥2.(ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根,即方程x2+3x+2-a=0有两个不相同的非正实数根.∴-<a≤2;方程②有且仅有一个实数根,即方程x2+3x+2-a=0有且仅有一个非正实数根.∴2-a<0或Δ=0,即a>2或a=-.综上可知,当方程f(x)=x+a(a∈R)有三个不相同的实数根时,-<a<2;当方程f(x)=x+a(a∈R)有且仅有两个不相同的实数根时,a=-或a=2.∴符合题意的实数a取值的集合为7.下列四组函数中的f(x)与g(x)表示同一函数的有________.(填序号)① f(x)=x0,g(x)=;② f(x)=,g(x)=;③ f(x)=x2,g(x)=()4;④ f(x)=|x|,g(x)=【答案】④【解析】两个函数是否为同一函数,主要是考查函数三要素是否相同,而值域是由定义域和对应法则所唯一确定的,故只须判断定义域和对应法则是否相同,④符合.8.若函数满足,对定义域内的任意恒成立,则称为m 函数,现给出下列函数:①;②;③;④其中为m函数的序号是 .(把你认为所有正确的序号都填上)【答案】②③【解析】①若,则由得,即,所以不存在常数使成立,所以①不是m函数。
高考文科数学集合专题讲解及高考真题精选(含答案)
集合、简易逻辑(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法N 表示自然数集, N *或N +表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈, 或者a M ∉, 两者必居其一. (4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来, 写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质}, 其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质示意图子集B A ⊆(或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆, 则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆, 则A B =A(B)或B A真子集A ≠⊂B(或B ≠⊃A )B A ⊆, 且B 中至少有一元素不属于A(1)A ≠∅⊂(A 为非空子集)(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂, 则A C ≠⊂B A集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B , B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆AA(B)(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素, 则它有2n 个子集, 它有21n -个真子集, 它有21n -个非空子集, 它有22n -非空真子集.集合的基本运算1. 集合运算:交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉I U U 交:且并:或补:且C 2. 主要性质和运算律 (1) 包含关系:,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇I I U U C原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互(2) 等价关系:U A B A B A A B B A B U ⊆⇔=⇔=⇔=I U U C (3) 集合的运算律:交换律:.;A B B A A B B A Y Y I I ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律:,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U 等幂律:.,A A A A A A ==Y I求补律:A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U 反演律:C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )简易逻辑1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。
年高考真题+高考模拟题 专项版解析汇编 文科数学——02 函数的概念与基本初等函数I(教师
专题02 函数的概念与基本初等函数I1.【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设3log 42a =,则4a -= A .116B .19C .18D .16【答案】B【解析】由3log 42a =可得3log 42a=,所以49a =,所以有149a-=, 故选:B.【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题,涉及到的知识点有对数的运算法则,指数的运算法则,属于基础题目. 2.【2020年高考天津】函数241xy x =+的图象大致为A BC D【答案】A【解析】由函数的解析式可得:()()241xf x f x x --==-+,则函数()f x 为奇函数,其图象关于坐标原点对称,选项CD 错误; 当1x =时,42011y ==>+,选项B 错误.故选:A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.3.【2020年高考全国Ⅱ卷文数】在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者 A .10名 B .18名C .24名D .32名【答案】B【解析】由题意,第二天新增订单数为50016001200900+-=,设需要志愿者x 名,500.95900x≥,17.1x ≥,故需要志愿者18名. 故选:B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用,属于基础题.4.【2020年高考全国Ⅲ卷文数】Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位:天)的Logistic 模型:0.23(53)()=1et I K t --+,其中K 为最大确诊病例数.当I (*t )=0.95K 时,标志着已初步遏制疫情,则*t 约为(ln19≈3) A .60B .63C .66D .69【答案】C 【解析】()()0.23531t K I t e--=+,所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+,则()0.235319t e*-=,所以,()0.2353ln193t *-=≈,解得353660.23t *≈+≈. 故选:C.【点睛】本题考查对数的运算,考查指数与对数的互化,考查计算能力,属于中等题.5.【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设a =log 32,b =log 53,c =23,则 A .a <c <bB .a <b <cC .b <c <aD .c <a <b【答案】A 【解析】因为333112log 2log 9333a c =<==,355112log 3log 25333b c =>==, 所以a c b <<. 故选A .【点晴】本题考查对数式大小的比较,考查学生转化与化归的思想,是一道中档题. 6.【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设函数f (x )=x 3-31x ,则f (x ) A .是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B .是奇函数,且在(0,+∞)单调递减 C .是偶函数,且在(0,+∞)单调递增D .是偶函数,且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠,其关于原点对称,而()()f x f x -=-,所以函数()f x 为奇函数.又因为函数3y x =在0,上单调递增,在,0上单调递增, 而331y x x-==在0,上单调递减,在,0上单调递减,所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增,在,0上单调递增.故选:A .【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质,属于基础题. 7.【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若2x −2y <3−x −3−y ,则A .ln(y −x +1)>0B .ln(y −x +1)<0C .ln|x −y |>0D .ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得:2323x x y y ---<-,令()23ttf t -=-,2x y =为R 上的增函数,3x y -=为R 上的减函数,()f t ∴为R 上的增函数,x y ∴<,0y x ->,11y x ∴-+>,()ln 10y x ∴-+>,则A 正确,B 错误;x y -与1的大小不确定,故CD 无法确定.故选:A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题,解题关键是能够通过构造函数的方式,利用函数的单调性得到,x y 的大小关系,考查了转化与化归的数学思想. 8.【2020年高考天津】设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===,则,,a b c 的大小关系为A .a b c <<B .b a c <<C .b c a <<D .c a b <<【答案】D【解析】因为0.731a =>,0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭,0.70.7log 0.8log 0.71c =<=,所以1c a b <<<. 故选:D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题,在解题的过程中,注意应用指数函数和对数函数的单调性,确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系,常用方法:(1)利用指数函数的单调性:xy a =,当1a >时,函数递增;当01a <<时,函数递减;(2)利用对数函数的单调性:log a y x =,当1a >时,函数递增;当01a <<时,函数递减;(3)借助于中间值,例如:0或1等.9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28,T =6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A .1.2天 B .1.8天 C .2.5天 D .3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =,6T =,01R rT =+,所以 3.2810.386r -==,所以()0.38rt t I t e e ==,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天, 则10.38()0.382t t t e e +=,所以10.382t e =,所以10.38ln 2t =, 所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天. 故选:B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用,考查了指数式化对数式,属于基础题. 10.【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减,且f (2)=0,则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A .[)1,1][3,-+∞ B .3,1][,[01]-- C .[)1,0][1,-+∞ .1,0]3][[1,-【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减,且(2)0f =, 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减,且(2)0f -=,(0)0f =, 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时,()0f x >,当(2,0)(2,)x ∈-+∞时,()0f x <,所以由(10)xf x -≥可得:021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤,所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃, 故选:D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式,考查分类讨论思想方法,属中档题.11.【2020年新高考全国Ⅰ卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ,且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑,定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.A .若n =1,则H (X )=0B .若n =2,则H (X )随着1p 的增大而增大C .若1(1,2,,)i p i n n==,则H (X )随着n 的增大而增大D .若n =2m ,随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ,且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=,则H (X )≤H (Y )【答案】AC【解析】对于A 选项,若1n =,则11,1i p ==,所以()()21log 10H X =-⨯=,所以A 选项正确.对于B 选项,若2n =,则1,2i =,211p p =-, 所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦, 当114p =时,()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭, 当13p 4=时,()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭,两者相等,所以B 选项错误. 对于C 选项,若()11,2,,i p i n n==,则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭,则()H X 随着n 的增大而增大,所以C 选项正确.对于D 选项,若2n m =,随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ,且()21j m j P Y j p p +-==+(1,2,,j m =).()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅. ()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++.由于()01,2,,2i p i m >=,所以2111i i m ip p p +->+, 所以222111log log i i m ip p p +->+, 所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+, 所以()()H X H Y >,所以D 选项错误. 故选:AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用,考查分析、思考和解决问题的能力,涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用,属于难题.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点,则k 的取值范围是 A .1(,)(22,)2-∞-+∞B .1(,)(0,22)2-∞-C .(,0)(0,22)-∞D .(,0)(22,)-∞+∞【答案】D【解析】注意到(0)0g =,所以要使()g x 恰有4个零点,只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可, 令()h x =()||f x x ,即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩, 当0k =时,此时2y =,如图1,2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点,不满足题意; 当k 0<时,如图2,此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点,满足题意; 当0k >时,如图3,当2y kx =-与2yx 相切时,联立方程得220x kx -+=,令0∆=得280k -=,解得22k =(负值舍去),所以22k >. 综上,k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选:D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用,考查数形结合思想,转化与化归思想,是一道中档题.13.【2020年高考北京】已知函数()21xf x x =--,则不等式()0f x >的解集是A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】因为()21xf x x =--,所以()0f x >等价于21x x >+,在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图:两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2), 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为:()(),01,-∞⋃+∞. 故选:D.【点睛】本题考查了图象法解不等式,属于基础题.14.