中考总复习——二次根式优质课件PPT
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二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
中考总复习——二次根式精品PPT教学课件
5. ( )a2=a(a≥0).
2020/12/8
a2
a(a0) |a|a(a0)
4
三、最简二次根式
满足下列三个条件的二次根式，叫做最简二次根式. (1)被开方数的因数是整数，因式是整式. (2)被开方数中不含开方开得尽方的因数或因式. (3)分母不能含有根号。 化简时应注意把被开方数分解因式或分解因数.
2020/12/8
6
五、分母有理化：
1、定义： 把分母中的根号化去。
2、方法： 分子、分母同时乘以分母的有理化因式。
3、有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们 的积中不含二次根式 ，我们说这两个二次根 式互为有理化因式。
4、常见的互为有理化因式：
2020/12/8
7Leabharlann 1) a的有理化因式为 : a
2)a b的有理化因式为: a b
3)a b c d的有理化因式:为a bc d
4) a b 的有理化因式是 a b a b的有理化因式是 a b
2020/12/8
8
➢ 典型例题解析
【例1】
已知 xy0,则 x2y 化简后为（ B ）
A. x y B. x y C. x y
D. x y
a 3a
= ab ab
3
二次根式的乘除运算可以考虑先将被开
方数进行乘除法计算，再化简二次根式，
而不一定要先将二次根式化成最简二次
2020/12/8
根式再约分.
10
【例3】 求代数式的值. ➢ 典型例题解析
(1) 若 a2 2 3 3,b2 2 3 3,求 aa 2b 2 a b22b的.值
(2) 若x2-4x+1=0，求
中考数学一轮教材梳理复习课件：第4课二次根式
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最简二次根式3】(2019·河池)下列式子中，为最简二次根式的 是( B )
1 A. 2
B． 2
C. 4
D． 12
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10.(2020·上海)下列二次根式中，与 3 是同类二 次根式的是( C )
A． 6
B． 9
C． 12
D． 18
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5.(2020·济宁)下列各式是最简二次根式 的是( A )
A． 13
B． 12
C． a3
D．
5 3
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5.二次根式的性质与运算
(1)双重非负性： a ≥0 且 a≥0；
(2)( a )2＝a(a≥0)， a2 ＝|a| (a 取全体实数)；
(3) ab ＝ a · b (a≥0，b≥0)；
(4)
a b
＝
a b
(a≥0，b>0).
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6. (1)计算：
52 ＝___5___；( 5 )2＝___5___；
（－5）2 ＝__5____．
(2)计算：
1 2
×
8 ＝___2____．
(3)计算： 63 ÷ 7 ＝____3____．
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考点精炼
二次根式有意义的条件(7 年 6 考)
【例 1】(2020·武汉)式子 x－2 在实数范围内有
意义，则 x 的取值范围是( D )
A．x≥0
B．x≤2
C．x≥－2
D．x≥2
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7.(2020·常德)若代数式
2 在实数范围内有 2x－6
意义，则 x 的取值范围是___x_＞_3___．
二次根式ppt课件
(1) 2 x 6 ；
解：由 -2x - 6 ≥ 0，得
(2)
1
；
3x 7
解：由 1
0
3x 7
3 x 7 0
7
x > 3.
x ≤ -3
当 x ≤ -3 时， 2 x 6 有意义.
当x >
，得
7
1
3 时， 3 x 7
有意义.
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
当a是负数时， a 没有意义.
a ( a≥0)表示非负数a的算术平方根，也就是说， a
(a ≥0)是一个
非负数，它的平方等于a，即有:
(1) a ≥0 ( a≥0);
(2)(
a
)2 =a(a ≥0).
新知讲解
二次根式的定义：
形如 a (a≥0) 的式子叫做二次根式. “
”称为二次根号.
注意：
2.二次根式实质上是非负数的算术平方根.
公式是：v gR ，
其中 g 为重力加速度，R 为地球半径．
本章我们就来学习带有”“的式子.
新知讲解
在第 11 章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个
记号
a .
当a是正数时， a 表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.
a
当a是0时， a 等于0，表示0的平方根，也叫做0的算术平方根.
作业布置
【综合拓展类作业】
3.已知|3x - y - 1|和 2 x y 4 互为相反数，求 x + 4y 的平方根．
解：由题意得
3x - y - 1 = 0
2x + y - 4 = 0．
二次根式PPT课件
;
;()
; ()
教材P43 习题
必做题：1.3
选做题：2.4
谢 谢
7. 二次根式
新知导入
复习提问：
1.什么叫做算术平方根？
2.5的算术平方根怎么表示？
. 的算术平方根是多少?
