转动惯量
转动惯量
转动惯量一、基本概念惯量J 是一个常用的物理量，在负载被加速或减速的过程中中，是一个非常重要的参数。
转动惯量又可以称为惯性矩，它的的定义是：物体每一质点的质量m 与这一质点到旋转中心轴线的距离r 的二次方的乘积的总和，其数学表达式为：J ＝21m 2r 。
（1）在伺服控制系统中，大多数的传动机构具有圆柱状构件，因此，下面介绍几种圆柱状物体的转动惯量的计算。
图（1）和（2）分别描述了围绕着中心轴线旋转的空心圆柱体和实心圆柱体。
图（1）空心圆柱体 图（2）实心圆柱体（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝21m （21R ＋22R ）[牛∙米∙秒2] （2）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝21m 2R [牛∙米∙秒2] （3）对于己知重量为G 的物体，用（G /g ）代替公式（2）和（3）中的m ，g 为重力加速度，我们可以分别得到：（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝gR R G 2)(2221+[牛∙米∙秒2] （4）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝gGR 22[牛∙米∙秒2] （5）如果重量不知道，但知道旋转物体的体积V 和密度γ，则可用（V γ/g ）代替公/式（2）和（3）中的m ，我们可以得到：（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝)(24142R R gL -γπ[牛∙米∙秒2] （6）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝42R gL γπ[牛∙米∙秒2] （7）二、计算 举例说明1.换向器的惯性矩K JK J ＝81.910)(32244-⨯-⨯K K KiK l D D γπ[克∙厘米∙秒2]。
换向器的几何尺寸： 换向器的外径K D ＝0.6[厘米]； 换向器的内径Ki D ＝0.38[厘米]； 换向器的轴向长度K l ＝0.5[厘米]。
在几何尺寸和材料已知的情况下，换向器的惯性矩K J 为：K J ＝81.910)(32244-⨯-⨯K K KiK l D D γπ＝ ＝81.9105.75.0)38.06.0(32244-⨯⨯⨯-⨯π＝4.079×510- [克∙厘米∙秒2]，式中，K γ是换向器材料的平均比重，取K γ≈7.5[克/厘米3]。
转动惯量
转动惯量在古典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩）通常以 I 表示，SI 单位为 kg * m^2。
对于一个质点，I = mr^2，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。
其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。
刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。
电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。
在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。
而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。
转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
转动惯量的表达式为若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成(式中m表示刚体的某个质元的质量，r表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。
)[2]转动惯量的量纲为，在SI单位制中，它的单位是。
此外，计算刚体的转动惯量时常会用到平行轴定理、垂直轴定理（亦称正交轴定理）及伸展定则。
2张量定义刚体绕某一点转动的惯性可由更普遍的惯性张量描述。
惯性张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。
出于简单的角度考虑，这里仅给出绕质心的转动惯量张量的定义及其在力矩方程中的表达.设有一个刚体A,其质心为C,刚体A绕其质心C的转动惯量张量定义为[1]该积分遍及整个刚体A，其中，，是刚体质心C到刚体上任一点B的矢径；表达式是两个矢量的并乘；而为单位张量，标架是一个典型的单位正交曲线标架；是刚体的密度。
转动惯量计算公式转动惯量公式
1. 圆柱体转动惯量齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量82MD J =对于钢材：341032-⨯⨯=gLrD J π)(1078.0264s cm kgf L D ⋅⋅⨯-M-圆柱体质量kg ； D-圆柱体直径cm ； L-圆柱体长度或厚度cm ； r-材料比重gf /cm 3;2. 丝杠折算到马达轴上的转动惯量：2i Js J = kgf·cm·s 2J s –丝杠转动惯量kgf·cm·s 2； i-降速比,12z z i =3. 工作台折算到丝杠上的转动惯量g w22⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=n v J π g w2s 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=π kgf·cm·s 2 v -工作台移动速度cm/min ； n-丝杠转速r/min ； w-工作台重量kgf ； g-重力加速度,g = 980cm/s 2； s-丝杠螺距cm2. 丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量：())s cm (kgf 2g w 122221⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=πs J J iJ J S tJ 1-齿轮z 1及其轴的转动惯量； J 2-齿轮z 2的转动惯量kgf·cm·s 2； J s -丝杠转动惯量kgf·cm·s 2； s-丝杠螺距,cm ； w-工件及工作台重量kfg.5. 齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量2gw R J =kgf·cm·s 2R-齿轮分度圆半径cm; w-工件及工作台重量kgf6. 