【2020年高考浙江】函数y =x cos x +sin x 在区间[–π,π]上的图象可能是【答案】A【解析】因为()cos sin f x x x x =+,则()()cos sin f x x x x f x -=--=-, 即题中所给的函数为奇函数,函数图象关于坐标原点对称, 据此可知选项CD 错误;且x π=时,cos sin 0y ππππ=+=-<,据此可知选项B 错误. 故选:A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.15.【2020年高考浙江】已知a ,b ∈R 且ab ≠0,对于任意x ≥0均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0,则 A .a <0 B .a >0 C .b <0 D .b >0【答案】C【解析】因为0ab ≠,所以0a ≠且0b ≠,设()()()(2)f x x a x b x a b =----,则()f x 零点为123,,2x a x b x a b ===+ 当0a >时,则23x x <,1>0x ,要使()0f x ≥,必有2a b a +=,且0b <, 即=-b a ,且0b <,所以0b <;当0a <时,则23x x >,10x <,要使()0f x ≥,必有0b <.综上一定有0b <. 故选:C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题,考查学生分类讨论思想,是一道中档题.16.【2020年高考江苏】已知y =f (x )是奇函数,当x ≥0时,()23f x x =,则()8f -的值是 ▲ . 【答案】4-【解析】23(8)84f ==,因为()f x 为奇函数,所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为:4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值,考查基本分析求解能力,属基础题. 17.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________. 【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩,0x ∴>故答案为:(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域,考查基本分析求解能力,属基础题.1.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,则(4)f = A .16 B .8C .4D .2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选B.【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,属于基础题.2.【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模(文)】已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,则=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A.2B .12C .3log 2-D .3log 2【答案】A【解析】依题意12331log log 32f -===-⎝⎭,12122f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选A.【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值,属于基础题.3.【安徽省2020届高三名校高考冲刺模拟卷数学(文科)试题】已知10.23121log 3,(),23a b c ===,则A .a <b <cB .c <b <aC .c <a <bD .b <a <c【答案】A【解析】∵1122log 3log 10a =<=,0.20110()()133b <=<=,1131222c <=<=,∴a <b <c ,故选A .4.【2020·重庆巴蜀中学高三月考(文)】已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =,对任意的实数1x ,2x 且12x x <,()()1212f x f x x x -<-,则不等式()1f x x ->的解集为A .(),2-∞-B .2,C .()(),11,-∞-⋃+∞D .()(),22,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】设()()1F x f x x =--,则()()11F x f x x -=--,()()11110F f =--=,对任意的1x ,2x 且12x x <,()()1212f x f x x x -<-, 得()()112211f x x f x x --<--, 即()()12F x F x <, 所以()F x 在R 上是增函数,不等式()1f x x ->即为()()11F x F ->, 所以11x ->,2x >. 故选B.【点睛】本题考查函数的单调性解不等式,属于中档题.5.【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学(文)试题】已知函数||()e ||x f x x =+,则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是A .12,33⎛⎫⎪⎝⎭B .12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .12,23⎛⎫⎪⎝⎭D .12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由||()e ||()x f x x f x --=+-=,知()f x 是偶函数,∴不等式1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价为1(|21|)()3f x f -<,当0x >时,()e xf x x =+,()f x 在区间[0,)+∞上单调递增,1|21|,3x ∴-<解得1233x <<.故选A.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题,关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系,从而解出不等式,属于中档题. 6.【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学(文)试题】函数πx x y x=的图象大致形状是A .B .C .D .【答案】B【解析】当0x <时,ππx xx y x -==-;当0x >时,ππx x x y x ==,πx y =为R 上的增函数,πx x y x∴=在(),0-∞上单调递减,在()0,+∞上单调递增,可知B 正确.故选B. 【点睛】本题考查函数图象的识别,解题关键是能够通过分类讨论的方式得到函数在不同区间内的解析式,进而根据指数函数单调性判断出结果.7.【2020·重庆市育才中学高三开学考试(文)】若函数()23,121,1x ax a x f x ax x ⎧--≥=⎨-<⎩是R 上的增函数,则实数a 的取值范围是A .103⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,B .103⎛⎤ ⎥⎝⎦,C .1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D .13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,【答案】B【解析】由函数()23,121,1x ax a x f x ax x ⎧--≥=⎨-<⎩是R 上的增函数,则1202113a a a a a⎧≤⎪⎪>⎨⎪-≤--⎪⎩,解得103a <≤,即实数a 的取值范围是103⎛⎤ ⎥⎝⎦,. 故选B.【点睛】本题考查了分段函数的性质,重点考查了运算能力,属基础题.8.【贵州省黔东南州2019-2020学年高三高考模拟考试卷数学(文科)试题】已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称,当1x >时,2()5f x x mx =-+,且()f x 在(,0)-∞上单调递增,则m 的取值范围为 A .[4,)+∞ B .[2,)+∞C .(,4]-∞D .(,2]-∞【答案】C【解析】函数()f x 的图象关于点()1,0对称且在(,0)-∞上单调递增,所以()f x 在(2,)+∞上单调递增,所以对称轴22m≤,即4m ≤. 故选C.【点睛】本题考查函数的性质,涉及到单调性、对称性等知识,考查学生数形结合的思想,是一道容易题.9.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是 A .1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .(],0-∞C .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D .10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =,则()3f x x =-,()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数,符合.若0a ≠,因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数,故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩,解得103a <≤.综上,1 03a≤≤.故选D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性,注意根据解析式的特点合理分类,比如解析式是二次三项式,则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置,本题属于基础题.10.【2020·四川省成都外国语学校高三月考(文)】若函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围是A.()1,+∞B.(1,8)C.(4,8)D.[4,8)【答案】D【解析】因为函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数,所以140482422aaaaa⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选D.【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数,考查基本分析判断能力,属中档题.11.【2020届山西省太原五中高三3月模拟数学(文)试题】函数ln||cos ()sinx xf xx x⋅=+在[π,0)(0,π]-的图像大致为A.B.C.D.【答案】D【解析】因为ln ||cos ()()sin x xf x f x x x⋅-=-=-+,所以()f x 为奇函数,关于原点对称,故排除A ,又因为()10f ±=,π()02f ±=,π()03f >,()0f π<,故排除B ,C.故选D.【点睛】本题考查函数图象的识别,根据函数的性质以及特殊值法灵活判断,属于基础题.12.【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模(文)】已知()f x 是定义在R 上的偶函数,在区间[0,)+∞上为增函数,且1()03f =,则不等式18(log )0f x >的解集为A .1(,2)2B .(2,)+∞C .1(0,)(2,)2+∞ D .1(,1)(2,)2+∞【答案】C【解析】∵118811(log )0()(log )()33f x f f x f >=⇔>,又()f x 在区间[0,)+∞上为增函数,∴181log 3x >,∴118811log log 33x x 或><-,∴1022x x <或,∴不等式18(log )0f x >的解集为1(0,)(2,)2+∞,故选C.13.【2020·宜宾市叙州区第一中学校高三一模(文)】已知函数()()()1f x x ax b =-+为偶函数,且在0,上单调递减,则()30f x -<的解集为A .()2,4 B .()(),24,-∞+∞C .()1,1-D .()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】因为()()2f x ax b a x b =+--为偶函数,所以0b a -=,即b a =, ∴()2f x ax a =-,因为()f x 在()0,∞+上单调递减, 所以0a <,∴()()2330f x a x a -=--<,可化为()2310x -->, 即2680x x -+>,解得2x <或4x >. 故选B .【点睛】本题主要考查奇偶性与单调性的应用以及一元二次不等式的解法,还考查了运算求解的能力,属于中档题.14.【天津市十二区县重点学校2020届高三下学期毕业班联考(一)数学试题】已知函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称,在(0,)x ∈+∞时,()f x 单调递增.若()ln34a f =,e (2)b f -=,1ln πc f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(其中e 为自然对数的底数,π为圆周率),则,,a b c 的大小关系为 A .a c b >> B .a b c >> C .c a b >> D .c b a >>【答案】A【解析】因为函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称,所以()f x 的图象关于y 轴对称,因为(0,)x ∈+∞时,()f x 单调递增,所以(,0)x ∈-∞时,()f x 单调递减; 因为ln3ln e e 01444,0221,lnln ln e 1->=<<==π>=π,所以a c b >>. 故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质,根据条件判断出函数的单调性和奇偶性是求解的关键,侧重考查数学抽象的核心素养.15.【2020·山东省高三期末】函数()y f x =是R 上的奇函数,当0x <时,()2xf x =,则当0x >时,()f x =A .2x -B .2x -C .2x --D .2x【答案】C 【解析】0x <时,()2xf x =.当0x >时,0x -<,()2xf x --=,由于函数()y f x =是奇函数,()()2xf x f x -∴=--=-,因此,当0x >时,()2xf x -=-,故选C.【点睛】本题考查奇偶函数解析式的求解,一般利用对称转移法求解,即先求出()f x -的表达式,再利用奇偶性得出()f x 的表达式,考查分析问题和运算求解能力,属于中等题.16.【2020·山东省高三期末】函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示,则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是A .B .C .D .【答案】A【解析】由图象可知()y f x =的图象关于y 轴对称,是偶函数,()y g x =的图象关于原点对称,是奇函数,并且定义域{}0x x ≠,()()y f x g x ∴=⋅的定义域是{}0x x ≠,并且是奇函数,排除B ,又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x >,()0g x <,()()0f x g x ∴⋅<,排除C,D. 满足条件的只有A. 故选A.【点睛】本题考查函数图象的识别,意在考查函数的基本性质,属于基础题型. 17.【2020届广东省化州市高三第四次模拟数学(文)试题】已知函数()()2,0,ln 1,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩若不等式()10f x kx k -++<的解集为空集,则实数k 的取值范围为A .(222,0⎤-⎦B .(232,0⎤-⎦C .222,0⎡⎤-⎣⎦D .[]1,0-【答案】C【解析】因为不等式()10f x kx k -++<的解集为空集, 所以不等式()10f x kx k -++恒成立.()10f x kx k -++可变形为()(1)1f x k x --.在同一坐标系中作出函数(),(1)1y f x y k x ==--的图象,如图:直线(1)1y k x =--过定点(1,1)A -,当直线(1)1y k x =--与2(0)y x x =相切时,方程()10f x kx k -++=有一个实数解,可得2(1)1x k x =--,即210x kx k -++=,由24(1)0k k ∆=-+=,可得2k =-2k =+(舍去), 故由函数图象可知使不等式恒成立的实数k的取值范围为2⎡⎤-⎣⎦.故选C.【点睛】本题考查了函数图象、根据函数的图象求参数的取值范围,考查了数形结合思想,属于中档题.18.【2020·山东省青岛第五十八中学高三一模】已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩,若()f x 的最小值为(1)f ,则实数a 的值可以是A .1B .2C .3D .4【答案】BCD 【解析】当1x >,4()4f x x a a x=++≥+, 当且仅当2x =时,等号成立;当1x ≤时,2()29f x x ax =-+为二次函数,要想在1x =处取最小,则对称轴要满足1x a =≥,且(1)4f a ≤+,即1294a a -+≤+,解得2a ≥,故选BCD.【点睛】本题考查分段函数的最值问题,处理时应对每段函数进行分类讨论,找到每段的最小值.19.【2020·山东省高三零模】已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-,且函数()1y f x =-为奇函数,则A .函数()y f x =是周期函数B .函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C .函数()y f x =为R 上的偶函数D .