现代控制理论最优控制

2. 将（2）代入（3）可得：
1 T 1 T T T J ( x Qx x k Rkx)dt x (Q k T Rk ) xdt 2 0 2 0
令 实对称阵 于是得到
T T
xT (Q k T Rk ) x
d T ( x .P.x) dt
式中P为正定
T Px xT Px xT (Q k T Rk ) x x
1.2 最优控制的提法
给定系统状态方程 x f x, u, t , x(t0 ) t0
和目标函数(泛函)
J (u )
n
tf
t0
L( x, u, t )dt ( x(t f ), t f )
求最优控制u(t) ∈U , 使J（u）最大或最 小, U是 R 的一个子集,可开可闭。
2.求最优控制的方法 1. 变分法: 17 世纪,无约束最优控制 2. 最大值原理：前苏联庞特里雅金在20世 纪50年代提出. (有约束最优控制) 3. 动态规划：美国贝尔曼1957年提出,求解 最优控制策略应用于弹道优化是控制策略.
3. 实现最优控制的必备条件 1. 具有适当精度的数学模型; 2. 有明确的控制约束; 3. 有明确的目标函数,其大小能反映出所设 计的控制系统的优劣.
J (u ) xT (t )Qx(t )dt
f
t0
并对控制应有约束,如不,则控制会无穷大,则 目标泛函为
J (u ) ( xT (t )Qx(t ) u T Ru) dt
t0 tf
当有终点约束要求时
1 T 1 tf T J (u ) x (t f ) Fx(t f ) ( x (t )Qx(t ) u T Ru )dt 2 2 t0
p p
12
1 0 0 0 0 0 0 22
上述方程,计算后得到
p12 p21 1 p p p 11 22 21 p11 p12 p22 0 0 2 p12 p21 p22 0 0
给定系统状态方程，
Ax Bu, x(t0 ) x0 x
（1）
确定下列最优控制向量的矩阵k,
u (t ) kx(t )
使下列性能指标达到最小值
1 T J ( x Qx u T Ru )dt 2 0
（2） （3）
式中Q、R为正定实对称阵。
求最优控制问题，实际归纳为求k，下面求 解过程 1.将（2）代入（1）可得： Ax Bkx ( A Bk ) x x （4） 在下面的推导过程中，假设矩阵A-Bk是稳定 矩阵，即A-Bk的特征值都具有负实部。
情况下，线性调节器或状态调节器是最常 见的一类线性二次型问题.
最优控制的目的是:当线性系统由于某种 原因偏离出原来的平衡状态,控制的目的是 使系统的状态x(t)尽量接近平衡状态,而所用 的量又不能太大,控制能量一般描述为控制 变量的二次型.
因此目标函数选为:
1 tf T J (u ) ( x Qx u T Ru )dt 2 t0
将式（4）的结果代入后得：
T x (Q k Rk ) x x A Bk P P A Bk x T
如果要对于所存x均成立，则
（5） 显然对式（5）来说，若A-Bk为稳定矩阵， 则必存在一个正定矩阵P，并满足式（5）.
3.有了式（5）以后，问题转化为求P，并 检验P是否正定阵。
或
T 1 T TK T A P PA PBR B P Q B P T 1 T T T 1 T . TK T 0 B P
（7）
在式（7）中，第一项与K无关，因此 若第二项取极小，则能得证该式为最小， 考虑到第二项为二次型的形式，即它们是 每个元素的平方和，其结果非负，因此若 使二次型取得最小值，则使得构成向量的 T 1 T 元素为零即可，即： TK T B P 0 1 T 1 T 1 T K T T B P R B P 或 （8） 时才出现极小值。
由于目标泛函可归结为或需满足式（5） 或式（6）的要求，同时泛函J对k极小值的 问题可归结为方程式（5）或式（6）对k取 极小值的问题。
也就是说，当k取何值时，式（5）或式（ 6）为极小，这样可将式（6）改写为:
T 1 T T 1 T 1 T A P PA TK T B P . TK T B P PBR B P Q 0 T T
1 T
例2. 考虑如图所表示的系统.假如控制信号 为 u(t ) Kx(t )
试确定最优反馈增益 K ,使得下列性能指标 达到最小
1 T J (u ) ( x Qx u 2 )dt 2 0
式中
1 0 Q 0
( 0), R 1
解.1.) 先写出对象的状态方程
4. 典型的最优控制问题 （1）最小时间问题; （2）最小能量问题; （3）最省燃料问题; （4）状态调节器问题;
当系统的状态偏离平衡点 xe 0 时,可用 状态的平方和的积分衡量误差的积累.
目标函数可取为
J (u ) xT (t )x(t )dt
t0 tf
更一般的取为状态变量的加权平方和的积 分: t
0
由于A-Bk是稳定矩阵，因此 x 0 ， 故而 J 1 xT 0 Px 0 2 显然性能指标可由初始条件和P算得。
5.以下求k 由于R为正定实对称阵，故 R T T T ，其中 T为非奇异矩阵，于是方程式（5）可以写 成 T T T T T A k B P P A Bk Q k T Tk 0 （6）
因此，当二次型最优控制问题的性能指 标如前所描述的那样。 其最优控制为 u kx RT BT Px 其中P应满足 AT P PA PBR1BT P Q 0 （9） 式（9）称为退化的矩阵黎卡提方程。
8. 线性二次型最优控制的设计步骤 1）.解黎卡提方程,求出矩阵P,并检验P的 正定性,如P正定,则 A – BK是稳定的; 2）. 将解出的P,代入 K= R B P 中, 得到 最优控制 Q Kx
Q和R为加权矩阵,调整Q和R的元素,就是调 整状态变量接近“平衡状态”和“控制的量 不能太大”这两个目标的重视程度.
6、研究线形二次型问题的重要性
1).相当多的最优控制问题是线性二次型 问题 2).线性二次型问题理论上比较完善，其 最优控制是状态变量的反馈（或u=-kx)， 所以应用比较方便，闭环品质较准。
现代控制理论
第七章 最优控制
1.最优控制是什么? 什么是最优控制问题? 1.1 数学上的最优方法或提法是极值问题， 极值问题是函数的极值问题.这表明, 当自变量取何值时，函数或同变量达到 极值。
显然对照这种条件或仿照这种方法,最优 控制理论的提供或问题的表达式为:当控制 函数满足何种条件时,其目标函数达到极值.
Ax Bu x 0 1 0 A ,B ,x x1 0 0 1
x
2
T
2.) 求P,由于 则假设
A R 22
,故
P R 22
p11 p 12 P p21 p22
有黎卡提方程 AT P PA PBR1BT P Q 0 可得
明显地两者之间的差异和相同处在于: 相同: 都要在给定目标函数条件下,求使目标 函数取极值的函数式变量. 相异: 一个是求函数的极值时的变量取值问题, 另一个是求函数极值时求控制函数的问题.
由于最优控制中，目标函数依赖于控制 函数u(t),因而也称目标函数为目标泛函.
因此最优控制问题实际上是求使目标泛 函取极值的控制规律问题.