齿轮齿条传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=2221g w 1R J i J J tJ 1,J 2-分别为Ⅰ轴,Ⅱ轴上齿轮的转动惯量kgf·cm·s 2；R-齿轮z 分度圆半径cm ； w-工件及工作台重量kgf;马达力矩计算1 快速空载时所需力矩：0f amax M M M M ++=2 最大切削负载时所需力矩：t 0f t a M M M M M +++= 3 快速进给时所需力矩：0f M M M +=式中M amax —空载启动时折算到马达轴上的加速力矩kgf·m ；M f —折算到马达轴上的摩擦力矩kgf·m ；M 0—由于丝杠预紧引起的折算到马达轴上的附加摩擦力矩kgf·m ；M at —切削时折算到马达轴上的加速力矩kgf·m ； M t —折算到马达轴上的切削负载力矩kgf·m;在采用滚动丝杠螺母传动时,M a 、M f 、M 0、M t 的计算公式如下： 4 加速力矩： 2a 106.9M -⨯=TnJ r kgf·m s T 171=J r —折算到马达轴上的总惯量； T —系统时间常数s ； n —马达转速 r/min ； 当 n = n max 时,计算M amax n = n t 时,计算M atn t —切削时的转速 r / min5 摩擦力矩：20f 10i2sF M -⨯⋅⋅⋅=ηπkgf·mF 0—导轨摩擦力kgf ； s —丝杠螺距cm ； i —齿轮降速比；η—传动链总效率；一般η=~;6 附加摩擦力矩：()220001012M -⨯-⋅=ηπηis P kgf·m P 0—滚珠丝杠预加载荷kg·f ；s —丝杠螺距cm ；η—传动链总效率； i —齿轮降速比；η0—滚珠丝杠未预紧式的效率,计算公式 见本手册第2测第425页,一般η0≥;7 切削力矩： 2t 102M -⨯⋅=isP t πηkgf·m P t —进给方向的最大切削力kg· f ； s —丝杠螺距cm ；η—传动链总效率； i —齿轮降速比;。
转动惯量
转动惯量一、基本概念惯量J 是一个常用的物理量，在负载被加速或减速的过程中中，是一个非常重要的参数。
转动惯量又可以称为惯性矩，它的的定义是：物体每一质点的质量m 与这一质点到旋转中心轴线的距离r 的二次方的乘积的总和，其数学表达式为：J ＝21m 2r 。
（1）在伺服控制系统中，大多数的传动机构具有圆柱状构件，因此，下面介绍几种圆柱状物体的转动惯量的计算。
图（1）和（2）分别描述了围绕着中心轴线旋转的空心圆柱体和实心圆柱体。
图（1）空心圆柱体 图（2）实心圆柱体（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝21m （21R ＋22R ）[牛∙米∙秒2] （2）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝21m 2R [牛∙米∙秒2] （3）对于己知重量为G 的物体，用（G /g ）代替公式（2）和（3）中的m ，g 为重力加速度，我们可以分别得到：（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝gR R G 2)(2221+[牛∙米∙秒2] （4）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝gGR 22[牛∙米∙秒2] （5）如果重量不知道，但知道旋转物体的体积V 和密度γ，则可用（V γ/g ）代替公/式（2）和（3）中的m ，我们可以得到：（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝)(24142R R gL -γπ[牛∙米∙秒2] （6）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝42R gL γπ[牛∙米∙秒2] （7）二、计算 举例说明1.换向器的惯性矩K JK J ＝81.910)(32244-⨯-⨯K K KiK l D D γπ[克∙厘米∙秒2]。
换向器的几何尺寸： 换向器的外径K D ＝0.6[厘米]； 换向器的内径Ki D ＝0.38[厘米]； 换向器的轴向长度K l ＝0.5[厘米]。
在几何尺寸和材料已知的情况下，换向器的惯性矩K J 为：K J ＝81.910)(32244-⨯-⨯K K KiK l D D γπ＝ ＝81.9105.75.0)38.06.0(32244-⨯⨯⨯-⨯π＝4.079×510- [克∙厘米∙秒2]，式中，K γ是换向器材料的平均比重，取K γ≈7.5[克/厘米3]。
3. 转动惯量
2. 垂直轴定理
J JC md 2
薄板形刚体对于板面内两条正交轴的转动惯量之和等于 过该两轴交点并垂直于板面的轴的转动惯量，即
Jz Jx Jy
小结
本次课主要讲解了转动惯量的定义、决定刚体转动 惯量的三个因素以及关于刚体转动惯量的两个定理。
本次课所讲知识点是学好刚体力学这一部分内容的 基础，希望大家课后好好复习，熟练掌握。
例题. 求质量 m、半径 R 的细圆环和均匀薄圆盘对其 中心垂直轴的转动惯量.
解: J r2dm
细圆环：在圆环上取质量元dm
o R dm
J r2dm R2dm mR2 m
薄圆盘：在圆盘上取半径为r宽度为dr的圆环作为
质量元dm
dm
m
R2
2
r
dr
o r dr
J
r 2dm
R 0
垂直轴定理若质量为m的刚体对过其质心c的某一转轴的转动惯量则这个刚体对于平行于该轴并和它相距为d的另一转轴的转动惯量j薄板形刚体对于板面内两条正交轴的转动惯量之和等于过该两轴交点并垂直于板面的轴的转动惯量即本次课主要讲解了转动惯量的定义决定刚体转动惯量的三个因素以及关于刚体转动惯量的两个定理
转动惯量
2m R2
r3
dr
1 2
mR2
3. 与转轴的位置有关
例题. 求长为L、质量为m的均匀细棒AB的转动惯量. (1) 对于通过棒的一端与棒垂直的轴; (2) 对于通过棒的中心与棒垂直的轴.