函数()y f x =为R 上的单调函数 【答案】ABC【解析】因为()()2f x f x +=-,所以()()()42f x f x f x +=-+=,即4T=,故A 正确;因为函数()1y f x =-为奇函数,所以函数()1y f x =-的图像关于原点成中心对称,所以B 正确;又函数()1y f x =-为奇函数,所以()()11f x f x --=--,根据()()2f x f x +=-,令1x -代x 有()()11f x f x +=--,所以()()11f x f x +=--,令1x -代x 有()()f x f x -=,即函数()f x 为R 上的偶函数,C 正确;因为函数()1y f x =-为奇函数,所以()10f -=,又函数()f x 为R 上的偶函数,()10f =,所以函数不单调,D 不正确.故选ABC.【点睛】本题考查了函数的周期性和奇偶性以及对称性,属于基础题.20.【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数,则实数a 的取值范围是______.【答案】[)4,+∞【解析】()223f x x ax =-++对称轴方程为x a =, ()f x 在区间(),4-∞上是增函数,所以4a ≥.故答案为[)4,+∞.【点睛】本题考查函数的单调性求参数,熟练掌握初等简单函数的性质是解题的关键,属于基础题.21.【福建省厦门外国语学校2020届高三下学期高考最后一次模拟数学(文)试题】已知函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩,则(1)f -=_____________【答案】2【解析】函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩,则()1(1)122f f -===. 故答案为:2【点睛】本题考查了分段函数求值,考查了基本运算求解能力,属于基础题.22.【2020·陕西省交大附中高三三模(文)】设函数23(0)()(2)(0)x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩,则()–3f =_____【答案】4【解析】函数23(0)()(2)(0)x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩,2(3)(1)(1)1314f f f -=-==+⨯=.【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数求值,难度不大,属于基础题. 23.【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模(文)】奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-,当01x <≤时,()()2log 4f x x a =+,若1522f ⎛⎫=-⎪⎝⎭,则()a f a +=___________. 【答案】2【解析】由于函数()y f x =为奇函数,且()()()111f x f x f x +=-=--,即()()2f x f x +=-,()()()42f x f x f x ∴+=-+=,所以,函数()y f x =是以4为周期的奇函数,()21511log 22222f f f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 解得2a =. ()()()222f f f =-=-,()20f ∴=.因此,()()222a f a f +=+=.故答案为2.【点睛】本题考查函数值的计算,推导出函数的周期性是解答的关键,考查推理能力与计算能力,属于中等题.24.【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 【答案】5πππ5π3,,,36666⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【解析】因为()lg 2cos 21y x =-,所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩,所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩, 所以33ππππ,66x k x k k -≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩Z , 解得5π36x -≤<-或ππ66x -<<或5π36x <≤. 故答案为5πππ5π3,,,36666⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式,三角不等式的解法,还考查了运算求解的能力,属于中档题.25.【江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题】已知函数()02,2,2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数()*n k n ∈N ,直线n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n 个不同的交点,则数列{}2nk 的前n 项和为________. 【答案】()41n n + 【解析】当02x ≤<时,()y f x ==()2211x y -+=,0y ≥; 当2x ≥时()()2f x f x =-,函数周期为2,画出函数图象,如图所示:n y k x =与函数恰有21n 个不同的交点,根据图象知,直线n y k x =与第1n +个半圆相切,故()2244211n k n n n ==++-,故2211114441n k n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, 数列{}2n k 的前n 项和为()11111114223141n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪++⎝⎭. 故答案为:()41n n +. 【点睛】本题考查了数列求和,直线和圆的位置关系,意在考查学生的计算能力和转化能力,综合应用能力,画出图象是解题的关键.。
高三数学函数试题答案及解析
高三数学函数试题答案及解析1.一个平面图由若干顶点与边组成,各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号,记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值,若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数,则称这样的图形为“优美图”.已知如图是“优美图”,则点A,B与边a所对应的三个数分别为________.【答案】3、6、3【解析】观察图中编号为4的边,由于6-2=5-1=4,而数字2已为一端点的编号,故编号为4的边的左、右两端点应为5、1,从而易知编号为1的边的左、右两端点应为4、3.考虑到图中编号为1的边,易知点A对应的数为3,点B对应的数为6.故应填3、6、3.2.对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数.例如,[π]=3,[-1.08]=-2.如果定义函数f(x)=x-[x],那么下列命题中正确的一个是()A.f(5)=1B.方程f(x)=有且仅有一个解C.函数f(x)是周期函数D.函数f(x)是减函数【答案】C【解析】f(5)=5-[5]=0,故A错误;因为f()=-[]=,f()=-[]=,所以B错误;函数f(x)不是减函数,D错误;故C正确.3. [2012·江苏高考]已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为________.【答案】9【解析】通过值域求a,b的关系是关键.由题意知f(x)=x2+ax+b=(x+)2+b-.∵f(x)的值域为[0,+∞),∴b-=0,即b=.∴f(x)=(x+)2.又∵f(x)<c,∴(x+)2<c,即--<x<-+.∴②-①,得2=6,∴c=9.4.下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是()A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x【答案】C【解析】若f(x)=|x|,则f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);若f(x)=x-|x|,则f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x);若f(x)=-x,则f(2x)=-2x=2f(x);若f(x)=x+1,则f(2x)=2x+1,不满足f(2x)=2f(x).5.(3分)(2011•重庆)已知,则a=()A.1B.2C.3D.6【答案】D【解析】先将极限式通分化简,得到,分子分母同时除以x2,再取极限即可.解:原式==(分子分母同时除以x2)===2∴a=6故答案选D.点评:关于高中极限式的运算,一般要先化简再代值取极限,本题中运用到的分子分母同时除以某个数或某个式子,是极限运算中常用的计算技巧.6.如果函数在上的最大值和最小值分别为、,那么.根据这一结论求出的取值范围().A.B.C.D.【答案】B【解析】函数在区间上最大值为1,最小值为,即,所以,,即取值范围为,选B.【考点】新定义概念与函数的最值.7.设函数,其中,为正整数,,,均为常数,曲线在处的切线方程为.(1)求,,的值;(2)求函数的最大值;(3)证明:对任意的都有.(为自然对数的底)【答案】(1);(2);(3)见解析.【解析】(1)在切点处的的函数值,就是切线的斜率为,可得;根据切点适合切线方程、曲线方程,可得,.(2)求导数,求驻点,讨论区间函数单调性,确定最值.(3)本小题有多种思路,一是要证对任意的都有只需证;二是令,利用导数确定,转化得到.令,证明.(1)因为, 1分所以,又因为切线的斜率为,所以 2分,由点(1,c)在直线上,可得,即 3分4分(2)由(1)知,,所以令,解得,即在(0,+上有唯一零点 5分当0<<时,,故在(0,)上单调递增; 6分当>时,,故在(,+上单调递减; 7分在(0,+上的最大值=== 8分(3)证法1:要证对任意的都有只需证由(2)知在上有最大值,=,故只需证 9分,即① 11分令,则,①即② 13分令,则显然当0<t<1时,,所以在(0,1)上单调递增,所以,即对任意的②恒成立,所以对任意的都有 14分证法2:令,则. 10分当时,,故在上单调递减;而当时,,故在上单调递增.在上有最小值,.,即. 12分令,得,即,所以,即.由(2)知,,故所证不等式成立. 14分【考点】导数的几何意义,直线方程,应用导数研究函数的单调性、最(极)值、证明不等式,转化与化归思想,分类讨论思想,应用导数研究恒成立问题.8.对实数a与b,定义新运算“⊗”:.设函数f(x)=(x2﹣2)⊗(x﹣x2),x∈R.若函数y=f(x)﹣c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】∵,∴函数f(x)=(x2﹣2)⊗(x﹣x2)=,由图可知,当c∈函数f(x)与y=c的图象有两个公共点,∴c的取值范围是,故选B.9.设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:(i)T={f(x)|x∈S};(ii)对任意x1,x2∈S,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2),那么称这两个集合“保序同构”,以下集合对不是“保序同构”的是()A.A=N*,B=NB.A={x|﹣1≤x≤3},B={x|x=﹣8或0<x≤10}C.A={x|0<x<1},B=RD.A=Z,B=Q【答案】D【解析】对A选项,存在满足条件,故是“保序同构”. 对B选项,存在满足条件,故是“保序同构”.对C选项,存在满足条件,故是“保序同构”.选D.【考点】1、新定义;2、函数.10.设函数f(x)=x3cosx+1.若f(a)=11,则f(-a)=.【答案】-9【解析】f(a)+f(-a)=a3cosa+1+(-a)3cos(-a)+1=2,而f(a)=11,故f(-a)=2-f(a)=2-11=-9.11.对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-1)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点,则实数c的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(-,0)B.{-1,-}C.(-1,-)D.(-∞,-1)∪[-,0)【答案】A【解析】由x2-1≤x-x2得-≤x≤1,∴f(x)=函数f(x)的图象如图所示,由图象知,当c<-1或-<c<0时,函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点.12.如果f()=,则当x≠0且x≠1时,f(x)=()A.B.C.D.-1【答案】B【解析】令=t,t≠0且t≠1,则x=,∵f()=,∴f(t)=,化简得:f(t)=,即f(x)=(x≠0且x≠1).13.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f′(1)=________.【答案】2【解析】设e x=t,则x=ln t(t>0),∴f(t)=ln t+t,∴f′(t)=+1,∴f′(1)=2.14.是R上以2为周期的奇函数,当时,则在时是()A.减函数且B.减函数且C.增函数且D.增函数且【答案】D【解析】因为是R上的奇函数,故,由复合函数单调性知,当时为增函数,故此时;当时,为增函数,又因为是以2为周期的,故在上函数性质和取值完全一样,即时,为增函数,选D.【考点】函数奇偶性、函数单调性.15.直线是函数的切线,则实数.【答案】1【解析】先对函数求导,即,由于切线方程为,所以,,解得:,因此,切点为(2,)或(-2,-),代入切线方程,可得= 1.【考点】函数的导数求法,函数导数的几何意义.16.已知函数若直线与函数的图象有两个不同的交点,则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】如下图所示,作出函数的图象如下图所示,当直线与函数的图象有两个不同的交点,则.【考点】分段函数的图象、函数的零点17.设函数.(1)若x=时,取得极值,求的值;(2)若在其定义域内为增函数,求的取值范围;(3)设,当=-1时,证明在其定义域内恒成立,并证明().【答案】(1).(2).(3)转化成.所以.通过“放缩”,“裂项求和”。
高考文科数学集合专题讲解及高考真题精选(含答案)
集合、简易逻辑(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一. (4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集,它有22n -非空真子集.集合的基本运算1. 集合运算:交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉I U U 交:且并:或补:且C 2. 主要性质和运算律 (1) 包含关系:,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇I I U U C(2) 等价关系:U A B A B A A B B A B U ⊆⇔=⇔=⇔=I U U C (3) 集合的运算律:交换律:.;A B B A A B B A Y Y I I ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律:,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U 等幂律:.,A A A A A A ==Y I求补律:A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U 反演律:C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )简易逻辑1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。
高考数学真题答案解析文科版
高考数学真题答案解析文科版(文科版)高考是每位学生在教育生涯中至关重要的一场考试。
其中,数学是文科生们最为关注的科目之一。
在这篇文章中,我们将以解析高考数学真题为主线,旨在帮助同学们更好地理解、掌握高考数学的解题技巧和思路。
第一部分:选择题选择题在高考数学中占据了重要的比重。
对于文科生而言,选择题解答起来有一定的技巧。
下面我们来看一道典型的选择题。
1. 已知函数f(x)的零点为x=-2和x=3,且对任意实数x满足f(x)=f(x-1)+x,求函数f(x)的解析式。
解析:首先,我们将已知条件整理一下。
由于函数f(x)的零点为x=-2和x=3,我们可以得出两个方程:f(-2) = 0f(3) = 0然后,我们对原方程进行变形,并利用已知条件进行求解。
f(x) = f(x-1)+x当x=-1时,原方程可转化为:f(-1) = f(-2)-1将f(-2)代入上式,得到:f(-1) = 0-1 = -1当x=0时,原方程可转化为:f(0) = f(-1)+0将f(-1)代入上式,得到:f(0) = -1+0 = -1将已知条件整理一下,我们可以确定f(x)的解析式为:f(x) = -1,x∈(-∞,-1]f(x) = f(x-1)+x,x∈(-1,∞)通过这道选择题的解析,我们可以看到,对于文科生而言,选择题的解答需要运用到数学常识和运算规则,并且需要灵活运用已知条件进行推导,找到解题的突破口。
第二部分:填空题填空题是高考数学中另一种常见的题型。
对于文科生而言,填空题的解答可以让我们更全面地了解数学知识点的细节,提高我们的运算能力和逻辑思维能力。
下面我们来看一道典型的填空题。
2. 若x满足不等式|x+1| < 2,则x的取值范围为_______。
解析:根据不等式的性质,我们知道|x+1| < 2可以拆分为两个条件:x+1 < 2或x+1 > -2对第一个条件进行简单的变形,得到:x < 1对第二个条件进行简单的变形,得到:x > -3综合以上两个条件,我们可以确定x的取值范围为-3 < x < 1。
文科数学高考真题分类汇编 函数综合及其应用答案
x
x
x
16.①③④【解析】对于①,根据题中定义, f (x) A 函数 y = f (x) ,x D 的值域
为 R ,由函数值域的概念知,函数 y = f (x) , x D 的值域为 R b R, a D f (a) = b ,所以①正确;对于②,例如函数 f ( x) = (1) |x| 的值域(0,1] 包含于区间[−1,1],
∴ p = −0.2t2 +1.5t − 2 = −0.2(t − 3.75)2 + 0.8125 ∴当 t = 3.75 分钟时,可食用率最大. 7.D【解析】设年平均增长率为 x ,原生产总值为 a ,则 (1 + p)(1 + q)a = a(1+ x)2 ,解得
x = (1+ p)(1+ q) −1 ,故选 D.
