数学分析12教学大纲

《数学分析12》课程教学大纲

一课程说明

1.课程基本情况

课程名称：数学分析12

英文名称：Mathematical Analysis

课程编号：2411204

开课专业：数学与应用数学专业

开课学期：第2学期

学分/周学时：6/6

课程类型：专业基础课

2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）

《数学分析12》是数学专业的基础学科，是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程，以不定积分、定积分、无穷级数、反常积分、傅立叶级数与傅立叶变换为基本容，是学生学习分析学系列课程及其后继课程的重要基础，在第2学期开设。本课程的教学，对锻炼和提高学生的思维能力，培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法有重要的意义，它不仅关系到能否学好后续课程，对学生未来的发展也将产生重大影响。

3．本课程的教学目的和任务

本课程是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、实变函数论、概率论、拓扑学、泛函分析等后继课程的阶梯，也为深入理解中学数学打下必要的基础。与中学数学的许多容，如实数系、函数、方程、不等式、极值、面积、体积、弧长等有着密切的联系。

通过本课程的学习，使学生掌握不定积分、定积分、无穷级数、反常积分、傅立叶级数与傅立叶变换等基本容，为学习数学分析3及分析学系列课程（复变函数、实变函数、微分方程、泛函分析等）及其后继课程打好基础，并自然地渗

透对学生进行逻辑和数学抽象的特殊训练，达到如下目的：

1、通过对贯穿数学分析始终的极限思想和方法的教学，使学生弄清不变与变，有限与无限，特殊与一般的辩证关系，进一步培养他们的辩证唯物主义观；

2、使学生正确理解数学分析的基本概念，牢固地掌握数学分析中的基本理论和基本方法，逐步提高他们抽象思维和逻辑推理的能力，培养他们熟练的演算技能和初步应用的能力，为进一步学习其它课程打下基础。

4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求

本课程是高等院校数学系的数学与应用数学专业的一门重要基础课，它的任务是使学生获得不定积分、定积分、无穷级数、反常积分、傅立叶级数与傅立叶变换等方面的系统知识。

它一方面为后继课程如微分方程、复变函数、微分几何、实变函数、与泛函分析、概率论等等基础课及有关选修课提供所需的基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本容和方法，对今后的学习、研究和应用都具有关键性的作用。

通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。

5．教学时数及课时分配

二教材及主要参考书

1.复旦大学数学系传璋等编，《数学分析》（上、下册），第三版，高等教育，2007年4月.

2.华东师大数学系编，《数学分析》（上、下册），第三版，高等教育，2001年6月.

3.玉琏等编，《数学分析》（上、下册），第五版，高等教育，2008年4月.

4.菲赫金哥尔兹编，大学高等数学教研室译，《微积分学教程》，人民教育，1954年.

5.卢丁著，慈庚，铎译，《数学分析原理》，高等教育，1979年.

6.林源渠，方企勤编，《数学分析解题指南》，大学，2003年11月.

7.吉米多维奇编，费定晖编审，郭大均主审，《数学分析习题集题解》（一，二，三，四，五，六），科学技术，1980年12月.

8.维宜，《近代分析引论》，大学，2000年1月.

三教学方法和教学手段说明

本课程以讲授法为主，在理论讲授中应注重理论与实践的结合，要注重已有的基础理论知识在设计算法中进行分析、改进的常用方法的传授，对较抽象的理论知识传授要尽量做到深入浅出。微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，具体在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性容。教学过程中除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。

另外，还可以采用多媒体教学手段、结合具体的应用实例，组织和指导学生进行研究，讨论，探求最佳算法的学习方式。

四成绩考核办法

本课程是一门考试课程，考核以笔试为主,闭卷。主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力和计算能力。成绩考核办法按学校教务处的相关规定执行。

五教学容

第六部分不定积分（12学时）

一、教学目的

1、理解基本概念；

2、掌握各种积分方法和技巧。

二、教学重点

换元积和分部积分法。

三、教学难点

积分技巧。

四、讲授要求

1、理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，掌握原函数存在性定理；

2、熟练掌握不定积分的基本公式；

3、熟练掌握不定积分的第一换元法，掌握第二换元法；

4、熟练掌握不定积分的分部积分法；

5、会求简单有理函数的不定积分。

五、讲授要点

1、不定积分的概念原函数与不定积分的定义，原函数存在定理，不定积分的性质；

2、基本积分公式；

3、换元积分法第一换元法，第二换元法；

4、分部积分法；

5、一些简单的有理函数和可化为有理函数的积分。

第七部分定积分（20学时）

一、教学目的

1、熟练掌握定积分概念和性质；

2、掌握可积性判断方法，变动上限定积分的定义和性质；

3、较好运用牛顿——莱布尼兹公式、换元积分法和分部积分法计算一些定积分。

二、教学重点

函数可积性，微积分学基本定理。

三、教学难点

函数可积性，微积分学基本定理。

四、讲授要求

1、理解定积分的概念及其几何意义，掌握定积分的积分和、上和、下和的概念，定积分可积的充分条件、必要条件和充要条件；

2、掌握定积分的基本性质；

3、掌握变上限定积分是变上限的函数，熟练掌握对变上限定积分的求导方法；

4、熟练掌握牛顿---莱布尼茨公式；

5、熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法。

五、讲授要点

1、定积分的概念，理解达布上和、达布下和的定义和性质，定积分的定义及几何意义，可积的必要条件和充分条件，可积函数类；

2、定积分的性质；

3、微积分学基本定理，牛顿 - 莱布尼兹公式，变动上限定积分；

4、换元积分法与分部积分法；