解：设 为单位长度的质量，棒沿x轴放置，则:
m L dm dx
x x
(1) 对于通过棒一端的转轴：
JA
3) 质量连续分布的刚体，其转动惯量可写成
J r2dm
转动惯量公式
转动惯量公式转动惯量是物体对于绕指定轴旋转的惯性特性的度量。
它与物体的质量、形状以及旋转轴的位置有关。
在这篇文章中，我们将介绍转动惯量的概念以及相关的公式。
1. 转动惯量的定义转动惯量是描述物体绕某个轴旋转时对其惯性的度量。
物体的质量分布越集中，转动惯量越小，物体的形状越分散，转动惯量越大。
对于一个质量分布均匀的物体来说，转动惯量可以通过以下公式计算：转动惯量公式转动惯量公式其中，I 是转动惯量，r 是与旋转轴的距离，dm 是物体的微小质量元素。
转动惯量的单位是千克·米²。
2. 转动惯量的计算方法对于一些常见的几何形状，我们可以通过特定的公式计算它们的转动惯量。
下面是一些常见形状的转动惯量计算公式：•线状物体（绕与物体平行的轴旋转）：线状物体转动惯量公式线状物体转动惯量公式其中，m 是线状物体的质量，l 是线状物体长度。
•圆盘状物体（绕与盘面平行的轴旋转）：圆盘状物体转动惯量公式圆盘状物体转动惯量公式其中，m 是圆盘状物体的质量，r 是圆盘状物体半径。
•球体（绕球的直径轴旋转）：球体转动惯量公式球体转动惯量公式其中，m 是球体的质量，r 是球体的半径。
这些公式可以帮助我们计算常见几何形状物体的转动惯量。
对于复杂的物体形状，可以使用积分计算转动惯量。
3. 转动惯量的应用转动惯量在物理学中有广泛的应用。
它是理解刚体转动运动的重要参数，可以帮助我们研究物体在旋转过程中的角动量、角加速度等性质。
转动惯量的大小决定了物体在给定轴上旋转的难易程度。
当转动惯量较大时，物体旋转需要更大的力矩才能实现，导致旋转速度较慢。
相反，转动惯量较小的物体则更容易加速旋转。
此外，转动惯量还与物体的稳定性有关。
当物体的质量分布越接近旋转轴时，转动惯量越小，物体越稳定。
4. 结论转动惯量是描述物体绕某个轴旋转时对其惯性的度量。
它与物体的质量、形状以及旋转轴的位置有关。
我们可以根据物体的几何形状和分布情况，使用特定的公式来计算转动惯量。
转动惯量计算公式高数
转动惯量计算公式高数
在高等数学中，转动惯量是描述刚体旋转惯性特性的物理量。
以下是常见的刚体转动惯量计算公式：
1. 点质量绕轴旋转：
转动惯量公式：I = m * r^2
其中，I 表示转动惯量，m 表示点质量，r 表示质点到旋转轴的距离。
2. 细长杆绕轴旋转：
转动惯量公式：I = (1/12) * m * L^2
其中，I 表示转动惯量，m 表示杆的质量，L 表示杆的长度。
3. 薄环绕轴旋转：
转动惯量公式：I = m * r^2
其中，I 表示转动惯量，m 表示环的质量，r 表示环的半径。
4. 薄球壳绕轴旋转：
转动惯量公式：I = (2/3) * m * r^2
其中，I 表示转动惯量，m 表示球壳的质量，r 表示球壳的半径。
5. 均匀圆盘绕轴旋转：
转动惯量公式：I = (1/4) * m * r^2
其中，I 表示转动惯量，m 表示圆盘的质量，r 表示圆盘的半径。
这些公式仅适用于特定形状的刚体，并假设刚体质量分布均匀。
在实际计算中，根据刚体的形状和质量分布，可能需要使用更复杂的积分计算或使用转动惯量表进行查询。
转动惯量计算折算公式
转动惯量计算折算公式
转动惯量（即转动惯性矩）是描述物体对转动运动的惯性的物理量，
它可以用公式I=mr^2来计算，其中I是转动惯量，m是物体的质量，r是
物体的转动半径。
然而，在实际问题中，物体的形状往往是复杂的，不可能直接通过上
述公式来计算转动惯量。
为了解决这个问题，我们可以通过一些折算公式
来将复杂物体的转动惯量转换为一些简单形状的转动惯量之和。
以下是一些常见的折算公式：
1.对于长方体：
-绕通过质心垂直于一条边的转动轴转动：I=(1/12)*m*(a^2+b^2)，
其中m是质量，a和b是长方体的两个边长。
-绕通过质心垂直于两条平行边的转动轴转动：I=(1/3)*m*(a^2+b^2)，其中m是质量，a和b是长方体的两个边长。
2.对于球体：
-绕通过质心的任意轴转动：I=(2/5)*m*r^2，其中m是质量，r是球
体的半径。
3.对于圆环：
-绕通过圆环中心的垂直于其平面的转动轴转动：I=m*r^2，其中m是
质量，r是圆环的半径。
4.对于圆盘：
-绕通过圆盘中心的垂直于其平面的转动轴转动：I=(1/2)*m*r^2，其中m是质量，r是圆盘的半径。
5.对于薄杆（在转动轴与薄杆所在直线垂直的情况下）：
-绕通过薄杆中心的转动轴转动：I=(1/12)*m*L^2，其中m是质量，L 是薄杆的长度。
这些折算公式可以帮助我们将复杂物体的转动惯量转换为一些简单形状的转动惯量之和，从而简化计算过程。
在实际应用中，我们可以根据物体的形状选择合适的折算公式来计算转动惯量，从而更好地描述物体的转动运动。
转动物体的转动惯量和角动量
转动物体的转动惯量和角动量转动物体的转动惯量和角动量是物理学中重要的概念，它们描述了物体在转动过程中的性质和运动状态。
转动惯量是度量物体转动惯性的物理量，而角动量则是描述物体转动状态的物理量。
一、转动惯量转动惯量是物体抵抗转动的程度，它与物体的质量分布有关。
对于刚体，它的转动惯量公式可以表示为：I = ∫r^2dm其中，I表示转动惯量，r表示离转轴的距离，dm表示物体的微小质量元。