4.什么数才有算术平方根？
学习目标
1.通过观察能说出二次根式和最简二次根式的概念,
并会进行判断.
2.通过“做一做”活动,能总结出二次根式的性质，
并能利用性质将二次根式化为最简二次根式.
最简二次根式:一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因
数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
归纳
注意:化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次
根式是最简二次根式.
例题解析
例2 化简：
解：
展示与交流
议一议
（1）你是怎么发现 的被开方数含有开的尽方的因数的?
你是怎么判断
除以 除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数）
=
( ≥ , > )
注意:a、b的取值范围不能忽略.
例题解析
例1 化简:
() × ; () × ; ()
探究三：二次根式的化筒
例1的化简结果 ,
方的因数.
中,被开方数中,都开方数都不含分母,也不含能开得尽
二次根式
二次根式的性质
最简二次根式
当堂检测
1.下列式子中，不属于二次根式的是（
2.式子
−
有意义的条件是（
C
）
A
）
3.下列根式一定是最简二次根式的是（
;()
; ()
教材P43 习题
必做题：1.3
选做题：2.4
谢 谢
7. 二次根式
新知导入
复习提问：
1.什么叫做算术平方根？
2.5的算术平方根怎么表示？
. 的算术平方根是多少?
4.什么数才有算术平方根？
学习目标
1.通过观察能说出二次根式和最简二次根式的概念,
并会进行判断.
2.通过“做一做”活动,能总结出二次根式的性质，
并能利用性质将二次根式化为最简二次根式.
最简二次根式:一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因
数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
归纳
注意:化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次
根式是最简二次根式.
例题解析
例2 化简：
解：
展示与交流
议一议
（1）你是怎么发现 的被开方数含有开的尽方的因数的?
你是怎么判断
除以 除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数）
=
( ≥ , > )
注意:a、b的取值范围不能忽略.
例题解析
例1 化简:
() × ; () × ; ()
探究三：二次根式的化筒
例1的化简结果 ,
方的因数.
中,被开方数中,都开方数都不含分母,也不含能开得尽
二次根式
二次根式的性质
最简二次根式
当堂检测
1.下列式子中，不属于二次根式的是（
2.式子
−
有意义的条件是（
C
）
A
）
3.下列根式一定是最简二次根式的是（
九年级数学总复习课件：二次根式(共29张PPT)
2 问: ( 1) 请仿照例中的分类讨论的方法, 分析二次根式 a 的各种展开的情况;
2 ( 2) 猜想 a 与| a| 的大小关系.
2 【思路点拨】 (1)仿照例题的文字描述分类讨论 a 的三种情况.
2 (2)比较 a 与| a| 的三种情况, 得出结论.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
8. (2012·厦门九上质检)计算: 2 × ( 3+ 2) -2 6 . 【解析】 原式= 6 +2-2 6 =2- 6 .
x 1 2 6 9 x 9. (2011·福州九上质检)计算: 3 + 4 -2x x .
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
【解析】
b 3. 二次根式的除法: a =
( a≥0, b>0) .
➡特别提醒: 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式. 【答案】 一、1. a ( a≥0) 2. 因数或因式 3. 被开方数
b 4. a
a 3. b
二、1. a≥0 2. -a 3. a · b
三、1. 最简二次根式 同类
2. ab
复习目标
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
复习目标
知识回顾
重点解析
(a 1) 2
2 ( 2) 猜想 a 与| a| 的大小关系.
2 【思路点拨】 (1)仿照例题的文字描述分类讨论 a 的三种情况.
2 (2)比较 a 与| a| 的三种情况, 得出结论.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
8. (2012·厦门九上质检)计算: 2 × ( 3+ 2) -2 6 . 【解析】 原式= 6 +2-2 6 =2- 6 .
x 1 2 6 9 x 9. (2011·福州九上质检)计算: 3 + 4 -2x x .
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
【解析】
b 3. 二次根式的除法: a =
( a≥0, b>0) .