4.B【解析】因为第一次邮箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗
油量V = 48 升.而这段时间内行驶的里程数 S = 35600−35000 = 600千米.所以这 段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为 48 100 = 8 升,故选 B.
600 5.B 【解析】采用特殊值法,若 x = 1, y = 2, z = 3, a = 1,b = 2,c = 3 ,则 ax + by + cz = 14 ,
因此人均通勤时间
g(x)
=
30 n x%+ 40 n
n
(2x
+
1800 x
−90)
n
(1− x%) ,
x% +40 n
n
(1
− x %)
0 ,30
x ≤30
,
高考数学真题及答案解析版
高考数学真题及答案解析版一、选择题1. 题目内容:已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得最小值3,且知道a>0,求a+b+c的值。
答案解析:根据题意,函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处取得最小值,可以得出f(x)的对称轴为x=-b/2a=1,由此可得b=-2a。
又因为f(1)=3,代入得a+b+c=3。
将b=-2a代入,得到a-2a+c=3,即c=5-a。
由于a>0,所以c>5。
综合以上信息,我们可以得出a+b+c=a-2a+5-a=3,解得a=1,进而得到b=-2,c=4。
所以a+b+c=1+(-2)+4=3。
2. 题目内容:设集合A={x|x^2 < 4},B={x|x < 0},求A∪B的值。
答案解析:集合A表示的是所有满足x^2 < 4的x值的集合,即-2 <x < 2。
集合B表示的是所有小于0的x值的集合。
求A∪B,即求A和B的并集,也就是所有属于A或属于B的元素构成的集合。
由于A的范围是-2到2之间,而B是小于0的所有数,因此A∪B的范围是从负无穷到2,即A∪B={x|x < 2}。
3. 题目内容:已知数列{an}满足a1=1,an=3an-1+2(n≥2),求a5的值。
答案解析:根据递推公式an=3an-1+2,我们可以逐步计算数列的前几项。
首先a1=1,然后a2=3a1+2=5,a3=3a2+2=17,a4=3a3+2=53,最后a5=3a4+2=161。
所以a5的值为161。
二、填空题1. 题目内容:若sinθ=0.6,则cosθ的值为______。
答案解析:根据三角函数的基本关系,sin^2θ+cos^2θ=1。
已知sinθ=0.6,所以0.6^2+cos^2θ=1,解得cos^2θ=1-0.36=0.64。
由于cosθ的值在-1到1之间,所以cosθ的值为±√0.64=±0.8。
(完整版)高考数学历年函数试题及答案
设(x )是定义在R 上的偶函数, 其图象关于直线x=1对称, 对任意x1,x2∈[0, ]都有 (Ⅰ)设);41(),21(,2)1(f f f 求 (Ⅱ)证明)(x f 是周期函数。
2.设函数(Ⅰ)判断函数)(x f 的奇偶性; (Ⅱ)求函数)(x f 的最小值.3. 已知函数(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和最大值;(Ⅱ)在给出的直角坐标系中, 画出函数 在区间 上的图象4. (本小题满分12分)求函数 的最小正周期、最大值和最小值.5. (本小题满分12分)已知在R上是减函数, 求的取值范围.6.△ABC的三个内角为A.B.C, 求当A为何值时, 取得最大值, 并求出这个最大值7.设a为实数, 函数在和都是增函数, 求a的取值范围.8.设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对于任意的x 都有f(x)<c2成立, 求c的取值范围.9.已知函数 , .(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)设函数 在区间 内是减函数, 求 的取值范围.10.在 中, 内角A.b 、c 的对边长分别为a 、b 、c.已知 , 且 , 求b.11. 已知函数42()36f x x x =-+. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)设点P 在曲线 上, 若该曲线在点P 处的切线 通过坐标原点, 求 的方程12.设函数 图像的一条对称轴是直线 (Ⅰ)求ϕ;(Ⅱ)求函数)(x f y =的单调增区间; (Ⅲ)画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像13.已知二次函数 的二次项系数为 , 且不等式 的解集为 (Ⅰ)若方程 有两个相等的根, 求 的解析式; (Ⅱ)若 的最大值为正数, 求 的取值范围解答: 2.解: (Ⅰ) 由于),2()2(),2()2(f f f f -≠-≠- 故 既不是奇函数, 也不是偶函数.(Ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=.2,1,2,3)(22x x x x x x x f由于),2[)(+∞在x f 上的最小值为)2,(,3)2(-∞=在f 内的最小值为.43)21(=f故函数),()(+∞-∞在x f 内的最小值为.433.解)42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x所以函数 的最小正周期为π, 最大值为 .(Ⅱ)由(Ⅰ)知x83π-8π-8π 83π 85π y121-121+1故函数)(x f y =在区 间]2,2[ππ-上的图象是4.解:.212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数 的最小正周期是 , 最大值是 最小值是 5.解: 函数f(x)的导数: .(Ⅰ)当 ( )时, 是减函数.)(01632R x x ax ∈<-+ .3012360-<⇔<+=∆<⇔a a a 且所以, 当 是减函数;(II )当 时, =由函数 在R 上的单调性, 可知当 时, )是减函数;(Ⅲ)当 时, 在R 上存在一个区间, 其上有 所以, 当 时, 函数 不是减函数. 综上, 所求 的取值范围是 6.解: 由,222,A C B C B A -=+=++ππ得所以有 .2sin 2cosAC B =+ 2sin 2cos 2cos 2cos AA CB A +=++2sin 22sin 212A A +-=.23)212(sin 22+--=A 当.232cos 2cos ,3,212sin取得最大值时即C B A A A ++==π 7.解:),1(23)('22-+-=a ax x x f其判别试.81212124222a a a -=+-=∆ (ⅰ)若,26,08122±==-=∆a a 即 当.),()(,0)(',),3()32,(为增函数在时或+∞-∞>+∞∈-∞∈x f x f a x x所以.26±=a (ⅱ) 若,08122<-=∆a .),()(,0)('为增函数在恒有+∞-∞>x f x f 所以 ,232>a即 ).,26()26,(+∞--∞∈ a (ⅲ)若,08122>-=∆a 即,0)(',2626=<<-x f a 令 解得 .323,3232221a a x a a x -+=--=当;)(,0)(',)(),(21为增函数时或x f x f x x x x >∞+∈-∞∈ 当.)(,0)(',),(21为减函数时x f x f x x x <∈ 依题意1x ≥0得2x ≤1. 由1x ≥0得a ≥,232a - 解得 1≤.26<a 由2x ≤1得,232a -≤3,a - 解得 .2626<<-a 从而 .)26,1[∈a 综上, a 的取值范围为 即 ∈a ).,1[]26,(+∞--∞ 9.解: (1) 求导: 当 时, , , 在 上递增; 当 , 由 求得两根为 即 在 递增, 递减,⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增; (2)(法一)∵函数 在区间 内是减函数, 递减, ∴ , 且 , 解得: 。
高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选(含答案)
函 数【1.2.1】函数的概念(1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(a a b b +∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <.(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.【1.2.2】函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象.〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法yxo 函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< .x .2.时,都有f(x ...1.)<f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是增函数.... x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o(1)利用定义 (2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象上升为增) (4)利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< .x .2.时,都有f(x ...1.)>f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是减函数.... y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211(1)利用定义 (2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象下降为减)(4)利用复合函数②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减.(2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数.(3)最大(小)值定义①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤;(2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作m a x ()f x M =.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.【1.3.2】奇偶性(4)函数的奇偶性①定义及判定方法函数的定义 图象 判定方法性 质函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...-.f(x)....,那么函数f(x)叫做奇函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于原点对称) 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...f(x)....,那么函数f(x)叫做偶函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于y 轴对称)②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算(1)根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次方根用符号n a 表示;当n 是偶数时,正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示,负的n 次方根用符号n a -表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.②式子n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.③根式的性质:()n n a a =;当n 为奇数时,nn a a =;当n 为偶数时,(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. (2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是:11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.(3)分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质(4)指数函数函数名称指数函数定义 函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算(1)对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N 叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.(2)几个重要的对数恒等式log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.(3)常用对数与自然对数常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a aM M N N-= ③数乘:log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =定义域 R 值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1),即当0x =时,1y =.奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内,a 越大图象越高;在第二象限内,a 越大图象越低.xa y =xy(0,1)O1y =x a y =xy(0,1)O1y =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质(5)对数函数函数名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0),即当1x =时,0y =.奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响 在第一象限内,a 越大图象越靠低;在第四象限内,a 越大图象越靠高.(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ϕ=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数,函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y fx -=.(7)反函数的求法①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x fy -=;x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=③将1()x fy -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称.②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.④一般地,函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数.〖2.3〗幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数.(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴.④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当qpα=(其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q p y x =是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q py x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则qpy x =是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x =下方.〖补充知识〗二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式:2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠(2)求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时,宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便.(3)二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--. ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-上递减,在[,)2b a -+∞上递增,当2bx a=-时,2min 4()4ac b f x a -=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-上递增,在[,)2ba -+∞上递减,当2bx a=-时,2max 4()4ac b f x a -=.③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时,图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a ∆=-=. (4)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2bx a=- ③判别式:∆ ④端点函数值符号.(5)二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01()2x p q =+. (Ⅰ)当0a >时(开口向上) ①若2b p a -<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b m f a =- ③若2b q a->,则()m f q =①若02b x a -≤,则()M f q = ②02b x a->,则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b M f a =- ③若2b q a->,则()M f q =①若02b x a -≤,则()m f q = ②02b x a ->,则()m f p =.x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<Of (p)f()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<Of (q)()2b f a-x第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