转动惯量可以看作是质量与距离的乘积之和，因此可以用来描述物体对转动的阻力。
转动惯量的计算方法取决于物体的形状和转轴的位置。
对于简单的几何形状，可以使用公式计算转动惯量；对于复杂的形状，可以通过积分来计算转动惯量。
常见几何体的转动惯量公式如下：1. 绕轴线的旋转：I = m*r^2这是最简单的情况，质量为m的物体绕与其垂直的轴线旋转，转动惯量为质量乘以转轴与物体质心距离的平方。
2. 绕端点转动：I = 0物体绕其重心或端点旋转时，转动惯量为零。
这是因为物体的质量分布对转动没有贡献。
3. 绕质心转动：I = m*r^2质量均匀分布的物体绕其质心旋转时的转动惯量等于质量乘以物体尺寸的平方。
4. 绕长直杆的转动：I = (1/3)*m*L^2质量均匀分布的长直杆绕与其垂直的轴线旋转时，转动惯量为质量乘以杆长的平方的1/3。
以上是一些常见情况下的转动惯量计算方法，不同形状和转轴的组合会得到不同的转动惯量。
二、角动量角动量是描述物体转动状态的物理量，它是由物体的转动惯量和角速度共同决定的。
角动量的定义为：L = Iω其中，L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
角动量与物体的转动状态密切相关，增大转动惯量或角速度都会增大角动量。
对于一个系统，角动量的守恒定律可以表述为：Li = Lf即系统的初始角动量等于系统的最终角动量。
这个定律在转动过程中起到了重要的作用，可以帮助我们理解许多自然现象。
总结：转动物体的转动惯量和角动量是物理学中重要的概念，它们描述了物体在转动过程中的性质和运动状态。
10种常见刚体转动惯量公式
10种常见刚体转动惯量公式
刚体转动惯量是指刚体在转动运动时所需要的转动势能。
它可以衡量刚体转动时所需要的力的大小。
常见的刚体转动惯量公式有以下10种：
1.圆柱体转动惯量公式：I=1/2mr^2
2.圆锥体转动惯量公式：I=1/3mr^2
3.球体转动惯量公式：I=2/5mr^2
4.圆筒体转动惯量公式：I=1/2mr^2
5.正方体转动惯量公式：I
6.三棱锥体转动惯量公式：I=1/3mr^2
7.六棱锥体转动惯量公式：I=1/4mr^2
8.五棱锥体转动惯量公式：I=1/5mr^2
9.四棱锥体转动惯量公式：I=1/6mr^2
10.八棱锥体转动惯量公式：I=1/8mr^2
在上述公式中，m表示刚体的质量，r表示刚体的转动半径。
转动惯量的通俗理解
转动惯量的通俗理解一、什么是转动惯量转动惯量，也称为角动量惯量，是旋转物体抵抗改变其旋转状态的物理量。
简单来说，它是一个物体旋转时所具有的惯性。
二、转动惯量的计算公式在不同情况下，转动惯量的计算公式也不同。
以下是一些常见情况下的计算公式：1. 点质量绕轴旋转对于一个质点质量为m，在距离轴心距离为r处绕轴旋转，其转动惯量可以表示为I = mr²。
2. 刚体绕轴旋转对于一个刚体绕某个轴旋转，其总的转动惯量可以表示为I = Σmr²，其中Σ表示所有质点的加和。
3. 刚体固定在一端绕另一端旋转对于一个刚体固定在一端，在另一端绕垂直于其长度方向的轴旋转，其转动惯量可以表示为I = (1/3)ml²，其中l表示刚体长度。
三、什么影响着物体的转动惯量1. 形状和尺寸：物体形状和尺寸会影响其质心到轴心的距离，从而影响转动惯量。
2. 质量分布：物体不同部位的质量分布也会影响转动惯量。
3. 旋转轴的位置：旋转轴的位置会直接影响物体的转动惯量。
四、转动惯量的通俗理解1. 转动惯量越大，物体越难以旋转。
这是因为它需要更多的力来改变其旋转状态。
2. 转动惯量与物体的形状和尺寸有关。
例如，一个长条形物体比一个球体更难旋转，因为它的质心到轴心距离更大。
3. 转动惯量还与旋转轴的位置有关。
如果旋转轴靠近物体质心，那么它将更容易旋转。
4. 最后，值得注意的是，在实际应用中，我们通常会使用一些简化公式来计算物体的转动惯量。
例如，在某些情况下，可以将物体视为点质量，并使用I = mr²公式来计算其转动惯量。
§5转动惯量
I
J y I yy y I yx x I yzz
J z Izzz Izx x Izy y
四、惯量椭球
O为刚体定点转动的定点， 在转轴上截取OQ,满足
OQ 1 R 即 R2I 1 I
z
Qx, y, z
O
y
x
R2 I xx 2 I yy 2 I zz 2 2I xy 2I xz 2I yz 1
i
i
对y轴的轴转动惯量 I yy mi xi2 zi2 , i
对z轴的轴转动惯量 Izz mi xi2 yi2 , i
I xz Izx mi xi zi i I yz Izy mi yi zi i
I 2dm
I xx ( y2 z2 )dm I yy ( x2 z2 )dm Izz ( x2 y2 )dm
I yy y I yx x I yz z ˆj I zz z Izxx Izy y kˆ
将W、J代入
T
1
J
2
T 1 2
I
xx
2 x
I
yy
2 y
I
2
zz z
2I xyx y
2I xzxz
2I yz yz
Q点坐标
x R, y R , z R
Q点构成椭球: 惯量椭球
I xx x 2 I yy y2 I zz z 2 2I xy xy 2I xz xz 2I yz yz 1
1.如果定点O正好是刚体的质心或重心，则此椭球称中心惯 量椭球。