x1 2 x 2
x
1
2 x2

特征方程 当 1 时, S 0.866 j 故A-BK是稳定的!
1,2
det(sI A BK ) s 2 2s 1 0
因此，最优控制也是状态反馈控制问题 ，即 u r k x r 0 即 u kx ， r 0 的目的 在于使系统的状态回到 xe 0 的系统原平衡 点位置处，当然若系统的原平衡点不为零， 则应先通过坐标变换，使系统的平衡状态为 零.
7、线性二次型最优控制的解（或二次型最 优状态调节器） 方法：变分法或最大值原理，研究非时 变理论
2 12
解出,
2 p 1
2 1
显然P是正定矩阵,所有元素大于零
故而最优增益为
K R B P
T 1
1
1
p11 0 1 p 21
p12 p21 p22
p22
即
K 1
2
最优控制为 u kx 1
（5）跟踪问题.
5. 线性二次型最优控制问题
所谓二次型最优控制问题,实际上是指 目标函数是状态变量和控制变量的二次 型.
如状态调节器问题,而线性二次型最优 控制问题:则是除目标函数是状态变量和控 制变量的二次型,而且它的状态方程是线性 微分方程,即
A(t ) x B(t )u, x x(t0 ) x0
p12 p21
先设P为实对称矩阵,则
故可得到下列方程
a,
2 1 p12 0
b,
p11 p12 p22 0
C, p
11

p p
21
22
0
d,
2 2 p12 p22 0
其中b和c 是等价的,故得到三个方程
1 p 0 p11 p12 p22 0 2 2 p12 p22 0
(Q k T Rk ) ( A Bk )T P P( A Bk )
4.性能指标可计算如下:
1 T 1 T T J x (Q k Rk ) xdt x Px 2 0 2
1 ( xT Px xT 0 Px 0 ) 2
0 0 p11 1 0 p 21
p p
12
p 11 p 22 21
p p
12
0 1 p 11 0 0 p 22 21
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p p
12
0 1 22
1
1
p 11 0 1 p 21