➡特别提醒: 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式. 【答案】 一、1. a ( a≥0) 2. 因数或因式 3. 被开方数
b 4. a
a 3. b
二、1. a≥0 2. -a 3. a · b
三、1. 最简二次根式 同类
2. ab
复习目标
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
复习目标
知识回顾
重点解析
(a 1) 2
《二次根式》PPT课件 (共31张PPT)
练习：
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1
x 1 (2) 3x
x0
(3) 4 x
2 x为全体实数
(5) x
3
x0
1 a< 2
1 (4) x
x0
1 (7) 1 2a
1 (6) x0 2 x 3 x (8) | x | 4
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2 2
x=5，y=11
(2 x - y)
2011
=- 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、（ a） ＝a （a 0）
2
2、（ a ）＝|a| =
2
a (a>0) 0 (a=0)
-a (a＜0)
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
( a) 与 a
1:从运算顺序来看,
2
2
a
a
2
2
先开方,后平方
先平方,后开方
2.从取值范围来看, 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 ③多个条件组合时，应用不等式组求解
二次根式的双重非负性
a 吵0, a 0.
二次根式的性质
《二次根式》实数PPT课件(第1课时)
（来自《点拨》）
例知6识化点简： (1) 363;(2) 0.72;(3) 33 5(5).
知3－讲
导引：若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简．
解：(1) 363 121 3 121 3 11 3 .
72 72 36 2 6
3
(2) 0.72
2 2.
100 100ຫໍສະໝຸດ 102 10(6)是．理由：因为x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，且
x 2 2 x 2 的根指数为2，所以 x 2 2 x 2 是二次根式． (7)是．理由：因为|x|≥0，且 x 的根指数为2，所以 x 是二次根
式．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根 式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是 否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数．
解：(1)不是．理由：因为 3 64 的根指数是3，所以 3 64不是二次根
式．
(2)是．理由：因为不论x为何值，都有x2＋1＞0，且 x 2 1 的根指数为2，所以 x 2 1 是二次根式．
知1－讲
(3) 5a
(3)不一定是．理由：当－5a≥0，即a≤0时， 5a 是二次
根式；当a＞0时，－5a＜0，则 5a 不是二次根
第二章 二次根式
2.7 二次根式
第1课时
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
下载
/shiti
/
教案
下载
/jiao
an/
PPT
论坛
二次： 根式的定义
www
二次.1p根pt 式的性质
例知6识化点简： (1) 363;(2) 0.72;(3) 33 5(5).
知3－讲
导引：若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简．
解：(1) 363 121 3 121 3 11 3 .
72 72 36 2 6
3
(2) 0.72
2 2.
100 100ຫໍສະໝຸດ 102 10(6)是．理由：因为x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，且
x 2 2 x 2 的根指数为2，所以 x 2 2 x 2 是二次根式． (7)是．理由：因为|x|≥0，且 x 的根指数为2，所以 x 是二次根
式．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根 式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是 否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数．
解：(1)不是．理由：因为 3 64 的根指数是3，所以 3 64不是二次根
式．
(2)是．理由：因为不论x为何值，都有x2＋1＞0，且 x 2 1 的根指数为2，所以 x 2 1 是二次根式．
知1－讲
(3) 5a
(3)不一定是．理由：当－5a≥0，即a≤0时， 5a 是二次
根式；当a＞0时，－5a＜0，则 5a 不是二次根
第二章 二次根式
2.7 二次根式
第1课时
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
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二次： 根式的定义
www
二次.1p根pt 式的性质
人教版初三九年级数学第二十一章二次根式全章复习PPT课件内容完整课件
人教版精品课件内容完整
主讲人：
时间:
初 三代 数
二次根式
（全章复习）
王润仁
七楼A座办公家园
一、复习方法：
点
线
面
1、全章复习： 概念、性质、公式、运算。
2、按章节复习：概念、性质、公式、运算。
七楼A座办公家园
二类二次根式
有理化因式
1、ab a ba 0,b 0
七楼A座办公家园