转动惯量
转动惯量引自百度百科本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。
转动惯量(MomentofInertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。
[1]在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I或J表示，SI单位为kg·m²。
对于一个质点，I=mr²，其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
中文名转动惯量外文名MomentofInertia表达式I=mr²应用学科物理学适用领域范围刚体动力学适用领域范围土木工程基本含义质量转动惯量其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。
刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。
电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。
在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。
而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。
转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
转动惯量的表达式为若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成(式中表示刚体的某个质元的质量，r表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。
)[2]转动惯量的量纲为，在SI单位制中，它的单位是。
此外，计算刚体的转动惯量时常会用到平行轴定理、垂直轴定理（亦称正交轴定理）及伸展定则。
转动惯量的概念
转动惯量的概念
转动惯量是物体对于绕轴旋转的难易程度的量度，也可称为转动的惯性。
它与物体的质量以及物体围绕轴线的分布有关。
具体表达式可以通过以下公式来计算：
I = ∫ r^2 dm
其中，I是转动惯量，r是物体质点到轴线的距离，dm是质点的微小质量元素。
整个物体的转动惯量是所有微小质量元素转动惯量的总和。
转动惯量描述了物体抵抗转动的能力，起到了在牛顿第二定律中类似于质量的角色。
转动惯量越大，物体对于转动的难度越大，转轴旁边的物体越难以改变其状态的转动。
如果物体有规则的几何形状，在其坐标轴上的转动惯量可以通过公式或者几何知识计算出来。
例如，对于摆锤，其绕重心旋转的转动惯量为I = m*l^2，其中m为质量，l为摆臂的长度。
对于其他复杂形状的物体，可以通过分析物体的质量分布和运用积分来计算转动惯量。
转动惯量在理解物体转动行为、计算转动系统的动力学性质以及设计旋转设备等方面都起到了重要的作用。
最全的转动惯量的计算(经典实用)
最全的转动惯量的计算（经典实用）
转动惯量是描述物体旋转惯性大小的物理量，通常用I表示。
下面是最全的转动惯量计算方法：
1. 刚体转动惯量的定义公式为：I = ∫r²dm，其中r是质点到转
轴的距离，m是质点的质量。
将质点相加得到刚体的质量分布，因此整个刚体的转动惯量可以表示为：I = ∫r²dm，其中积分是
对整个刚体的所有小质点进行的。
2. 对于均匀密度的均匀球体，转动惯量可以用公式I =
(2/5)MR²来计算，其中M是球体的质量，R是球体的半径。
3. 对于均匀密度的长直圆柱体，转动惯量可以用公式I =
(1/2)MR²来计算，其中M是圆柱体的质量，R是圆柱体的半径，同时也是圆柱体绕着垂直于轴线的质量分布半径。
4. 对于均匀密度的长直棒，转动惯量可以用公式I = (1/12)ML²来计算，其中M是棒的质量，L是棒的长度。
5. 对于精细计算，可以将物体分解为若干个小物体进行计算，然后将它们的转动惯量相加。
这种方法适用于任何形状的物体，但需要计算的小物体数量较大，具有较高的复杂度。
6. 对于不规则物体，可以使用轴绕定理求解物体绕轴转动的转动惯量。
轴绕定理指出，如果一个物体绕一个与其重心相切的轴旋转，那么它的转动惯量等于绕过绕该轴垂直于该轴的一个轴旋转时的转动惯量加上一个关于该轴的平行轴定理项。
转动惯量的概念
转动惯量的概念转动惯量是物体对于绕轴线旋转的难易程度的度量。
它是刻画物体旋转运动特性的重要物理量，对于解释旋转现象和分析旋转问题有着至关重要的作用。
本文将详细介绍转动惯量的概念、计算方法以及它在物理学中的应用。
转动惯量是指物体绕某一轴线旋转时所具有的惯性量。
与物体的质量密切相关，但除了质量，物体的形状和轴线的位置也对转动惯量产生影响。
转动惯量用符号“I”表示，单位是kg·m²。
对于质点，其转动惯量只与质点的质量和轴线的位置有关，可由以下公式计算：I = m*r²其中，m代表质量，r代表质点距离轴线的距离。
但对于具有形状和大小的物体，它的转动惯量要根据其旋转轴及形状特性进行计算。
例如，对于一个长方体绕过其中一条边的轴线旋转，其转动惯量可通过以下公式计算：I = (1/3) * m * l²其中，m代表长方体的质量，l代表长方体的边长。