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函 数【1.2.1】函数的概念(1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <. (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ,当a>0时,值域为{ab ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}②配方法:③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.转化成型如:)0(>+=k xkx y ,利用平均值不等式公式来求值域;⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.【1.2.2】函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象. (7)求函数解析式的题型有:1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;2)已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x :换元法、配凑法;3)已知函数图像,求函数解析式;4)()f x 满足某个等式,这个等式除()f x 外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组法;5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< .x .2.时,都有f(x ...1.)<f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是增函数.... x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象上升为增) (4)利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< .x .2.时,都有f(x ...1.)>f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是减函数.... y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211(1)利用定义 (2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象下降为减)(4)利用复合函数增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减. (2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a -、]a 上为减函数.(3)最大(小)值定义①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤;(2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M =.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.1 (4)证明函数单调性的一般方法:①定义法:设2121,x x A x x <∈且;作差)()(21x f x f -,判断正负号②用导数证明: 若)(x f 在某个区间A 内有导数,则()0f x ≥’,)x A ∈(⇔)(x f 在A 内为增函数;⇔∈≤)0)(A x x f ,(’)(x f 在A 内为减函数 (5)求单调区间的方法:定义法、导数法、图象法(6)复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性:①若f 与g 的单调性相同,则[])(x g f 为增函数;②若f 与g 的单调性相反,则[])(x g f 为减函数注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集(7)一些有用的结论:①奇函数在其对称区间上的单调性相同;②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内:增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数;减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数; 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数;减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数④函数)0,0(>>+=b a x bax y 在,,b b a a ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭或上单调递增;在,00b b a a ⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦或,上是单调递减【1.3.2】奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...-.f(x)....,那么函数f(x)叫做奇函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于原点对称)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...f(x)....,那么函数f(x)叫做偶函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于y 轴对称)②若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0f =.()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:()()0f x f x ±-=,()1()f x f x =±- 函数周期性定义:若T 为非零常数,对于定义域内的任一x ,使)()(x f T x f =+恒成立,则f(x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去①y=f(x) 轴x →y= -f(x); ②y=f(x) 轴y →y=f(-x);③y=f(x) ax =→直线y=f(2a -x); ④y=f(x) xy =→直线y=f -1(x);⑤y=f(x) 原点→y= -f(-x)(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算(1)根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次当n 是偶数时,正数a 的正的n负的n次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.③根式的性质:n a =;当n 为奇数时,a =;当n 为偶数时,(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. (2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,mna a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是:1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.(3)分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质(4)指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算(1)对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N 叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.(2)几个重要的对数恒等式log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.(3)常用对数与自然对数常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a aM M N N-= ③数乘:log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ϕ=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数,函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y fx -=.(7)反函数的求法①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=;③将1()x fy -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称.②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域.③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.④一般地,函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数.〖2.3〗幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数.(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴.④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当qpα=(其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q py x =是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q py x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则qpy x =是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x =下方.〖补充知识〗二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式:2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠(2)求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时,宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便.(3)二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--. ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-上递减,在[,)2b a-+∞上递增,当2bx a =-时,2min 4()4ac b f x a -=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-上递增,在[,)2ba -+∞上递减,当2bx a=-时,2max 4()4ac b f x a -=.③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时,图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=. (4)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2bx a=- ③判别式:∆ ④端点函数值符号.(5)二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01()2x p q =+. (Ⅰ)当0a >时(开口向上)①若2b p a -<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b m f a =- ③若2b q a ->,则()m f q = ①若02b x a -≤,则()M f q = ②02bx a ->,则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下)①若2bp a -<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b M f a =- ③若2bq a ->,则()M f q =①若02bx a -≤,则()m f q = ②02bx a ->,则()m f =.>O -=f (p) f (q) ()2b f a -x>O -=f (p) f (q) ()2b f a -x >O -=f(p)f (q) ()2bf a -x>O -=f(p)f (q) ()2bf a -0x x >O -=f (p) f (q) ()2b f a -0x x <O -=f (p) f (q) ()2b f a -x <O -=f (p) f(q) ()2bf a -x <O -=f (p) f (q) ()2b f a -0xx <O -=f(p) f (q)()2bf a -x<O-=f(p) f (q)()2bfa -0x第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选(含答案)
函 数【1.2.1】函数的概念(1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(a a b b +∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <.(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.【1.2.2】函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象.〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法yxo 函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< .x .2.时,都有f(x ...1.)<f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是增函数.... x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o(1)利用定义 (2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象上升为增) (4)利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< .x .2.时,都有f(x ...1.)>f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是减函数.... y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211(1)利用定义 (2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象下降为减)(4)利用复合函数②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减.(2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数.(3)最大(小)值定义①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤;(2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作m a x ()f x M =.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.【1.3.2】奇偶性(4)函数的奇偶性①定义及判定方法函数的定义 图象 判定方法性 质函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...-.f(x)....,那么函数f(x)叫做奇函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于原点对称) 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...f(x)....,那么函数f(x)叫做偶函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于y 轴对称)②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算(1)根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次方根用符号n a 表示;当n 是偶数时,正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示,负的n 次方根用符号n a -表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.②式子n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.③根式的性质:()n n a a =;当n 为奇数时,nn a a =;当n 为偶数时,(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. (2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0. ②正数的负分数指数幂的意义是: 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.(3)分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质(4)指数函数函数名称指数函数定义 函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算(1)对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N 叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>. (2)几个重要的对数恒等式log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.(3)常用对数与自然对数常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a a MM N N-= ③数乘:log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1),即当0x =时,1y =.奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内,a 越大图象越高;在第二象限内,a 越大图象越低.xa y =xy(0,1)O1y =x a y =xy(0,1)O1y =⑤log log (0,)b na a n M Mb n R b =≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质(5)对数函数函数名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0),即当1x =时,0y =.奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响 在第一象限内,a 越大图象越靠低;在第四象限内,a 越大图象越靠高.(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ϕ=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数,函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y fx -=.(7)反函数的求法①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x fy -=;x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=③将1()x f y -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域. (8)反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称.②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上. ④一般地,函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数.〖2.3〗幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数. (2)幂函数的图象(3)幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴.④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当qpα=(其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q p y x =是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q py x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则qpy x =是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x =下方.〖补充知识〗二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式:2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠(2)求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时,宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便.(3)二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--. ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-上递减,在[,)2b a -+∞上递增,当2bx a=-时,2min 4()4ac b f x a -=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-上递增,在[,)2ba -+∞上递减,当2bx a =-时,2max 4()4ac b f x a-=.③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时,图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a ∆=-=. (4)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2bx a=- ③判别式:∆ ④端点函数值符号.(5)二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01()2x p q =+. (Ⅰ)当0a >时(开口向上) ①若2b p a -<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b m f a=- ③若2bq a ->,则()m f q =①若02b x a -≤,则()M f q = ②02b x a->,则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b M f a=- ③若2bq a ->,则()M f q =①若02b x a -≤,则()m f q = ②02bx a ->,则()m f p =.x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