例3、计算：
1. 5 4 9 4 11 11 7 4 7
2.14 6 5 3 5
七楼A座办公家园
探索性练习：
7、（1）判断下列各式是否成立？你认为成立的，请在括号里 打 “√”，不成立的，请在括号里打 “×”
2 2 2 2, 3 3 3 3
33
88
4 4 4 4 , 5 5 5 5
15 15
24 24
（2）你判断完以上各题之后，能猜想这类式子具有什么 规律？
（3）试用数学知识说明你所提出的猜想是正确的吗？
七楼A座办公家园
2、当 x 1994 1 , 2
求代数式 4x3 1997x 1994 2003
3、设S= 1 1 1 1 1 1 ........ 1 1 1
二 次
两个性质
a 2、 b
a b
(a 0,b 0)
根 式
1、 a 2 aa 0
两个公式
aa 0
2、 a2 a aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
七楼A座办公家园
例1、判断下列各题是否正确
1、 a a 0 是二次根式。
2、代数式 1
在实数范围内有意义时x的
1 x
限制条件是x≠0
主讲人：
时间:
初 三代 数
二次根式
（全章复习）
王润仁
七楼A座办公家园
一、复习方法：
点
线
面
1、全章复习： 概念、性质、公式、运算。
2、按章节复习：概念、性质、公式、运算。
七楼A座办公家园
二类二次根式
有理化因式
1、ab a ba 0,b 0
七楼A座办公家园
例3、计算：
1. 5 4 9 4 11 11 7 4 7
2.14 6 5 3 5
七楼A座办公家园
探索性练习：
7、（1）判断下列各式是否成立？你认为成立的，请在括号里 打 “√”，不成立的，请在括号里打 “×”
2 2 2 2, 3 3 3 3
33
88
4 4 4 4 , 5 5 5 5
15 15
24 24
（2）你判断完以上各题之后，能猜想这类式子具有什么 规律？
（3）试用数学知识说明你所提出的猜想是正确的吗？
七楼A座办公家园
2、当 x 1994 1 , 2
求代数式 4x3 1997x 1994 2003
3、设S= 1 1 1 1 1 1 ........ 1 1 1
二 次
两个性质
a 2、 b
a b
(a 0,b 0)
根 式
1、 a 2 aa 0
两个公式
aa 0
2、 a2 a aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
七楼A座办公家园
例1、判断下列各题是否正确
1、 a a 0 是二次根式。
2、代数式 1
在实数范围内有意义时x的
1 x
限制条件是x≠0
中考复习5二次根式 PPT
_a_(a 0)，
a2 =|a|= __a_(a＜0) ab =___a_·__b_(a≥0,b≥0).
商的算术平方根
a = __a_ (a≥0,b>0).
b __b_
三、二次根式的运算 1.二次根式的加减:先将各根式化为_最__简__二__次__根__式__, 然后合并被开方数_相__同__的二次根式.
(2) a2 与( a )2的异同: a2 中的a可以取任何实数,而( a )2中的a必须取非负
数,只有当a取非负数时, a2 =( a )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如
图所示,化简|a|+ a b2 的结果是 ( )
A.-2a+b B.2a-b C.-b
a 22 +|1-a|的值是 (
A.-1 B.1 C.2a-3
) D.3-2a
(2)(2016·自贡中考)若 于( )
a +1b2-4b+4=0,则ab的值等
A.-2 B.0
C.1
D.2
【思路点拨】(1)先应用 a=2 |a|性质化简,再根据a的范 围判断a-2与1-a的正负,去绝对值计算. (2)应用二次根式及绝对值的非负性列方程组,求出a,b 的值,代入代数式进行计算.
a
b b
a
a
b
a bga b a 1 a b ， ab ab ab ab ab
当a 1 3，b 1 3时，
原式 1 3 1 3 3 3 . 1 3 1 3 2 3 6
【名师点津】二次根式运算中需注意的三个问题
(1)二次根式乘法、除法法则也可逆用, ab a g b (a≥0,b≥0), a a (a≥0,b>0),利用这两个等式可
a2 =|a|= __a_(a＜0) ab =___a_·__b_(a≥0,b≥0).
商的算术平方根
a = __a_ (a≥0,b>0).
b __b_
三、二次根式的运算 1.二次根式的加减:先将各根式化为_最__简__二__次__根__式__, 然后合并被开方数_相__同__的二次根式.
(2) a2 与( a )2的异同: a2 中的a可以取任何实数,而( a )2中的a必须取非负
数,只有当a取非负数时, a2 =( a )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如
图所示,化简|a|+ a b2 的结果是 ( )
A.-2a+b B.2a-b C.-b
a 22 +|1-a|的值是 (
A.-1 B.1 C.2a-3
) D.3-2a
(2)(2016·自贡中考)若 于( )
a +1b2-4b+4=0,则ab的值等
A.-2 B.0
C.1
D.2
【思路点拨】(1)先应用 a=2 |a|性质化简,再根据a的范 围判断a-2与1-a的正负,去绝对值计算. (2)应用二次根式及绝对值的非负性列方程组,求出a,b 的值,代入代数式进行计算.
a
b b
a
a
b
a bga b a 1 a b ， ab ab ab ab ab
当a 1 3，b 1 3时，
原式 1 3 1 3 3 3 . 1 3 1 3 2 3 6
【名师点津】二次根式运算中需注意的三个问题
(1)二次根式乘法、除法法则也可逆用, ab a g b (a≥0,b≥0), a a (a≥0,b>0),利用这两个等式可
《二次根式》PPT(第1课时)
，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2）
a
表示一个数或式的算术平方根，可知
二次根式的被开方数非负
二次根式的双重非负性
二次根式的值非负
a
≥0.