可以看出，转动惯量的大小取决于物体的质量和形状，而与其旋转的速度无关。
转动惯量的计算方法对于不规则形状的物体，计算其转动惯量需要采用积分的方法。
以一个平面图形为例，如圆环，可以将其划分为一系列无数个微小的质点，每个微小的质点的质量用dm表示。
则圆环的转动惯量可以表示为：I = ∫ r²*dm其中，r代表质点距离轴线的距离。
通过对整个图形进行积分，可以得到物体的总转动惯量。
转动惯量在物理学中的应用转动惯量在物理学中有广泛的应用。
以下是其中几个重要的应用领域：1. 机械工程：在机械设计中，转动惯量对于分析旋转部件的运动和力学特性起着重要作用。
例如，计算旋转轮子的转动惯量可以帮助设计师选择合适的马达和制动系统，确保系统的稳定性和平衡性。
2. 刚体动力学：转动惯量是研究刚体运动的基本物理量之一。
通过计算转动惯量，可以分析刚体在外力作用下的角加速度以及角动量的变化。
3. 地球科学：转动惯量的应用还可以延伸到地球科学领域。
例如，在测量地球的形状和质量分布时，转动惯量可以作为一种工具来确定地球的物理特性。
转动惯量与角动量
转动惯量与角动量转动惯量（moment of inertia）是描述物体环绕某个轴旋转时难以改变自身旋转状态的物理量，也可以理解为物体抵抗改变旋转速度的能力。
而角动量（angular momentum）是描述物体在旋转过程中所具有的动量，它与转动惯量密切相关。
本文将探讨转动惯量和角动量之间的关系，以及它们在物理学中的应用。
一、转动惯量的定义和计算方法转动惯量是描述物体旋转惯性的物理量，用字母I表示。
对于一个质量分布连续的物体，其转动惯量的计算方法是通过对物体的每一点的质量乘以离旋转轴的距离平方然后相加而得到的。
数学表达式为：I = ∫r²dm其中，r为某一质量微元离旋转轴的距离，dm为该质量微元。
对于质量均匀分布的刚体，其转动惯量可以通过以下公式计算：I = 0.5mr²其中，m为刚体的质量，r为刚体的半径。
二、角动量的定义和计算方法角动量是描述物体在旋转过程中所具有的动量，用字母L表示。
角动量的大小和方向，取决于物体的质量、旋转轴和旋转速度的乘积。
数学表达式为：L = Iω其中，I为转动惯量，ω为物体的角速度。
三、转动惯量与角动量的关系转动惯量和角动量之间存在直接的数学关系。
由角动量的定义公式可知，角动量L与转动惯量I成正比。
即转动惯量越大，角动量也越大；转动惯量越小，角动量也越小。
这是因为对于给定的旋转速度，转动惯量越大，物体的惯性越大，角动量也就越大。
四、转动惯量与角动量的应用1. 陀螺的工作原理陀螺是一种利用转动惯量和角动量的物理装置。
当陀螺旋转时，由于陀螺的转动惯量较大，其角动量也较大，使它具有较强的稳定性。
这是因为陀螺的角动量具有不变性，即角动量大小和方向在没有外力作用下不发生改变。
2. 匀速自行车的稳定性在骑自行车时，如果增加了转动惯量，例如通过往行李架加重物，会使得自行车变得更加稳定。
这是因为增加了转动惯量后，自行车更难改变自身的旋转状态，增强了自行车的平衡性。
最全的转动惯量的计算
最全的转动惯量的计算转动惯量是描述物体围绕轴线旋转的惯性量，表示物体抵抗改变自身旋转状态的能力。
计算转动惯量需要考虑物体的形状、质量分布和轴线的位置等因素。
下面将详细讨论不同几何形状的转动惯量的计算方法。
1.点质量：点质量的转动惯量为质量乘以轴线到质点距离的平方。
即I=m*r^2，其中m为质量，r为轴线到质点的距离。
2.刚体：刚体是一个质点系，质点间的相对位置在运动过程中不变。
对于刚体的转动惯量，有以下几种计算方法：(1)离散质点的刚体：对于离散质点的刚体，转动惯量等于所有质点转动惯量之和。
I=Σ(m_i*r_i^2)，其中m_i为质点的质量，r_i为质点到轴线的距离。
(2)连续分布质量的刚体：对于连续分布质量的刚体，可以通过对质量微元进行积分来计算转动惯量。
I = ∫(r^2 * dm)，其中r为质量微元到轴线的距离，dm为质量微元。
根据刚体的形状，可以使用不同的积分方法来计算转动惯量：(3)直线物体：对于沿直线分布质量的刚体，可以根据轴线位置的不同，分为几种情况计算转动惯量：-细长杆：细长杆绕一个端点垂直轴线旋转，转动惯量为I=(1/3)*m*L^2，其中m为杆的质量，L为杆的长度。
-细长杆绕质心轴线：细长杆绕质心轴线旋转，转动惯量为I=(1/12)*m*L^2-细长杆绕中点轴线：细长杆绕中点轴线旋转，转动惯量为I=(1/4)*m*L^2(4)平面物体：对于平面物体，可以使用以下公式计算转动惯量：-同轴圆盘/圆环：同轴圆盘或圆环的转动惯量为I=(1/2)*m*R^2，其中m为圆盘或圆环的质量，R为圆盘或圆环的半径。
-长方形板：长方形板绕质心轴线旋转，转动惯量为I=(1/12)*m*(a^2+b^2)，其中m为板的质量，a和b分别为板的长和宽。
-正方形板：正方形板绕质心轴线旋转，转动惯量为I=(1/6)*m*a^2，其中m为板的质量，a为板的边长。
(5)立体物体：对于立体物体，可以使用以下公式计算转动惯量：-球体：球体绕直径轴线旋转，转动惯量为I=(2/5)*m*R^2，其中m为球体的质量，R为球体的半径。
转动惯量
0 R2
2
3. 与转轴的位置有关
例题. 求长为L、质量为m的均匀细棒AB的转动惯量. (1) 对于通过棒的一端与棒垂直的轴; (2) 对于通过棒的中心与棒垂直的轴.