高三数学函数试题答案及解析
高三数学函数试题答案及解析1.已知[x]表示不超过实数x的最大整数,如[1.8]=1,[-1.2]=-2.x是函数f(x)=ln x-的零点,则[x]等于________.【答案】2【解析】∵函数f(x)的定义域为(0,+∞),∴函数f′(x)=+>0,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.由f(2)=ln 2-1<0,f(e)=ln e->0,知x0∈(2,e),∴[x]=2.2.设角的终边在第一象限,函数的定义域为,且,当时,有,则使等式成立的的集合为.【答案】【解析】令得:,令得:,由得:,又角的终边在第一象限,所以因而的集合为.【考点】抽象函数赋值法3.下图揭示了一个由区间到实数集上的对应过程:区间内的任意实数与数轴上的线段(不包括端点)上的点一一对应(图一),将线段围成一个圆,使两端恰好重合(图二),再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在轴上,点的坐标为(图三).图三中直线与轴交于点,由此得到一个函数,则下列命题中正确的序号是();是偶函数;在其定义域上是增函数;的图像关于点对称.A.(1)(3)(4).B.(1)(2)(3).C.(1)(2)(4).D.(1)(2)(3)(4).【答案】A【解析】由题意得:对应点为,此时直线与轴交于坐标原点,所以成立,由于函数定义区间为,所以是偶函数不成立,由题意得:直线与轴的交点从左到右,因此在其定义域上是增函数成立,根据直线与轴的交点关于原点对称,而由知的图像关于点对称成立.【考点】函数对应关系4.已知函数,则使函数有零点的实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意方程有解,即有解,的取值范围就是函数的值域,当时,,当时,是增函数,取值范围是,即函数的值域是,这就是的取值范围.【考点】方程有解与函数的值域.5.设函数,其中,为正整数,,,均为常数,曲线在处的切线方程为.(1)求,,的值;(2)求函数的最大值;(3)证明:对任意的都有.(为自然对数的底)【答案】(1);(2);(3)见解析.【解析】(1)在切点处的的函数值,就是切线的斜率为,可得;根据切点适合切线方程、曲线方程,可得,.(2)求导数,求驻点,讨论区间函数单调性,确定最值.(3)本小题有多种思路,一是要证对任意的都有只需证;二是令,利用导数确定,转化得到.令,证明.(1)因为, 1分所以,又因为切线的斜率为,所以 2分,由点(1,c)在直线上,可得,即 3分4分(2)由(1)知,,所以令,解得,即在(0,+上有唯一零点 5分当0<<时,,故在(0,)上单调递增; 6分当>时,,故在(,+上单调递减; 7分在(0,+上的最大值=== 8分(3)证法1:要证对任意的都有只需证由(2)知在上有最大值,=,故只需证 9分,即① 11分令,则,①即② 13分令,则显然当0<t<1时,,所以在(0,1)上单调递增,所以,即对任意的②恒成立,所以对任意的都有 14分证法2:令,则. 10分当时,,故在上单调递减;而当时,,故在上单调递增.在上有最小值,.,即. 12分令,得,即,所以,即.由(2)知,,故所证不等式成立. 14分【考点】导数的几何意义,直线方程,应用导数研究函数的单调性、最(极)值、证明不等式,转化与化归思想,分类讨论思想,应用导数研究恒成立问题.6.设[x]表示不超过x的最大整数(如[2]=2,[]=1),对于给定的n N*,定义x,则当x时,函数的值域是()A.B.C.D.【答案】D【解析】当时,,故;当时,,故,因为,故,综上函数的值域是.【考点】函数的值域.7.若直角坐标平面内两点满足条件:①点都在的图象上;②点关于原点对称,则对称点对是函数的一个“兄弟点对”(点对与可看作一个“兄弟点对”).已知函数, 则的“兄弟点对”的个数为( )A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】设,则点关于原点的对称点为,于是,,只需判断方程根的个数,即与图像的交点个数,函数图像如下:所以的“兄弟点对”的个数为5个.【考点】1.函数的值;2.新定义题;3.函数的零点.8.已知函数满足,当,,若在区间内,函数有三个不同零点,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】当时,则,于是,故,如图所示,作出函数的图像,观察图像可知:要使函数有三个不同零点,则直线应在图中的两条虚线之间,于是.【考点】1.导数求切线斜率;2.函数的图像9.已知函数,若,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】函数,所以函数在上是增函数,由得,解得或,所以选C.【考点】函数的单调性.10.已知函数,给出下列命题:(1)必是偶函数;(2)当时,的图象关于直线对称;(3)若,则在区间上是增函数;(4)有最大值.其中正确的命题序号是()A.(3)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(2)(3)【答案】A【解析】当时,不是偶函数,(1)错;取可得,但图象不关于直线对称,(2)错;当时,,其对称轴为,开口向上在区间上是增函数,(3)正确;因为开口向上无最大值,所以也无最大值,(4)错,所以正确的是(3),选A.【考点】函数奇偶性、二次函数图象.11.若直角坐标平面内不同的两点满足条件:①都在函数的图像上;②关于原点对称,则称点对是函数的一对“友好点对”(注:点对与看作同一对“友好点对”).若函数,则此函数的“友好点对”有()对.A.B.C.D.【答案】C【解析】函数关于坐标原点对称的函数为与函数的交点个数(如下图)即为“友好点对”的个数,从图象上可知有两个交点.【考点】求函数解析式,函数的奇偶性,二次函数,对数函数的图象.12.已知函数设表示中的较大值,表示中的较小值,记得最小值为得最大值为,则 ( )A.B.C.D.【答案】C.【解析】即,当时,取最小值;当时,取最大值,所以,选C.【考点】分段函数求最值.13.对于函数,若在定义域内存在实数,满足,则称为“局部奇函数”.(Ⅰ)已知二次函数,试判断是否为“局部奇函数”?并说明理由;(Ⅱ)若是定义在区间上的“局部奇函数”,求实数的取值范围;(Ⅲ)若为定义域上的“局部奇函数”,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)是,理由详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).【解析】(Ⅰ)判断方程是否有解;(Ⅱ)在方程有解时,通过分离参数求取值范围;(Ⅲ)在不便于分离参数时,通二次函数的图象判断一元二次方程根的分布. 试题解析:为“局部奇函数”等价于关于的方程有解.(Ⅰ)当时,方程即有解,所以为“局部奇函数”. 3分(Ⅱ)当时,可化为,因为的定义域为,所以方程在上有解. 5分令,则.设,则,当时,,故在上为减函数,当时,,故在上为增函数,. 7分所以时,.所以,即. 9分(Ⅲ)当时,可化为.设,则,从而在有解即可保证为“局部奇函数”. 11分令,1°当,在有解,由,即,解得; 13分2°当时,在有解等价于解得. 15分(说明:也可转化为大根大于等于2求解)综上,所求实数m的取值范围为. 16分【考点】函数的值域、方程解的存在性的判定.14.对于函数与和区间D,如果存在,使,则称是函数与在区间D上的“友好点”.现给出两个函数①,②,③,④,其中在区间上存在“友好点”的有()A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】C【解析】对于①,不符合;对于②,,不符合;对于③,=,,函数在(0,+∞)上是单调减函数,当时,,所以,存在,使成立;对于④令得令,得所以,时,函数取得极大值,且为最大值,最大值为,所以,存在,使成立;故选C.【考点】新定义问题,配方法、导数法求函数的值域.15.已知函数若直线与函数的图象有两个不同的交点,则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】如下图所示,作出函数的图象如下图所示,当直线与函数的图象有两个不同的交点,则.【考点】分段函数的图象、函数的零点16.已知函数,(,.若,且函数的图像关于点对称,并在处取得最小值,则正实数的值构成的集合是 .【答案】【解析】由于函数的最小正周期为,由于函数的图象关于点对称,并在处取得最小值,即直线是函数的一条对称轴,故是的奇数倍,即,其中,解得,故正实数的取值集合为.【考点】三角函数的对称性、周期性17.设,定义,则+2等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】设终边过点的角(不妨设)则,其中是终边过的角(不妨设).当时,有+2.故选A.【考点】三角函数的性质点评:主要是考查了三角函数的求解,属于基础题。
2010-2018年高考文科数学真题-指数函数对数函数幂函数(含解析)
九年(2010-2018年)高考真题文科数学精选(含解析)专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第四讲 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1.(2018天津)已知13313711log ,(),log 245a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A .a b c >>B .b a c >>C .c b a >>D .c a b >>2.(2018全国卷Ⅱ)函数2()--=x xe ef x x 的图像大致为3.(2018全国卷Ⅲ)下列函数中,其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是A .ln(1)y x =-B .ln(2)y x =-C .ln(1)y x =+D .ln(2)y x =+4.(2017新课标Ⅰ)已知函数()ln ln(2)f x x x =+-,则A .()f x 在(0,2)单调递增B .()f x 在(0,2)单调递减C .()y f x =的图像关于直线1x =对称D .()y f x =的图像关于点(1,0)对称 5.(2017新课标Ⅱ)函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A .(,2)-∞-B .(,1)-∞C .(1,)+∞D .(4,)+∞6.(2017天津)已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若21(log )5a f =-,2(log 4.1)b f =,0.8(2)c f =,则,,a b c 的大小关系为A .a b c <<B .b a c <<C .c b a <<D .c a b <<7.(2017北京)已知函数1()3()3x xf x =-,则()f xA .是偶函数,且在R 上是增函数B .是奇函数,且在R 上是增函数C .是偶函数,且在R 上是减函数D .是奇函数,且在R 上是增函数 8.(2017山东)若函数e ()xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是 A .()2xf x -=B .2()f x x=C .()3xf x -=D .()cos f x x =9.(2017北京)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与M N最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48)A .3310B .5310C .7310D .931010.(2017浙江)若函数2()f x x ax b =++在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M m -A . 与a 有关,且与b 有关B . 与a 有关,但与b 无关C . 与a 无关,且与b 无关D . 与a 无关,但与b 有关 11.(2016年全国I 卷)若0a b >>,01c <<,则A .log log a b c c <B .log log c c a b <C .cca b < D .abc c >12.(2016年全国I 卷)函数2||2x y x e =-在[–2,2]的图像大致为A .B .C .D .13.(2016年全国II 卷)下列函数中,其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是A .y =xB .y =lg xC .y =2xD .y=14.(2016全国III 卷)已知4213332,3,25a b c ===,则A .b a c <<B .a b c <<C .b c a <<D .c a b <<15.(2015山东)设0.6 1.50.60.6,0.6, 1.5a b c === ,则,,a b c 的大小关系是A .a b c <<B .a c b <<C .b a c <<D .b c a << 16.(2015天津)已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-(m 为实数)为偶函数,记0.5(log 3)a f =,2(log 5)b f =,(2)c f m =,则,,a b c ,的大小关系为 A .a b c << B .c a b << C .a c b << D .c b a <<17.(2015陕西)设()ln f x x =,0a b <<,若p f =,()2a bq +=, 1(()())2r f a f b =+,则下列关系式中正确的是 A .q r p =< B .q r p => C .p r q =< D .p r q => 18.(2015新课标1)设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称,且(2)(4)1f f -+-=,则a =A .1-B .1C .2D .419.(2014山东)已知函数log ()a y x c =+(,a c 为常数,其中0,1a a >≠)的图象如图,则下列结论成立的是A .0,1a c >>B .1,01a c ><<C .01,1a c <<>D .01,01a c <<<<20.(2014安徽)设3log 7a =, 1.12b =, 3.10.8c =,则A .c a b <<B .b a c <<C .a b c <<D .b c a <<21.(2014浙江)在同一直角坐标系中,函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是A .B .C .D .22.(2014天津)函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间是A .()0,+¥B .(),0-¥C .()2,+¥D .(),2-?23.(2013新课标)设357log 6,log 10,log 14a b c ===,则A .c b a >>B .b c a >>C .a c b >>D .a b c >> 24.(2013陕西)设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是A .·log log log a c c b a b = B .·log lo log g a a a b a b = C .()log og g l lo a a a b c bc = D .()log g og o l l a a a b b c c +=+ 25.(2013浙江)已知y x ,为正实数,则A .y x yx lg lg lg lg 222+=+ B .lg()lg lg 222x y x y += C .y x yx lg lg lg lg 222+=∙ D .lg()lg lg 222xy x y =26.(2013天津)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是A .[1,2]B .10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C .1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .(0,2]27.(2012安徽)23(log 9)(log 4)⋅=A .14B .12C .2D .4 28.(2012新课标)当102x <≤时,4log x a x <,则a 的取值范围是A .(0,2) B .(2,1) C .(1D .2) 29.(2012天津)已知122a =,0.212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭,52log 2c =,则,,a b c 的大小关系为A .c <b <aB .c <a <bC .b <a <cD .b <c <a 30.(2011北京)如果,0log log 2121<<y x 那么A .1y x <<B .1x y <<C .1x y <<D .1y x <<31.(2011安徽)若点(,)a b 在lg y x = 图像上,a ≠1,则下列点也在此图像上的是A .(a 1,b ) B .(10a ,1-b ) C .(a10,b +1) D .(a 2,2b )32.(2011辽宁)设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩,则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是A .1[-,2]B .[0,2]C .[1,+∞)D .[0,+∞) 33.(2010山东)函数22x y x =-的图像大致是34.(2010天津)设5554log 4log 3log a b c ===2,(),,则A .a <c <bB .b <c <aC .a <b <cD .b <a <c 35.(2010浙江)已知函数1()log (1),f x x =+若()1,f α=α=A .0B .1C .2D .336.(2010辽宁)设25abm ==,且112a b+=,则m = AB .10C .20D .10037.(2010陕西)下列四类函数中,个有性质“对任意的0x >,0y >,函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+”的是A .幂函数B .对数函数C .指数函数D .余弦函数38.(2010新课标)已知函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩,若a ,b ,c 均不相等,且()f a =()f b =()f c ,则abc 的取值范围是A .(1,10)B .(5,6)C .(10,12)D .(20,24)39.(2010天津)若函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩,若()()f a f a >-,则实数a 的取值范围是A .(1-,0)∪(0,1)B .(-∞,1-)∪(1,+∞)C .(1-,0)∪(1,+∞)D .(-∞,1-)∪(0,1) 二、填空题40.(2018全国卷Ⅰ)已知函数22()log ()=+f x x a ,若(3)1=f ,则a =________.41.(2018全国卷Ⅲ)已知函数())1f x x =+,()4f a =,则()f a -=___.42.(2018上海)已知11{2,1,,,1,2,3}22α∈---,若幂函数()α=f x x 为奇函数,且在0+∞(,)上递减,则α=_____43.(2018上海)已知常数0a >,函数2()(2)xx f x ax =+的图像经过点6()5P p ,、1()5Q q -,,若236p qpq +=,则a =__________.44.(2017江苏)已知函数31()2xxf x x x e e =-+-,其中e 是自然数对数的底数, 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 . 45.(2015江苏)不等式224xx-<的解集为________.46.(2015浙江)计算:2log 2= ,24log 3log 32+= . 47.(2015北京)32-,123,2log 5三个数中最大数的是 . 48.(2015安徽)151lg2lg 2()22-+-= . 49.