典例精析
例3
若
a2
b 3 (c 4) 2 0，
求a -b+c的值.
解： 由题意可知 a-2=0，b-3=0，c-4=0,
在学习中，我们会遇到这样的表达式：
问题： 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
2， S
，
h
5
．
归纳总结
一般地，我们把形如
a ( a 0)
的式子叫做二
次根式. “
”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“
”
两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
（2） − 2 − 2 − 3.
解：(1)∵无论x为何实数，− 2 + 2 − 1 = − − 1
2
≤ 0，
∴当x=1时， − 2 + 2 − 1在实数范围内有意义.
(2)∵无论为何实数，- 2-2-3=-(+1)2-2＜0，
∴无论 为何实数，
− 2 − 2 − 3
在实数范围内都无意义.
1 − 1;
(2ሻ 2 + 3
3
解： (1ሻ ∵ −1 ≥ 0， ∴ ≥ 1.
3
(2ሻ ∵ 2 + 3 ≥ 0， ∴ ≥ − .
2
3 ∵ − ≥ 0， ∴ ≤ 0.
(4ሻ ∵ 5 − ＞0， ∴ ＜5.
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2）
a
表示一个数或式的算术平方根，可知
二次根式的被开方数非负
二次根式的双重非负性
二次根式的值非负
a
≥0.
典例精析
例3
若
a2
b 3 (c 4) 2 0，
求a -b+c的值.
解： 由题意可知 a-2=0，b-3=0，c-4=0,
在学习中，我们会遇到这样的表达式：
问题： 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
2， S
，
h
5
．
归纳总结
一般地，我们把形如
a ( a 0)
的式子叫做二
次根式. “
”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“
”
两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
（2） − 2 − 2 − 3.
解：(1)∵无论x为何实数，− 2 + 2 − 1 = − − 1
2
≤ 0，
∴当x=1时， − 2 + 2 − 1在实数范围内有意义.
(2)∵无论为何实数，- 2-2-3=-(+1)2-2＜0，
∴无论 为何实数，
− 2 − 2 − 3
在实数范围内都无意义.
1 − 1;
(2ሻ 2 + 3
3
解： (1ሻ ∵ −1 ≥ 0， ∴ ≥ 1.
3
(2ሻ ∵ 2 + 3 ≥ 0， ∴ ≥ − .
2
3 ∵ − ≥ 0， ∴ ≤ 0.
(4ሻ ∵ 5 − ＞0， ∴ ＜5.
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范围是
( C)
A.x ≥4 B. x ≤4 C. x >4 D. x <4
2021/02/01
12
➢ 课时训练
5.(2004年·南昌)化简
5
5 5
1
5
6.
2
(2004年·南京市)计算：2
3
1 24
7. (2004年·临汾市)若实数a＜b，则化简 (ab)2 的
结果是
( D)
A.a+b B.a-b C.-a-b D.-a+b
4、常见的互为有理化因式：
2021/02/01
7
1) a的有理化因式为 : a
2)a b的有理化因式为: a b
3)a b c d的有理化因式:为a bc d
4) a b的有理化因式是 a b a b的有理化因式是 a b
2021/02/01
8
➢ 典型例题解析
【例1】
已知 xy0,则x2y 化简后为（ B ）
2021/02/01
x
11
➢ 课时训练
1. (2004年·哈尔滨)函数
y
1 x3
5x中，自
2. 变量x的取值范围是3<x≤5
.
2. (2004年·宁夏)计算： 18• 8 的结果是 12 。
3.若 (x2)2 2x，则的取值范围是 x≤2 。
4.(2004年·甘肃)在函数y
1
x4中，自变量x的取值
10
a
a 3a
= ab ab
3
二次根式的乘除运算可以考虑先将被开
方数进行乘除法计算，再化简二次根式，
而不一定要先将二次根式化成最简二次
2021/02/01
根式再约分.