解：设 为单位长度的质量，棒沿x轴放置，则:
m L dm dx
x x
(1) 对于通过棒一端的转轴：
JA
x2dm L x2 dx 0
转动惯量
一、转动惯量的定义
刚体对转轴的转动惯量等于刚体上各质点的质量与 各质点到转轴的距离平方的乘积之和，即
说明：
J Δmiri2
i
1) 刚体对转轴的转动惯量由刚体上各质点相对于转轴 的分布所决定，与刚体的运动状态及所受的外力无关；
2) 转动惯量反映了刚体转动状态发生改变的难易程度，
即刚体转动的惯性，其单位为 kg m2；
1 L3 1 mL2
33
(2) 对于通过棒中心的转轴：
L
JC
x2dm
2 L
x2
dx
2
1 L3 1 mL2
12
12
A
dm
B
o
x dx
L
A
C dm B
o x dx
L2
L2
三、关于转动惯量的两个定理
1. 平行轴定理
若质量为m的刚体对过其质心C的某一转轴的转动惯量
为JC，则这个刚体对于平行于该轴并和它相距为d的另一 转轴的转动惯量J 为
例题. 求质量 m、半径 R 的细圆环和均匀薄圆盘对其 中心垂直轴的转动惯量.
解: J r2dm
细圆环：在圆环上取质量元dm
o R dm
J r度为dr的圆环作为
质量元dm
dm
转动惯量
3) 质量连续分布的刚体，其转动惯量可写成
J r 2dm
一维
dm dm dl ：质量线密度
二维
ห้องสมุดไป่ตู้
dm dm dS ：质量面密度
三维
dm dm dV ：质量体密度
二、决定刚体转动惯量的因素
1. 与刚体的总质量有关 半径相同、厚度相同的两个圆盘，铁质的转动惯量 比木质的大.
2. 与刚体的质量分布有关
J JC md 2
2. 垂直轴定理
薄板形刚体对于板面内两条正交轴的转动惯量之和等于 过该两轴交点并垂直于板面的轴的转动惯量，即
Jz Jx Jy
小结
本次课主要讲解了转动惯量的定义、决定刚体转动 惯量的三个因素以及关于刚体转动惯量的两个定理。
本次课所讲知识点是学好刚体力学这一部分内容的 基础，希望大家课后好好复习，熟练掌握。
r3
dr
1 2
mR2
o r dr
3. 与转轴的位置有关
例题. 求长为L、质量为m的均匀细棒AB的转动惯量. (1) 对于通过棒的一端与棒垂直的轴; (2) 对于通过棒的中心与棒垂直的轴.
解：设 为单位长度的质量，棒沿x轴放置，则:
m L dm dx
x x
(1) 对于通过棒一端的转轴：
J A
x2dm L x2 dx 0
1 L3 1 mL2
3
3
(2) 对于通过棒中心的转轴：
L
JC
x2dm
2 L
x2
dx
1 L3 12 mL2
12
12
A
dm
B
o
x dx
L
A
C dm B
o x dx
L2
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大学 物理
6-2 定轴转动定律
J J c md
2
圆盘对P 轴的转动惯量
P
R
O
m
质量为m，长为L的细棒绕其一端的J
1 2 2 J P mR mR 2
1 2 J c mL 12
O1
O1’
L 2 1 2 J J c m( ) mL 2 3
第六章 刚体的转动
第六章 刚体的转动
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6-2 定轴转动定律
平行轴定理
质量为m 的刚体， 如果对其质心轴的转动 惯量为 J C ，则对任一与 该轴平行，相距为 d 的 转轴的转动惯量
d
C
m
O
J O J C md
2
第六章 刚体的转动
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6-2 定轴转动定律
证明：如图所示，以O和C为参考点， 质元 的位矢分别为 和ri mi ri
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6-2 定轴转动定律 The Law of rotation 转动定理
第六章 刚体的转动
1
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6-2 定轴转动定律
第六章 刚体的转动
2
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6-2 定轴转动定律
第六章 刚体的转动
3
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6-2 定轴转动定律
第六章 刚体的转动
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6-2 定轴转动定律
第六章 刚体的转动
第六章 刚体的转动
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6-2 定轴转动定律
转动定律应用 说明 (1) M J ,
M J
与 M 方向相同．
(2) 为瞬时关系．
(3) 转动中 M J与平动中F ma 地位相同．
第六章 刚体的转动
8
大学 物理Βιβλιοθήκη 6-2 定轴转动定律J
J
J
第六章 刚体的转动
9
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解：(1)研究对象：滑轮和物体m; (2)受力分析如图：
2
o
滑轮：T、Mg、和轴的支持力， 只有T产生力矩（why?)， 顺 时针转动；
M
m T
第六章 刚体的转动
x
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6-2 定轴转动定律 物体：mg和T，向下运动 T
o
M
mg （3）对滑轮：
1 RT I MR 2 2
m
x
对物体m：
6-2 定轴转动定律
(d) Unit of the moment of inertial: kg· 2 m
第六章 刚体的转动
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大学 物理
6-2 定轴转动定律
5. Calculation of rotational inertia(转动惯量的计算):
The rotational inertial J is not a unique(唯一 ) property of the body but depends on the axis. Rotational inertial of a body is determined by: (1) the total mass of the body(总质量）;