(2015天津)已知0a >,0b >,8ab =,则当a 的值为 时,()22log log 2a b ⋅取得最大值.50.(2015福建)若函数()2()x af x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-,且()f x 在[,)m +∞上单调递增,则实数m 的最小值等于_______.51.(2014新课标)设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是__.52.(2014天津)函数2()lg f x x =的单调递减区间是________. 53.(2014重庆)函数2()log )f x x =的最小值为_________.54.(2013四川)的值是____________.55.(2012北京)已知函数()lg f x x =,若()1f ab =,则22()()f a f b += . 56.(2012山东)若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数,则a =____. 57.(2011天津)已知22log log 1a b +≥,则39ab+的最小值为__________. 58.(2011江苏)函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________.专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第四讲 指数函数、对数函数、幂函数答案部分1.D 【解析】1331log log 55c ==,因为3log y x =为增函数, 所以3337log 5log log 312>>=. 因为函数1()4x y =为减函数,所以10311()()144<=,故c a b >>,故选D .2.B 【解析】当0<x 时,因为0--<xxe e ,所以此时2()0--=<x xe ef x x ,故排除A .D ;又1(1)2=->f e e,故排除C ,选B . 3.B 【解析】解法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(,)x y ,则其关于直线1x =的对称点的坐标为(2,)x y -,由对称性知点(2,)x y -在函数()ln f x x =的图象上,所以ln(2)y x =-,故选B .解法二 由题意知,对称轴上的点(1,0)即在函数ln y x =的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除A ,C ,D ,选B . 4.C 【解析】由2(1)()(2)x f x x x -'=-,02x <<知,()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,排除A 、B ;又(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=, 所以()f x 的图象关于1x =对称,C 正确.5.D 【解析】由2280x x -->,得2x <-或4x >,设228u x x =--,则(,2)x ∈-∞-,u 关于x 单调递减,(4,)x ∈+∞,u 关于x 单调递增,由对数函数的性质,可知ln y u =单调递增,所以根据同增异减,可知单调递增区间为(4,)+∞.选D . 6.C 【解析】函数()f x 为奇函数,所以221(log )(log 5)5a f f =-=,又222log 5log 4.1log 42>>=,0.8122<<,由题意,a b c >>,选C . 7.B 【解析】由11()3()(3())()33xx x x f x f x ---=-=--=-,得()f x 为奇函数, ()(33)3ln33ln30x x x x f x --''=-=+>,所以()f x 在R 上是增函数.选B .8.A 【解析】对于A,令()e 2x x g x -=⋅,11()e (22ln )e 2(1ln )022x x x x xg x ---'=+=+>,则()g x 在R 上单调递增,故()f x 具有M 性质,故选A .9.D 【解析】设36180310M x N ==,两边取对数得,36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-≈,所以93.2810x =,即M N最接近9310,选D .10.B 【解析】函数()f x 的对称轴为2a x =-, ①当02a-≤,此时(1)1M f a b ==++,(0)m f b ==,1M m a -=+; ②当12a-≥,此时(0)M f b ==,(1)1m f a b ==++,1M m a -=--;③当012a <-<,此时2()24a a m fb =-=-,(0)M f b ==或(1)1M f a b ==++,24a M m -=或214a M m a -=++.综上,M m -的值与a 有关,与b 无关.选B .11.B 【解析】因为01c <<,所以log c y x =在(0,)+∞上单调递减,又0b a <<,所以log log c c a b <,故选B .12.D 【解析】∵2||2x y x e =-是偶函数,设2||2x y x e =-,则222(2)228f e e =⨯-=-,所以0(2)1f <<,所以排除A ,B ;当02x剟时,22x y x e =-,所以4x y x e '=-,又()4xy e ''=-,当0ln 4x <<时,()0y ''>,当ln 42x <<时,()0y ''<,所以4x y x e '=-在(0,ln4)单调递增,在(ln 4,2)单调递减,所以4x y x e '=-在[0,2]有14(ln41)y '--剟,所以4x y x e '=-在[0,2]存在零点ε,所以函数22x y x e =-在[0,)ε单调递减,在(,2]ε单调递增,排除C ,故选D .13.D 【解析】函数lg 10x y =的定义域为(0,)+∞,又lg 10x y x ==,所以函数的值域为(0,)+∞,故选D .14.A 【解析】因为42233324a b ==>=,1223332554c a ==>=,所以b a c <<,故选A .15.C 【解析】由0.6x y =在区间(0,)+∞是单调减函数可知, 1.50.600.60.61<<<,又0.61.51>,故选C .16.B 【解析】由于()f x 为偶函数,所以0m =,即||()21x f x =-,其图象过原点,且关于y 轴对称,在(,0)-∞上单调递减,在(0,)+∞上单调递增.又0.522(log 3)(log 3)(log 3)a f f f ==-=,2(log 5)b f =,(0)c f =.且220log 3log 5<<,所以c a b <<.17.C 【解析】1ln 2p f ab ===,()ln 22a b a b q f ++==;11(()())ln 22r f a f b ab =+=.因为2a b +>()ln f x x =是个递增函数,()2a b f f +>,所以q p r >=.18.C 【解析】设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点,它关于直线y x =-对称为(,y x --),由已知知(,y x --)在函数2x ay +=的图像上,∴2y ax -+-=,解得2log ()y x a =--+,即2()log ()f x x a =--+,∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=,解得2a =,故选C .19.D 【解析】由图象可知01a <<,当0x =时,log ()log 0a a x c c +=>,得01c <<. 20.B 【解析】∵32log 71a >=>, 1.122b =>, 3.10.81c =<,所以b a c <<.21.D 【解析】当1a >时,函数()(0)af x x x =>单调递增,函数()log a g x x =单调递增,且过点(1,0),由幂函数的图象性质可知C 错;当01a <<时,函数()(0)a f x x x =>单调递增,函数()log a g x x =单调递减,且过点(1,0),排除A ,又由幂函数的图象性质可知C 错,因此选D .22.D 【解析】240x ->,解得2x <-或2x >.由复合函数的单调性知()f x 的单调递增区间为(),2-?.23.D 【解析】33log 61log 2,a ==+5577log 101log 2,log 141log 2b c ==+==+,由下图可知D 正确.解法二 3321log 61log 21log 3a ==+=+, 5521log 101log 21log 5b ==+=+, 7721log 141log 21log 7c ==+=+由222log 3log 5log 7<<,可得答案D 正确.24.B 【解析】a ,b ,c ≠1. 考察对数2个公式:abb y x xyc c a a a a log log log ,log log log =+=对选项A :bab a b bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式不符,所以为假.对选项B :abb b a bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式一致,所以为真.对选项C :c b bc a a a log log log ⋅=)(,显然与第一个公式不符,所以为假.对选项D :c b c b a a a log log )log +=+(,同样与第一个公式不符,所以为假.所以选B .25.D 【解析】取特殊值即可,如取lg lg lg lg 10,1,22,223,x y x y x y +===+=()lg lg11lg lg 22,21x y x y +⋅==.26.C 【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且122log log a a =-,所以222122(log )(log )(log )(log )2(log )2(1)f a f a f a f a f a f +=+-=≤,即2(log )(1)f a f ≤,因为函数在区间[0,)+∞单调递增,所以2(log )(1)f a f ≤, 即2log 1a ≤,所以21log 1a -≤≤,解得122a ≤≤,即a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦,选C . 27.D 【解析】23lg9lg 42lg32lg 2log 9log 44lg 2lg3lg 2lg3⨯=⨯=⨯=. 28.B 【解析】由指数函数与对数函数的图像知12011log 42a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩,解得12a <<,故选B. 29.A 【解析】因为122.02.022)21(<==-b ,所以a b <<1, 14log 2log 2log 25255<===c ,所以a b c <<,选A.30.D 【解析】根据对数函数的性质得1x y >>.31.D 【解析】当2x a =时,2lg 2lg 2y a a b ===,所以点2(,2)a b 在函数lg y x =图象上.32.D 【解析】当1x ≤时122x -≤,解得0x ≥,所以01x ≤≤;当1x >时,21log 2x -≤,解得12x ≥,所以1x >,综上可知0x ≥. 33.A 【解析】因为当x =2或4时,2x -2x =0,所以排除B 、C ;当x =-2时,2x -2x =14<04-,故排除D ,所以选A . 34.D 【解析】因为50log 41<<,所以b <a <c .35.B 【解析】α+1=2,故α=1,选B . 36.A 【解析】211log 2log 5log 102,10,m m m m a b+=+==∴=又0,m m >∴ 37.C 【解析】)()()(y x f a a a y f x f y x y x +===+ 38.C 【解析】画出函数的图象,如图所示,不妨设a b c <<,因为()()()f a f b f c ==,所以1ab =,c 的取值范围是(10,12),所以abc 的取值范围是(10,12).39.C 【解析】由分段函数的表达式知,需要对a 的正负进行分类讨论.2112220<0()()log log log ()log ()a a f a f a a a a a >⎧⎧⎪⎪>-⇒⎨⎨>->-⎪⎪⎩⎩或01-10112a a a a a a a<>⎧⎧⎪⎪⇒⇒><<⎨⎨<>⎪⎪⎩⎩或或. 40.7-【解析】由(3)1f =得,22log (3)1a +=,所以92a +=,即7a =-.41.2-【解析】由())14f a a =+=,得)3a =,所以())11)1f a a a -=+=-=-+312=-+=-.42.1-【解析】由题意()f x 为奇函数,所以α只能取1,1,3-,又()f x 在(0,)+∞上递减,所以1α=-.43.6a =【解析】由题意2625=+p p ap ,2125=-+q q aq ,上面两式相加,得22122+=++p qp q ap aq,所以22+=p q a pq ,所以236=a ,因为0>a ,所以6=a .44.1[1,]2-【解析】因为31()2e ()exx f x x f x x -=-++-=-,所以函数()f x 是奇函数,因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+≥,所以数()f x 在R 上单调递增,又21)02()(f f a a +-≤,即2())2(1a a f f ≤-,所以221a a ≤-, 即2120a a +-≤,解得112a -≤≤,故实数a 的取值范围为1[1,]2-. 45.(1,2)-【解析】由题意得:2212x x x -<⇒-<<,解集为(1,2)-.46.12-12221log log 222-==-;2424log 3log 3log 3log 32223+=⨯==47.2log 5【解析】∵3128-=,12 1.732=≈,而22log 4log 5<,即2log 52>,所以三个数中最大数是2log 5.48.1-【解析】原式=12122lg 5lg 2lg 22lg 5lg -=-=-+=-+-.49.4 【解析】()()()()22222222log log 211log log 2log 2log 164,244a b a b ab ≤+⎛⎫⋅=== ⎪⎝⎭ 当2a b =时取等号,结合0a >,0b >,8ab =,可得4, 2.a b == 50.1【解析】由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称,故1a =,则1()2x f x -=,由复合函数单调性得()f x 在[1,)+∞递增,故1m ≥,所以实数m 的最小值等于1. 51.(,8]-∞【解析】当1x <时,由12x e-≤得1ln 2x +≤,∴1x <;当1x ≥时,由132x ≤得8x ≤,∴18x ≤≤,综上8x ≤.52.(,0)-?【解析】22lg ,0()lg 2lg ||2lg(),0x x f x x x x x >⎧===⎨-<⎩,易知单调递减区间是(,0)-?. 53.14-【解析】()222221()log (22log )log log 2f x x x x x =⋅+=+22111(log )244x =+--≥.当且仅当21log 2x =-,即2x =时等号成立.54.1【解析】lg101==.55.2【解析】由()1f ab =,得10ab =,于是2222()()lg lg f a f b a b +=+2(lg lg )2lg()2lg102a b ab =+===56.14【解析】当1a >时,有214,a a m -==,此时12,2a m ==,此时()g x =不合题意.若01a <<,则124,a a m -==,故11,416a m ==,检验知符合题意.57.18【解析】222log log log a b ab +=,∵2ab ≥且0,0a b >>,则39a b+=23318a b +==≥.当且仅当2a b =,即2,1a b ==时等号成立,所以39a b +的最小值为18.58.1(,)2-+∞【解析】由题意知,函数)12(log )(5+=x x f 的定义域为1{|}2x x >-,所以该函数的单调增区间是1(,)2-+∞.。
高中函数试题及答案解析
高中函数试题及答案解析试题一:函数的奇偶性1. 判断函数f(x) = x^2 - 2x + 3的奇偶性,并说明理由。
2. 若f(x)为奇函数,且f(1) = 5,求f(-1)的值。
试题二:函数的单调性3. 判断函数g(x) = -3x^2 + 6x - 2在区间(-∞, 1]上的单调性。
4. 若函数h(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x + 1在区间[-1, 1]上单调递减,求h'(x)的值。
试题三:复合函数的单调性5. 若f(x) = x^2 + 1,g(x) = 2x - 3,求复合函数f(g(x)),并判断其单调性。
6. 若复合函数f(g(x))在区间[-2, 1]上单调递增,求g'(x)的值。
试题四:函数的值域7. 求函数y = 3x + 2在x∈[-1, 4]上的值域。
8. 若函数y = 1/x在x∈(0, 1]上的值域为[2, +∞),求y的最小值。
试题五:函数的极值9. 求函数k(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在x = 1处的极值。
10. 若函数m(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 8x + 1在x = 2处取得极小值,求m'(x)和m''(x)的值。
答案解析:1. 函数f(x) = x^2 - 2x + 3为偶函数,因为f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) + 3 = x^2 + 2x + 3 = f(x)。
2. 由于f(x)为奇函数,所以f(-1) = -f(1) = -5。
3. 函数g(x) = -3x^2 + 6x - 2在区间(-∞, 1]上单调递增,因为g'(x) = -6x + 6,当x < 1时,g'(x) > 0。
4. 函数h(x)的导数h'(x) = 6x^2 - 12x + 3,由于h(x)在区间[-1, 1]上单调递减,所以h'(x) < 0,即6x^2 - 12x + 3 < 0。