10
【例3】 求代数式的值. ➢ 典型例题解析
(1) 若 a2 2 3 3,b2 2 3 3,求 a a 2b 2 a b22b 的 . 值
(2) 若x2-4x+1=0，求 x2 1 5的值.
x2
解:(1)
ab2323(23)2(23)21,4 23 23
a b23231.
23 23
原式 (aa ＝ b (b )a2 b2)a＝ b141242
7 97
(2)由x2-4x+1=0x+
1 x
-4=0x+1
x
=4.
∴原式= (x1)2 2 54 2 79 3
2021/02/01
1
第一章第六课时：
二次根式
➢ 要点、考点聚焦 ➢ 典型例题解析 ➢ 课时训练
2021/02/01
2
➢ 要点、考点聚焦
一.二次根式的定义 (1)式子 (aa≥0)叫做二次根式. (2)二次根式 中a ，被开方数必须非负，即a≥0， 据此可以确定被开方数为非负数. 具a 有双重非负性。
5. ( )a2=a(a≥0).
2021/02/01
a2|a| a(aa(a 0)0)
4
三、最简二次根式
满足下列三个条件的二次根式，叫做最简二次根式. (1)被开方数的因数是整数，因式是整式. (2)被开方数中不含开方开得尽方的因数或因式. (3)分母不能含有根号。 化简时应注意把被开方数分解因式或分解因数.
8.在
1 50
、1
Hale Waihona Puke 27、75、21 6
中与 12是同类二次根式的是
1
27 、 75.
2021/02/01
13
➢ 课时训练
9. (2004年·沈阳)下列各式属于最简二次根式的是 ( B )
A. 8 B. x2 1 C. y 3
D.
1 2
1
10. (1)化简(a-1) 1 a 的结果是 1a.
(2)当x＞4时，化简 1 68xx2x4 2x-8 .
(3)(2002年·天津市)若1＜x＜4时，则 (x4)2(x1)2
= 3。
11.（2004
·陕西）计算：
1 2 3
2 76
1 3
解： 2 3 原 3 3 式 6 3 2 ＝ 3 3 3 2 3 2
2021/02/01 （ 2 3 ） 2 3 ） （3
14
1.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是将 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.
3.商的算术平方根 (1)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的 算术平方根. (2)公式 a（ a≥a 0,b＞0）.
bb
4.二次根式的除法 (1)公式 a （ aa≥0,b＞0） . (2)二次根式b的除b法运算，通过采用化去分母中的根号的 方法来进行，把分母中的根号化去叫做分母有理化.
2.二次根式的乘除运算可以考虑先将被开方数进行乘 除法计算，再化简二次根式，而不一定要先将二次根 式化成最简二次根式，再约分. 3.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知 式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
2021/02/01
15
Thank you
四、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，若被开方数 相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.
2021/02/01
5
二次根式加减运算的步骤: (1)把各个二次根式化成最简二次根式
(2)把各个同类二次根式合并. 注意:不是同类二次根式的二次根式
(如 2 与 3 )不能合并
如何合并同类二次根式
与合并同类项类似,把同类二次根 式的系数相加减,做为结果的系 数,根号及根号内部都不变。
2021/02/01
6
五、分母有理化：
1、定义： 把分母中的根号化去。
2、方法： 分子、分母同时乘以分母的有理化因式。
3、有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们 的积中不含二次根式 ，我们说这两个二次根 式互为有理化因式。
A. x y
B. x y
C. x y
D. x y
2021/02/01
9
➢ 典型例题解析
【例2】 计算：(1) (34 842)7 23 (2) 1a 02 ab•5 b15a
ab
（ 3 ） 2 28 32 (3 22 )1 2 1
解：(1)原式= (12 3 12 3 ) 23 0
(2)原式=(10a２×5÷15)( ab × b × b )= 10a2•b ab
二、二次根式的运算
1.积的算术平方根
(1)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的
积.
(2)公式 ab= a•(ab≥0，b≥0).
2021/02/01
3
2.二次根式的乘法 (1)公式 a =• b (a≥ab0，b≥0). (2)二次根式的运算结果，应该尽量化简，有理数的运算 律在实数范围内仍可使用。
感谢聆听 批评指导
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年XX月XX日
感谢您的观看！本教学内容具有更强的时代性和丰富性，更适合学习需要和特点。为了 方便学习和使用，本文档的下载后可以随意修改，调整和打印。欢迎下载！