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6-2 定轴转动定律
例5：均匀薄球壳(半径R、质量m)绕直径的转动惯量。 解：依题意可知，该球壳的质量面密度为 r
d
m 4R 2
将球壳划分为许多小圆环，环 面积为:
R
ds 2r Rd 2R sin d
2
J R sin 2R sin d
J c 2mR2 / 3 J o 5mR2 / 3 J c 2mR2 / 5 J o 7mR2 / 5
J c ml2 / 6
过中心轴 过切线 过中心轴 过切线 过中心轴 过棱边
J o 2ml2 / 3
第六章 刚体的转动
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6-2 定轴转动定律 Applying the Law of rotation转动定律的应用 基本步骤
2 2 2
r
dz
J
R
R
R 2
2
z
2 2
dzdv
R
8 2 5 R m R2 15 5
第六章 刚体的转动
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6-2 定轴转动定律
例7：地球内部在2900km深度上有个物理性质的间断 面，通常把此面以上部分叫地幔，以下部分叫地核。 它们分布具有均匀密度 m 和 c ，利用总质量 M和转 动惯量J，求 m 和 c 。（M 61024 kg ， 0.33MR2 ） J 解：依题意有：
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6-2 定轴转动定律
J
第六章 刚体的转动
14
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6-2 定轴转动定律
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环
r
圆环质量
dm 2 π r dr
2 3
R R
O
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m,r
A m
第六章 刚体的转动
m,r
B 2m
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6-2 定轴转动定律 解：（1）研究对象：A、B和两圆柱体；
（2）受离分析如图：
A向上运动，有加速度 TA aA;B向下运动，加速度
TB B 2mg
T TB
A
aB,圆柱体顺时针转动。
mg
TA
（3）可有下列方程：
2mg TB 2ma B (TB T )r I (T T A )r I T T ma A A a A a B r
31
第六章 刚体的转动
6-2 定轴转动定律 Example : As shown in below figure, the body A is connected to the body B by the light rope which is through two uniform solid cylinder（圆柱体） with a mass m and a radius r. The body A has a mass of m and the mass of B is 2m.There is not relative motion between the rope and cylinder. Find the tension force between the solid cylinders with I mr . T=?
d=L/2
O2 O2’
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6-2 定轴转动定律
正交轴定理
设刚性薄板所处平面为xy平面，z轴与之垂 直，则该薄板绕这三个坐标轴的转动惯量 分别为： 2 2 J z mi xi yi i 2 J x mi yi Jz Jx Jy i 2 J y mi xi i 圆盘绕直径的转动惯量
z
O
x
y
z
R O m
J x J y J z / 2 mR2 / 4
第六章 刚体的转动
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6-2 定轴转动定律
标度变换法
例8：均匀正方体(边长l、质量m)绕通过 面心的中心轴的转动惯量。 解：由量纲分析，可设
J c kml
2
2
其中k为一无量纲的常数。 考虑到平行轴定理，绕棱边的转动惯量为：
2 2 2 0
8 2 4 2 R m R 3 3 第六章 刚体的转动
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6-2 定轴转动定律
例6：均匀球体(半径R、质量m)绕直径的转动惯量。 解：同上例，将该球体划分为许多厚为dz的 小圆盘，显然该圆盘的质量为：
dm dv r dz R z dz
J o 2mR2
J x J y mR2 / 2
J c mR2 / 2
J o 3mR2 / 2 J c m1 m2 R2 / 2
J x J y mR2 / 4
第六章 刚体的转动
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6-2 定轴转动定律
常见刚体的转动惯量 刚体 球壳 球体 立方体 转轴 转动惯量
ri ri R 2 ri ri ri ri R ri R 2 2 ri d 2ri R
2
ri
C
R
ri
O
m
d
2
2 J o mi ri mi ri mi d 2 mi ri R i i i i J c m d2 0 J c m d2
m 2 2 R2 R1 l
将该空心圆柱看成两同心实心圆柱之差，再套 用上例中圆盘的转动惯量公式可得：
4 1 1 ml R2 R14 1 4 4 2 2 J lR2 lR1 m R2 R1 2 2 2 2 2 R2 R1 2
第六章 刚体的转动
mg T ma
第六章 刚体的转动
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6-2 定轴转动定律
滑轮和物体的运动学关系为:
o M
a R
（4）以上三式联立，可得物体下落
的加速度和速度： m a g mM 2
m
x
4mgh V 2ah 2m M
这时滑轮转动的角速度为
V 1 4mgh R R 2m M