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函 数【1.2.1】函数的概念(1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <. (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ,当a>0时,值域为{ab ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}②配方法:③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.转化成型如:)0(>+=k xkx y ,利用平均值不等式公式来求值域;⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.【1.2.2】函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象. (7)求函数解析式的题型有:1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;2)已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x :换元法、配凑法;3)已知函数图像,求函数解析式;4)()f x 满足某个等式,这个等式除()f x 外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组法;5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减.(2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数,分别在[、上为减函数.(3)最大(小)值定义①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤;(2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M =.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.1 (4)证明函数单调性的一般方法:①定义法:设2121,x x A x x <∈且;作差)()(21x f x f -,判断正负号②用导数证明: 若)(x f 在某个区间A 内有导数,则()0f x ≥’,)x A ∈(⇔)(x f 在A 内为增函数;⇔∈≤)0)(A x x f ,(’)(x f 在A 内为减函数 (5)求单调区间的方法:定义法、导数法、图象法(6)复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性:①若f 与g 的单调性相同,则[])(x g f 为增函数;②若f 与g 的单调性相反,则[])(x g f 为减函数(7)一些有用的结论:①奇函数在其对称区间上的单调性相同;②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内:增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数;减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数; 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数;减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数④函数)0,0(>>+=b a x bax y 在,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭或上单调递增;在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减【1.3.2】奇偶性②若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0f =.()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:()()0f x f x ±-=,()1()f x f x =±- 函数周期性定义:若T 为非零常数,对于定义域内的任一x ,使)()(x f T x f =+恒成立,则f(x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去①y=f(x) 轴x →y=f(x); ②y=f(x) 轴y →y=f(x);③y=f(x)ax =→直线y=f(2a x); ④y=f(x)xy =→直线y=f 1(x);⑤y=f(x) 原点→y= f(x)(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算(1)根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次当n 是偶数时,正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.③根式的性质:n a =;当n 为奇数时,a =;当n 为偶数时,(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. (2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是:1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.(3)分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质(4)指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算(1)对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N 叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.(2)几个重要的对数恒等式log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.(3)常用对数与自然对数常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a aM M N N-= ③数乘:log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质(6)设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ϕ=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数,函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y fx -=.(7)反函数的求法①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x fy -=;③将1()x fy -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称.②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域.③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.④一般地,函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数.〖2.3〗幂函数(1)幂函数的定义(2(3①一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴.④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当qpα=(其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q p y x =是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q py x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则qpy x =是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x =下方.〖补充知识〗二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式:2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠(2)求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时,宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便.(3)二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--. ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-上递减,在[,)2b a-+∞上递增,当2bx a =-时,2min 4()4ac b f x a -=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-上递增,在[,)2ba -+∞上递减,当2bx a=-时,2max 4()4ac b f x a -=.③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时,图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=. (4)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2bx a=- ③判别式:∆ ④端点函数值符号.(5)二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01()2x p q =+. (Ⅰ)当0a >时(开口向上) ①若2b p a -<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b m f a=- ③若2bq a ->,则()m f q =①若02b x a -≤,则()M f q = ②0b x ->,则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b M f a=- ③若2bq a ->,则()M f q =①若02x a -≤,则()m f q = ②02x a ->,则(m f =xxxxxfxfxfxx第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
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函 数【1.2.1】函数的概念(1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <. (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ,当a>0时,值域为{ab ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}②配方法:③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.转化成型如:)0(>+=k xkx y ,利用平均值不等式公式来求值域;⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.【1.2.2】函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象. (7)求函数解析式的题型有:1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;2)已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x :换元法、配凑法;3)已知函数图像,求函数解析式;4)()f x 满足某个等式,这个等式除()f x 外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组法;5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< .x .2.时,都有f(x ...1.)<f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是增函数....(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象上升为增) (4)利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< .x .2.时,都有f(x ...1.)>f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是减函数....(1)利用定义 (2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象下降为减)(4)利用复合函数增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减. (2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a -、]a 上为减函数.(3)最大(小)值定义①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤;(2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M =.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.1 (4)证明函数单调性的一般方法:①定义法:设2121,x x A x x <∈且;作差)()(21x f x f -,判断正负号②用导数证明: 若)(x f 在某个区间A 内有导数,则()0f x ≥’,)x A ∈(⇔)(x f 在A 内为增函数;⇔∈≤)0)(A x x f ,(’)(x f 在A 内为减函数 (5)求单调区间的方法:定义法、导数法、图象法(6)复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性:①若f 与g 的单调性相同,则[])(x g f 为增函数;②若f 与g 的单调性相反,则[])(x g f 为减函数注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集(7)一些有用的结论:①奇函数在其对称区间上的单调性相同;②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内:增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数;减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数; 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数;减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数④函数)0,0(>>+=b a x bax y 在,,b b a a ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭或上单调递增;在,00b b a a ⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦或,上是单调递减【1.3.2】奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...-.f(x)....,那么函数f(x)叫做奇函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于原点对称)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...f(x)....,那么函数f(x)叫做偶函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于y 轴对称)②若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0f =.()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:()()0f x f x ±-=,()1()f x f x =±- 函数周期性定义:若T 为非零常数,对于定义域内的任一x ,使)()(x f T x f =+恒成立,则f(x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去①y=f(x) 轴x →y= -f(x); ②y=f(x) 轴y →y=f(-x);③y=f(x) ax =→直线y=f(2a -x); ④y=f(x) xy =→直线y=f -1(x);⑤y=f(x) 原点→y= -f(-x)(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算(1)根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次当n 是偶数时,正数a 的正的n负的n次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.③根式的性质:n a =;当n 为奇数时,a =;当n 为偶数时,(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. (2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,mna a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是:1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.(3)分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质(4)指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算(1)对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N 叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.(2)几个重要的对数恒等式log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.(3)常用对数与自然对数常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a aM M N N-= ③数乘:log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ϕ=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数,函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y fx -=.(7)反函数的求法①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=;③将1()x fy -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称.②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域.③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.④一般地,函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数.〖2.3〗幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数.(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴.④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当qpα=(其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q py x =是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q py x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则qpy x =是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x =下方.〖补充知识〗二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式:2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠(2)求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时,宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便.(3)二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--. ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-上递减,在[,)2b a-+∞上递增,当2bx a =-时,2min 4()4ac b f x a -=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-上递增,在[,)2ba -+∞上递减,当2bx a=-时,2max 4()4ac b f x a -=.③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时,图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=. (4)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2bx a=- ③判别式:∆ ④端点函数值符号.(5)二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01()2x p q =+. (Ⅰ)当0a >时(开口向上)①若2b p a -<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b m f a =- ③若2b q a ->,则()m f q = ①若02b x a -≤,则()M f q = ②02bx a ->,则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下)①若2bp a -<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b M f a =- ③若2bq a ->,则()M f q =①若02bx a -≤,则()m f q = ②02bx a ->,则()m f =.>O -=f (p) f (q) ()2b f a -x>O -=f (p) f (q) ()2b f a -x >O -=f(p)f (q) ()2bf a -x>O -=f(p)f (q) ()2bf a -0x x >O -=f (p) f (q) ()2b f a -0x x <O -=f (p) f (q) ()2b f a -x <O -=f (p) f(q) ()2bf a -x <O -=f (p) f (q) ()2b f a -0xx <O -=f(p) f (q)()2bf a -x<O-=f(p) f (q)()2bfa -0x第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。